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Title: Dimostrationi harmoniche

Author: Gioseffo Zarlino

Publication: Francesco de' Franceschi (Venezia, 1589)

Principal editor: Frans Wiering

Funder: Utrecht University Netherlands Organization for Scientific Research (NWO)

Edition: 2000

Department of Information and Computing Sciences Utrecht University P.O. Box 80.089 3508 TB Utrecht Netherlands
Copyright © 2000, Utrecht University
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DE TVTTE L'OPERE
DEL R. M. GIOSEFFO ZARLINO DA CHIOGGIA, Maestro di Cappella della Serenissima Signoria di Venetia,
Ch'ei scrisse in buona lingua Italiana; Secondo Volume. Contenente LE DIMOSTRATIONI HARMONICHE DIVISE IN CINQVE RAGIONAMENTI. NE I QVALI SI DISCORRONO ET DIMOSTRANO le cose della Musica; & si risoluono molti dubij d'importanza à tutti quelli, che desiderano di far buon profitto nella Intelligentia di cotale Scienza. Con la Tauola delle materiali notabili contenute nell'opera.
Ο῞σα ἐγὼ ἥδει ἡδίστῳ πάλαι ἐμάθησα,
Καὶ καμάτῳ ἀκαματῳ ἅμα εὔξησα,
Εὐνόῳ νῆν νόῳ, καὶ ὁδῳ εὐόδῳ ἐδιδαξα.
PER ME QVI SI RIPOSA
E IN CIEL SI GODE.
PAX
¶ Θεοῦ διδόντος, ὀυδὲν ἰσχύι φθόνος
Καὶ μὴ διδόντος, ὀυδὲν ἰσχύι πόνος.IN VENETIA, MDLXXXIX. Appresso Francesco de' Franceschi Senese.page iipage iii
IVVENTVS RENOVATA

AL SERENISSIMO PRENCIPE DI VENETIA ALVIGI MOCENIGO

GIOSEFFO ZARLINO DA CHIOGGIA.
GLI Antichi, Serenissimo Prencipe, i quali non hebbero se non in un certo modo & molto imperfetto cognitione di Dio; tra l'altre cose, che gli attribuirono, questa fù una; il Conseruar la sua creatura & farle benificio. Et questo tennero di modo esser uero, che hebbero opinone, che colui, il quale apportaua qualche bene à mortali,usaua quell'officio, che apparteneua ad esso Dio; come benefattore (parlando al modo loro) era fatto Iddio, à cui soccorreua. Da questo auenne, che gli Inuentori de quelle cose, ch'erano utili à gli Huomini, Dei furono riputati; ancora (come si uede appresso Diodoro SicoloRerum antiquarum. lib. 1. ca. 2.) posti nel numero de i lor Dei. Onde nacque tra loro il Prouerbio: Α῎νθρωπος ἀνθρώπου δαιμόνιον: L'Huomo è Dio dell'Huomo; il qual Prouerbio accommadarono non solo alle priuate persone; ma à i Prencipi ancora; & maggiormente à gli Imperatori; che con la lor possanza & somma autorità poteuano conseuar le Città, i Popoli & i Regni: imperoche essendo ancora tra mortali, li chiamauano Dei; & dopo la morte loro, tra i Dei, con alcune ridicolose ceremonie (come narra Erodiano Greco ScrittoreHist. lib. 4. Pet. Messia in Vita Bas siani Imp.) tra gli altri Dei li po neuano & consacrauano. Questo fù cagione; che si come gli Huomini per natura erano inuitati ad offrir'à Dio doni, & sacrificij, & anco far uoti, acciò lo hauessero propitio; cosi anco si mouessero ad offrirgli in uita loro quei doni, che li pareuano più conueneuoli. La onde un numero quasi infinito de Scrittori (lasciando molte altre cose, che potrebbero far à questo proposito) dedicarono & consacrarono à i loro Prencipi, come à loro Dei, l'Opere loro. Percioche Vitruuio dedicò il suo Volume d'Archittetura all'Imperatore Ottauiano Augusto; Valerio Massimo i Libri de i Detti & Fatti notabili de gli Antichi à Tiberio Cesare; Plinio l'Historia naturale à Tito Vespasiano. Ilperche mosso dall'essempio di costoro; hauendo Io gli anni passati, dopo le Istitutioni, composto le presenti Dimostrationi di Musica; & essendo hormai tempo, à beneficio de quelli, che sono studiosi de questa nobil Scienza, ch'elle debbano uscir in publico; hò uoluto offerirle & dedicarle à V. Sublimità, come ad Ottimo Prencipe & mio Signore. Et spero, che non minormente le saranno grate, di quel, che furono grate à quei grandi Imperatori le fatiche de quei eccellenti Scrittori; non essendo la Musica a a puntopage iv punto all'Archittetura in cosa ueruna inferiore; anzi di gran lunga superiore. Perche se bene Vitruuio dice,Architec. lib. 1. ca. 1. che l'Archittetura è scienza ornata di molte discipline & uarie eruditioni; non è però Scienza; ma Arte fattiua, la qual tiene il terzo luogo tra le Arti; & la Musica,1. Demon. Def. 1. oltra ch'ella non si può trattare (secondo 'l parer di PlatoneDe Legibus. 1.) senza la Vniuersal disciplina; è Scienza; non solo per il Soggetto, ma etiandio per la certezza della Dimostratione, senza dubio alcuno, dell'Archittetura assai più mobile & più eccellente. Et se le fatiche di Valerio & di Plinio nell'adunare insieme da diuidersi autori Greci & Latini uarie cose, furono con quelle di Vitruuio al mondo grate; credo per certo, che queste mie habbiano simigliantemente à piacere, & esser di grande utile, non solo per il diletto, che da sè porta all'Huomo lo studio di questa Scienza; ma etiando per il commodo & utilità, che ne sentiranno i Studiosi dell'altre Arti, & Scienze nella cognitione del buono & del bello, che ritrouaranno in esse; conciosiache si può dir con uerità, che l'habbiano acquistato col mezo della Musica. Et quantunque à me sia stato cosa trauagliosa il raccorre, l'ordinare & dimostrare insieme le cose di questa Scienza; le quali ueramente erano poste senz'alcun'ordine, & anco non erano intese, secondo ch'intender si deono; tuttauia con la patienza hò superato la difficultà, & uinto la fatica col piacere; di modo che, per la gratia di Dio, le hò ridutte in tal'essere, che se prima la Musica pareua esser priua del suo antico honore, hora con maestà & decoro, come nobilissima & come una delle principali tra l'altre scienze; può comparere. Hauendo io adunque à porre in luce queste mie fatiche, le quali trattano le cose di cosi nobile Scienza, & una delle prencipali; à chi doueua io dedicarle & offerirle, se non ad un Prencipe Illustrissimo & Nobilissimo, come è la Serenità uostra? non altramente da me istimata, per la Religione incontaminata, per la Vita innocentissima, per il Consiglio graue, & per molt'altre sue eccellenti qualità, di quello che istimassero Vitruuio, Valerio, Plinio quei sommi Imperatori. Essendoche non con altro mezo, che con quello del suo ualore; dopo molti gradi de i maggiori ottenuti in questa Eccelsa Republica; meritò sedere in quel seggio sublime, nel quale già sedettero molti Prencipi Serenissimi, la cui Pietà & Religione uerso Dio, accompagnate dall'Amore & Charità uerso la Patria, tanto puotero, che alla Città, la quale intorno Mille Cento & Quindici anni Vergine & immaculata ancora si conserua; allargarono i confini,& accrebbero il Dominio; tra i quali furono Tomaso, Pietro, & Giouanni Mocenighi, auoli & progenitori suoi di nome immmortale per i fatti illustri loro; à cui s'aggiunge Vostra Sublimità, che non è, ne sarà à loro punto inferiore. Riguardi adunque la Serenità Vostra col guardo della sua clemenza la mia uerso lei diuotione, & riceua con allegro animo il dono, ch'io offerisco & dedico al suo gran nome, & me faccia degno di conseruarmi nella sua buona gratia; percioche mi parerà hauer'ottenuto grande & singolar beneficio; che di continuo terrò uiuo nella memoria, & con gli Antichi (religiosamente parlando) potrò dire: Α῎νθρωπος ἀνθρώπου δαιμόνιον: & insieme pregar nostro Signor Iddio, che le dia lunga uita & felice, & gratia di essere sempre uittoriosa contra gli inimici de questa Serenissima christiana Republica. page v

TAVOLA DI TVTTE LE COSE NOTABILI CONTENVTE NELL'OPERA.

A

ADRIANO Vuillaert maestro de cappella della Sereniss. S. di Venetia, 1. f. studiò à Parigi in Legge. 8. f. 12. p. 201. p. Fu cagione del studio dell'Autore nelle cose della Musica. 12. p
Aggiungere acqua ad acqua di una istessa qualità non genera un misto. 136. p
Aggiunto il Tuono maggiore alla Diatessaron fa la diapente 123. f. Il Tuono maggiore, ouero il mi nor Semituono alla Diapente non fà consonanza alcuna. 126. f
Alfonso d'Este Duca di Ferrara uiene à Venezia: & è riceuuto con solennissima pompa da i Signori Venetiani 1. m
Angoli fatti da due linee rette nel Semicircolo sono retti 149. f
Animali che non respirano. 13. m.
Antichi poteuanno in due modi udire il Ditono & lo Semitono. 3. f. Non passarono la Quintadecima uoce, ne la Quadrupla proportione. 3. f. Non intesero i Luoghi & Siti delle consonanze. 4. p. 6. m. 60. f. Non consideranno altra diuisione har monica, che quella della Dupla. 60. f. In qual mo do denominarono le Proportioni. 88. f. Attribui rono la ragione de numeri al Quaternario. 81. p Posero la Diatessaron nel numero delle consonanze nelle loro Compositioni, 84. p Qual chiamassero Massima & perfetta harmonia. 103. f. Per che facessero due generi del Pentachordo, & tre dello Hexachordo. 194. m. Nelle dimostrationi de generi, perche tolsero il Tetrachordo & non altro numero di chorde.196. m Perche collocarono la prima specie della Diapason nella chorda. A. 287. m
Antigenida sonatore di Piffero. 239. m
Ἇπόδειξις quello che sia, & il suo officio. 17. f
Ἇποψάλματα quello che siano. 178. m
Ἇποτομὴ quello che si uoglia dire. Secondo quello che sia. 91. m 164. m. E minore del Semituono maggiore. 164. m
Aristotele molte cose altrui fece sue. 9. p. Chiama la Diapason solamente Consonanza perfetta. 245. p
Aristosseno come diuideua il Tuono. 153. m
Arithmetica progressione quando si faccia. 26. p
Arithmetici quello che considerino. 10. m
Arsenale de i Signori Venetiani. 240. f.
Arte della Musica da qual parte è detta Prattica. 22. f
Arti di Quattro maniere. 22. f.
Astrologia suppone la natura del Circolo celeste consistere nella figura circolare, compresa da una sola linea. 16. m.
Attiua, o prattica che fine ella habbia. 22. f.
Autore non uuole essere destruttore delle cose de gli Antichi; ma più presto renderle facili. 248. p Per qual cagione non habba uoluto passare il nu mero delle Dicisette chorde nelle dimostrationi fatte nel Quinto ragionamento. 254. m
Ἇξιωματα quello che siano. 30. p

C

CAGIONE che mosse i Pitagorici à dire, che quelli Interualli che sono minori della Diates saron siano dissonanti. 3. m Propria del non respi rare qual sia 13. m. perche l'Autore non habbia uoluto trappassare il numero di Quindeci Chorde nelle sue dimostrationi. 203. m. Della parteci patione fatta nella Quinta parte inanti l'altre dimo strationi. 242. m Che muoue l'autore à porre altro ordine nelle Specie delle consonanze 246. m
Cagioni più note alla Natura. 14 f. Addutte dall'Au tore di porre altr'ordine nelle specie delle Consonanze semplici: & ne i modi. 246. m.
Canna di Organo più che è fatta curta rende il Suo no più acuto. 136. f
Cantilena quando diletta, ouero non diletta: da che nasce. 4. f
Canzoni composte da moderni per chromatiche, & non sono. & perche. 215. p
Κατασκευὴ quello che sia: & il suo officio. 17. f
Cauato il Tuono maggiore della Diapente, resta la Diatessaron: & questa cauata da quella, resta il Tuono. 133.
Cauato il Ditono della Diapente, resta il Semiditono: & lo Semiditono cauato, resta il Ditono. 123. p
Cercatrice arte, che fine ella habbia. 22. f.
Ceretani, ò Canta in banco fanno professione di Cantar uersi all'improuiso. 190. p
Chorda sonora è buona per conoscer la ragione del le distanze de i Suoni l'uno dall'altro. 23. f Mezana proportionale come tra due date trouarsi possa: la quale partisca il Tuono in due patti equali. 148. m quando inutilmente si aggiunga in uno istru mento. 216. f. Vera finale de i Modi qual sia. 253.s.
Chorde unisone riputare una chorda sola. 136. p. Stabili quali siano. 197. f. Stabili quante in ciasche duno de i tre Generi 230. m Mobili quali siano. 197. f Mobili quante siano in ciaschedun Genere. 230. m. Neutrali quali siano. 197. f Neutrali quante siano in ciaschedun de i tre Generi. 230. f Delle diuisioni Diatonica & Chromatica in qual Dimost. Harm. a3 modopage vi Tauola. modo l'una all'altra corrispondino. 194. m. 223. p Finali delli Sei modi principali. 253. f. Communi al Diatonico & Chromatico genere. 194. m. 223. p. Quanto siano più acute quelle di uno Modo, che quelle di un'altro.279. f De i Modi principali più acute di quelle delli Non principa li per una Diatessaron. 280. m. De tutti li Modi abbracciano tutte le Sedeci chorde. 284. f
Chromatico genere si serue del Semituono maggiore: 92. p. Quello che sia. 194. m
Chromatisti destruttori della buona musica. 215. f
Quello che osseruino nelle Compositioni loro. 193. f. Si possono comparare ad Herostrato. 216. p.
Cinque Sesquiottaui non fanno uno Duplo. 73. f
Claudio Merulo da Correggio organista soauissimo. 1.
Cognitione delle cose della Musica non si può haue re se non col mezo de i Corpi sonori. 11. m. della Natura, & Nostra molto diuerse. 14. m
Colore intorno al Sono quello che sia. 22. p.
Κόμμα quello che sia: & di quanta proportione era appresso gli Antichi. 93. p. 113. m 154. p 142. f. Di donde sia cosi detto. 93. p. In qual modo di accommodi alla sua proportione sopra una chorda. 172. p. Minimo interuallo musicale. 171. f.
Communi pareri, o Massime dette Ἇξιώματα. 30. p.
Compositioni fatte da Moderni per Chromatiche & non sono. 215. p
Compositione del Monochordo regolare Diatonico. 198. p Del Monochordo regolare Chromati co 201. f. Del Monochordo regolare Enharmonico. 202. f
Composto si risoue in quelle cose semplici, delle quali si compone. 30. f.
Conclusione contingente quello che sia: & perche è cosi detta. 13. f
Consideratione sopra il Tuono diuiso in due parti da Aristosseno & da Filolao. 153. m 154. m
Consonanza quello che ella sia. 10. m. Primieramente considerata dal Musico. 77. f. Et Dissonanza sono due estremi nella seconda specie de gli Oppositi. Di due specie. Propriamente detta 78. f.. Communamente detta. 79. m Semplice raddoppiata non dà nelli suoi estremi interuallo alcuno consonante. 94. f
Consonanze nella Musica hanno i loro gradi. Tengono quei luoghi, che tengono le lor forme tra i numeri 4. f Musicali come nascono. 7. p. Della prima materia sono tutte Moltiplici, ò Superpar ticolari 79. p. della Seconda maniera sono tutte de gli ultimi tre Generi di proportione. 79. f. 80. p. Di due forti. Semplici quali siano. Composte. 82. f. Tutte come l'una all'altra ne i loro luoghi si soggiunghino 176. f. Diapason, Diapente, & Dia tessaron quante fiate si ritrouino nelle Quindeci chorde Diatoniche 231. f. Et quante tra le Chromatiche.234. f. Et quante tra le Enharmoniche. 237. m. Quanto alla forma loro sono immutabile: ma non quanto à gli accidenti. 248. m
Contemplatiua che fine ella habbia. 22. f.
Contingente quello che sia. 13. f
Continuare due o piu interualli che siano simili l'uno dopo l'altro, come si possa fare. 36. m. ouer differenti di proportione. 36. f
Contr'harmonica proportionalità quello che ella sia. 27. m
Contrarii di due maniere: Mediati & Immediati: & quello che l'uno & l'altro sia. 78. p
Corollario quello che importi. 123. m
Corpo sonoro proportionato è il Soggetto della Mu sica.10. p 11. m 182. f. quello che sia. 23. f E diuisibile in infinito. 55. m
Corpi sonori quali siano. 23. f
Corpo Cubo come sia composto. 104. f. Quello che sia. 105. f
Corpo perfetto consta di tre interualli. 104. f
Corpi celesti soggetto de gli Astrologi. 16. m
Cosa che si raddopiata sia equale ad un'altra: è la sua metà intiera. 34. m Che raddoppiata trappassa un'altra cosa, ella è piu della sua metà. 34. f. Che raddoppiata non arriua allo intero di un'altra. el lanon può essere la sua metà 35. m. Ridocolosa osseruata da i moderni. 193. p
Cose in tre modi considerar si possono. 9. f. Che non sono mai nella materia. 9. f. Che uniuersalmente non sono mai nella materia. 9. f. Che cadono sotto la Scienza Metafisica. 9. f. Che necessariamente sitrouano nella proposta. 17 f. Che non si tro uano molte fiate in molti Theorema. Ch'appartengono al Dato. 18. p. Poste in atto nella Musica non sempre restano 22. f. Che sono ad un'altra equali, tra loro sono equali. 33. p Che tra loro sono equali ad una istressa, sono equalmente Molteplici, ò Superparticolari, ò di altro Genere. 33. m Che hanno i loro tutti equali, hanno anco tra loro le parti equali. 33. f
Costruttione del Monochordo Chromatico. 201. f
Κτητικὴ quello che sia: & il suo fine. 22. f
Cubo quello che sia. 105. f

D

DATO quello che sia. 17. f
Definitione è il mezo della Dimostratione 9. m. 20. p. 89. p E quella che ci fa uenire in cognitione della cosa. 9. m. Quello che sia. 10. m. Si piglia in luogo della Descrittione. 10. f. Che si pone nella Dimostratione qual sia 10. f. Di tre sorti: cio è Matetiale Formale & Finale 11. p. Delle Di mostratione di due sorti 14. p. Delle cose non si può dimostrare. 15. m. Del Suono data da Boetio non è al proposito del Musico. 20. m. Di Euclide del Genere.192. f. Del modo. 250. p. De tutti i Dodeci modi. 251. m
Definitioni sono differenti per la differenza delle cose. 9. m. Per qual cagione si pongono inanti ogn' altra cosa nelle Scienze iDmostratiue. 19. f. Quel che fanno. 20. p
Descrittione quello che sia. 10. m. Si pone alle fiate in luogo della Definitione. 10. f Dettopage vii Tauola.
Detto d'Antigenida contra Ismenia suo Discepolo. 238. m
Diapason prima consonanza. 5. p. 83. p. Elemento de tutti gli altri Interualli 5. p. Esser composta de Tuoni & Semituoni non è mal detto. 7. p. Quel lo che sia. Tra l'altre consonanze tiene il primo luogo. Presa dal musico per il tutto diuisibile. 83. p. Piu d'ogni altra conosciuta dal senso. 86. f. Come nasca 96. p. Minor de sei & maggiore di cinq Tuoni maggiori. 128. p Quanti Tuoni & Se mituoni contenga. 128. f. Conserua inuiolata quella consonanza, che à lei s'accompagna. 129. p Regina de gli altri interualli. 83. f. 205. p. Detta da Aristotele Consonanza perfetta. 245. p Ha Sette specie. 245. f. In ogni caso temperamento re sta nella sua uera forma. 245. m. Non si può alterare senza offesa dell'Vdito. 243. p. Quando sia detta harmonicamente, ouero arithmeticamente diuisa. 250. m. Quante fiate sia contenuta tra le Dicisette chorde temperate. 167. f.
Diapasonditona. 88. p.
Diapason diapente quello che sia. 86. m. Da che na sca. Quanti Tuoni & Semituoni contenga. 131. m.
Diapason diatessaron qual consonanza sia.128. f
E consonanza, secondo il parer di Tolomeo. & Dissonanza secondo i Pitagorici. 129. p
Diapente quello che sia. 83. m. E la maggior parte fatta della Diapason harmonicamente. 83. f. Reintegrata dal Ditono & dal Semitono. 98. p Quanti Tuoni & Semituoni contenga. 123. m Come nasca 123. f Quanto resta sciema nel temperamento de gli Istrumenti. 243. p. di Quattro specie.249. m. 245. f. Quante fiate sia contenuta tra le Dicisette chorde temperate.267. f. Non ha luogo tra la Terza & la Settima chorda. 269. m
Diapente & Diatessaron come insieme nascono.94. p. Collegate tra le maggiori Superparticolari.95. m
Diaschisma quello che sia. 93. m.
Διαστημα quello che importi. 7. p
Diatessaron quello che sia.8. f. E la parte minore fatta harmonicamente della Diapason. 83. f. Posta nel numero delle Consonanze. 84. p. E conso nanza perfetta. 85 p. Hauuta appresso gli Antichi per consonanza. 2. m. 85. f. Quanti Tuo ni & Semituoni contenga. 120. f. Come si accommodi alla sua proportione con la Diapente & la Diapason insieme. 175. f. Quanto si accresca nella Participatione. 243. m. Di tre specie. 249. f. Quante fiate sia contenuta tra le Dicisette chorde temperate. 270. m. Non si troua tra la Settima & la Decima chorda. 271. p
Diatessaron & Diapente come insieme nascono. 94. p Collegate tra le maggiori Superparticolari. 95. m
Diatonico genere quel che sia. 192. f
Dichiaratione di due sorti nello esplicar le cose del la Musica. 10. m
Δίεσις quello che sia. 91. p 153. f. 154. p. Di Filolao pitagorico. 86. p. Principio & Elemento de gli Interualli musicali. 91. p. Detto Apotome secondo. 164. p. Minore Enharmonico quello che sia. 92. p. Apotome secondo. E minore del Semituono maggiore. 164. m. Di Martiano capella. Tris temoria. Tetartemoria. 153.
Differenza quello che sia secondo i mathematici. 16. p. Tra il Diatonico & Chromatico genere consiste in una sola chorda. 194. m. Ch'è tra la Participatione fatta nelle Istitutioni & quella del le presenti Dimostrationi. 200. f
Diffetto di quelle compositioni, che poco dilettano.4. f
Dimanda di Vitelione. 135. f
Dimostratione fà la cognitione della cosa. 9. m. 11. f 12. m. E come uno istrumento, che ne conduce al Sapere.12. m Potissima qual sia. Potissima cagiona in noi il Sapere. Chiamata A priori & Propter quid. A posteriori & Quia, quello che sia. 13. f. Della Prima proposta del lib.1. di Euclide 18. f. Della Partecipatione, ò Temperamento de gli Interualli de gl'Istrumenti ritrouata dall'Autore. 200. m
Dimostrationi dipendono l'una dall'altra. 124. f. Pri me sono dette Elementi delle Sequenti. 40. m. 124. f
Dimostrar la uerità di una cosa contro alcuno con modestia, non è fuori della buona creanza. 164. f
Διορισμὸς quello che sia, & il suo officio. 17. f
Dire Tripla & dire Dupla sesquialtera, non è dire una proportione istessa. 88. f
Disdiapason quello che sia. Considerata da gli Antiche composta di due Diapason.86. f. Come nasca, & quanti Tuoni & Semituoni contenga. 131. m
Disdiapason ditona. 86. f
Disdiapason diapente. 86. m
Disputare non si può contra quelli, che negano i Principij. 17. p
Dissonanza è contraria alla Consonanza nel genere de gli Opposti.78. p. Et consonanza sono come due estremi nella Seconda specie de gli oppositi.78. f Quello che sia.80. f. Al tutto priua della Ragione de numeri.81. m. Hauer Ragion de Numeri, come s'intenda. 81. p
Ditono posto fuori del suo luogo naturale fa tristo effetto. 4. m. Collegato nel graue della Cantilena fa cattiuo effetto.4. f. Posto nell'acuto diletta.4. m Et Semituono posti nel graue perche siano tanto poco grati.5. f Quello che sia. Serue al genere En harmonico. Vna delle prime parti della Diapente, & delle seconde della Diapason.85. f. Et Semi ditono come nascano. 97. f. Quanti Tuoni & qua li contenga.120. m. Come si accommoda alla sua pro portione.174. m. E minore di due Tuoni Sesquiottaui per un Comma.174. f Et Semitono sono anco del Diatonico genere.193. m. E contenuto nella sua uera forma nella Partecipatione. 242. f
Diuersità delle Scienze nasce dalla uarietà delle co se, che trattano. 9. f. 15.
Diuidere qual si uoglia Interuallo in due, o piu part equali come si possa fare. 148. p. 150. m La differenza del Tuono in due parti equali, non è la Regola di trouare i Semituoni. 161. Dim. Harm. a 4 Diui-page viii Tauola.
Diuisione del Tuono vanamente fatta da Michaele Stiffelio, & da Nicolò Tartaglia.146. p. Di qual si voglia Interuallo in più parti equali, come si pos sa fare. 150. m. Del Tuono fatta da Aristosseno va namente. 153. m. Di Martiano Capella fatta del Tuono. 153. f. Fatta del Tuono da Filolao pitagorico in due parti. 154. m. Del monochordo rego late Diatonico. 198. p. Del monochordo Chromatico regolare. 201. f. Dell'Enharmonico mono chordo regolare. 202. f
Diuisioni dello Schisma, & Diaschisma sono irrationali. 118. m. dello Schisma, & del Diaschisma non si possono far realmente, se non col mezo della Geometria. 94 p. Delle proportioni quando siano incognite, & irrationali. 119. m
Diuiso l'Interuallo del Tuono in due parti equali, in quali proportioni sia diuiso. 144. f
Dominico da Pesaro fabricatore di Arpichordi. 214. f
Dubbio intorno la Definitione. 10. m. Sopra la proportione della Diapason col ditono. 88. m. Sopra il Semituono minore. 90. f Et solutione intorno l'ordine de gli Interualli del Monochordo Diatonico. 199. m. Intorno la specie delle Conso nanze. 246. p
Dubitare di ciascheduna cosa nelle Scienze non è senza vtilità 90. f 183. p
Due cose da considerare nella Musica 7. p. Interual li, ò più communi da vna istessa proportione ne i estremi non fanno consonanza alcuna.38. f. Sesquiottaui sono minori di uno Sesquiterzo: & maggiori di un Sesquiquarto. 70. f. Consonanze prime, & maggiori diuise in due semplici mino ri. 102. f. Diatessaron aggiunte insieme, di quan to trappassino la Diapente. 124. p. Consonanze semplici contenute da vna proportione insieme aggiunte ad vna chorda mezana commune, dalla Diapason in fuori, non fanno alcuna maniera di Harmonia. 180. f
Dupla reintegrata dalla Sesquialtera, & dalla Sesqui terza. 54. p. E prima d'ogn'altra proportione. 83. p
Dupla Sesquialtera quello che voglia dire. 88. p
Duplo composto dello Sesquialtero, & dello Sesquiterzo non è cagione della proportionalità harmonica. 55. p

E

Ε῎κθεσις quello che sia, & il suo officio. 17. p
Elementi sono Quattro. 30. f
Elemento quello che sia. 30. f. 45. m
Enharmonico genere vsa il Semituono minore. 90. f
Epigonio Istrumento di 40. Chorde. 3. f. quello che sia. 194. f
Errore de i Musici moderni intorno al nome de i Modi. 252. m
Esser Musico non è per se nell'Huomo; ma per acci dente. 12. f
Estentione della Chorda è posta indiuisilmente alla guisa del Punto. 20. f
Estentioni diuerse della chorda à guisa de diuerse linee. 20. f
Estremi delle Proportioni quali siano. 29. f
Euclide molte cose d'altri fece sue. 9. p

F

FACILITARE le cose è cosa molto lodeuole. 201. m
Fattiua arte, che fine ella habbia. 22. f
Filolao filosofo Pitagorico come diuise il Tuono. Seguirò le ragioni de i Numeri nella diuisione del Tuono. 153. f
Fine della Consonanza, & dell'Harmonia. 11. m
Fisica quello che considera. 9. f
Forme del Ditono, & del Semitono de gli antichi quali erano. 3. m
Forme di tutte le Consonanze musicali contenute tra i termini, & le differenze dell'Harmonica, & Contraharmonica proportionalità. 101. p Conte nute nella Progressione Arithmetica. 102. f Nella Massima, & perfetta harmonia. 106. f Contenute tra le parti delle Linee fatte nella diuisione del Quadrato. 108. f
Francesco Viola maestro di Cappella di Alfonso Duca di Ferrara. 1. m

G

GENERE quello che sia. 192. m. Diatonico. 192. f. Chromatico. 194. p. Enharmonico. 194. f
Generi della Melodia sono tre. 192. f
Geometri quello che contemplino. 10. m
Geometrica proportionalità quando si faccia, o co me nasca. 27 p. 40. f. Harmonia. 105. m
Giulio Polluce à che tempo visse. 4. p
Greci non ritrouarono i Principij di tutte le Scien ze. 203. f Non hanno sotto la loro Proslambano menos chorda alcuna. 254. f
Gustabile non è per necessità sempre dolce, ouero amaro. 78. f

H

HARMONIA non propria di due sorti. 81. m Semplicemente detta qual sia. 81. f Ad vn certo modo detta quello che sia. 81. f Ad un certo modo detta si fà per l'ordine, & non per le Consonanze, che ella contiene. 87. p. Geometri ca qual sia 105. m. Tra le qualità del Corpo cubo. 105. f. Semplicemente detta oue si ritroui. 181. p Detta ad un certo modo oue sia posta. 181. f
Harmonica proportionalità come nasce. 27. p. 55. f. Consiste nell'ordine. 55. p. Perche sia cosi detta. 105. f
Harmonide discepolo di Timotheo. 239. m Hauerepage ix Tauola.
Hauere il latte nelle mammelle, non è segno fermo sempre, che dimostri, che la donna habbia partorito. 13. p
Hemispherio quello che sia. 135. p. E il Quarto di vna Sphera, considerato come si vsa. 135. p
Herostrato perche abbruciasse il Tempio di Diana. 216. p
Hexachorda quello che sia. 255. f. E consonanza; ma non della istessa natura, che è il Ditono, & lo m. minore quello che sia. 87. f. Maggiore, & minore come si facciano. 87. m. Maggiore di quanto sopr'auanz' la Diapente, & la Diatessaron. 125. f. Minore di quanto sopr'auanzi la Diapente, & la Diatessaron 126. m. Maggiore quanti Tuoni, & Semituoni contenga. 127. f. Minore quanti Tuo ni, & Semituoni contenga. 127. m Minore come sia contenuto nella sua forma nella Partecipatione. 242. m. Hypaton. 216. p. Meson. 256. m. Diezeugmenon. 256. f. Hyperboleon. 256. f. Synemennon. 257. p. Synemennon come si aggiun ga à i quattro primi. 209. p. Della propietà di b molle 257. p. 267. f Della propietà di Natura. 267. f. Della propietà di quadro. 267. f. Con tiene tutte le Specie della Diatessaron. 256. p
Hexachordi sono cinque ne gl'ordini de' Suoni. 255. m. Tra le Dicesette chorde temperate. 267. f. In qual modo siano nominati da i Moder ni. 255. f. 265. f
Huomo è composto de i quattro Elementi. 30. f
Huomini hanno il latte nelle mamelle. 13. p
Hypoproslambanomenos quello che sia. 255. p Perche sia stata aggiunta da i Moderni. 265. p. Come si aggiunga alle Quindeci chorde ridutte al loro temperamento. 264. m

I

IGNORANZA de Compositori da che sia proceduta. 187. m
Impossibile è che vno habbia tutto quello, che conuiene al Perfetto. 190. f
Indagatrice Arte quello che ella sia, & che fine habbia. 22. f
Infinito non si può trappassare. 15. m
Instante nel Tempo è indiuisibile. 22. m
Intentione del Stiffelio intorno la diuisione del Tuo no. 247. p. Dell'Autore nello scriuere le cose del la Musica; tanto nella Speculatiua, quanto nella Prattica. 190. m
Interuallo come si faccia. 23. p Quello che sia. 23. p Primo considerato dal Musico ad un certo modo. 23. p. Molteplice. 24. p. Superparticolare. 24. m. Superpartiente. 24. f. Molteplice superpar ticolare. 25. p. Molteplice superpartiente. 25. m. Qual sia maggiore l'vno di due. 32. p. Molteplice doppiato genera un Molteplice. 39. p. Raddo piato se produrrà un molteplice, anche lui sarà molteplice. 41. f. Superparticolare è indiuisibile in parti proportionali con numeri rationali. 44. p Non molteplice raddoppiato non fa alcuno Mol teplice,nè Superparticolare. 45. p. Raddoppiato, che non da il Moltiplice, non può essere molteplice. 45. f. Ne i suoi termini radicali co me moltiplicar si possa con Numeri composti. 51. m. Duplo da che nasca. 53. f. Triplo come si faccia. 59. m. Quadruplo da che nasca. 60. p. Sesquiottauo de quali interualli sia la differenza. 62. f Sesquinono qual differenza sia. 63. f. Sequiquintodecimo de quali interualli sia la differenza. 64. f. Sesquiuentesimo quarto di che sia la differenza. 65. f. Sesquiottantesimo qual differenza sia. 68. p. Supertripartiente. 125. qual differen za sia 68. m Del Tuono maggiore, & quello del minore sono Superparticolari. 100. m. Del Semituono maggiore è Superparticolare. 111. m. Del Semituono minore è Superparticolare. 111. m. del Semituono maggiore è il primo de i Te trachordi Diatonico, & Chromatico. 223. p. Del Semituono maggiore è Elemento del Diatonico, & del Chromatico. 223. p. Del Tuono diuiso in due parti equali, in quali proportioni sia diuiso. 144. f. Del Semituono maggiore è minore dello Apotome. 163. m. Qual si uoglia come si possa diuidere in due, ò più parti proportionali. 148. p 150. m. Fatto maggiore, ò minore quando s'intenda. 257. p. Farsi più graue, ò più acuto,come s'intenda. 258. p
Interualli in quante maniere udire si possano in at to. 3. f. Quando si dicano simili. 32. p. Come si possano coutinuar l'uno dopo l'altro. 37. p. mol teplici raddoppiati quello che facciano. 59. p. Minore della Diatessaron hauuti da gli Antichi per Dissonanti. 77. f. Mezani tra la Consonanza, & la Dissonanza sono molti. 78. f. Dissonanti mi nori del Semitono sono le differenze de i maggiori consonanti. 89. m. del Ditono, & del Se miditono sono Superperticolari. 98. m. Fatti da Filolao, & da Aristosseno nelle loro diuisioni del Tuono aggiunti à due Tuoni Sesquiottaui, ouero al Ditono non fanno Consonanza alcu na. 165. m. Vsati da Chromatisti nelle loro com positioni. 215. p
Inuentione dell'Autore di Participare, ò Tempe rare con ragione gl'istrumenti da chorde, è di tre sorti. 200. m.
Inuentore primo della Participatione, ò Tempera mento de gli Istrumenti non si fa chi si fusse. 214. p
Ismenia discepolo di Antigenida Tebano. 239. m
Istitutioni Harmoniche Opera dello Autore. 2. m. Spesso allegate dall'Autore, & per qual cagio ne. 40. p
Istrumento di quarto chorde come si chiama. 292. p. De cinque, di sei, di sette, & più chorde come si nomina. 292. p. Fatto dall'Autore, il quale si accorda perfettamente, 199. f Istru-page x Tauola.
Istrumenti arteficiali di due sorti. 234. m. che hanno il testame di vna istessa maniera. 240. f

L

LACEDEMONI scacciarono, & bandirono Timotheo dalla loro città;& perche. 215. f
Λεῖμμα quello che sia. 91. p. 170. m. Et quello che voglia dire. Da che proportione sia contenuto. 91. p
Leuando ne i Quattro maggiori Superparticolari vno Interuallo minore da vn maggiore; quello che viene è Superparticolare. 66. p
Linea come si faccia. 21. m. Mezana proportionale come si troua. 148. p. Retta perpendicolare come da vn punto segnato leuar si possa. 149. m
Linee molte mezane proportionali come ritrouar si possino. 150. m
Luogo del Suono, come si considera dal Musico. 21. p

M

MARTIANO Capella hà diuiso il Tuono in molti modi. 153. f
Massima, & perfetta harmonia de gl'Antichi. 103. f Perche in tal modo la chiamassero. 103. f. Tra cinque termini, & quattro interualli. 105. p. Che tra i termini, & le differenze loro contiene i Tuoni maggiore, & minore, con l'altre Consonanze. 106. f
Massime, ò communi pareri detti Ἇξιωματα. 30. p.
Materia posta nella Derfinitione della Musica. 11. m
Mathematico dimostra per le cagioni formali. 11. f.
Mathematiche Scienze quello che considerino. 9. f. Nel primo grado di certezza. 38. f
Melopeo, ò Musico perfetto, Opera dell'Autore. 287. p
Mesolabio Istrumento mathematico in che serui al musico, 150. f
Metà di qual si uoglia cosa oue caschi. 35. m. Intera del Tuono doue cada. 156. f. Del Tuono minore doue caschi. 158. m
Metafisica quello che si considera. 9. f. Dimostra per le cagioni formali, finali, & efficienti. 11. f
Mezo de i Contrarij di due sorti. 78. m
Mezani interualli, che cadono tra la Consonanza, & la Dissonanza. 78. f. Nascono da altre proportioni, che da Molteplici, ò Superparticolari, collocate però tra le parti del Senario, & dall'Ottonario numero. 78. f
Michele Stiffelio mathematico eccellente in qual modo diuida il Tuono in due parti equali. 145. f
Minimi termini delle Proportioni sono Numeri contraseprimi. 25. m
Moderni dubiosi del Ditono, & Semiditono se siano consonanti. 6. m. Non hanno hauuto suffi cienti Principij, nè anco esperienza delle cose della Mathematica. 6. f. Perche trappassarono il nume ro delle chorde de gli Antichi. 205. p
Modo di udire in atto qual si uoglia Interuallo, accommodato alla sua proportione. 141. f
Modo quello che sia 250. p. Principale, & Auten tico. 253. p. Non principale, & Plagale. 253. m
Modi quello che siano, ò quali si chiamino. 243 f. Perche siano l'vno dall'altro differenti. 249. f Se condo l'vso de gli Antichi parte molto difficile da intendere. 251. f. Distanti l'vno dall'altro per vn Tuono, ouer per vn Semituono. 278. p Prin cipali posti per ordine. 275. p. Non principali po sti per ordine. 278. p. Tutti l'vno dopo l'altro per ordine. 281. p. Principali tutti contenuti so no tra le Tredici più acute chorde delle Sedici. 283. f. Non principali contenuti tra le Tredici più graui del numero de Sedici. 184. m. Si possono trasportare dal graue all'acuto; & per il contrario. 285. p. Non possono essere nè più nè meno de Dodici. 251. m. 275. m
Modulatione di ciascheduno de i Dodici modi come trasportare si possa. 285. p
Molteplice Interuallo raddoppiato quello che faccia. 39. p
Moltitudine contenere per la maggior parte Huomini di basso, & vile ingegno. 239. m
Monochordo quello che sia. 192. p. Di doue deriui il suo nome. 192. p. Regolare perche cosi si di ca. 198. p
Mouimento non è senza tempo. 20. f
Mouimenti nella Musica tutti sono violenti. 22. f
Musica perche sia sottoposta alla Filosofia naturale. 10. p E scienza di Relatione. 10. p. Hà per Soggetto il Numero sonoro. 10. p. Hà per Soggetto il Corpo Sonoro proportionato. 10. p. Risolta nel suo fine è cosa attiua. 22. f. A qual Genere sia sottoposta. 22. f. Da qual parte è detta Theorica; & come sia detta Prattica. 22. f. Subalternata alla Arithmetica. 38. p. Et Poesia arriuate ad vna istes sa conditione. 190. p. Ripiena di Compositori. 190. p. Senza Artefici, che habbiano cognitione di essa; & per qual cagione. 190. m. Guasta da Chromatisti. 215. f
Musico considera il Suono come principio della Consonanza, & d'ogn'altro interuallo 20. m Non considera il Suono nella lunghezza. 20. f. Come dè vsare i Principij, che piglia da vn'al tra Scienza. 38. p. Caua le sue ragioni dal Tutto, & dalle parti del Corpo sonoro. 55. m. Poco conto fà de i Numeri irrationali. 146. m
Musico quello che contemplino. 10. m. Moderni sono Artefici senza cognitione dalla loro Arte. & da che sia proceduto. 189. f. Nostri non considerarono la diuisione, ò compositione del Monochordo fatta per Tetrachordi, ma per Hexachordi. 205. p NApage xi Tauola

N

NATVRA delle Scienze. 19. m. della Diapason. 245. p
Naturale dimostra per ogni cagione. 11. f
Nicolò Tartaglia Bresciano diuise il Tuono in due parti vanamente, come fece Stiffelio. 146. p
Niuno Superparticolare si può diuidere in due par ti equali. 44. p
Nome de gli Antichi appresso l'Autore è veneran do & riuerendo. 203. f. De gli Hexachordi appresso i Prattici. 255. f
Nome di tutte le Voci, Suoni, & Chorde secondo gli Antichi. 195. m. Et ordine de i Modi. 252. m. Secondo i Moderni. 254. p
Numero sonoro soggetto della Musica. 10. p
Numero numerato quello che sia. 28. f. Qual si voglia che moltiplica, ò parti i termini di una proportione, produce la istessa. 31. m. Qual si uoglia si può porre per la differenza di qual si voglia proportione. 43. f. Composto quello che sia. 51. m. Maggiore di qualunque ordine dinota il Tutto del Corpo sonoro. 55. m. Numerante è vno Essemplare, & vna Idea nell'Anima nostra. 49. f. Posto in Atto dal Musico quello che si deb ba intendere. 55. m. Esser aggiunto à se stesso quello che s'intenda. 102. f. Ternario perche non si possa diuidere in due parti equali. 99. m. Ter nario è perfetto. 153. f. De Compositori oltra mo do cresciuto nella Musica. 190. m. Maggiore di qual si uoglia ordine rappresenta la parte più gra ue. 251. p. Di Quindeci chorde, perche non sia trappassato nelle dimostrationi, & ordini de Suoni. 203. m
Numeri Contraseprimi sono le Radici delle Proportioni. 25. m. Tra loro composti, ò Communicanti quali siano. 25. f. Di due sorti. 28. f. 49. f. Et proportioni sono imagini de i Suoni, & delle Consonanze. 41. p. O proportioni del Monochor do Diatonico. 211. p. Della Deuisione Chromati ca. 220. f. Del Monochordo Enharmonico co me si possono adunare insieme. 226. f

O

OGNI proportione de i Corpi sonori è tanta quanta di Numero à numero. 137. p
Opere dell'Autore grate à i Spiriti nobili. 190. m
Opinione di Pitagora, & de gli Antichi Pitagorici. 2. m. De gli Antichi intorno à gli Interualli del la Musica. 76. m. De gli Antichi intorno alla lo ro Massima, & perfetta harmonia. 103. f. Di To lomeo, & de Pitagorici intorno alla Diapason Diatessaron. 129. p. De' Moderni Chromatisti nel cantare. 193. p. Di Boetio intorno i Modi. 252. p
Oppositione contraria quello che sia. 78. p
Oppositioni di quattro maniere. 78. p
Ordine, & luoghi propij delle Consonanze. 4. p. Or dine nelle Voci diuerso da quello, che si troua ne gli Istrumenti arteficiali. 234. m. Interrotto de i Modi. 247. m. Non varia la essenza delle Consonanze. 248. m
Ordinare le specie delle Consonanze col modo debito, è cagione di ordinare i Modi con buon ordine secondo la mente de gli Antichi. 247. f
Ordinatione de i Modi secondo la mente de gli Antichi. 248. f
Origine di tutte le Consonanze. 101. p

P

PARHYPATE Chorda Diatonica, & Chro matica è la Lychanos Enharmonica. 230. f
Parte qual sia maggiore, ò minore di un'altra. 32. f. Aliquota, & non Aliquota di vn numero dato come si troua. 49. f. Qual si voglia come si caua da un'altra. 69. f. Minore della proportionalità harmonica non è atta ad esser diuisa, di modo che produca i suoi interualli consonanti. 99. p
Parte maggiori, & minori l'vna dell'altra. 32. f. Del la Diapente. 90. m. Diuerse de' Nominatori, co me si riduchino sotto vn solo Denominatore. 72. f. Come insieme si sommano. 72. f.
Partecipatione quello che sia. 221. m. Come si di mostri. 259. p. Si può fare in tre maniere.200. f. De gran commodo nella musica. 210. p
Pentachordo diuiso da gliAntichi in due Gene ri. 194. m
Pentadecachordo, quello che sia. 204. f
Perfetto si può dire, alquale meno mancano di quelle cose, che fanno alla sua Perfettione. 190. f
Perfetto Musico Opera dell'Autore, 190. m.287. p
Pietra per qual cagione non respira. 13. f
Pitagora non uolea che le Consonanze hauessero le loro forme da altro Genere di proportione, che dal Molteplice, ò Superparticolare. 3. m
Pitagorici, &Pitagora negauano gli Interualli mi nori della Diatessaron esser consonanti. 2. m. Per qual cagione si mouessero à dire, che quelli interualli, che sono minori della Diatessaron non sono consonanti. 3. m Non hebbero cognitione de i Gradi, & propij Luoghi delle Consonanze. 4. p. 6. p
Platone molte cose d'altrui fece sue. 9. p
Poco accordo che si ode nelle Cantilene nasce da due cagioni. 5. f
Poesia copiosa de Versificatori 190. p
Ποιητικὴ quello che sia, & il suo fine. 22. f
Ponti annotati nelle chorde diuise come da i Greci si chiamano. 178. m
Πορίσμα quello che sia, & quello che significa.123. m
Positioni quello che siano. 15. f. Di più maniere. 15. f. Di due sorti. 16. m
Πρακτικὴ, ò Attiua quello che ella sia, & il suo fine. 22. f
Premesse vanno innanzi la Conclusione; & sono la suapage xii Tauola. sua cagione. 14. m. Debbono esser vere. 14. m. Debbono esser più note della conclusione. 14. f. Debbono esser prime, & senza mezo alcuno. 14. m
Prima Diapason considerata nella Musica. 246. f
Primo termine delle Consonanze qual sia. 231. f.
Prime consonanze qual siano. 245. f
Principij di più sorti. 15. f. Communi. 15. f. Propij. 15. f. Della Geometria. 15. f. Dell'arithmetica. 15. f. Della Musica. 16. p. Communi chiamati Di gnità. 16. m. Di vna Scienza in quella sono inde mostrabili. 16. m. Della Musica da chi si pigliano. 38. p
Πρόβλημα quello che sia. 17. m. Perche sia cosi detto. 17. m. Hà in se Sei cose. 17. m
Procedere nostro nella cognitione delle cose.14. f
Progressione Arithmetica. 26. p
Propio del Sillogismo dimostratiuo. 14. p
Proposta di Euclide tolta dall'Autore; per dimostrare si possa diuidere il Tuono in due parti equali. 148. m
Proportionalità Geometrica. 26. f. Harmonica.27. p. Contr'harmonica. 27. m. Arithmetica più tosto detta Progressione. 26. p. 55. m. Harmonica detta Mediocrità. 39. m. 55. m. Harmonica consi ste nell'ordine. 55. p.Harmonica come si troua. 55. m. Contr'harmonica come si troui. 55. f. 57. p. Continua, & discontinua, ò discreta. 105. m. Geo metrica discontinua. 105. f
Proportione del Ditono, & del Semiditono de gli Antichi. 3. m. Di graue, & di acuto tra i Corpi so nori. 11. m. Quando è capace di un termine mezano, quello che debba hauere. 43. m. 119. p. Qual sia maggiore di due contenute fra tre termini. 72. f. Di suono à suono è tanta, quanta quella di Spacio à spazio. 135. f
Proportione de gli Interualli del Tetrachordo Diatonico diatono. 3. m. Quando siano fuori delle loro Radici. 25. f. Et Numeri sono le imagini de i Suoni, & delle Consonanze. 41. p. Dello Schisma, & del Diaschisma sono irrationali. 118. m. Incognite, & irrationali quali siano. 118. m. Che superanno l'intera metà del Tuono quali siano. 155. f. 157. m. Delle parti fatte vn Spacio diuiso, quali siano maggiori, ò minori. 142. m. Delle consonanze come si possano descriuere con numeri. 178. f. Della diapente della diatessaron, del Tuono, & quella del Semituono maggiore sono sordi, & irrationali nella Partecipatione. 200. f. 263. f.
Propositioni di due sorti. 16. m
Proposta, ò dignità di due sorti. 16. f. O che ne con duce alla Speculatione, oueramente che ne fà operare. 17. m. Prima del lib. 1. di Euclide minu tamente dimostrata. 18. m. Del Lib. 6. di Euclide vsata per ritrouar la mezana chorda proportio nale tra due date. 148. m
Προςλαμβανόμενος chorda grauissima in ogni ordine de Suoni. 195. f. Perche fù aggiunta da gli Anti chi. 104. f
Πρότασις quello che sia; quello che contiene; & qua le è il suo officio. 17.
Proua delle operationi mathematiche quello che sia. 45. p
Punta nella Geometria è principio della Quantità continua. 20. m

Q

QVADRATO diuiso da linee che fanno le forme di tutte le Consonanze. 108. m
Quadruplo interuallo come si faccia. 60. m
Quantità rationale, & irrationale quello che sia. 258. m. Sorda, & irrationale. 263. f
Quantitadi collocate in Arithmetica progressione. 26. p. In geometrica proportionalità. 26. f. In Harmonica mediocrità. 27. p. In Proportionali tà Contr'harmonica. 27. f
Quarta specie della Diapason non si può diuidere Arithmeticamente. 273. f
Quattro Elementi quali siano. 30. f. Sesquiottaui superano il Sesquialtero interuallo. 73. p
Quello che misura una cosa; misura anche quello, che dalla misurata è misurato. 30. p. Che misura il cauato, & il restante di vna quantità; misura anco il Tutto. 31. f
Quesito quello che sia. 17. f
Quindeci chorde perche non si trappassino nelle Dimostrationi, & ne gli ordini de Suoni. 203. m

R

RADDOPPIARE vno Interuallo quello che sia. 39. p
Radici, ò minimi termini delle proportioni quali siano. 25. m
Ragione de Numeri è la forma delle Consonanze. 11. m. Noua, la qual proua da Diatessaron essere consonanza, & perfetta. 84. m. Addutta da Tolo meo à prouare, che la Diapason diatessaron sia Consonanza. 129. p. De i Pitagorici, la qual proua, che la Diapason diatessaron non è consonanza. 129. m. Del Temperamento de gl'istrumenti inuentione dell'Autore. 200. f
Ragione de gli Interualli fatti da gli Haxachordi Synemennon, & Diezeugmenon posti insieme. 210. m
Regola harmonica quello che sia. 134. f. Da alcuni è tenuto vna Listella fatta di legno. 134. f. 198. m
Regola di hauere, ò ritrouare li Semituoni, non è diuidendo la differenza del Tuono in due parti equali. 161. f
Relatione, è cosa debolissima. 248. m
Relationi, che cadono tra le Parti del Senario nu mero, & il primo numero Cubo, sono Ventiuna. 79. f
Replicare alle fiate alcune cose non è senza frut to. 191. f Ripage xiii Tauola.
Rimesso rispetto al più teso da il suono più graue. 136. f

S

SAPERE perche si piglia. 12. m. Di due sorti. 12. m. Per se. 12. m. Per accidente. 12. m. Per se è vero sapere. 13. m. Per accidente non è vero sapere. 12. f. Per se di due sorti. 12. f. Semplicemente. 12. f. Ad vn certo modo. 12. f. Per se semplicemente quello che sia. 12. f. Che si acqui sta col mezo de i segni probabili. 13. f. Con la Scienza sono correlatiui. 13. f. Per negatione quello che sia. 214. f
Σχίσμα quello che sia. che si voglia dire. 93. m
Scienza è posta nello Intelletto 9. m. Col Sapere so no correlatiui. 13. f
Scienze acquistar non si possono se non col mezo della Dimostratione. 9. m. Diuerse nascano da i Generi diuersi delle cose, che si possono sapere. 9. m. 15. f
Sei cose si trouano in ogni Theorema, ò Problema perfetto. 17. m. Interualli Sesquiottaui sopr'auanzano il Duplo. 74. f Specie sole delle Diapason si possono diuidere harmonicamente. 272. f
Et Sei Arithmeticamente. 274. m
Semiditono quello che sia. 86. p. Et Ditono posti nel graue della Cantilena, perche siano poco grati. 5. f. Detto Sesquituono, & Trihemituono, ò Trisemituono. 86. p. Serue al genere Chromatico. 86. p. E la minor consonanza de tutte l'altre. 86. p. Quanti Tuoni, & Semituoni contenga. 120. p. Et Ditono come nascano. 97. f. Come si colloca alla sua proportione. 173. p. Quanto sia minore di due Tuoni Sesquiottaui. 173. f. Et Ditono sono contenuti nel genere Diatonico. 193. p. Posto da Tolomeo nel Chromatico mol le. 216. m
Semituono maggiore quello che sia. 90. m. Detto Apotome. 90. m. Adoperato nel Diatonico gene re in ogni Tetrachordo. 90. m. E maggior di cin que, & minor di sei Comma. 115. f. Qual propor tione habbia. 111. m. Come si soggiunga al Tuono maggiore. 158. f. Come si proponga al Tuono maggiore, & al minore. 159. m. Come si accom modi tra il Tuono maggiore, & minore. 159. f. Consiste in maggior proportione della Sesquidecimasesta. 160. m. Consiste in maggior propor tione della Sesquidecimasettima. 161. m E collocato tra la Sesquiquartadecima, & la Sesquidecimasesta proportione. 163. m. E minore dell'Apotome. 163. f. Elemento del Diatonico, & Chro matico genere. 223. p. Quanto si accresca nel Temperamento de gl'Istrumenti. 244. f
Semituono minore, perche sia cosi detto. 90. f. E il Diesis maggiore Enharmonico. 90. f. Detto da i Greci Limma. 90. f. E detto Diesis da Filolao. 91. f. 170. m. Perche non sia detto Minimo. 90. f. Da che proportione sia contenuto. 112. p. E mag giore di tre, & minore di quattro Comma. 117. m. Come si accommodi alla sua proportione. 168. f Come si soggiunga al maggiore. 169. f. E minore interuallo del Lemma. 170. m
Semituoni di quattro maniere. 91. m
Sentenza di Boetio da mandare à memoria. 133. m Di Hermete, ò Mercurio Trismegisto. 133. m. Di Hesiodo. 188. f
Sentenze di Giustiniano Imperatore intorno il ri trouare, & il facilitare le cose. 201. p. m
Sesqui quello che uoglia dire. 88. f
Sesquinono interuallo di che interualli sia la diffe renza. 63. f
Sesquiottantesimo interuallo, che differenza ello sia. 68. p
Sesquiottano interuallo di quali interualli sia la dif ferenza. 62. f
Sesquiquarto interuallo da che interuallo sia rein tegrato. 59. m
Sesquiquintodecimo interuallo di che sia la differenza. 64. f
Sesquitripartiente. 125.Interuallo qual differenza sia. 69. p
Sesquiuentesimoquarto interuallo qual differenza sia. 65. f
Sesta per sua natura non è molto consonante.85. m. E men buona della Terza. 85. m
Settima specie della Diapason non si può diuidere harmonicamente. 271. f
Soauemente venire all'Vdito, & mutare il Senso è il fine & proprio della Consonanza. 11. m
Simico Istrumento di 35.chorde. 4. p
Σίστημα quello che sia. 7. p
Soggetto della Musica qual sia. 10. p
Spacio qual si chiama. 142. f
Spacij ristretti & minori, cosi maggiori, & più larghi si fanno per la moltiplicatione de gli interualli di vna istessa proportione. 143. m
Specie quello che sia. 245. f. Della diapasopn sono sette. 245. f. Della Diapente sono quattro. 245. f. 249. m. Della Diatessaron sono tre. 256. p. 245. f 249. f
Studio dell'Autore intorno le cose della Musica. 133. m
Subdupla proportione s'assimiglia alla Dupla ne i termini. 28. p
Suono quello che sia. 20. m. E principio della Con sonanza 20. m Quando si dice esser Voce. 20. f. Da Greci detto Φθόγγος. 20. m. Considerato secondo diuerse estentioni cade sotto la qualità di Graue, & di Acuto. 21. p. Si vede quasi cadere dal Corpo sonoro ad un certo modo. 21. f. Continuo. 21. f. Considerato secondo la duratione. 21. m. Sottoposto al Genere di cose, che l'vna all'altra succedono. 22. f. Quando si estende uerso il graue,ò verso l'acuto, fa l'Interuallo. 23. p. Più graue, ò più acuto da che uenga. 136. f. Di una chorda mezana di un Spacio diuiso in due parti equali, come sopr'auanza gli estremi. 145. p Suoni,page xiv Tauola.
Suoni, ò Voci materia della Consonanza. 10. m. Adunati in un luogo istesso si chiamano Vnisoni. 21. p. Diuersi da che nascono. 21. p. Considerati dal Musico quanto alla loro duratione. 21. f Che fanno l'interuallo debbono esser differenti. 21. p. Della Diapason niente differenti in uirtù & possanza da un solo Suono. 129. m. De gli Istrumenti arteficiali sono stabili. 200. m
Supplementi Musicali opera dell'Autore. 287. m
Suppositioni quali siano. 16. f
Συμπέρασμα quello che sia, & il suo officio. 17. f

T

TANGIBILE non è sempre freddo, ò caldo: oueramente duro, ò tenero. 78. m
Temperamento de gli Istrumenti si può fare in tre modi. 200. f. Quando si fà, che utilità apporti. 241. p
Tempio di S. Marco famoso, bello & ricco. 1. m Di Diana effesina abbruggiato da Herostrato. 216. p
Tempo non è senza quantità. 22. p Considerato in torno al Suono. 22. p. Non ha parte alcuna indiuisibile, se non lo Istante. 22. m
Termine minore al quale si possa assegnar quante proportioni Superparticolari si uoglia, come si possa trouare. 60. f. Maggiore etiandio in qual maniera trouar si possa. 61. f
Termini di un raddoppiato molteplice sono l'uno all'altro proportionali. 40. f Maggiori di uno interuallo à quanti corrispondino de i minori insieme adunati. 47. f Maggiori di uno interuallo, come siano equali à i minori. 48. f. Incogniti qua li siano. 50. f. Che usa il Musico sono le parti del corpo sonoro. 55. m. Che adopera l'Arithmetico. 55. m
Ternario non si può diuidere in due numeri equali. 99. m. Numero perfetto; 153. f
Tetrachordo Diatonico diatono fù sopra ogn'altro riceuuto da i Pitagorici. 3. m. Di donde sia detto. 192. p. Quello che sia. 196. p. Hypaton nel mono chordo diatonico. 204. p. nel Chromatico. 214. m. & nello Enharmonico. 224. p. Meson nel diatonico. 205. m. nel Chromatico. 217. f. & nello Enharmonico. 224. f. Diezeugmenon nel diatonico. 206. m. nel Chrommatico. 218. m. & nello Enharmonico. 225. m. Hyperboleon nel diatonico. 207. f. nel Chromatico. 218. m. & nel lo Enharmonico 225. f Synemennon nel diatonico. 209. p. nel Chromatico. 219. f & nello Enharmonico. 225. f. Congiunto. 197. p. Separato. 197. m. Symennon è accidentale. 208. f
Tetrachordi sono cinque. 195. f. 196. f
Θεώρημα quello che sia, 17. m. Perche sia cosi detto. 17. m. Contiene in se Sei cose. 17. m
Θεωριθικὴ quello che sia: & il suo fine. 22. f
Timotheo musico à che essortaua Harmonide suo discepolo. 239. m. Inuentore del Genere Chromatico fù bandito da i Lacedemoni: & per che. 215. f
Tolomeo pose la forma del Tuono minore. 90. p. Tiene, che la Diapason diatessaron sia consonanza. 129. p. Nel Chromatico molle dimostrò la forma del nostro Semiditono. 216. m.
Τόνος quello che significa. 89. f.
Trasportatione de i Modi quanto sia utile à gli Organisti. 285. p.
Trattato di Patienza composto & dato in luce dall'Autore. 285. p
Tre cose accascano intorno al Suono 21. p. Interual li Sesquiottaui sopr'auanzano un Sesquiterzo: & sono minori di un Sesquialtero. 71. m. Tuoni maggiori: ò due maggiori & uno minore sopr' auanza la Diatessaron. 121. m. Tuoni maggiori sono minori di una Diapente; & quattro sono maggiori. 124. m
Triplo interuallo come nasce. 59. f
Trite chorda de i due primi generi, è la Paranete dell'Enharmonico. 229. f
Tritono quello che sia. 121. m
Tuono maggiore quello che sia 89. m. 244. m. Altramente definito da gli Antichi. 106. m. Et lo minore come nascano. 99. p. E Sesquiottauo. 100. p. E maggiore di noue, & minore de dieci Comma. 14. p. Come si accomodi alla sua pro portione. 139. m. è detto maggiore per eccellen za. 138. m. Di quanto resta sciemo nella partecipatione. 144. m
Tuono minore quello che sia. 89. f. E Sesquinono. 100. p. Di che si faccia. 112. f. E maggiore di otto & minore di noue Comma. 115. f. Come accomodar si possa alla sua proportione. 138. m. Di quanto si accresca nella participatione. 244. m
Tuono Sesuiottauo è maggior di Noue & minore di Dieci comma. 114. p
Tuono equali di proportione nella partecipatione. 242. m. 244. f 246. m
Tuono, quello che significa 89. f. Principio della consonanza, secondo gli Antichi. 89. f. Misura d'ogni Consonanza musicale, secondo gli Antichi. 104. f. Come si accommoda alla sua proportione. 137. m. 138. f. Come si possa soggiungere ad un'altro, sopra una chorda. 139. p. Come si possa preporre. 140. p. Diuiso in due parti nelle estremità, non è diuiso equalmente. 143. f Non si può diuidere in due parti equali con nu meri rationali. 145. f. Come si possa diuidere in due parti equali. 148. p. Come si possa diuidere in più equali. 150. m
Tutto è maggiore, che non è la sua parte. 35. f. Diuisibile appresso il Musico quello che sia. 83. m. Diuisibile è prima delle sue parti. 83. m. Rispetto alla parte, rende il suouo piu graue. 136. f Vaghezzapage xv Tauola.

V

VAGHEZZA & leggiadria della Musica è po sta nel Ditono, & nel Semiditono. 3. m
Vdibile non è sempre consonante, ò dissonante sem plicemente. 78. f
Venetiani con solennissima pompa riceuono Alfonso Duca di Ferrara. 1. m. Religiosi, & à Dio deuoti. 1. m
Versi che insegnano à ritrouar il mezano termine dell'Harmonica, & Contr'harmonica proportio nalità. 57. f. Di Horatio contra gli Inuidi, & maligni. 77. m
Vicenzo Colombi fabricatore di Organi 198. m
Visibile non sempre Nero, ò Bianco. 78. m
Viua voce quanta forza ella habbia 191. f
Vltimo grado della poca grata adunanza delle con sonanze. 5. m
Vniformi sono sotto una sola qualità, alla similtudine della linea retta. 22. p
Vnità del Numero numerante non si può diuidere. 28. f. 49. f. Del numero numerato si può diuide re. 28. f. 50. p. E parte di qual si uoglia Numero. 30. f. Moltiplicata in qual si uoglia numero, pro duce l'istesso. 31. p
Voce continua non fa consonanza, nè harmonia. 21. f. Non è considerata dal Musico. 21. f
Voci, ò Suoni materia della Consonanza. 10. m. Con siderati dal Musico quanto alla loro duratione. 21. m. Da ogni parte piegar si possono 200. p.234. m
Vtilità che apporta il saper temperare un'Istrumen to, & la sua ragione. 241. p
IL FINE DELLA TAVOLA.
page xvi

LETTORI STVDIOSI.

CON la uostra solita humanità contentareteui di sottoscriuere al Priuilegio de Stampatori, che hanno di non stampar mai Libro alcuno senza errori: col riportare queste poche correttioni, che sono di qualche importanza, à i loro luoghi.
Facciata. Linea. leggi.
a. 48. senza aspettar altra.
50. che conoscessero.
12. 16. che cosi fusse,
23. 32. hauete dichiarato
27. nel principio della seconda li nea dell'essempio manca la lettera f.
12. Sesquiquarta; & quella che si troua tra ac. è Dupla, come quella che si troua tra fg.
30. 32. bene, dissi; onde.
38. 6. che non ui sono.
39. 1. PROPOSTA III.
48. nell'ordine de i Molteplici. superparticolari. d.10.
93. 2. Messer Claudio; lasciamo
Facciata. Linea.
105. 33. compreso da i Quattro primi che si uedono, che anco gli al tri sono Quattro,
213. 11. Semituono.
135. di sopra. TERZO.
137. di sopra. TERZO.
137. 28. per la terza.
139. di sopra. TERZO.
144. 4. & cb. è quello
146. 14. cifera √ la
149. 12. & eg faranno.
214. 29. studiano
246. 20. ch'io non faccia.
254. 1. (per tornar al proposito)
44. gli Istrumenti Naturali.
183. 46. PROPOSTA L.
page 1

DIMOSTRATIONI HARMONICHE DEL REV. M. GIOSEFFO ZARLINO DA CHIOGGIA, Maestro di Cappella della Serenissima Signoria DI VENETIA: Diuise in Quattro Ragionamenti.

RAGIONAMENTO PRIMO.

GLI ANNI di nostra Salute erano peruenuti al numero di MDLXII. &era il Mese d'Aprile quando l'Illustrissimo Sig. Donno Alfonso d' Este Duca di Ferrara, per cagione di uedere una bella, nobile & ricca Città; non solamente gloria, splendore & riputatione della bella Ita lia; ma anco di tutto 'l Christianesimo; & forse per altri suoi negotij d'importanza, uenne à Vinegia; onde da i nostri Sig. Illustrissimi Ve netiani con solennissima pompa & regali apparati; com'è lor costume di riceuere tutte quelle Persone, che sono d'alto affare; fu riceuuto. Hauea questo Sig. seco menato i miglior Musici, ch'appresso di lui si ritrouauano; tra i quali (lasciando gli altri, per non esser lungo) era Francesco Viola suo Maestro di Cappella & mio singolare amico. Questi uenuto un giorno à ritrouarmi alla mia stanza, & presomi in sua compagnia, s'auiassimo uerso la bellissima piazza di S. Marco. La onde uedendo aperto il suo famoso & ricco Tempio, che de belli & finissimi marmi, con una gran copia di colonne, è fabricato; percioche già era l'hora del Vespero, entrammo in esso; & pascendo la vista per un buon pezzo di tempo, con belle pitture, che iui si ritrouano da buoni & ec cellenti maestri di Mosaico antico & moderno lauorate; insieme andauamo ragionando della lor bellezza & della ricchezza del Tempio, & della spesa grande, ch'in esso faceua no i nominati Signori Illustrissimi, come quelli, che sono stati sempre religiosi, & à Dio deuoti; per adornarlo di quelle cose, che uedono esser necessarie & conueneuoli, & portino bellezza, decoro & maestà al culto Diuino. Hora mentre che noi con sommo piacere & nostro gran gusto andauamo discorrendo molte cose; essendo già finito il Vespero; eccoti comparere il gentilissimo M. Claudio Merulo da Correggio, soauissimo Organista; il quale uedutoci, s'accostò à noi; & conosciuto il Viola; dopo gli abbracciamenti fattisi l'un con l'altro, ci ponemmo à sedere. Il perche essendosi tra noi de molte cose degne & honorate, come 'l luogo richiedeua, per un buon pezzo ragionato, fatto dissegno di par tire; prendemmo tutti d'accordo il camino uerso la stanza di M. Adriano Vuillaert, allora Maestro di Cappella di questa Serenissima Signoria; il quale poco lontano dimoraua, per conto di uisitarlo; & essendo molestato dalle podagre, non si partiua di casa; à fine che la presenza de i suoi amici amoreuoli & carissimi, gli apportasse qualche solleuamento. Arriuati adunque che noi fussemo, & ritrouato, che 'l sudetto Sig. poco inanzi era stato à uederlo con una bella, degna & honorata copia de Signori & Gentil'huomini; dopo molti ragionamenti hauuti da una parte & l'altra; i quali comDimostr. Harm. A memo-page 2 2 Ragionamento memorauano le cortesie, che questo Sig. eccellentissimo molte uolte usato gl'hauea; & quanto care gli erano le sue compositioni; & come per lui erano uenute à luce una grandissima parte di quelle cose, ch'egli hauea gia composto; le quali stauano quasi sepolte. Et hauendo insieme con buon proposito discorso molte cose della Musica, & della nostra amicitia; à caso arriuò un degno & honorato Gentil'huomo forastiero amico di M. Adriano, uenuto simigliantemente per cagione di uisitarlo. Questi grandemente si dilettaua della Musica; ma sopra ogn'altra cosa desideraua udir ragionar delle cose dell'Arte, & della Scienza; per cioche per molt'anni inanzi studiato hauea nella Filosofia, & hauea letto molti Autori Gre ci & Latini, i quali di Musica trattauano. Di questo il nome era Desiderio; & era di natio ne Lombardo, da Pauia; ilquale dopo un lungo ragionamento de uarie cose insieme fatto; hauendo da quel, che detto si hauea compreso, chi erauamo, il nome di ciaschedun de noi, il cognome, la patria, & la particolare professione; cosi ancora noi hauendolo dal suo par lare à pieno conosciuto, & informatoci delle sue qualità & conditioni; uoltatosi questo Gentil'huomo uerso di me; in cotal guisa incominciò à dire. Veramente credo M. Gioseffo, al desiderio ch'io tengo di potermi risoluere d'alcuni dubij, che mi uanno per la mente già molt'anni sono, dopo ch'io uidi & studiai insieme con molt'altri libri di Musica le uo stre Istitutioni harmoniche; che non mi potea abbatter meglio di quello, c'hoggi mi son abbattuto. Percioche ricordandomi molte cose, mi par uedere, che tutto quello,ch'io leggo in molti Autori, & che di continuo odo da Musici ricordare, mi generi nell'animo tanta confusione,ch'io per me non mi sò risoluer'in molte cose, di quel ch'io habbia da tenere & credere. Et per diruene una, che mi fà molto dubitare; ritrouo, che Pitagora negando di potersi passare oltra la Quadrupla; come nel Cap. 2. delle nominate Istitutioni nella Se conda parte hauete detto; non acconsentiua, che quelli Interualli, i quali hanno la forma loro da i Numeri, che sono maggiori del Quaternario, fussero consonanti. La quale opinione fù tenuta da molti; imperoche Euclide Prencipe de Mathematici nel suo Introdot torio di Musica chiaramente manifesta cotali Interualli dicendo: Διάφωνα δὲ τὰ ἐλάττονα τοῦ Διατεσσάπων, Δίεσις, ἡμιτόνιον, τόνος, Τριημιτονιον, Δίτονον, Lequali parole uogliono dire; Ma le Dissone sono quelle, che sono minori della Diatessaron; il Diesis, lo Semituono, il Tuono, il Trihemituono, il Ditono; hauendo egli prima detto; Σύμφωνα μὴν οὖν ἐστὶν Διατεσσάρων, Διαπέντε, Διαπασῶν, καὶ τὰ ὅμοιοα; cioè, Adunque le Consonanze sono la Diatessaron la Diapente, la Diapason, & altre simili. Et Aristosseno antico Musico nel Lib. 2. de gli Elementi Musicali dice; ἔστω δὴ τῶν συμφώνων ὀκτὼ μέγεθα. ἐλαχιστον μην τὸ διὰ τεσσάρων. συμβέβη κε δὲ τοῦτο τῇ αὑτοῦ φύσει ἐλάχιστον εἶναι. σημεῖον δὲ τὸ μελοδεῖν μὴν ἡμᾶς πολλὰ τοῦ διατεσσάρων ἐλάτω, πάντα μέντοι διάφωνα; cioè, Siano hormai Otto le magnitudine de i consonanti, de i quali sia minima la Diatessaron: ma ciò auien'ancora naturalmente esser minimo; del che n'è segno, che noi cantiamo molti Interualli, che sono minori della Diatessaron; che sono tutti dissoni. Tolomeo etiandio, chiama la Diatessaron col nome d'ἐλαχίστης, καὶ πρώτης συμφωνίας; cioè, Minima & prima Consonanza. La ondechiaramente si uede, che cotal cosa appres so de costoro era tenuta per uera. Et perche uedo in fatto, & intendo da uoi Musici esser'il contrario; però non sò in qual maniera possa credere; che se ben Pitagora & gli altri, che lo seguirono, negaua cotal cosa, la negasse semplicemente; come le parole à noi suonano. Ne mi par, che questo habbia del uerisimile; essendoche Pitagora & li Pitagorici sono sta ti huomini saputi, di gran giudicio, & d'eleuato ingegno; & hanno hauuto quel buon sentimento; come si può credere, che habbiamo noi; col quale si poteuano certificar, se la cosa era in fatto, come la credeuano & teneuano; delche forte mi marauiglio. Però desidero grandemente intender da uoi, donde cotal cosa nascer potesse; la quale appresso di me è tanto difficile; ch'io non posso far, che ricordandomi non la chiami errore. Soggiunse M. Adriano à questo, senz'aspettar'altra risposta: Io ancora già molto tempo è, ch'io desidero d'in tender questa cosa; poscia ch'io tengo fermamente; come diceua il S. Desiderio, che gli Anti chi non fussero priui ne del sentimento dell'Vdito, neanco di giudicio; ma che conoscessero cosi bene il buono & il tristo, come conosciamo noi: ma che dite uoi di questo M. Francesco?page 3 Primo. 3 cesco? credete anco uoi, che questo sia uero? Io l'hò per fermo Messere, rifpose M. France sco, che gli Antichi hauessero tanta cognitione del buono & del tristo, quanta ne habbiamo noi. Et forse, che come quelli, che dauano grandemente opera alle speculationi, più di quel, che facciamo noi, hauessero 'l Senso più purgato; ma per qual cagione ciò facessero, haurò anch'io molto grato il saperlo da M. Gioseffo. Allora tacendo ogn'uno, dissi: Sig. Desiderio, ancora che questa cosa sia molto difficile, & alle spalle mie carico troppo graue, & cosa ueramente da ricusare; tuttauia desiderando di satisfare in qualche parte al uostro desiderio; poi che questa è la prima uolta, che s'habbiamo ueduto, & lo primo appiacere anco, che m'hauete richiesto; non resterò di dirui tutto quello, ch'io sento sopra questa dimanda; tanto più ch'io ui uedo tutti d'un'istesso uolere, & accesi d'un buon desiderio; ond'io per satisfarui, non porrò tempo alcuno di mezo. Pregate adunque Dio, che mi illumi ni la mente à dir cose, che ui siano di satisfattione. Cosi faremo, rispose M. Adriano; & ui preghiamo tutti ad incominciare. Auertite adunque, soggiunsi; c'hauendo Pitagora hauu to opinione, che tutti quelli Interualli, che sono consonanti, hauessero le forme loro contenute dalle Proportioni del genere Molteplice, ò Superparticolare solamente; hebbe per fermo, che tutti quelli, che le hauessero contenute sott'altri generi, fussero al tutto dissonanti. La onde, uedendo che i Tetrachordi del genere Diatonico diatono, ilquale più d'ogn'altro da lui, & da i suoi seguaci era riceuuto, procedeuano dal graue all'acuto per due Tuoni di proportione Sesquiottaua, & per un Semituono contenuto dalla proportione Super 13. partiente 243. & che i due Tuoni, i quali formauano il Ditono, erano contenuti ne i loro estremi dalla proportione Super 17. partiente. 64. & che un Tuono col nominato Semituono, dal quale si poteua formare un Semiditono, erano contenuti dalla proportione Super. 5. partiente. 27. ritrouandosi queste due proportioni tra quelle del genere Superpartiente, veniua à concludere; per la prima ragione, che ui posso dire; che quelli Interualli, ch'erano contenuti tra queste forme, ne i loro estremi fussero; come ueramente sono; dissonanti. Dalla qual Regola non escludeua i due Hexachordi maggio re & minore; essendo c'hanno in tal genere le forme loro. Et questo è troppo uero; percioche cotali Interualli ridotti in atto, si conoscono esser poco grati all'Vdito. Onde tale opinione non è da esser giudicata falsa, quanto à questa ragione; & non dee parer cosa strana. Quel che uoi dite; rispose M. Adriano; è uerissimo; ma mi par gran cosa da dire; essendo (come chiaramente da ogn'uno di giudicio si comprende) che tutta la uaghezza & la leggiadria della Musica, & dirò anco ogni sua diuersità, è posta nelle due Consonanze minori della Diatessaron; cioè, nel Ditono & nel Semiditono, & anco nei due Hexachor di maggiore & minore; che gli Antichi non hauessero mai udito tra Sette spacij contenuti nella Diapason; & non hauessero conosciuti i nominati Interualli essere consonanti. E' ben uero, che 'l non hauerli per consonanti, crederò, che fusse fatto non senza qualche ragione. Messere, risposi; à questo, che uoi hauete detto, risponderò con un'altra ragione. Bisogna che uoi consideriate, che se gli Antichi hanno uoluto udire gli Interualli nominati, facea di mestieri, che eglino li hauessero uditi in uno de due modi; prima sotto le Forme contenu te tra i Sette nominati spacij, ouer'Interualli della Diapason; dopoi sotto altre forme uariate da quelle. Quanto d'hauerli udito nel primo modo; credetemi, che li udirono dissonanti; percioche le dette forme sono sottoposte al genere Superpartiente; ma in quanto l'hauerli udito sott'altre forme; sia poi nelle uoci, ò ne i suoni; questo è ben possibile d' hauerli udito consonanti. Auertite però, che in due modi li poteuano udire nella seconda maniera; prima ne i proprij, ueri, & naturali luoghi; dopoi fuori di essi. Se li uoleuano udire ne i proprij & ueri luoghi sopra i loro Istrumenti, quest'era impossibile; percioche cotali Istrumenti non erano sufficienti; essendo che (come hò detto nel cap.2. della Seconda parte dell'Istitutioni) gli Antichi non passarono mai la Quintadecima uoce, ò chorda; ne mai passarono (secondo 'l precetto di Pitagora) la proportione Quadrupla; se ben si legge appresso di Giulio Polluce di due Istrumenti, l'uno de i quali chiama Epi gonio, dal nome dell'Inuentore chiamato Epigono ambraciota, che hauea 40. chorde; & Dimostr. Harm. A 2 l'altropage 4 4 Ragionamento l'altro Simico, ilqual n'hauea 35. i quali Istrumenti credo, che fussero molto dopoi quella età nella quale fiorirono i primi & più illustri Musici & che di loro ne fusse fatto poco conto: percioche tra quelli, che trattano le cose della Musica, non se ne troua alcuna memoria; se non (come ho detto) appresso il Polluce, che uisse ne i tempi dell'Imperatore Comodo di no me; ma incommodo al mondo; alquale egli dedicò la sua opera, intorno gli Anni di Christo 190. Onde essendo cosi; necessariamente gli udiuano fuori de i loro luoghi, & ne i luoghi non proprij. Et se ne i luoghi non proprij le udirono, non poteuano pienamente satisfare al senso; ilperche sforzatamente le giudicarono dissonanti più tosto, che consonanti; per laqual cosa son di parere, ch'essi non per altro giudicassero gli Interualli, che sono minori della Diatessaron dissonanti, se non perche non hebbero cognitione, ò per dir meglio, non intesero i ueri, legittimi, proprij & naturali Luoghi delle Consonanze; cioè, doue ciascheduna si douea naturalmente collocare; essendoche (come tutti uoi sapete) se bene il Ditono è consonanza, tuttauia posto fuori del suo luogo naturale, & collocato nel luogo d'un'altra consonanza, più tosto rende dissonanza, che buon concento; ilche dir si può anco della Diatessaron; percioche posta per base della Diapente tra la Diapason; non dà quella satisfattione all'Vdito, che fà quando si pone essa Diapente per base della Diatessaron nella Diapason. Questo è purtroppo uero, rispose il Merulo, & l'esperienza, ch'io fò ogni giorno nel sonar l'Organo lo dimostra; perche quando il Ditono si ode nelle uoci, ò ne i suoni collocato nel graue, allora parmi di udire un non so chè di tristo, che nasce nella compositione da tale Interuallo, che sommamente mi offende il sentimento. Et questo ueramente non si potrà da alcun di sano giudicio negare. Ma se cotale Interuallo si uà riportando uerso l'acuto, quanto più si trasporta, tanto più rende maggior dilettatione al senso; di maniera che se quel Ditono, ilquale è posto nella parte graue d'alcuna cantilena, offende alquanto l'Vdi to; quel ch'è posto tra 'l graue & l'acuto, non solo non offende, ma anco diletta. Quando poi è posto nella parte più acuta, dà maggior diletto ancora, di quello, che non danno i due nominati, posti nella maniera già detta. Disse allora il S. Desiderio; Parmi che questa cosa sia di non picciola importanza da sapere; Ma poniamo che 'l Ditono, il quale hauete nominato, posto in luogo graue in cotal maniera faccia tristo effetto: farà forse quell'istes so il Semiditono? Non solamente; rispose il Merulo, lo farà tristo; ma tristissimo, di tal sorte, che quasi non si potrà udire; & questo è uero, credetelo a me, che spesso l'hò prouato nell'Organo; come ho detto; perche se quando si uien'à toccar nella parte graue il Dito no, s'ode tristissimo effetto; se per caso si tocca il Semiditono, fà una ruina tanto grande, che à pena si può udire. Ma quando questi Interualli sono toccati nel mezo decotali Istru menti ne i loro gradi, fanno udire suono grato & soaue. Et se si toccano ancora più uerso l'acuto, fanno migliori effetti; di maniera che quel, c'hò detto è uerissimo. A fè, rispose il S. Desiderio, che mi piace questa cosa, & credo che pochi siano quelli, che cotali cose con siderino. Pochi sono ueramente Sig. mio; rispose allora M. Francesco; & tanto pochi, che io non ue ne saprei ritrouar molti. Voglio dire anche più oltra (soggiunsi io) che non solo quest'Interualli, quando sono posti nel graue, possono offender l'Vdito; ma etiandio quando sono posti nell'acuto; percioche quando 'l Ditono tiene il luogo del Semiditono, ò per il contrario; se pure non discordano, almeno danno manco dilettatione. Et sappiate, che la maggior parte de tutte quelle compositioni Musicali, che poco dilettano; tra gli altri difetti, che hanno, questo è un de quelli. Veramente è cosi; disse Messer'Adriano; percioche hò posto mente, che in tutte quelle Canzoni, che mi dilettano, si troua 'l Ditono esser replicato tra le parti, sopra la parte del Basso; al contra rio in quelle, che poco mi piacciono, hò compreso, che 'l Basso sopra di sè molte fiate hà il Semiditono. Douete sapere Sig. (risposi io) com'io hò detto & replicato molte fiate nelle Istitutioni,1. Par. c. 13. & 3. par. c. 60. che le Consonanze nella Musica hanno i lor gradi, & naturalmente occupano quei luoghi, che tengono tra i Numeri harmonici le lor forme. Et quando tali Consonan ze sono poste al contrario; se non fanno tristo effetto; almeno lo fanno men buono,di quel che farebbono, se ne i lor proprij luoghi fussero collocate. Però, si come la Dupla, che è lapage 5 Primo. 5 la uera forma della Diapason, collocata ne i numeri tra 2 & 1. per darui un'essempio; tie ne il primo luogo tra essi, & tra le proportioni è la prima; essendo che inanzi de questi due termini 2 & 1. non si troua numero, che sia minore; cosi tra le Consonanze non se ne ritro ua alcun'altra, che per origine sia prima della Diapason; onde la Diapason tiene 'l primo luogo nel graue, & inanzi non si ritroua Consonanza alcuna, che sia maggior, ò minor di lei. Il perche hò detto molte fiate, che la Diapason è la Prima consonanza, dalla qual nascono tutte l'altre, siano poi di essa maggiori, ò minori. Soggiungo anco di nuouo, che ella è non solo Principio; ma Elemento de tutte l'altre. La onde si come la sua forma semplice, contenuta ne' suoi termini radicali 2 & 1. non riceue altro numero, ò termine mezano, che la diuida in due parti; cosi essa non admette nel primo luogo & grauissimo dell'ordine delle Consonanze alcuna chorda mezana, ne anco nella parte grauissima di qual si uoglia Istrumento, che la partisca in due Interualli; onde si possa udir'alcun'effetto, che non sia men grato di quello, che si ode, quando si fà udir semplicemente. Nel secondo luogo si ritroua la Diapente, la cui forma è 3 & 2. che tra l'ordine naturale de' numeri tiene pure il secondo; il perche uà posta senza mezo alcuno dopo la Diapason. Et si come tra 3 & 2. non ui può capire alcun mezano numero; cosi tra l'estreme chorde della Diapente non può ca scar'alcuna chorda mezana, che in qualche parte non offenda il sentimento. Dopo questa segue nel terzo luogo la Diatessaron tra 4 & 3. nell'ordine naturale de numeri, la quale non riceue alcun mezo, che operi buono effetto; onde essendo poste tutte queste Consonanze l'una dopo l'altra (come altroue ho dettoInst. lib. 1. cap. 15.) sopra d'un'Istrumento per ordine, sen za porui in mezo alcun'altra chorda, gratissimo suono & soaue concento udir fanno. Ma se per auentura nel graue la Diapason uenisse ad esser tramezata, di modo che nella parte graue s'udisse la Diapente, & nell'acuta la Diatessaron, subito si udirebbe mutar forma il concento, & un non so chè di non cosi grato, com'era 'l primo, all'Vdito. Et se ancora tra questa Diapente si interponesse una chorda, la quale uenisse à diuiderla in due parti; cioè, in un Ditono & in un Semiditono, & questo fusse collocato nella parte acuta, & quello nella parte graue; allora s'udirebbe cosa, che all'Vdito apportarebbe gran dispiacere. Questo, però non è l'ultimo grado della poco grata adunanza delle Consonanze; percioche ancora si troua di peggio; & ciò intrauiene quando 'l Semiditono uiene à tenere il luogo del Ditono, & questo il luogo del Semiditono, & sono posti tra la Diapente al contrario di quello, ch'erano prima; cioè, che 'l Ditono tenesse il luogo acuto, & lo Semiditono il graue; perche allora si udirebbe quella ruina estrema, che possono far le Consonanze adunate insieme; essendoche questo ordine allora sarebbe posto alla riuersa; cioè, che 'l Semi ditono occuparebbe il primo luogo nel graue, il Ditono il secondo, la Diatessaron il terzo, il quarto la Diapente, & la Diapason tenerebbe nell'acuto il sesto & ultimo luogo. Et credo, che tutti quelli, c'hanno giudicio, & hanno prattica de gli Organi, possono questo molto ben sapere; percioche, quando cotali Istrumenti sono sonati à pieno, maggiormen te di quel che non fanno gli altri Istrumenti, che hanno poco spirito; scuoprono tale conquassamento. Si che S. Desiderio; mi par che hora si possa comprendere, in che consista, & quel che sia la già addimandata à me da uoi differenza; laquale à gli huomini d'ingegno eleuato, non è difficile d'apprendere; ma si bene à quelli, che sono di poca tenuta; tra i quali se ne trouano al presente de quelli, che questa cosa non capiscono, come se fusse co sa della quale non si potesse hauer esperientia alcuna; Onde non la intendendo, la biasimano. Hauend'io detto questo; riuoltatosi à me disse, il S. Desiderio; Ditemi ancora que sto; per uostra fè; perche maggiormente tanta ruina fanno questi due Interualli, ch'ultimamente hauete nominato, posti nel graue, che non fanno quando sono situati nell'acuto? Per due cagioni, risposi; l'una, perche 'l luogo del Ditono & del Semiditono non è l'esser posto nel graue, ma nell'acuto; l'altra, perche posti al modo detto, non sono collocati per ordine, secondo i gradi & i luoghi loro, ma al contrario: essendo che quell'Interualli, che sono di maggior proportione naturalmente uogliono il luogo più graue, & queli di minore, il luogo più acuto. Ne mai ritrouarete nell'Ordine naturale delle Consonanze, che Dimostr. Harm. A 3 ilpage 6 6 Ragionamento il Ditono segua uerso l'acuto immediatamente 'l Semiditono; ma ritrouerete il contrario; che tenendo 'l Ditono il luogo più graue, il Semiditono immediatamente lo segue uerso l'acuto; di maniera che un tal disordine nasce da queste cagioni, quantunque l'uno & l'altro siano consonanti. Adunque; soggiunse il Sign. Desiderio; per quel ch'io ueggio il poco accordo, che tallora fanno le parti d'una compositione, procede non solamente dal mescolamento delle Dissonanze, ch'alle fiate ui si fà per dentro; ma dal porre in esse con male ordine le Consonanze. Cosi è in fatto, rispose M. Claudio. Non è stato adunque fuor di proposito, disse M. Adriano, che nelle mie compositioni habbia schiuato, più c' hò potuto, di por cotali Consonanze nella parte graue; al modo c'hauete dichiarato; per che pur troppo mi parea, che non stauano bene; quantunque io non ne sapesse render ragion'alcuna; ma udiua, che non mi contentauano à pieno il senso. Vi sono anche dell'altre osseruanze Messere (gli risposi) nelle uostre Compositioni; lequali hauete imparato co 'l mezo del senso; come quello, che è il principio del nostro sapere, che non sono di po ca importanza; delle quali, se ben non ne sapete dire la ragione, non mancano quelli, che la dicono per uoi. Ma per ritornar al nostro proposito, dico; che la cagione, che mosse i Pitagorici, & Pitagora prima à dir, che tutti gl'Interualli, i quali erano minori dell'Diatessaron fussero dissonanti, è questa; secondo 'l mio giudicio, & come ui hò dichiarato; perche non hebbero cognitione de i Gradi & proprij luoghi delle Consonanze, & in qual maniera si hauessero à disporre & collocare in ordine. Onde hauendo essi conosciuto, se pur lo conobbero, che quelle consonanze, che sono minori della Diatessaron; come sono il Ditono & lo Semiditono, à noi tanto grate; poste nella parte graue, generauano più tosto dissonanza, che consonanza; per non essere stato conosciuto da loro tale differenza; cioè, che poste ne i loro proprij & naturali luoghi, generano grato suono all'udito; & per il contrario ingrato, quando fuori de i loro naturali luoghi sono collocate; però giudicaro no, che per ogni modo fussero dissonanti. Adunque dal non conoscere i gradi, & l'ordine, & i proprij luoghi delle consonanze nacque, che gli Antichi negarono quelli Interualli, che sono minori della Diatessaron, esser consonanti. Non li bastaua almeno sapere; disse il S. Desiderio; che posti nell'acuto, & à i loro luoghi proprij erano & sono consonanti? Già ho detto (soggiunsi) che non considerarono questo, anzi mai lo sepero; essendo che se l'haues sero saputo, non è dubio, che l'haurebbono posto in uso, ouero ne haurebbono almen lascia to qualche memoria di loro; com'hanno fatto alcuni de i nostri Moderni, i quali se ben non hanno dimostrato, che 'l Ditono contenuto dalla proportione Sesquiquarta, & lo Semidito no contenuto dalla Sesquiquinta, fussero consonanti, hanno almeno con grande dubitatione affermato, che 'l Ditono composto di due Tuoni sesquiottaui, & il Semiditono, che contiene un Tuono sesquiottauo, & un Semitono minore, considerati dalla parte delle loro proportioni, erano dissonanti; appoggiati à questa opinione; che d'altre Proportioni, che dalle Molteplici & dalle Superparticolari in fuori, le Consonanze non potessero hauer le loro forme, & che considerate in atto ne i Suoni, ò nelle Voci, fussero consonanti;Vide cap. 12. lib. 4. supple. perciò che quando uoleuano, tali le udiuano. Ma s'ingannauano; perche quando le udiuano consonan ti; erano contenute da proportioni Superparticolari, & non da Superpartienti, come credeua no; & poteua nascer l'errore di costoro, dal non hauer'hauuto sufficienti principij; nelle lor dimostrationi, & poca isperienza delle cose della Musica; percioche non era basteuole il dir solamente, che le Consonanze erano quelle, le quali haueano la forma loro dal gene re Molteplice, ò Superparticolare, contenute tra le parti del numero Quaternario; ma bisognaua più tosto dire, che erano quelle, le quali haueano le forme loro da quelle proportioni, che si trouano in atto tra le parti del Senario. Adunque; disse M. Francesco; non pote uano costoro dimostrar le cose della Musica perfettamente, non hauendo essi cotali principij; essendo che da loro si hà la cognitione (come molte fiate hovdito dire) de tutte le cose, che si trattano in qual si uoglia scienza. Dite troppo il uero; risposi; onde bisogna sapere, ch'à uo ler dimostrar perfettamente le cose della Musica, bisogna à quei Principij, co 'l mezo de i quali altri hanno dimostrato, aggiungerui quelle, cose, che ne conducono al fine di quello, chepage 7 Primo. 7 che cerchiamo. Et ricordarsi quel c'hò detto nelle Istitutioni;1. Part. c. 13. et. 3. par. cap. 3. che le Consonanze, ò Interualli musicali non nascono primieramente; com'hanno tenuto alcuni; per l'aggiuntione de molti Interualli minori posti insieme; ma per la Diuisione della Diapason, la quale chiamai Madre & Fonte d'ogni altra consonanza & interuallo. Questo credo, ch'ogn'un de noi l'habbia in memoria; disse M. Adriano; ma parmi, che al tutto non sia mal detto, che la Diapason si componga de tre Tuoni maggiori, de due minori, & de due maggiori Semituoni; percioche si uede pur che contiene in se ueramente, & camina per tali Interualli. Vdite Messere; risposi; nella Musica hauete da considerar due cose; prima l'Interuallo, il quale da Greci è detto Διάστημα; & gli ordini, ò scale, cosi detti d'alcuni moderni, ò pur Costitutioni, che nominar le uogliamo; chiamate separatamente, & ciascheduna da per se Σύστημα; però dico, che se parlate di questa ultima; non è inconueniente dire, ch'una Diapente sia composta de due Tuoni maggiori, d'un minore, & d'un maggior Semituono, come da due parti: Ma parlando della prima, questo non si uerifica; percioche nascono dalla diuisione della Diapason; & non è senza proposito il dire, che fatto molte parti d'una Diapason, de quelle istesse si possa reintegrare, & comporre un'ordine, ilquale contenga quanti Tuoni & Semituoni possa accascare in quella compositione, secondo la qualità dell'ordine, che uolete comporre; come sarebbe dire; comporre una Diapason, nella quale entrino gli Interualli nominati di sopra, & altri simili. Et à questo modo non è errore à dire, ch'una Consonanza; cioè, uno de questi ordini sia composto. Ma si ben sarebbe, quando si dicesse, ch' un'Interuallo de i primi fusse composto. Voi dite bene sog giunse M. Adriano; ma di gratia fatemi un piacere, & à tutti gli altri, che sono qui adunati & si dilettano della Musica; ragionateci un poco di queste cose; acciò sappiamo anche noi ragionarne, quando farà dibisogno, qualche cosa; perche io desidero grandemente uedere un giorno le cose della Musica dimostrate, come star debbono. Et se uoi uo leste pigliar questa impresa, ci fareste cosa grata; percioche credo, che non sia alcun de noi, che non l'hauesse in piacere, & non ne hauesse da hauer obligo. Cosi è ueramente; rispose il S. Desiderio; & io in particolare lo desidero molto; percioche da queste imparerò la uia, che tiene il Musico, nel dimostrar le sue conclusioni, & uedrò la differenza, ch'è tra le dimo strationi, che fà il Musico, le quali non hò mai compitamente ueduto; & quelle che fà l'Arith metico & il Geometra; hauendo io queste due ultime molte fiate ueduto porre in atto. Signor; risposi io; non bisogna in queste cose hauer fretta; ma bisogno è di andare adagio. Et ui prometto, che ui andrebbe più tempo di quel, che u'imaginate, quand'io uolessi tuor l' impresa di ragionar, come si debbe, le cose della Musica; percioche bisognerebbe prima dichiarare alcune cose à quelli, che non hanno ueduto, ò letto, che concorrono nella Dimostratione; uolendoui di questa materia ragionar con la Dimostratione in mano; & bisognerebbe oltra di questo dichiarar quello, che sia Dimostratione, & di che si compo ne, & molt'altre cose, lequali portarebbono seco molto tempo. Et bisognarebbe, che u'imaginaste d'hauere più d'uno ragionamento; essendo che nella Musica l'una cosa è concatenata con l'altra, come sono gli annelli, che si trouano congiunti insieme in una catena. Rispose allora M. Adriano, uoi mi accrescete la uoglia, dicendo coteste cose; on d'io ui prego à pigliar uolontieri questa impresa; perche mi sarà un grande solleuamento del mio male. Et ui giuro, che s'io fusse più giouane di quel, ch'io non sono; uorrei di nuo uo diuentar Discepolo, & dar'opera per si fatta maniera all'intender la ragione delle cose della Musica; che non uorrei, ch'alcun mi dimandasse cosa alcuna, che io non lo potesse sa tisfare. Questo à me sarebbe etiandio ueramente oltra modo grato; disse M. Francesco; acciò mentre stò in Vinegia, acquistassi qualche cosa da portar meco à Ferrara; onde ui essorto & prego M. Gioseffo à pigliar questo carico. Ma ui dico hora Messere, che ui doure ste contentar d'esser il primo de nostri tempi nelle cose della prattica, laquale hauete anco non senza qualche cognitione della Theorica; essendoui sempre dilettato di pratticar con huomini dotti in questa professione. Et se ben non sete in tutto della Theorica colorito, almen sete molto bentinto. Et ui douete allegrar di questo, percioche sono doni, che non si Dimostr. Harm. A 4 dannopage 8 8 Ragionamento danno cosi à tutti, & ringratiatene la Diuina bontà. Veramente di continuo la ringratio; rispose egli; ma per questo non si estingue la sete, ch'io hò di sapere; perche è cosa naturale ad ogn'uno;Metaph. 1. cap. 1. anzi di giorno in giorno più mi uà crescendo. Ne mi doglio d'esser uicino à gli anni della decrepità; ma ben mi doglio, che mi conuerrà morire allora, ch'io incomincierò ad imparare. Sia però sempre fatta la uolontà del Signore. Hora 'l desiderio ch'io tengo di sapere, mi fà di nuouo pregarui M. Gioseffo, à far quello, che ui ho proposto. Non minor sete ho io di cotal cosa soggiunse il S. Desiderio, che 'l nostro M. Adriano habbia; percioche se bene ho ueduto & letto appresso d'alcuni Autori molte cose dimostrate; tuttauia non son restato à pieno satisfatto. Gli uorrebbe (risposi) un fiume de i maggiori, non dirò che sia in Italia, ma de i maggiori che sia nel mondo; & non un pic ciolo riuo, com'è 'l mio, à uolere estinguere queste seti tanto ardenti; però ui uoglio dire; che se tanti, i quali hanno scritto, & hanno trattato queste cose auanti di me, non ui han no potuto cauar questa sete, che debbo sperare io? Ma perche son molto tenuto à M. Adria no; & gli hò quell'obligo, come se mi fusse padre; & una certa honestà non sopporta, ch'io ri cusi questo carico; per satisfare à questa honorara & uirtuosa compagnia; però non uoglio restar, di far quello ch'io potrò con tutte le mie forze; perche se bene da me non haueste quel tutto, che desiderate; uedrete almen, che la mia uolontà è pronta nel seruirui. Et prego Iddio, che questa fiata io sia & Musico & Medico insieme, il che mi sarà di gran contento l'hauer fatto in un solo colpo due operationi; cioè, dato 'l cibo conueniente all'Intelletto de chi m'ascolta; & leuato 'l male à quelli, c'hanno bisogno di sanità. Nel nome del Signore adunque uoglio pigliar questo carico uolontieri; E' ben uero, ch' io non mi uoglio obligar à dimostrarui & risoluerui tutte quelle difficoltà, che possono ac cascar nella Musica; essendo che se 'l si uolesse dimostrare ogni cosa; oltra la difficoltà & la lunghezza del tempo sarebbe se non impossibile, almeno difficile il raccoglierle tutte d' una in una insieme, & dimostrarle per ordine. A questa legge (rispose M. Adriano) non ui uogliamo sottoporre; essendoche troppo ben sappiamo, che quest'è un'impossibile. Sog giunse allora il Sig. Desiderio; Date pur principio da qual capo ui piace; perche quando ci nascerà alcun dubio, ue lo andaremo proponendo; & uoi ce lo risoluerete, uolendo. Cosi farò adunque soggiunsi; Ma auertite,Nota per i maligni. che quand'alle fiate ui proponerò alcuna cosa, che per inanzi l'habbiate udita, letta, ò conosciuta in alcun Autore, di non m'accusar di furto; come fan no alcuni poco giudiciosi, & poco prudenti; accusando questo & quello Scrittore; ne anche dir, che non faceua dibisogno di commemorarla; percioche uolendoui dimostrar per ordine le cose della Musica; non posso far, che non vi discorra alcune cose necessarie à tali ragionamenti; massimamente conoscendo la maggior parte de uoi non hauer dato opera allo studio dell'Arti, & non saper quello, ch'importi questo nome Dimostratione, & quel le parti ch'entrano in essa. Questo disse M. Francesco; mi piace sommamente; perche se ben può esser, ch'io habbia udito alle fiate quel che sia Dimostratione, da i colloquij del Maggio & del Pigna nostri, grand'huomini nelle lettere; hauuti spesse fiate co 'l nostro Sig. Duca, & con altre persone segnalate; tuttauia, per non esser mia professione, non me ne posso cosi à pieno ricordare. La onde facendo quel, che detto hauete, non potrà esser'à noi se non di grande utilità. Lo douete far per ogni modo; disse M. Adriano; perche anco ra io non mi ricordo troppo ben queste cose, se bene essendo giouane le udì in Pariggi, quando mi diedi allo studio delle Leggi imperiali. Ancora io l'haurò in grande piacere disse M. Claudio: perche di queste cose, credo saperne poche: quantunque io ne habbia udito molte ne i ragionamenti de quelli Huomini eccellenti, co i quali praticaua di continuo; onde mi verrò à ricordar qualche cosa, & la terrò ben'in memoria. Poi che cosi ui contentate, cosi farò; risposi; onde parlerò hora con uoi Sig. Desiderio; il quale, conosco dal ragionamento poco fà hauuto con noi, esser molto istrutto. Auertisca però ogn' uno, che in questo Ragionamento io non posso far, che io non faccia quello, che etiandio hanno fatto la maggior parte de quelli, c'hanno inanzi à me scritto di queste cose & ragionato; cioè, ch'io non piglia una parte de quei mezi, che mi seruono à uenire all'atto dimostratiuo,page 9 Primo. 9 tiuo; essendoche senza loro non potrei far cosa buona. E' ben uero, ch'io uene aggiungerò alquanti altri, per condur questa mia impresa al desiderato fine; conciosiache quelli, i quali sono stati proposti da altri, non sono à bastanza; & con questi & quelli insieme uer rò à rende r ragione di quello, che io ui son per dire, & mi sarà da uoi proposto. I biasimatori de quelli, che hanno scritto alcune cose nelle scienze, & hanno pigliato i principij da quelli, che hanno scritto per inanzi; rispose il Signor Desiderio; hanno poco giudicio. Chi non sà, che uolendo scriuere, ò parlar di alcun'Arte, ò Scienza, bisogna di due cose farne una; ò ritrouar nuoui principii; oueramente usar quelli, ch'altri professori di quell'Arte, ò Scienza hanno usato? Però Platone, Aristotele, & altri eccellentissimi Filosofi, molte cose s'hanno fatto proprie; quantunque fussero inuentioni d'altri; come chiaramente ne i Scritti loro si comprende. Ma più si scorge ne i scritti d'Euclide, che in altro autore; poi che siamo à ragionar della Dimostratione; il quale pose insieme tante & tante Dimostrationi fatte da altri, facendosele sue, & anco i Principii, col bell'ordine, che le diede; come racconta Proclo, ne i CommentariLib. 2. c. 4.i fatti sopra il Lib.1 de gli Elementi d'esso Euclide, ch'à molti è di gran merauiglia, ch'un tant'huomo lo faces- se; quasi che l'età d'un'huomo fusse à bastanza di ritrouar, porre insieme, & dar perfettione à tante cose. Ma lasciamo questo da un canto & diciamo, che se ciò si permette & concede à tanti & tali huomini; ne à loro si attribuisce uitio alcuno; per qual cagione non ui sarà concesso quest'istesso anco à uoi? poi ch'io non uedo, ch'essi habbiano hauuto dal mondo maggior priuilegio di quello, che hauete uoi. Questo è il douere; disse M. Francesco: Ma lasciamo, per uostra fè, questo da un canto, & attendiamo à quel, che importa à noi, senza perder tanto tempo. Volendo adunque (soggiunsi io) hauer pie na notitia di quello, che ui hò da dire; fa dibisogno che uoi sapiate; Ch'essendo ogni Scienza posta nell'intelletto; tutte le cose si rendono intelligibili in atto, secondo che ad alcun modo si considerano lontane dalla materia. Onde secondo che diuersamente hanno (dirò cosi) proportione con essa lei, la lor consideratione appartiene à diuerse Scienze; lequali acquistar non si possono, se non con l'aiuto della Dimostratione; il me-lb> zo della quale, è la Definitione. Onde essendo la Definitione quella, che ci fà uenire in cognitione della cosa; per cioche esprime le cose essentiali di essa; è necessario, che si co me elle differenti sono tra loro, che anco siano differenti le Definitioni, ò mezi, che le vogliamo dire. La onde nasce la diuersità delle Scienze dalla uarietà delle cose in molte maniere considerate; lequali in tre modi considerar si possono;Vide ca. 7. & 12. lib. 1. Supple. Imperoche primieramente ne sono alcune, le quali hanno il loro essere, che dipende dalla Materia, ne senza essa definire si possono; Secondariamente ne sono alcune, le quali non possono star da essa materia lontane, & nelle definitioni loro non si pone cotal materia; Oltra di questo alcun'altre ue ne sono, che non solamente da tal materia non dependono secondo 'l loro essere, ma ne anco secondo la ragione ò definitione; & queste sono quelle, che cadono sotto quella Scienza diuina, che noi chiamiamo Metafisica; percioche quelle cose, le quali considera; ouer che mai si trouano esser nella materia; com'è Iddio benedetto, & l'altre sostanze separate; ouer perche non sono uniuersalmente in essa; come è la Sostanza, la Potenza, & l'Atto, & quell'anco che i filosofi chiamano Ente; il perche nella loro definitione; per non esser cose corporali; non si pone la materia. Ma le prime; che sono cose naturali, & sono considerate nella Scienza naturale, la quale chiamano Fisica, & hanno l'esser loro nella materia sensibile, & sono sottoposte al mouimento, si definiscono per la materia nominata; onde quando definiamo quel che sia Huomo, diciamo; che è Animal rationale & mortale; & l'Animale, senz'alcun dubio, è cosa naturale, & hà l'esser suo tra le cose della natura. L'altre poi sono tutte cose appartenenti alle scienze Mathematiche, come sono punti, linee, superficie, corpi, & tutte quelle cose insieme, che appartengono alla Moltitudine & alla Grandezza; onde nella lo ro definitione non si pone la materia sensibile; se bene non possono star senza lei, essendo che non si dice, che 'l Triangolo sia figura di legno, ò di pietra, ò di ferro, ò di qualunquepage 10 10 Ragionamento lunque altro metallo, ò materia, che si uoglia; ma si dice, ch'ello è figura, la quale hà in se tre angoli equali à due retti, quantunque il Triangolo habbia l'esser suo nella materia; come discorrendo potrete conoscere. Questo discorso tanto più mi è piaciuto; disse M. Adriano; quanto più uedo quasi una cosa noua; che ne i ragionamenti di Musica, si parla anco delle cose appartenenti alla Filosofia. Non sapete messere, soggiunsi io, che la Musica, per esser Scienza parte mathematica, & parte naturale; com'hauete potuto uedere nelle Istitutioni;1. Par. cap. 20. è sottoposta alla Filosofia? Io per me lo sò per certo; ma molto mi dilettano (rispose egli) queste cose; tanto più, quando le uedo tirate à qualche bel proposito. Sappiate dissi io, che tutto questo discorso si è fatto, accioche essendo la Musi ca, come già dimostrai nelle sudette Istitutioni,1. Par. cap. 18. et 29. scienza di Relatione; & hauendo per sog getto il Numero sonoro; ò Corpo sonoro proportionato; come forse dimostrerò un'altra fiata;Vide c. 14. lib. 8. Supple. non senza proposito uiene ad esser parte Mathematica, & parte Naturale; essendoche considerata nel primo stato; già che da i numeri dipende il suo essere; è connumerata tra le cose già dette, poste nel terzo luogo; ma considerata al secondo modo, hauendo i Suoni l'esser loro tra cose naturali, è posta tra quelle cose, che posseggono il Secondo. Però credo, che ui ricordate quel, ch'io chiamo Materia; & quello ch'io no mino Forma delle consonanze; onde non starò à replicarlo.Vide cap. primae partis Instit. Onde hauete à sapere; che se ben co 'l mezo delle Quantità habbiamo la cognition uera delle cose della Musica; non essendo ella semplice mathematica; nella definitione della Consonanza, & di qua lunque altro Interuallo, i Musici sogliono alle fiate porre la materia; come habbiamo potuto uedere in molte definitioni, nelle quali si pongono i Suoni, ò le Voci, che sono la Materia delle consonanze, & d'ogn'altro Interuallo; essendoche i Musici contemplano tali Interualli in atto, i quali non sono senza materia; il che non fanno gli Arithmetici, ne anco i Geometri; percioche i primi con templano il Numero; & i secondi le Quantità misurabili, in quanto sono lontane da essa. Per questo adunque; soggiunse il S. Desiderio; alcuni han detto, che la Consonanza è distanza di suono graue & di acuto. E' cosi; dissi io; ma sono stati etiandio alcuni altri, c'hanno detto la Consonanza esser Aria formato; però auertite, che nell'esplicar quello, che siano le cose (io parlo con quelli, che non lo sanno) usiamo due sorti di Dichiaratione; La prima è detta Definitione, & è quella, che esplica la cosa per le cose essentiali; & la Seconda è chiamata Descrittione, & è quella, che non dice la cosa per gli essentiali; ma per i suoi accidenti. La prima è, quando noi definiamo l'Huomo, & diciamo, che è Animal rationale & mortale; che sono cose essentiali dell'Huomo. La seconda è quella, con la quale; uolendo dar'ad intendere ad alcuno quello, che sia Huomo; non sapendo, ò non uolendo espri mer le cose sue essentiali, diciamo; ch'ello è Animale politico, di statura dritto, & altre cose simili, le quali non esplicano la natura dell'Huomo. E' ben uero, che molte fiate si prende l'una per l'altra; percioche tallora, si piglia la Definitione in luogo della Descrittione; & alle uolte questa in luogo di quella; quanto alla uoce; & si chiama senz'alcuna differenza Definitione; ancora che quanto all'esser della cosa sia altramente. Qual di queste due si pone nella Dimostratione? disse allora M. Adriano. La prima (risposi) co me uederete. Dichiaratemi un dubio, soggiunse M. Francesco, & poi seguitate. Se d'una cosa sola (come molte fiate hò udito dire) gli è solamente una definitione; da che uiene, che alle fiate non solo se ne ritroua una; ma anco più? A questo, risposi subito, Bel dubio ueramente proponete M. Francesco; però auertite, che nasce da questo; che non sono propriamente Definitioni, ma Descrittioni; il perche se ben'alcuna cosa non si può definir più d'una uolta; si può nondimeno molte fiate descriuere; percioche porta seco molti accidenti. La onde tale proposta non è uera in questo caso, ma si bene nelle Defini tioni perfette; essendoche se fusse altramente, sarebbe falsa. Soggiunse allora M. Claudio, dopo l'hauer per un poco di tempo tacciuto; Da che uiene adunque, che nel Cap. 12. della Seconda parte dell'Istitutioni, hauete posto due definitioni della Consonanza? Alquale risposi. Mi piace grandemente, che 'l uostro dubitare torni al proposito di quello,page 11 Primo. 11 quello, che io uolea dire. Però notate, che la Definitione si troua esser di tre sorti; La prima si chiama Materiale, & è quella, che contiene la materia, la quale entra nella cosa definita; come s'io uolessi definire l'Huomo, & dir quel che ello fusse, direi, ch'è cosa composta di carne, d'ossa, de nerui & d'altre cose simili, ch'entrano nella sua materiale compositione; La Seconda si chiama Formale; & è quella, che contien la forma della cosa, che si definisce; come s'io dicesse: l'Huomo è animale ratione; conciosia che la Rationalità è la propria & uera forma dell'Huomo; Ma la terza si chiama Finale; & è quella che contiene, & esplica il fine della cosa; come quando io dicesse; l'Huomo è Ani male rationale & mortale, capace della Beatitudine; di maniera, che la Beatitudine è il fine dell'Huomo. Disse allora M. Adriano; Si troua alcuna definitione, che contenga tutte queste tre cose? Ben sapete; risposi. Ditene una adunque; disse egli; & poi seguitate quel che ui piace. La Definitione soggiunsi, che contiene ciascheduna di queste cose sarà, quando uorrò definire alcuna cosa; come sarebbe dire la Consonanza, & porrò nella sua definitione i suoni, la Ragione de Numeri, & quel ch'ella può fare; come sarebbe dir; Consonanza è ragion de Numeri contenuta da due suoni, ò uoci l'uno graue & l'altro acuto; la quale soauemente uiene al nostro udito. Stà molto bene, disse M. Adriano; poi che (com'hauete altre fiate detto) i Suoni, ò le Voci sono la materia, la Ragione de Numeri la forma, & lo Soauemente uenire all'Vdito è il fine della Consonanza. Allora il S. Desiderio, desideroso di saper più oltra, soggiunse; Diteci per uostra fe; questa Consonanza ha ella altro fine? Et io, per satisfarlo, dissi; Hà per certo; & ue lo potrete ricordar da quello, c'hauete letto; com'è il mutare il senso, nella maniera,Inst. 2. par. c. 8. & 12. che hà l'Harmonia di dilettare, & anco d'indurre in noi passioni diuerse. Cosi è in fatto rispose egli. Onde M. Francesco; Io credo che saria bene, disse che hormai passaste piu oltra; perch'io penso, che tutte queste cose s'intendino bene. Sarà bene; soggiunse M. Claudio; perche se l'occorrerà alcuna cosa difficile, ue la andaremo dimandando. Allora il S. Desiderio uoltato à me, disse; Ne date forse questa licenza M. Gioseffo? Per qual cagione uolete, che io non ue la dia? risposi. Io son qui per satisfarui; onde facendolo mi farete sommo piacere. Hor sù adunque, per non por tempo di mezo dico; ch' essendo 'l Soggetto della Musica il Numero sonoro, ouero il Corpo sonoro proportionato, & non potendosi hauer alcuna cognitione uera della quantità de i suoni, se non co 'l mezo de i Corpi sonori, che sono le chorde, le quali sono quantità, che si misurano, ne potendosi hauer Scienz'alcuna de gli Interualli, se non per uia della misura di essi corpi; cioè, dalla misura di due di essi, ò ueramente d'un'almeno diuiso in molte parti; è necessario, che tra loro intrauenga una certa proportione di suono graue & d'acuto. La onde per la comparatione della quantità della chorda, che dà il suono graue, con quella che rende il suono acuto, diciamo, che la Musica è sottoposta alla Quantità relata; mediante la quale potiamo con diuersi mezi di mostrar tutte quelle cose, che sono dimostrabili nella Musica. Ma per hauer' cognitione perfetta de cotali cose; fà dibisogno ricorrere à quell'Istrumento, il quale da ogni Scienza è adoperato, che si chiama Dimostratione;1. Post. capit. 2. la quale è quella, che ne fà ueramente sapere. E' ben uero, che non tutte le Scienze usano gli istessi mezi; percioche essendo Quattro le cagioni; come nelle Istitutioni dichiarai;1. Par. cap. 41. non tutti dimostrano per tutte quattro; conciosiache la Metafisica dimostra solamen te per le cagioni formale & finale, & anco per la efficiente. Il Naturale dimostra per ogni cagione; ma il Mathematico (lasciando qualch'altra opinione da un canto) dimostra solamente per la cagione formale. A questo disse m. Adriano: Per le cagioni formali adunque hauerete à dimostrarci le cose della musica. Et io à lui; Cosi sarà, in quanto Mathematica; però quando s'hauesse à dimostrar come naturale; essendo la Musica col locata tra questi due generi, si procedebbe altramente. Ma inanzi che passiamo à dimostrar cosa alcuna sarà ben fatto; per alcuni de uoi, che non sete cosi bene essercitati ne i studii delle lettere; d'andar ricordando (com'hò detto ancora) quel che sia Dimostratione, & mostrar le sue conditioni, & come debbono esser le sue premesse, ò proportioni,page 12 12 Ragionamento tioni, di che ella si compone. Sarà ben fatto; disse il Signor Desiderio; per non star poi à dichiararle fuori di tempo. Questo apunto ui uolea dire; soggiunse M. Claudio; quantunque ne habbia un poco di prattica; perche molte fiate io ne hò (come hò detto anco) udito ragionare. Veramente è necessaria la cognitione di queste cose, disse M. Adriano; percioche non le intendendo, non s'haurebbe quel spasso & quella dilettatione; ne si cauerebbe quella utilità, che bisognerebbe. Ma credo, che mi ricorderò il tutto quando l'andarete commemorando. Vdito questo il S. Desiderio, le disse. Voi sete stato in Pariggi M. Adriano; per quel c'hauete detto. Alquale rispose M. Adriano; Fui, & incominciai à studiare; ma Iddio ha uoluto, ch'io insegni Musica alla fine. Allora uoltatomi uerso lui, dissi: Messer Domenedio molto ben sapea, che 'l mondo hauea dibisogno d'un uostro pari, però ci diede uoi, à fine che haueste ad illuminar quelli, che si dilettano di quest'Arte cosi nobile, & dirò anco di questa Scienza; percioche se non foste stato uoi, che mi hauete aiutato nella Prattica, non mi sarei posto à ueder cosi intrinsecamente, com'io hò fatto, & cosi minutamente le cose della Musica; ma mi sarei riportato, come han fatto molti, al giudicio d'altri; & mi sarei attenuto à quel c'hauessi ritrouato scritto d'altri Scrittori, credendoli & persuadendomi, cosi fusse, come hanno scritto. Però fù ben fatto, che lasciaste lo studio delle Leggi, & attendesti alla Musica; essendoche in questa tenete il primo luogo, & Iddio lo sà; se ben non sete senza giudicio: s'in quella professione hauesti tenuto il terzo. Cosi hà piaciuto à Dio; rispose egli; & me ne contento. Disse allora M. Francesco; Ve ne potete contentar Messere; ma lasciamo da un canto queste cose; perche 'l tempo scorre, & ancora non si è incominciato à ragionar di quello, ch'è stato proposto. Sappiate adunque (io seguitai) acciò continui quello ch'incominciato hauea, che la Dimostratione è proprio come un'Istrumento, che ci conduce al Sapere, & all'acquisto della Scienza, & questo è il suo uero fine, al quale tendiamo. Ma auertite, che qui per il Sapere non intendo altro, che il conoscer le cose col mezo delle lor uere & proprie cagioni; di maniera che manifestamente si comprenda, che non possino esse re, ne stare possino altramente di quello, che si conoscono. Et questo dico, ch'è il uero Sapere, & la uera Scienza. Sappiate però, che il Sapere si ritroua esser di due maniere; Il primo è detto Sapere per sè, & l'altro Sapere per accidente. Il primo è quello, quando noi conosciamo la conclusione col mezo delle propositioni, ò premesse, che sono per se. Riducetemi di gratia (disse M. Francesco) alla memoria quel che intendiate per queste pro positioni, ò premesse, che sono per sè. Lo farò à mano à mano, risposi; ma soggiunse subito M. Adriano, Dateci anco un'essempio di quello, che detto hauete. Son contento; risposi; ma non habbiate pressa. Dico, che 'l primo modo è, quando si conosce l'Huomo esser risibile, col mezo di questa propositione, ò proposta maggiore; quando dico; l'Animale rationale è risibile; & col mezo di questa minore, che è; l'Huomo è animal rationale; da questa cauo la conclusione, & dico; Adunque l'Huomo è risibile. Questo adunque è il Sapere per se; soggiunse M. Adriano; per quello ch'io m'accorgo. Cosi stà la cosa, soggiunsi. Seguitate adunque il Sapere per accidente, disse egli. Notate adunque Messere, risposi, che il Saper per accidente (per dichiararui il secondo modo) è conoscer la cosa col mezo delle premesse, che sono per accidente. Allora M. Claudio, Dateci l'essempio di gratia, soggiunse. Et io à lui; eccolo, come s'io uolessi prouar, che l'Huomo compone, io direi; Il Musico compone; l'Huomo è Musico; adunque l'Huomo compone; & questo sarebbe Sapere per accidente; essendo che le premesse & la conclusione sono per accidente; conciosia che l'esser Musico non è per se nell'Huomo, ma per accidente; & questo sapere non è uero sapere. Soggiunse M. Adriano; Da quel che detto hauete adunque; potiamo dire, che 'l primo modo è il uero sapere, ma non il secon do. E' uero, risposi; ma questo primo modo etiandio è di due sorti; imperoche l'uno si chiama Saper semplicemente, &l'altro Sapere ad un certo modo. Il primo de questi è saper la conclusione col mezo della propria cagione & immediata; & il Secondo è Saper col mezo d'alcun segno, ò per alcun'effetto, o ueramente per alcuna cagione uniuersalepage 13 Primo. 13 le & rimota. Desidero, disse M. Francesco, l'essempio di una & dell'altra maniera. Onde li dichiarai, che Della prima maniera sarà; quando saperemo l'Huomo esser risibile, perche è rationale; percioche la Rationalità è propria & immediata cagione della Risibilità, ò del Ridere, che uogliamo dire: Della seconda; quando saperemo, che la Donna hà partorito, perche hà il latte; essendoche l'hauere il latte non è segno fermo, che sempre ne dimostri, che la Donna habbia partorito; massimamente perche si ritrouano molte Donne hauer il latte, & non per questo hauer partorito. Et non solamente si trouano le Donne, ma anco (per dirui cosa forse, che ui parerà incredibile) hò ueduto de gli huomini, che hanno il latte, & per questo non si può dire, che habbiano partorito. Soggiunse, ridendo M. Claudio. Questa è ben cosa rara & ridicolosa; ma perche si è inteso benissimo il tutto, ui preghiamo à seguitare. Dico adunque (soggiunsi) che la Dimostratione fatta nel primo modo, fà sapere per sè semplicemente, & in uno modo perfettissimo, ma quella fatta nel secondo, fa sapere per sè ad un certo modo, & molto imperfettamente; come da gli essempii posti di sopra hauete potuto comprendere. Diteci adunque, disse M. Adriano, quello che sia questo Sapere. Auertite, diss'io, che io non ui uoglio definire il Sapere pigliato uniuersalmente, secondo tutti quei modi, ch'io hò dichiarato di sopra; ma secondo quello, ch'io nomino Sapere per sè semplicemente, & con modo perfettissmo; delquale questa sarà la sua definitione. Il Sapere è conoscer la cosa per la sua cagione, per la quale è, & non può essere in alcun'altra maniera. Et notate, ch'io hò detto, che 'l Sapere è conoscer la cosa per la sua cagione; accioche da questo comprendiate, che non intendo il Sapere dall'effetto; anzi uoglio che sappiate, ch'io uengo à distinguer quello da questo. Soggiunsi poi: Per la quale è; facendoui auertiti, che tal cagione è propria non commune à tal cosa & ad un'altra; accioche da questo possiate conoscere, quanto sia differente il Sapere, ch'io intendo di sopra, da quello, che si uiene ad acquistare dalla cagione uniuersale & rimota. Imperoche quando noi sappiamo, che una pietra, ouer un legno secco non respira, perche non hà anima, tal Sapere non nasce dalla cagione propria & propinqua; essendoche si trouano molti animali; come sono arbori, ostreghe, uermi, mosche, & infiniti altri imperfetti, i quali non respirano. Ma la propria cagione & propinqua del non respirare è, che non hanno il polmone. Adunque quand'io dico; Et non può esser'in altra maniera; tale aggiungimento è, accioche conosciate tal cagione essere infallibile & necessaria; & anco accioche conosciate 'l Sapere, che s'acquista col mezo de i segni probabili; come quando sappiamo, che l'Infermo si dè sanare; perche fà la urina chiara, mangia con appetito, dorme soauemente, & fà altre cose simili; di maniera che queste attioni s'assimigliano à quelle d'un sano. Et questo segno alle fiate è molto fallace; percioche spesso intrauiene il contrario. Bisogna adunque, disse M. Francesco, che la cagione, col mezo della quale sappiamo semplicemente alcuna cosa, sia necessaria. Cosi bisogna che sia; risposi; percioche è il mezo della conclusione. Et perche quello, che si hà da sapere, & la Scienza sono correlatiui, & l'uno all'altro corrispondenti; è necessario, che si come la cagione del Sa pere è necessario, che anco necessario sia quello, che si hà da sapere, che è la conclusione: Percioche non potiamo saper semplicemente una conclusione, la quale può accascare, che è detta Contingente; ma si ben potiamo hauer di essa opinione. Queste cose tutte, rispose M. Adriano, fin qui intendiamo benissimo. Passaremo adunque (soggiunsi) all'Istrumento dell'Intelletto, al Sapere & all'acquistar la Scienza, & lasciaremo di definire la Dimostratione uniuersalmente presa; come habbiamo lasciato anche da un canto il definire il Sapere uniuersalmente, & uerremo alla definitione della Dimostratione, la quale è chiamata da i Filosofi Potissima, & è quella, che cagiona in noi il Sapere sopra la cosa definita. Aggiungereremo anco, di che, & di quali Premesse si compone: Et tal Dimostratione i nostri addimandano A' priori; & dimostratione Propter quid, la quale è differente dalla Dimostratione, che si chiama A' posteriori & Quia, ch'è quel la, la quale si piglia da i segni & dalle cagioni uniuersali, come del secondo modo di Saperepage 14 14 Ragionamento pere di sopra hò dichiarato. Sono cose (disse M. Francesco) queste, che si lasciano intendere; però non ui dia noia il seguitare. Seguitando il mio ragionamento, dissi; Vi porrò adunque inanzi due definitioni della Dimostratione, l'una sarà della cagione finale, & l'altra della materiale. Douete adunque auertire; che si come diciamo; uolendo definire la Casa dal fine, ilquale ci muoue ad edificare; ch'ella è cosa, che ci copre & difende dal fred do, dalla pioggia, dalla neue, & dal caldo; essendoche à questo fine la edifichiamo; oueramente, pigliando la definitione dalla materia, della quale ella si compone, uenimo à dire; che è cosa composta de pietre, di calzina, de legni & altre cose simili; cosi prendendo la Definitione della Dimostratione dal fine, dicemo; che la Dimostratione (come la dichiara Aristotele nel.1. de i posteriori) è un Sillogismo scientifico, ouer'è Sillogismo della scienza; come à noi torna più commodo à dire, il quale ueramente cagiona, ò partorisce in noi la Scienza, ouer il Sapere, che di sopra habbiamo definito. Questo in tendo benissimo; disse M. Claudio; ne hò dibisogno d'altra dichiaratione; però seguitate, che se tutto quello che direte apprenderò cosi facilmente, come ho appreso quello, che fin'hora detto hauete, le cose passaran bene. La Definitione della Dimostratione, risposi, che si piglia dalla materia, M. Claudio, si darà in questo modo. La Dimostratione è un Sillogismo, che si compone di Premesse uere, prime, immediate, ò senza mezo alcuno, & cagioni piu note; & maggiormente prime, & conosciute della conclusione. Et quantunque tutte queste cose si ricercano; fà dibisogno ancora, che tali Premesse siano inanzi, ò precedino la conclusione; & siano la sua cagione; di maniera che dall'una & l'altra di queste due Definitioni potete comprender quello, ch'entra nella Dimostratione, & il fine, à che ella sia stata ritrouata. Dopo questo M. Francesco aggiunse; Veramente che appresso di me la prima definitione è chiara; ma la seconda mi fà stare alquanto dubioso, per non ricordarmi cosi ben quello, che s'intenda Premesse uere, prime, immediate, & cagioni più note, & maggiormente prime della conclusione. Però ui prego, che ci dichiarate questi termini, che credo, che qui sia il luogo. Adunque (dissi io) accioche di queste cose ne habbiate buona cognitione, statemi ad ascoltare. Io dissi di sopra, che le Premesse debbono esser uere, percioche douendo far sapere la conclusione di maniera, che sia impossibile, che nasca d'altro luogo, che dalla cagione contenuta in esse; è sommamente necessario, che tali Premesse siano uere, & per consequente cagione della Conclusione. In qual maniera cagione della conclusione? disse M. Adriano. Cagione, dissi, non solamente della Consequenza, come ne gli altri Sillogismi intrauiene per la forma loro, che si richiede ch'auenga, ma cagione del uero esser della Conclusione; ilche è proprio del Sillogismo dimostratiuo, del quale ho ra parliamo. Questo s'intende benissimo, disse M. Claudio. Le premesse (soggiunsi) à que sto debbono etiandio esser più note della conclusione, & anco le debbono precedere. Allora M. Francesco mi fece questa dimanda; Che intendete uoi per questo precedere, & per più noto? Allaquale risposi. Che non siano tali inquanto à noi, ma in quanto alla Natura istessa; la notitia della quale non sempre concorre con la nostra. Disse à questo M. Francesco. Fate di gratia che meglio u'intendiamo. Notate adunque, dissi; che rispetto alla Natura habbiamo à dire, che più note siano à lei le cagioni con le quali ella opera gli effetti, che essi effetti non sono; & consequentemente, che ad essi effetti nella sua cognitione uadino auanti le cagioni; si come etiandio nell'atto parimente precedono; poi che senza dubitatione alcuna ella produce col mezo loro tutti gli effetti. Onde hauendo rispetto à noi, che non operiamo detti effetti, col mezo del senso, che ce li mostra; quelli il più delle uolte prima si offeriscono alla nostra cognitione, che non fanno le cagioni, le quali, discorrendo noi col mezo de tali effetti, conosciamo nell'ultimo luogo. Di modo che l'ordine della nostra cognitione, il più delle uolte si troua esser contrario à quello della Natura; la qual Natura operando da quel che produce, à quel che segue; simigliantemente per la intellgenza, ch'ella hà seco, conosce col mezo dell'ordine detto. Ma noi da quel che seguita, spesse fiate procediamo à quello che uà inan-page 15 Primo. 15 inanzi, per la ragione detta. Rispose à questo M. Claudio. Diremo adunque, ch'ogni fiata ch'io dico, che le premesse della Dimostratione hanno da esser piu note, che la conclusione, & preceder quella; che sempre intender debbiamo secondo 'l proceder della natura. Cosi è in fatto, dissi. Adunque, soggiunse M. Adriano, in cotale Sillogismo seguitiamo l'ordine della natura, & il suo procedere. Senza dubio alcuno; risposi io; ma ciò non accasca molte uolte. Per qual cagione? disse M. Francesco. Per la nostra imperfettione; risposi io; onde nasce, che simigliantemente rare uolte i Filosofi pongono in essere questi Sillogismi. Questo intendiamo bene; disse M. Claudio; ma resta che ancora ci andiate dichiarando quel che s'intende, che le Premesse siano prime, & senz'alcun mezo. L'esser senza mezo (replicai) s'intendono, quando 'l mezano termine, che si prende nella dimostratione è cosi congiunto al maggiore, che si piglia; & al maggiore, che si hà da concludere; che niun'altra cosa si può ritrouar di mezo; ouer è il mezo tra loro per grado predicamentale; & ciò potrete comprendere (per dare un'essempio) auenire tra la Definitione & il Definito; non essendo tra l'Huomo, ch'è definito, & l'Animale discorsiuo, ch'è la definitione; alcun mezo, per il quale si possa mostrar, che l'Huomo sia tale. Non si potendo dimostrar la definitione delle cose. L'essempio c'hauete addutto, rispose M. Claudio; hà di maniera illustrato questo ragionamento, che sin'hora s'intende benissimo quel c'hauete detto; però seguitate il resto. A questo aggiunsi, che le Premesse debbono oltra ciò esser prime; cioè, debbono esser tali, che non si ritroui in alcuna Scienza (dirò cosi) più alta proposta & più nota di quelle; & è forza, che si prendino come note, senz'alcuna proua. Adunque; disse M. Adriano; per tal cagione saranno, ò si chiameranno Indemostrabili. Sta molto ben Messere; gli risposi; percioche douendo nascer quello, che si dimostra dalle Premesse precedenti & più note; se le Premesse tutte s'hauessero sempre da dimostrare, & anco le Premesse delle Premesse; bisognerebbe, ch'altre più note, & più precedenti, sempre salendo in infinito; fusse 'l nostro procedere. La onde non si potendo poi arriuar mai à quelle, che per se stesse fussero tali, ne si potendo trappassir l'infinito; saria forza, fermarsi in alcune di esse, le quali, per dipendere da più alte premesse, non sarebbono da noi per se stesse conosciute; & per consequente le conclusio ni, che da esse nascessero, non potrebbono rendersi manifeste; da che ne seguirebbe quello, che molti s'hanno imaginato; che niuna propositione dimostrar si potesse. Dopo questo disse M. Francesco; Questo discorso mi è stato molto utile; percioche m'ha rid dotto alla memoria molte cose, le quali già (per non attender'à questi studii) mi erano di mente uscite. Et mi souiene, ch io udì spesse fiate dire; che in qualunque Scienza, auanti che si uenga al discorrere in essa cosa alcuna; si suppongono alcune Propositioni manifeste, lequali non debbeno esser negate d'alcuno, che si vuol essercitare in quella Scienza. Vi ricordate molto bene per mia fè; gli risposi; & mi rallegro, che non haurò fatica di replicar più cotal cosa; ne meno molt'altre, che concorrono alla Dimostratione, per causa uostra; delle quali ui conosco insieme con gli altri istrutto; però seguitando doue hò lasciato, dirò, che tali Principij alcuni si chiamano Positioni; & sono queste Positioni, ouer Principii di più maniere: Imperoche alcuni sono detti Communi, & alcuni sono chiamati Proprii. I Proprij sono quelli, che seruono ad una Scienza particolare; ne bisogna che ui pensiate, che questi siano i Principij istessi d'un'altra; perche sareste in errore: Ma douete sapere (com'hò anco detto di sopra) che da i Generi diuersi delle cose scibili, nascono diuerse Scienze. Onde si come la Quantità continua è differente in genere dalla Discreta; cosi è differente l'Arithmetica dalla Geometria. Et si come la Grandezza è differente dal Numero; cosi sono differenti i principij della Geometria, co i quali si dimostrano le sue conclusioni, da quelli dell'Arithmetica. Onde i principij proprii della Geometria sono (per darui un'essempio) questi; Si può condurre una Linea da un punto all'altro; Il continuo è diuisibile in infinito, & altri simili. Ma quelli dell'Arithmetica sono; Il Numero è moltitudine ordinata di Vnità, Le parti del numero non si congiungono ad un termine commune. I Numeri procedono oltra l'Vnità in infinito; & gli altri. Etpage 16 16 Ragionamento Et quelli della Musica sono; L'Interuallo è habitudine de spacij del suono graue & dell'acuto; & altri simili, come presto uederete; & questi si chiamano Principij proprij. Ma i Communi sono cosi nominati, che non solo in questa, ò in quella Scienza si possono supporre; ma in tutte l'altre vniuersalmente; percioche sono tali, che l'Huomo per natura; inteso che hà la significatione delle parole, che contengono; subito aiutato dall'Intelletto conosce chiaramente la uerità loro: Come per essempio quando si dice; che 'l Tutto è maggior della Parte; saputo che si hà il significato di queste due parole Tut to & Parte; allora allora si conosce, senz'altro aiuto, di maniera esser uera tal positione; che chi altramente uolesse far credere, non si darebbe fede alle sue parole; & sarebbe riputato pazzo. In uano ueramente si affaticherebbe, disse allora M. Claudio; chi uolesse persuadermi il contrario. A questo soggiunsi: Questo principio è detto Commune; percioche serue in diuerse Scienze, onde nella Geometria il Geometra l'applica alle quantità misurabili; nella Arithmetica l'Arithmetico l'accommoda alle quantità numerabili, & nella Musica il Musico se ne serue & lo addatta à gli Interualli, ouero alle Quantità ò Corpi sonori. Sono questi Principii communi, ò propositioni, chiamati Di gnità; & per la loro eccellente notitia che tengono, sono supposti per principij notissimi, & principali d'ogni Scienza; ma gli altri Principii & altre Proposte sono d'altra natura; percioche se ne ritrouano alcune di esse, che se ben non sono naturalmente conosciute da Colui, che vuole apprendere alcuna Scienza; nondimeno è forza, ch'egli le conceda per uere, & non cerchi in tal Scienza di loro altra dimostratione, per non hauer quiui elle cosa alcuna più nota, che vi stia sopra. Et queste tali Propositioni sono di due sorti; l'una è che affirmando, ò negando alcuna cosa, si chiama Definitione, la qua le dichiara molti termini necessarii à quella Scienza; & tali Definitioni si accettano per uere, senza uerun'altra proua; come trattandosi nell'Astrologia delle Sfere, de i circoli, & d'altri cosi fatti termini; auanti tutte le cose si suppone, che la natura del Circolo celeste consista nella figura circolare, compresa da una sola linea, che hà nel mezo il punto, dal quale tirrate le linee alla sua circonferenza, tutte sono equali. Il simile si può anche dire della Sfera; disse il Signor Desiderio; & d'ogni altro termine in cotale Scienza necessario. Cosi è, risposi; onde gli Astrologi col mezo de tali definitioni prouano le proprietà de i Corpi celesti, che sono ueramente il loro Soggetto. A questo M. Francesco disse; Questo istesso si potrebbe anco dir nella Musica de i Corpi sonori, i quali contengono l'Interuallo; come sono le Chorde; percioche col diuidere, ò misurare vna linea retta, posta in luogo di chorda tirrata sopra vn spacio; è mezo molto accommodato al Musico, per prouar le conclusioni del suo Soggetto. Voi la intendete benissimo; dissi io, però passaremo à dir dell'altre sorti de propositioni, che sono Dignità; & saranno, quando in una Scienza si suppone alcune cose, le quali contengono in se affirmatione, ò negatione; & si debbono chiamare & stimare propositioni. Et se ben per loro natura manifeste non sono; si hanno però da supporre nelle Scienze per note, & queste sono di due maniere. Non mancate, disse M. Claudio, vi prego, di porre gli essempij. Cosi farò; risposi; statemi pure ad vdire. La prima maniera è quando colui, che hà da imparar quella Scienza; udendo cotali proposte, à loro assentisce facilmente; non essendo prima per se stesso dispo sto più ad accettarle per uere, che à negarle come false. Et per darui un essempio: S'io dicesse, che colui, il quale vuole imparare & apprender la Musica, hà da supporre, che tutti gli Interualli della Diapason sono eguali di proportione; & uoi vdendo questo lo credeste; per non hauer prima uoi stessi opinione, che siano più equali, che inequali, queste Positioni si chiamano Suppositioni. Io intendo benissimo, disse M. Adriano, onde potete seguitare. Il perche seguitai, cosi dicendo; La seconda maniera de queste Positioni sono quelle, che quando, per il contrario, colui c'ha da imparar la Scienza, vdendo le Positioni, che li sono proposte da credere, assentisce à quelle, perche gli vien detto, che cosi bisogna fare, ma non perche egli conosca, ò li paia, che sia cosi; hauendo egli ueramente prima per se stesso piu tosto tenuto 'l contrario. Et per uenire all'essempio; dirò; Sepage 17 Primo. 17 Se à uoi, che desiderate di apprender le cose della Musica, si proponesse; che si hà da supporre, che l'Vnisono sia quello, che non hà alcun Interuallo, nella qual Positione forse ui marauigliareste, parendoui strano; se non haueste cognitione di questa Scienza; c'he si possa ritrouar cosa, che non sia dissonante, & che non habbia interuallo. Soggiunse à questo M. Adriano; Adunque hauendo inteso il tutto bene, potiamo dire, che tutte le Positioni, Dignità, Definitioni, Suppositioni, & le Petitioni, ò Dimande ancora, si hanno da stimare per Principii di quella Scienza, nella quale si pongono. Cosi è ueramente; risposi; ma auertite ancora; che se bene alcuna delle nominate Petitioni & Suppositioni in un'altra Scienza dimostrar si potesse; tuttauia in quella facultà, nella quale è posta per Principio, non si potrebbe ritrouar modo alcuno di dimostrarla; essendoche uolendola dimostrare, bisognerebbe altri principii; di maniera che cotali Suppositioni, & Petitioni uerrebbono à non esser Principii. Ma pigliandosi per sapute & per note; da quelle, come da sufficienti premesse, si dimostrano poi le conclusioni, le quali alla detta facoltà appartengono. La onde se in alcuna Scienza particolare; come è la Musica, & l'Astrologia, ò in qualunque altra, alcun uorrà negar qual si uoglia principio; in cotal Scienza non li sarà concesso disputare; ne sarà atto à modo alcuno d'impararla.1. Phy. c. 2. Et Quanto à questa parte non ui uoglio dir'altro; ma credetemi Messere, che hora in comincia il buono. Lodato sia Iddio adunque, disse egli, & seguitate pure, & dite quel che uolete, perche siamo apparecchiati ad ascoltarui. Seguitai, inteso questo, in cotal maniera; Voglio, che sappiate; ch'ogni Proposta, che si propone à dimostrare; può essere di due sorti; imperoche oueramente ch'ella ci conduce alla Speculatione; ò ueramente che ci fà operare. Quella, che ci conduce alla speculatione, è detta Θεώρημα; ma l'altra è chiamata Πρόβλημα; & questa è dimandata per tal nome; percioche da lei impariamo il modo di diuidere, comporre, descriuere, disegnare, & formare ogni qualità di figura superficiale, con tutti quei accidenti, che concorrer possono in molte Arti; come nella pittura, prospettiua, corographia, cosmographia, geographia, scoltura, architettura, & altre simili. Oltra di ciò ui uoglio dire, ch'ogni Theorema, ò Problema, il quale sia compiuto dalle sue parti, debbe hauere in se Sei cose; la prima è la Proposta, che da Greci è detta Πρότασις; nella quale si contiene il Dato, & il Quesito; delle quali due cose si compone ogni perfetta Proposta; Et l'officio di questa parte è d'insegnar quello che si cerca dal Dato. La Seconda è chiamata Espositione, ouer Esplicatione del Dato; detta Ε῎κθεσις; il cui officio è di riceuere in se il Dato, & apparecchiarlo alla Questione. Qui disse M. Claudio Merulo, Diteci di gratia quel che sia ciascheduna di queste due cose. Vi farò capace (risposi) con un'essempio. S'io dicesse; Si può sopra una chorda data collocare il Tuono alla sua proportione; la chorda data si chiama ueramente il Dato; & il collocare il Tuono è il Quesito. Io intendo benissimo; disse il Merulo; seguitate il uostro parlare, & perdonatemi, s'alle fiate ui dò disturbo. Anzi mi date piacere; gli risposi; Ma per ritornar al nostro proposito, dico; che la Terza parte si nomina Διορισμὸς; cioè, Determinatione del Quesito; il cui officio è di esporre da parte quello, ch'ello sia. La Quarta è detta Costruttione, chiamata da i Greci Κατασκευὴ; la quale è quella, che per ritrouare il Quesito, aggiunge quelle cose, che mancano al Dato. S'aggiunge à queste la Quinta, detta Α'πόδεξις; cioè; Dimostratione; la quale scientificamente ci dà il proposito, col mezo delle cose concesse, & presupposte. Vltimamente ui è la Sesta, detta Συμπέρασμα; la quale Epilogo, ò Conclusione potiamo dire; che di nuouo si uolta alla Proposta, confirmando quello, ch'è dimostrato. Dimandò allora M. Adriano; se si trouano tutte queste cose in ogni Theorema, ò Problema? A cui risposi; Messer nò; ma in ciascheduno si ritrouano necessariamente la Proposta, la Dimostratione, & la Conclusione; percioche fà bisogno conoscer primieramente il Quesito; cioè, quello, che si propone nella questione; & dopoi dimostrarlo con i debiti mezi; & dopo dimostrato concluderlo. Di modo che non può mai mancare alcuna di queste tre cose. In alcuni luoghi Dimostr. Harm. B l'altrepage 18 18 Ragionamento l'altre molte uolte s'adoperano, & in molti da un canto si lasciano; come si può uedere nella 10. del 4. di Euclide; la qual dice; Potiamo constituire il Triangolo de due lati egua li; che habbia all'uno, & l'altro de gli angoli alla base il doppio de gli altri angoli; doue mancano la Determinatione, & la Espositione; massimamente quando l'Esplicatione del Dato è sufficiente, di maniera che non faccia dibisogno altra aggiuntione, per dimo strar quello, che si propone. Ma la Costruttione spesse fiate non si troua in molti Theorema. Et quando nella Proposta non sarà alcun Dato; allora mancherà la Espositione. Ma la proposta il più delle uolte haurà il Dato & il Quesito, non però sempre: percioche alle uolte haurà solo il Quesito, il quale fa dibisogno di conoscere, ouero di farlo, ò ridurlo ad effetto; come già nel detto Problema, ò Proposta si uede, percioche non si dice; Di qual Dato bisogna costituire il Triangolo de due lati equali, c'habbia l'un de i lati equali doppio all'altro; ma solamente si propone, che tal Triangolo da farsi, sia Equicruro. Quando ueramente la Propositione haurà l'uno & l'altro; allora si ritroueranno la Determinatione & l'Espositione. Ma quando 'l Dato non ui sarà; mancheranno etiandio tutte queste cose; percioche l'Espositione & la Determinatione, sono cose, ch'appartengono al Dato. Disse à questo il Sig. Desiderio; Veramente che la cognitione di queste cose è molto necessaria, à uolere hauer piena notitia della Dimostratione; ma forse ch'alcuno de questi Sig. non si contenta ancora; perche uorrà un particolare essempio delle Sei cose nominate di sopra. Voi hauete toccato il segno, disse M. Francesco; questo è quello, che uolea à punto dimandare; però M. Gioseffo non ui sia noioso il darci ad intendere coteste cose essemplarmente. Io credea, dissi; che il mio parlar cosi lungo ui douesse rincrescere, ma per quel ch'io uedo, è tuttto al contrario; hora perche cosi ui piace, statemi ad udire. Sia adunque per fondamento di quello, che ui son per dire, la Prima proposta del 1. de gli Elementi d'Euclide; come più facile, più breue, & come quella, che contiene tutte queste Sei cose; la qual dice; Possiamo sopra una data linea retta terminata costituire un Triangolo equilatero. Tutta questa diceria si chiama Proposta, & si diuide in due parti; cioè, nel Dato, ch'è la Linea retta terminata; & nel Quesito ch'è il Triangolo equilatero. Hora s'io ui uoglio dimostrar questa cosa, incomincierò prima dall'Espositione del Dato, & dirò; Sia la data linea finita ab; dopoi uerrò alla espositione del Qesito, dicendo, Fa dibisogno sopra di essa ab. linea
retta costituire il Triangolo equilatero. Fatto questo uenirò alla costruttione, & dirò; Sopra 'l centro a, secondo la quantità della linea ab, discriuerò il circolo bgc. Simigliantemente sopra il centro b, secondo la quantità della istessa linea ab, descriuerò il circolo agd. Il che fatto, tirerò le linee ag. & gb. Hora pronuncio la Costruttione, dicendo; Dico; che 'l Triangolo agb. è equilatero. Vengo (fatto questo) alla Dimostratione, & dico; In ogni circolo, le linee tirate dritte dal centro alla circonferenza sono equali; la figura bgc. è circolo, & il suo centro è a; adunque la ag. è equale alla ab. Et per prouar l'una & l'altra delle propositioni assonte; & mostrar che 'l Sillogismo non è difettiuo nella materia, perche quanto alla forma e della Prima figura, & in essa non ui è difetto alcuno; dico, che la maggior proposta è la Definitione del circolo, & la minorepage 19 Primo. 19 nore è nota dalla costruttione. Dico ancora; In ogni circolo le linee dritte, che uanno dal centro alla circonferenza, sono equali; la figura agd. è circolo, & il suo centro è b; adunque la linea gb. è equale alla ba. Et per prouar questo secondo Sillogismo, faccio quello, ch'io feci nel primo, & dico, che la maggiore è la definitione del circolo, contenuta ne i principii; & la minore è manifesta dalla Costruttione. Vengo hora ad uno terzo Sillogismo & dico; Quelle cose, che sono equali ad un'altra, tra loro sono anco equali; ciascuna delle linee rette ag, & gb, si troua equale alla linea retta ab; adunque la retta ag. è equale alla retta gb. Et prouo questo sillogismo, dicendo; La maggior propositione è Commun parere; & la parte prima della Minore è la conclusione del primo sillogismo; & quella che segue, è la conclusione del secondo. Hora uengo al quarto sillogismo, & dico; Ciascun Triangolo contenuto da tre linee rette equali, è Triangolo equilatero; Il Triangolo agb. è contenuto da tre linee rette equali; adunque il Triangolo agb. è equilatero. La proua di questo Sillogismo è tale; la maggior proposta è la definitione del Triangolo; & la minor è la conclusione del terzo sillogismo; & cosi è finita tutta la dimostratione. Onde fatto questo aggiungo la Conclusione, & dico, il Triangolo agb. è equilatero, & posto sopra la data linea ab; Adunque sopra la data linea retta terminata è costituito il Triangolo equilatero; come bisognaua fare. Et cosi è compito il tutto; come potete uedere. Vi hò uoluto far questo cosi lungo discorso inanzi ch'io ui ueng'à dimostrar le cose della Musica, à questo fine, per non hauer da replicarui in ogni dimostratione più cosa alcuna; però tenete à memoria, quello che fin qui u'hò detto. Ho inteso, disse il Viola; & molto bene considerato 'l tutto di maniera, che non haurò più cagione di farui replicar sopra queste cose. Voltatosi allora M. Adriano al Sig. Desiderio, disse; Vedete di gratia quanto bell'ordine si tiene nel dimostrare; & quanto sensatamente si capisce ogni cosa; il qual gli rispose; Questa è la natura delle Scienze, che dimostrano; che fatta la dimostratione d'una cosa; tanto ne intende 'l Maestro, quanto 'l Discepolo; & tanto 'l Discepolo, quanto 'l Maestro. Cosi è dissi io, & si potrebbe ueramente dire ancora molte cose; ma perche comprendo, che sete molto bene istrutti di quelle, che fin'hora hò ragionato; però presuppono (essendo queste le più difficili, & più necessarie da sapere) che l'altre ui saranno facili, quando ue le porrò inanzi; per essere ancora cosa di poca importanza. Onde passaremo più oltra, & uerremo al nostro principale intendimento; percioche queste cose, che fin'hora ui hò discorso, non sono quelle, che ui era per dire; ma un preparamento à quei ragionamenti, che seguiteranno. Disse allora il Sig. Desiderio; E' sta to molto utile ueramente M. Gioseffo & molto necessario questo discorso, c'hauete fatto, percioche non attendendo questi nostri amici cari à queste cose; ancora che molte fiate habbiano udito di esse ragionare, bisognaua dimostrarli, come tornano bene & com modo à quello, che uolete dire; però passate pure inanzi, quando ui piace, che mi par che fin'hora habbiamo hauuto una buona lettione. Ripigliai dopo queste parole il mio ragionamento à questo modo: Volendo adunque dar principio alle dimostrationi, è necessario primieramente porre i Principii di questa Scienza; accioche col mezo loro si possa uenir'alle Conclusioni; dimostrando quelle cose, che ci pareranno necessarie. I quali Principij da uoi, com'io credo, non mi saranno negati; se uorrete ch'io uenga all'atto dimostratiuo. Ma per seguitar l'ordine tenuto da i nostri Maggiori, & da i moderni Mathematici ancora; porrò primieramente le Definitioni per ordine, dopoi le Dignità, ò Massime, ò ueramente Communi pareri, che dir li uogliamo; & ultimamente le Dimande, senza le quali poco, anzi nulla potrei dimostrare. Niun di noi; disse M. Adriano; non haurà mai ardimento di negarui cosa alcuna; essendo che sappiamo troppo bene, che non ci proponereste cosa falsa. Ma diteci ui prego; per qual cagione ponete inanzi ogn'altra cosa le definitioni? Alquale risposi; Bella dimanda ueramente, & necessaria Messere mi fate; & anco non fuori di proposito, & di grande utile à saperla; però sappiate, che se ben ui hò detto di sopra, ch'io lo faccio per seguitar gli Antichi; nondime Dimostr. Harm. B 2 nopage 20 20 Ragionamento no questa non può esser buona ragione, anzi la uera è, che le Definitioni sono quelle, che ci danno ad intender quello, che sono le cose, che si hanno da trattare. Percioche ogni ragion vuole, che prima si sappia quel che sia la cosa, di che si uuol ragionare, almeno quanto al nome; inanzi che ella si tratti; acciò non si proceda per termini non conosciuti. Oltra di ciò; perche la Definitione è (come tengono i Filosofi, & come hò detto più inanzi) il mezo della Dimostratione; la onde potete uedere, per qual cagione io mi sia mosso à uolerla porre inanzi ogn'altra cosa. Io son satisfatto; rispose M. Adriano; però incominciate doue, & quando vi piace. Darò adunque principio (dissi io) col nome del Signore alla prima Definitione, la quale sarà questa.

DEFINITIONE PRIMA.

Il suono è cadimento di Voce atta alla modulatione, fatto sott'una estensione.
DISSE qui il Sig. Desiderio; Per qual cagione M. Gioseffo definite uoi il Suono prima d'ogn'altra cosa? Gli risposi; percioche il Suono, ilquale hò definito è detto da Greci φθόγγος, & non ψόφος. il quale significa ogni Strepito; & è principio della Consonanza, & ogni altro Interuallo qual si uoglia della Mu sica; com'è il Ponto nella Geometria principio della quantità, che da lui nasce & dipende; à questo rispose; dicendo. Questa uostra risposta mi satisfa assai; ma ditemi per uostra fè; non è buona la Definitione del Suono data da Boetio,Music lib. 1. cap. 3. la qual dice, ch'è ripercussione d'aria, che uien fino all'udito? Non è in uerità Sig. Desiderio risposi; questa sua Definitione al nostro proposito; imperoche il Musico considera 'l Suono in un'altra maniera, di quel che lo definisce Boetio. Egli definisce il Suono, come cosa naturale in uniuersale; & il Musico lo definisce in particolare, & lo considera come principio della Consonanza, & d'ogn'altro interuallo Musicale, quando dice; Il Suono esser cadimento di uoce atta alla modulatione, fatto sotto una estensione; ò come lo definisce Aristosseno nel primo de gli Elementi harmonici; dicendo: Il Suono è cadimento di Voce in una estensione: intendendo per tale estensione la mansione, & lo stato della uoce; Percioche pare ch'allora il Suono stia, cadendo la Voce in un stato conueneuole al Canto; mentre iui cessa in una estensione: La onde quando ella si uede essere in cotale estensione, allora diciamo il Suono esser voce ordinata alla modulatione; & cadere da tal principio, quasi come fà la Linea dal punto: come potrete uedere dichiarato nel Cap. 6. del Secondo libro de i Sopplimenti; à i quali presto darò fine, à Dio piacendo, & porrò in luce. Laonde udendo, questo il Signor Desiderio, disse; mi piace grandemente questa noua, che ci hauete dato; poi che haueremo di nuouo quello che non aspettauamo; Onde ciascuno Studioso ue ne haurà d'hauere obligo, per le uostre fatiche: ma non uò restardi dirui; che se 'l Suono è cadimento di uoce, tal cadimento non si può far senza mouimento; onde non si ritrouando mouimento senza tempo, ne tempo senza quantità; essendo che se gli attribuisce lunghezza, & breuità, secondo diuersi rispetti; Seguita, che non si può dire, come à me pare, che 'l Suono sia principio della Consonanza, come il Punto è principio della Linea; ma più tosto sia quantità, com'è essa linea; laquale si può diuidere in infinito; percioche hà le sue parti aggiunte ad vn termine commune, ch'è l'Instante. Voi argomentate molto bene, Sig. Desiderio risposi; & ueramente il uostro argomento concluderebbe, quando 'l Musico considerasse 'l Suono, che ho definito, nella lunghez-page 21 Primo. 21 lunghezza; ma non è cosi; percioche lo considera con altro rispetto. Onde douete sapere, che tre cose accadono intorno al Suono; la prima è il Luogo; la seconda il Tempo; & la terza il Colore, diremo cosi. Quanto alla prima; il Luogo del Suono si considera, in quanto ad una certa Relatione di graue, & d'acuto; imperoche quei Suoni, che sono in un'istesso luogo; cioè in un'istesso punto, dirò cosi; il Musico li chiama Vnisoni, & sono senz'alcun'interuallo tra loro, & sott'una istessa estensione, ò qualità. Ma quando si fanno più acuti, ò più graui l'un dell'altro; cioè, quando alcuni de quelli si partono dal detto punto, & uanno in altra parte: allora diciamo, che si trouano in diuersi luoghi, & hanno tra loro Interuallo, & diuerse estensioni, & riceuono tra loro molti Suoni, nel mo do ch'in molti luoghi delle Istitutioni hò dichiarato, & altroue son per dichiarare; essendo che allora tale estensione si muta, & li Suoni diuersi nascono dalla estensione uaria della chorda; percioche i Suoni graui nascono, quando si rallenta alcuna chorda tirata sotto qual si uoglia estensione; & gli acuti, quando tal chorda è più tirrata. Et quanto più si ralenta la detta chorda, tànto più graue rende 'l Suono; & per il contrario, quanto piu si tira, tanto maggiormente rende il Suono più acuto; come anco dissi nel cap. 1. del Secondo Libro sudetto. Il perche considerata la Voce, ouero il Suono dal Musico solamente secondo l'Estensione, & non secondo la Duratione, non cade sotto 'l tempo; ma sotto la qualità di graue & d'acuto; comparando l'uno all'altro Suono;Vide c. 16. Lib. 2. Supple. ma considerato nella sua Duratione, non è dubio, che non sia sottoposto ad esso tempo. La Estensione adunque semplicemente considerata, com'è il Punto, non è diuisibile; ma si bene quando è considerato & riceuuto nella sua Duratione, come Linea. Potiamo adunque dire, che quantunque il Suono sia diuisibile per la duratione, quanto alla lunghezza, e però indiuisibile quanto alla larghezza & alla distanza di graue, & di acuto nella Estensione; essendo che non hà alcuno Interuallo. Onde essendo considerato come Punto, & essendo il Punto indiuisibile; segue anco, che gli Indiuisibili sia; poi che non hà distanz'alcuna in atto di luogo, ò sito, alla simiglianza del punto; se ben l'hà nella Duratione, come hà il punto nella Positione. Ma si come quando tal punto si muoue, uiene à far la Linea; cosi anco mosso il Suono uerso 'l graue, ouero uerso l'acuto, fà l'Interuallo; il quale in larghezza è diuisibile. Il Suono adunque pigliato al primo modo; non si può diuidere; come hò detto; & essendo indiuisibile (ripugnando la diuisibilità all'esser principio) resta, che senz'alcuna con tradittione esso Suono sia anche principio. Se il Suono col tempo dura; disse allora il Signor Desiderio; ello hà lunghezza, essendo misurato dal tempo lungo, ò breue; & se cosi è, si può diuidere: per la qual cosa di nuouo ui dico; che essendo diuisibile, ripugna ch'ello sia principio. A questo risposi; Già ui hò detto, che quantunque il Suono, quanto alla sua duratione habbia lunghezza & da questa parte non sia considerato dal Musico; essendo che lui non considera quella particola, che pone Boetio nella sua Definitione del Suono: Che peruiene all'udito; essendo che troppo ben sà, che bisogna che sia cosi, se 'l si hà da udire; tuttauia lo considera per cadimento di uoce solamente; & ui aggiunge; Ad una estensione; percioche quando nasce il Suono, si uede quasi cadere ad un certo modo dal Corpo sonoro, di doue ello deriua; ma non si ode mutatione alcuna di suono dal graue all'acuto, ò per il contrario; percioche haurebbe più d'una estensione; come da quello, ch'io hò detto, si può comprendere; ma hà una sola qualità, & è di un sol tenore; & tal suono si chiama continuo, mentre che resta in questa estensione. Et uoi sapete, che la uoce continua; essendo che non fà consonanza, ne harmonia alcuna; non è considerata dal Musico, ma si bene la discreta. Et quantunque il nostro parlare familiare (come forse potreste dire) habbia un non sò che di graue & d'acuto; tuttauia al suono, che habbiamo dichiarato, non si uede aggiunta alcuna di queste qualità, che da essa si possa tenere il contrario di quello, che si è detto. Non uoglio però che pensiate, che 'l Musico tenga poco conto de cotali Suoni, ò Voci, quanto alla loro duratione; essendoche cascano sotto 'l senso Dimostr. Harm. B 3 del-page 22 22 Ragionamento dell'Vdito; & è cosa, che appartiene à lui; per ilche notate la seconda cosa, che accasca intorno al Suono, ch'è il Tempo; il quale è considerato, come quel che comprende Numero, ò Rhythmo; onde da questa parte è considerato secondariamente secondo la sua du ratione, nella prolatione delle sillabe lunghe ò breui, contenute nella Prosa, ouer nel Verso: come dichiarai nel cap. 16. del Secondo libro,Vide c. 16. Lib. 2. Suppli. c'hò nominato poco fà. Inteso questo, disse il Sig. Desiderio; Io son benissimo satisfato del uostro parlare, di quello ch'io dubitaua; ma non uiscordate però di dir la terza cosa, che segue 'l Suono, ch'è il Co lore. Non mi son per questo scordato; risposi; però ui dico, che 'l Colore è quello, per il quale sono disserenti le Voci & i Suoni l'un dall'altro; com'è nelle cantilene, le quali consistono nelle uoci, ò ne i suoni, i quali sono tutti sotto diuersi estensioni; & sono (dirò cosi) tortuosi & piegati hor da una parte & hora dall'altra; cioè, hora uerso l'acuto & hora uerso 'l graue; contrario di quel che fanno gli Vnisoni, i quali dal principio loro per tutta la lor duratione, fino al fine sono sotto vna sola estensione; & sotto vna sola qualità, & sotto un solo tenore, alla similitudine della linea retta, la quale giace di pari tra i suoi punti, & si troua esser senz'alcuna larghezza. Tornò di nuouo à dire il Sig. De siderio: Voi uenite pure à confessar, che 'l vostro suono definito habbia duratione, la quale consiste nella lunghezza. Et io à questo risposi; Non hò mai negato questo; come si può conoscere da quello che fin'hora hò detto: Ma che importa questo, purche al mo do che lo considera il Musico, come principio sia indiuisibile. Vi voglio ancor dir una cosa, & poi far fine di ragionar sopra questo principio. Non sapete che quando la Musica è considerata & ridutta nel suo fine, ella è ueramente cosa attiua? & è posta in atto col mezo di quelle cose che sono sottoposte à quel Genere di cose, che succedono l'una all'altra? com'è il Suono, & non in quello, ch'è di cose durabili & permanenti? come volete voi adunque ch'ella si ponga in atto, se i Suoni non restano, & non si fanno vdire per qualche spacio di tempo? il quale non hà alcuna parte, che indiuisibile sia, se non l'Instante? Ma in vero altro è la cosa quanto al suo essere; & altro quanto all'esser considerata; come uediamo delle quantità mathematiche, le quali ancorache non possino esser lontane dalla materia; sono però considerate come da essa lontane. In fatto è cosi; disse egli; come detto hauete, & hauete ragione; però seguitate quello, che più ui piace. Cosi voglio fare, dissi. Allora M. Claudio hauendo inteso questo, disse; M. Gioseffo, hauete posto la Musica nel Genere attiuo; & hauete detto, che i Suoni sono sotto 'l Genere delle cose che succedono l'vna l'altra; di gratia fatteui vn poco meglio intendere; & poi farete quel che più u'aggradirà. Son contento soggiunsi; Auertite adunque che l'Ar ti si ritrouano esser di quattro maniere; imperoche l'vna è detta da i nostri maggiori Θεωριτικὴ; ò Contemplatiua, la quale hà il suo fine nella speculatione; come è l'Arithmetica, l'Astronomia & altre simili. L'altra è chiamara πρακτικὴ; oueramente Attiua, o Prattica, che la vogliamo dire, com è l'arte del Saltare, ò Ballare, del Sonare di cetera, & del Cantare. La rerza è nominata ποιητικὴ, ò Fattiua; com'è l'arte del Fabro, la Pittura, la Scoltura & altre simili. Ma la quarta è detta Κτητικὴ; ò Indagatrice, ò Cercatrice; com'è l'Arte del pescare & quella della Caccia. Onde alcune Arti fanno le cose, com'è l'Ar te del Testore, del Calzolaio & altre simili; alcune conseruano le cose fatte; come l'Arte del gouernar la naue; & altre fanno l'vno & l'altro, com'è l'Arte dello edificare. Et se ben la Musica dalla parte speculatiua è detta Theorica; tuttauia dal porre in atto & nel suo fine le cose, è detta Attiua, ouer Prattica. Ma le cose poste in atto nella Musica non sempre restano, se non tanto quanto elle sono essercitate; imperoche tanto dura il Ballo, quanto colui, che l'essercita si muoue; & tanto si ode la Cetera, quanto sono mosse le chorde da colui, che le percuote: simigliantemente, tanto si ode la cantileua, quanto colui, che canta, manda fuori la voce. Et perche tutti i mouimenti, che sono fatti in questi atti, sono violenti; però non sono durabili; onde passato l'vno, di necessità bisogna che l'altro succeda, se 'lsi uuole, che la cosa stia in atto; oueramente essendo tali mouimenti giunti al fine, è necessario che da capo si rinuo uino; però hò detto che la Musica è cosa attiua, & che le cose, di ch'ella si serue, non sono tra quelle,page 23 Primo. 23 quelle, che rimangono; come quelle dell'arte fabrile, ma tra quelle, che l'una all'altra suc cedono, hanno luogo. Vdito questo M. Claudio restò satisfatto, onde disse; Non mi pentisco di hauerui fatto ragionar queste quattro parole; perche in uero è stata una buona lettione; Onde ui prego à darci spesso de questi buoni cibi; il che farete seguitando quello, c'hauete principiato, secondo che ui uerrà commodo. Cosi son per fare, dissi; Ma perche quando 'l Suono si estende uerso il graue, ò uerso l'acuto, immediatamente si genera l'Interuallo, il quale è il primo considerato dal Musico ad un certo modo, & non semplicemente; percioche il Musico semplicemente, & prima d'ogni altra cosa considera la Consonanza, della quale intende comporre la sua cantilena; però senza porre alcun tempo di mezo, definirò l'Interuallo à questo modo.

DEFINITIONE II.

Interuallo è quello, che è compreso da due suoni differenti per il graue & per l'acuto; i quali nascono da i corpi ò quantità sonore.
IO non starò hora à replicar quello, ch'io dissi nelle Istitutioni dell'Interuallo; ne anco ui dirò le sue specie; percioche credo, che ue lo ricordiate; Ma ui dirò solamente, che questa definitione è dell'Interuallo propriamente, & non del communemente, detto. Et se hauete in memoria quel c'hò detto di sopra, sappiate, che fà di bisogno, che questi Suoni siano differenti di estensione; percioche se tutti hauessero una estensione istessa, non si farebbe altramente l'Interuallo; essendo che questi Suoni parrebbono essere & sariano anche in un'istesso luogo; di modo che la differenza, ò distanza, che si troua tra 'l suono graue, & l'acuto; ò trà l'acuto & il graue, si chiama Interuallo. Questo è chiaro, disse M. Adriano, & s'intende benissimo, & non hà bisogno d'altro commento. Allora seguitai, dicendo: Quantunque creda, che uoi sappiate quello che sia Corpo sonoro; tuttauia lo uoglio da bel nuouo definire, accioche habbiate di lui più certa & più ferma cognitione. Onde dirò, che appresso il Musico.

DEFINITIONE III.

Corpo sonoro è quello, che percosso in qual si uoglia maniera, manda fuori alcun suono.
ADVNQVE, disse, allora M. Claudio; Corpo sonoro sarà qual si uoglia Chorda di ciaschedun'Istrumento musicale; Et non solo questa, ma etiandio le Campane, & qualunque altra cosa fatta di metallo, ò d'altra materia, dalla quale nasca suono; come hò dichiarato di sopra, serà Corpo sonoro. Cosi è, risposi; & di più anco, che ciascheduna Canna fatta di qual materia si voglia, che poco importa, pur che mandi fuori suono, è Corpo sonoro. Ma perche ogn'Interuallo musicale (com'hò detto poco fà) hà distanza, che si troua tra 'l suono graue, & l'acuto; la quale senza dubio cade sotto alcuna proportione; però uolendo i Musici hauer la ragione di tale distanza, non hanno ritrouato miglior mezo, quanto la misura de i nominati Corpi, da i quali nascono i Suoni; onde come cosa più sicura, & men uariabile, elessero la Chorda sonora; & dalle parti fatte di essa, comparate l'una all'altra, ritrouarono quel che cercauano. Ne solamente tal cosa ritrouarono, adoperando una sola chorda; ma Dimostr. Harm. B 4 ancorapage 24 24 Ragionamento ancora ponendone in opera due tre, & quante più di queste ne facea bisogno; come nelle Istitutioni mostrai.2. par. Cap. 20. Et perche le diuisioni sono quasi infinite, & le parti sono di uariate lunghezze, & cadono (comparate esse Parti al tutto, ouero tra loro; oueramente comparati i corpi, da i quali nascono i Suoni, l'uno con l'altro) sotto l'uno de i Cinque generi di proportione di Maggiore inequalità; però auertirete, che nel primo.

DEFINITIONE IIII.

Quell'Interuallo, del quale la maggiore di due quantità sonore contiene la minore più uolte interamente; come sarebbe due, tre, quattro & più fiate ancora, si chiama Molteplice; il primo de i quali si nomina Duplo, il secondo Triplo, il terzo Qua druplo, & cosi di lungo.
COME nella Prima Parte del Capitolo 24. delle Istitutioni più diffusamente dichiarai quello che sia Genere; & mostrai anco le sue Specie. Ma nel secondo luogo diremo, che

DEFINITIONE V.

Quello nel quale la maggior quantità contiene la minore una fiata & una sua parte Aliquota, si chiama Superparticolare; come, se la maggior contiene la minore una sol volta, & una sua meza parte, è detto Sesquialtero; & se la contiene una fiata; & la sua terza parte, è chiamato Sesquiterzo; & cosi gli altri per ordine.
DENOMINANDOLI sempre dalla parte Aliquota. Onde tali comparationi uengono denominate dalla parola Sesqui, aggiuntaui la parte nominata; la qual parte, quello ch'ella sia, nelle Istitutioni dichiarai.1. parte ca. 23. 25. Et perche sò che tutti uoi l'hauete studiate; credo che ue lo ricordate; onde di essa non ne dirò più cosa alcuna. Veramente ce lo ricordiamo, disse M. Adriano, & non habbiamo dibisogno di replica. Seguitiamo adunque (dissi) più oltra, & diciamo che nel Terzo genere

DEFINITIONE VI.

L'Interuallo, nel quale la maggior quantità sonora contiene la minore una sol fiata & più parti di essa, che si chiamano parte Nonaliquota, è detto Superpartiente. Onde se la maggior contiene la minore una fiata con due terze parti, è detto Superbipartiente terzo, & cosi gli altri di lungo.
QVESTI tutti sono stati Generi semplici, i quali hò definito; ma ascoltate le definitioni de due, composti del Primo & dell'uno de gli altri due Generi nominati; & questa sarà la Prima, & terrà il Quarto luogo. Laonde dico; che DEFI-page 25 Primo. 25

DEFINITIONE VII.

Quell'Interuallo è detto Molteplice superparticolare, del quale la maggior quantità contien la minore due, ò più volte, & vna sua parte Aliquota; come se la maggior contiene la minor due fiate con la sua metà, è detto Duplosequialtero.
ET questo è il primo Interuallo di questo quarto genere. Ma auertite bene, che nel Quinto luogo si troua il Secondo de i due Generi composti: Il perche diremo:

DEFINITIONE VIII.

Quell'è nominato Moltiplicesuperpartiente, del quale la maggior contiene la minore due, ò più fiate con vna sua parte Nonaliquota; di modo che quella quantità maggiore, la qual contiene la minore due fiate, & due terze parti fà la proportione Duplasuperbipartiente terza.
ET questo è il Quinto & ultimo genere di proportione l'un dall'altro diuersi; & tal diuersità uiene da quella de i loro Denominatori; come, ragionando nelle Istitutioni1. Par. Cap. 25. intorno à i Denominatori delle proportioni de i numeri, ui dichiarai. Ma sappiate (per uenire ad un'altra Definitione) che,

DEFINITIONE IX.

Le radici, ò Minimi termini delle proportioni sono i numeri Contraseprimi.
QVESTI non possono esser d'altro numero numerati, che dalla Vnità; come dichiarai nelle Istitutioni.1. Par. Cap. 13. Et tanto questi, quanto quelli, che sono detti numeri Tralorocomposti, sono numeri Relati. Auertite però; che,

DEFINITIONE X.

Le Proportioni si dicono esser fuori delle lor Radici, quando sono contenute da numeri Tralorocomposti, ò Communicanti.
DE I quali numeri (come sapete da quello c'hauete letto nel Cap. 13. della 1. Parte delle Istitutioni) niun'all'altro è primo; & possono esser numerati & diuisi d'altro numero, che dalla Vnità. Et perche la Definitione da sè è chiara; però non ui replicherò altro sopra di essa; ma hauendo qualcheduno de uoi da dirmi cosa alcuna, si lascia intendere, auanti che si uada più oltra. Allora M. Adriano disse; Gli altri numeri, come sono Pari, Impari, Parimente pari, Primi & incomposti, Composti, Quadrati, Cubi, & Perfetti, non sono eglino tutti Numeri semplici, & senz'alcuna relatione? Cosi è Messere, risposi; & dimostrate molto ben di hauere studiato le mie Istitutioni; però con uostra licentia passarò ad un'altra Definitione la qual sarà questa. DE-page 26 26 Ragionamento

DEFINITIONE XI.

Quando tre Quantità sonore si troueranno collocate l'una dopo l'altra, di modo che la differenza, che si troua tra la maggiore & la mezana, sia equale à quella, ch'è tra questa & la minore; & che tra le minori si troua la maggior proportione, & la minore tra le maggiori; allora si diranno esser collocate & ordinate in Arithmetica progressione.
MA accioche più facilmente m'intendiate, ui dico; che i Mathematici chiamano Differenza quella Quantità, per la quale una maggiore sopr'auanza una minore; come è manifesto dalla Quarta definitione del Lib. 7. d'Euclide, secondo la tradottione del Campano. Hora ui dò l'essempio di quello, c'hò detto della definitione. Poniamo che a b. & c. siano le quantità nominate, & che d. sia la differenza, che si troua tra a. & b. & e. sia la differenza, che è tra b. & c. Dico, essendo queste due differenze
tra loro equali; & ritrouandosi tra 3. & 2. termini minori, maggior proportione, che tra 4. & 3. termini maggiori; che tali quantità si dicono esser'ordinate secondo la Progressione arithmetica. A questo disse M. Adriano; Questo habbiamo facilmente inteso, per il lume c'habbiamo hauuto dalle uostre Istitutioni; però seguitate il resto. Allora Soggiunsi; Verrò adunque all'altra definitione, & dirò.

DEFINITIONE XII.

Tre Quantità sonore si chiameranno l'una all'altra proportionali, ouer'ordinate secondo la Geometrica proportionalità, quando le proportioni, che si trouano tra la maggiore & la mezana; & tra questa & la minore; & anco tra i termini delle lor differenze, saranno simili & equali.
ET accioche questo ui sia più facile da intendere, dirò in questo modo: siano a. b. & c. le quantità nominate; & d. sia la differenza di a. & b. & f. quella di b. & c. Dico, essendo le proportioni a. & b. b. & c. con d. & f. Duple; che tali quan
tità si dicono esser proportionali; ouer poste in ordine secondo la Geometrica proportionalità. Questa etiandio; disse M. Francesco; non hà dibisogno di replica; Onde soggiun si subito; Passarò adunque ad un'altra definitione, & dirò. DE-page 27 Primo. 27

DEFINITIONE XIII.

Quando saranno tre quantità sonore poste per ordine; & tra la maggiore & la mezana sarà maggior proportione di quella, ch'è tra la mezana & la minore; & anco quella, che si troua tra le differenze della quantità maggiore alla mezana, & di questa alla minore, sia equale à quella, ch'è posta tra gli estremi; allora tal ordine si dirà esser fatto secondo la Proportionalità, ò mediocrità Harmonica.
QVI (disse M. Claudio) bisogna un poco di commento. Facciamolo adunque (diss'io) Siano a. b. & c. tre quantità, & sia f. la differenza di a. & b. & g. sia quel lo di b. & c. Dico, che le dette quantità si diranno collocate in Proportionalità, ouer Mediocrità harmonica; poi che la proportione, che si troua tra a. & b. la quale dal
la Quinta definitione, ch'io ui proposi, potete conoscere, che è Sesquialterà, & è maggior di quella, che è tra b. & c. Sesquiquarta; com'è il proprio di questa Mediocrità. Che segue dopoi, sogiunse M. Desiderio; Segue (& io dissi) che,

DEFINITIONE XIIII.

Se saranno tre Quantità sonore ordinate l'una dopo l'altra di tal sorte, che tra le due minori si troui maggior proportione di quella, ch'è contenuta tra le due maggiori; & quella che si troua tra le due estreme, s'assimigli à quella ch'è posta tra le differenze, le quali sono tra la maggiore & la mezana, & tra questa & la minore; tal'ordine si dirà fatto secondo la proportionalità Contr'harmonica.
ET questa sarà l'ultima definitione. Qui M. Adriano disse; Desidero ueder l'essem pio; percioche di questa mai più non ne hò udito cosa alcuna. Se haueste ueduto Boetio,:2. Arith. cap. 51. risposi, & Giordano,10. lib. Arith. questo non ui parrerebbe cosa nuoua, Messere Ma ueniamo pur'all'esempio. Siano a. b. & c. le nominate quantità, sia & d.la differenza
delle due maggiori a. & b. & e. quella delle minori b.& c. & la proportione, che si troua tra a. & c. ch'è Dupla, s'assimigli à quella, ch'è posta tra d. & e. Subdupla; dico queste quantità esser'ordinate secondo la Contr'harmonica proportionalità, percioche etiandio tra le due minori si troua maggior proportione di quella, ch'è collocata tra le due mag giori.page 28 28 Ragionamento giori. Ma notate, c'hò detto, s'assimiglia; percioche la comparatione, che si fà della mag giore alla minore quantità, è alquanto differente da quella, che si fà delle differenze, che si trouano tra le quantità nominate; essendoche per il contrario (uolendo seguir l'ordine incominciato) si compara la differenza minore alla maggiore; onde nasce la proportione Subdupla, che ne i termini alla Dupla s'assimiglia; come nelle Istitutioni1. par. cap. 21. & 30. & 2. part. cap. 50. hò dichiara to. Ho inteso il tutto benissimo; disse M. Adriano; però proponete quel che ui piace. Soggionsi allora; S'alcuno de uoi hà da dire alcuna cosa, sopra di quel, che fin'hora si è detto, non ponga tempo alcuno di mezo, acciò possiamo ragionar senza interrompimento, quelle cose, che seguono. Rispose il Sig. Desiderio; Non habbiamo altro che dirui; se non ch'à queste Definitioni ci par, che debbano succedere i Pareri communi; che ne dite di questo? non è cosi? Cosi è (risposi io à questo) essendo che sono stati alcuni, i quali hanno tenuto tale ordine; non sò però con che ragione; percioche quei Principij, che seruono à più Scienze, si debbono porre separati da i Principij proprij d'alcuna Scienza, & non mescolarli tutti insieme. Però in questo, parmi, di uoler tener'altr'ordine, & di seguitare insieme con la ragione quelli, che sono stati i migliori; i quali hanno scritto delle cose dimostratiue; che dopo le Definitioni hanno posto le Dimande, & do po queste le Dignità, ò i Communi pareri. Incomincierò adunque da quelle, le quali sono Proprij principij, & il Musico, per dimostrar le cose della Scienza, dimanda che li siano concessi; percioche ogni uolta, che negati li fussero, si negarebbe tutta la scienza della Musica, la quale dipende da essi; ne accascarebbe disputar più di essa cosa alcuna; ilche fatto porrò dopoi quelle. Parue à M. Adriano, che ciò fusse ben fatto, onde disse; E' cosa ragioneuole; bisogna adunque prima che uoi concediate, dissi allora; che,

DIMANDA PRIMA.

Tra i numeri, che sono differenti per l'Vnità; che non si possa porre alcun'altro numero, ò mezano termine.
VE lo concediamo uolontieri; disse M. Adriano; percioche tra 2. & 3. si sà che non si può porre altro numero. E' uero Messere, risposi; perche l'Vnità non si può partire in due parti; ma resta nella Musica indiuisibile. Notate però, ch' io parlo dell'Vnità discreta, & non della Continua; essendo che qual si uoglia Continuo si può diuidere in infinito in parti infinite, in potenza almeno, se non in atto. Perche rispetto; disse il Viola. Per questa ragione, soggiunsi; che ui basterà solamente; perche non si dà nella natura una cosa infinita in atto, secondo 'l Filosofo.3. phy. c. 1. Ibidem. c. 4. & 11. Me taph. c. 9. 4. Physi. cap. 9. La onde douete sapere, che i Numeri sono di due sorti; l'un de i quali si chiama Numero numerante, & l'altro Numero numerato. La Vnità del primo non si può diuidere in atto; ma quella del secondo è troppo ben diuisibile; essendo che questo non è altro, che una moltitudine di co se numerate. Allora M. Claudio disse; Mi piace questa bella distintione del Numero, & la espositione, di questo principio.All'altro adunque, dissi; bisogna che mi concediate; che,

DIMANDA II.

Se vn Numero ne multiplicherà vn'altro dato; & l'istesso diuiderà il prodotto; che ritorni l'istesso numero dato.
SIA-page 29 Primo. 29 SIAVI ancora questo concesso; rispose il Viola; perche se 'l si moltiplica 24. per 6. ne uiene 144. & diuiso tal prodotto medesimamente per 6. senza dubio ritorna 24. il che manifesta quel che s'habbia da intendere in questa seconda dimanda. Disse allora il Merulo; A fè M. Francesco, che uoi siete un buon mathematico, & mi allegro; però M. Gioseffo ponete fuori la terza se fa dibisogno; poi che questa s'intende. Concedetemi etiandio, se cosi uolete, ch'io uada più oltra, dissi; che,

DIMANDA III.

Se vn numero partirà prima vn'altro dato; & il prodotto dopoi si moltiplicherà per il Diuisore; che ritorni il primo Numero dato.
QVI voltatosi il S. Desiderio à M. Adriano, disse; Che direte uoi à questa, Messere? Questo, rispose egli; è il contrario di quello, ch'inanzi s'è detto, per quel ch'io m'accorgo. Percioche se diuideremo 144. per il 6. ne uerrà 24. onde tal prodotto moltiplicato per il 6. darà senza dubio alcuno 144. secondo che dice questa dimanda. A questo disse M. Francesco; Che ui pare M. Gioseffo del nostro Messere? Parui forse, che egli non sappia far conto? Cosi fà, risposi; chi hà Denari assai. Burlate M. Gioseffo; disse M. Adriano; per quel ch'io uedo. Al quale disse M. Claudio; A fè, che non burla ello, anzi dice il uero; perche n'hauete guadagnato assai col mezo del uostro ualore. Ne hò guadagnato assai ueramente, rispose egli; ma holli anco dispensato à i miei più stretti parenti; il perche pochi ne posso hauere. Ond'io soggiunsi; Voi hauete fatto da huomo da bene, come uoi sete; però non ui hò dato la burla à dire, che chi ha assai Denari, sà far ben conto. Ma non più di questo: Vltimamente concedetemi; che,

DIMANDA IIII.

La Proportione de gli estremi si dice esser composta de i mezi Proportionali; come da sue parti.
CHE si hà da intender'in questo luogo, per gli estremi? disse M. Francesco; Il Massimo & il Minimo, risposi io. Dechiarateci questa, disse M. Adriano; & poi seguitate à dir quello, che più ui piace. E' molto ben honesto Messere, risposi; hauendomi tolto questo carico: però attendete. Se fussero quattro termini a. b. c. & d. & a. d. fus sero gli estremi; cioè a. il Massimo, & d. il Minimo, i quali contenessero la proportione Dupla; allora diressimo, che questa proportione contenuta da tali estremi fusse composta;
percioche la proportione Sesquiquinta a. b. & la Sesquiquarta b. c. con la Sesquiterza c. d. fanno aggiunte insieme la Dupla proportione a. b. Oueramente si direbbe, ch'aggiungendo la proportione Sesquiquarta b. c. alla Sesquiquinta a. b. si farebbe la Sesquialtera a. c. che congiunta alla Sesquiterza c. d. farebbe la Dupla contenuta tra a. & b. Et questo è tanto manifesto, che non hà dibisogno d'altra proua. Niuno di noi haurà ardimento, disse il Sig. Desiderio; di negarui questo principio; perche, com'hauete mostrato, da se stesso è chiaro; inteso che si hà i termini della cosa. Voglio adunque, dissi che queste Di man-page 30 30 Ragionamento mande siano basteuoli à quelle cose, ch'à mano à mano son per dirui; dopo ch'io ui haurò proposto i Communi pareri, ouer Massime; dette da i Greci Α'ξιώματα; le quali, per la loro euidente uerità, si chiamano anche Dignità; la prima delle quali sarà questa.

DIGNITA' PRIMA.

Ciascheduna cosa, che misura vn'altra, misura anco tutto quello, che dalla misurata è misurato.
DATECELO ad intendere; soggiunse M. Adriano. Poniamo adunque (dissi) tre quantità a. b. & c. delle quali a. misuri, ò numeri due fiate la b. & questa sia la misurata, che numeri, ò misuri la c. due fiate. Dico che a. numera la c. quattro fiate, che fù dalla b. misurata due. Et questo è quello, che questa Dignità uuol inferire. Disse allora Messer'Adriano; La cosa è chiara, & non ha di
bisogno d'altra dimostratione. Adunque seguendo quello, ch'io ho incominciato, soggiunsi; dirò; che,

DIGNITA' II.

Il Composto si risolue in quelle cose semplici, delle quali si compone.
SOGGIVNSE il Sig. Desiderio; Questo è tolto d'Aristotele nella Fisica, & nella Metafisica, & anco nel Libro 3. del Cielo. E' uero, risposi; la onde M. Francesco aggiunse; Questo par che sia difficile, & è ueramente facile da intendere; pur desideriamo, che sopra di questo (per maggior nostra intelligenza) ragionate qualche cosa. Notate adunque, soggiunsi; che tutta la scuola de i Filosofi chiama Elemento quella cosa, della quale primieramente un naturale Indiuiduo si compone; di maniera che nella resolutione tale Indiuiduo non si può risoluere in altri corpi, che siano primi. Del che (per darui un'essempio) piglierò l'Huomo, il quale è composto de i Quattro elementi Terra, Acqua, Aria, & Fuoco; onde, perche niun de questi quattro si risolue in altro corpo, che sia primo di loro; essendo che non si ritroua alcun Corpo corruttibile, che sia primo de i Quattro nominati Elementi; però è neccssario, che morendo l' Huomo, si risolua il corpo ne i detti Elementi, & non in altri corpi; percioche tali Elementi sono corpi semplici, de i quali è composto; & ciascheduno altro corpo è de questi composto, ouer Misto. Questo s'intende, disse Messer'Adriano; & uolete dire; se un Interuallo fusse composto de Tuoni & Semituoni; che risoluendosi, in Tuoni & Semituoni, etiandio si risoluerebbe. Stà molto bene; onde passarò alla terza Dignità; è dirò.

DIGNITA' III.

L'Vnità è parte di qual si voglia numero; denominata da lui medesimo.
ETpage 31 Primo. 31 ET questa è tolta di peso dal Settimo d'Euclide. Et l'essempio si piglia dall'Vnità, la quale per esser'una delle parti del Binario, tal parte si dice la Metà. Simigliantemente, perche nel Ternario si trouano tre unità; la vnità è detta Terza parte di esso. Il che si può anco dir de gli altri Numeri; ma è cosa tanto chiara, che non fà dibisogno dirne più parola. Ma per il Quarto parer commune, ò Dignità, dirò;

DIGNITA' IIII.

L'Vnità moltiplicata in qual si voglia Numero, produce quel numero istesso.
ET ciò uedete manifestamente esser uero; percioche se uoi moltiplicarete il Senario per la Vnità, uerrà l'istesso Senario; com'è noto à ciascheduno, che sia essercita to nell'Arithmetica. Et anco questa Dignità è di Euclide nel luogo nominato. Qui non è dibisogno di commento, disse il Viola. Adunque uerrò all'altra, dissi; & sarà questa.

DIGNITA' V.

Ciaschedun numero, il qual moltiplica, ò diuide i termini di qual si voglia proportione, produce la proportione medesima.
QVESTA istessa, disse M. Adriano; mi ricordo hauer ueduto nelle Istitutioni; è ben uero, che le aggiungete il Partire; ma qui non è dubitatione alcuna, che cosi sia. Cosi è Messere, gli dissi; pur uoglio dirui una parola; che se noi moltiplicheremo 3. & 2. termini radicali della proportione Sesquialtera, per il 4. ne uerrà 12. & 8. i quali conteneranno la medesima Sesquialtera, tra i numeri Tralorocomposti; essendo però 1 1/2 il Denominator dell'una & dell'altra. Ma se diuideremo 12. & 8. per il medesimo 4. na scerà 3. & 2. i quali senza dubio alcuno contengono quella proportione istessa, che contengono i primi; che sono 12. & 8. Ma passiamo un poco più oltra.

DIGNITA' VI.

Quel che misura il cauato, & il restante d'vna quantità; misura etiandio il Tutto di quella.
ET questo si fà palese ad ogn'uno, che sano sia di giudicio; percioche se noi da 24 leuaremo 18. ne resterà 6. Onde dico, che se 'l 3. numera, ò misura il 18. ch'è il cauato di 24. & il 6. ch'è il restante; al medesimo modo misurerà, ò numererà etiandio il Tutto, ch'è il 24. Et è uero; perche il 3. numera il 6. due fiate; il 18. sei; & il 24. otto uolte. Allora soggiunse il Merulo; Meritamente si chiamano Communi pareri, ò Massime, ò ueramente Dignità, che dir le uogliamo, essendo che non sò pensarmi, chi sa rebbe quel tanto pazzo, che uolesse tenere il contrario. Che ne dite uoi Messere di questo? Sarebbe ueramente da connumerar tra i balordi, rispoe; & priui d'ogni sentimento. Però seguitando ripigliai il mio ragionamento in cotal modo. DI-page 32 32 Ragionamento

DIGNITA' VII.

Quell'Interualli sono simili & equali, che da termini simili sono contenuti; ouer'hanno le Denominationi loro da vn'istesso Denominatore. Ancora quando diuiso 'l maggior termine d'vno, secondo il maggior dell'altro; & il minore, secondo 'l minore. Simigliantemente, quando moltiplicato il maggior di vno scambieuolmente secondo il minore dell'altro; i prodotti vengono equali.
LA prima parte di questa Dignità da se stessa è manifesta; quando la simiglianza & la equalità si piglia dalla parte della forma, & non della materia; & del resto hab biamo la proua in mano; percioche noi sappiamo, che tanto la proportione, che si troua tra 3. & 2. quanto quella, ch'è contenuta tra 9. & 6. è detta Sesquialtera, dal Denominatore dell'una & dell'altra, il quale è 1 1/2. se ui ricordate quello, ch'io dissi in questo proposito nelle Istitutioni.1. Part. Cap. 25. Et se noi partiremo il 9. termine maggiore della se conda data proportione, per il 3. pur termine maggiore della prima; & il 6. minore termine dell'una per il 2. termine minore dell'altra; tanto da una parte, quanto dall'altra uerrà 3. Onde uerrà anco 18. moltiplicando 'l 9. per il 2. & il 6. per il 3. ch'è segno manifesto esser uero quello, c'habbiamo detto. Il perche aggiungeremo à questo:

DIGNITA' VIII.

Quello è Maggiore interuallo, il quale è denominato da maggior Denominatore, & quello è minore, ch'è denominato da minore.
ET ciò è manifesto; percioche l'interuallo Sesquialtero è maggior del Sesquiterzo com'è maggiore 1 1/2. Denominator del primo, di 1 1/3. Denominator del secon do. Aggiunse il S. Desiderio; Questo è troppo manifesto; & però stà bene, che questo principio sia numerato tra le Dignità. Seguitai dopo questo: Vi uoglio etiandio aggiungere; che simigliantemente.

DIGNITA' IX.

De i Numeri & de gli Interualli, quella parte è maggiore, la quale hà maggiore Denomina tore, & minor quella, che l'hà minore.
ANCORA che pari, che questa & la precedente siano quasi una cosa istessa; & che questa douerebbe porsi auanti di quella; tuttauia hò uoluto, che qui sia il suo luogo; essendo che sempre il Tutto uà inanzi le Parti. Et perche quella Parte, ch'è la metà d'alcuna cosa, sempre è maggior di quella, la quale è la terza parte; però non è du bio che quella parte, ch'è denominata dalla metà, sia maggior di quella, ch'è denominata dalla terza. La onde perche questo è pur troppo noto à tutti quelli, c'hanno qualche intelligenza delle cose; pero uerremo ad un'altra Dignità, ò parer commune, il quale sara questo. DI-page 33 Primo. 33

DIGNITA' X.

Quelle cose, che ad vna cosa istessa sono equali; sono etiandio tra loro equali.
VOLETE di questo l'essempio? eccouelo. Poniamo tre quantità a. b. & c. dico, che se a. & b. saranno separatamente l'una dall'altra equali alla c. la a. sarà al me desimo modo equale alla b. Et quello che si uerifica in una sorte di quantità, si uerifica etiandio in un'altra. Questo non hà bisogno d'altra proua, disse M. Adriano; pe
rò si può proceder più oltra. Et io, per farli piacere, non stetti molto; onde dissi. Auertite che,

DIGNITA' XI.

Quelle cose, che tra loro sono equali, ad vna cosa istessa sono equalmente Molteplici, ò Superparticolari; ò d'alcun de gli altri Generi.
QVESTO hà dibisogno d'esser dichiarato, disse qui il Merulo. Dichiaramolo adunque, soggiunsi; & siano tre quantità a. b. c. per essempio, delle quali a. & b. siano equali; & l'una & l'altra sia il doppio della c. E' manifesto da quel che detto habbiamo di sopra, che quella proportione, che si troua tra a. & c. si troui anco tra b.
& c. Intendo, intendo hora il tutto, disse M. Claudio; passate pur'inanzi. Diremo adunque, soggiunsi da nouo; che,

DIGNITA' XII

Di quelle cose delle quali i Tutti sono equali; equali etiandio sono le lor parti.
ET chi non credesse, che cosi fusse; da questo si potrà chiarire. Siano a. b. due quantità; & sia c. d'una & l'altra la Terza parte. Dico, che se 'l si farà a. & b. equali in d. & e. secondo la quantità di c. quel che nascerà dalle dette quantità, sarà cambie uolmente equale. Oltra di questo, se 'l si farà equale la c. f. alla Terza parte di tutta la c. quella proportione, ch'era prima tra tutta la a. ouer la b. con tutta la c. si trouerà anco tra le parti loro; cioè, tra la a. d. ouer b. e. con la c. f. & etiandio tra tutta la d. ouer tutta la e. con tutta la f. la quale senza dubio alcuno è Tripla medesimamente. Veramente è cosi, affermò il Sig. Desiderio; percioche, secondo 'l principio d'Euclide, Se da cose equali si leueranno cose equali; i rimanenti saranno equali; onde si come tra a. & c. & tra b. & c. Dimost. Harm. C sipage 34 34 Ragionamento
si troua la proportione esser Tripla; cosi leuata da tutta la quantità a. la parte ad. & da tut ta la b. leuata la be. ne uiene la d. & la e. ciascheduna delle quali con c. uengono ad essere in Dupla proportione. E' cosi in fatto, dissi; & il Principio, che hauete allegato è il Terzo Commun parere, che Euclide pone nel principio del lib. 1. de suoi Elementi. Di rò; disse hora M. Francesco; che questo è tanto manifesto, che chi lo uolesse negare, sarebbe riputato un pazzo. Seguiterò l'altro, risposi; ilquale è,

DIGNITA' XIII.

Qual si voglia cosa, che raddoppiata sia equale ad un'altra, fà dibisogno, ch'ella sia la sua metà.
ET questo è manifesto per l'essempio; percioche se raddoppiaremo la quantità a. di maniera, che ne uenga b. la quale è di tanta quantità, quanta è la c. ch'è il doppio di a. bisogna necessariamente confessare, che a. sia la intera metà della quan
tità c. Et perche questo è purtroppo uero; però non mi affaticarò più per daruelo ad intendere; ma passarò ad un'altra Dignità.

DIGNITA' XIIII.

Ciascheduna cosa, la quale, essendo raddoppiata ne trapassa un'altra; è necessario, che la sia più della sua metà intiera.
ET questo è più che manifesto; percioche se saranno due quantità a. & b. delle quali a. sia minore della b. dico, che essendo c. la quantità a. raddoppiata; se la c. trapassarà la b. ch'essa a. sarà più della metà intera della b. Ecci un'altro parer commu
ne à questo contrario; & è questo. DI-page 35 Primo. 35

DIGNITA' XV.

Quel che raddoppiato non arriua all'intiero, non può per alcun modo esser la sua metà.
IL che è manifesto da questo; che si troua essere un'istessa Disciplina de due contrarij: che se la quantità a. sarà il doppio della quantità b. & non arriuerà alla quantità c. che b. non sarà la metà della c. come ciaschedun de uoi può com
prender chiaramente. Ma ascoltate questa, la quale è nota à tutti quelli, che sono capaci di ragione.

DIGNITA' XVI.

La Metà di qual si voglia cosa, necessariamente casca nel mezo di due; delle quali l'una sia maggiore di essa, & l'altra minore.
ET se ben questa Dignità sia da se stessa chiara; tuttauia, per magiore intelligenza, porrò la quantità a. la quale è la metà della b. onde è cosa assai ben chiara, ch'essendo la c. minore di essa a. & la d. maggiore; ch'essa a. casca nel mezo della
e. & della d. Ma chi sarebbe quel tanto sciocco & tanto balordo, che uolesse negare que sto, ultimamente?

DIGNITA' XVII.

Ogni Tutto esser maggior della sua Parte.
QVALCHE pecora campi, disse à questo il Sig. Desiderio. A punto (diss'io) un pecora campi; essendo che tanto sarebbe dire, che la quantità a. che ui dimostro sopra quest'asse, & è minore & parte della b. fusse ad essa b. equale, oueramente maggiore; cosa molto lontana; anzi dirò lontanissima dalla uerità. Tanto sarebbe anco,
disse M. Adriano; à dire, che 'l Tutto fusse minore della sua parte; quando quel che detto hauete, fusse uero; percioche se questa è uera; La parte è maggior del suo Tutto; uale anco à dire per il contrario; Il tutto è minor della sua parte; Dimost. Harm. C 2 essendopage 36 38 Ragionamento essendo che sono relatiui l'uno all'altro. Messere, dissi; uoi sete diuentato un gran Logico, & sapete molto bene riuoltare una propositione; & parmi che l'esser stato à Pariggi ui ha giouato molto; perche la uostra conclusione è uera; ma veniamo ad altro. Io non son per proponerui per hora altri Principij: ma quando 'l tempo & il luogo lo ricercheranno, allora ue ne proponerò de gli altri, che faranno al proposito. Onde questi, che mostrato & proposto ui hò, saranno à sufficienza per dimostrarui quello, di che habbiamo à ragionare. Parmi hora di uedere, disse il S. Desiderio; verificarsi quello, che detto hauete nelle Istitutioni;1. Par. c. 20 ch'essendo la Musica subalternata alla Arithmetica, ella piglia una gran parte de questi Principij ad imprestido da questa Scienza; massimamente de questi ultimi, che hauete chiamato Dignità. Onde si uede, ch'una Scienza porge aiuto all'altra; secon do che più fiate hò ueduto in quel, ch'io hò studiato, & hora lo uedo in fatto. Questo non è dubioso appresso d'alcun Dotto (dissi io) che la Scienza subalternata non usi alcuno de i principij della Scienza subalternante. Ma bisogna che 'l Musico habbia questa auer tenza, di pigliarne meno, che ei puote; & quando è sforzato d'usarli, bisogna che li usa in un'altra maniera di quello; che si usano nell'Arithmetica. La onde si debbono usar secondo 'l modo, che si tiene nelle dimostrationi della Musica; applicandoli à i Suoni, à i musici Interualli, & à i Corpi sonori; accioche l'una con l'altra corrispondino in una certa proportione. Mi par mille anni, soggiunse M. Adriano; che incominciate à dimostrar qualche cosa. Non andrà molto in lungo Messere, risposi; che in fatto lo uedrete; ma per hoggi non intraremo à dimostrar quelle cose, che uoi desiderate di uedere intorno à gli Interualli della Musica: dimane poi, piacendo à Dio, sarete pienamente satisfatto; percioche bisogna prima trattar quelle, che più presto appartengono ad un certo uniuersale nelle cose delle Proportioni, che à gli Interualli, ò Consonanze istesse. Ma per non proceder più in lungo, uerrò alle Proposte; delle quali la Prima sarà.

PROPOSTA PRIMA.

Si può continuar due, ò più Interualli l'un dopo l'altro, che siano simili di proportione.
FERMATEVI M. Gioseffo, disse allora M. Adriano; Per quel che mi ricordo ha uer ueduto & letto nell'Istitutioni; parmi che non sia necessario nella Musica, il continuar due, ò più Interualli d'un istessa proportione l'un dopo l'altro; percioche ne i loro estremi non fanno consonanz'alcuna, & i ueri Numeri harmonici non comportano cotale continuatione. Ancorache questo non sia uniuersalmente uero, risposi; percioche falla in molte delle proportioni Molteplici; tuttauia non hà da esser fatto fuori di proposito, per quel ch'io son per dimostrarui; percioche se ben alle cose della prattica non fà dibisogno soggiungere, ò preporre tanti Tuoni, ò altri Interualli simili di proportione, continuati l'un dopo l'altro; nondimeno nelle cose speculatiue alle fiate occorre di adoperar tali modi. Onde non uoglio lasciar di dimostrarui questa cosa; acciò dimostrar ui possa quel che farà dibisogno. Ma auertite, che per questo continuare, ch'io dico; non intendo altro, che 'l Moltiplicar due, ò più proportioni simili l'una dopo l'altra. V'intendo, disse M. Adriano; & comprendo hora l'utile, che si potrà hauere di questa cosa; però seguitare il uostro parlare. Soggiunsi allora; Siano a & b. i minimi termini della proportione di qual si uoglia Interuallo, che noi uogliamo molteplicare. Dobbiamo prima moltiplicare a. in se stesso, & ne uerrà c. dopoi lo moltiplicheremo co 'l b, & ne nascepage 37 Primo. 37
rà d. Fatto questo moltiplicheremo etiandio il b. in se stesso, & ne uerrà e. Dico hora c. d. & e. esser due Interualli simili continuati & insieme congiunti; cioè, c. d. il primo; & d. e. il secondo. Percioche c. & d. nascono dalla moltiplicatione di a. in se stesso, & anco in b. però (per la Quinta dignità) tanta è la proportione di c. & d. quanta quella di a. & b. Più oltra; perche d. & e. nascono dalla moltiplicatione di b. in se stesso & in a. però (per l'istes sa Dignità) tanta è la proportione di d. & e. quanta quella di a. & b. Onde se tanta è la pro portione di c. & d. & anco di d. & e. separatamente, quanto è quella di a. & b. seguita, che habbiamo tra c. d. & e. due Interualli continuati da un'istessa proportione contenuti; com'è il proposito. Ma per hauere un terzo Interuallo; moltiplicheremo di nuouo c. d. & e. per a. & ancora e. per b. & ne uerrà f. g. h. & k. i quali simigliantemente, per la già allegata quinta Dignità; saranno tre proportioni, ò Interualli simili à quel ch'è contenuto tra a. & b. cioè, f. g. per il primo; g. h. per il secondo; & h. k. per il terzo. Et per hauer'il quarto à questi tre congiunto, di nuouo moltiplicheremo a. con f. g. h. & k. & anco b. con K. & haueremo, per la Quinta nominata, quattro proportioni simili alla a. b. continuate & moltiplicate l'una dopo l'altra; cioè, l. m. la prima, m. n. la seconda; n. o. la terza; & o. p, la quarta, secondo 'l proposito. Et questo è tutto quel che dimostrar ui douea. La onde operando in questo modo, si potrà continuar quanti Interualli faranno dibisogno l'un dopo l'altro, i quali saranno etiandio contenuti da una proportione istessa, in un'ordine Radicale; ilche farà qual si uoglia Interuallo, quando sarà moltiplicato ne i suoi minimi termini. Hora si uede, disse M. Adriano, la grandezza della Dimostratione; la quale con firmata da i Principij, fà che ueramente sapiamo le cose; essendo ch'è impossibile, che stiano altramente di quello, che sono dimostrate. In fatto è cosi Messere, soggiunse M: Claudio; ma ui uoglio dir, che se ben questa cosa, che hà dimostrato hora Messere Gio seffo, non s'adoperasse mai, non mi dispiace d'hauerla imparata; percioche è molto bella, & à me ueramente noua. Ma come potrei far, s'io uolesse in cotal maniera continuare l'un dopo l'altro due Interualli, che non fussero di proportione simili? Bene, risposi; se terrete quest'ordine istesso; è ben uero, che bisognerà por sempre gli Interualli (come ui mostrerò) l'un sopra l'altro; di modo che sempre dalla parte di sopra stiano i termini di quel che uorrete soggiungere, & di sotto i termini di quel che uorrete preporre. Ma acciò che meglio m'intendiate, ui uoglio far la dimostratione. Ascoltate adunque la proposta.

PROPOSTA II.

Potiamo continuar dur, ò più Interualli differenti di proportione l'un dopo l'altro, & ritrouar l'Ordine radicale de i prodotti termini.
Dimostr. Harm. C 3 NO-page 38 38 Ragionamento NOTATE, c'hò aggiunto in questa, di ritrouar l'Ordine radicale de i termini prodotti; percioche alle fiate auerrà; ma non sempre, che aggiungendo due proportioni diuerse insieme, i prodotti saranno collocati ne i numeri Tralorocomposti. Però accioche con più facilità possiate intender'il Tutto, & adoperar questi Inter
ualli commodamente, quando farà dibisogno, si ridurano nella lor Radice. Et perche sò che ui sono incogniti questi termini; cioè, Ordine radicale, & Radice delle proportioni; però non ui starò à replicar cosa alcuna; ma uenirò alla Dimostratione. Siano a. b. & c. d. minimi termini de due Interualli, quali si uogliano, differenti di proportione; cioè, a. & b. di uno, & c. & d. dell'altro, che uogliamo insieme moltiplicare. Moltiplico primieramente a. in c. & in d. dopoi b. in d. onde ne uiene e. f. & g. Dico hora e. f. & g. contenere l'Interuallo a. b. & lo c. d. cioè, e. f. il primo, & f. g. il secondo. Et perche, per la Quinta dignità; Qualunque numero moltiplicato ne i termini di qual si uoglia proportione, produce la proportione medesima; nascendo e. & f. dalla moltiplicatione di a. ne i termini c. & d. dico e. & f. esser di tanta proporrione, quanta è c. & d. Simigliantemente dico, risultando f. & g. dalla moltiplicatione di d. in a. & b. per l'istessa dignità; f. g. contener la proportio ne istessa, che contengono a. & b. secondo 'l proposito. Il perche, se tanta è la proportione di e. & f. quanta è quella di c. & d. & tanta quella di f. & e. quanta è quella di a. & b. seguita, che tra questi termini e. f. & g. habbiamo continuato due Interualli differenti di proportione l'un dopo l'altro; come dice la proposta, & secondo che ui douea dimostrare. Ma perche per la Decima definitione, e. f. & g. sono tre Numeri Tralorocomposti, i quali possono esser numerati d'altro numero, che dall'Vnità però, come c'insegna il Cap. 43. della Prima parte delle lstitutioni, ritroueremo un numero, ò termine, il maggior, che si possa ritrouare, che numeri ciafchedun da persè & insieme de i nominati tre nume ri; il quale sarà h. onde diuiso e. f. & g. per h. nascerà k. l. m. i quali dico, per la Nona definitione, esser Numeri Contraseprimi, & per consequente minimi termini & radicali di questi due Interualli, i quali, per la già detta Quinta dignità, contengono quell'istesse proportioni, che tra e. f. & g. sono contenute; percioche Ciaschedun numero, il quale partisca i termini di qua si uoglia proportione, produce la proportione medesima. Et questo è tutto quello, che secondo la proposta ui douea dimostrare. Notate ancora, che s'à que sti due Interualli ne uoleste aggiungere un terzo; moltiplicando il suo maggior termine radicale con k. l. & m. & il minor di nuouo con m. si haurà il proposito; riducendo poi li termini, quando fusse bisogno, se fussero numeri Tralorcomposti alla Radice; seguendo l'ordine mostrato nel detto Cap.43. onde si potrà proceder in infinito. Ma se per caso uo leste per il contrario, che la proportione, ò interuallo c. d. fusse preposto, & a. b. fusse soggiunto; allora non si haurebbe da far altro, se non di cambiare i luoghi, & porre lo a. b. nel luogo dello c. d. & questo nel luogo di quello, & haureste il proposito. Queste cose so no molto diletteuoli, disse il Sig. Desiderio; percioche in esse si uede un'aperta uerità; es sendo che subito dimostrate; achettano l'intelletto. Et però ben disse quel gran Filosofo;Auer. 2. Metap. com. 1. che le dimostrationi Mathematiche sono nel primo grado di certezza collocate; & che le Naturali seguitano quelle. Questo è uero risposi; ma udite un'altra proposta. PRO-page 39 Primo. 39

PROPOSTA VII.

Se un'Interuallo Molteplice sarà doppiato; quell'Interuallo, che verrà da tal doppiamento sarà etiandio Molteplice.
AVERTITE prima, che 'l Raddoppiare un'Iteruallo non è altro, ch'aggiungere in sieme due Interualli, che siano contenuti da un'istessa proportione. Però dico: Sia nel sottoposto essempio a. b. l'Interuallo Molteplice semplice, che uogliamo raddoppiare; & sia c. d. e. l'Interuallo proposto; cioè, a. b. raddoppiato; come c'insegna
la prima proposta di questo nostro ragionamento; di modo che c. sia al d. Moltepllce, & il d. all'e. Dico etiandio il prodotto Interuallo c. & e. esser Molteplice. Et perche d. è mol teplice di e. però, per la Definitione de i Molteplici, e. misura il d. interamente più d'una uolta. Ma dalla suppositione fatta di sopra; si come d. è molteplice con e. cosi c. è molteplice con d. il perche e. misura esso c. più fiate interamente. Adunque, per la sopradetta Definitione, il c. è molteplice di esso e. come bisognaua dimostrare. Ditemi di gratia, disse M. Adriano; & perdonate alla mia curiosità; percioche la facilità di questa dimostra tione mi fà, ch'io ui dimandi, se questa Proposta si può dimostrar'in altro modo. Si può ueramente, dissi; Messere. Adunque, soggiunse M. Claudio; si può fare in una proposta istessa diuerse dimostrationi. Ben sapete, gli risposi; percioche essendoui molti mezi; ui so no ancora molte dimostrationi. Dimosttatelo adunque per uostra fè, disse il Viola. Cosi uoglio fare, per satisfarui, dissi. Sia adunque di nuouo l'Interuallo a. & b. molteplice; co me propone la proposta; il quale per la Prima di questo, sia raddoppiato; & sia c. & e. il doppio; & la proportione, che si troua tra c. & d. & sia anco tra d. & e. Dico l'Interuallo c. & e. esser simigliantemente Molteplice. Et che cosi sia lo dimostro. La proportione, che si troua tra a. & b. per la Settima dignità; è quella, che si troua anco tra c. & d. & simiglian temente tra d. & e; onde ciascheduna da per se è la metà della raddoppiata c. & e. ma la proportione a. & b. è posta Molteplice; adunque la proportione c. & d. medesimamente è Molteplice. Il d. adunque, per la Quarta Definitione, misura 'l c. due, ò più fiate; & all'istesso modo tante fiate e. misura il d. per il che etiandio medesimamente, per il Primo commun parere, ò Dignità, che dice; che Quella cosa, che misura un'altra, misura anco quel la, ch'è misurata da lei; e. misura esso c. Adunque per la Definitione de i Molteplici, l'Interuallo c. & e. uiene ad esser Molteplice; come faceua dibisogno di mostrare. Ogni cosa torna molto bene, disse M. Adriano; ma inanzi che si proceda piu oltra ditemi. Voi hauete allegato molte fiate il modo d'operare alcuna cosa; secondo le uostre Istitutioni; non dimeno in esse dimostrate poche cose, per quel che mi ricordo; anzi piu tosto procedete con un'atto prattico; però desidero, che sopra di questo mi diciate qualche cosa. Soggiunsi allora; Questo Messere è di poca importanza; ne in questa parte, che serue all'accommodar l'essempio, ò figura alla Dimostratione; la quale nominai Κατασκευὴ, ò Costruttione (stando nelle già nominate cose, ch'entrano in ciaschedun Theorema, ò Problema) fà molto dibisogno, che tale operatione nasca dalla Dimostratione; pur che quel che si opera sia fatto senza errore, & secondo 'l proposito. Imperoche quando si uiene poi alla Quinta, ch'è la Α'πόδειξις, ò Dimostratione; allora si fà noto il uero, oueramente il falso dalle premesse. Ma uoglio che sapiate; se ben nelle Istitutioni hò proceduto nel mostrar le cose con atto prattico, com'hauete detto; che tali operationi non son fatte à caso; anzi soDimostr. Harm. C 4 nopage 40 40 Ragionamento no cauate dal fonte delle Dimostrationi, c'hanno fatto de loro i Mathematici. Di modo che il tutto uiene ad esser fatto senz'alcun'errore; essendo c'habbiamo anco la proua, la quale non è altro, ch'un certo mezo, & una dimostratione, che scuopre, se quel che noi operiamo nel cercar la uerità d'alcuna cosa, habbiamo operato senz'errore. Et se ben per l'auenire potessi allegare un modo di operar, secondo le Dimostrationi fatte d'alcuno Autore; tuttauia uoglio anco seruirmi di quel c'hauete ueduto ne i miei Scritti, che ui stà (come posso comprender) nella memoria; accioche più facilmente m'intendiate, & ne riportiate quel frutto, ch'io desidero, & che desiderate anche uoi d'hauer da questi miei Ragionamenti. Però quando udirete nominare alcuna cosa mostrata nelle Istitutioni, non ui scandalizate; perche hò dimostrato iui il tutto con ogni uerità, & con ogni proua; onde non fà dibisogno di farne altra dimostratione. Rispose à questo M. Adriano; Se ben ui hò fatto questa dimanda M. Gioseffo, non pensate che sia stato per altro, se non per saper la uostra intentione; accioche rispondendomi al proposito, com'hauete risposto; io ne riportasse, com'hò fatto, qualche guadagno. Et mi contento, percioche è stata una buona istruttione fin qui, quel che hauete detto; & me la terrò molto bene à memoria. Et perche d'ogni cosa restiamo benissimo satisfatti; però non sarà se non bene, ch'uoi andiate più oltra. Adunque auertite, ui prego, risposi; di tenere apunto bene à memoria tutto quello, ch'io ui dimostro; percioche quando non ui ricordaste una di queste dimostrationi; malamente potresti intender le seguenti; essendo che l'una dipende dall'altra; & le prime son chiamate Elementi delle sequenti; perche co 'l mezo loro, queste si uengono à prouare. Io per me sforzerommi di ritenerle; disse il Merulo; & sò troppo bene, per quel poco d'esperienza, che io tengo; che 'l domenticarsi le cose precedenti, causa l'ignoranza delle sequenti. La onde hauendo udito M. Adriano queste parole, soggiunse; Se ben la maggior parte de i uecchi mancano di memoria; tuttauia ringratio Dio, che m'hà concesso questa gratia, che nella mia uecchiezza non ne son di essa priuo. Et ui prometto, che questa cosa tanto mi diletta, che in questa età mi potrei ben stancare di udir quel che nella mia giouanezza non ho mai potuto ne udire, ne imparare; ma satiare non mi potrò già mai. Verremo adunque, soggiunsi; alla Quarta proposta.

PROPOSTA IIII.

I Termini di qual si uoglia raddoppiato interuallo Moltiplice, sono l'vno all'altro propor tionali; & costituiscono la Geometrica proportionalità.
VOGLIO però farui auertiti, che per questo nome Proportionalità (com'hò detto etiandio altroue1. Istitut. cap. 36. 37. & 39.) intendo, & si dè intender della Geometrica; percioche l'Arithmetica più tosto si chiama Progressione, & l'Harmonica maggiormente si dee nominar Mediocrità, che Proportionalità, ò Progressione; onde i termini della Geometrica si nominano drittamente Proportionali; per il che, se ben quest'importa poco; tuttauia hò uoluto farui sapere, che s'alle fiate m'udirete usar questi termini, senz'alcun'aggiunto; uoi li dobbiate riceuer per quello, ch'io li ho dichiarati. Et queste cose ui saranno à memoria; onde passaremo alla Dimostratione. Siano a. b. & c. tre termini dell' interuallo Molteplice raddoppiato per la precedente; & sia d. la differenza, che si troua
trapage 41 Primo. 41 tra i termini a & b; & e sia quella, ch'è posta tra b. & c. Dico ab. & c. esser termini l'un all'altro proportionali, i quali costituiscono la Geometrica proportionalità. Et perche i termini b & c. sono simili à i d & e, com'è manifesto; però, per la settima Dignita, tanta è la proportione, che si troua tra b & c; quanto quella, che è posta tra d & e: ma per la Precedente, ab & bc. sono simili di proportione: adunque, per la Duodecima definitione, a. b & c. sono l'un'all'altro proportionali, & costituiscono la proportionalità Geometrica; poi che Tre quantità si chiamano Proportionali, & la costituiscono allora; quando le proportioni, che si trouano tra loro sono equali & simili à quella, che si troua tra i termini delle lor differenze. Et tutto questo è quello, ch'io ui douea, secondo la proposta, dimostrare. E' possibile, disse il Signor Desiderio; che queste dimostrationi di numero à numero, le quali seruono piu tosto all'Arithmetica, ch'alla Musica, habbiano à tornare al uostro proposito? Non ui ricordate, soggiunsi, ch' io dissi nelle Istitutioni, che i Numeri & le Proportioni sono le imagini de i Suoni & delle Consonanze? Me ne ricordo; rispose. Et io dissi; Habbiate adunque patienza, & statemi ad ascoltare, che non andrà molto di lungo, che conoscerete, che non sono fatte uanamente. Sappiate però che la Quinta proposta; dipenderà dalle due poco fà mostrate, & sarà.

PROPOSTA V.

Se 'l sarà un'Ordine fatto de molti termini proportionali; quando 'l minore misurerà il maggiore; misurerà etiandio quelli di mezo.
SIANO a. b. & c. i dati termini proportionali; & c. minore misuri a. maggiore. Dico, che c. simigliantemente misurerà il b. termine mezano. Riduco prima a. b. & c. ne i lor minimi termini & radice di quest'ordine, nel modo mostrato
nel Cap. 43. della Prima parte delle Istitutioni; onde ne uiene d. e. f. Et dopoi dico; perche, per la settima Dignità, tant'è la proportione di de, & di ef; quanto quella di ab, & di bc; però, per l'Equale proportionalità, dico; tanto esser la proportione, che si troua tra d & f, quanto quella, ch'è tra a & b. Ma, per la Suppositione, c. minore misura a. termine maggiore; adunque f. misurerà d. maggior termine de i minimi ritrouati. Et perche d. e. f. si trouano Contraseprimi, & sono, per la Nona definitione, minimi termini di tal'ordine; per tanto d. f. sono anco contraseprimi. Simigliantemente perche f. misura se stesso & d. ancora; però per la Definitione detta, f. uiene ad esser l'Vni tà. Ma l'Vnità, per la Terza massima, ò Dignità, è parte di qual si uoglia numero; adunque f. misurerà anco e. La onde essendo tanta la proportione, che si troua dal b. al c, quanta quella, che si troua tra e & f; seguita, che c. minore de i dati termini misura il b, il quale è il secondo & mezano; il che era il proposito di dimostrare. Aggiungerò à questa; che,

PROPOSTA VI.

Se un'Interuallo raddoppiato produrrà un'Interuallo Molteplice; il raddoppiato sarà anche Molteplice.
Parmipage 42 42 Ragionamento PARMI disse M. Claudio, che questa sia la Terza proposta riuoltata. Cosi è ueramente; risposi io. Come farete adunque à dimostrar questa; soggiunse M. Adriano. Ben Messere; risposi; ascoltate pure. Essendo l'Interuallo a. b. c. radraddoppiato; per la Terza proposta, Moltiplice; & anche a. con c. Molteplice: Et la proportio
ne, che si troua tra a & b. sia quell'istessa, che si troua tra b & c. dico: Perche a. col b. sarà Molteplice, il c, per la Quarta definitione, misurerà esso a. più fiate; il perche, per la Prece dente, c. misurerà anche 'l b. Adunque l'Interuallo bc. sarà semplice; & per la detta Definitione, anco Molteplice; come fù il proposito di dimostrarui. Disse allora di nuouo M. Claudio: Stà bene; ma diteci; si potra dimostrar questa proposta per altra uia? Si può ueramente; risposi; statemi à udire. Essendo ac. Interuallo composto; & risoluendosi, per il secondo parer commune, ò Dignità, in quell'Interualli, che dalla moltiplicatione, ò raddoppiamento è generato, ò composto; poi ch'ogni C omposto si risolue in quelle cose simplici, delle quali si troua esser composto; non è da dubitare; che, si come s'è dimostrato nella Terza proposta, d'un'Interuallo molteplice, raddoppiato; che si generò un molteplice composto; cosi per il contrario, risoluendosi tal composto ne i suoi semplici; se tali semplici furono Molteplici; che siano anco dopo la risolutlone Molteplici, il ch'è secondo 'l proposito; come bisognaua dimostrare. Qui disse il Signor Desiderio; Questa dimostratione ultima, più tosto hà del Naturale, che del Mathematico; onde mi è forte piaciuta. Questo è ben detto; risposi; onde passarò alla Settima.

PROPOSTA VII.

Se due Interualli paragonati l'un'all'altro, saranno contenuti da un'istessa proportione; è necessario, che tanti siano i mezi proportionali dell'uno, quanti quelli dell'altro.
DIMOSTRATECI disse il Merulo questa più facilmente, che potete; perche mi par, che sia alquanto difficile da intendere. Hor'hora la farò facile; soggiunsi. Siano ab & de. due, qual si uogliono, Interualli proposti; contenuti da un'istes
sa proportione; tra termini differenti. Sia etiandio f. il mezan termine di de; & de sia contenuto ne i suoi termini radicali. Dico, che simigliantemente tra a & b. può cascar' un termine mezano; Onde dico argumentando per la Vndecima dignità dalla Equale proportione: Tanta è la proportione di df, quanto quella di ac; & tanta quella di fe, quanta di cb; Adunque tanta è quella di de, quanta è quella di ab. Ma se i termini ab. sono contenuti da un'istessa proportione co i termini de; manifesta cosa è, che tra ab. casca ancora un termine mezano proportionale, ch'è il c. Et se ciò non è; d & e. misurerannopage 43 Primo. 43 reranno a & b. equalmente; & questo secondo 'l g. Molteplico adunque g in d. f. & e; & ne uiene a. c. b; di modo che tra ac. si troua esser quella proportione istessa, che si troua tra df; & tant'è quella, che si troua tra c. b; quanto quella, ch'è posta tra fe; il che proportionatamente c. uiene à cascar nel mezo di a & b; come bisognaua dimostrare. Intendo hora quello, disse M. Claudio, che hauete uoluto dire nella uostra proposta: Però seguitate 'l resto à uostro bel piacere. Notate adunque, soggiunsi; che nella proposta, che ui son per proporre, uoglio ch'intendiate, che niun Superparticolare Interuallo si può diuidere in due parti equali, ò proportionali, con certi & determinati Numeri rationali; se ben si può diuidere con irrationali; come in qualche buon proposito son per dichiararui. Onde da questo, che ui dimostrerò spero, che ui sarà manifesto. Vorrei saper più inanzi; disse M. Adriano; S'ogni Interuallo Molteplice può esser capace di uno, è piu termini, che lo diuida in due, ò più parti simili. Ricordateui; risposi; quel ch'io dissi nelle Istitutioni,1. Par. cap. 37. & Corol. 25. Secundi huius. & uederete quali siano capaci, & quali non. Mi ricordo hora, rispose egli; essendo che bisogna, che la proportione, la quale può esser capace di cotal mezo, ne i suoi termini radicali habbia tal conditione, che 'l maggior sia numero Quadrato, ouer Cubo; & il minore sia l'Vnità. A questo soggiunsi subito; Io non dissi già, che cotal numero fusse Cubo, ma Quadrato; percioche iui parlai dell'Inuentione d'un sol termine mezano, il quale diuidesse la proportione in due parti equali. Ma quando si uolesse pur diuidere cotal proportione in tre parti equali, tal numero sarebbe necessario; percioche come uoi potrete comprendere da quello ch'io mostrarò nel cap. 6. dell'Ottauo Lib. De i Sopplimenti; quando l'Vnità sarà il minor termine della proportione, & il primo numero Cubo sarà il maggiore; allora tal proportione potrà esser diuisa dal Binario & dal Quaternario insieme, in tre proportioni equali; come tra questi termini. 8. 4. 2. 1. Intendo molto ben la cosa; disse M. Adriano; però seguitate quello, che più ui piace, senza tardare. Cosi farò dissi; Ma prima che 'l si uenga à dimo strarui quel che ui hò dichiarato, uoglio che uediamo questa. Che

PROPOSTA VIII.

Qual si voglia Numero si può porre per la differenza de i termini di qual si voglia proportione Superparticolare.
SIANO a & b. i termini radicali di qual si uoglia Interuallo superparticolare: & sia c. che è l'Vnità, la lor differenza: essendo che a. si troua per tanta quantità differente dal b. Volendo porre il d. per differenza de tali estremi, si moltepli
cherà d. in a. & in b; & ne uerrà e. & f; iquali, per la Quinta dignità, saranno medesimamente gli estremi della proportione proposta a & b. Ma quel che nasce dal d. moltiplicato in a. è tanto quanto quel che nasce dal d. moltiplicato in b. & c. i quali sono equali ad esso a. Imperoche moltiplicato d. in b. nasce f; & ancora moltiplicato in c, che è l'Vnità nasce il g; i quali aggiunti insieme & composti fanno h; essendoche moltiplicato d. in c, ch'è Vnità, produce, per la Quarta dignità, se stesso d; adunque il g è posto per la differenza di e. & f. Superparticolare proportione; come dimostrar ui douea. Et questo etiandio si potrà far quando si uorra porre altro numero per tale differenza; sia Ternario, ò Quaternario; moltiplicando sempre i termini radicali, ò non radicali di quell' Inter-page 44 44 Ragionamento Interuallo, alquale si uorrà porre cotal numero per differenza de i suoi estremi: A questo replicò M. Adriano: Spero d'auanzar molto da questi uostri Ragionamenti; & uscir fuori della prattica; però seguitate, ui prego, à dimostrarci quello, che uoleuate dimostrare; Et io soggiunsi à queste parole:

PROPOSTA IX.

L'Interuallo Superparticolare non riceue ne uno, ne più termini mezani rationali, che lo partisca in due, ò più parti equali & proportionali.
SIA a. & c. Interuallo Superparticolare, i cui estremi, per la Precedente, siano differenti per il Binario; onde uengono ad esser capaci d'un termine mezano; il quale Interuallo uogliamo diuider (se sarà possibile) in due parti equali rationa
li; cioè, in ab, & bc, con certi & determinati numeri; per laqual cosa sia la b & c, come la a & b. Riduco a. b. & c, secondo 'l modo mostrato nel Cap. 42. & 43. della Prima parte del le Istitutioni, alla sua Radice, & ne uiene d. e. f. tre termini proportionali nella proportione a & b. Et perche de. si troua, come è ab; & ef. come bc; adunque, per l'equale proportionalità df. è come ac. Ma ac. è posto Interuallo superparticolare; però df. simigliantemente è Superparticolare. Ma perche d. e. f. sono i minimi termini di tal'ordine; però d. & f. primo & ultimo, per la nona definitione, sono numeri Contraseprimi. Hauen do adunque mostrato d. con f. esser Superparticolare; per la Quinta Definitione, il d. contiene f. & una sua parte Aliquota; la qual parte però, per quello, ch'io dichiarai nel Cap. 23. della sudetta Prima parte, misura esso f. Et se tal parte uiene ad esser Numero; misurando, per il Sesto parer commune, il d; misurerà anco se stesso, ch'è la parte cauata, & lo restante, che uiene ad esser equale ad f. Et per tal modo d. & f. non uerranno ad essere Insieme, ò Contraseprimi; della qual cosa già si è mostrato l'opposito, & l'impossibile. Sarà adunque necessariamente tal parte la Vnità. Disse allora M. Desiderio; Que sto è ueramente necessario; ma che ne segue per questo? Soggiunsi, ne segue, ch'io aggiungo essa Vnità ad esso f, & ne uiene g; di maniera, che g. & f. uengono ad esser lontani l'un dall'altro per la Vnità solamente. Dico hora, per la Settima dignità, che quella proportione, ch'è tra d. & f, è quella etiandio, che si troua tra g. & f; ma tra d. & f. fù supposto, che casca un solo mezo; adunque, per la Penultima proposta simigliantemen te tra g. & f; che sono numeri differenti per la Vnità; cascherà alcun numero mezano; il che, per la Prima dimanda, è impossibile. Concludiamo adunque, che se l'Interuallo Superparticolare non riceue un termine mezano rationale, che lo diuida in due parti equali & proportionali; che minormente ne riceuerà, per l'istesso argomento, molti; come dice la proposta. Et questo è tutto quel, che si douea dimostrare. Allora M. Fran cesco; Questo è troppo il uero; disse; ma non bastaua la Regola dell'Vnità, & del numero Quadrato, & del Cubo, che uoi diceste poco fà, per saper cotal cosa? Bastaua, dissi, quanto al saper'ad un certo modo; ma per questo cotal cosa non si sapea semplicente; per ciò che questo saper s'acquista col mezo della Dimostratione, la qual com'hauete ueduto)page 45 Primo. 45 duto) lieua ogni dubitatione. Intendo hora 'l tutto, rispose M. Francesco. Passiamo adunque alla Decima proposta, dissi io.

PROPOSTA X.

Se un'Interuallo, il quale non è Molteplice sarà doppiato; quel che verrà da tal doppiamento non sarà ne Molteplice, ne Superparticolare.
ET che questo sia uero, statemi ad ascoltare. Sia l'Interuallo non Molteplice a & b; & lo raddoppiato sia a & c; di maniera, che l'istessa proportione sia tra a & b, che si troua tra b & c. Dico, che l'Interuallo a & c. non è Molteplice, ne Su
perparticolare. Laonde se a & c. si porrà molteplice, non è dubio, che per la Sesta proposta, l'Interuallo a & b. sarà anco lui molteplice. Ma già habbiamo detto ciò esser impossibile; adunque senza contradittione alcuna, ne uiene il proposito. E' uero disse il Merulo; che non è Molteplice; ma non potrebbe egli esser forse Superparticolare? Questo è anco impossibile; risposi. Et che questo sia uero, uerremo alla dimostratione, che farà ogni cosa chiaro. Essendo a & b. di tanta proportione, di quanta è b & c; non è dubio, che a & c. haurà un termine mezano proportionale, che lo diuiderà in due parti equali; il che essendo palese, per la Precedente, esser'impossibile; è cosa anco per se stessa manifesta; che Se un'Interuallo non molteplice si uorra raddoppiare, che l'Interuallo composto non potrà esser, ne Molteplice, ne meno Superparticolare; secondo 'l nostro proposito. Non pote allora M. Adriano contenersi, che non dicesse; O come mirabilmente tali dimostrationi sono insieme concatenate, che l'una con l'altra si uiene à porgere aiuto, non altrimente di quello che fanno le dimostrationi Geometriche; però meritamente sono chiamate Elementi. Rispose il Viola; Veramente c'han detto bene quelli, che l'hanno nominate con tal nome; percioche (come si uede manifestamente) l'una uiene ad esser'elemento dell'altra. Et bene; disse il Signor Desiderio; poi che Elemento si chiama quello, del quale si compone primieramente (come altre fiate si è dettoSupra dig. 2.) alcuna cosa. Che ne dite uoi M. Claudio di questo? A questo ei rispose; Hò sempre udito dire, che le Mathematiche sono Scienze, che hanno del diuino, & lo uedo hora in effetto, con mia grande satisfattione. Soggiunsi allora. Poi che fin qui ui sete compiaciuti di tutto quel ch'io hò detto; non mi rincrescerà di seguitar il resto; però notate quel che in questa proposta ui uoglio dimostrare.

PROPOSTA XI.

Se 'l si raddoppierà un'Interuallo, & che quel che nascerà da tal raddoppiamento non sarà Molteplice; esso Interuallo etiando non sarà Molteplice.
DISSE allora M. Adriano; questa Proposta mi par la rouerscia di quella, c'hora hauete dimostrato; percioche in quella l'antecedente dalle Parti aggiunte insieme, nega il tutto; & in questa dal tutto si negano le Parti. Voi dite bene; diss'io; però seguitando l'impresa dirò; Sia a. & c. l'Interuallo raddoppiato, come è postopage 46 46 Ragionamento sto nella Precedente; & non sia a. & c. Interuallo molteplice. Dico simigliantemente, l'Interuallo a & b. non esser molteplice. Percioche se a & b. è Interuallo molteplice;
nascendo a & c, per quel c'habbiamo supposto, dall'Interuallo a & b. raddoppiato; per la Terza proposta di questo ragionamento, l'Interuallo a & c. sarà etiandio Molteplice. Ma quel ch'è posto non è molteplice; adunque, Se l'Interuallo non Molteplice nascerà dal raddoppiamento d'alcun Interuallo, ne anco esso raddoppiato sarà Molteplice. Et questo è quello, ch'io intendea di dimostrarui. Disse qui il Viola; Fin'hora hauete proceduto chiaramente tanto, ch'io credo, che cosa alcuna non resti, che non sia chiara & palese; però ui preghiamo à seguitar cosi facilmente il resto; che ui udiremo con gran piacere. Mi sforzerò, dissi; di satisfarui. Ma notate, auanti ch'io uenga all'altra Proposta: percioche è cosa alquanto difficile; che le Parti, che si nominaranno in essa, si haurano da intendere, per quei Numeri, per i quali i Termini maggiori continenti l'Interuallo sopr'auanzaranno i minori, di una delle lor parti Aliquote; come della loro Metà, ò della Terza, ò della Quarta, ò d'altra parte simile. Onde auiene che tali Termini si hauranno da considerar, come un Tutto aggregato de tante delle sudette Parti; quante sono l'Vnità che contengono. Et accioche mi possiate meglio intendere; proponerò i termini del primo Interuallo superparticolare, detto Sesquialtero; che sono 3. & 2. de i quali il 3. sopra'auanza il 2. per la Vnità; la qual senza dubio uiene ad essere la sua Metà intiera; ò Meza parte, come dir la uogliamo. Laonde il 3. è considerato come Tre meze parti; & il 2. come due metà; come si può dir anco nel Sesquiterzo, contenuto tra i termini 4 & 3. dell'Vnità; percioche il 4. superando il 3. per essa Vnità ella uien ad esssere la Terza parte del minore. Onde cotali termini uengono à rappresentare tante delle sudette parti, quante Vnità contengono. Però si dè auertire prima questo, che poste insieme al numero de tante, quante Vnità si trouano nel termine minore; si dicono restituire il loro Tutto, intesa la cosa à cotal modo, Dopoi à questo numero se n'aggiun ge un'altra maggiore per una unità; & per tal modo questi due Numeri saranno quei mezi, da i quali nascerà la Dimostratione. Et perche credo che habbiate inteso quello, ch'io uoglio dire; però senza dir'altro, uerrò alla Dimostratione. Allora ch'io hebbi finito di dire; disse il S. Desiderio; questa è stata una buona & necessaria preparatione; senza la quale potea essere qualche difficultà; ma questa leuarà ogni cosa: però M. Gioseffo ui preghiamo à seguitare il uostro ragionamento; & dimostrar questa cosa con quella breuità & facilità, più che sia possibile. Ilche hauendo inteso, dissi; Attendete alla proposta la qual sarà questa.

PROPOSTA XII.

Il numero delle Parti di qual si uoglia Interuallo Superparticolare, le quali poste insieme facciano un Tutto; et un'altro Numero maggior di esso per l'Vnità; ci dimostra, quanti maggior termini dell'Interuallo, à i minori insieme aggiunti corrispondono.
ET tenetela bene alla memoria: percioche porrò ogni mia industria, per satisfar ui. Incomincierò adunque con l'aiuto del Signor Iddio. Sia a & b. Interuallo Superparticolare; è manifesto dalla Quinta definitione de i Superparticolari, a. contenere il b. & una delle sue Parti; la quale sarà c. & costituirà b. suo Tutto, secon- do 'lpage 47 Primo. 47 do 'l numero d. Ma sia oltra di questo e. numero maggior di d. per l'Unità. Dico hora a. preso secondo 'l numero d. esser equale à b. preso secondo 'l numero e. Impero
che a. preso secondo d. contengono b. preso secondo d. & di più le parti di b. prese anco secondo d. Ma si è detto, queste hauer già costituito un b. adunque a: preso secondo d. contiene b. preso secondo 'l numero maggiore di d. per una unità; Ma e. è posto numero maggiore di d. per una Vnità; adunque a. preso secondo d. contiene il b. preso secondo e. come douea dimostrare. Ma di bisogno è, che cotal cosa si consideri in uniuersale; an cora che nell'essempio habbia posta la proportione & Interuallo particolare. Considerasi però à qual modo si uoglia; sempre tornerà bene, & si dimostrerà quest'esser uero. Desidero, disse M. Adriano; che ui lasciate intender un poco meglio, s'è possibile; pur con l' essempio posto di sopra, col chiamar l'Interuallo col suo proprio nome; acciò s'intenda meglio. Messere ui uoglio al tutto satisfare; risposi. Poniamo adunque a & b, come di so-pra facemmo, Interuallo Sesquialtero; Et perche a & b. è Sesquialtero; però per la Quin ta definitione, a. contiene il b. & la sua metà; Ma due metà, per la Terzadecima dignità, restituiscono il loro Tutto; adunque due a. che sono d, sono tanto, quanto sono tre b.
che sono c. Et perche due a. contengono due b. & di più due metà di esso b. lequali fanno un b. intiero; però due a. contengono tre b. & diuengono à tre equali. Di maniera, che data qual si uoglia Superparticolare, i maggior termini, secondo 'l minor numero della proportione, sono equali à i minori, pigliati secondo 'l minore; come bisognaua dimostrarui. Io son satisfatto; disse M. Adriano; & credo, che chi uolesse dimostrar l'altre Specie di questo genere, ch'altra differenza non ui sarebbe, che le Parti; percioche nell'Interuallo Sesquiterzo u'intrarebbe la terza; nel Sesquiquarto la quarta; & cosi per ordine l'altre: di maniera ch'essendo cosi, non accade sopra ciò far altra diceria. Però buon sarebbe, che 'l si andasse di lungo, senza perder tempo sopra questa cosa. Poi che cosi ui piace; risposi; seguirò à proporui la Terzadecima proposta, la quale sarà questa:

PROPOSTA XIII.

I Termini maggiori di qual si voglia proportione, presi secondo 'l numero de i minori, sono equali à minori presi secondo 'l numero de i maggiori.
ETpage 48 48 Ragionamento ET di ciò eccoui l'essempio, il quale ui seruirà non solo ne i Molteplici, ò Superparticolari; ma etiandio ne gli altri Generi di proportione. Sia adunque a & b. qual si uoglia proportione; & sia a. il suo termine maggiore, & b. il minore. Dico che a. preso (per la precedente) secondo 'l numero b, ch'è minore, è equale à b, pigliato secondo a. numero maggiore. Imperoche è manifesto, che quel che nasce del
la moltiplicatione di a in b, il quale è c; è equale à quel che produce la moltiplicatione di b in a, che è d. Ma quel che nasce dalla moltiplicatione di a. in b, è a. preso secondo 'l b; & quel che nasce dalla molteplicatione di b in a, è b. preso secondo a; come dimostra la Precedente; adunque a. preso secondo il b, è equale à b. preso secondo a; come douea dimostrare. Et se uolete, ch'io discenda al particolare, com'hò fatto nella Precedente, lo farò uolentieri; acciò restiate da me satisfatti. Non accade; disse M. Francesco; percioche la cosa è tanto da sè chiara, che non fà dibisogno d'altra espositione. Verrete adunque all'altra proposta, se ui è in piacere. L'altra proposta, che segue, soggiunsi, è questa.

PROPOSTA XIIII.

Quando alquanti de i Termini maggiori d'un'Interuallo sono equali ad alquanti de i minori; si ritroua quella proportione tra uno de i maggiori & uno de i minori, che si troua etiandio in uno de i minori adunati insieme, ad uno de i maggiori insieme aggiunti.
QVESTA disse M. Adriano; mi par la precedente riuoltata, s'io non m'inganno. Non u'ingannate punto Messere; dissi; Auertite adunque che, per la Preceden te, i Numeri minori raccolti insieme secondo 'l Numero maggiore, sono equali à i maggiori adunati secondo 'l numero de i minori; ma 'l Numero de i maggiori è un ter mine maggiore; Adunque quell'istessa proportione si troua tra un de i maggiori ad uno de i minori, che si troua anco tra uno de i numeri minori raccolti, al numero de i maggiori posti insieme. Parmi, disse il Merulo, che fuesta cosa sia molto d ifficile, & che questo forsepage 49 Primo. 49 forse auenga, perche non è troppo in uso; però dateci per uostra fè meglio ad intender questa proposta con un'essempio; accioche quello, che à noi è tanto oscuro, si faccia lucido & chiaro. Sono queste cose ueramente difficili, M. Claudio; risposi; ma l'uso di esse ui leuerà nelle sequenti dimostrationi la difficultà. Ascoltate però quel ch'io ui uoglio dire. Habbiamo, per la Precedente, che In ogni genere di proportione, se 'l numero maggiore è comparato al minore, che 'l maggiore preso secondo 'l numero del minore, è equale al minore, preso secondo 'l numero del maggiore; onde si uede nella Sesquialtera; che due 3. numeri maggiori sono equali à tre 2. numeri minori. La onde in ogni Genere di proportione, tanta è la proportione contenuta ne i termini radicali di qual si uoglia Interuallo; quanta è quella, ch'è contenuta ne i termini non radicali moltiplicati ò raddoppiati essi radicali termini. Et per darui un'essempio ne i Superparticolari; dico; Quando due maggiori sono equali à tre minori, Quattro à sei, Sei à noue, & Otto à dodici, l'un de i maggiori ad uno de i minori, & tale Interuallo è Sesquialtero; allora quella proportione, che si troua tra 3 & 2. numeri radicali, ch'è Sesquialtera; si troua anco tra 6 & 4; & tra 9 & 6; come anco si troua tra 12. & otto; i quali sono Numeri non radicali di tal proportione. Et ne i Molteplici, quando Vno sarà equale à Due, due à Quattro; & quattro ad Otto; & il maggior è duplo al minore; allora tanta sarà la proportione dupla tra 2 & 1. quanto tra 4 & 2. & anco tra 8 & 4. percioche 'l maggior è doppio al minore, il che si può dire anco de gli altri Generi; che per esser cosa chiara, non mi uoglio sopra ciò molto distendere. Ma ne i Numeri composti, ò Composte proportioni è da auertire; che quando 2. saranno equali à 4 1/2. allora saranno due congiunte Sesquialtere; & quando 2. saranno equali à 6. 3/4. saranno tre; com'allora saranno due congiunte Sesquiterze, quando 3. saranno equali à 5 1/3. & 3. saranno equali à 7 1/9. ò in altre simili, che nascono dal loro raddoppiamento & più oltra. Ma allora cotal cosa ui sarà facile da intendere; quando hauerete compreso tutto quel ch'io ui son per dire. Ascoltate dunque attentamente, & tenetelo à memoria. Ma auanti ch'io ui dimostri in qual maniera si componghino, ò molteplicano questi Interualli ne i Numeri composti; uoglio che uediamo, in qual maniera.

PROPOSTA XV.

Si può trouar qual si uoglia parte Aliquota, ò Nonaliquota d'un numero dato.
QVESTO sia detto quanto alla proposta; ma uoglio anco aggiungerui un Corollario, che gentilmente da essa nasce; accioche habbiate la cosa perfetta; il qual sarà questo.

COROLLARIO.

Onde auiene; che la Parte di qual numero si uoglia, è numerata da esso, & denominata dal Denominatore di cotal parte.
CRedo, che ui ricordate quel che sia parte Aliquota, & Nonaliquota; però non starò qui à replicar cosa alcuna. Chiaritemi hora d'un dubio; disse il Sig. Desiderio; & poi se guitate il uostro parlare; Si può diuider l'Vnità, essendo appresso i Mathematici in diuisibile? A questo risposi; Io dissi ancora, dichiarandoui la prima Dimanda, che i Numeri ap presso i Filosofi4. Phy. cap. 3. si trouano esser di due maniere, delle quali la prima, è detta Numero nume rante; & la seconda Numero numerato. I primi sono un'essemplare & una Idea nell'Anima no Dimostr. Harm. D stra;page 50 50 Ragionamento stra; & la lor Vnità non si può à patto alcuno diuidere; ma ne i secondi; come sono nelle Cose naturali i numeri de i Mouimenti; nelle Geometriche le Linee, Superficie, Corpi & altri simili; nell'Astronomiche i Numeri de i tempi; & nelle Musicali il Numero de gli Interualli. l'Vnità loro; anzi per dir meglio; la cosa intesa per l'Vnità, è diuisibile in più parti, senza contradittione alcuna. V'hò inteso, disse allora il Sig. Desiderio; che uoi intendete del Numero numerato, & della sua Vnità in questa proposta; se ben'hauete fatto quel discorso sopra la prima dimanda, il quale troppo ben mi ricordo; tuttauia hò uoluto chiarirmi; acciò non prendessi errore. Cosi bisogna intender (soggiunsi) questa cosa, come u'hò detto; onde tornando al mio primo proposito, dico; Sia a. qual numero si uoglia, del quale sia ricercata una delle Parti denominata da b. Riduco prima a. in tutte le sue parti denominate dal b. Denominator della parte; Moltiplicando esso b. Denominator del numero a. di modo che ne nasce c. E' manifesto, che le parti c. denominate
insieme dal Denominator b. saranno eguali à tutto 'l numero a. Diuido adunque c. per il b. Denominatore, & risulta d. onde dico d. esser la parte Aliquota di a. ricercata; & da esso a. numerata; cioè, dal numero b. denominante esso a. Ma che d. sia la parte di a. denominata dal Denominator b. come contiene il Corollario; da questo sarà manifesto; perche molteplicato b. in d. per la Terza dimanda, di nuouo produce il c. però d. è parte di c. denominata dal Denominator b. Ma d. si agguaglia alla a. adunque d. è parte di a. denominata dal b. Et che 'l d. sia numerato da a. è manifesto; perche molteplicato a nel b. produce il c. Adunque, per la Seconda Dimanda, il c. diuiso per il b. ritorna a. Ma essendo diuiso l'istesso c. per il b. prima ueniua d. adunque a. numera il d. una fiata: & per tal modo la proposta uiene ad esser manifesta insieme col suo Corollario. Disse allora il Viola; Voi proponeste di dimostrarci anco la parte Nonaliquota; nondimeno non l'hauete ancora dimostrata; però se 'l ui piace di pagar'il uostro debito, fate uoi. E' il douere, risposi, & uoglio; ma non m'hauete lasciato finir di dir quello, ch'io uolea; percioche bisognaua prima ragionar sopra il Corollario, & dimostrar ch'era uero; però per satisfare alla proposta, dico; che se la parte, che si uorrà cauar del Numero dato sarà Nonaliquota; è necessario, ch'ella habbia il Numeratore, che sia altro numero, che la Vnità. Onde poniamo, che 'l Numerator della parte ricercata secondo 'l Denominator b. sia e. molteplicheremo e. in d. & haueremo f. la quale dico esser la parte Nonaliquota di a. percioche f. uiene ad essere il d. molteplicato secondo 'l Numeratore e. Et questo è tutto quello, che per pagare il mio debito ui doueua dire. Allora disse il Viola; Son in tutto satisfatto: però seguitate quello, c'hauete da dire. La onde seguitai in questo modo; per finir quello c'hauea da dire. Vi uoglio oltra di ciò auertire; che d. è il Numerator della parte Aliquota ritrouata di a. numero dato, & f. è il Numerator della Nonaliquota; Ma il b. uiene ad esser il commune Denominator dell'una & l'altra. Allora disse M. Adriano; Haurei molto caro, se far si potesse, che questa proposta ci dimostrasti con Numeri semplici; percioche questi termini a. b. c. & gli altri, che da i Filosofi sono detti Termini ignoti, ouero Incogniti, alle fiate non hanno quella forza, che hanno i Numeri semplici; massimamente quando sono posti in prattica; ancora che non si può negare, che la dimostratione, che hauete fatto con tali termini, & con i numeri dati ancora, sia chiara. Io ui uoglio al tutto satisfare dissi; s'io potrò Messere; & accioche con un'essempio uediate il tutto; Siapage 51 Primo. 51 Sia ricercato, come di sopra ho dimostrato, la Parte della somma di 16; & sia tal parte 1/15; Molteplico primieramente 16 & 15. denominatori & numeratori de cotali parti l'un con l'altro, & ne uiene 240/15; imperoche tante Quintedecime contiene il 16. risolto in parti. Diuido poi 240. per il 15, & ne risulta 16/15; i quali sono la Quintadecima parte di tutta la somma de 240. parti. Onde il 16. anco uiene ad esser la Quintadecima parte. Ma 16/15 contengono la Vnità & 1/15; adunque la Vnità con 1/15 appresso sarà la Quintadecima parte di 16. numero dato; la quale è parte Aliquota. Ma per hauer la parte Nonaliquota; moltiplicando la parte Aliquota per il Numerator della parte Nonaliquota, haueremo sempre quel che cerchiamo; come si uede nell'essempio posto di mezo; che moltiplicato il 4. per il 2. Numerator della parte 2/3, hauemmo 8/3; cioè, 2 2/3, ch'è la parte non Aliquota di 4. ricercata. Di modo che uolendo la Parte di qual si uoglia numero proposto; operando à questo modo; sempre si haur à quel che si cerca. Ma ueniamo all'altra proposta.

PROPOSTA XVI.

Qual si voglia dato Interuallo ne i suoi termini radicali, si può moltiplicar quante fiate si vuole tra Numeri composti.
DESIDERO; disse qui M. Adriano; saper quello che intendiate qui per Numero composto. Al quale risposi; Io chiamo in questo luogo Numero composto quello; che contiene in sè un numero intero, & qual si uoglia sua parte; come è 3 1/8; ouer 4 2/3 de i quali, il 3. & il 4. non sono numeri composti; ma semplici, & 1/8 & 2/3 sono le parti; di modo che 3 1/8. è composto di 3. numero semplice, & di 1/8. sua parte; & 4 2/3. è composto di 4. numero semplice medesimamente, & di 2/3, che sono parti di esso 4; cioè, parte Nonaliquota. Siano adunque a. & b. i minimi termini di qual si uoglia Interuallo, il quale uogliamo moltiplicare. Ritrouo prima, secondo 'l modo mostrato nel Cap. 25. della Prima parte delle Istitutioni il Denominatore della sua Proportione; il quale è c, che contien l'Vnità; la quale dimandarò Numero; & una parte, sia poi Aliquota, ò Nonaliquota; oueramente un Numero, con la nominata Parte. Moltiplico poi il numero c in a, & ne uiene d; il che fatto, per la Precedente, ritrouo la parte di a, secondo la parte di c; la qual uiene e; & questa aggiungo con d. & ne nasce f. Dico hora, per la Settima dignità, che la proportione; che si troua tra f. & a. è simile à quella, ch'è posta tra a. & b. percioche tanto uiene c. diuiso f. maggior termine della proportione fa. per a. termine della proportione a. b. quanto diuiso a. minor termine della fa. per il b. minor termine di essa ab. Habbiamo adunque secondo la pro posta, molteplicato l'Interuallo fa. con Numeri composti al dato ab. contenuto ne i suoi radicali Termini; come ui douea dimostrare. Chi uorrà; disse il Merulo; à questi due moltiplicar'un'altro Interuallo simile, tra gli istessi Numeri composti, che ordine haurà egli da tenere? L'ordine istesso, risposi. Soggiunse ancora M. Claudio; Per uostra fè dimostrateci il modo. Bisognerà dissi, primieramente moltiplicar'il numero di c. in f. & ne uerrà g. dopoi bisognerà cauar, per la Precedente, la parte di g. secondo la parte di c. on de ne uerrà h. la quale aggiungeremo con g. & nascerà K. che con f. senza dubio alcuno, per la Settima dignità nominata; contenerà quella proportione istessa, che si troua tra a & b. percioche molteplicando b. maggior termine di Kf. per il b. minor termine di ab. ne nascerà l. come etiandio nascerà, moltiplicando f minor termine di Kf. con a. maggior ter Dimost. Harm. D 2 minepage 52 52 Ragionamento
mine della proportione ab. Et questo è quello, che m'hauete proposto, ch'io ui douesse dimostrare. Onde uolendone ancora aggiunger un'altro, & poi un'altro; tenendo quest'ordine, si potrà andare in infinito, & hauere il proposito. Che ui par Messere? disse il Viola; parmi che bisogna saper'adoperar ben la penna, & far ben conto, à chi uuol intendere, & porre in atto queste cose. Vi sò che dire, che non bisogna esser grosso di ceruello; rispose M. Adriano; per che non si farebbe cosa alcuna di buono. Ma che uorrete soggiungere à questa M. Gioseffo? Questa; risposi io; che

PROPOSTA XVII.

L'Interuallo Duplo nasce dalla congiuntione de i due maggiori Superparticolari.
ET che questo sia uero, lo uederemo tosto. Sia b. c. l'Interuallo Duplo, & sia ab. Sesquialtero, & bc. Sesquiterzo. Dico ac. nascer dalla congiuntione di ab. con bc. Et perche ab. è Sesquialtero; però, per la Quinta definitione, a. con
tienepage 53 Primo. 53 tiene il b. una fiata, & una sua meza parte; adunque, per la Duodecima proposta, due a. sono equali à tre b. Et di nuouo; perche b & c. è Sesquiterzo; però, per l'istessa Definitione, il b. contiene il c. una fiata & una sua Terza parte. Adunque tre b. sono equali à quattro c. & due a.sono posti equali à tre b. adunque due a. sono equali à quattro c. Essen do per il Decimo parer commune, che Quelle cose, lequali ad una cosa istessa sono equa li, tra loro etiandio sono equali. Et 4. numero de i minori adunati insieme è il doppio, per la Quartadecima proposta, de due maggiori posti insieme: adunque, per l'istessa Quar tadecima, uno a. sarà doppio ad un c. Ma perche 'l Sesquialtero & lo Sesquiterzo: per l'Ottaua, & per la Nona dignità; sono tra i Superparticolari i due maggiori; però dico, che l'Interuallo Duplo nasce dalla congiuntione de i due maggiori Superparticolari, cosa, che ui douea dimostrare. Dopo questo aggiunse M. Adriano: Si può anco dimostrar questa propositione, secondo che mi pare, per un'altra strada; & questo col mezo della Duodecima dignità; & mi dà l'animo di saperlo fare. E' uero quel che uoi ditte Messere; risposi; & quando la dimostraste, dareste da intendere in fatto, che uoi intendiate benissimo quel che fin'hora hò detto; però fate quel che ui piace. Voglio prouar per ogni modo; soggiunse egli. Dico adunque, ch'essendo due a. del uostro proposto essempio equali à quattro c; come hauete concluso; uno a, per la Dignità nominata, uiene à farsi equale a due c. Imperoche, Di quelle cose, delle quali Tutti sono equali, equali sono etiandio le lor parti: Ma perche due c. sono il doppio di uno; adunque uno a. equale à due c, sarà il doppio di un c. Ma a & c, nasce dalla congiuntione di ab. & ac, che sono (come hauete prouato) due maggiori superparticolari; adunque l'interuallo Duplo nasce dalla congiuntione de i due maggiori superparticolari. Fatto che egli hebbe cotale proua egli dissi: Voi sete in fatto un gran picciolo, Messere; sete come 'l Pepe, ilquale è piccolo in quantità, ma è grande in uirtù & possanza; percioche ui sete dimostrato un gran Discepolo in poco tempo. Che ui par Signor Desiderio, non s'hà egli diportato bene? Ben ueramente; rispose egli; & non m'ha ingannato punto, di quel ch' io credeuo di lui; percioche sempre hò hauuto M. Adriano, per huomo di bello ingegno. Ringratio V. Signoria (rispose M. Adriano) di questo fauore; ma lasciamo per uostra fè queste parole da un canto, & stiamo à ueder quello che uorrà aggiungere M. Gioseffo; & non ci partiamo dall'ordine incominciato. Quello, ch'io uoglio aggiungere, dissi; sarà; che quest'istessa proposta ui uoglio dimostrare con un'altro mezo, se non ui rincresce l'ascoltarmi. Come rincresciere? soggiunse M. Desiderio; non ci potete fare il maggior fauore, ne apportarci maggior diletto, che seguitar quello, c'hauete princpiato; percioche io per me non credeua di ueder cotante cose uarie della Musica. Co 'l nome di Dio adunque; dissi; & ripigliai il ragionamento in questo modo. Sia ab. Interuallo Sesquialtero; & bc. Sesquiterzo. Dico a. con c. esser'Interuallo Duplo. Faccio prima a. equale al b, & ne uiene d; & sopra auanza e; dopoi faccio b. equale al c; & nasce f, & auan za g. il che fatto, dico; perche a. è Sesquialtero con b; e. uiene ad esser la Terza parte di a
& la metà di b. Simigliantemente, perche b. è Sesquiterzo con c; g. uiene ad esser la Quarta parte di b. & la Terza di c. Onde essendo g Quarta parte di b; & e. la sua metà; g sarà la me Dimost. Harm. D 3 page 5454 Ragionamento tà intiera di e. Ma habbiamo detto e. esser la Terza parte di a; adunque g. sarà la sua Sesta parte. Et perche g. è la Terza parte di c. & la Sesta di a; però a, per la Quarta definitione, sarà Duplo al c. Ma 'l Sesquialtero & lo Sesquiterzo (per la Quinta definitione) sono denominati, l'un dalla metà & l'altro dalla Terza parte; le quali sono (per la Nona dignità) le maggior parti di qual si uoglia altra; Adunque questi due Interualli sono i maggiori nel genere Superparticolare. La onde nascendo l'Interuallo Duplo dalla congiuntione loro; potiamo dire, che nasca dalla congiuntione de i due maggiori Superparticolari. Et tutto questo è quello, ch'io ui douea dimostrare, secondo la proposta; dalla qual cauaremo questo Corollario:

COROLLARIO.

Ond'è manifesto, che la Dupla è reintegrata, ò vogliamo dir restituita, ò composta della Sesquialtera & Sesquiterza proportione, come da sue parti principali.
ET questo sarà prouato dalla Quarta dimanda, la qual dice; che La proportione de gli estremi di qual proportione si uoglia, ouer Interuallo, si dice esser composta de i suoi mezi proportionali; come da sue parti. Bella dimostratione ueramente è stato questa; disse il Signor Desiderio; & mi è sommamente piaciuta; però seguitate quello, che ui torna più al proposito. Mi torna hora commodo il dimostrarui, soggiunsi; che

PROPOSTA XVIII.

Aggiunti insieme i due maggiori Superparticolari, nasce l'Harmonica proportionalità.
PE sia a. b. c. Interuallo Duplo, nato; per la Precedente; dalla congiuntione de i due maggiori superparticolari; ab. Sesquialtero, & bc. Sesquiterzo. Dico dall'Interuallo a & c. composto in tal maniera nascer l'Harmonica proportiona lità. Faccio adunque primieramente a. equale al b, di modo che sopr'auanzi d; il qua
le sia la differenza, che si troua tra a & b. dopoi faccio simigliantemente b. equale al c. di tal sorte, che soprauanzi e. & e. sia la differenza che si troua tra b & c. Dico hora; perche d. contiene e. due fiate di punto, per la Quarta definitione, d. uiene ad esser duplo allo e; ma a. simigliantemente; per la Precedente; è posto duplo al c. adunque, per la Settima dignità; ac. & de. sono Interualli contenuti da un'istessa proportione. Et perche tra i maggiori termini ab. per la Ottaua dignità; si troua la proportione maggiore, & tra i minori, che sono bc. si troua la minore; però, per la Terzadecima definitione, dico; che tra i termini a. b. c. si troua la proportionalità, ò mediocrità Harmonica; essendo aggiunti i due maggiori Superparticolari interualli insieme; come proposi à dimostrarui. Ogni cosa torna bene; disse allora M. Adriano; Ma ditemi per nostra fè; s'io trouerò l'Interuallo Duplo composto (per dir com'hauete detto) d'una Sesqui-page 55 Primo. 55 Sesquiterza & d'una Sesquialtera, tra questi termini. 4. 3. 2. ouer'altri simili; come mol te fiate n'hò ritrouato, non si potrà forse dire, che tali Interualli si trouano in Harmonica proportionalità ordinati? Si potrà ben dire, diss'io, Messere; ch'ello sia Interuallo composto de i due nominati; ma non già, che tal ordine posto sia in proportionalità harmonica. Per qual cagione? disse egli; non è ello composto de quelli Interualli, che entrano nella uostra proposta? Che l'interuallo Duplo sia composto d'un Sesquialtero & d'un Sesquiterzo semplicemente; risposi; non è cagione, che tale Interuallo contenga la Proportionalità harmonica; ma si ben consiste nell'ordine; percioche bisogna, che le Proportioni siano ordinate in tal maniera; oltra le proportioni, che si trouano tra le differenze, & tra gli estremi, lequali uogliono esser simili; che ne i termini maggiori si troui la maggior proportione, & tra i minori la minore. Percioche (come nel Cap. 40 della Prima parte delle Istitutioni, degno di esser considerato dichiarai) il Musico se ui ricordate Messere) uà facendo & cauando sue ragioni dal Tutto & dalle Parti fatte del Corpo sonoro; sia poi chorda, ò qual si uoglia altra cosa, che torni al proposito; ilqual Corpo è diuisibile in infinito. Onde intende & piglia in qual ordine si uoglia di proportione il numero maggiore per il Tutto del Corpo sonoro diuiso in tante parti & non il minore. Il perche accommoda sempre i termini maggiori de gli interualli al Tutto fatto in parti, & gli altri nel restante; secondo le parti, che considera; & come che per loro natura accommodar si debbono, secondo i loro gradi per ordine. Però uedete, che i termini, i quali hauete proposto, sono posti al contrario; perche tra i numeri maggiori si ritroua la proportione minore, & tra i minori la maggiore. La onde si uede dalle differenze loro, che sono Vnità tra loro equali, che tali termini sono ordinati in progressione, ò come più ui piace di dire, proportionalità Arithmetica, & non in mediocrità, ò proportionalità Harmonica; come dall'Vndecima definitione si può comprendere. Intendo hora il tutto; disse M. Adriano; poi che mi hauete ridutto alla memoria questo Capitolo; ma in uero non mi ricordaua tanto inanzi. Et quando non haueste hauuto altra ragione, che dirmi; era a bastanza la Definitione, c'hauete allegato. Ma non mi scorderò più quello c'hauete detto in esso; cioè, che i Termini, che usa il Musico sono parti del Corpo sonoro; & quelli che usa l'Arithmetico, sono cose, ouer'Vnità moltiplicate; come sono quelle che sono contenute ne i termini, ch'io ui proposi, & non le parti del nominato Corpo. Cosi è ueramente; soggiunsi; però per l'auenire quando uedrete ch'io proponerò un numero in atto; sempre lo prenderete per tante parti fatte del Corpo sonoro, le quali dinota esso Numero. Et quando ne uedrete più di uno in un'altro ordine; sempre piglierete il maggiore per il Tutto del detto Corpo fatto in tante parti, & gli altri intende rete per quelle che succedono. Questa disse M. Francesco; è stata un'altra buona lettione & molto utile; percioche ancora non hauea inteso, in qual modo applicauate questi Numeri, ò termini al detto Corpo. Attendete adunque, dissi io, & non ui lasciate uscir di memoria quello, ch'io uò dimostrando; percioche potrebbe esser causa di confusione. Ma uenendo alla proposta, dico:

PROPOSTA XIX.

Tra due dati termini di qual si voglia proportione, si può ritrouar'il mezano, il quale costituisca la Proportionalità harmonica; ouer quello che faccia la Contr'harmonica, ne i suoi termini radicali.
SIANO a. & b. termini radicali della proposta proportione, tra i quali habbiamo da ritrouar il mezan Termine, ouer'harmonico Diuisore. Et perche a. & b. sono termini differenti l'un dall'altro per l'Vnità; & non riceuono, per la prima Dimanda, tra loro alcun mezano termine; però adunaremo prima insieme a & b. & ne Dimost. Harm. D 4 nasce-page 56 56 Ragionamento nascerà c. Questo molteplicato con i detti a & b. ci darà d & e. i quali conteneranno, per la Quinta Dignità, l'istessa proportione, che contiene ab; & saranno capaci di cotale ter mine nominato. Onde moltiplicando poi a. co 'l b. haueremo f. che, raddoppiato, ci darà g. il quale senza dubio alcuno sarà il ricercato Mezano termine, che costituirà l'Harmo
nica proportionalità ne i suoi termini radicali, tra dg. & e. Et per dimostrarui questi, piglio la differenza, che si troua tra d & g, la quale è h. & quella, ch'è posta tra g & e. laquale è k. & dico: perche la proportione h & k. hà gli istessi termini, da i quali è contenuta etiandio la proportione a & b. però, per la Settima Dignità, tanta è la proportione h & k. quanta quella de i dati termini a & b. M'habbiamo già detto, che tanta è la proportione di d. & e. quanta quella di a. & b. adunque tanta è quella delle due differenze h. & k. quanta quella de gli estremi d. & e. Onde, per la Terzadecima definitione, la qual dice; che Se saranno tre quantità sonore poste in ordine di maniera, che la proportio ne, la qual si troua tra le differenze del maggiore al mezano, & di questo al minore, sia equale à quella, che si troua tra le differenze de i nominati termini; dico, che tra due dati termini habbiamo ritrouato 'l mezano, il quale costituisce l'Harmonica proportionalità. Et perche d. g. e. sono numeri Contraseprimi; percioche non hanno altra misura tra loro commune, che l'Vnità; però dico, per la Nona definitione, tal proportionalità esser contenuta ne i suoi termini radicali; come dice la proposta. Et questo è tutto quello, ch'io ui douea dimostrare. A questo disse M. Adriano; Questa cosa è molto bella & ingegnosa; onde io soggiunsi; E' anco una delle mie Inuentioni; & non sono molti giorni, che affaticandomi di ritrouar il mezan termine della Contr'harmonica, ritrouai questo bel modo, facile & presto. Soggiunse anco M. Adriano; Voi tenete, se ben mi ricordo, un' altro ordine, nel ritrouar questo termine mezano nelle Istitutioni.2. par. Cap. 39. E' uerò, risposi; & co tal modo serue molto à dimostrar (se ui ricordate1. par. cap. 40.) la conformita della proportionalità Arithmetica con l'Harmonica; la qual cosa mi diede occasione di discorrere sopra dell' una & dell'altra molte cose. Mi ricordo; ei rispose; ma ditemi per uostra fè; questa maniera di ritrouar questo mezano termine, è ello commune à gli altri Generi di proportione? E' commune per certo, dissi; & serue à qual Genere si uoglia; purche si tenga 'l modo & l'ordine, c'hò dimostrato. Aggiunse anco egli; Nella Contr'harmonica poi, come si ritroua questo mezano termine? Et io; In un modo bello & anco breuissimo. Ma sappiate, che se ben questa proportionalità è Antichissima, & che di lei molti n'habbiano fatto mentione; tuttauia quanto all'uso di essa, non sò se ritrouarete alcuno, che n'habbia parlato, & c'habbia detto, in qual cosa l'Huomo di essa se ne possa seruire. A questo disse il Signor Desiderio; Io mi ricordo d'hauerla ueduto ueramente in Boetio;Arith. lib. 2. cap. 51. & 53. ma non mi poteua imaginare, à che potesse seruir nella Musica; onde la teneua quasi per cosa superflua. Ma non mi dispiacerà conoscere, in qual modo ella sia utile in questa Scienza, la quale col mezo delle sue Dimostrationi si mostra tanto copiosa, tanto ricca, & tanto abondante de cose; che non credo, ch'alcuni sciocchi potranno più dire, che la Musica non sia speculatiua. O ueramente sciocchi, gli risposi; anzi goffi che sono costoro, se si penssassero, che si potesse dire, ò scriuere ogni cosa, che si ritroua in questa Scienza; percioche ogni giorno nasce qualche bel dubio; & qualche bella consideratione di maniera, che la cosa uà in infinito. Ma ritorniamo al nostro proposito. Siano (come di sopra) a.& b. terminipage 57 Primo. 57 termini radicali d'alcuna proportione, tra i quali uogliamo ritrouare un Mezan termine contr'harmonico; & siano d. & e (com'anno di sopra) termini capaci di cotal mezo, continenti la proportione, che si troua tra a & b. Dico, che se noi cauaremo b. mi
nor termine de i primi dal maggiore, ch'è a; & moltiplicaremo il prodotto per l'istesso b. & quello che uerrà da tal molteplicatione cauaremo dal d. maggior de i secondi; uerrà f. che sarà il Mezano termine, ò ricercato Diuisore, che costituirà la Contr'harmonica proportionalità. Et per dimostrar questo; cauo prima la Differenza, che si troua tra d. & f. maggiori termini de i secondi, & ne nasce g. dopoi cauo quella, che si troua tra f. & e. & ne uiene h. onde dico; perche tra a. b & g. h. ui è simiglianza de termini; però, per la Settima Dignità, ui è anco simiglianza di proportione. Ma, per la Definitione Decimaquarta; Quando tra le differenze di tre dati termini, & i loro estremi si trouerà si miglianza di proportione, allora si dirà che tal ordine sia fatto secondo la proportionalità Contr'harmonica; il perche ritrouandosi tale simiglianza tra de. & gh. seguita, che tra d. f. & e. sia costituita la proportionalità nominata. Tra due termini dati, adunque, di qual si uoglia proportione, habbiamo ritrouato 'l Mezano, il quale costituisce la Contr'harmonica proportionalità, secondo ch'io ui douea dimostrare. Questo modo; disse M. Claudio; è ello, commune ad ogni sorte di proportione? Ben sapete, risposi. In uerità; soggiunse il Signor Desiderio; ch'è anche lui molto bello & facile. Ma uenite à dimostrarci qualche altra cosa. Cosi uoglio fare, risposi; ascoltatemi prima, & mandate alla memoria questi Versi ch'io ui reciterò; acciò più facilmente ui ricordate le Regole, ch'io ui hò dato per ritrouare i Mezani termini de queste due proportionalità; & sono cotesti. Se vorrai ritrouare tra due numeri
Dati, che un terzo sia Mezano harmonico;
Fà che tu aggiunga insieme cotai numeri;
Et quel che nascerà con quei molteplica;
Et ne uerrà due altri maggior numeri.
Fatto questo, bisogna che molteplichi
I due Dati tra loro, & che raddoppij
Il prodotto, & uerrà 'l sudetto harmonico.
S'anco delli due Dati il minor numero
Leuarai dal maggior; fà che 'l residuo
Con il minor insieme tu molteplichi;
Et quel che nasce dal maggior de i termini
Leua, e tra lor quello ch'auanza colloca,
C'hauerai lo mezano Contr'harmonico.
Questi Versi non mi dispiaceno, allora disse il Signor Desiderio; poiche le cose mathematiche per la lor natura presto si partono delle menti nostre; onde saranno cagione di far, che non cosi facilmente cotesta cosa si scompagnarà da noi; essendo che 'l Verso per sua natura non si domentica tanto facilmente, quanto auiene della Prosa; però hauendo fatto questo poco di guadagno, ui prego M. Gioseffo, à seguitare il resto. Sappiate adunque questo, dissi, essere infallibilmente uero, come ui dimostrerò, che: Sianopage 58 58 Ragionamento

PROPOSTA XX.

Diuiso l'interuallo Sesquialtero da un mezano termine harmonico, ne nasce un Sesquiquarto & un Sesquiquinto.
SIANO a. b. c. l'Interuallo Sesquialtero diuiso, per la Precedente, da b. mezano termine harmonico, in ab. & bc. dico da tal diuisione nascere il Sesquiquarto, & lo Sesquiquinto; il primo tra ab, & lo secondo tra bc. Et perche a. contiene
b. una fiata & la sua quarta parte; però, per la Quinta definitione, dico a. essere al b. Sesquiquarto. Simigliantemente, perche b. contiene c. una fiata & una sua Quinta parte; però, per la Definitione nominata, b. con c. è Sesquiquinto. Ma perche ac. è interuallo Sesquialtero, & da b. termine Mezano harmonico è diuiso in ab. Sesquiquarto, & in b c. Sesquiquinto; però dico, che Diuiso l'Interuallo Sesquialtero da un termine harmonico mezano, nasce un Sesquiquarto & un Sesquiquinto; come dimostrar ui douea. Et à questo aggiungerò, il seguente Corollario, ilquale sarà; che

COROLLARIO.

De qui auiene, che l'Interuallo Sesquialtero è reintegrato dal Sesquiquarto & dal Sesquiquinto, come da sue parti principali; & che cauato l'uno de questi da esso necessariamente, resta l'altro.
IL che è troppo manifesto. Chi uolesse negare questo, disse M. Claudio, si potrebbe porre nel Numero de i pazzi. A questo, dissi; uoglio hor'aggiungere; che.

PROPOSTA XXI.

L'Interuallo Sesquiquarto si diuide da un mezano termine harmonico in un Sesquiottauo, & in un Sesquinono.
VDITO che hebbe il Signor Desiderio questa proposta; prorupe in queste parole; Mi souiene hora, che io non hò mai ritrouato, che gli Antichi habbiano considerato altra diuisione Harmonica, che quella della Dupla; onde mi pare, che ciò potesse procedere, ò da ignoranza, ò da troppo superstitione. O, non dite cosi; gli risposi à questo; credo che più tosto gli Antichi fussero superstitiosi, che ignoranti; se ben si può credere, che dalla ignoranza de molte cose, da quel che già dissi, & da quello che uederete scritto ne i miei Sopplimenti;Lib. 3. c. 5. & 6. non fussero al tutto liberi; poi che loro non intesero i Gradi delle Consonanze. Onde procedeua 'l tutto, dal non uolere admettere alcuno Interuallo, che fusse minor della Diatessaron, nel numero loro; del che quanto s'habbiano ingannato, la proua, che facciamo ogni giornopage 59 Primo. 59 no del Ditono & del Semiditono, che sono due parti, che nascono dalla proposta & dimostrata diuisione, ce lo manifesta: Ma ueniamo alla sua dimostratione. Siano a. b. c. l'interuallo Sesquiquarto, diuiso, per la Duodecimanona proposta, dal b. Mezano termine Har
monico in due parti, a. b. & in b. c. Dico che da tal Diuisione nasce l'Interuallo Sesquiot tauo, & lo Sesquinono; percioche se a. contiene il b. con una sua Ottaua parte, non è dubio; per la Definitione de i Molteplici, che a. & b. sia Interuallo Sesquiottauo. Al medesimo modo; perche b. contiene il c. una fiata & una sua Nona parte; però, per l'istessa Definitione, il b. & c. sarà interuallo Sesquinono. Il perche dico, Diuiso l'interuallo Sesquiquarto da un mezano termine Harmonico, come dice la proposta, si diuide in un Sesquiottauo & in un Sesquinono; come ui douea dimostrare. A questa etiandio aggiungerò; che,

COROLLARIO.

De qui nasce, che dall'Interuallo Sesquiottauo & dal Sesquinono il Sesquiquarto è reintegrato, come da sue parti principali.
VOI non dite cosa alcuna, disse Messer Adriano; de gli Interualli, che sono mag giori della Dupla. Et io à lui; Anzi ue ne uoglio hora dire; perche questo è il suo luogo; che,

PROPOSTA XXII.

Dall'interuallo Duplo & dal Sesquialtero aggiunti insieme, nasce l'interuallo Triplo, ilqual contiene l'Harmonica proportionalità.
QVESTA proposta non mi par molto difficile, disse il Viola; anzi molto simile ad alcuna delle già dimostrate. Questo è uero, soggiunsi; però uolendola dimostrare, dirò in questo modo. Sia prima a. b. c. Interuallo composto di a. b. Duplo, & di b. c. Sesquialtero. Dopoi sia la d. la differenza, che si troua tra a. & b. & sia anco c. quella, che si troua tra b. & c. Dico hora a. esser Triplo al c. & a. b. c. esser ordinati in Har
monica proportionalità. Et perche a. ueramente è doppio al b. però a. per la Quarta definitione, contiene il b. due fiate; adunque per la Duodecima proposta, uno a. si troua es ser equale à due b. Simigliantemente; perche b. c. è Sesquialtero; però il b. contiene, per la Quinta definitione, il c. una fiata & la sua metà; Adunque per l'istessa Duodecima, due b. sono equali à tre c. & due b. erano equali ad uno a. adunque tre c. simigliantemente so nopage 60 60 Ragionamento no equali ad uno a. Ma tre sono Tripli ad uno; adunque, per la quarta decima, uno a. è Triplo ad uno c. come primieramente dimostrarui douea. Ma perche la proportione del le differenze contenute ne i termini d. & e. uiene ad esser Tripla; essendo che 'l d. contiene tre fiate e. & già per la Dimostratione habbiamo a. & c. esser Triplo; però, per la Settima dignità, & per la Decimaterza, ne segue; ch'essendo d. & e. differenze de i sopra dati termini a. b. c. simili in proportione con a. c. estremi termini; che a. b. c. siano collocati in Harmonica proportionalità; come secondariamente ui douea dimostrare. Hora dopo questa seguitarò dirui; che,

PROPOSTA XXIII.

L'interuallo Duplo raddoppiato constituisce un'interuallo Quadruplo, & insieme la Geometrica proportionalità.
SIA a. b. c. interuallo Duplo raddoppiato, per la Terza di questo; & sia a. b. Duplo, & b. c. simigliantemente Duplo. Dico a. esser Quadruplo al c. Et perche a. è dop pio al b. però due b. sono equali ad uno a. Et di nuouo; perche b. è doppio al c. però due c. sono equali ad uno b. Ma se due c. sono tanto quanto è un b. quattro c. saranno equali à due b. ma due b. sono posti equali ad uno a. adunque quattro c. saranno equa
li ad uno a. Et perche quattro sono in proportione Quadrupla ad uno; però, per la Quar tadecima proposta, uno a. è Quadruplo ad un c. Et questo è quello, che primieramente douea dimostrare. Ma perche a. b. c. è interuallo d'un Duplo raddoppiato; & il Duplo, per la Quarta definitione, è Molteplice; però seguita, che l'Interuallo a. b. c. sia interuallo Molteplice raddoppiato. Ma i termini di qual si uoglia interuallo Molteplice raddoppiato, per la Quarta proposta, constituiscono la proportionalità Geometrica; adunque a. b. c. interuallo Duplo raddoppiato constituisce la proportionalità Geometrica. Et que sto è quello, che secondo la proposta, ui douea secondariamente dimostrare. Sete arriuato alla Quadrupla, disse M. Adriano; non credo già, che uorrete passar più oltra; però c'ha uerete più da dirci? Attendete pur Messere, risposi; che se ben non uoglio trappassare i termini della Quadrupla, non mancano le cose da proporui. Onde hora ui uoglio dimostrare; come noi.

PROPOSTA XXIIII.

Potiamo ritrouar'un Termine minore, al quale potremmo assegnar quante proportioni Superparticolari vorremo.
QVEpage 61 Primo. 61 QVESTO apunto mi piacerà di uedere, disse M. Claudio. Et io à punto son qui per satisfarui, gli risposi. Sia adunque il nostro principale intendimento, di ritro uar un Termine, ò Numero minore, al quale possiamo assegnar due, ò più Interualli diuersi di proportione; & siano a. b. & c. d. le proportioni, che uogliamo assegna
re, contenute ne i lor termini radicali. Primieramente molteplico insieme b. & d. termini minori de gli Interualli: a. b. & c. d. onde ne uiene e. il quale dico esser il Numero minore ricercato; percioche cauando primieramente, per la Quintadecima proposta, la par te di e. secondo 'l d. uiene f. il quale aggiunto con e. nasce g. Et perche g. contiene e. & una sua parte; come etiandio contiene al medesimo modo c. il d. però dico, per la Settima dignità, tanto esser la proportione di g. con e. quanta quella di c. con d. Cauo secondaria mente, per l'istessa Quintadecima, al medesimo modo, la parte di e. secondo b. la qual uiene h. & questa aggiungo con e. onde risulta k. Ma perche k. contiene e. una fiata & una sua parte; come anco a. contiene al modo medesimo il b. però dico, per l'istessa Settima dignità, tanta esser la proportione di k. e. quanta quella di a. b. Et perche habbiamo assegnate le Proportioni proposte a. b. & c. d. al numero e. però dico, che habbiamo ritrouato un numero minore, al quale potiamo assegnar quante proportioni Superparticolari uogliamo; secondo la proposta. Et questo è quello, ch'io ui uolsi dimostrare. Vi uoglio anco auertire una cosa; che si può ritrouar cotale termine, il quale sarà il maggiore; operando però tutto al contrario di quello, che habbiamo fatto à ritrouar'il minore; onde questa sarà la proposta.

PROPOSTA XXV.

Si può ritrouar'vn termine maggiore, al quale si potrà assegnar quante proportioni Superparticolari farà dibisogno.
A QVESTO, disse M. Claudio; Parmi uedere uno de quelli Contrapunti doppij, che uoi insegnate nelle Istitutioni;3. par. cap. 56. & 62. ilche molto mi diletta; però dimostrateci que sta anco; poi che si procede al contrario della Precedente. Onde soggiunsi; Volendo ritrouar'il proposto termine, dico: Sia il proposito nostro di ritrouar un Numero, ò
Termine maggiore, al qual si possa assegnare i termini minori de più Interualli differenti di proportione; & siano a. b. & c. d. constituiti ne i lor termini radicali. Molteplico prima a. & c. maggiori termini delle proposte proportioni a. b. & c. d. & ne risulta e. Dico e. esser'il Termine maggiore, al quale potremmo assegnar le date proportioni a. b. & c. d. on de fatto questo, dopoi per la Quintadecima di questo nostro ragionamento, piglio la par te di e. secondo c. maggior termine della proportione c. d. la quale uiene f. questa cauo di e. & ne nasce g. Dico hora, per la Settima dignità, tra e. & g. esser quella medesima pro portio-page 62 62 Ragionamento portione, ch'è collocata tra c. & d. percioche tante fiate contiene e. il g. & una sua parte; quante fà il c. il d. Piglio di nuouo, per la nominata Quintadecima, la parte di e. secon do a. maggior termine della proportione a. b. & ne uiene h. ilquale cauo di e. & ne nasce k. la onde dico, per l'istessa Dignità, tanta esser la proportione di g. & k. quanta quella di a. b. percioche g. contiene tanto una fiata il k. & una sua parte; quanto fà a il b. Ma per che habbiamo assegnato al numero e. le proportioni proposte a. b. & c. d. secondo 'l proposito; però dico e. esser'il ritrouato numero, ò termine maggiore, secondo la proposta. Et questo è tutto quello, ch'io ui douea dimostrare. Ma auertite, che nella Precedente bisogna incominciare à giunger le Parti dalle proportioni, che hanuo minor denominatore; & in questa, da quelle, che l'hanno maggiore. Disse allora M. Claudio; Si può ben ueramente dire, che si proceda al contrario; & pur troppo mi son accorto nel dimostrar la proposta, che l'hauete osseruato; però dimostrateci qualch'altra cosa. Io uoglio ch'incominciamo hora, risposi; adoperar queste proposte; però ascoltate.

PROPOSTA XXVI.

Se da vn'interuallo Sesquialtero si leuerà il Sesquiterzo, quel che verrà sarà Sesquiottauo.
ET sia a. termine maggiore, ritrouato per la Precedente, al quale sia assegnato b. sesquiterzo, & c. Sesquialtero. Da a. c. cauo a. b. Sesquiterzo, lasciando da un canto b. c. il quale dico esser Sesquiottauo. Imperoche essendo a. Sesquialtero al c. a. contiene esso c. una fiata & la sua metà. Il perche, per la Duodecima di questo,
Due a. sono equali à tre c. & Quattro à Sei; & Sei à noue. Oltra di questo; perche b. è Sesquiterzo di a. adunque a. contiene in se il b. & una sua Terza parte; onde nasce, che, per la nominata Duodecima, Tre a. sono equali à quattro b. & Sei ad otto. Ma Sei a. sono già equali à Noue c. adunque Otto b. sono equali à noue c. per la Decimaquarta adunque; il b. contiene il c. & la sua ottaua parte; & b. e. per la 5. Definitione; Sesquiottauo al c. come ui douea dimostrare.

COROLLARIO.

Onde nasce, che l'interuallo Sesquiottauo è la differenza, per la quale il Sesquialtero so pr'auanza il Sesquiterzo interuallo.
QVE-page 63 Primo. 63 QVESTA è cosa, disse M. Adriano; che si tocca con le mani, & non si può negare. Onde ripigliai dopo questo il mio ragionamento in questo modo. Dirò adunque aggiungendo la uentesimasettima proposta.

PROPOSTA XXVII.

Se dall'interuallo Sesquiterzo si leuerà il Sesquiquinto, quel che risulterà, sarà Sesquinono.
SIA hora per la Ventesimaquintà proposta, a. il termine maggior ritrouato, al quale sia assegnato il b. Sesquiquinto, & il c. Sesquiterzo. Leuo da a. c. Sesquiterzo, a. b. Sesquiquinto; lasciando da un canto b. c. & dico b. c. esser'Interuallo Sesquinono. Imperoche essendo a. Sesquiterzo al c. a. contiene il c. una fiata & una sua terza parte; onde Tre a. uengono equali, per la Duodecima proposta, à quattro c. Sei, ad otto; Noue, à dodici; Dodeci, à sedici; & Quindeci, à uenti. Simigliantemen
te, perche b. è Sesquiquinto alla a. però a. contiene una fiata il b. & una sua Quinta parte; onde, per l'istessa Duodecima, Cinque a. sono equali à sei b. Dieci, à dodici; & Quindeci, à diciotto. Ma Quindeci a. sono posti equali à Venti c. adunque Venti c. sono equali à Diciotto b. La onde, per la Decimaquarta proposta di questo nostro ragionamento, il b. contiene il c. & la sua Nona parte; adunque b. c. per la Quinta definitione, è Sesquinono; come ui douea dimostrar, secondo la proposta.

CORROLLARIO.

Et de qui nasce, che l'interuallo Sesquinono è la differenza, che si troua tra la Sesquiterza & la Sesquiquinta proportione; per laquale quella viene ad esser'à questa superiore.
QVESTO aggiunto, disse il Viola; è tanto chiaro, che non hà dibisogno d'altra espositione; però al uostro bel piacere seguitarete quello, che più ui torna commodo. Cosi son per fare, risposi; la onde dico; che, PRO-page 64 64 Ragionamento

PROPOSTA XXVIII.

Se dall'interuallo Sesquiterzo si cauerà il Sesquiquarto, il rimanente sarà Sesquiquin todecimo.
QVESTA proposta dimostraremo à questo modo. Sia a. il termine minore, per la Ventesimaquarta, ritrouato. Faccio b. Sesquiquarto con a. & c. Sesquiterzo an cora con a. il che fatto, leuo b. a. Sesquiquarto, da c. a. Sesquiterzo; & lascio da un canto c. b. il perche quest'Interuallo; senza dubio alcuno, è Sesquiquintodecimo.
Onde dico; poiche c. uiene Sesquiterzo con a. c. contiene a. una fiata & la sua Terza par te; la onde, per la Duodecima proposta, tre c. sono equali à quattro a. sei, ad otto; noue, à dodeci; dodeci à sedeci; & quindeci, à uenti. Oltra di questo; perche b. con a. è Sesquiquarto; però b. contiene a. & una sua Quarta parte; onde auiene, per la detta Duodecima, che quattro b. sono equali à cinque a. otto, à dieci; dodici, à quindeci; & sedeci, à uenti. Ma Quindeci c. erano equali à uenti a. adunque sedici b. sono equali à quindeci c. Per la Quartadecima adunque già nominata, il c. contiene il b. & una sua Quintadecima parte; & c. per la Quinta definitione, è al b. Sesquiquintodecimo; come ui douea dimostrare.

COROLLARIO.

Onde è manifesto, che l'interuallo Sesquiquintodecimo è la differenza, che casca tra la Sesquiterza & la Sesquiquarta proportione.
QVI il Sig. Desiderio, non è contraditione alcuna, disse; onde bisogna dire, che quando à questo ultimo Interuallo si aggiungerà il primo; che 'l secondo uerra ad esser integrato di tutta la sua proportione. Non ella cosi M. Gioseffo? Cosi è senza fallo, gli risposi; onde uerrò ad un'altra proposta. PRO-page 65 Primo. 65

PROPOSTA XXIX.

Se da un Sesquiquarto si leuerà un Sesquiquinto interuallo, quello che nascerà sarà Sesquiuentesimoquarto.
SIA a. termine maggiore, ritrouato secondo la Ventesimaquinta proposta. Primieramente faccio b. Sesquiquinto con esso a. dopoi faccio c. etiandio con esso lui Sesquiquarto; & da a. c. cauo a. b. Sesquiquinto; onde resta da una parte l'interuallo b. c. il quale dico essere Sesquiuentesimoquarto; dimostrandolo à cotesto modo. Essendo a. Sesquiquarto al c. non è da dubitare, che a. contenga il c. & una
sua Quarta parte. Il perche dico quattro a. essere equali à cinque c. otto, à dieci; dodici, à quindeci; sedeci, à uenti; & uenti, à uenticinque. Et perche b. etiandio è Sesquiquinto di a. però a. contiene il b. & una sua Quinta parte. Onde nasce, che cinque a. sono equali à sei b. dieci, à dodici; quindeci, à diciotto; & uenti, à uentiquattro. Ma perche hò detto, uenti a. essere tanto quanto uenticinque c. però dico ancora, che uentiquattro b. sono equali à uenticinque c. Et per la Quartadecima proposta simigliantemente dico, che il b. contiene il c. una fiata & una sua Ventesimaquarta parte. Onde b. c. uengono à contenere l'interuallo Sesquiuentesimoquarto; come ui douea, secondo quello, ch'io hò proposto, dimostrare.

COROLLARIO.

Onde auiene, che 'l Sesquiuentesimoquarto interuallo è la differenza di quanto il Sesquiquar to supera lo Sesquiquinto.
MARAVIGLIANDOSI grandemente il Sig. Desiderio della facilità & modo non cosi esposto da ogn'uno del dimostrare, disse; O' quanto sono chiare queeste dimostrationi; onde chi uolesse opponersi, per mia opinione, haurebbe grandemente del pazzo. Veramente, che cosi sarebbe, gli risposi; ma ueniamo pur'ad un' altra proposta. Dimostr. Harm. E PRO-page 66 66 Ragionamento

PROPOSTA XXX.

Se da vno de i Tre maggiori de i Quattro primi interualli Superparticolari, si leuerà qual si voglia de i tre minori; quel che nascerà, sarà etiandio Superparticolare.
SIANO a. e. a. d. a. c. & a. b. i Quattro Primi interualli Superparticolari; come a. e. Sesquialtero, a. d. Sesquiterzo, a. c. Sesquiquarto, & a. b. Sesquiquinto; assegnati, per la Ventesima quinta, al termine a. Et siano a. e. a. d. & a. c. i tre maggiori; & a. d. a. c. & a. b. i tre minori. Dico, sel si leuarà un de questi, sia qual si voglia, da uno de i tre primi; che quello che uscirà, sarà simigliantemente Superparticola
re. E' manifesto, per la Decimasettima di questo, gli interualli Sesquialtero & Sesquiterzo esser Massimi superparticolari; & per l'Ottaua dignità; l'interuallo Sesquialtero è maggior del Sesquiterzo; percioche anco il suo Denominatore è maggiore. Se noi adunque dall'interuallo Sesquialtero a. & e. il quale è il primo & maggior de i tre maggiori de i su detti quattro Superparticolari, leuaremo il Sesquiterzo a. & d. che è il primo & maggiore di ciascheduno de i tre minori; resterà d. & e. il quale dico, per la Ventesimasesta proposta, esser Sesquiottauo. Et perche d. contiene e. una fiata & una sua parte Aliquota; pe rò, per la Quinta definitione, d. & e. uiene ad esser'interuallo Superparticolare. Hora se da a. & e. Sesquialtero leuaremo a. & c. Sesquiquarto, ilquale è il secondo de i minori; per il Corollario della Ventesima proposta; resterà c. & e. Sesquiquinto. Et perche c. contiene e. una fiata, & una sua Quinta parte; però, per la istessa Quinta definitione, c. & e. uiene ad esser collocato tra i Superparticolari. Ma se da a. & e. di nuouo cauaremo a. & b. Sesqui quinto, ultimo Interuallo de i minori; per l'istesso Corollario, ne uerrà b. & e. Sesquiquarto, il quale medesimamente, per la Suppositione, è Superparticolare. Et questo sia detto intorno quello, che si può dire del Primo interuallo de i tre maggiori. Ma uenendo al Secondo dico; essendo a. & d. Sesquiterzo; se da lui cauaremo a. & c. Sesquiquarto; quel che uerrà, per la Ventesimaottaua, sarà c. & d. Sesquiquintodecimo. Et perche c. contiene il d. & una sua Quintadecima parte; però, per la sudetta Definitione, c. d. è interuallo Superparticolare. Ma se di nuouo da a. & d. Sesquiterzo cauaremo a. & b. Sesquiquinto; ne uerrà, per la Ventesimasettima, un Sesquinono; il quale dico esser'interuallo Superparticolare; percioche d. contiene una fiata il b. & una sua Nona parte. Vltimamente; se da a. c. Sesquiquarto leuaremo a. b. Sesquiquinto; per la Precedente, nepage 67 Primo. 67 ne uerrà b. c. Sesquiuentesimoquarto. Et perche b. contiene il c. intieramente una fiata & una sua Ventesimaquarta parte, chiamata Aliquota; però b. c. per la detta Quinta definitione, uiene connumerato tra gli interualli Superparticolari. Adunque; Se da uno de i tre maggiori de i quattro primi interualli Superparticolari, si leuerà qual si uoglia de i tre minori; quel che uerrà, sarà etiandio Superparticolare. Et questo è tutto quello, che secondo la proposta ui douea dimostrare. A questo M. Adriano tutto allegro disse; Questa dimostratione mi è molto piaciuto, perche hà dell'ingegnoso; però seguitate pur'un'altra; che queste cose non mi lasciano sentir dolore alcuno. Mi piace Messere, dissi; che questi Ragionamenti seruino per medicina al uostro male; però molto uolentieri uoglio seguitare, & dimostrarui; che,

PROPOSTA XXXI.

Se da un'interuallo Sesquiottauo si leuerà il Sesquinono, il rimanente sarà Sesquiottantesimo.
SIA a. il termine maggiore, ritrouato per la Ventesimaquinta; & sia a. b. Sesquino no, & a. c. Sesquiottauo. Leuo da a. c. l'interuallo a. b. onde ne resta b; c. il quale dico infallibilmente esser Sesquiottantesimo; percioche, essendo a. c. Sesquiotta uo; a. contiene il c. una fiata & la sua Ottaua parte; Onde per la Duodecima di questo, Ot
to a. sono equali à noue c. Sedici, à diciotto; & proportionatamente ascendendo (per non andar'in lungo) Ottantauno c. sono equali à Settantadue a. Di nuouo dico; perche a. è Sesquinono di b. contiene a. il b. una fiata, & la sua Nona parte. Onde auiene, per la sudet ta Duodecima, che Noue a. sono equali à dieci b. Diciotto, à uenti; & cosi (ascendendo con l'istessa progressione, & con l'istess'ordine) Settantadue a. saranno equali ad Ottanta b. Ma habbiamo già detto, che Settantadue a. sono equali ad Ottantauno c. adunque Ottantauno c. sono tanto, quanto Ottanta b. Il b. adunque contiene il c. una fiata & la sua Ottantesima parte. Et b. c. come ui douea dimostrare, è interuallo Sesquiottantesimo; secondo che si è proposto. Dimostr. Harm. E 2 CO-page 68 68 Ragionamento

COROLLARIO.

Onde manifestamente appare, che l'interuallo Sesquiottantesimo sia la differanza, che si troua tra 'l Sesquiottauo & il Sesquinono interuallo.
MA perche è cosa, che si tocca con le mani; però passaremo ad un'altra dimostra tione, laquale sarà la sequente.

PROPOSTA XXXII.

Se dall'Interuallo Sesquiquintodecimo si leuerà il Sesquiuentesimoquarto, quel che sopr'auan zerà sarà Supertripartientecentesimouentesimoquinto.
SIA, per la Ventesimaquarta di questo,a termine, al quale sia assegnato b. Sesquiuentesimoquarto, & c. Sesquiquintodecimo. Dico, che cauando b. a. interuallo Sesquiuentesimoquarto da c. a. Sesquiquintodecimo, ne rimanerà c. b. il quale è Supertripartiente 125. Imperoche c. contiene a. & una sua Quintadecima parte; onde, per la Duodecima proposta, Quindeci c. sono equali à sede ci a. Trenta, à trentadue; Quarantacinque, à quarantaotto; & cosi ultimamente, accre scendo secondo l'Arithmetica progressione, Trecento settantacinque c. saranno equali à Quattrocento a. Et perche b. a. è Sesquiuentesimoquarto; però b. contiene a. & una sua Ventesimaquarta parte; onde nasce, per la sudetta Proposta, che Ventiquattro b. sono equali à uinticinque a. Quarantaotto, à cinquanta; & cosi per Arithmetica progressione, per non andar più di lungo; Trecento ottantaquattro b. sono equali à Quattrocento a. Ma habbiamo già detto, che Trecentosettantacinque c. sono equali à Quattrocento a. adunque Trecentoottantaquattro b. sono equali à Trecentosettantacinque c. Et per la Quartadecima proposta, dico; che 'l c. contiene il b. una fiata & tre centesimeuentesime
quintepage 69 Primo. 71 quinte parti; onde c. per la Definitione de i Superpartienti, è Supertripartiente 125. al b. Ilche si può facilmente scorgere da i termini radicali di c. & b. i quali sono d. & e. ac quistati dalla diuisione del Ternario, secondo 'l modo mostrato nel Cap. 43. della Prima parte delle Istitutioni, ne i termini c. b. a. onde nasce d. e. f. che sono Numeri Contraseprimi; & per la Nona Definitione, Radice delle proportioni c. b. a. Il perche; Se dall' interuallo Sesquiquintodecimo si leuerà il Sesquiuentesimoquarto, quel che uerrà, sarà Supertripartiente centesimouentesimoquinto; Come ui douea dimostrare.

COROLLARIO.

Ond'è manifesto, che l'interuallo Supertripartiente centesimouentesimoquinto è la differenza, che si troua tra lo Sesquiquintodecimo, & lo Sesquiuentesimoquarto; Et che l'interuallo Sesquiquintodecimo è reintegrato dal Sesquiuentesimoquarto & dal Supertripartiente centesimouentesimoquinto; come da sue parti.
IO sò & sento insieme, c'hormai sarebbe hora di dar fine à questo nostro Ragio gionamento; percioche è molto tempo, che siamo adunati in questo luogo, & hormai son stanco per il molto ragionare; ma di gratia non ui rincresca l'ascoltarmi ancora un poco; Percioche desidero di finir di dimostrarui alcune cose, per non hauer poi al nostro ritorno da far'altro, che dar principio à quello, ch'è il nostro principale intendimento, applicando tutte queste dimostrationi fatte fin'hora, & quelle poche, ch'io son per dimostrarui, alle Consonanze & à tutti quelli Interualli, che sono nella Musica; essendo che queste sono come fondamento de quelle cose, che ui son per dire. Io non desidero altro, disse il Sig. Desiderio; se non di udirui ragionare; perche mi pare, che queste hore siano ben spese; & uoi credete, che m'habbia da rincresciere? seguitate pur quel che ui piace, che tutti noi ui ascoltiamo uolentieri; perche in uero tutta la fatica è uostra. Questa non mi è fatica, risposi; anzi piacere: la onde poi che non ui rincresce, Seguiterò à dar fin'à quello, che dir ui uolea; il perche dico; che,

PROPOSTA XXXIII.

Il Restante d'una Parte maggiore, dalla quale ne sia cauata vna minore à lei più vicina, ò continua di qual si voglia Interuallo, aggiunto alla seconda, produce la prima.
BISOGNA che prima ci dichiarete la proposta, disse il Merulo, perche mi par dif ficile; & dopoi che ce la dimostriate. E' cosa honesta, dissi; però attendete. Voglio dire; per farui capaci di questa cosa con un particolar'essempio; che se da una Terza parte di qual si uoglia Interuallo, leuarete la Quarta, che l'è minore & continua, ò uogliate dir' uicina; quel che uerrà, che sarà il restante; aggiunto alla Quarta parte farà medesimamente la Terza. Et che questo sia uero, lo uederete prima in prattica; dopoi ve lo dimostrerò, acciò lo sapiate, come saper si debbe. Quando adunque uorrete cauare 1/4 di 1/3; che sono parti propinque l'una all'altra; prima molteplicarete cambieuolmente il Numerator dell'una co 'l Denominator dell'altra; ilche fatto, uerrà 3. & 4. che saranno i Numeratori delle due parti, che nasceranno, simili alle parti proposte. Dopoi molteplicarete i Denominatori delle proposte parti insieme, & ne uerrà 12. ilquale sarà il Denominator de i detti due Numeratori; Percioche altro non è quel ch'io hò operato fin'hora, che un ridur molte parti de diuersi Denominatori, sotto un solo. Onde da coDimostr. Harm. E 3 talepage 70 70 Ragionamento
molteplicatione nasceranno & 3/12 & 4/12; de i quali il primo corrisponde à 1/4 , & il secondo à 1/3. Fatto questo, cauareteli 3/12 de i 4/12, & ne uerrà senza fallo1/12; il quale s'aggiungerete à 1/4, hauerete 1/3. Il che ui uerrà fatto, quando molteplicherete i Numeratori di 1/12 & di 1/4 scambieuolmente, per i Denominatori; sommando insieme i prodotti, & molteplicando etiandio l'un per l'altro i Denominatori; ponendo il prodotto di questi sotto una linea, & quello di quelli sopra; come uedete nell'essempio, che ui hò formato, accioche piu facilmente m'haueste da intendere. Hora potrete dire, che cauato 1/4 di 1/3, ne uiene 1/12; il quale aggiunto ad 1/4 rende di punto 1/3. Et questo si fà manifesto con la Dimostratione, per tal modo. Se Tre terze parti d'un Interuallo fanno tutto l'Interuallo intiero, il che fanno etiandio Quattro quarte parti, ò Dodici duodecime parti; Tre terze parti, & quattroquarte parti, simigliantemente Dodici duodecime parti sono traloro equali. Onde auiene, che 2/4 sono equali à 6/12, & 1/4 à 1/12 & 2/3 sono anco equali à 1/12, & 1/3 à 4/12. Imperoche, per la Duodecima dignità; De quelle cose, delle quali i Tutti sono equali, equali etiandio sono le Metà loro. Ma 4/12 sono 1/3; adunque sono una Terza parte di tutto l'Interuallo, al quale Dodici duodecime sono equali, & con esso sono una cosa istessa. Però adunque 1/4 minor parte di tutto l'Interuallo, ch'è equale (come è mostrato) à 3/12, & 1/12 aggiunto ad 1/4, restituiscono 1/3; il quale è la parte maggiore di esso Interuallo. Sono adunque l/4 & 1/12 equali ad un Terzo; come ui hò mostrato. On de il restante d'una parte maggiore di qual si uoglia Interuallo, dalla quale sia cauata una minore à lei piu uicina, ò continua, aggiunto alla seconda, produce la prima. Et questo è quello, che secondo la proposta, dimostrarui douea. Et ancora che questa dimostratione sia ristretta in un particolare; tuttauia si uerifica uniuersalmente in due qualunque si uogliano parte propinque & nell'Vniuersale, come sono una Quarta & Quinta parte; perche aggiunto una Ventesima alla Quinta parte, uiene una Quarta intera. Simiglian temente aggiunta una Sesta parte & una Trentesima, ne nasce una Quinta; il che si potrebbe anco dir dell'altre, le quali lascio per breuità. Il Merulo; hauendo io dato fine à questa dimostratione; allora disse; Questo intendo hora benissimo, & ui ringratio della fattica, c'hauete fatto à mia istantia. Al quale soggiunsi; Accioche uediate à che proposito habbia introdotta questa proposta, hora lo mostrerò, & dirò in questa maniera.

PROPOSTA XXXIIII.

Due interualli Sesquiottaui sono minori d'un Sesquiterzo, & maggiori d'un Sesquiquarto.
SIANO adunque a. b. & b. c. due interualli Sesquiottaui, l'un dopo l'altro, per la Pri ma proposta di questo, molteplicati; di modo che a. b. sia il primo, & b c. il secondo, a i quali (per più facilità) corrispondino l. k. h. ancora per la Decimasesta, due inter ualli Sesquiottaui moltiplicati tra i Numeri composti; cioè h. ad. a. k. al b. & l. al c. Et sia anco a. & d. interuallo Sesqui 3. & a. come. Sesqui 4. Dico a. c. esser minor'Interuallo di a. d. & mag giorepage 71 Primo. 71
giore di a. e. La onde perche a. è Sesquiottauo col b. però, per la Duodecima, Otto a. sono equali à noue b. Simigliantemente, perche b. è Sesquiottauo al c. per l'istessa Duodecima, Otto b. fanno tanto, quanto noue c. Ma essendo (per la 14. proposta) un de i b. equa le ad un de i c. & ad una sua Ottaua parte; 9. b. uengono equali à 10. c. & ad una Ottaua parte, d'esso c. Habbiamo però detto, 9. b. esser'equali ad 8. a. adunque 8. a. sono equali à 10. e. & ad 1/8 parte. Ma 10. & 1/8 contengono 8. una fiata & 17/64. che sono una sua Quar ta parte con 1/64. adunque per l'istessa Quartadecima proposta, uno a. contiene un c. & una sua Quarta parte con 1/64. Et una Quarta parte con 1/64 sono il Denominatore dell'Interuallo de due Tuoni molteplicati; & per l'Ottaua Dignità; minor di 1/3 parte, ch'è il Denominatore del Sesquiterzo, & maggior di 1/4. ch'è Denominatore del Sesquiquarto. Imperoche, come anco particolarmente dimostrai nella Precedente 1/4 & 1/12. fanno una Terza parte, ch'è maggiore, per l'istessa Nona Dignità, che non è 1/4 & 1/64 come questa è maggior della Quarta parte; percioche la supera per 1/64. La onde, perche 10. & 1/8 parte, con 8. per la Sestadecima proposta, sono due Sesquiottaui insieme moltiplicati tra i Numeri composti; però potiamo concludere, che due Sesquiottaui sono minori d' un Sesquiterzo, & maggior d'un Sesquiquarto interuallo; come bisognaua dimostrare. Questo non si può negare, disse M. Adriano. Ne questo anco, soggiunsi io, si potrà nega re; cioè, che,

PROPOSTA XXXV.

Tre interualli Sesquiottaui sopr'auanzano un Sesquiterzo, & sono minori d'un Sesquialtero.
IL che si proua in questo modo. Siano a. b. c. d. tre interualli Sesquiottaui congiun ti, per la Prima di questo; di modo che a. b. sia il primo, b. c. il secondo, & c.d. il terzo. Et siano anco h. k. l. m. tre Sesquiottaui per la Decima sesta, moltiplicati tra i Numeri composti, di modo che 'l maggior de questi corrispondi al minor de i primi; & per ordine, il minore al maggiore. Dico primieramente a. d. esser maggior d'un interuallo Sesquiterzo; percioche essendo a. b. & b. c. due Sesquiottaui, per la Precedente; per la Duodecima 8. a. sono tanto quanto 10. c. & 1/8 parte. Ma c. anco è Sesquiottauo al d. per la detta Duodecima adunque; 8. c. sono equali à 9. d. & 9. c. sono equali à 10. d. & 1/8 sua parte; & anco 10. c. & 1/8 numero composto è equali ad 11. d. & 25/64 pur compo sto. Ma poi che 8/8 di c. contengono 9/8 di d. adunque, per la Quartadecima proposta, 1/8 di c. contiene 1/8 di d. & la sua Ottaua parte, ch'è 1/64. Adunque 10. c. & 1/8 sono equali à 11. d. & 25/64, che sono 3/8 & 1/64. & per la Decimaquarta nominata; si come 11. 3/8 & 1/64 sono in proportione ad 8. cosi si troua esser'a. con il d. Ma 11. contiene una fiata 8. con 3/8 & 1/64. Et queste parti col resto, che sono Denominatori dell'Interuallo, che fanno i quattro Tuo ni proposti; per la Nona dignità, sono più della Terza parte del Denominator loro Adunque necessariamente seguita; che 3/8 con 1/64 siano più della sudetta Terza parte. Imperoche 11. Dimostr. Harm. E 4 &page 72 72 Ragionamento & 3/8 di uno & 1/64 contengono gli Ottaui una fiata & più della Terza parte loro. Onde seguita, che a. contien d. & più d'una sua terza parte. Et perche a. con d. ouer h. con m. per la Decimasesta proposta, sono tre Sesquiottaui insieme aggiunti; però tre Sesquiottaui sono più d'un Sesquiterzo interuallo. Secondariamente dico a.d. esser minore del Sesqui altero; essendoche 11. contiene 8. & i suoi 3/8; adunque manca 1/8 al compimento di 4/8, i quali sono la metà de i Otto; che è il Denominatore dell'interuallo Sesquialtero. Ma quelle parti, che superano, sono i 3/8 di 1/8 & 1/64, & fanno meno della metà di 1/8; ilche anco minormente faranno. 1/8. Adunque 11. & 3/8 & 1/64 di uno contengono 8. una fia ta & meno che la metà di 8/8 parti. Adunque, per la Quartadecima nominata, a. con
tiene il d. & meno de la sua metà. Il perche ne segue, che l'Interuallo a. d. sia minor d'un Sesquialtero. Et questo è tutto quello, che in tal proposta bisognaua dimostrare. Questa è stata una lunga diceria, disse il Viola; & bisogna che tanto colui, che ascolta, quanto quel che dimostra, stia in ceruello; altramente le cose non passariano troppo bene. In fatto, rispose M. Adriano; il commemorar tante parti contante minutie, fanno un gran garbuglio à quelli, che non hanno molta prattica de i Numeri. Soggiunse à questo il Sig. Desiderio; Veramente, che colui, ilquale non hà prattica delle cose dell'Arithmetica, non può ben intender le cose della Musica. Et però non è da marauigliarsi, s'alcuni de i uostri Musici; dico de i bassi d'ingegno & di grosso & ottuso intelletto, non la uogliono assaggiare; anzi la sprezzano; Et questo auiene per la lor dapocaggine. Ma bisogna hauer patientia; però non perdiamo tempo intorno à costoro. Voglio adunque dissi; che uediamo; che,

PROPOSTA XXXVI.

Se saran posti per ordine Tre termini, la proportione, che si troua tra gli estremi, sarà mag gior, che quella di ciaschedun di loro da persè co 'l Termine mezano.
ET accioche intendiate questa, ch'è facile, state attenti. Siano a. b. c. Tre termini posti per ordine; dico che maggior'è la proportione, che si troua tra a. & c. termini estremi, che non è quella di b. mezano termine con a. oueramente con c. Imperoche essendo, per la Quarta dimanda, la proportione de gli estremi a. & c. com
posta delle proportioni a. b. & b. c. come da sue parti; laproportione a. b. & la b. c. sono parti della a. c. & la a. c. è il Tutto. Ma perche, per l'Vltima dignità, Ogni tutto è maggiorpage 73 Primo. 73 gior della sua parte; però è maggior la proportione di a & c. che non è quella di a & b. ouer di b & c. come dice la proposta. Et questo è quello, che dimostrarui uolea. Et questa maniera d'argomento seruirà ad ogni proposta simile. Veramente, disse M. Adria no, ch'è bella, & anco; com'hauete detto, è facile molto; onde assai mi piace. Però seguitate 'l resto. Voglio che hora dimostriamo; soggiunsi; che

PROPOSTA XXXVII.

Quattro interualli Sesquiottaui adunati insieme superanno l'interuallo Sesquialtero.
ET ciò si può prouare in cotal modo. Siano a. b. c. d. e. per la Prima di questo, quattro Interualli insieme congiunti; & sia ab. il primo; bc. il secondo; cd. il terzo: & de. il quarto. Et siano etiandio h. K. l. m. n. quattro Sesquiottaui, per la Decimasesta proposta, insieme adunati; di modo che h. corrispondi ad a. K al b. l al c. m al d. & n ad e. Dico hora, che l'Interuallo ae. si ritroua esser maggior dell'inter uallo Sesquialtero. Imperoche, come hò dimostrato nella penultima. 10. a. sono tanto quanto undeci d. & 25/64. Et Vndici d. & 25/64 sono equali à dodici e. & 417/512 Adunque Ot
to a. sono equali à dodici e, & 417/512. Ma 12. con 417/512 contengono 8. una fiata, & più della metà d'Otto ottaue parti; percioche 12. contengono 8. una fiata & la sua metà; Onde, per la Definitione, sono in proportione Sesquialtera; ma il 12. oltra di questo contiene la 417/512 parte di Vno; onde, per la Precedente, haurà maggior proportione 8. con 12 & 417/512 numero composto; che non haurà con 12. numero semplice. Onde, per la Quar tadecima proposta, a. contiene e. una fiata & più della sua metà. Et essendo a & e. Inter uallo congiunto de quattro sesquiottaui; quattro Sesquiottaui insieme adunati superano l'Interuallo Sesquialtero; com'era il proposito di dimostrarui. Credo; disse allora M. Claudio; che si potrà dimostrar, che cinque Sesqiuiottaui sono minori (come sono certamente) d'un interuallo Duplo. Questo si può anco dimostrar per questa strada; risposi; ma io per schiuar la lunghezza, uedrò di tener altro mezo, di quel ch'io ho tenuto di sopra. Et qual mezo sarà questo? disse M. Adriano; onde io risposi; Ascoltate prima la Proposta, Messere; & dopoi udirete la dimostratione.

PROPOSTA XXXVIII.

Cinque interualli Sesquiottaui posti insieme non fanno l'interuallo Duplo.
Questapage 74 74 Ragionamento QVESTA è la proposta; & la Dimostratione procederà in questo modo. Habbiamo già dimostrato nella Decimasettima proposta, che l'interuallo Duplo si fà di due maggiori interualli Superparticolari, i quali sono Sesquialtero & Sesquiterzo. Ma per la Trentesima quinta proposta Tre interualli Sesquiottaui, sono minori d'un Interuallo Sesquialtero; & due, per la Trentesima quarta, sono minori d'un'Interuallo Sesquiterzo; adunque tutti insieme aggiunti sono minori d'un Interuallo Duplo; come dice la Proposta. Io staua pur à ueder, disse M. Francesco; doue poteua uscir un'altro modo differente dimostrati; ma mi hauete satisfatto benissimo; percioche è bello, facile, & breue. Et credo, che (come già dicesti) quanti sono i mezi, tante siano le Dimostrationi; però, uorrei sapere, se questa ancora si potesse dimostrare in un'altro modo. Si può ueramente, risposi, & in questa maniera. Siano a & f. gli estremi termini di cinque interualli Sesquiottaui, per la Prima di questo, adunati insieme; oueramente siano h & o. medesimamente cinque Interualli Sesquiottaui molteplicati, per la Decimasesta, tra numeri composti; di modo che h. corrispondi con a. & o. con f. Sia oltra di questo p. il quale con a. contenga l'Interuallo Duplo. Dico, che a. & f. non fanno cotale Interuallo; percioche, per la Trentesima sesta proposta, è maggior la proportione, che si troua tra a. & p. due estremi, che non è quella laquale si troua tra un'estremo & un mezano
termine. La onde essendo a. & f. cinque Interualli Sesquiottaui aggiunti insieme, & a. con p. l'Interuallo Duplo; seguita che cinque interualli Sesquiottaui posti insieme non faciano quest'Interuallo, come douea dimostrare. Ancora ui uoglio dire; perche a & f. sono cinque Interualli Sesquiottaui; & a. p. ènterual lo Duplo; essendo che a. contiene f. solamente una fiata con 3/4 parti, & di più 1705/4096, le quali parti aggiunte insieme non arriuano all'intero di esso p. ch'è il termine della Dupla; de qui nasce, che cinque interualli Sesquiottaui aggiunti insieme non fanno un'interuallo Duplo; come dice la Proposta. Ma per dar fine à questo ragionamento, ui dico; che

PROPOSTA XXXIX.

Sei interualli Sesquiottaui sono maggiori d'un'interuallo Duplo.
HORA mi accorgo; disse il Signor Desiderio; doue tende 'l uostro pensiero; perche credo, che uogliate prouar questa proposta contra l'opinione d'Aristosseno, & riprobar, che Sei tuoni (com'ei teneua) facessero una Diapason. Cosi è ueramente; dissi; ma ueniamo al proposito della proposta. Sia a & g. interuallo, che contenga Sei sesquiottaui congiunti; di modo che ab. sia il primo; bc. il secondo; cd. il Terzo; de. il Quarto; ef. il Quinto; & fg. il Sesto. Et siano anco h. K. l. m. n. o. p. simigliantemente Sei sesquiottaui interualli, molteplicati, per la Sesta decima, tra Numeri com posti; & accommodati di maniera, che h. corrispondi ad a. per ordine, & p. al g. Dico che ag. è maggior d'uno interuallo Duplo. Et perche ab. è Sesquiottauo; però, per la Duodecima proposta, 8. a. sono equali à 9. b. &, per l'istessa, sono equali à 10. c. & 1/8 Et per la Trentesima quarta, 10. c. & 1/8 sono equali ad 11. d. & 25/64. Et, per la Trentesimaquinta, 11. d. con 25/64. sono equali à 12. e. & 417/512. Simigliantemente 12. e. colpage 75 Primo. 75 e. col resto sono equali à 14. f. & 1705/4096; & tutta questa somma è equale à 16. g. & 7153/32768. Onde 16. con 7153/32768 contengono 8. due fiate & anco più; di modo che per la Quartadeci
ma
, & per la Trentesima sesta proposta, ag. si troua esser maggiore dell'Interuallo Duplo. Sei Sesquiottaui adunque congiunti insieme sono maggiori d'un'interuallo Duplo; com' era 'l mio proposito di dimostrarui. Et qui con la uostra buona gratia uoglio far fine per hog gi di ragionar più alcuna cosa della Musica; percioche hormai son stanco. Hauete molto ben ragione; disse M. Adriano; & credo che sia cosi; Ma queste ultime dimostrationi mi paiono molto difficili da mandare alla memoria, & che habbiano dibisogno di molto essercitio delle Mathematiche. Sono ueramente difficili Messere; dissi io; ma quando si possederà bene la Duodecima proposta, & le due sequenti, allora il tutto parerà facile. Ma qui stà il peso della cosa; che uolendosi far patroni de queste Dimostrationi, bisogna affaticarsi & essercitarsi; non solamente nel porre insieme molte Proportioni d'un solo genere; ma etiandio de gli altri; raccogliendo molte parti insieme, & diuidendo l'una per l'altra, & facendo molt'altre cose simili; percioche cosi facendo, si uiene à far la prattica; onde nel dimostrar, non lasciano parer le cose tanto strane. Ma non più di questo; di gratia; perch'io credo, che ancor uoi hormai tanto sete stanchi di ascoltarmi, quant' io di ragionare. Può ben essere, disse M. Francesco; che siamo stanchi, ma non già satij; essendoche troppo diletteuole & troppo utile è l'imparare. Diciamo pur quello ch'è ueramente; soggiunse M. Claudio; l'hora è tarda, & il tempo non ci concede, ch'andia mo più oltra. Quanto poi alla stanchezza, non credo ch'alcun di noi si possa chiamar stanco; essendo stata la fatica tutta di M. Gioseffo. Questo è pur troppo uero; aggiunse M. Adriano; ma ui prego à farmi questo fauore, di ritornar dimane all'hora, che sete uenuti hoggidì à uedermi; poi ch'io non mi posso partire, come uedete; perche se mi fusse concesso, uerrei à ritrouar uoi. Et questo dico; accioche potiamo udire il fine di questa cosa, & non lasciamo l'incominciata opera imperfetta. Cosi faremo Messere dissi; rimaneteui adunque in pace. La onde M. Adriano soggiungendo; Andate tutti ch'Id dio u'accompagni; tutti noi partissemo insieme, & ciascuno andò per diuerse strade al suo alloggiamento.
Il fine del Primo Ragionamento.
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DIMOSTRATIONI HARMONICHE DEL REV. M. GIOSEFFO ZARLINO DA CHIOGGIA, Maestro di Cappella della Serenissima Signoria DI VENETIA: RAGIONAMENTO SECONDO.

SECONDO l'ordine dato, un poco più per tempo, il seguente giorno ritornassimo à casa di M. Adriano; per cagione di seguitare i nostri diletteuoli & utili già incominciati ragionamenti. Onde hauendosi prima discorso sopra diuierse cose, ragionate 'l giorno inanti; quando mi parue tempo, con licentia de tutti, incominciai à parlare in cotal guisa. Io conosco Signori miei da molti segni, & massimamente da questo; che inanzi l'hora costituita il giorno precedente insieme ui sete adunati; che i nostri Ragionamenti passati ui siano piaciuti. Il che etian tiandio heri lo conobbi dalla patientia, c'haueste in ascoltarmi; però penso di dirui hoggi cose, che maggiormente ui dilettaranno; percioche entraremo à ragionare un poco più particolarmente della Musica; Essendo che 'l ragionamento hauuto heri fù intorno al dimostrarui molte cose de Numeri & Proportioni; Ma hoggi descenderemo à dare una cognitione particolare de gli Interualli Musicali, & à dimostrarui in qual maniera nascono i consonanti, & anco i dissonanti, i quali seruono alle compositioni delle nostre Cantilene; & sarui conoscere, quanta differenza si troui tra quelli, che usauano gli Antichi, i quali erano minori della Diatessaron, tenuti da loro per dissonanti, & quelli che usiamo al presente. Onde potrete dopoi conoscere in quanto errore siano quel li, ch'à i giorni nostri credono, & ostinatamente affermano, che tali Interualli da gli Antichi prohibiti entrino nel numero delle nostre Consonanze. Le quali cose spero dimostrar tanto facilmente, & tanto chiaramente, ch'ogn'un de uoi potrà restar satisfatto. Et s'alcun de uoi hebbe mai opini one contraria, da quel che son per dirui & dimostrarui; son certo che si ridurrà à creder quello, ch'è uero, & che in fatto non può esser altramente; & si leuarà dal credere il falso. Qui incominciò il Viola à dire; Fin hora si può troppo ben conoscer l'errore de questi tali, quando si hà inteso quel c'hauete scritto nelle Istitutioni; percioche tanto manifesto appare, che non hà dibisogno d'altre dimostratio ni. Alle quali parole, uoltatosi M. Claudio uerso M. Adriano, soggiunse; Che direte uoi di questo Messere; ch'alcuni, forse per parer d'intender meglio di ciaschedun'altro le cose della Musica; quando odono dire, che noi adoperiamo il Semituono maggiore nelle nostre compositioni, & non il minore; simigliantemente, quando odono far la differenza di Tuono maggiore & di minore; mostrano di merauigliarsi di queste cose; il che fanno ancora, quando odono dire, che i Modi, ò Tuoni arriuano al numero de Dodici; quasi, che non fussero uere, & che non fussero state dimostrate da M. Gioseffo ottimamente;page 77 Secondo. 77 mamente; & che la cosa non fusse tanto chiara, ch'ogn'un di mediocre intelletto potesse esser capace; ma consistesse più presto in opinione, che in altro. Non ui fate marauiglia disse M. Adriano; di questo perche si trouano etiandio alcuni, i quali se ben non si possono numerar tra gli ignoranti; almeno si possono porre tra i Maligni; che quando conoscono, ch'una cosa sia per apportar qualche utile & qualche honore ad alcuno per sciemar le laudi che gli conuengono; da una certa loro passione uinti; più tosto uogliono con lor biasimo & contra la conscienza loro occultar'il uero & contrastare; che affirmar quello, che sentono nell'animo non esser falso. Questa è una mala razza d'huomini Messere, disse il Viola; Ma che direte de quegli altri, che non potendo apertamente biasimare il buono; perche uedono, che in fatto non gli riuscirebbe il lor pensiero; cercano d'offuscare in qualche parte la gloria di coloro, che per qualche buona opera fatta, la meritano; col lodarli frigidamente insieme con l'operationi loro; ch'è peggio assai; come soleua dir Fauorino appresso Aulo Gellio;Lib. 19. Cap. 3. che s'apertamente le biasimassino; oueramente almeno col lodare estremamente l'opere di qualchedun'altro; quantunque conoscano, che non meritano laude; & tutto fanno à fine d'abbassarli, se ben si ritrouano esser presenti. Ancora, s'altro non sanno fare, lodano almeno tanto gli Antichi, quantunque non habbiano cognitione delle cose loro; che con ogni lor potere cercano di leuar quel poco di riputatione, che i Moderni s'hanno delle buone opere loro fatto acquisto. A co storo si conuiene soggiunse M. Adriano; quel bel detto d'Horatio, il qual torna benissimo à questo proposito de cotali Huomini rabiosi, inuidi, ignoranti & maligni; quando dice:Epistol. lib. 2. Epist. 1. Iam saliare Numae carmen, qui laudat, & illud,
Quod mecum ignorat, solus uult scire uideri.
Ingenijs non ille famet, plauditque sepultis:
Nostra sed impugnat; nos, nostraque liuidus odit.
Veramente Messere, che uoi sete un buon scolare; dissi; perche ui hauete tenuto molto bene à memoria la lettione, ch'io già ui lessi sopra questi Versi; à proposito de quei maligni, che cantando una fiata le uostre compositioni, le biasimauano molto; lodando fuor d'ogni proposito grandemente quelle di Giosquino con parole; ma con i fat ti, al lor dispetto lodauano uoi, & ueniuano à biasimare il lodato; percioche ne i conserti loro non adoperauano cosa alcuna di Giosquino, ne d'alcuna sua cosa se ne seruiuano, ma si ben delle uostre; il che ui è di somma laude. Onde ui dico, che questo Horatio è stato & è un gran Poeta. Vedete, com'egli ci pone auanti gli occhi questa mala generatione d'huomini dipingendoci la lor natura; perch'ancora lui à i suoi tempi da simil Gente inuida, maligna, & peruersa era bersagliato. Ma di gratia non parliamo più cosa alcuna di costoro; percioche non uoglio c'habbiamo da far con loro; & desidero, che ritorniamo à ragionar di quelle cose, delle quali heri incominciassemo il nostro ragionamento. Sarà ben fatto M. Gioseffo; disse il Signor Desiderio; & incominciarete da quello che ui torna più commodo. Ripigliai adunque il mio ragionamento in questo modo. Hauendoui à ragionar de quelle cose, che fanno alla cognitione delle Consonanze, & anco delle Dissonanze, & à dimostraruene molte, che accascano intorno ad esse, secondo la uerità, & come la Scienza richiede; è necessario il porui prima inan zi quei Principij, da i quali dipendono tutti i nostri Ragionamenti, & dichiararui quel ch'importino alcuni termini, & il Nome d'alcuni Interualli usati nella Scienza; ancora che della maggior parte de loro ne habbiate acquistato la cognitione, col mezo delle Isti tutioni; accioche per auentura non procediamo per cose non conosciute. Et ciò non sarà senza utilità; percioche non resterò di dichiararui alcune cose, & aprirui alcuni secreti, che ui saranno di gran contentezza & giouamento. Et per non andar molto in lungo, darò principio alla definitione della Consonanza; laquale (com'altroue hò detto) è primieramente dal Musico considerata; & dopoi dirò quel che sia la Dissonanza, ch'è il suo Opposito, ò contrario; la qual'è considerata nel secondo luogo, & per accidente. Ma auanti, che passiamo più oltra, ui uoglio fare un poco di discorso, che ui sarà dipage 78 78 Ragionamento di grande utile, & forse non più udito in questo proposito; & tornerà bene, per poter risoluere alcune cose, che ui son per dimostrare. Attendete adunque prima, & dopoi uerremo senza por tempo di mezo, à por le Definitioni l'una dopo l'altra. Dico adunque incominciando, che la Oppositione, secondo 'l Filosofo,Prd. Trat. 3. cap. 1. si troua esser de Quattro maniere; acciò sappiate per qual cagione hò detto, che la Dissonanza è opposita ò contraria alla Consonanza; come è, Relatiua, Contraria, Priuatiua, & Contradittoria. Ma perche la prima & le due ultime non fanno al nostro proposito; però le uoglio lasciar da un canto, & dir solamente della Seconda; la quale non è altro, che la Ripugnanza de due contrarij, che non conuengono insieme in un'istesso Soggetto; ma per lor natura l'un scaccia ò destrugge l'altro. Et questi Contrarij sono de due maniere; percioche ouer che sono mediati, oueramente immediati. I primi sono quelli che riceuono alcuni mezi ne i loro estremi; come tra 'l Nero & il Bianco molti mezani colori. Onde non è necessario sempre, che l'un de i due estremi sia nel soggetto; percioche 'l Corpo può esser Rosso, ò Verde, ò di qualch'altro colore; se ben non è Nero, ò Bianco. Ma i Secondi sono quelli, che non riceuono cosa alcuna mezana dell'istesso Genere; com'è la Sanità & la Infermità; tra lequali non ui si dà mezo alcuno, secondo i Filosofi; ancora che i Medici habbiano altra opinione. Il Mezo però in questo luogo è di due sorti; prima per Participatione dell'uno & dell'altro estremo, come sono i mezani Colori & Sapori; dopoi per Negatione dell'uno & dell'altro de gli nominati estremi; & quando si troua un Sogget to, il quale non habbia estremo alcuno. Onde da quel c'hò detto potete comprendere, che essendo la Consonanza & la Dissonanza senz'alcun dubio Suono, uengono ad esser Qualità passibili; percioche da l'una & da l'altra il Senso è mutato; la onde essendo à questo modo; chiara cosa è, che si hanno à porre nel Predicamento della Qualità, & si debbono collocar come due estremi nella Seconda specie de gli Oppositi; essendo che rice uono molti mezi tra loro. Et questo è uero; percio che, si come il Corpo uisibile non è per necessità sempre bianco, ò nero; ma tallora è rosso, tallora uerde, & tallora di qualch'altro colore; ne anco il Tangibile, è sempre freddo, ò caldo; ò duro ò tenero; ma alle fiate tepido; & hora più & hora men caldo ò freddo; oueramente di qualch'altra mezana qualità; come anco il Gustabile, che non è sempre per necessità dolce, ouer'amaro; ma garbo, ò acerbo, oueramente in altro modo; cosi l'Vdibile non è sempre semplicemente Consonante, ò Dissonante; ma alle fiate partecipa d'una qualità mezana, che tiene dell'uno & dell'altro, più & meno, secondo che più s'auicina all'un de i nominati estremi. Per il che non sò ueder, ne ritrouar ragione, che mi costringa à dire & credere; che tra gli estremi Oggetti de gli altri Sensi possano cascar molti mezi, & non in quelli dell'Vdito. Però adunque diciamo, che tra la Consonanza, & la Dissonanza, che sono due estremi nella Seconda specie de gli Oppositi; ui cascano; contra l'opinione de molti; per non hauere di questa Aristotele fatto mentione alcuna; molti mezani inter ualli, i quali partecipano (secondo che maggiormente s'accostano più all'una, che all'altra) de questi due estremi udibili. Et questi saranno quelli (lasciando di por qualch'altra differenza tra loro, che si potrebbe fare) che nascono d'altra proportione, che da alcuna de quelle, che sono contenute nel Genere Molteplice & Superparticolare, collocate tra le parti del numero Senario. La onde diuideremo la Consonanza in due specie; delle quali la prima chiamaremo Consonanza propriamente detta, & la seconda Consonanza detta Communemente. Le quali uolendo conoscere, incominciando dalla prima; diremo.

DEFINITIONE PRIMA.

Consonanza Propriamente detta è mistura, ò compositione di suono graue & di acuto, lapage 79 Secondo. 79 la quale soauemente & uniformemente uiene all'Vdito; la cui forma è contenuta da proportione Molteplice, ò Superparticolare, che si troua in atto tra le parti del primo Numero perfetto; cioè, del Senario.
QVESTO c'hauete detto M. Gioseffo; disse qui il Sig. Desiderio; in fatto mi è mol to nouo; essendoche non hò mai più inteso cosa alcuna di queste Qualità ò meza nivdibili dette d'alcuno in uesto proposito; ne meno hò ritrouato cotal cosa appresso d'alcun'autore, ch'io habbia studiato; Onde mi piace molto questa noua distintione, & di questo hauete una gran ragione. Et quando non diceste altro in tutto il Ragionamento, c'habbiamo da fare insieme; questo pagherà ogni cosa. Che ne dite uoi di questo Messere Adriano? Questa cosa (rispose egli) mi hà leuato molti dubij, ch'io hauea nel capo; percioche nella prattica udiua tutte queste cose; ne sapea dir, come la cosa poteua stare; ma hora son chiaro, ch'è quello, che detto ha M. Gioseffo; percioche spesse fiate udimo nella Musica alcun'Interualli, che non si possono chiamar dissonanti, ne anco li potiamo nominar semplicemente consonanti; Onde questa cosa assai assai mi è piaciu ta; però M. Gioseffo seguitate à dirci quel che sia l'altra sorte di Consonanza; acciò sap piamo conoscer l'una dall'altra, col mezo delle definitioni. Vedete Messere dissi, ch' io ui dirò sempre qualche cosa di nouo; però ascoltate questa.

DEFINITIONE II.

La Consonanza detta communemente è compositione di suono graue & di acuto, laquale, se ben non è interamente soaue all'Vdito, è però sopportabile; & la sua forma à contenuta da altra proportione, che Molteplice, ò Superparticolare; la qual si troua in atto tra le parti del Senario, & il primo Numero cubo.
QVESTE due Definitioni replicò M. Adriano; hanno di bisogno di qualche dichiaratione; percioche hauendoci proposto due maniere de Consonanze; fà bisogno, che ce le dimostrate particolarmente. Cosi farò Messere, risposi, non dubitate: onde douete sapere, che la prima maniera è riceuuta da tutti per tale; ch'essendo i suoi Indiuidui &Interualli collocati ne i loro proprij & naturali luoghi; come heri fù dichiarato; sono in tal modo grati all'Vdito; che non si può desiderar cosa più perfetta. Ma la seconda, contien quelli, che fanno un non sò che di poca poca offesa al senso; la quale però è sopportabile. Onde i primi hanno le forme loro contenute in atto tra le parti del Senario, che tra loro fanno le proportioni del genere Molteplice, ò Superparticolare; & i secondi le hanno contenute tra le proportioni de gli altri Generi; tra le nominate parti & il primo numero Cubo, ch'è l'Ottonario. Et accioche meglio m'intendiate; douete sapere, che tra le nominate Parti, & il detto numero Cubo; che sono 1. 2. 3. 4. 5. 6. 8. ui cadono Ventiuna relatione; Sei tra ciascheduno de gli altri numeri & l'Vnità; Cinque tra i cinque numeri maggiori & il Binario; Quattro tra i quattro numeri maggiori & il Ternario; Tre tra i primi tre maggiori & il Quaternario; Due tra i due maggiori & il Quinario; & Vna tra il Senario & l'Ottonario. Delle quali, Vndici sono Molteplici, Sei Superparticolari, Due Superpartienti, Vna Molteplice superparticolare, & Vna Molteplice Superpartiente. On
2. 1. Diapason.
3. 1. Diapason diapente.
4. 1. Disdiapason.
5. 1. Disdiapason ditona.
6. 1. Disdiapason diapente. depage 80 80 Ragionamento
8. 1. Trisdiapason.
3. 2. Diapente.
4. 2. Diapason.
5. 2. Diapason ditona.
6. 2. Diapason diapente.
8. 2. Disdiapason.
4. 3. Diatessaron.
5. 3. Hexachordo maggiore.
6. 3. Diapason.
8. 3. Diapason diatessaron.
5. 4. Ditona.
6. 4. Diapente.
8. 4. Diapason.
6. 5. Semiditono.
8. 5. Hexachordo minore.
8. 6. Diatessaron.
de dico, che nelle Vndeci molteplici, & nel le Sei superparticolari sono contenute tutte le forme delle Consonanze della Prima maniera; & nelle due, con l'altra seguente, si ritrouano le forme delle Consonanze della Seconda; percioche tra 2. & 1, 4. & 2, 6. & 3, 8. & 4, che sono tutte Duple, si troua la forma della Diapason. Tra 3. & 1, 6. & 2, che sono Triple; si troua la forma della Diapasondiapente. Tra 4. & 1, 8. & 2. che sono Quadruple, si troua quella della Disdiapason. Tra 5. & 1, che fanno la Quintupla, si troua la forma della Disdiapasonditono; tra 6. & 1, ch'è la Sestupla, si troua la forma della Disdiapason diapente; & tra 8. & 1, che contiene l'Ottupla proporportione, si troua la forma della Trisdiapason. Et queste sono tutte Molteplici. Similiantemente tra 3. & 2, & anco tra 6. & 4, che sono Sesquialtere, si troua la Forma della Diapente; tra 4. & 3, ancora tra 8. & 6, che sono Sesquiterze, quella della Diatessaron; & tra 5. & 4, che è Sesquiquarta, quella del Ditono. Vltimamente tra 6. & 5, che è Sesquiquinta, è quella del Semiditono. Et tutte queste proportioni sono Superparticolari. Onde queste con le Molteplici sono contenute nella Prima schiera delle Consonanze, & hanno il loro essere in atto tra i numeri; ò parti nominate. Ma quelle della Seconda, si trouano tra l'altre, percioche nel Superpartiente tra 5. & 3, ch'è Superbipartiente terzo, si troua la forma dell'Hexachordo maggiore; & tra 8. & 5, che è Supertripartientequinto; si troua quella del minore. Ma nel Molteplice superparticolare tra 5. & 2, ui è la Dupla Sesquialtera; la quale è la forma della Diapasonditona; & tra 8. & 3. nel Molteplice Superpartiente, ch'è la Dupla superbipartiente terza, si troua la forma della Diapason diatessaron. M'hauete interamente satisfatto; disse M. Adriano & mi piace grandemente questa noua distintione; percioche mi par uedere, ch'ella habbia à portar grande utile, & d'accordar molte discordie & liti, che già gran tempo sono tra i Musici; & non sono ancora finite. Cosi credo, che sarà; risposi; ma acciò non perdiamo tempo, definirò la Dissonanza; la quale è oppositamente contraria alla Consonanza propriamente detta; onde dirò.

DEFINITIONE III.

La Dissonanza è distanza di suono graue & di acuto, che insieme per lor natura l'uno con l'altro mescolare, ouer vnire non si possono; & percuote l'Vdito aspramente, & senz'alcun piacere; & nasce da proportioni differenti di denominatione da quelle, che si trouano collocate in atto tra le parti del Senario, & l'Ottonario numero.
VERAMENTE; disse M. Claudio; che colui, il quale ha inteso la Definitione della Consonanza; può anco intender quella della Dissonanza; se per caso non uoleste far'alcuna distintione di essa; com'hauete fatto della Consonanza. Non uoglio; disse M. Claudio; porre altra distintione al presente; ma uoglio dir solamente che secon do la definitione del Filosofo,2. post. c. 2. il quale definisce, che la Consonanza è ragion de Nume ri,page 81 Secondo. 81 ri, che etiandio nella Dissonanza si troua una certa ragione de Numeri; onde aggiunsi; Contenuta da proportioni differente de denominationi da quelle, che si trouano in atto tra le parti del Senario & dell'Ottonario numero, collocate; accioche conosciate, che la Dissonanza sia al tutto priua della Ragione de quei Numeri, che intende il Filosofo; & anco quel ch'io hò dichiarato altroue in questo proposito.Istitut. 2. par. c. 11. & 3. par. cap. 5. Vi uoleua apunto dire; disse M. Adriano; S'ogni Consonanza & ogni Interuallo Musicale rationale è contenu- to sotto una determinata proportione di numero à numero; come più fiate ui hò udito dire; come potea stare, che solamente la Consonanza fusse Ragione de Numeri, & non la Dissonanza? Non si può negare (dissi) Messere, che la Dissonanza, essendo contenuta da proportione rationale di numero à numero; habbia Ragione de Numeri; essendo che quella Ragione si considera, & si scorge in quanto 'l maggior termine contiene lo minore, una due, ò più fiate, con alcuna sua parte Aliquota, ò Non aliquota; Ma l'hauer ragion de Numeri, ò esser ragion de Numeri, per una certa eccellenza conuiene al primo Numero perfetto, ch'è il Senario ancora che gli Antichi attribuissero tal Ragione al Quaternario, chiamandolo per alcune ragioni anco lui Perfetto. La onde le Consonanze, che ueramente hanno le lor uere forme dalle proportioni contenute tra le parti del Senario; si chiamano hauer ragione de Numeri; oueramente esser ragione de Numeri. Ma le Dissonanze non possono esser dette, ne hauer cotali ragioni; percioche hanno le propor tioni loro contenute tra altri numeri, che tra quelli che sono posti tra le parti nominate. Son satisfatto benissmo; soggiunse M. Adriano; seguitate il resto. Allora dissi; Hauendoui definito la Consonanza secondo le due maniere dichiarate, & la Dissonanza ancora; fà dibisogno ch'io ui definisca l'Harmonia, la quale si compone di due consonanze almeno. Onde hauete prima à sapere; che quella distintione, che hò posto della Consonanza, è necessario che anco sia fatta dell'Harmonia; intendendo però dell'Harmonia non propria; secondo 'l modo dichiarato nel Cap. 12. della Seconda parte delle Istitutioni; percioche è di due sorti anch'ella; cioè, Semplicemente, & Detta ad un certo modo. Onde dichiarando la prima, dirò che:

DEFINITIONE IIII.

Harmonia Semplicemente detta è il concento, che nasce da due consonanze almeno insieme unite, secondo i gradi dell'Harmonica proportionalità, laquale soauemente peruiene all'Vdito.
ONDE quando due Suoni distanti l'uno dall'altro per il graue & per lo acuto, riceuono un mezano suono, che diuida l'Interuallo, che si troua tra loro, in due Consonanze, secondo i gradi della proportionalità Harmonica; allora si fà questa compositione, che intendiamo nella definitione, che si chiama Harmonia Semplicemente detta. Ma per dichiararui il secondo membro dell'Harmonia non propria; dico, che

DEFINITIONE V.

Harmonia Detta ad un certo modo è l'accordo, che fanno due consonanze almeno, poste insieme; ma non secondo i gradi della mediocrità Harmonica, la quale non cosi soauemente, come la Semplicemente detta, uiene al senso dell'Vdito.
Dimostr. Harm. F Piacquepage 82 82 Ragionamento PIACQVE molto anco questa distintione al Sig. Desiderio; onde per intenderla meglio, disse; Questa anco mi pare, che hà dibisogno d'un poco del uostro lume; perche à me, ch'io non son molto prattico delle cose della Musica, è alquanto oscura; Però sarete contento di darmi meglio ad intendere questa cosa con vno essempio. E' il douere risposi, Dico adunque, che poco fà mostrandoui le Proportioni, che nascono dalle parti del Senario & dall'Ottonario; breuemente ui dichiarai, & dimostrai anco le forme de tutte le Consonanze; il che ricordandoui dico, che quando ri trouarete due consonanze unite insieme, le cui proportioni saranno in cotal modo ordinate. 6. 4. 3. direte, che elle fanno l'Harmonia Semplicemente detta; percioche tra loro si troua l'Harmonica mediocrità; come la Quintadecima definitione di heri sempre lo farà manifesto. Il che direte anco dell'altre simili; & questo è quanto alla Semplicemente detta. Ma la Detta ad un certo modo, si fà, quando tra due consonanze ordinate al modo detto, non si troua tale Mediocrità; come sarebbe dire; quando le sue proportioni fussero collocate tra questi terimini 4. 3. 2. percioche se ui ricordate la Terzadecima Definitione di heri, sono collocate in Arithmetica progressione, ò proportionalità; come più ui piace dire. Essendo che nella prima la forma della Diapente, anzi la Diapente istessa è collocata nel graue, & la Diatessaron nell'acuto; & in questa il tutto è posto al contrario; percioche la Diatessaron tiene il luogo graue, & la Diapente occupa l'acuto; cosa che non si troua tra le proportioni, che sono collocate nell'ordine naturale de i Numeri Harmonici. Onde, quello aggiunto: Meno che soauemente peruenire all'Vdito: che si è detto nella sua Definitione, non è causato da gli interualli nominati; percioche sono consonanti; ma si ben dall'ordine, ch'è posto al contrario del primo; il perche Meno che soauemente muouono l'Vdito. Questa è bella consideratione; disse il Sig. Desiderio: Et la intendo hora; pe rò passate ad un'altra proposta; s'altro sopra di questo non uolete dire. Non uoglio dire altro risposi: Ma uoglio che sappiate, che le Consonanze; parlando uniuersalmente; sono de due maniere; percioche alcune si chiamano Semplici, & alcune Composte; & accioche conosciate l'une & l'altre, uerremo alla lor definitione; onde incominciando dalle prime, diremo.

DEFINITIONE VI.

Le Consonanze semplici sono quelle, che sono minori della Diapason; come la Diapente, la Diatessaron, il Ditono, il Semiditono, & essa Diapason; le cui forme sono contenute tra le parti del numero Senario ne i Generi Molteplice & Superparticolare.
MI ricordo, disse m. Adriano; che nelle Istitutioni1. par. cap. 13. & 16. hauete connumerato etiando i due Hexachordi; Maggiore & Minore; onde non credo che hora li uogliate escludere. E' uero, dissi, ch'io chiamai l'Hexachordo semplice consonananza; non però semplicemente; ma ad un certo modo, & per un certo rispetto; percioche è minore della Diapason; onde essa Diapason non entra nella sua compositione; Ma qui chiamo so lamente semplici quelle Consonanze, c'hò nominato, & non l'altre; onde seguitarò à dire; che

DEFINITIONE VII.

Le Consonanze composte sono quelle, che sono maggiori della Diapason; come la Diapason diapente, la Disdiapason, & tutte l'altre Maggiori di queste.
OGNIpage 83 Secondo. 83 OGNI Interuallo, sia qual si uoglia, adunque accompagnato alla Diapason farà uno Interuallo, che si potrà dir Composto; per quello, ch'io ueggio; disse il Vio la. A' cui risposi; Cosi è in fatto; ma senza por tempo di mezo, uerremo alla particolar Definitione di ciascheduna Consonanza; onde incominciando da quella, ch'è Regina de tutte l'altre, la Diapason, diremo.

DEFINITIONE VIII.

La Diapason è consonanza contenuta nella sua forma vera dalla proportione Dupla.
QVESTA Consonanza naturalmente è la Prima de tutte l'altre; percioche si come tra i numeri semplici non si troua maggior proportione nell'ordine naturale di numero à numero, l'uno all'altro più uicino, della Dupla; essendo ch'ogni altra, che si troua, se è minore, è sua parte, & se è maggiore, è collocata tra numeri, i quali non so no uicini, & è composta di lei & d'una sua parte; Cosi la Diapason tra l'altre Consonanze & Interualli tiene il primo luogo; & non si troua alcun'altro Interuallo, sia qual si uoglia, che di lei sia maggiore; essendo che se è minore, è sua parte; & se è maggiore, è composto d'una sua parte & del suo Tutto, com'altroue ho dichiarato;1. par. cap. 13. & dal Musico è presa per il suo Tutto diuisibile. Ma si come non si troua proportione, che sia auanti la Dupla; cosi non si troua Consonanza, che sia prima della Diapason;2. par. cap. 48. poi che la Dupla è la sua uera forma; essendo il Tutto diuisibile, senza dubio alcuno, prima delle sue parti; come è noto à tut ti gli intelligenti; hora hauendoui definito il Tutto, ui uerrò à definire di una in una tutte le sue parti; le quali nascono dalla diuisione harmonica di esso Tutto; come nelle Istitutioni si è dimostrato; & incominciando dalla maggiore, dirò in cotal modo.

DEFINITIONE IX.

La Diapente è consonanza, la quale è contenuta nella sua natural forma dalla proportione Sesquialtera.
QVESTA Consonanza è la parte maggiore della Diapason, che nasce dalla sua diuisione fatta harmonicamente; come uederemo al suo luogo. Et perche intorno ad essa non ui cade difficultà alcuna; però passarò all'altra definitione.

DEFINITIONE X.

La Diatessaron è consonanza, che hà la sua uera forma dalla proportione Sesquiterza.
INTESA questa definitione, disse M. Adriano; Se la Diapente è la parte maggiore della Diapason; non è dubio, che la Diatessaron farà la sua parte minore; poi ch'aggiunte queste due parti insieme, fanno di punto la Diapason. Et mi ricordo, che heri dimostrate,Propo. 17 che l'Interuallo Duplo nasce dalla congiuntione de i due primi maggiori Superparticolari; Onde se la Diapente è contenuta dalla Sesquialtera, & la Diatessaron dalla Sesquiterza; non è dubio, che diuisa la Diapason in queste due parti; per il conuerso della detta proposta; elle non siano le sue parti maggiori; come sono ancora maggiori d'ogn'altra Superparticolare le loro proportioni. Voi l'intendete benissimo, Messere risposi; perche è cosi in fatto. Aggiungete anco disse M. Claudio; che se poste insieme, come dimostra la Decimaottaua,1. Huius. Dimostr. Harm. F 2 fannopage 84 84 Ragionamento fanno la Proportionalità harmonica, che queste due parti nascono dalla diuisione di essa Diapason, fatta per la istessa Proportionalità. Qui non può nascer difficultà alcuna; gli dissi. Il perche il Signor Desiderio soggiunse; in fatto hauete ragione à dire, che la Diatessaron sia consonanza; & hanno il torto tutti quei Prattici, che la pongono nel numero delle Dissonanze; ma sono da iscusare in questo, che non sanno quel, che si facciano. Questi c'hanno questa opinione; disse M. Adriano; sono in errore. Et mi ricordo, ch' inanzi de noi quei buoni Antichi Giosquino, il suo Maestro Gio. Ochegen; Gascogne, & il mio precettore Gio. Motone in molti luoghi delle loro compositioni l'hanno posta nella parte graue, senz'aggiungerle altro Interuallo. Messere; gli risposi; Se la Diatessaron fusse dissonanza, non la porreste ne i uostri Contrapunti, nel modo che la ponete, sopra la Diapente, ò sopra il Ditono, ò lo Semiditono; ne anco questo farebbono gli altri compositori. Ne anco; soggiunse il Merulo; si potrebbe accordar col mezo di que sto Interuallo alcuna sorte d'Istrumenti, se non fusse consonante; tuttauia se n'accordano de molte sorti; come sono Organi, Viuole, Leuti, Lire & altri simili, tanto bene; come si fà col mezo della Diapente & della Diapason. Ascoltate di gratia, dissi, ch'io ui uoglio dire una ragione; la quale hor'hora mi souiene; alla quale non si può con ragione contradire. Ditela di gratia, soggiunse M. Adriano. Ascoltate, adunque Messere, risposi; & uoglio che oltra quello, ch'à questo proposito hò detto nelle Istitutioni; habbiate questa per una Massima; che Quando si muta alcuno de gli estremi di qual si uogla Interuallo, sia consonante, ò dissonante; facendolo d'acuto graue; ò per il contrario di graue acuto per una Diapason, si hà uno corrispondente Interuallo nell'acuto, ò nel graue, il quale è della istessa natura del primo. Et accioche m'intendiate, ui uoglio parlare prat ticamente. Poniamo, che sia quell'Interuallo, che noi chiamiamo Seconda; Questo (come è noto à ciascheduno) è Interuallo dissonantissimo; però se trasportaremo il suo estremo graue nell'acuto, ouer'il suo acuto uerso 'l graue, per una Ottaua; rimanendo gli altri termini à i loro luoghi; non è dubio, che haueremo un'Interuallo à lui corrisponden te, nella parte acuta, ouer nella parte graue, che sarà dell'istessa natura di essa Seconda, & sarà una Settima; la quale ciascheduno di uoi conosce essere dissonante. Il che ancora auerrà facendo 'l contrario; cioè, quando si trasporterà l'estremo acuto dalla Settima uerso il graue; ouer l'estremo suo graue uerso l'acuto; percioche ne nascerà la Seconda nominata. Onde non si può negare, che l'uno & l'altro de questi due Interualli sia d' una istessa natura, & siano comprese sotto un'istesso Genere di Dissonanza. Questo istesso auerrà nella Semidiapente, che trasportato il suo estremo acuto uerso 'l graue, ouer l'estremo graue uerso l'acuto, uerrà il Tritono; & trasportati in cotal maniera gli estremi di esso Tritono; nascerà la Semidiapente; de i quali Interualli l'uno & l'altro sono contenuti sotto questo genere di Falso interuallo. In fatto è cosi; disse il Viola; ma non uedo, doue uogliate arriuare. Andrà poco lontano la cosa, risposi; che lo uederete. Dico ancora; che se di nuouo pigliaremo una Terza, la quale sapete, ch'è posta nel numero delle Consonanze imperfette; & faremo il simile, trasportando in acuto il suo estremo graue per una Ottaua; oueramente ponendo il suo estremo acuto nel graue, per un simile Interuallo; subito ne uerrà la Sesta, la quale etiandio è connumerata tra le Consonanze imperfette. Il che auerrebbe anco, trasportando all'istesso modo gli estremi di questa; percioche ne risultarebbe la Terza; cosa che ueramente non si può da niun sano di giudicio negare. La onde, se usando simili modi, di trasportare i detti termini, si uede; ch'una Dissonante ne produce un'altra; come fa anco il Falso interuallo; & una Consonanza imperfetta ce ne da un'altra simile di genere, ò specie; che maggior priuileggio in questo debbono hauer le Dissonanze, i Falsi interualli & le Consonanze imperfette; delle perfette Consonanze? Niuna certamente; percioche non ui è maggior ragione delle prime, che di queste ultime. Diremo adunque con l'istessa ragione, che se 'l si riporterà l'estremo graue d'una Quinta uerso l'acuto per una Ottaua; oueramente l'estremo acuto uerso il graue per un simile interuallo; quello, che uerrà sarà una Quarta, la quale, per lepage 85 Secondo. 85 le ragioni addotte nelle Dissonanze, ne i Falsi Interualli & nelle Consonanze imperfette, dico esser della natura della Quinta, & esser sottoposta ad un'istesso genere, ò specie di Consonanza. Et si come la Quinta per diuersi rispetti è detta Consonanza perfetta; cosi ancora, per quelli istessi, la Quarta è detta Consonanza perfetta. Percioche ancora riportando gli estremi della Quarta nell'acuto & nel graue, come facemmo quelli della Quinta; nasce al medesimo modo essa Quinta; Onde siamo sforzati uolendo, o non uolendo, dire; che se la Quarta è dissonante, che dissonante sia all'istesso modo la Quinta; ouero che se questa è consonante, che anco quella sia di tale natura. Ilche non credo che sia negato da Huomini di sano intelletto. Disse allora M. Adriano, Questa ragione è ben ueramente noua, & è una delle belle, che si possa addurre in confirmatione delle uostre ragioni. E quando non imparassi mai altro hoggi di questo, me ne contento assai. Spero di dirui dell'altre cose Messere, diss'io; che ui piaceranno, però state allegro. Replicò anco il Viola in questo modo, Io dirò M. Gioseffo, che la ragione della Seconda & della Settima uà bene; percioche sono tutte due dissonanti; simigliantemente quella della Terza con la Sesta & delli due Falsi interualli, che hauete nominato: ma quella della Quinta con la Quarta mi par differente. Et ciò dico; accio che sopra di questo diciate qualche cosa; essendo che tra le parti de i Contrapunti senz'alcuna differenza si pone la Terza & la Sesta per buone consonanze, che fanno buono effetto; ma non auiene cosi della Quarta. A questo risposi & dissi, La differenza, che si troua tra la Quinta & la Quarta consonanza della prima maniera, è quasi l'istessa, che si troua tra la Terza consonanza della prima, & la Sesta consonanza della seconda; Imperoche si come la Sesta per sua natura non è molto consonante, & è men buona della Terza; massimamente della maggiore; come si uede, che non la lasciate ne i Contrapunti dimorare in un luogo per molto tem po, perche offende il senso; ne mai date fine ad una uostra cantilena per il detto Interuallo; ma si ben per Ottaua & per Quinta; cosi la Quarta, comparata alla Quinta, non è molto consonante, & è men buona di essa Quinta; come anco essa Quinta è men buo na della Ottaua, la quale più d'ogn'altra perfettamente consona. La onde dico la Diatessaron esser Consonanza & perfetta; ma non però dico, che ella sia tanto consonante & tanto perfetta, com'è la Diapente; ne meno com'è la Diapason; come etiandio dico l'Hexachordo (per ritornar ne i nostri termini primi) esser consonante; ma non di quell' istessa & propria natura, ch'è il Ditono, ò lo Semiditono; percioche secondo che nell' altre cose si ritrouano gradi tra loro; cosi ancora ui sono i suoi gradi tra le consonanze, & gli interualli dissonanti; ma questo ui basti. Io resto benissimo satisfatto; rispose il Viola. Onde il Sig. Desiderio soggiunse subito; Questo è stato un ragionamento molto utile; & credo che non si ritrouerà più alcuno, dopo c'haueranno inteso queste ragioni, che uoglia dire, che la Diatessaron sia dissonante. Noua & bella ragione è stata ueramente; aggiunse M. Claudio; onde dobbiamo desiderar che 'l si uada più oltra; acciò intendiamo di nouo qualch'altra cosa. Notate, adunque soggiunsi; che della Diapente harmonicamente diuisa, si fanno due parti, come son per dimostrarui; l'una delle quali si chiama Ditono, che è la maggiore; l'altra, ch'è la minore, è nominata Semiditono; & la definitione della prima sarà di questa maniera.

DEFINITIONE XI.

Il Ditono è consonanza, la cui forma è contenuta dalla proportione Sesquiquarta.
QVESTO Interuallo, considerato solamente ne i suoi estremi, & senz'alcuna me zana chorda, serue etiandio al Genere Enharmonico. Et si può chiamare una delle prime parti della Diapente, & delle Seconde della Diapason; come anco si può nominare al modo medesimo il Semituono, del quale porremo questa definitione. Dimostr. Harm. F 3 DEFI-page 86 86 Ragionamento

DEFINITIONE XII.

Semiditono è consonanza, della quale la forma è la proportione Sesquiquinta.
QVESTO Interuallo è stato da molti nominato diuersamente; imperoche alcuni l'han no chiamato Sesquituono; quasi uolendole dire d'un Tuono & mezo; ma quel, ch'io scrissi nel Cap. 25. della Prima parte delle Istitutioni, sopra questa parola Sesqui, ui potrà chiarire; se 'l si può dire di un Tuono & mezo. Altri l'hanno detto Trihemituono, ò Trisemituono; hauendo consideratione, che serue al Genere chromatico, quando è pigliato senza ueruna chorda mezana. Ma non stiamo hora sopra la consideratione de i nomi; noi lo chiamaremo Semiditono, il quale è la minor consonanza, che si troui. Imperoche non ui è alcun'Interuallo, sia qual si uoglia, il quale sia minor di lui; che sia consonante. Et da questo si può conoscere, che la sua proportione tiene l'ultimo luogo tra i numeri delle parti del Senario. La onde, credo, c'habbiate da uoi stessi compreso, che tutte le Consonanze, lequali fin'hora habbiamo definito, siano semplici, & tutte minori della Diapason; però uerremo hora à quelle, che sono di lei mag giori, & si chiamano Composte.

DEFINITIONE XIII.

La Diapason diapente è consonanza contenuta dalla proportione Tripla.
QVESTA primieramente è denominata dalla Diapason; dopoi dalla Diapente; essendo che dell'una & dell'altra di queste due si compone; come si conosce dalle lor forme 3. 2. 1. contenute nel Senario tra i numeri Arithmetici; ouer da 6. 3. 2. Nu meri harmonici. Ma,

DEFINITIONE XIIII.

La Disdiapason è consonanza, la cui forma contiene la Quadrupla proportione.
MI ricordo; aggiunse M. Adriano; che nell'Istitutioni hauete detto,1. par. c. 16 che questa Consonanza si può considerar composta in due maniere; prima, della Diapason, della Diapente, & della Diatassaron; come si scorge tra questi numeri. 4. 3. 2. 1. ouer tra questi. 12. 6. 4. 3. dopoi, de due Diapason; come si uede tra questi termini. 4. 2. 1. per qual cagione adunque si dice da molti, che la Disdiapason si compone di due Diapason maggiormente; che di una & delle due altre nominate consonanze? Questo auiene Messere; risposi; perche gli Antichi; prima la considerarono come composta de due consonanze piu note: come sono due Diapason; che dal senso sono maggiormente conosciute, che non è qual si uoglia altra consonanza; dopoi perche la considerarono composta della più nobile consonanza replicata, ch'è la Diapason; che sia tra l'altre consonanze. Et se bene la prima Diapason si pigliasse semplice & l'altra composta delle due maggiori sue parti, questo importarebbe poco; percioche per ogni modo contiene & contenerebbe due Diapason. Ma per dirui;

DEFINITIONE XV.

La Disdiapason ditona è consonanza, la cui forma è contenuta dalla proportione Quintupla.
Messerpage 87 Secondo. 87 MESSER Gioseffo; disse qui il Viola; S'io dirò: perche questa consonanza sia maggiormente composta della Disdiapason & del Ditono, che d'altre consonanze; poi che i termini della Quintupla stanno tramezati in questo modo. 5. 4. 3. 2. 1. oueramente tra i Numeri Harmonici. 60. 30. 20. 15. 12. sò che mi risponderete, come hauete fatto à M. Adriano; però senza por tempo di mezo, seguitate 'l uostro ragionamento; ch'altro non uoglio dire. Voglio che anco ui ricordiate; soggiunsi; che

DEFINITIONE XVI.

La Disdiapason diapente è consonanza, che la sua forma contenuta dalla proportione Sestupla.
MA perche più d'una, che d'un'altra Consonanza ella sia detta Composta; poiche i termini della sua forma in tal maniera tramezati sono. 6. 5. 4. 3. 2. 1. ouerame te. 60. 30. 20. 15. 12. 10. la ragione detta di sopra ui può bastare. Onde uerremo alla Decimasettima definitione.

DEFINITIONE XVII.

L'Hexachordo maggiore è consonanza, la cui forma è contenuta dalla proportione Su perbipartiente terza.
PARMI, disse qui il Viola, che ritorniamo indietro, per quel ch'io ueggio; essendo che prima hauete definito le Consonanze, incominciando dalle Semplici, uenendo alle Composte, & sete uenuto dalle minori alle maggiori; hora di nuouo ritornate da capo; & per qual cagione lo fate, per uostra fè? Quelle Consonan ze, dissi; che fin'hora hò definito, sono contenute ne i generi Molteplice & Superparticolare, che sono Generi semplici di proportione; il perche hauendo posto fine à quelle, che sono contenute sotto questi due Generi; uengo hora à definir quelle, che sono contenute ne gli altri; per poter seguitar un buon'ordine. Ne mi curo, che queste ch'al presente definisco siano maggiori, ò minori; essendoche questo è di pochissima importanza. Ma ui basta à sapere; che questa proportione Superbipartienteterza, nominata di sopra, è compresa nel Terzo genere di proportione, detto Superpartiente, & è la prima di cotal genere. Mi piace l'ordine, & resto satisfatto, rispose il Viola; però seguitate quello, che ui piace. Soggiunsi adunque; Ancora che tra le parti del Senario non ui sia la forma dell'Hexachordo minore in atto; tuttauia per esserui (com' hò dichiarato altroueInstitut. 1. part. c. 16.) in potenza; & tra 'l primo Cubo & il Quinario in atto: non uoglio restar, già ch'è contenuta la sua forma nel Genere sopradetto, di darui la sua definitione; onde diremo.

DEFINITIONE XVIII.

L'Hexachordo minore è consonanza, la quale hà la sua forma contenuta dalla proportione Supertripartiente quinta.
Dimostr. Harm. F 4 Questapage 88 88 Ragionamento QVESTA consonanza (come hò detto) hà la sua proportione, ch'è contenuta nel secondo luogo del nominato Genere, tra questi numeri, ò termini. 8 & 5. Ma per uenire à gli altri due Generi, che sono composti; per dimostrarui, ch' in ogni Genere di proportione si troua alcuna consonanza; se non semplice, almeno Composta; porrò senza por tempo alcun di mezo, la definitione della Diapason col Ditono; in questa maniera.

DEFINITIONE. XIX.

La Diapasonditona è consonanza, ch'è contenuta nella sua vera forma dalla proportione Dupla sesquialtera.
MA i termini di questa proportione si ritrouano esser collocati tra le parti del Senario, tra questi termini. 5. & 2. Fermateui di gratia un poco M. Gioseffo; disse qui M. Adriano; & lasciatemi addimandarui un dubio. Voi dite, che la Diapasonditona ha lasua forma dalla Dupla sesquialtera; nondimeno questo Interuallo è com posto d'una Diapason, la quale hà la forma dalla proportione Dupla, & di un Ditono, che hà la forma della Sesquiquarta; com'hauete posto nelle loro definitioni. Ma se la Sesquialtera, è la forma della Diapente; com'è possibile, che la Diapason col Ditono habbiano la forma della Dupla sesquialtera, & non dalla Dupla sesquiquarta? Comprendo dalle uostre parole; dissi; che uorreste, che più tosto si dicesse, che la proportione Dupla sesquiquarta fusse la forma della Diapasonditona; la quale è composta della Diapason & del Ditono, che la Dupla sesquialtera; perche ui pare, che da questa denominatione più tosto si douesse denominar la Diapason diapente, che la Diapasonditona; poi che la Dupla è la forma della Diapason; & la Sesquialtera quella della Diapente. Non è com'io dico? Stà bene; rispose egli. Allora soggiunsi; Se è dibisogno che sia cosi; sommaremo nel modo, ch'io dimostrai nel Cap. 33. della Prima partedelle Istitutioni, la Dupla insieme con la Sesquiquarta, & se uerrà la proportione, c'hauete no minato, la cosa andrà bene. Ma noi uediamo, che ella uà ad'un'altro modo; essendo che uiene una Dupla sesquialtera, come contiene la Definitione; adunque la cosa non uà bene. Onde sommando insieme anco al modo detto la Dupla con la Sesquialtera, non nasce la Dupla sesquialtera, ma si bene la Tripla, ch'è la forma della Diapason diapente. Il perche si uede, che à dir Tripla, & dir Dupla sesquialtera, non è dire una proportione istessa; ma due diuerse. Questo di nuouo uediamo, che sommando insieme la proportione della Diapason, & quella della Diatessaron; non uiene la Dupla sesquiterza; se ben la Dupla è la forma della Diapason, & la Sesquiterza quella della Diatessaron; ma la Supertripartiente quinta; ch'ella della Diapason diatessaron; come nella seconda Definitione dichiarai. Onde è manifesto, che gli Antichi all'uniuersale più attesero, che al particolare, & al leuar la confussione dalle menti de gli huomini. Et uolsero (com era 'l douere) denominar le Proportioni in ogni Genere da i modi che 'l maggior termine contiene il minore più fiate interamente; ouero più fiate con una, ò più parti del minore; accioche queste denominationi seruissero non solo alle Proportioni & à gli Interualli della Musica particolarmente; ma etiandio è quelle, che seruono all'altre Scienze. Et ancora che mi potreste dire, che questa parola Sesqui; come dichiarai nelle Istitutioni;1. Par. cap. 25. uoglia di re Tutto, & Altera significhi l'una de due parti fatte d'alcuna cosa; & che meglio sarebbe dire, Dupla & Altera, che Duplasesquialtera; responderò, che questo non sarebbe mal fatto; quando in ogni Genere, la parola Sesqui si pigliasse solamente per una additione sillabica; come uoleuano alcuni; ne altro uolesse significare. Ma diciamo pure con la suapage 89 Secondo. 89 sua significatione; che Dupla sesquialtera uoglia dire; Due fiate il Tutto & una parte del la minor quantità comparata alla maggiore; percioche questo non è di molta importanza, che se le aggiunga, ò leua tal particella; essendoche già è riceuuta per tale; & s'aggiunge oltra questi termini Dupla, Tripla, & gli altri. Et simili denominationi; come Sesquialtera, Sesquiterza, & l'altre per ordine, sono le denominationi delle parti, per le quali il maggior termine, che si ritroua ne i Denominatori delle Proportioni; sopr'auanza il minore. Et questo per hora ui potrà bastare. Son satisfatto benissimo, soggiunse M. Adria no . Passarò adunque auanti, risposi; & dirò, che tutte queste Definitioni, che io hò da to sono à bastanza intorno à quelli Interualli, che sono Consonanti; percioche bisogna hormai definire i Dissonanti, i quali seruono alla cognitione delle cose della Scienza & anco dell'Arte; accioche nelle Dimostrationi, che siamo per fare, non ci manchino quei Principij, che sono necessarij per concluder quello, c'habbiamo da preporre: Tanto più, che le Definitioni (com'altroue hò dettoSupra ante primam Defi nitionem.) sono i Mezi delle Dimostrationi. Ascolta te adunque, che hora ui definirò tutti quelli Interualli dissonanti, che io ui son per definire, l'un dopo l'altro, & senza hauer rispetto à Genere alcuno. Onde incominciando dal Maggiore, dirò in questo modo.

DEFINITIONE XX.

Il Tuono maggiore e quell'Interuallo, per il quale la consonanza Diapente sopr'auanza la Diatessaron.
QVESTO Interuallo fù altramente definito da gli Antichi; percioche diceuano, il Tuono esser principio della Consonanza; il quale nasce, producendo da suo no à suono, dalla proportione Sesquiottaua. Disse allora M. Adriano; Per qual cagione adunque non hauete detto nella definitione, come hauete fatto nell'altre, che questo Tuono nasce da simil proportione; poiche nell'Istitutioni molte fiate l'hauete deto. Perche uoglio, risposi; che ella sia uno de i Principij, ch'io adopererò in questo & ne gli altri Ragionamenti. Et s'io hauesse posto nella Definitione, che ella nasce dalla proportione Sesquiottaua, non lo potrei dimostrare; perche i Principij non si dimostrano; ma perche son per dimostrarui cotal cosa; però ui hò detto solamente, ch'è la differenza, che si troua tra la Diatessaron & la Diapente; essendo che ui uoglio far col mezo di queste Definitioni auertiti; che tutti quelli Interualli, che sono minori del Semiditono, & sono dissonanti, altro non sono che le differenze, che si trouano tra un'Interuallo Maggiore & un Minore. Questo mi piacerà assai, soggiunse M. Claudio; ma diteci, ui prego, che uuol dir questa parola Tuono. E' Greca, risposi; & si dice Τόνος, che importa Fermezza, ò Stabilità. Et perche non si troua alcuno Interuallo consonante, il quale non ritenga questo Interuallo; cioè, la sua proportione almeno; però gli Antichi lo chia marono Principio della Consonanza. Essendo c'haueano opinione, ch'ogni interuallo Maggiore di lui fusse, ò si douesse di lui & del suo minor Semituono comporre. Onde da questa credula fermezza & stabilità, ch'in esso uedeano, lo chiamarono Tuono. Disse à questo M. Adriano; Non sono de due sorti Tuoni? Sono per certo, diss'io; & da questo si conosce, ch'à questo aggiungo la parola, Maggiore, che lo fà differente dall'altro, che ui definirò hor'hora, che sarà il Minore.

DEFINITIONE XXI.

Il Tuono minore è quella differenza, che cade tra la Diatessaron, & lo Semiditono.
Hauen-page 90 90 Ragionamento HAVENDO taciuto un pezzo il Sig. Desiderio, & udendo parlare de questi Tuoni, mi disse; Questo Tuono fu egli mai conosciuto da gli Antichi? Allora gli risposi; Quando sarà il suo Tempo, ui dimostrerò in che proportione ello si troui, Harm. lib. 1. cap. 15.& allora conoscerete, se hauerete à memoria le cose di Tolomeo, hauendole uedute, che questo Interuallo entraua nella compositione della specie Diatonica, chiamata Diatonico syntono; se bene da lui non è chiamato col nome di Tuono, & era conosciuto. Ma noi lo nomineremo Tuono aggiungendoui questa parola Minore, à differenza del primo, che già habbiamo definito. Essendo che tra l'uno & l'altro ui cade poca differenza; come potrete uedere, Ma passiamo un poco più oltra, acciò non perdiamo tempo.

DEFINITIONE XXII.

Il Semituono maggiore è quell'Interuallo, per il quale la Diatessaron è maggiore del Ditono.
SE ben mi ricordo, soggiunse M. Adriano; parmi che i Greci chiamassero questo Semituono Apotome. E' uero, dissi; che chiamarono Α'ποτομὴ il Semituono maggiore; ma questo ch'io hò definito non è quello de i Greci; essendoche è contenuto d'altra proportione, che dalla Super. 139. partiente. 2048. dalla quale è contenuto quello, com'io son per dimostrarui. Per qual cagione lo chiamauano con tale nome? dimandò il Viola. Perche diceuano, risposi io; che è Quasi tagliato fuori del Tuono, co me superfluo; essendo che gli Antichi non adoperauano tal Semituono ne i loro Tetrachordi. Onde Α'ποτομὴ appresso di loro significa Tagliamento. Auertite però; che,

DEFINITIONE XXIII.

Il Semituono minore, ò Diesis maggiore Enharmonico è quell'Interuallo, per il quale il Ditono viene à superare il Semitono, ouer il Tuono minore il maggiore Semituono.
NOTATE però ch'io lo chiamo etiandio Diesis maggiore Enharmonico; percioche è Interuallo, il quale serue al Genere Enharmonico; come udirete & uederete al suo luogo ne i nostri ragionamenti. Questo intendiamo bene, disse Meser'Adriano; ma sopra la definitione, che ci hauete proposto, ui uoglio dir due cose; delle quali la prima è, che i Greci chiamauano Lemma il lor Semituono minore. La seconda, che se noi consideriamo il Tuono maggiore diuiso in due parti; cioè, in due Semituoni, secondo la ragione, ch'io feci già, leggendo un giorno le uostre Istitutioni, ritrouo, che se noi cauaremo il maggior Semituono dal Tuono maggiore, quella parte, che uerrà, sarà maggiore di questo Semituono, che ponete per la differenza, che si troua tra il Ditono & lo Semiditono, ouer tra 'l Tuono minore & lo maggiore Semituono, che hauete definito, & sarà etiandio di questo maggiore; tuttauia chiamate questo Minore, che si douerebbe dire Minimo. Et non fate mentione alcuna di quello, ilquale sarebbe uera mente il Minore; diteci adunque doue nasce questa cosa. Messere; dissi allora; Voi sete in poco tempo fatto un'huomo molto sottile. Et mi diletta molto il uostro dubitare, il quale è di gran giouamento; essendo che egli è uicino al Sapere. Percioche il dubitare di ciascheduna cosa, nelle Scienze (secondo il FilosofoPraedicament. c. 3.) non è senza utilità. Et mi piace, che uoi penetriate alle cose difficili col uostro intelletto, il quale è stato sempre bello, & arteficioso. Però risponderò uolontieri à quel, che dimandato m'hauete; & prima al lapage 91 Secondo. 91 la Prima cosa; dopoi uerrò alla seconda. Quanto alla prima ui dico, che è uero: che i Gre ci chiamarno il lor Semituono minore Λεῖμμα; ma (come u'hò detto anco del Maggiore) questo Semituono, che hò definito, non è quello, che da i Greci è chiamato per cotal nome; ma si ben quello il quale da noi è usato al presente; essendo che il loro era contenuto dalla proportione Super. 13. partiente. 243. & il nostro è contenuto d'altra proportione; come son per dimostrarui. Onde appresso de loro tanto uuol dir Λεῖμμα, quanto Residuo, ò Restante appresso di noi; percioche i Pitagorici chiamarono con tal nome la parte minore d'una cosa diuisa in due parti inequali. Questo fù anco detto Δίεσις da Filolao pitagorico. Ma di quel Δίεσις, del quale alcuni hebbero parere, che fosse Principio,10. Metaphy. c. 2. Et 1. poste. cap. 17. & Elemento de gli altri Interualli della Musica; & uoleuano, che fusse come l'Vnità ne i Numeri, la quale è la lor commune misura; hora non ui uoglio dir cosa alcuna; ma leggere te il Cap. 48. della Seconda parte delle Istitutioni, se uorrete intender di lui qualche cosa; & uoglio che questo ui sia basteuole intorno alla prima cosa, che m'hauete richiesto. Quanto poi alla Seconda douete sapere; ch'io hò definito il Semitono minore esser quell'Interuallo, per il quale il Ditono sopr'auanza il Semiditono, oueramente il Tuono minore supera 'l maggior Semituono; & non quello, per il quale il Semituono maggiore definito di sopra. dal Tuono maggiore è superato; percioche questo, ch'io hò definito, è quello, ch'adoperano al presente i Musici, & fà più al proposito nostro, di quell'altro; ancora che nel Genere diatonico s'adoperi solamente 'l Maggiore in ogni suo Tetrachordo, & non il minore. Onde non hauete dubitato fuor di proposito Messere. Et ui uoglio dire, che chi uolesse minutamente considerar gli Interualli, che nascono in una ordinatione de Suoni nelle lor proportioni, si trouerebbe esserui non solamente il Maggiore & lo Minor semituono, ma anco il Massimo, il Minimo, & il Mezano: onde si uerrebbe quasi à confondere l'intelletto de chi ascoltasse. Et perche queste minutie non fanno al nostro proposito; perche dal Senso non sono comprese, per la poca differenza, che cade tra l'uno & l'altro; Simigliantemente, perche ne gli Istrumenti arteficiali la Partecipatione & il Temperamento loro non lascia conoscer cotali cose; però si lasciano da un canto. E' ben uero, che quando queste minutie si uorranno trattare, & dimostrare il luogo doue accascano & si ritrouano in un'ordine de suoni, noi sarà cosa impossibile, quantunque difficile; & già sopra un'Istrumento fabricato à tal proposito molt'anni sono le ridussi in atto, & le uolsi udire; come potrete uedere à Dio piacendo ne i miei SopplimentiLi. 4. c. 11. già promessi. Mi ricordo del l'Istrumento, disse il Viola; & mi accorgo hora; per qual cagione non hauete fatto mentio ne alcuna cosi minutamente de questi Semituoni nelle Istitutioni; massimamente di que sto Minore, quando ne parlaste. A questo dissi; Voi hauete udito la cagione; ma nel Cap. 46. della Seconda, & nel 19. della Terza parte, non solamente l'hò nominato, ma pongo anco la sua proportione, se ue lo ricordate. A questo disse; Me ne ricordo; & ricordomi an co, che nel Cap. 15. della Prima, è compresa la sua proportione nell'ordine de i Numeri harmonici. Per qual cagione adunque; interrogo M. Adriano; per ritornar'à dir qualche cosa ancora di questo Semituono, lo chiamate Minore, essendo Minimo? Risposi Per due cagioni; l'una è, perche per la moltiplicatione delle parti del Senario tra loro secondo 'l proposito, non si passa il numero 36. Onde tra quei numeri, che sono minori di questo, non si troua la proportione del Minore, che uoi intendete; ma si bene del Minimo, ch'è que sto ilquale chiamo Minore; ilperche douendo dir Minimo, era necessario, che ui fusse auanti il Minore, ò dopoi almeno; essendo che Minimo è relatiuo di Minore, ne i gradi della Comparatione; onde non mi parue cosa conueniente di nominare il Minimo, non ui essendo il Minore; però lo nominai Minore, per rispetto del maggiore. L'altra cagione fù; perche il Minore, che uoi dite non fà al proposito nostro. Son satisfatto, rispose M. Adriano; seguitate pur quel, che più ui piace. Soggiunsi allora; Dandoui di sopra la Definitione del Semituono minore, io uenni à definire insieme il Diesis maggiore, che serue al Genere enharmonico, percioche è quell'Istesso Interuallo; per il che hora seguiterò à dirui la de finitione dell'altro, ch'è il Minor, & dirò à questo modo. DE-page 92 92 Ragionamento

DEFINITIONE XXIIII.

Il Diesis Minore enharmonico è un picciolo Interuallo, per il quale il maggior Semituono supera il Diesis maggiore, ò Semituono minore.
VEDETE di gratia, che bell'ordine è questo, che 'l Chromatico si serue del Semituon maggiore, il quale è commune al Diatonico; & l'Enharmonico usa il minore, ch'è commune al Chromatico; di maniera che potete comprendere, quanto la Natura maestra delle cose sia mirabile. Vedete ancora, soggiunse M. Claudio; che bell' ordine & regolato è questo; che 'l Semiditono, il quale si troua nel Diatonico tra la prima & la terza chorda del suo Tetrachordo; nel Chromatico si ritroua tra la terza & la quarta; & il Ditono, che nel Diatonico tra la seconda & la quarta è collocato, nell'Enharmonico è posto tra la terza & la quarta medesimamente. Che uorranno adunque dir questi Chromatisti; soggiunse il Sig. Desiderio? staranno forse ancora ostinati? uorranno forse dire ancora, che 'l Ditono & lo Semiditono non siano del Diatonico, ma si bene, che l'uno sia dell'Enharmonico, & l'altro serui al Chromatico. Lo diranno certo, disse M. Adria no; & senza ragione; Et se dicessero almeno, che 'l Semiditono, che si troua tra la chorda E. parlando come prattico, & la chorda C. segnata con questo segno . il quale chiamiamo Diesis, & ciò discendendo; quasi quasi, che si potrebbe, se non in tutto, almeno in parte, tener da loro; ma non già altramente. In che modo Messere, soggiunse il Viola ; uorreste tenere con loro in questa cosa. In questo, rispose; quando la nominata Consonanza si ritrouasse esser collocata tra una chorda Diatonica, segnata E. & una Chromatica, segnata . com'hò detto di sopra; perche allora non si ritrouerebbe esser semplice mente tra le chorde Diatoniche; ma tra una segnata E. Diatonica, & una signata . Chroma tica; & à questo modo potrei tener dalla sua. Ma che quest'Interuallo non si troui nel Dia tonico tra le chorde . & d. & tra e. & g. & non si possa cantare, senza interponerui una chorda mezana; & ch'ello non sia interuallo Diatonico, questo non li consentirò mai; per cioche se 'l si canta la Diatessaron senz'esser tramezata d'alcun'altro suono, & in un solo Interuallo, & questa non faccia alcuna uarietà di Genere; il simile etiandio bisogna che auenga, quando si canta il Ditono, ò lo Semiditono con un solo Interuallo; percioche non ui sò uedere, ne ritrouar maggior ragione, c'habbia l'un più che l'altro de questi Interual li; essendo tutti consonanti. Anzi se 'l si douesse hauer qualche rispetto ad alcun di loro; che, come più consonanti, si potessero cantar tramezati & non tramezati, & non facessero uarietà alcuna di Genere, come forse questi potrebbono dire della Diatessaron; percioche da gli Antichi era tenuta la Prima consonanza; maggiormente dourebbe hauer questo priuilegio il Ditono & lo Semiditono; percioche tra i Moderni fin'hora la Diatessaron da molti non è posta nel numero delle Consonanze; come sono la Diapason & la Diapente; ma si bene il Ditono & lo Semiditono. Et che questo sia uero, uedete questi due Interualli consonanti, che scambieuolmente tanto si pongono nella parte graue delle nostre compositioni l'uno sotto, ouer sopra l'altro, quanto nell'acuto; il che non si fà della Diatessaron con la Diapente; percioche questa sempre si pone sotto la Diatessaron, & questa le stà di sopra; oueramente costumiamo di porle sotto il Ditono, ò lo Semiditono. Io uoglio dire, disse il Merulo, una parola Messere, & poi seguitarete. Ditemi per uostra cortesia; di che Genere fanno costoro, che sia il Tritono, il Semidiatessaron, la Diapente superflua, la Semidiapente, & altri simili Interualli saluatichi, i quali non sono consonanti, ch'essi pongono nelle lor compositioni? Voleua anch'io à punto dimandarui, soggiunse il Viola; Di che Genere li fanno. Dicono, rispose egli all'uno & l'altro; che sono di un Genere misto, questi galant'huo-page 93 Secondo. 93 lant'huomini; ma non conoscono però la sua mistura. Vdita questa Conclusione, dissi; Horsu Messere; lasciamo hormai queste cose da un canto, & torniamo al nostro proposi to, che sarà cosa più utile: & sarà la Definitione del minimo Interuallo rationale, che si troua nella Musica, il quale è chiamato Comma; onde diremo.

DEFINITIONE XXV.

Il Comma è un'Interuallo, per il quale il Tuono maggiore sopr'auanza 'l minore.
ET è detto Κόμμα; quasi tagliamento, ò parte, che dir uogliamo; col qual nome chiamano etiandio i Grammatici una parte dell'Oratione. Disse allora il Merulo; Questo nostro Comma non s'assimiglia à quello de gli Antichi, per quel ch' io hò potuto uedere. Non solamente, dissi; non s'assimiglia nella proportione; ma ne an co nella origine; percioche il Comma antico è quello, per il quale il Tuono sesquiottauo è maggiore di due loro Semituoni minori, ouero è quella differenza, che si troua l'Α'ποτομὴ & il Λεῖμμα; & è contenuto dalla proportione Super. 7153. partiente. 524288. come porta la natura di cotal cosa; ma quel, che hò definito, è contenuto d'altra proportione; come al suo luogo son per dimostrarui. Et è differente per la origine, il che ci manifesta la definitione. Disse allora M. Adriano; Ci direte cosa alcuna de i loro Schisma & Diaschis ma? poi ch'io uedo che procedete per un'altra strada fuori di quella che faceuano gli Antichi. Dirouui gli risposi; & questo sarà il luogo; per non andare più in lungo: essendoche lo Schisma nasce dal Comma, & lo Diaschisma del Semituono minore, come udirete. Diremo adunque,

DEFINITIONE XXVI.

Lo Schisma è la metà intera del Comma.
DI qual Comma intendete uoi, soggiunse M. Adriano; del nostro, ò pur di quello de gli Antichi? A' questo soggiunsi; Quantunque si habbia da intender di quello de gli Antichi; percioche da loro sono uenuti questi termini, & queste diuisioni; tuttauia non uoglio che facciamo tra 'l nostro & il loro alcuna differenza; ancora che quello sia molto differente da questo di proportione; pur che ui dimostri quello, ch' io intendo di dimostrarui al suo luogo. Sopra di questo Soggiunse M. Claudio; Che uuol dire ueramente Schisma? Σχίσμα, risposi; è uoce Greca, & uuol dire Diuisione; percioche, come hauete udito nella sua definitione, gli Antichi faceuano due parti equali, ouer l'intendeuano del Comma, & ciascheduna di esse chiamauano Schisma. Stà bene, disse M. Adriano; ma che sarà poi lo Diaschisma? Quello, che ui hò detto di sopra, rispo si; il quale diffiniremo à questo modo.

DEFINITIONE XXVII.

Lo Diaschisma è l'intiera metà del Semituono minore.
SOGGIUNSE M. Adriano; Di qual Semituono s'hà da intendere; dell'Antico, ò pur del nostro? Sete molto diligente Messere, gli dissi; Ma qui non uoglio far dif ferenza alcuna; percioche importa poco hauendoui à dimostrar solamente, che le sue diuisioni sono Irrationali; essendoche non si possono denominar con Numeri deter minatipage 94 94 Ragionamento minati & rationali; ma con irrationali & sordi. Et realmente le loro diuisioni non possono farsi se non col mezo della Geometria; cioè, con l'aiuto d'un'istrumento Geometrico, come ui dimostrerò quando sarà il tempo. Ma quel che fin'hora hò detto ui potrà essere à bastanza intorno alle Definitioni; percioche uoglio, che ueniamo alle Proposte. Non sarà fuori di proposito, aggiunse il Sig. Desiderio; non hauendoci altro da dire sopra questi Principij; però incominciate da quello, che ui torna commodo, che noi ui ascoltaremo attentamente. Voi dite bene, risposi; però ascoltate la prima Proposta, la quale sarà,

PROPOSTA PRIMA.

La Diapente & la Diatessaron nascono dalla diuisione Harmonica della Diapason consonanza.
LA quale ui uoglio dimostrare à questo modo. Sia a. b. la consonanza Diapason, secondo la Decimanona del primo nostro Ragionamento, dal c. Harmonicamente in due parti in a. c. & in c. b. diuisa. Dico di tal diuisione nascer la consonanza Diapente & la Diatessaron; & lo prouo. Perche a. contiene il c. & la sua metà; però, per la Quinta definitione di heri, a. co 'l c. uiene ad essere interuallo Sesqui
altero. Simigliantemente; perche c. contiene il b. una fiata & una sua Terza parte; però, per l'istessa definitione, dico c. b. esser'interuallo Sesquiterzo. Ma perche, per la Nona & decima definitione d'hoggi, la Sesquialtera è la forma della Diapente, & la Sesquiter za è quella della Diatessaron; però dico a. c. esser la Diapente, & c. b. la Diatessaron, le quali nascono dalla diuisione della Diapason a. b. Harmonicamente fatta, secondo che era 'l proposito di dimostrarui. Ancora che queste cose siano palesi al senso, disse Messer' Adriano; non sono però considerate per il uerso che uanno; Percioche se bene io sò, che una Diapente & una Diatessaron aggiunte insieme fanno una Diapason; tuttauia non sapea, che fussero parti della Diapason; & che nascessero dalla sua diuisione Harmonicamente fatta, come hora hauete dimostrato. Se ben tutte ui erano note; Messere, gli dissi; non però le sapeuate dimostratiuamente, & per le lor cagioni; però ascoltatemi, che à poco à poco uerrete à sapere il tutto. Onde auertite; che,

PROPOSTA II.

Raddoppiata qual si voglia Semplice consonanza, ne i suoi estremi; dalla Diapason in fuori; non dà alcun'Interuallo, che sia consonante.
SIANO a. & b. minimi termini di qual si uoglia semplice Consonanza, la quale, per la Decimasesta del giorno passato, sia raddoppiata tra c. a. & b. & siano a. & b. numeri semplici, & d. sia numero composto di Numero & Parte; & tra c. & a. si troui quell'istessa proportione, che si troua tra a. & b. Dico, che gli estremi termini c. & b.page 95 Secondo. 95 & b. di tal raddoppiamento non danno consonanza alcuna. Imperoche, non vi essendo consonanza, che non sia della prima, ò della seconda maniera; & hauendo cotali Consonanze; per la Prima & per la Seconda Definitione di questo ragionamento; le forme loro tra i numeri, ò termini, che sono le parti del Senario, col primo numero Cubo; i quali sono Numeri semplici; poi che c. numero & parte uiene ad esser numero Composto; ne segue che tra c & b. non ui possa cascare forma d'alcuna consonanza. Ma perche c. nu
mero & parte vengono ad esser con b. la forma della proposta Consonanza raddoppiata; però dico, che Raddoppiata qual si uoglia semplice consonanza; ne i suoi estremi non dà alcun'interuallo, che sia Consonante. Et perche, per la Ventesimaterza del ragionamen to del giorno passato; raddoppiato l'interuallo Duplo, costituisce il Quadruplo; & per l'Ottaua definitione d'hoggi, il Duplo è la forma della consonanza Diapason; &, per la Quarta decima, il Quadruplo è quella della Disdiapason; però raddoppiato l'interuallo della Diapason ne gli estremi produce la Disdiapason; la quale, per la Settima & per la Quartadecima nominata definitione; è interuallo Cosonante. Raddoppiata adunque qual si uoglia semplice consonanza dalla Diapason in fuori, ne i suoi estremi non dà alcun'Interuallo, che sia consonante. Et questo è tutto quello, che secondo la proposta, ui douea dimostrare. Onde passarò à dirui, che

PROPOSTA III.

La Diapente & la Diatessaron sono collocate tra le maggiori Superparticolari.
ET ve lo dimostro. Siano ab. la Diapente, & c. con d. la Diatessaron. Dico à b & cd. esser collocate tra le maggiori Superparticolari. Molteplico adunque, ò raddoppio; per la Decimasesta del giorno passato, l'interuallo ab. & lo cd. di maniera, che ne uenga eb. due Diapente, & fd. due Diatessaron. Et perche eb & fd; per la Precedente; non fanno alcuna consonanza; però dico; per la Prima definitione d'hoggi; che ne eb & fd; simigliantemente, ne anco ab & cd; per la Vndecima proposta di hieri; possono tra le Molteplici esser collocate. Ma ab. Diapente, & c d. Diatessaron; per la Sesta definitione d'hoggi; sono Consonanze semplici, & le forme lo ro sono collocate tra le Molteplici, ò Superparticolari, & non tra altri Interualli; Adunque ab & cd. non hauendo luogo tra le prime, di necessità l'haueranno tra le seconde; che sono le Superparticolari. Ma la Diapente & la Diatessaron; per le loro Definitioni; hanno le forme dalla Sesquialtera, & dalla Sesquiterza proportione; delle quali, per l'Otta
ua Dignità
; tra i Superparticolari non ue n'è un'altra maggiore; adunque la Diapente & la Diatessaron sono collocate tra le maggiori Superparticolari; come ui douea dimostrare.page 96 96 Ragionamento re. Piu oltra. Per la Decimasettima proposta del giorno inanti, ui dimostrai, che l'Interuallo Duplo nasce dalla congiuntione dei due maggiori Superparticolari; cioè, Sesquialtero & Sesquiterzo. La onde, essendo, per la Nona definitione d'hoggi, la Sesquialtera forma della Diapente; & per la Decima, la Sesquiterza forma della Diatessaron; seguita che la Diapente & la Diatessaron siano collocate tra le maggiori Superparticolari; come dice la proposta. Et questo è tutto quello, che dimostrar ui douea. Et perche ui uedo attentamen te ascoltarmi; seguitarò dicendo; che

PROPOSTA IIII.

La Diapason nasce dalla congiuntione della Diapente & della Diatessaron poste insieme.
S'Io non m'inganno; disse qui il Sig. Desiderio; in questa proponete il contrario di quello, che poponeste nella Prima proposta. Come adunque può stare, che di queste due consonanze si componi la Diapason, se hauete detto prima che dalla diuisione di essa nascono le due altre? Questo non è inconueniente (gli dissi) à dire, & anco ad essere; come dissi heri; che di una cosa diuisa in più parti, se ne componi in'altra & quell'istessa, di quelle parti istesse. E' ben uero; ei rispose; ma genera fastidio udire, che questi due termini contrarij possino stare insieme Diuiso & Composto, in un'istesso soggetto. Sono possibili, dissi io, quando sono considerati secondo diuersi rispetti. Ma ueniamo al nostro proposito. Vi dimostrai nella Precedente, che la Diapente & la Diatessaron sono collocate nelle maggiori Superparticolari. Dimostrai ancora heri; per la Decimasettima; che l'Interuallo Duplo si sà de due Massimi superparticolari; la onde essendo l'Interuallo Duplo la forma della Diapason; & la Sesquialtera quella della Diapente; & quella della Diatessaron la Sesquiterza; seguita che la Diapason nasca, quando la Diapente con la Diatessaron insieme si congiungono; come dice la proposta. Et questo è quello, che bisognaua dimostrare; al che aggiungeremo:

COLLORARIO.

Onde nasce, che reciprocamente cauata la Diapente dalla Diapason, ne uenga la Diates saron; & cauatane la Diatessaron resti la Diapente.
DISSE allora M. Claudio; Questa cosa da se stessa è chiara, & non ha bisogno d'altra dimostratione: percioche se da ab. interuallo della Diapason; come hauete dimostrato nella Prima; leuaremo ac. Diapente; ne resterà senza dubio cb. Diatessaron: come anco, se da ac. si leuarà cb. Diatessaron, necessariamente resterà ac. Diapente. Questo è uero, risposi, & si tocca con le mani; onde uerrò all'altra proposta; la quale sarà questa.

PROPOSTA V.

L'Interuallo della Diapason è Molteplice.
SIA a & b. l'interuallo della Diapason; & sia anco, per la Ottaua definitione, d'hoggi, & per la Terza del primo la Dupla la sua proportione; & sia oltra di questo c & b. tale Interuallo raddoppiato. Dico a & b. essere interuallo Molteplice. Per la Ventesima terza di heri; l'interuallo Duplo raddoppiato costituisce il Quadruplo; ma il Quadruplo, per la Quarta definitione di heri; è Molteplice; adunque raddoppiatopage 97 Secondo. 97
to a & b. prouiene c & a. ch'è simigliantemente molteplice. Et perche c & b. è Interuallo molteplice; però a & b. Interuallo raddoppiato in c & b. per la Sesta proposta di heri; farà etiandio molteplice. Ma tra a & b. ui è l'Interuallo della Diapason; adunque (come dimostrar ui douea) tale Interuallo è molteplice. Ancora; per la Decimasettima di heri, habbiamo; che l'Interuallo Duplo nasce dalla congiuntione de i due maggiori superparticolari; Sesquialtero & Sesquiterzo. Et per la Precedente, habbiamo dimostrato; che la Diapason nasce dalla congiuntione della Diapente con la Diatessaron; lequali hanno le forme loro dalle due nominate proportioni, ouero interuallo; Onde non è dubbio, essendo l'interuallo Duplo (per la Quarta definitione di heri) Molteplice; che anco l'interuallo della Diapason sia molteplice; poiche, per la Definitione, la Dupla è la sua vera forma. Ancora; Per la Ottaua definitione d'hoggi, l'interuallo della Diapason, ò uogliamo dire la Diapason cononanza è contenuta dalla Dupla proportione; ma, per la nominata Quarta definitione di heri; tale interuallo è Molteplice; adunque l'interuallo della Diapason è Molteplice; come, secondo quello, che ui hò proposto, vi douea dimostrare. Stà bene, disse M. Francesco; ma ditemi perche non dimostrate, che l'interuallo della Diapason sia Duplo? Perche già lo sapete per uia della sua Definitione, risposi; che dice; che è contenuta nella sua uera forma dalla proportione Dupla. Et già vi hò detto, che le Definitioni sono Principij, i quali non si possono in quella Scienza, della quale sono Principij, dimostrare; altramente non si potrebbono dire Principij, però non aspettate, ch'io ue lo dimostri. Soggiunse allora M. Claudio; Poniamo, che non haueste detto, che la forma della Diapason fusse la proportione Dupla; la potreste uoi allora dimostrare? Si bene, dissi. Fatemi adunque di gratia questo fauore; soggiunse egli; dimostratecela. A questo gli dissi; vi uoglio satisfare al tutto. Vi hò già dimostrato; che questo interuallo è Molteplice; non è cosi? Cosi è in fatto replicò M. Claudio; Adunque, dissi io; ouero ch'ello è Duplo, oueramente maggiore del Duplo. Ma perche il giorno auanti hò dimostrato, per la già nominata Decimasettima proposta, l'interuallo Duplo nascere dalla congiuntione de i due Massimi superparticolari; però se l'Interuallo è maggior del Duplo; il Duplo non si componerebbe solamente de due interualli Superparticolari, ma de più de due. Nondimeno, hò dimostrato nella Penultima, che la Diapason si compone de due Consonanze & superparticolari Interualli, che sono la Diapente, & la Diatessaron; adunque la Diapason non è maggior dell'interuallo Duplo. Et se non è maggiore, adunque è Duplo; come vi douea dimostrare, secondo la uostra richiesta. Siamo benissimo satisfatti; disse M. Claudio; & ui ringratiamo. Verremo adunque ad un'altra proposta, soggiunsi; la quale sarà.

PROPOSTA VI.

Il Ditono, & lo Semiditono nascono dalla diuisione della Diapente Harmonicamente fatta.
SIA ab. la Diapente diuisa, per la Decimanona proposta di heri, da c. mezano ter mine Harmonicamente in due parti; in ac. & in cb. Dico da tal diuisione nascere il Ditono & lo Semiditono. Onde perche a. contiene c. & la sua Quarta parte; però, per la Quinta definitione di heri, ac. uiene ad essere Sesquiquarto; Ma il Sesquiquarto, per la Vndecima definitione d'hoggi, è la forma del Ditono; adunque a & c. uerranno ad essere il Ditono. Ancora; perche c. contiene il b. & una sua Quinta parte; Dimostr. Harm. G peròpage 98 98 Ragionamento però dico cb. essere, per la Quinta definitione nominata, interuallo Sesquiquinto. Ma lo Sesquiquinto, per la Duodecima Definitione d'hoggi, è la Forma del Semiditono, adunque
c & b. è Semiditono. Et perche a. b. c. è Interuallo secondo la definitione Tertia decima del primo, diuiso Harmonicamente in un ditono & in un Semiditono; però dico, ch'el Ditono & lo Semiditono nascono dalla diuisione Harmonicamente fatta della Diapente. Et questo è quello, che secondo la Proposta douea dimostrarui.

COROLLARIO.

Onde nasce, che la Diapente è reintegrata dal Ditono & dal Semiditono, come da sue parti.
INTESO questo il Signor Desiderio; con vn uolto molto lieto, disse; In fatto la Dimostratione chiarisce il tutto. Onde si uede M. Gioseffo, che quello che uoi dite, è vero in effetto; che dalla diuisione della Diapason nelle sue parti, nascono gli altri Interualli, che seruono alla Musica; cosa, che mai più hò inteso da altri, che da uoi. Ma che ci proporrete hora da dimostrare? Subito soggiunsi; Che

PROPOSTA VII.

Gli Interualli del Ditono & del Semiditono sono Superparticolari.
ET lo dimostro in cotal maniera. Sia a. b. c. l'Interuallo del Ditono raddoppiato, & sia a & c. due Ditoni. Dico ab. ouer bc. esser'Interuallo Superparticolare. Et perche ac. per la Seconda di questo; è impossibile, che faccia consonanza alcuna; però ac. non può esser Molteplice, ne meno per la Vndecima del passato ragionamento ab. ouer bc. sarà Molteplice. Ma per la Sesta de
finitione
d'hoggi, ab. ouer b. c. Ditono è Consonanza semplice; onde è compresa tra i Molteplici, ouer tra i Superparticolari; però se ab. ouer bc. non è Molteplice; bisogna necessariamente, ch'ella sia Superparticolare. Ilche è quello, che vi douea dimostrare. Allora il Viola; Stà bene, disse, Hauete detto del Ditono; ma come si farà à prouar, che 'l Semiditono sia anche lui Superparticolare? Si tenerà l'istesso ordine, soggiunsi; & si useranno le ragioni istessse, che habbiamo usate nel Ditono; raddoppiando 'l Semiditono; co
me si uede raddoppiato tra a. b. & c. in questo essempio; & si haurà il proposito. La onde verrò all'altra, che segue; la quale sarà questa. PRO-page 99 Secondo. 99

PROPOSTA VIII.

Il Tuono maggiore & lo minore nascono dalla diuisione del Ditono fatta harmonicamente.
FERMATEVI di gratia vn poco M. Gioseffo, disse il Signor Desiderio; Da che uiene, ch'in tutte le Diuisioni, fatte fin'hora harmonicamente, hauete sempre pigliato la Parte maggiore della diuisione precedente, & non minore? Perche la minore, dissi non dà quelli Interualli, che fanno al proposito, ne consonanti, ne anco dissonanti; come da questo potrete comprendere; che diuidendosi la Diatessaron harmonicamente in due parti, dirò cosi; ne uengono due Interualli, de i quali il maggiore è contenuto dalla Sesquisesta, & lo minore dalla Sesquisettima proportione; che se ben sono Superparticolari, non fanno però Consonanza alcuna; percioche i loro termini non sono contenuti tra le Proportioni delle parti del Senario, secondo la Definitione; Onde non seruono alle nostre Harmonie, essendo che non sono Interualli, per i quali l'uno maggiore de i consonanti superi un'altro minore; come sono gli interualli de i Tuoni & Semituoni, & altri ancora, i quali habbiamo definito. Detto ch'io hebbi questo, replicò & disse, Da che nasce questo? Nasce; risposi; che tali Interualli per loro natura & proprietà non sono atti à riceuer tal diuisione, che possa produrre i suoi Interualli consonanti; come fà quello della Diapente; ouer se non sono consonanti, ch'almeno seruino alle modulationi delle cantilene; come quelli, che nascono (come ui dimostrerò) dalla diuisione del Ditono; il che dico etiandio de gli altri. Questa ragione è molto commodo; soggiunse egli. Et io per hora (risposi) non ui sò dir'altro; ma quando ne direte un'altra più particolare, & più propria; la mia le darà luogo. Ma ditemi per uostra fè; per qual cagione il numero Ter nario non si può di uidere in due altri numeri, che siano equali? Ei rispose; Per la ragione istessa c'hauete detto della Parte nominata; però con questa uostra dimanda m'hauete fatto accorgere, ch'è buona ragione quella, c'hauete addotto; se ben non è propria, essendo che in uerità altro non si può dir sopra questo fatto; se non che tali proprietà uenghino dalla lor Natura. Seguitate adunque quello c'hauete principiato; percioche di questo resto satisfatto. Sia adunque soggiunsi ab. il Ditono diuiso dal c. harmonicamente in due parti ac. & cb. come c'insegna la Decimanona del Primo. Dico da tale diuisione esser prodotto il
Tuono maggiore, & lo minore. Et [[per]]che a. contiene il c. una fiata & una sua ottaua parte; [[per]]ò dico, per la Quinta definitione del primo, ac. esser'interuallo Sesquiottauo. Ancora; per che contiene b. & la nona parte di esso b però, per la istessa Definitione, cb. uiene ad esser Sesquinono. Ma perche ac. è Sesquiottauo, & il Sesquiottauo, per la Ventesima sesta pro posta di heri, & per il suo Corollario, è la differenza, che si troua tra lo Sesquialtero forma della Diapente, & lo Sesquiterzo forma della Diatessaron; la quale, per la Ventesima definitione d'hoggi, è Tuono maggiore; però dico ac. esser Tuono maggiore. Simigliantemente; perche cb. è Sesquinono, & questo, per la Ventesima settima proposta del giorno passato, & anco per il suo Corollario, è la differenza, per la quale la Sesquiterza; cioè, la Diatessaron sopr'auanza la Sesquiquinta, che è il Semiditono; & tale differenza è Tuono minore; però dico cb. esser Tuono minore. Diremo adunque, che dalla diuisione del Ditono fatto harmonicamente nascono il Tuono il maggiore & lo minore; come ui douea dimostrare. Si può egli dimostrare, disse M. Adriano; che 'l Tuono maggiore sia Sesquiottauo, & lo mi nore Sesquinono. Si può; Messere; & si debbe anco dimostrare; dissi; se ben da quello, che di Dimostr. Harm. G 2 soprapage 100 100 Ragionamento sopra detto habbiamo, tal cosa si possa comprendere; essendo che nella loro Definitione non ui è posto la lor forma. Allora ei soggiunse; Adunque se 'l non ui rincresce dimostrateci cotal cosa. Et io dissi. Voglio satisfarui Messere per ogni modo; onde diremo.

PROPOSTA IX.

L'interuallo del Tuono maggiore è Sesquiottauo, & quello del minore è Sesquinono.
HABBIAMO dalla Ventesima definitione d'hoggi; che 'l Tuono maggiore è quell'Interuallo, per il quale la Diapente sopr'auanza la Diatessaron. La onde essendo, per la Ventesimasesta proposta del primo, tale interuallo Sesquiottauo; com'anco si è detto nella Precedente; ne uiene, che l'interuallo del Tuono maggiore sia Sesquiottauo. Simigliantemente, per la Definitione Ventesimaprima di questo Ragionamento; chiaramente si uede & conosce, che 'l Tuono minore è la differenza, che si troua tra la Diatessaron & lo Semiditono, di quanto l'un supera l'altro; & già si è dimostrato nel Ragionamento passato, nella Ventesimasettima proposta & nel suo Corollario, che tal differenza è un Sesquinono; però necessariamente seguita, che l'interuallo del Tuono minore sia Sesquinono. Et questo è quello, che m'hauete richiesto, ch'io ui douesse dimostrare. Son satisfatto; disse M. Adriano. Io adunque seguiterò; soggiunsi; dimostrandoui; che

PROPOSTA X.

L'interuallo del Tuono maggiore, & quello del minore sono Superparticolari.
QVESTO è cosa facile; sopraggiunse il Signor Desiderio; percioche, se per la Definitione, Quell'interuallo è Superparticolare, ilquale hà i suoi termini in tal maniera, che 'l loro maggiore contenga il minore & di più una sua parte Aliquota; l'interuallo del Tuono maggiore & quello del minore, senza dubio sono Superparticolari; perche, come hauete dimostrato nella Precedente; l'uno è Sesquiottauo, & l'altro Sesquinono, & ne l'uno & ne l'altro di essi il termine maggiore contiene il minore & la sua nominata parte Aliquota. Onde posso dire, che questo è quello, che uoi poteuate dimostrare. La cosa và bene; risposi; però andaremo un passo più auanti. Il perche hauendo espedito di dimostrare, in qual maniera tutti quelli Interualli, che sono semplici, nascano dalla diuisione harmonica della Diapason, fatta nelle sue parti; uoglio ch'al presente dimostriamo alcune cose, che vi saranno di molta contentezza l'hauerle uedute; percioche da esse comprenderete, come la madre Natura, Istrumento del Sommo fattore, sia mirabilissima nel produrre & nell'ordinar le sue cose. Et uederete, che quelle della Musica non sono fatte dall'Arte; ne accascano casualmente; ma necessariamente sono per lor natura tali; & per tali debbono dal Musico esser considerate. Però; accioche incominciate à uedere in quante cose, che sono quasi infinite, l'ordine delle Consonanze & Interualli Musicali si ritroui; ui proponerò & dimostrerò la proposta, che segue. PRO-page 101 Secondo. 101

PROPOSTA XI.

Tra i termini delle diuisioni della Diapason, fatte secondo l'Harmonica & Contr'harmonica proportionalità, & anco tra le loro differenze; si trouano le forme de tutte le Consonanze musicali.
MOSSE qui un dubio M. Adriano, udendo questa proposta, dicendo; Per qual cagione non hauete cosi detto d'un'altra Consonanza; com'hauete detto della Diapason? Onde gli risposi in cotal modo; Perche dalla sua diuisione, per esser Prima consonanza, com'hò detto altroue;Cap. 13. Inst. 1. par. hanno origine tutte l'altre. Et perche ogn'altro Interuallo minor di lei, è come sua parte; ò maggior, come composto di essa & d'una sua parte, non è atto à darci tutte queste cose. Vi hò inteso, disse egli; però seguitate, ch'io haurò molto caro di ueder questa cosa. Cosi farò Messere, per satisfarui, soggiunsi. Siano adunque a & b. minini termini della Dupla, la quale, per la Definitione,
è la forma della Diapason; & sia primieramente, per la Decimanona di heri, d & c. diuisa da e. termine mezano harmonicamente. Et sia etiandio a. la differenza di d & e. & b. quella, che si troua tra e & c. Dopoi, sia; per l'istessa Decimanona, da f. mezano termine posto tra c & d. diuisa secondo la proportionalità Contr'harmonica; di maniera, che simigliantemente a & b. siano le differenze, che si trouano tra df. & fc. & a. sia la differenza di f. & c. & b. quella di d & f. Onde tra d. e. c. sia l'Harmonica collocata; & tra d. f. c. la Contr'harmonica; & a. con b. siano le nominate differenze. Dico, che tra tutti questi termini. a. b. c. d. e. f. si ritrouano le Forme de tutte quelle Consonanze, che seruono all'uso delle Compositioni moderne. Imperoche d & c. fatta la comparatione del Massimo termine al Minimo de i Quattro maggiori; contiene la proportione Dupla. la quale si troua simigliantemente tra a & b. Onde per la Definitione, tale Interuallo contiene la Diapason consonanza. Al medesimo modo il d. contiene e. una fiata & la sua metà; per tanto dico d & e. esser Sesquialtero, & per la Nona definitione di questo, esser la forma della Diapente. Ancora; perche e. contiene il c. & una sua terza parte; però dico ec. esser Sesquiterzo; onde la sua consonanza, per la Decima defini nitione, sarà la Diatessaron. Comparato ancora f con e. si ritrouerà f contenere e. & una sua Quarta parte; onde sarà la proportione Sesquiquarta; la quale, per la Vndecima definitione, è la forma del Ditono. Et quella del Semiditono sarà tra d & f. percioche il d. contiene f. una fiata & una sua quinta parte; onde nasce, per la Quinta definitione del Primo, la proportione Sesquiquinta; la quale, per la Duodecima definitione di questo, è la sua uera forma. Tra c & b. ancora uiene ad esser la proportione Tripla; la quale è la forma della Diapason diapente; come dalla propria Definitione si può comprendere; la quale è Consonanza composta; percioche il d. contiene il b. tre fiate à punto. Et se 'l si farà comparatione tra e & b. si trouerà, che tra quei termini ui è la Quadrupla; dalla quale, per la Decima quarta definitione d'hoggi, nasce la Disdiapason; essendo che e. contiene il b. quattro fiate & non più. Tra f & b. si trouerà anco la Quintupla; per la Quintadecima definitione, forma della Disdiapasonditona, poi che f. contiene b. cinque uolte intere. Et tra d & f. sarà la forma della Disdiapason diapente; per la proDimostr Harm. G 3 portionepage 102 102 Ragionamento portione Sestupla, che si troua tra i nominati termini. Ma se faremo comparatione di f. con c. ritrouaremo la Superbipartiente terza, dalla quale hà la sua forma; come per la definitione Decimasettima è manifesto; l'Hexachordo maggiore. Percioche anco tra f & a. si troua la Dupla sesquialtera, che è la forma della Diapasonditona; com'è palese dalla Decimanona definitione. Onde è manifesto, che tra i termini della Diapason, diuisa secondo la proportionalità Harmonica, & Contr'harmonica, & le loro differenze; si trouano tutte quelle Consonanze, che sono possibili da ritrouarsi, le quali à tempi nostri i Musici pongono nelle lor Compositioni; come ui douea dimostrare. Disse qui il Viola; Non hauete già fatto mentione alcuna dell'Hexachordo minore, ne della Diapason col Semiditono, & de molt'altre Consonanze, che si pongono ne i Contrapunti. Allora soggiunsi; Quando hò fatto mentione de tutte quelle Consonanze semplici, che si possono porre in atto, & che nascono secondo l'ordine naturale de Numeri harmonici; imaginateui, ch'io habbia fatto anco mentione di ciaschedun'altra Composta, & de tutte quelle, che nascono da un'ordine accidentale; come sono quelle, che nominato m'hauete. Percioche (com'hò detto nelle Istitutioni1. par. c. 16.) tra questi termini, che ui hò mostrato in que ste due Proportionalità congiunte, si ritrouano tutte le Parti del numero Senario; le quali contengono in atto & in potenza tutte quelle Consonanze, che si può l'Huomo imaginare, che possano seruire alla Musica. Me ne ricordo & resto satisfatto, soggiunse il Viola. Che dite uoi Messere di questi cosi belli discorsi & dimostrationi? Veramente ch'io stupisco; rispose M. Adriano; ne mai credeua di ueder tante cose, & tanto diuerse, & anco tan to belle della Musica, com'io ueggio; del che ne sia lodato Iddio. Ma uoltatosi uerso di me soggiunse; non ui uoglio più interrompere col mio parlare M. Gioseffo; percio che desidero, che uoi seguitiate; essendo che u'ascolto molto uolentieri. Vi uoglio anco dire Messere; risposi; che noi potremmo hauere quante delle già dimostrate Proportionalità congiun te piaceranno à noi; se molteplicheremo i termini d. f. e. c. per qual numero uorremo; percioche, per la Quinta dignità, haueremo un'ordine, il quale contenerà quelle Proportioni istesse, che sono contenute tra i primi termini. Et cosi si potrà hauer prontissimamente quante proportionalità Harmoniche & Contr'harmoniche congiunte insieme, che sarà dibisogno d'hauere. Ma poi che siamo in questi dolci ragionamenti, ui uoglio dimostrar l'istessa cosa, che u'hò dimostrato con un'altro mezo; accioche conosciate, quanto questa Scienza si piena di belli concetti, & di dolcissime speculationi. Statemi adunque ad udire.

PROPOSTA XII.

Ogni Progressione arithmetica, laquale incomincia da qual numero si voglia, cinque fiate aggiunto à se stesso, contiene le forme de tutte le Consonanze; tra le quali si trouano le Due prime maggiori semplici, esser diuise in Due semplici minori.
BISOGNA, che prima ci dichiarate la proposta; disse qui M. Claudio; & dopoi farete al uostro piacere la dimostratione. Hauete ragione risposi. Notate adunque, ch'io intendo un Numero esser'aggiunto à se stesso Cinque fiate, quando primieramete se gli aggiunge una fiata un'altro numero à lui equale dopoi due fiate, oltra di que sto tre fiate, quattro anco, & ultimamente cinque fiate; onde nasce l'Arithmetica Progressione; La onde dico, ch'ogni Progressione arithmetica, la quale incomincia da qual numero si uoglia aggiunto à se stesso in questo modo, contiene la forma d'ogni Musical consonanza. Et di più ui dico; che le Due prime maggiori consonanze semplici; che sono la Diapason & la Diapente, ciascheduna per se, si troua in tal Progressione diuisa, alla similitudine dell'Har monica proportionalità in due Consonanze minori. Hora u'intendiamo benissimo; aggiunse M. Claudio, seguitate il dimostrarci cotal cosa. Questa è cosa facile; dissi, & che ciò sia uero lo ve-page 103 Secondo. 103 lo vederete. Sia a. il numero, ilquale vogliamo aggiungere Cinque fiate à se stesso, di mo do che produca l'Arithmetica progressione. Dico, che dobbiamo prima raddoppiare esso a. & ne uerrà b. Et perche b. è duplo di a. però la Ottaua definitione, ba. contengono la for ma della Diapason. Dopoi aggiungeremo a. al b. & ne uerrà c. Ma perche c. contiene a. tre fiate. & una il b. con la sua terza parte; però per le Definitioni, ca. è Tripla; & è la forma della Diapason diapente, & cb. è Sesquialtera, & è la forma della Diapente. Di nuouo aggiungeremo a. col c. & ne risulterà d. Manifesta cosa è, che 'l d. contiene a. quattro fiate, & c. una fiata con la sua terza parte; la onde, per le Definitioni; da. è Quadruplo; & uiene à contener la Disdiapason; & cd. è Sesquiterzo, & contiene la Diatessaron. Al d. aggiungeremo di nuouo a & ne nascerà e. dico e. contenere a. cinque fiate, & esser Quintuplo; & contenere il d. una fiata & la sua Quarta parte; il perche e & d. è Sesquiquarto. Onde dalle Definitioni date al principio di questo ragionamento, è manifesto, che tra e & a. si troua la forma della Disdiapason ditona; & tra e & d. quella del Ditono. Di nuouo aggiungendo a. con e. nasce f. Onde, perche f. contiene a. sei fiate apunto; & e. una fiata con la sua Quinta parte; dico, che f & a è Sestuplo, & per la Decimasesta definitione d'hoggi è la forma della consonanza Disdiapason diapente, & fe. è Sesquiquinto, & è la forma del Semiditono. Ma perche e. contiene c. una fiata con due sue terze parti; però, per la Sesta definitione del Primo ragionamento, ec. è Superbipartiene terzo, & per la Decima settima di questo; è la forma dell'Hexachordo maggiore. Oltra di questo; perche il d. contiene il b. due fiate; però d & b. sono in Dupla proportione, & tale proportione è la forma della Diapason, & è diuisa (come dice la Seconda parte della proposta) in due parti; in una Diapente cb & in una Diatessaron dc. Simigliantemente, perche f. contiene il d. una fiata & di più la sua metà; però dico, per la Definitione, f & d. esser Sesquialtero, & esser la forma della consonan za Diapente. Essendo poi tramezata da e. dico, ch'ella è diuisa in due parti, l'una delle quali si troua tra e & d. ch'è il Ditono, & l'altra tra f & e. ch'è il Semiditono; come di sopra si è mostrato. Ma perche qualchedun di uoi potrebbe dire, che i mostrati ordini non fussero ordinati in Arithmetica progressione, ui uoglio aggiunger questo di sopr'abondante; che dalla Vndecima definitione di heri, lo potrete comprendere; che le differenze, che si trouano tra a. b. c. d. e. f. sono equali. La onde essendo tanta la differenza, laquale si troua tra b & a. quanta quella, che si troua tra c & b. & d con c. e con d. & f. con e. la quale è ueramente a. dà segno manifesto, che questi Termini son'ordinati in Arithmetica progressione; come ui haueua proposto. Adunque Ogni arithmerica progressione, la quale incomincia da qual si voglia numero, aggiunto cinque fiate à se stesso; contiene le forme de tutte le Consonanze; Et ciascheduna delle due maggiori semplici si troua esser diuisa in due minori; come v'hò dimostrato. Questa è una bella consideratione; disse il Viola; & degna d'hauerla in memoria; percioche da tutti non è consideirata cosi minutamente, come la considerate uoi; però ogn'animo uirtuoso ui hauerà da hauere grande obligo, poi che u'affaticate per giouarli. Lasciamo andar da un canto questo; risposi; & lodiamo DIO delle sue gratie & doni, che ci concede. Et perche siamo sopra le belle cose, ve ne uoglio dimostrar'un'altra, che vi piacerà, la quale è degna di tenerla à memoria. Mi farà molto grato; disse M. Adriano; però date principio. Allora soggiunsi; Perche ui hò dimostrato, che tra Quattro termini continenti la Diapason diuisa secondo l'Harmonica & la Contr'harmonica proportionalità, & anco, che nella Progressione arithmetica d'un Numero cinque volte aggiunto à se stesso, si trouano le forme de tutte le Consonanze; ui uoglio hora dimostrare, in qual modo Cinque termini più fiate si possino replicare, tra i quali si ritrouino, non solamentele nominate consonanze, ma anco il Tuono maggiore & lo iminore. Et per dimostrarui questo con qualche intelligenza, douete sapere; che (come afferma Boetio2. Arith. cap. 54) gli Antichi hebbero questo parere; che quella fusse una Massima & Perfetta harmonia, la quale in se contenesse quattro termini l'un dopò l'altro, che fussero ordinati in tal maniera; che si come poco fà ui mostrai, tra questi Quattro 6. 5. 4. 3, numeri, si trouaua l'Harmonica & la Contr'harmonica proportionalità; cosi Dimostr. Harm. G 4 trapage 104 104 Ragionamento
tra questi loro Quattro 12. 9. 8. 6. si ritrouasse la Geometrica, l'Arithmetica, & l'Harmonica insieme congiunte; di modo che tra 'l Massimo & lo Minore de i due mezani; & tra il loro Maggiore & il Minimo, fusse la Geometrica; tra 'l Massimo, il Maggior de i mezani & il Minimo, l'Arithmetica; & l'Harmonica tra 'l Massimo, lo Minor mezano & il Minimo. Et uoleuano, che questa Massima & Perfetta harmonia hauesse gran forza nella Musica, & nelle speculationi delle cose naturali; & che non si potesse ritrouar cosa alcuna più perfetta di questa medietà; & che contenendosi tra tre Interualli, hauesse presa la natura della Sostanza d'un Corpo perfetto, il quale consta simigliantemente di tre interualli; che sono lunghezza, larghezza & profondità, ouer'altezza; indotti dall'Harmonia, che si troua tra le qualità del corpo Cubo; ilquale essendo composto de Dodici lati, Otto angoli, & Sei superficie; passando dalla lunghezza alla larghezza, & da questa alla profondità, ouero altezza; equalmente crescendo & facendo il suo progresso da cose equali, & peruenendo à coseequali; equa lmente è tutto proportionato à se stesso: le quali cose tutte sono veramente degne di gran consideratione. Onde per la conuenienza de tutte queste cose poste insieme, la quale è ueramente harmonica; la nominarono Geometrica harmonia. Ne per altro chiamarono l'Harmonica mediocrità, ò progressione, Proportionalità harmonica, se non per la grande conuenienza, che questa hà con quella. Ma per finir di dirui, tra questa loro Massima harmonia, diceuano, che erano contenute tutte le semplici Consonanze della Musica, & anco il Tuono; ilquale affirmauano esser misura commune de tutti i Suoni musicali; essendo che uoleuano, ch'ello fusse il più picciolo d'ogn'altro. Et se bene gli Antichi hanno dimostrato questa lor Massima harmonia contenersi tra Quattro termini, & che tra loro si ritrouassero tutte le semplici Consonanze, che noi hora chia-page 105 Secondo. 105 chiamiamo perfette & anco il Tuono; tuttauia non si ritrouando in esso quelle Consonanze, le quali chiamiamo Imperfette; che sommamente sono all'Vdito grate; & da i Musici nelle lo ro cantilene grandemente poste in uso; ui uoglio dimostrar questa medesima Massima harmonia accresciuta al numero de Cinque termini & Quattro interualli, i quali conteneranno medesimamente non solo la Geometrica, l'Arithmetica, & l'Harmonica al modo loro; ma anco la Contr'harmonica, & qual si uoglia consonanza; insieme con le forme del Tuono maggiore & del minore. Questo, disse M. Adriano; ci sarà molto caro; m'auanti che passiate più oltra, dateci un'essempio di questa loro Massima perfetta & ueramente mirabile harmonia, ui prego; percioche mi nasce di dimandarui un dubio sopra di essa. Io son contento, risposi; & ui dò lo essempio de questi quattro termini; come uedete qui notato: onde hauete à sapere, che Tutto quello, che ui hò descritto, intendono per Massima har monia. Stà bene; soggiunse M. Adriano. Io uedo hora, che tra 12. 9. 6. ui è la proportionalità Arithmetica, & tra 12. 8. 6. si troua l'Harmonica, ouer quella, c'hauete nominato di sopra Geometrica harmonia; ma per questo non ueggio la Geometrica. Et se è quella, c'hauete detto di sopra, che si contiene tra 12 & 8; ancora tra 9 & 6; parmi che questa non sia simile alla Geometrica, c'hauete mostrato nelle Istitutioni.1. par. c. 37. E' uero tutto quello, che dicete; messere, risposi; ma gli Antichi intendeuano anco questa esser proportionalità Geometrica; perche si assimiglia à quella, ch'io ui mostrai in questa cosa;
che tanto rende molteplicato il Massimo termine col Minimo, quanto molteplicati i due mezani tra loro; come potete uedere; percioche tanto uiene 72. molteplicato il 12. per il 6. quanto il 9. molteplicato per 8. Ma questa maniera di Proportionalità i nostri Mathematici nominano Discontinua, ò Discreta, come la uogliamo dire; & è (come hauete ueduto) costituita tra quattro termini. Quella poi, ch'è posta fra tre solamente, chiamano Continua; come hauete ueduto nelle due altre. Adunque; soggiunse il Merulo; chiamaremo questa proportionalità Geometrica discontinua, per quello ch'io intendo. Cosi stà bene, risposi. Voglio anch'io (aggiunse il Viola) dimandarui una cosa; Che cosa è corpo Cubo? del quale n'hauete fatto mentione. Corpo cubo (gli dissi) si nomina quello, il quale per ogni uerso si troua equale, & hà le sue superficie ò facciate, equali, & equali i suoi lati, & è fatto propriamente come un Dado, à questo modo. Hora
CVBO
intendo benissimo soggiunse egli & resto satisfatto; percioche considero hora i Dodici lati, gli Otto angoli, & le Sei superficie; le quali di sopra hauete commemorato. Et hò finalmente anche compreso Quattro angoli solidi. Ma ui uoglio ancor dire; ch'io non sò uedere in questi termini tanta Harmonia perfetta, com'essi dicono, che ui sia. Percioche, se li uogliamo considerare inquanto alla compositione; se fussero tirrate quattro chorde sopra un'Istrumento sotto la ragione de tali proportioni, & fussero insieme percosse; s'alcun uorrà dire, che facciano Con sonanza, non che Massima & perfetta harmonia; costui si potrà ben connumerare con quellipage 106 106 Ragionamento quelli, che non hanno giudicio delle cose della Musica, perche l'Interuallo, ch'è compre so tra i numeri, ò termini 9 & 8, è il Tuono; per quanto ci hauete insegnato, il quale quanto sia perfettamente dissonante, lo dirà uno, che fusse al tutto sordo. Ma se 'l si dirà che non considerassero questa Massima harmonia à questo modo, ma in quanto conteneua tutte le Consonanze; questo sarebbe anco errore; essendo che (come detto hauete) in quest'ordine mancano molti Interualli consonanti, iquali appresso de noi so no in frequente uso. Però bisogna dir, che tale Harmonia non si possa chiamar da questo, ne Massima, ne Perfetta; ma si bene secondo 'l loro modo: percioche contiene solamente tutti quelli Interualli semplici, che appresso di loro erano riputati consonanti. Voi dite bene M. Francesco, soggiunsi; ma mi penso che gli Antichi non la chiamassero Massima & Perfetta harmonia solamente per questo; ma ancora perche in se contiene l'Harmonia del Cubo, di sopra da me dichiarata; & perche in lei (com'hò mostrato) sono insieme aggiunte le tre nominate Proportionalità; percioche mi dò da intendere, che molto ben sapeuano, che l'Tuono non è Interuallo consonante. Et se lo chiamauano più picciolo d'ogn'altro suono; penso, che haueano rispetto à questo; perche essendo 'l Tuono la differenza della Diapente & della Diatessaron, con tal differenza ueniuano à misurar gli altri Interualli; essendo che li considerauano come composti de Tuoni & de Semituoni. Onde lo chiamarono Misura commune; & Minimo de gli altri suoni; rispetto alla Misura, la quale è sempre minor di quella cosa, che da lei uien misurata. Intendendo però questo sanamente; come il Braccio che misura 'l panno; ouer l'Vnità, che misura & numera gli altri numeri; percioche altramente non sarebbe uero, poi che il Semituono è d'esso minore, & come sua parte. Questo credo anch'io; disse di nuouo il Viola; ma perche non hò altro, che dimandarui sopra di questo, ui essorto à seguitare il uostro ragionamento; & dir quello, che uoleuate. Cosi uoglio fare; risposi: ma di questo ne ragionerò à Dio piacendo ne i Libri de i miei Sopplimenti.Lib. 8. c. 4. 5. & 6. La onde douendo seguitar quello che segue, ascoltate la proposta.

PROPOSTA XIII.

Si può dar quante Massime & Perfette harmonie si vuole; le quali conteneranno ciascheduna da per sè il Tuono maggiore, & lo Minore, con tutte le Consonanze, tra i suoi termini & le loro differenze.
SIANO adunque, per la Vndecima di questo nostro ragionamento, c. f. e. d. la proportionalità Harmonica & Contr'harmonica insieme aggiunte. Et sia cd. Dupla; ce. Sesquialtera; cf. Sesquiquinta; fd. Superbipartiente terza; fe. Sesquiquarta; & ed. Sesquiterza; alle quali dobbiamo aggiunger l'Arithmetica & la Geometrica. Per ritrouar l'Arithmetica, raddoppio, secondo 'l modo mostrato nelle Istitutioni;1. par. c. 36. c & d; & ne uiene g & h; i quali, per la Quinta dignità, contengono quell'istessa proportione, che si troua tra c & d. La onde essendo cd. Dupla; gh. simigliantemente uiene ad esser Dupla. Hora piglio la metà, di g. & h. aggiunti insieme, & faccio i. Dico hora gi. esser Sesquiterzo, & ih. Sesquialtero; percioche essendo n. la differenza, che si troua tra g & i; & contenendo g. quattro n. & i. contenendone tre; per la Definitione, gi. è Sesquiterzo. Simigliantemente; perche i. contiene tre n. & h. ne contiene due; però, per la Definitione, ih. uiene ad esser Sesquialtero. La onde, dico g. i. k. per la Vndecima definitione di heri; esser la ricercata proportionalità Arithme tica; poiche le differenze, che si trouano tra i termini. g. i. k. sono tra loro equali & simili alla differenza n. Fatto questo raddoppio simigliantemente f & e. & ne risulta k & l. Ondepage 107 Secondo. 107 Onde dico, che tra g. k. l. h. sono contenute quelle proportioni istesse, che sono collocate tra c. f. e. d. per la Quinta dignità nominata; cioè, gh. Dupla; gl. Sesquialtera; g k. Sesquiquinta; k h. Superbipartienteterza; kl. Sesquiquarta; & lh. Sesquiterza. Ma perche tanta è la proportione, che si troua tra g & i; quanta quella, ch'è tra l & h; & tanto rende moltiplicati gli estremi g & h. essendo che l'uno & l'altro danno 72; però, secondo che io dichiarai nella Precedente, dico; che tra g & i. & tra l & h. habbiamo la proportionalità Geometrica. Hauendo ancora mostrato, che gh. è Duplo; per la Decimasettima di heri; gl. sarà Sesquialtero, & lh. Sesquiterzo. Certo è, per quello ch'io hò mostrato, che i & h. è Sesquialtero; il perche, per l'istessa Decimasettima, g & i. uiene ad esser Sesquiterzo. Se adunque da ih. che è Sesquialtero, leuaremo gi. Sesquiterzo; per la Ventesima sesta del passato ragionamento, restarà i & l. che sarà Sesquiottauo. Simigliantemente; se da gi. Sesquiterzo leuaremo gk. Sesquiquinto, per la Ventesimasetti ma di heri; uerrà k & i. Sesquinono. Onde si uede, che tra g. k. i. l. & h; sono contenute le forme de tutti gli Interualli consonanti. Et anco quelle del Tuono maggiore & del
minore. Però dico g. k. i. l. h. costituir la Massima & Perfetta nostra harmonia, la quale contiene ogni Consonanza, & il Tuono maggiore; con lo minore, i quali sono parti d'esse Consonanze. Laonde hauendo prima dimostrato gh. esser Dupla; per la Definitione; gh. contiene la Diapason. Ma perche dimostrai gl. esser Sesquialtera; però gl. contiene la Diapente. Habbiamo ancora detto g & i. esser Sesquiterzo; adunque g & i. contiene la Diatessaron. Dimostrai ancora kl. esser Sesquiquarto; adunque kl. è l'interuallo del Ditono. Dichiarai etiandio gk. esser Sesquiquinto; onde dico gk. esser l'interuallo del Semiditono. Oltra di ciò mostrai i & l. esser Sesquiottauo: adunque i & l. è l'Interuallo (per la Nona proposta di questo) del Tuono maggiore. Et perche k & i. è Sesquinono; però (per l'istessa Nona) k & i. è quello del Tuono minore. Più oltra: ui dimostrai kh. essere Superbipartienteterza; adunque, per la Decimasettima definitione, c'hoggi u'hò mostrato, kh. è l'Interuallo dell'Hexachordo maggiore. Cosi ancora dimostrai hm. essere Tripla; adunque hm. è la forma della Diapason diapente. Dimostrai simigliantemente lm. esser Quadrupla; per consequente lm. è l'Interuallo della Disdiapason. Ma quello della Disdiapasonditona è mk. percioche dimostrai tale interuallo esser Quintuplo: come etiandio dimostra il g. esser Sestuplo; onde nasce la Disdiapason diapente. Dico ancora i & o. essere Duplasesquiquarta, doue ha la sua forma la Diapason col Tuono maggiore appresso. Et si come l & f. uiene ad essere Supertripartiente quinta, la quale, per la Deciaottaua definitione d'hoggi, è la forma dell' Hexachordo minore; cosi kn. è Triplasesquiterza, & è l'interuallo della Diapason accompagnata con l'Hexachordo maggiore. Per concludere adunque potete hora ueder dimo-page 108 108 Ragionamento dimostrato tutto quello, che si contiene nella Proposta, come far douea. Et di più ancora; hauendoui dichiarato molt'altre cose, le quali uoglio che crediate, che cosi siano; ancora ch'io non l'habbia dimostrate; percioche quando poi uorrete, ui dimostrerò il tutto; acciò mi crediate, & mi habbiate per huomo senza inganno. Disse allora M. Adria no; Queste cose sono quasi t utte dimostrate; per qual cagione adunque uolete uoi, che non ui prestiamo fede? Ma uerament e questo è stato un lungo tiro; & ui prometto, ch'io mi son tanto satisfatto, quanto di cosa, che fin'hora habbiate dimostrato; percioche è cosa molto bella, sottile, ingegnosa, & diletteuole. Il Signor Desiderio anche lui soggiunse; Veramente è cosa, che può dilettare; poiche dimostra congiunte insieme molte cose, le quali, oltra l'esser (com'hauete detto M. Adriano) bella & ingegnosa; è anco piena di dottrina. Ripigliò M. Adriano; Veramente ch'è cosi; ma queste cose non sono per ogn'uno; massimamente per quelli, che sono di grosso intelletto; perche oltra le molte stenti, che farebbono nel uolerle apprendere; potrebbono anco forse impazzire. Dite pure Messere la cosa come ella stà; disse M. Claudio; sono Noci moscate da non porre auanti i porzi; ma si bene bisogna porli auanti le Ghiande, come cibo loro proprio. La cosa è uera; dissi; & per dirui, resto molto consolato; poi ch'io uedo gli amici miei tanto cari & di tanto sano giudicio, come sete uoi, restar satisfatti. Et ciò mi dà animo di caminar più inanti, & di non temer fatica. Et per questo auanti che ui dimostri alcun'altra cosa, ue ne uoglio dimostrare una molto bella, ingegnosa, & forse (dirò cosi) anche noua; Però state ad udire.

PROPOSTA XIIII.

Diuiso il Quadrato geometrico in Sei Parallelogrammi equali; Se noi tiraremo una retta linea da un'angolo di esso Quadrato sopra il lato opposto; di modo che lo diuida in due parti equali; tra le linee de i lati de i Parallelogrammi, fatte da i i segamenti della retta, nasceranno tali parti, che paragonate l'una con l'altra, ci daranno le forme de tutte le consonanze Musicali.
TAVOLApage 109 Secondo. 109 SIA adunque il Quadrato a. b. c. d. diuiso primieramennte in sei Parallelelogrammi equali a. b. e. f: e. f. g, h: g. h. i. k: i. k. l. m: l. m. n. o, & n. o. p. q. di maniera che ciascun di loro sia la Sesta parte di tutto 'l Quadrato, a. b. c. d. Fatto questo tiraremo dall'angolo a. la linea ap. di modo che tagli la cd. in due parti equali in punto p. & sia cp. la metà intiera di cd. & il simile sia pd. Et la ef. uenga diuisa dalla ap. in due parti; cioè, in eq. & qf. la gh. in gr. & rh: la ik. in is. & sk: la lm. in lt. & tm: & ultimamente la nq. in nu. & uo. di maniera che eq. uenga ad esser la sesta parte dell'intiero lato di ciascun parallelogrammo; gr. due: is. tre: lt. quattro: nu. cinque; & cp. ouer pd. sei. Et di nuouo: uo, uenga ad esser sette parti: tm otto: sk. noue: r. h. dieci: qf. undeci; & ab. dodeci. Dico hora, che tra le parti de i lati ef. gh. ik. lm. no. & cd. fatte da i segamenti della ap; & tra 'l lato ab. ritrouaremo le forme de tutte le Consonanze musicali. Percioche essendo ab. alla cp. ouer pd. Dupla; & la Dupla, per la Definitione, la forma della Diapason; seguita, che ab. & cp. ouer. p. d. sia la forma della Diapason. Et perche ab. contiene tutta la tm. & la sua metà; Però, per la Definitione, queste sono in proportione Sesquialtera. Ma se la Sesquialtera, per la Definitione, è forma della Diapente; adunque ab. & rm. contengono la Diapen te. Ancora perche ab. contiene una fiata sk. & una sua terza parte; però ab. & sk. contengono la Sesquiterza; essendo poi questa proportione la forma della Diatessaron; seguita, che ab. & sk. sia la sua forma. Di più rh. & tm. sono in Sesquiquarta proportione; percioche rn. contiene tm. & la sua quarta parte; essendo la Sesquiquarta forma del Ditono; seguita che rh. & tm. sia la forma di esso Ditono. Oltra di questo; perche ab. contiene rh. & di più una sua Quinta parte; però, per la Definitione, dico ab. & rh. esser Sesquiquinta; La onde essendo questa proportione la forma del Semiditono; consequentemente ab. & rh. uiene ad esser la forma di questo Interuallo consonante. Et perche sk. contiene tm. con una sua ottaua parte; Però dico, sk. & tm. esser Sesquiottauo. Ma essendo, per la Nona di questo il Sesquiottauo la forma del Tuono maggiore; però diremo, che sk. & tm. contengono la forma di questo Tuono. Vltimamente (perch'io non uoglio perdere più tempo in dimostrarui tutto quello, che si potrebbe) dico; perche rh. contiene sk. con una sua nona parte; ih. & sk. esser Sesquinono. Ma 'l Sesquinono, per l'istessa Nona proposta, è la forma del Tuono minore; adunque rh. & sk. è la forma del Tuono minore. Et questo è tutto quello, che sommariamente ui hò uoluto dire, & dimostrare; cioè, che tra queste Parti sono contenute le forme delle Consonanze & Interualli semplici, & le Forme del Tuono maggiore & del minore, lasciando da un canto il dimostrarui le forme delle Composte; percioche sono da se stesse, per quello che fin'hora habbiamo ragionato, conosciute. Onde quando uorrete da uoi stessi potrete con facilità uedere, che cotali Forme di una in una tra le già nominate parti si ritrouano; & per più uostra commodità potrete uedere, & far da uoi stessi le dimostrationi de quelli Interualli, c'hò lasciati; aiutate dalla seguente Tauo la, ch'io ui propongo; nellaquale trouarete. 45. Relationi di numero à numero, che sono le forme de quelli Interualli; à i quali saranno accommodati. Hauendo il Signor Desiderio ueduto cotal cosa, tutto ammiratiuo disse; Veramente che questa è stata una bella inuentione; & si uede, che le proportioni della Musica sono tutte contenute (come molte fiato hauete detto) nel numero Senario; perche alle proue, & alle Dimostrationi, c' hauete fatto tante fiate, pazzo in tutto & balordo sarebbe colui, che negar le uolesse. Ma passate pur innanzi, che ui sò dire, c'habbiamo hoggi hauuto alquante buone lettioni. Già che hauete fatto mentione del Senario; risposi io ui uoglio anco auertire una cosa, degna di consideratione; che se uoi porrete mente alle diuisioni fatte del proposto Quadrato, ritrouarete in lui non senza gran marauiglia una grande harmonia; Percioche se lo considerarete diuiso ne i Parallelogrammi, ritrouarete per un uerso il numero Senario; essendo di esso datto Sei parti; come si può comprende re dal Parallelogrammo e. f. g. h. ouer dal l. m. n. o. imperoche ciascheduno di loro è la Sesta parte di tutto 'l Quadrato pro-page 110 110 Ragionamento
¶ Tauola de 45. Relationi, ò Proportioni, che si trouano tra i Numeri intesi
nella diuisione del Quadrato geometrico, che sono le Forme de gli Inter
terualli; che s'adoperano nella Musica.
proposto. Ma considerandolo diuiso per l'altro uerso, ritrouarete il numero Quaternario; percioche il Triangolo a. c. p. uiene ad esser la Quarta parte di tutto il detto Quadrato; come è noto à tutti quelli, c'hanno giudicio delle cose Geometriche; il che ui potrei anco facilmente dimostrare; che per non andare in lungo, lascierò à uoi altri questa impresa. Solamente ui uoglio dire, che diuidendo questo Quadrato in Triangoli della grandezza del Triangolo a. c. p. ne hauerete quattro, che saranno Orthogonii; cioè, che haueranno un'angolo retto; com'è l'angolo a. c. p. del nominato Triangolo. Di maniera che da questo potrete chiaramente comprendere, quanta forza habbiano questi due numeri Quaternario & Senario nelle Musicali harmonie. Voglioui finalmente dire, che se ui uerranno alle mani i miei Otto libri, ch'io chiamo Sopplimenti Musicali; i quali mol te fiate ui hò nominati; & piacendo à Dio uederete un giorno & presto in luce, & leggere te il Cap. 3. del Lib. 3. ritrouarete in questa materia cose che ui piaceranno assai; & forse non più udite, ma non più di questo. Inteso questo M. Adriano, disse, Ancora io uoglio, dire, che questa è una bella, sottile, & dotta inuentione; & che ui si potrebbe sopra di essa far molti belli quesiti, che mi uanno per la mente; & dirui anco, che se haueremo de queste lettioni, ui prometto ch'andranno per noi ben le cose; Però non ui uoglio più tenere à bada; onde seguitate pur M. Gioseffo quello, che ci uolete dire. Fin hora Messere,page 111 Secondo. 111 sere, gli dissi, habbiamo ragionato intorno quelli Interualli, che nascono dell'harmonica Mediocrità; onde è cosa giusta hormai, che passiamo più oltra, & parliamo de quelli, che sono minori de loro, i quali non nascono per cotal modo; ma sono differenze, che si trouano tra i nominati; come sono i due Semituoni, maggiore & minore, & il Com ma. Però uederemo hora quali siano le forme loro, & in che Genere di proportioni siano contenute. Incominciando adunque diremo.

PROPOSTA XV.

L'Interuallo del Semituono maggiore è compreso dalla proportione Sesquiquintadecima.
STETTE un gran pezzo ad ascoltare M. Claudio; ilquale hauendo udito questa proposta disse; In qual modo la dimostrarete M. Gioseffo? Hora lo intenderete gli dissi, ascoltate; Per il Corollario della Ventesima ottaua di heri, è manife sto, l'interuallo Sesquiquintodecimo esser la differenza che si troua tra lo Sesquiterzo, & lo Sesquiquarto; Ma essendo lo Sesquiterzo (come tante fiate hò replicato) la forma della Diatessaron, & lo Sesquiquarto quella del Ditono, non è dubio, che 'l Semituono maggiore (per la sua Definitione) uiene ad essere tal differenza. La onde essendo ella contenuta dalla proportione Sesquiquintadecima; ne seguita ancora, che l'Interuallo del Semituono maggiore sia contenuto dalla Sesquiquintadecima proportione. Et questo è quello, ch'io ui douea dimostrare. Ogni cosa torna bene disse allora M. Claudio; Et io seguiterò risposi à dimostrarui; che

PROPOSTA XVI.

L'Interuallo del Semituono maggiore è Superparticolare.
CHE u'induce al presente (soggiunse il Signor Desiderio) di prouar, che questo Interuallo sia Superparticolare? Perche uoglio con ogni mio potere (risposi) leuarui totalmente dalla fantasia; che questo sia quello, che adoperauano gli Antichi ne i lor Tetrachordi, & usauano nelle lor cantilene. Non bastaua sapere aggiunse ancora, che questo che usiamo sia il maggiore, & quello che elli adoperauano era il minore? Bastaua si, gli dissi; quanto al saperlo ad un certo modo; ma non bastaua al saperlo semplicemente; acciò non haueste qualche fiata à credere, che 'l loro maggiore & minore siano simili à i nostri maggiore & minore. La onde ui uoglio dimostrare, che i nostri sono compresi da proportioni Superparticolari; essendo che i loro (come hauete potuto comprendere dalla dichiaratione della Ventesima seconda, & della Ventesima terza definitione d'hoggi) sono Superpartienti; se ui ricordate. Me ne ricordo & resto satisfatto; disse il Signor desiderio; però seguitate il uostro parlare; & perdonatemi, s'alle fiate interrompo il uostro ragionamento. Questo importa poco; risposi; però ascoltate la dimostratione; la quale anderà in questo modo. Quell'Interuallo, del quale il termine maggiore contiene il minore una fiata & una sua parte Aliquota; per la Quinta definitione di heri, è Superparticolare; ma il Sesquiquintodecimo è sottoposto à tal legge; percioche 'l maggior termine, il quale è 16. contiene lo minore, ch'è 15. una fiata, & di più una sua Quintadecima parte, la quale è detta Aliquota; adunque l'interuallo Sesquiquintodecimo è Superparticolare. Ma perche, per la Precedente; il Semituono maggiore è compreso da tale Interuallo; però dico, che l'Interuallo del Semituonopage 112 112 Ragionamento no maggiore (come dimostrar ui douea) è Superparticolare. Ma passiamo ad un'altra Proposta; percioche il tutto è chiaro,

PROPOSTA XVII.

L'Interuallo del Semituono minore è contenuto dalla proportione Sesquiuentesima quarta.
L'INTERVALLO del Ditono è contenuto dalla Sesquiquarta proportione; & quello del Semiditono dalla Sesquiquinta; quell'Interuallo, anco per il quale il Ditono uiene à superar lo Semiditono, per la Definitione, è il Semituono minore; ma l'Interuallo, per il quale la Sesquiquarta sopr'auanza la Sesquiquinta; per la Ventesimanona proposta di heri; è la differenza, che si troua tra queste due proportioni; adunque tale Interuallo è la differenza, che si troua tra 'l Ditono & lo Semiditono. Ma perche tal differenza è interuallo Sesquiuentesinoquarto; Però si conclude, il Semituono minore esser contenuto dalla proportione detta, come bisognaua dimostrare. Et à questa uoglio, che aggiungiamo, per tener l'ordine, che si è tenuto nell'altre; che

PROPOSTA XVIII.

L'Interuallo del Semituono minore è collocato tra i Superparticolari.
ET per dimostrar questa, breuemente vi uoglio dire; per la Quinta definitione del giorno passato; che Quella proportione è Superparticolare, la quale hà il suo termine maggiore di tal maniera, che contenga il minore, & una sua parte Aliquota. Et perche la Sesquiuentesimaquarta è di tal natura; percioche il suo termine maggiore, che è 25. contiene il minore, che è 24. una fiata & una Ventesima sua quarta parte; però dico, che la Sesquiuentesima quarta è contenuta nel Genere delle proportioni tra i Superparticolari interualli; ma tale proportione; per la Precedente; è la forma, ouero interuallo del Semituono minore; Adunque tale Interuallo è collocato tra i Superparticolari. Et questo è quello, che breuemente, & succintamente; per non molteplicare in parole; ui hò uoluto dimostrare. Questa cosa è espedita; disse à questo M. Adriano; onde tocca la uolta ad un'altra. E' cosi Messere; però ascoltate, gli dissi;

PROPOSTA XIX.

Se 'l si aggiungerà il maggiore al minor Semituono; quello che verrà, sarà Tuono minore.
SIANO adunque a & b. minimi termini della proportione del Maggior semituono; & cd. quelli del Minore. Continuo, per la Seconda proposta di heri, questi due Interualli l'un dopò l'altro; molteplicando a in c. & ne uiene e. & a in b. & ne nasce f. Simigliantemente b. in d. & ne risulta g. Hora; perche e & f. nascono dalla molteplicatione di c. in a. & in b. essendo ab. Semituon maggiore, per la Quinta dignità
dico,page 113 Secondo. 113 dico, che e. & f. uiene ad essere anco l'interuallo del Semituono maggiore. Ancora; perche f. & g nascono dalla molteplicatione di b. in c. & in d. essendo c. et d. Semituon minore; dico, per l'istessa Dignità, f & g. esser'etiandio Semituono minore. Et perche e. contiene il g. vna fiata & vna sua nona parte; Però, per la Definitione de i Superparticolari, e. uiene ad esser con g. Sesquinono. Ma per la Nona proposta di questo, l'interuallo Sesquinono è quello del Tuono minore; adunque e & g. è l'interuallo del Tuono minore. Ma e & g. sono il Semituono maggiore & lo minore insieme aggiunti; adunque per la Quarta dimanda; Se 'l si aggiungerà il Semituono maggiore al minore, nascerà il Tuono minore; come ui douea dimostrare. Hora aggiungerò questo Corollario; che

COROLLARIO.

De qui auiene, che leuato l'un de questi due Interualli; cioè, il maggiore, ò minor Semidituono dal Tuono minore; necessariamente resta l'altro.
ET perche credo, che questo vi sia manifesto; però seguiterò à dimostrarui un'altra proposta, & sarà questa.

PROPOSTA XX.

Il Comma è contenuto dalla proportione Sesquiottantesima, tra i Superparticolari.
INTESO che hebbe M. Adriano questo, subito disse; Questa proposta hà due capi, per quel che si può uedere. Prima volete dimostrare, che 'l Comma hà la sua forma dalla Sesquiottantesima proportione; dopoi, che questa Forma sia collocata tra i Superparticolari. Onde credo, che farete due dimostrationi. Cosi son per fare Messere; risposi. Et per incominciar dalla prima, dico; Per la Trentesimaprima di heri fù concluso; che Se da un Sesquiottauo si uorrà cauare vn Sesquinono, quel che uerrà, sarà un Sesquiottantesimo. Et, per il Corollario dell'istessa proposta, habbiamo, che tale Interuallo è la differenza che si troua tra 'l Sesquiottauo & lo Sesquinono. Ma la forma del Tuono maggiore, per la Nona proposta di questo, è il Sesquiottauo; & quella del minore, per la medesima Proposta, è il Sesquinono. Et il Comma (per la Ventesimaquinta definitione d'hoggi) è quell'Interuallo, per il quale il Tuono maggiore sopr'auanza 'l minore; però essendo la proportione Sesquiottantesima la forma di tal differenza; Seguita, che 'l Comma sia contenuto dalla proportione Sesquiottantesima. Et perche 'l termine suo maggiore, ch'è 81. contiene 80. ch'è il minore vna fiata, & una sua ottantesima parte, la quale è parte Aliquota; però, per la Definitione de i Superparticolari, la quale è, che quell'interuallo è Superparticolare, del quale il termine maggiore contiene lo minore una fiata, & una sua parte Aliquota. Seguita (ritrouandosi l'interuallo Sesquiottantesimo sotto posto à cotali conditioni) ch'ello sia collocato tra i Superparticolari. Et questo è tutto quello, che secondo la proposta dimostrar ui douea. Questo si è inteso benissimo; disse il Viola. Ma già che siamo à ragionar del Comma; diteci [[per]] vostra fè; Se 'l si può saper la quantità deter minata de i Comma, che sono contenuti ne i Tuoni & ne i Semituoni, che ci hauete dimostrato. Et se non si può sapere, vi [[pre]]go à pigliar questa fatica, di dimostrarci il vero di cotesta co sa, se 'l si può fare; acciò leuiate ogni dubio dalle menti nostre. Si può dimostrar benissimo; risposi; & ui uoglio satisfare; per mostrarui, che quello, c'hò detto nelle Istitutioni2. par. c. 4. in questo proposito, è uero. Ma perche 'l nostro Comma è molto differente da quello de gli Antichi; come ui dichiarai sopra la Definitione Ventesimasesta d'hoggi; & etiandio sono quelli Interualli tutti, che sono minori della Diatessaron, dal Tuono maggiore in fuori; ch'appresso loro erano tenuti per dissonanti; Però di questo piglierò uolentieri l'assonto; accioche vi Dimost. Harm. H dimo-page 114 114 Ragionamento dimostri questa uerità ne i nostri Interualli, per satisfarui; poiche ne i loro BoetioMusicae libro 3. cap. 15. hà diligentemente dimostrato quel, che si potea dimostrare; oue leggendole potrete il tutto conoscere. Et accioche vediate, ch'io vi voglio seruire, incomincierò da questo capo, il quale più vniuersalmente è considerato, & proponerò à dimostrarui questo; che

PROPOSTA XXI.

Il Tuono maggiore sopr'auanza la quantità di noue Comma, & è minore de dieci.
PARMI; disse M. Adriano; se ben mi ricordo; che BoetioMusicae lib. 3. cap. 14. & 15. uoglia, che questo Tuono sia minor di noue Comma, & maggior di otto. Onde si uede in questo, che discor date da lui molto; doue nasce questo, di gratia? Nasce (dissi) che 'l Comma di Boetio è maggior del nostro; percioche la proportione Sesquiottantesima; la quale è la forma del vero Comma; è minor della Super. 7153. partiente. 524288. che è la proportione del Comma di Boetio; come conoscerete dalla dimostratione, onde dico. Sia a & b. la proportione del Tuono, proposto ne i suoi minimi & radicali termini. Et siano c & d. il Comma, contenuto ne i suoi minimi termini, ò numeri. Molteplico prima a in c & in d. onde ne viene e & f. dopoi molteplico c in b. & il prodotto sia g. Dico hora e & f. esser l'interuallo del Comma; percioche, Ogni numero (per la Quinta dignità) molteplicato in due altri, qual si vogliano; produce una proportione simile à quella, che tra i due numeri primi si conteneua. La onde essendo molteplicato c & d per a. non è dubio, che tra e & f. sia quell'istessa proportione, che si troua esser tra c & d. Il simile dico, ch'è tra e & g. percioche a b. sono molteplicati per il c. onde, si come tra a & b. si troua la proportione del Tuono; cosi quell'istessa si ritroua, per il detto Commun parere, ò Dignità, tra e & g. Fatto questo molteplico c in e. & d in f. & ne nasce h & i. Simigliantemente molteplico c in g. & ne uiene k. Dico hora h & i. esser la quantità de due Comma; cioè, del contenuto tra c & d. & del compreso tra e & f. & hk. esser il Tuono. Di nuouo molteplico c in h. & d in i. & ne risulta l & m. che sono tre Comma sommati insieme; & molteplico simigliantemente c. in k. & ne uiene n. La onde dico, per la Quinta dignità nominata, l & n. esser l'Interuallo del Tuono. Molteplico ancora c in l. & d in m. & ne nasce o & p. che per le ragioni dette, contiene quattro Comma; & c in n. & ne viene q. il quale con o. fà (per le ragioni addotte) l'interuallo del Tuono. Vn'altra fiata molteplico c in o. & d in p. & ne risulta r & s. i quali contengono cinque Comma; & c in q & nasce t. che con r. contiene simigliantemente il detto Tuono; come vi potrei di nuouo dichiarare; che, per non esser lungo, lascio da vn canto; essendo che hormai è cosa à uoi manifesta. Più oltra; molteplico c in r. & d in s. & anco c. in t. & ne uiene. u. x. y. di modo che tra u & x. sono sommati insieme sei Comma; & tra u & x. viene à contenersi il Tuono. Fatto questo da capo molteplico c in u. & d in x. & uiene Z & A. che contengono sette Comma; & molteplico c in y. & il produtto è B. il quale con Z. contiene l'interuallo del Tuono, Quest'ordine istesso tengo, molteplicando un'altra fiata c in z. & d in A. & c in B. & ne viene C. D. E. La onde dico, che C. D. contiene otto Comma; & C. E, il Tuono. Ancora con l'istesso modo molteplico c in C. & d in D. & ne risulta F. G. che contengono noue Comma; & ancora c in E. & nasce H. il quale insieme con F. contie ne medesimamente il Tuono. Fin qui vedete chiaramente, che 'l Tuono è maggior de noue Comma. Percioche se 'l si farà comparatione del Numero F. al numero G. & di nuouo di esso F. al numero H. essendo 'l G. maggior numero di H. non è dubio, che sarà anco (per la Trentesimasesta del Primo) minor la proportione di F. G. che quella di F. H. La onde essendo FG. interuallo, il quale contiene noue Comma; & FH. l'interuallo del Tuono Sesquiottauo ò Tuono maggiore; senza dubio alcuno seguita, che 'l Tuono maggiore sopr'auanza il numero de noue Comma; come dice la Proposta. Ma per dimostrarui, ch'ello sia minor de dieci, de nouo molteplico c in F. & d in G. onde ne uiene I & K. i quali contengono dieci Comma.page 115 Secondo. 115 Comma. Il perche molteplico anco c in H. & ne nasce L. che con I. simigliantemente, per le ragioni addotte al tre fiate, contiene il nominato Tuono. Vedete hora, come la cosa và al
riuerscio di prima; percioche I. è il numero maggiore, & K. il minore; onde, per la Trentesimasesta nominata ancora, si conclude; che tra I & K. sia maggior la proportione, di quello ch'è tra I & L. Per il che essendo I & K. dieci Comma aggiunti insieme, & I L. l'interuallo del Tuono; seguita, che maggior sia l'Interuallo de dieci Comma aggiunti insieme, che non è l'interuallo del Tuono maggiore. Et questo è tutto quello, che ui douea dimostrare, secondo la proposta. Questa è stata una lunga dimostratione; disse M. Adriano; ma non già difficile; per il bell'ordine, c'hauete tenuto. Però non hauendoci altro che dire sopra di questo; perche il tutto è chiaro; passate più oltra, ch'io son risolto de i Diesis, de i quali i nostri Moderni compositori segnano ne i loro canti, con quattro, cinque, & noue Comma; come nel Cap. 46. della Seconda parte delle Istitutioni hauete mostrato. Io non credo Messere, gli risposi; che siate stato fin'hora à chiarirui. Ma ascoltate quest'altra ch'io vi vo glio espedire in quattro parole.

PROPOSTA XXII.

Il Tuono minore è maggior de otto, & minor de noue Comma.
IL comma, per la Ventesimaquinta definitione di questo nostro Secondo ragionamento, è Interuallo, per il quale il Tuono maggiore sopr'auanza 'l minore; adunque il Tuono minore è minor del maggiore per un Comma. Se adunque il maggiore è più de noue; com'habbiamo dimostrato nella Precedente, & men de dieci Comma; il mi nore (leuatogli un Comma) verrà ad esser maggiore de otto, & minore de noue; come hauea proposto di dimostrare. Disse allora quasi ridendo M. Claudio; Queste dimostrationi co si facili mi piacciono assai; ond'io uorrei, che si potesse procedere in tutte à questo modo; ma perche sò, che non attendete ad altro, che à facilitar le cose; però non bisogna dirui altro; se non che seguitate quello, c'hauete incominciato. Passarò adunque dissi à dimostrarui; che

PROPOSTA XXIII.

Il Semituon maggiore sopr'auanza la quantità de cinque Comma, & è minore di quella de Sei.
Dimostr. Harm. H 2 ONDEpage 116 116 Ragionamento ONDE uolendoui dimostrar quel, che vi hò proposto, terrò l'ordine istesso, c'hò tenuto nella Precedente. Siano adunque a & b. minimi numeri del Semituono maggiore, & cd. i minimi del Comma. Molteplico prima a in c & d. & ne uiene e & f. dopoi molteplico c in b. ne nasce g. Dico hora ef. esser l'interuallo del Comma medesimamente; & e con g. esser quello del Semituono maggiore. Percioche, per la Quinta dignità; I termini di qual si uoglia proportione molteplicati per qual si uoglia numero, rendono l'istessa. La onde essendo cd. la proportione del Comma, & essendo l'uno & l'altro de questi due numeri molteplicati per lo a. seguita, che quel che uiene, che è e & f sia l'istessa proportione, che si troua tra c & d. Il simile dico anco di e & g. percioche moltepli cati a & b. che sono i minimi termini del maggior Semituono, [[per]] il c. ne uiene e & g. i quali; per la nominata Dignità; con a & b. sono simili in proportione. Hora molteplico e per a. & f per d. et ne uiene h & i. & molteplico anco g per c. & ne nasce k. Dico hora, che h & i.
è la proportione de due Comma; percioche essendo cd. la proportione d'un Comma, & ef. quella d'un'altro; sommati insieme ne risulta h & i. che fanno la proportione di due Simigliantemente, dico h & k. esser la proportione del Semituono maggiore; essendo che e. & g. è la proportione del detto Semituono; & essendo l'uno & l'altro de i due termini molteplicati per il c. per la Dignità già allegata; h & k. uiene à contener l'istessa proportione, che contiene e & g. Di nuouo molteplico h per c. & i anco per d. simigliantemente k. per c. & ne risulta l. m. n. Onde dico, ch'essendo (come di sopra hò prouato) h & i. due Comma sommati con cd il quale è uno lm. uengono ad essere tre Comma, & per la Dignità allegata; essendo h & k. l'interuallo del detto Semituono; molteplicati questi due numeri per il c. uengono medesimamente l & n. ad esser l'interuallo del Semituono maggiore. Questo stà bene, disse M. Adriano, & non si può negare; ma qual segno mi farà certo, che cinque Comma siano minori, & sei siano maggiori del Semituono maggiore? Quell'istesso Messere, risposi; che ui hò etiandio mostrato nella Precedente; ilquale ui farò uedere, quan do sarà il suo tempo. Soggiunse allora egli; Stà bene; seguitate pure. Et io seguitando dissi. Molteplico hora l con il c. & m con il d. & ne uiene o & p. i quali dico esser l'Interuallo di quattro Comma sommati insieme; per le ragioni addotte di sopra. Percioche hauendoui dimostrato lm. essere tre Comma, & c. d. un Comma; è necessario, che sommati insieme questi Interualli, faciano il numero de Quattro. Ma molteplicato medesimamente n per c. nasce il q. il quale dico esser con o. il maggior Semituono; percioche (come hò etiandio dimostrato) l & n. che sono i termini dell'istesso Semituono, sono communemente dal c. molteplicati. A' voi dico hora Messere; vedete questi tre termini, ò numeri o. p. q. i quali sono in tal maniera ordinati l'un dopò l'altro, che 'l maggiore uà in anzi al minore; ò per il contrario il maggior segue il minore? Lo uedo disse; ma che uolere inferire per questo? Voglio inferire; soggiunsi; che quando vederete nascere i numeri per altro uerso allora sarà segno manifesto, che quello ch'io uoglio dire, & ui hò detto, sia vero. Onde state auertito, che resto lo uederete. Molteplico adunque di nuouo, seguendo l'istesso ordine, c in o. & d in p. & ne risultano r & s. i quali (per le ragioni addotte) contengono cinque Comma; come ui dissi; de i Quattro contenuti tra o & p. & di uno contenuto tra c & d. Onde molteplicando ancora c in q. produce t. il quale con r. contiene il nominato Semituono;page 117 Secondo. 117 tuono; il perche si uede (per la Trentesima sesta di heri) che l'Interuallo rs. è minore dell'interuallo rt. & per consequente cinque Comma esser minori d'un Semituono maggiore. Ma se da capo, tenendo l'ordine, che fin'hora si è tenuto, molteplicaremo c in r. & d in f. ne uerà u & x. che conteneranno; per le istesse ragioni sei Comma; cioè, cinque contenuti tra r & s. & uno contenuto tra c & d. Hora molteplicando di nuouo c in t. nascerà y. il quale con u. contenerà (per le ragioni già tante volte dette) il maggior Semituono. Ma vedete hora Messere, che questo ordine u. x. y. non è come gli ordini precedenti; percioche y. è maggior numero, che non è x. adunque u & y. contengono, per la Trentesima sesta nominata, minor proportione, che non contengono u & x. Et per consequente il Semituono maggior è minore de sei Comma, & maggior de Cinque; come, secondo che ui hò proposto, ui douea dimostrare. Questo non si può negare Messere; disse il Viola. Ma se 'l Semituono maggiore è più de cinque, & meno de sei Comma; che pazzia è quella di coloro, i quali uogliono determinar quello; che la Scienza lascia indeterminato? Veramente è pazzia, dissi. Ma quando ui uoleste anco chiarir per un'altra strada con la prattica, & ueder di quanta quantità questi Comma, superano, ò sono superati dal Semituono nominato; sommando insieme cinque Comma, & cauando quel, che nasce dalla proportione del Semituono; vedreste, che ui auanzarebbe la proportione Super. 25406797. partiente. 10460353203. Et di tal quantità bisognerebbe dire, che 'l Semituono maggiore sopr'auanzasse cinque Comma. Ma se cauarete la proportione del detto Semituono dalla proportione, che nasce de sei Comma adunati insieme, ritrouarete, che uerrà la proportione Super. 8428209443. partiente. 838860800000. contenuta, com'è l'altra ancora ne i suoi termini radicali. Et questa è quella quantità, per la quale Sei Comma sopr'auanzano 'l maggior Semituono. Qui soggiunse il Merulo; Questo è per la dimostratione tanto chiaro; che sarebbe al tutto balordo colui, che lo uolesse negare. Voglio ancora dimostrarui (allora soggiunsi) quest'altra in questo proposito.

PROPOSTA XXIIII.

Il Semituono minore è maggior di tre Comma, & minor di quattro.
ET terrò l'istesso ordine delle Precedenti. Siano adunque a & b. i minimi termini del Semituono minore, & c con d. quelli del Comma. Primieramente molteplico a in c. & in d. & nasce e & f. dopoi molteplico c in b. & ne uiene g. Dico e &
f. contenere l'interuallo del Comma; percioche moltiplicato a in c & in d. per la Quinta massima, ò dignità; produce e & f. i quali contengono l'istessa proportione, ch'è contenuta tra cd. Il simile dico di e & g. che contengono lo Semituono minore; percioche molteplicati a & b. che sono i suoi minimi termini, per il c. per l'istessa Dignità, produce e & g. i quali contengono la proportione contenuta tra a & b. Hora molteplico c in e. & di in f. & nasce h & i. che contengono due Comma; percioche sono sommati insieme cd & ef. che fanno tal somma. Molteplico etiandio c in g. & ne uiene k. il quale con h. contiene la proportione di e & g. [[per]]cioche molteplicato il c con e. & con g. produce la proportione h & k. simile ad essa e & g. Di nuouo molteplico h per il c. & i per il d. & producono l & m. che contengono tre Dimost. Harm. H 3 Comma;page 118 118 Ragionamento Comma; percioche sono sommati insieme il Comma cd. & li due h & i. Hora moltiplico k per il c. & ne uiene n. il quale con l. contiene il nominato Semituono; essendoche da un'istesso numero, che è c. sono moltiplicati h & k. La onde si uede, ch'essendo m. maggior numero di n. per la Trentesimasesta del passato giorno, si troua minor proportione tra lm. che tra ln. & per consequente maggiore è la proportione del Semituono minore, che quella di tre Comma. Se con quest'ordine istesso moltiplicherò etiandio c in l. & di in m. uerrà o & p. i quali conteneranno quattro Comma sommati insieme; cioè, i tre l & m & uno colloca to tra c & d. Resta hora à moltiplicar c. in n. percioche da tal molteplicatione nasce q. il quale con o. contiene il Semituono minore essendoche c. fù molteplicato in l & in n. Et per che q. è maggior numero, che non è p. però, per la Trentesimasesta nominata, è maggior la proportione, che si troua tra o & p. che quella che è tra o & q. Ma perche tra o & p. si trouano sommati quattro Comma, & tra o & q. si troua il nominato Semituono; però concludo & dico; che maggiore è l'Interuallo, ò quantità de quattro Comma, che non è quello del Semituono minore. Et per consequente questo Interuallo esser minore de quattro Comma; come ui douea dimostrare. Io credo, disse M. Adriano, che si come hauete detto, che la uerità della Precedente si possa anco ritrouar con la prattica, sommando insieme i Comma; & sottrahendoli il Semituono; cosi anco si possa fare il medesimo in questa; percioche da questa & da quella, mi par che si possa cauare una ragione istessa. Cosi è ueramente Messere, risposi; ne ui uoglio sopra di questo fare altre parole; essendo ch'io credo, che dalla Precedente uoi siate molto bene istrutto del caso. Allora M. Francesco disse. Io hebbi sempre quest'opinione, che la Scienza non discordasse punto dalla buona Prattica; Però di questo non ui è dubio alcuno; & sarà bene, che uoi seguitate qualch'altra cosa. Parmi che qui sia il luogo; soggiunsi; de dirui qualche cosa dello Schisma & dello Diaschisma, auanti che passiamo più oltra, i quali erano considerati da gli Antichi; accioche di loro ne sapiate ragionare qual che cosa; quando ui tornerà in proposito. Dico ui adunque; che

PROPOSTA XXV.

Le proportioni del Schisma & dello Diaschisma sono incognite & irrationali.
AVERTITE però, che per Incognite & irrationali non intendo dire altro, se non, che non si possono descriuere con numeri Rationali; ma si bene con numeri Sordi & Irrationali; come diedi l'essempio, se ui ricordate, parlando nelle Istitutioni1. par. cap. 57. delle proportioni Rationali. Cosi dico esser le proportioni dello Schisma & dello Diaschisma. Et per uenire alla Dimostratione; Siano a & b termini, ò numeri minimi del Semituono minore; ouer c & d. quelli del Comma; gli uni & gli altri, per la Decimaottaua proposta di questo giorno; & per la Ventesima etiandio, Superparticolari. Per la Nona proposta del Primo nostro ragionamento, l'Interuallo superparticolare non riceue ne uno, ne più termini mezani, che lo diuida rationalmente in due, ne in più parti equali proportionali. La onde ab. & cd. restando in cotali parti in diuisibili; percioche sono Superparticolari; è impossibile, quando si diuidessero, che le parti loro fussero cognite & rationali. Onde ne segue; che non si potendo hauer la ragione de tal parti se non incognite
& irrationali; essendo li Schisma & li Diaschisma per la Vigesimasesta & Vigesimasettima Definitione di hoggi parti de questi Interualli, che tali parti siano incognite & irrationali; secondopage 119 Secondo. 119 secondo la proposta. Più oltra; nel luogo nominato delle Istitutioni dimostrai; che allora una proportione costituita ne i termini suoi radicali, si può diuidere in due parti equali; quando il suo maggior termine è numero Quadrato, & il minore è la Vnità; percioche allora il Quadrato & essa Vnita sono capaci d'vn termine mezano. Et perche tra a & b. simigliantemente tra c & d. non si ritrouano tali conditioni; ancora che a. sia Quadrato, & anco c. però è impossibile, che ne ab. ne cd. si possa diuidere in due parti equali, delle quali le proportioni siano cognite & rationali. Ma se pure è possibile; accioche tali parti, le quali sono i due Schisma, & li due Diaschisma congiunti siano noti & rationali ne i suoi minimi termini, i quali suppono, che siano e. f. g. procederemo in questo modo, dicendo E' manifesto, che essendo lo Diaschisma la metà del Semituono minore, & lo Schisma la metà del Comma; che è fg. & insieme congiunti faciano tutto 'l Semituono minore; ouer tutto il Comma; & eg. sia l'interuallo del Semituono minore, oueramente quello del Comma. La onde essendo le proportioni ef. & gf. contenute ne i lor minini termini; ef. simigliantemente è contenuta ne i suoi minimi termini; adunque sono i minimi termini del Semituono nominato, ouer del Comma. Ma ab. & cd. si ritrouano di tal maniera; adunque ef. saranno quei numeri istessi, che sono ab. ouer c d. cioè, è quell'istesso, ch'è b. ouer d. & g. quello, ch'è b. ouer d. Ma perche ab. & anco cd. sono numeri Contrase primi; però, per la Nona definitione di heri, non possono esser diuisi da altro numero, che dall'Vnità. Onde ne auiene, che ab. & cd. sono rationalmente indiuisibili. Et che se 'l si farà due parti de tali Interualli, & siano due Schisma, ò due Diaschisma; tali parti saranno incognite & irrationali; secondo la proposta. Più oltra; perche quella proportione, che si troua tra e & f. è quella, che si troua anco tra f & g. adunque e. uiene ad esser numero Quadrato, come è a. ouer c. & g. uiene ad esser la Vnità, come sono b. & anco d. ma il b. ouer il d. non è Vnità; adunque una cosa istessa è quello, che è Vnità, & quello che non è Vnità. Ilche è ueramente impossibile. Le proportioni adunque de i Schisma & de i Diaschisma non sono cognite & rationali; ma si bene incognite & irrationali; come ui douea dimostrare. Il perche da questa dimostratione si caua questo Corollario.

COROLLARIO.

Onde nasce, che di quelle Proportioni, che non hanno nelle lor Radici il maggior termine,prop. 7. primi in fine. che sia numero Quadrato; & il minore, l'Vnità; le Proportioni delle sue diuisioni sono incognite & irrationali.
HAVENDO il Sig. Desiderio vdito il fine della Dimostratione, & il suo Corollario, disse; Questo m'ha piaciuto grandemente; & credo anco, che quando i termini della proportione non fussero radicali; come intrauerrebbe nella Quadrupla, contenuta tra 8 & 2. & il 2. hauesse forza d'Vnità; allora. 8. uerrebbe ad essere il numero Quadrato, rispetto ad essa Vnità; & cosi tale proportione dal 4 si farebbe diuisibile; che ne dite di questo M. Gioseffo? Cosi è; Sig. mio risposi. Ma hauendoui fatto fin'hora questa cosi lunga digressione; uoglio che ritorniamo al nostro primo proposito. Onde uoglio che uediamo gli Interualli, che sono maggiori del Tuono, quanti Tuoni & Semituoni uengono à contenere; poi c'habbiamo incominciato à ueder, quante fiate il Comma tra gli estremi de i due Tuoni, & due Semituoni; maggiore & minore sia contenuto; acciò riportiate frutto da i nostri ragionamenti. Et per procedere ordinatamente incomincierò prima da i minori contenuti da minori proportioni, & di mano in mano uerrò à dirui de quelli, che saranno maggiori. Ascoltate adunque. Dimostr. Harm. H 4 PRO-page 120 120 Ragionamento

PROPOSTA XXVI.

Il Semiditono contiene vn tuono & vn Semituono l'vno & l'altro maggiore.
PER la Ventesima definitione d'hoggi, il Tuono maggiore è quell'Interuallo, per il quale la Diapente sopr'auanza la Diatessaron; adunque la Diapente è maggior della Diatessaron per vn tuono maggiore. Ancora, per la Ventesima seconda; il Semituono maggiore è quell'Interuallo, per il quale la Diatessaron è maggior del Ditono; adunque la Diatessaron sopr'auanza il Ditono per vn Semituono maggiore. Ma perche la Diapente sopr'auanza la Diatessaron per un Tuono maggiore, & la Diatessaron sopr'auanza il Ditono per un Semituono maggiore; per tanto la Diapente è maggior del Ditono per vn Tuono maggiore, & vn maggior Semituono. Ma per la Sesta proposta di questo si è dimostrato, che 'l Ditono & lo Semiditono nascono dall'harmo nica diuisione fatta della Diapente; essendo 'l Ditono una parte di tal diuisione; seguita, che 'l Tuono & lo Semituono l'uno & l'altro maggiore siano parti del Semiditono, il quale è l'altra parte di tale diuisione; & che 'l Semiditono contenga un Tuono & vn Semituono, l'vno & l'altro maggiore; come dice la proposta, & come ui douea dimostrare. Ma passiamo à dimostrar quella, che segue.

PROPOSTA XXVII.

Il Ditono contiene due Tuoni, l'un maggiore & l'altro minore.
QVEST'ORDINE non mi dispiace, disse il Viola. Hà del ragioneuole; rispose il Sig. Desiderio; percioche si uede le parti esser contenute nel loro Tutto. Mi piace; soggiunse M. Adriano; perche par, che si accordi con quelli, che componeuano gli Interualli maggiori con i minori. Dite bene Messere, disse M. Claudio, che pare; quantunque non sia cosi. Hor sù adunque, soggiunsi seguitando, per dimostrar questa, dirò in questo modo. Per la Ventesima definitione d'hoggi; il Tuon maggiore è interuallo, per il quale la Diapente è maggior della Diatessaron; & per la Ventesima prima; il minore è quella differenza, che cade tra la Diatessaron & lo Semiditono. Ma perche la Diapente supera la Diatessaron per un tuono maggiore, & la Diatessaron sopr'auanza lo Semiditono per vn tuono minore; però il Semiditono è superato dalla Diapente per vn Tuono maggiore & vn minore. Ma, per la Sesta proposta d'hoggi; la Diapente si diuide harmonicamente in vn Ditono, & in un Semiditono; adunque il Semiditono sarà vna parte di tal diuisione; & l'altra sarà il Ditono, & contenerà due Tuoni; l'vn maggiore & l'altro minore; come dice la Proposta; & come ui douea dimostrare. Oltra di questo, per l'Ottaua proposta di questo; il Tuon maggiore & lo minore nascono dalla diuisione harmonicamente fatta del Ditono; adunque il Tuono maggiore & minore, sono parti integrali del Ditono. Ilche cosi essendo, dico che 'l Ditono, secondo la proposta, contiene due Tuoni, l'un maggiore & l'altro minore; come ui douea dimostrare. La onde à questa soggiungerò, seguitando; che

PROPOSTA XXVIII.

La Diatessaron contiene due Tuoni; il maggiore & lo minore, co 'l maggiore Semituono.
DALLApage 121 Secondo. 121 DALLA Precedente è manifesto, che 'l Ditono contiene due Tuoni, l'un de i quali è il maggiore, & l'altro è il minore; Et per la Ventesima seconda definitione, la Diatessaron è maggior del Ditono per vn Semituono maggiore; ma il Ditono & lo Semituono maggiore reintegrano la Diatessaron; adunque la Diatessaron contiene il Tuono maggiore & lo minore, & anco il maggior Semituono. Più oltra; Per la Ventesima sesta proposta; il Semiditono contiene un uono & vn Semituono, l'uno & l'altro maggiore; ma la Diatessaron (per la Ventesima prima definitione) è maggior del Semiditono per vn Tuono minore; adunque la Diatessaron contiene due Tuoni l'un maggiore & l'altro minore, con vn Maggior semituono; secondo la proposta, come ui douea dimostrare. Il Sig. Desiderio à questo soggiunse; Non contiene adunque la Diatessaron due Tuoni sesquiottaui, & un minor Semituono; come uoleuano gli Antichi. Al quale rispose M. Adriano; In fatto si uede, che non è, come loro teneuano; se uogliamo che 'l Ditono & lo Semiditono siano consonanze. Et perche questo è cosa chiara; ascoltate quest'altra; diss'io; che ueramente non si può negare; che

PROPOSTA XXIX.

Tre Tuoni maggiori; oueramente due maggiori & vn minore, sopr'auanzano la Diatessaron.
TANTO sono tre Tuoni, quanto quell'Interuallo, che noi chiamiamo Tritono; & questo dal nome si può comprendere; siano poi tre maggiori, ouer due maggiori & un minore; poi che tra i primi & questi secondi non vi cade altra differenza, che quella del Comma; il che poco importa. Et ancora che questo sia manifesto dalla Precedente, essendo ch'un Tuono maggiore & un minore, con un maggior Semituono sono equali alla Diatessaron; & tre Tuoni sono maggiori de i tre Interualli nominati; tuttauia uoglio che dimostriamo questo con un'altro modo. Dico adunque prima; Per la Trentesimaquinta del primo ragionamento fù dimostrato; che Tre interualli Sesquiottaui sono più d'un'interuallo Sesquiterzo; Ma, per la Nona d'hoggi, tre Sesquiottaui sono tre Tuoni maggiori; & per la Decima definitione, l'interuallo Sesquiterzo è la forma della Diatessaron; adunque Tre tuoni maggiori, ouero il Tritono; come dir uolete; superano la Diatessaron consonanza; secondo 'l proposito; come primieramente dimostrar ui douea. Dopoi; perche 'l Tuono maggiore supera 'l minore, per la Ventesima quinta definitione riuoltata, per un Comma; però dico, Due tuoni maggiori & un minore, esser minori di tre tuoni maggiori per l'interuallo d'un Comma, ilquale Interuallo però non è maggior d'un Semituono minore; ne meno d'un maggiore; ne etiandio equale; come dalla Decimaquinta, dalla Decimasettima & dalla Decimanona proposta d'hoggi; & anco dalla Settima Dignità di heri, si può comprendere. Sopr'auanzano adunque due Tuoni maggiori & un minore la Consonanza Diatessaron; come ui douea dimostrare. Piu oltra ancora; nella Precedente hò dimostrato, che la Diatessaron contiene due Tuoni; l'vn maggiore & l'altro minore; & un maggior Semituono. Et per la Ventesimaquinta definitione di questo riuoltata, il Tuono maggiore supera 'l minore d'vn Comma; adunque due Tuoni l'vn maggiore & l'altro minore, sono minori de due maggiori per un Comma. Oltra di ciò; per la Ventesimaterza proposta d'hoggi; il Semituon maggiore è minore de Sei, & maggiore de cinque Comma; & per la Ventesima prima; Il Tuono maggiore è minore de dieci & maggiore de noue; adunque il Tuono sopr'auanza 'l Semituono de quattro Comma. Et perche 'l secondo Tuono de i tre maggiori auanza il secondo & minore della Diatessaron per un Comma; simigliantemente, perche il terzo de i tre maggiori sopr'auanza il maggior Semituono della Diatessaron per quattro Comma; però un Tuon maggiore, un minore, & un maggior Semituono sono minori de tre Tuoni maggioripage 122 122 Ragionamento giori per la quantità de Cinque Comma. Adunque tre Tuoni maggiori sopr'auanzano la Diatessaron, secondo 'l proposito; come secondariamente dimostrar ui douea. Ma questo non è da lasciare indietro; essendo il Tritono corellatiuo alla Semidiapente, se noi consideraremo esso Tritono composto di Tre tuoni maggiori; uerrà ad esser contenuto nella sua propria forma dalla proportione Super 217. partiente 512. & la Semidiapente uerrà ad esser composta di Due tuoni maggiori, & li Due Semituoni minori, di proportione Super 13. partiente 256. & la sua forma sarebbe la Super 295, partiente 729. ambidue contenuti nell'Antica specie detta Diatona Diatonica; nella quale il Tritono è senza dubio maggior della Semidiapente; come si puol prouare, che cauata la proportione Super 295. partiente 729. dalla Super 217. partiente 512. ne nasce la Super 7153. partiente 524288. ch'è la quantità di quanto esso Tritono supera la Semidiapente; ò di quanto essa Semidiapente da esso Tritono è superata. Ma se lo consideriamo composto secondo la Specie naturale ò Syntona di due Tuoni maggiori, & d'uno minore; la sua proportione ò forma sarà la Super 13. partiente 32. & la Semidiapente sarà composta d'una Terza minore & d'un Tuono minore, con un Semituono maggiore appresso: & la sua forma sarà contenuta dalla proportione Super 19. partiente 45. onde in questa Specie auerrebbe il contrario; percioche la Semidiapente senza dubio sarebbe maggiore del Tritono: come si può dimostrare: percioche se dalla Super 19. partiente 45. cauaremo la Super 13. partiente 32. ne uerrà la Super 23. partiente 2025. ch'è quella quantità di quanto essa Semidiapente supera il Tritono; & questo da quella è superato. Queste dimostrationi, disse M. Claudio; sono state molto belle; ma sommamente mi è piaciuto quella ultima de i Comma & della differentia, che si troua tra il Tritono & la Semidiapente del Diatonico diatono, & quelli del Naturale, ò Syntono pur diatonico. Desidero però di saper quello, che uerrà da dimostrarsi dopò questa. Ne uerrà, gli risposi; che

PROPOSTA XXX.

La Diapente contiene due Tuoni maggiori, un minore, & un maggior Semituono.
ILCHE cosi si dimostra. Per la Penultima proposta d'hoggi fù dimostrato la Diatessaron contenere un Tuono maggiore, un minore & un maggior Semituono; & per la Ventesima definitione riuoltata, la Diapente sopr'auanza la Diatessaron per un Tuono maggiore; adunque la Diapente contiene due Tuoni maggiori; un minore, & un maggior Semituono. Questa anco si può dimostrar con un'altro mezo, in cotal modo. La Sesta di questo dimostra, che 'l Ditono, & lo Semiditono nascono dalla Diuisione harmonica della Diapente; Onde il Ditono & lo Semiditono, per il suo Corollario sono parti integrali di essa Diapente; Ma per la Ventesimasesta il Semiditono contiene un Tuon maggiore & un maggior Semituono; & per la Ventesimasettima il Ditono contiene un Tuon maggiore & un minore; adunque la Diapente contiene due Tuoni maggiori, & un minore, con un maggior Semituono; secondo 'l proposito. Si può anco ciò, dimostrar per un'altra maniera; & dire. Se da un'interuallo Sesquialtero, per la Ventesimasesta di heri, si leuerà un Sesquiterzo; quello, che nascerà sarà Sesquiottauo; Ma per le Definitioni date di sopra, la Sesquialtera è la Diapente; & la Diatessaron è la Sesquiterza; & lo Sesquiottauo è la forma del Tuono maggiore; per la Nona proposta dimostrataui di sopra adunque; leuata la Diatessaron dalla Diapente, il rimanente è il Tuono maggiore. Più oltra; per la Ventesimaottaua di questo, la Diatessaron contiene due Tuoni, l'un maggiore & l'altro minore con un maggior Semituono; ma questi Tre interualli aggiunti ad un'altro Tuono maggiore, per il quale la Diapente sopr'auanza la Diatessaron, fanno due Tuoni maggiori & un minore, con un maggior Semituono; adunque la Dia-page 123 Secondo. 123 Diapente auiene à contenere due Tuoni maggiori, & un minore, & anco un maggior Semituono; come dice la proposta; & come ui douea dimostrare.

COROLLARIO I.

Onde auiene, che cauato il Tuono maggiore dalla Diapente, resta vn Tuono maggior con uno minore, & il maggior Semituono; cioè, la Diatessaron; & questa essendo cauata da quella, resta il Tuono maggiore.
PERCIOCHE se la Diapente contiene due Tuoni maggiori, vn minore, & vn maggior Semituono; come habbiamo dimostrato; non è dubio, cauandone vn Tuono maggiore, che il restante sia due Tuoni, l'un maggiore & l'altro minore, con vn Semituono maggiore; i quali, com'habbiamo dimostrato nella Ventesimaottaua di sopra, fanno la Diatessaron; come contiene la prima parte del Corollario; & questa cauata dalla Diapente, resti, secondo che dice la Seconda parte, il Tuon maggiore. Et cosi potete uedere, che tutto quello; ch'è posto nel Corollario uiene ad esser uero. Comprendo hora l'utile, che si caua da questi Corollarij; disse il Viola; cosa, che per inanti non uedea. Ma ditemi di gratia, che vuol dire Corollario propriamente? Questo è detto da Greci Πόρισμα soggiunsi; quasi Acquistato, ò Pensato; percioche (come dice Proclo nel Terzo libro sopra la prima Proposta del Primo de gli Elementi d'Euclide) nasce come un'altro Theorema; non lo hauendo noi proposto da dimostrare. La onde s'aggiunge alla Dimostratione già fatta, la quale genera scienza; come un certo guadagno fatto oltra il proposito. Et ben che di due sorti siano tali Corollarij; tuttauia non uoglio stare à perder tempo à dichiararui questa cosa; perche non è di molta importanza. Farete bene; ma da quello, c'hò compreso; soggiunse il Viola; credo, che questo sia etiandio uero; che

COROLLARIO II.

Da questo nasce; ch'aggiunto 'l Tuono maggiore alla Diatessaron, subito si fà la Diapente.
BEN sapete; risposi io; & questo è manifesto dalla dimostratione & dal Corollario precedente. Ma ui uoglio dimostrare, ancora che lo sapiate dalla Prattica; che

PROPOSTA XXXI.

La Diapente nasce, quando 'l Ditono s'aggiunge insieme col Semiditono.
ANCORA che questa sia nota dal Corollario della Sesta proposta d'hoggi; tuttauia non uoglio lasciar di dirui; che 'l Semiditono, per la Ventesimasesta proposta (come poco fà ui diceua) contiene il Tuono maggiore & lo maggior Semituono; & per la Ventesimasettima, il Ditono contiene il Tuono maggiore & lo minore. Ma due Tuoni maggiori & un minore, con un maggior Semituono, per la Precedente, fanno una Diapente; adunque aggiunto il Ditono al Semiditono, nasce la consonanza Diapen te, secondo la proposta, & questo è quello, che ui douea dimostrare. CO-page 124 124 Ragionamento

COROLLARIO.

Ilperche nasce, che cauato 'l Ditono dalla Diapente, resta 'l Semiditono; & questo cauato da quella, ne viene il Ditono.
LA onde per esser questo cosa manifesta; non ui uoglio dir'altro; ma uerrò à dimostrarui breuemente quest'altra; che

PROPOSTA XXXII.

Due Diatessaron aggiunte insieme passano la Diapente per vn Tuono & un maggior Semituono.
ET perche uoi sapete, ch'una Diatessaron, per la Ventesimaottaua proposta di questo, contiene un Tuono maggiore, un minore, & un maggior Semituono; però due Diatessaron uerranno à contenere due Tuoni maggiori, & due minori, con due maggiori Semituoni. Da questi adunque se noi leuaremo un Tuono minore & un rnaggior Semituono; senza dubio restaranno due Tuoni maggiori, un minore & un maggior Semituono; ma, per la Penultima, la Diapente contiene tutti questi Interualli; adunque la Disdiatessaron trappassa la Diapente per un Tuono minore, & un maggior Semituono. Et questo è quello, ch'intorno cotal cosa, secondo 'l proposito, ui douea dimostrare. Vi uoglio ancora dire, auanti ch'io passi piu oltra; che

PROPOSTA XXXIII.

Tre Tuoni maggiori sono minori d'una Diapente, & quattro le sono maggiori.
LA onde auertite; che, per la Trentesimaquinta di heri, Tre Sesquiottaui, sono minori d'un Sesquialtero. Et, per la sua Sequente, quattro sono di esso maggiori. E uoi già sapete, per la Nona definitione d'hoggi, che la Diapente hà la sua forma dalla proportione Sesquialtera, & per la Nona proposta, lo Sesquiottauo è la forma del Tuono maggiore; adunque Tre tuoni maggiori sono minori della Diapente, & quattro le sono maggiori. Il che è secondo la proposta; come ui douea dimostrare. Molto mi piacciono questa sorte de Dimostrationi; disse M. Adriano; le quali si concludono con le conclusioni fatte per altre dimostrationi precedenti. Per questo Messere (dissi) sono chiamate Elementi; percioche l'una dipende dall'altra. Ma ascoltate questa, che ui propongo.

PROPOSTA XXXIIII.

Aggiungendo alla Diapente il Tuono minore; ouero alla Diatessaron il Ditono, nasce l'Hexachordo maggiore. Simigliantemente aggiungendo alla Diapente il maggior Semituono; ouero alla Diatesseron il Semiditono, ne viene l'Hexachordo minore.
SIANOpage 125 Secondo. 125 SIANO primieramente a & b. i minimi termini della proportione della Diapente; secondariamente c & d. quelli del Tuono minore. Moltiplico a. in c. & ne viene e. il che fatto molteplico ancora b. in d. & ne nasce f. Dico hora e & f. contenere la Sesquialtera con la Sesquinona proportione; Percioche (secondo ch'io mostrai nelle Istitutionipar. 1. c. 33.) sono sommate insieme queste sue proportioni; dalle quali ne uiene vna terza, ch'è e & f. laquale contiene la Diapente col Tuono minore. Onde è manifesto da g & h. termini radicali di e & f acquistati dalla diuisione fatta di essi e & f. per il Senario, & contenuti tra le parti di esso Numero; che e & f. sia Superbipartiente terza; percioche g. contiene una fiata h. & due sue terze parti; la qual proportione (per la Decimasettima definitione d'hoggi) è la forma dell'Hexachordo maggiore. Aggiunto adunque il Tuono minore alla Diapente si fà l'Hexachordo maggiore; come dice la Prima parte della proposta. Ma per l'altra parte; se di nuouo pigliaremo A & B. termini radicali della Diatessaron, & CD. minimi termini del Ditono, & molteplicheremo A in C. & B in D. nascerà E & F. i quali, per il Cap. 33. della Prima parte delle Istitutioni, conteneranno la
Sesquiterza & la Sesquiquarta proportione; & per consequente la Diatessaron & lo Ditono insieme aggiunti. La onde E & F. uiene ad esser simigliantenente l'Hexachordo maggiore. Percioche i termini radicali di E & F. che sono G & H. acquistati dalla diuisione fatta di essi per il Quaternario; contengono la proportione Superbipartiente quinta; la quale, per la nominata Decimasettima definitione, è la forma dell'Hexachordo maggiore; i quali termini potendosi tramezare da un termine mezano; come si uedono tra p. q. r. de i quali p & q. contengono la forma del Ditono, & q. con r. quella della Diatessaron; ci danno segno manifesto; ch'aggiungendo di nuouo alla Diatessaron il Ditono; si genera l'Hexachordo maggiore; come douea dimostrarui.

COROLLARIO I.

Onde nasce, che l'Hexachordo maggiore sopr'auanza la Diapente per un Tuono minore; & la Diatessaron per un Ditono.
MA veniamo al resto della Proposta; cioè, alla sua Seconda parte: Se di nuouo pigliaremo i minimi termini del Semituono maggiore, che sono i & k. & molteplicheremo a in i & b in k. haueremo l & m. i quali (per il Cap. 33. allegato) conteranno la Sesquialtera & la Sesquiquintadecima proportione; & per consequente la Diapente col Semituono maggiore. Hora è manifesto, che l & m. è proportione Supertripartiente quinta da i suoi termini radicali n & o, acquistati per la diuisione di l & m. per il Senario. Percioche n. contiene o. una fiata & tre sue quinte parti; onde per lapage 126 126 Ragionamento la Decimaottaua definitione, questa tal proportione è la forma dell'Hexachordo minore. Adunque aggiunto 'l maggior Semituono alla Diapente, nasce l'Hexachordo minore; co me dice la Prima parte della Seconda della proposta. Ma se di nuouo pigliaremo I & K. radicali termini del Semiditono; & moltiplicheremo A in I. & B in K. ne risulterà senza dubio alcuno L & M. i quali conteneranno la Sesquiterza & la Sesquiquinta proportione. Onde dico, che L & M. ci daranno l'Hexachordo minore simigliantemente, come si può conoscere da N & O. che sono i termini radicali di L & M acquistati per la diuisione fatta di L & M. col mezo del Ternario. Percioche contengono la Supertripartiente quinta; la quale, per la nominata Decimaottaua definitione; è la forma del nominato Hexachordo. I quali termini, poi che si possono tramezare da Q. come si uede tra P.Q.R. ci danno manifesto segno, che tutto quel, che si è detto, sia uero; percioche tra P. & Q. è la forma della Diatessaron, & tra Q. & R. quella del Semiditono. Dalla congiuntione del Semiditono adunque con la Diatessaron, nasce l'Hexachordo minore; come dice la Seconda parte della Seconda della proposta. Et questo è tutto quello, che ui douea dimostrare.

COROLLARIO II.

Onde è manifesto, che l'Hexachordo minore sopr'auanza la Diapente per vn Semituon maggiore, & la Diatessaron per vn Semiditono.
ILCHE è tanto manifesto; che non hà dibisogno d'altra proua. Disse allora, hauendo inteso questo M. Adriano; Ogni cosa torna bene. Et uoi sapete, che se 'l si aggiunge il Tuono maggiore, ò lo minor Semituono alla Diapente, non può far Consonanza alcuna; tuttauia desidero di uedere questa cosa di mostrata. Vedrete poca varietà Messere; risposi; dal modo, che ui hò dimostrato nella Precedente, hor hora dimostrata; però lasciatemi prima dirui la proposta, che dopoi ue la andrò dimostrando; la quale è questa.

PROPOSTA XXXV.

Aggiungendo 'l Tuono maggiore, oueramente 'l minor Semituono alla Diapente, non può nascere consonanza alcuna.
VENGO hora alla dimostratione. Siano a & b. i minimi termini della Diapente; & c. d. quelli del Tuono maggiore. Molteplico prima a in c. & ne uiene e. dopoi molteplico b in d. & ne nasce f. Dico hora, per le ragioni addotte nella Precedente, che e & f. contengono la Sesquialtera & la Sesquiottaua proportio
insieme aggiunte. Il perche e & f. contiene la Diapente col Tuono maggiore. Ma egli è manifesto, per la Nona definitione di heri, che e & f. sono numeri Contraseprimi; perciochepage 127 Secondo. 127 cioche non hanno altro numero, che li misuri, che la Vnità; onde sono Termini radicali della proportione contenuta tra loro. I quali, per non ritrouarsi collocati tra le parti del Senario, & il primo numero Cubo; per la prima & seconda Definitione d'hoggi; non possonoesser la forma d'alcuna Consonanza; ne semplice, ne composta. Onde si conclude, per la Prima parte della Proposta; che aggiunto 'l Tuono maggiore alla Diapente, non fà consonanza alcuna. Et quest'istesso argomento potiamo usare, à prouar, ch'aggiungendo 'l Semituono minore alla Diapente, non risulta alcuna Consonanza; Percioche presi i termini radicali del detto Semituono, che sono g & h. & molteplicati con quelli della Diapente a & b. cioè, a in g. & b in h. haueremo i & k. i quali contengono medesimamente la Sesquialtera & la Sesquiuentesimaquarta proportione, & per consequente la Diapente vnita al Semituon minore. Et perche i & k. nelle lor radici, che sono l & m. vengono numeri Contraseprimi, i quali trappassano il primo numero Cubo; però, per la prima & seconda Definitione nominate di sopra, non contengono forma d'alcuna Consonanza. Adunque; Aggiungendo il Semituono minore alla Diapente, non genera Consonanza alcuna. Et questo è tutto quello, che dice la Proposta, & che vi douea dimostrare. Son satisfatto; disse allora M. Adriano; & ui rendo gratie; però seguitate quello, che vi torna più commodo, che v'ascolteremo uolentieri. Cosi uoglio fare, dissi; & proposi à dimostrar; che

PROPOSTA XXXVI.

L'Hexachordo minore contiene due Tuoni maggiori, vn minore, & due maggiori Semituoni.
ILCHE manifestai per tal modo. L'Hexachordo minore; per la Trentesima quarta d'hoggi; nasce dalla congiuntione del Semituon maggiore con la Diapente. Ma, per la Trentesima, la Diapente contiene due Tuoni maggiori, un minore, & un maggior Semituono; à i quali se aggiungeremo 'l maggior Semituono; faranno due Tuoni maggiori; un minore, con due Semituoni maggiori; Adunque l'Hexachordo minore contiene due Tuoni maggiori, un minore, & due maggiori Semituoni. Più oltra; la Trentesimaquarta nominata dimostra, che dalla Diatessaron & dal Semiditono posti insieme, si fà l'Hexachordo nominato; Ma la Diatessaron, per la Ventesimaottaua, contiene un Tuono maggiore, un minore, & un maggior Semituono; simigliantemente il Semiditono, per la Ventesimasesta, contiene un Tuono & un Semituono, l'uno & l'altro maggiore; i quali posti insieme fanno due Tuoni maggiori, un minore, & due maggiori Semituoni; adunque l'Hexachordo minore contiene due Tuoni maggiori, un minore & due Semituoni maggiori; come dice la Proposta, & come ui douea dimostrare. Et per seguir l'ordine incominciaro, dirò; che

PROPOSTA XXXVII.

L'Hexachordo maggiore contiene due Tuoni maggiori, due minori, con un maggior Semi tuono.
L'HEXACHORDO maggiore, perla Trentesimaquarta d'hoggi, nasce dalla congiuntione del Tuono maggiore con la Diapente; Ma perche, per la Trentesima di questo, la Diapente contiene due Tuoni maggiori, un minore, & un maggior Semituono; se à questi s'aggiunge 'l Tuono minore; uerranno ad esser due maggiori, due minori, & un maggior Semituono; Adunque l'Hexachordo maggiore contiene due Tuoni maggio-page 128 128 Ragionamento maggiori, due minori, & un maggior Semituono. Simigliantemente; per la nominata Trentesimaquarta, l'Hexachordo maggiore nasce dall'aggiuntione fatta del Ditono alla Diatessaron; ma per la Ventesimaottaua, la Diatessaron contiene un Tuono maggiore, vn minore, & vn maggior Semituono; & il Ditono, per la Ventesimasettima, contiene un Tuono maggiore & un minore; adunque l'Hexachordo maggiore contiene due Tuoni maggiori, due minori, con vn maggior Semituono; come dice la Proposta. Et questo è quello, che ui volea dimostrare. Sono hora espediti quelli Interualli, che sono minori della Diapason; la onde verrò à trattare al presente di essa. Et perche alcuni de gli Antichi hanno tenuto, che ella contenga Sei tuoni Sesquiottaui; però, uoglio dimostrarui, che questo è impossibile; se bene da altri ancora cotal cosa non sia riceuuta per vera; Onde proponerò a dimostrarui; che

PROPOSTA XXXVIII.

La Diapason è minore de Sei Tuoni maggiori, & maggior de Cinque.
ET vi espedirò in poche parole. Voi sapete, che per la Penultima proposta del ragionamento di heri; Cinque interualli Sesquiottaui congiunti insieme sono minori di un'interuallo Duplo; Et, per l'Vltima; Sei sono etiandio di esso Duplo maggiori; Et troppo bene sapete, che 'l Duplo è la forma della Diapason; & il Sesquiottauo è la forma del Tuono maggiore. Onde Cinque Tuoni maggiori sono meno d'una Diapason, & Sei la trappassano. Et perche in fatto è cosi; la Diapason (secondo la proposta) è minore de Sei tuoni maggiori; & è maggior de Cinque; come ui douea dimostrare. Dimostrateci anco; disse M. Adriano; secondo la uerità; quanti Tuoni & quanti Semituoni contiene. Questo è molto necessario Messere; risposi; però vi dico; che

PROPOSTA XXXIX.

La Diapason contiene tre Tuoni maggiori, due minori, & due maggiori Semituoni.
ET perche uoi sapete; se ui ricordate; che la Diapente & la Diatessaron aggiunte insieme; per la Quarta proposta d'hoggi; fanno la consonanza Diapason; Et ui hò dimostrato, per la Ventesimaottaua, che la Diatessaron contiene un Tuono maggiore, & vn minore, con un maggior Semituono; Et per la Trentesima fù concluso; che la Diapente contiene due Tuoni maggiori, un minore, & un maggior Semituono; i quali adunati insieme fanno tre Tuoni maggiori, due minori, con due maggiori Semituoni; Però la Diapason contiene Tre tuoni maggiori, due minori, con due maggiori Semituoni; secondo ch'io douea dimostrare. Hora uoglio dichiarare una bellisima difficultà, & accordar (s'io potrò) due opinioni contrarie, de due fattioni molto segnalate nella Musica; Però ascoltatemi; che ui uoglio prima dir la Proposta & dopoi dimostrarla; & cosi nella dimostratione conoscerete la cagione che mosse i suoi Fautori ad hauer cotali opinioni; & la uerità della cosa. Ascoltate adunque la Proposta; la quale è questa.

PROPOSTA XL.

La Diapason diatessaron non è consonanza Propriamente; ma Communemente detta.
ILpage 129 Secondo. 129 IL Sig. Desiderio udendo questo; auanti ch'io passasse più oltra, disse. Alcuni hanno tenuto,Harmoni lib. 1. c. 6. Boeth. lib. 5. c. 8. Musicae. che quest'Interuallo sia dissonante, & voi uolete prouare 'l contrario; per quello ch'io vedo; doue nasce questa cosa? Lo vederete tosto; risposi; ma ascoltate prima l'opinioni di questo; e l'vna all'altra contrarie. Tiene Tolomeo, & dopo lui molti altri, questa conclusione per uera, contra i Pitagorici; che la Diapason diatessaron sia Consonanza. Et se ben pare ad alcuni, che Tolomeo habbia ragione per quello, che lui adduce in suo fauore; tuttauia non hanno anco il torto i Pitagorici. Diceua Tolomeo questa ragione; tollendo da Aristosseno nel primo de gli Harmonici questa conclusione; che Quando la Diapason consonanza hà i suoni, che la contiene ben'accordati; niente sono differenti di virtù & possanza da un sol suono; onde applicata à qual si voglia Interuallo semplice, che sia minore di lei, ò per il contrario; conserua quella specie intera & inuiolata; come conserua 'l Denario in se stesso gli altri numeri, che sono di lui mi nori. Il perche, si come quando alcun suono s'aggiunge alla Diapason dalla parte più graue, ouer dalla più acuta; si troua vna certa conuenienza & forza di muouer l'Vdito tra esso & quello, che gli è più vicino; cosi appare esser tale conuenienza & forza tra lui & lo più lontano. La onde la Diapente & la Diatessaron consonanze da se stesse hanno quella sonorità in quella conuenienza da quella parte della Diapason, che gli è più uicina, onde meritamente l'Vdito riceue all'istesso modo la Diapason diapente, ouer la Diapason diatessaron, che riceue la Diapente, ouer la Diatessaron poste da per sè, & sole. La onde per questa cagione seguita infallibilmente; ch'essendo la Diapente, & anco la Diatessaron, Consonanze; che consonanti siano anco la Diapason diapente, & la Diapason diatessaron; & ad vn modo esser riceuuta dall'Vdito ciascheduna di queste due, com'è riceuuta la Diapente & la Diatessaron, ciascheduna da per sè & sola; come euidentemente appare per l'esperienza. Finalmente conclude che tanto l'uno, quanto l'altro de questi due nomi nati Composti interualli siano consonanti. Dall'altra parte i Pitagorici adduceuano in suo fauore questa ragione, la quale teniuano per vera, anzi uerissima; che Ogni consonanza nasce, ouer dal Molteplice, oueramente dal Superparticolare, contenuti tra quei numeri, che sono le parti del numero Quaternario, & non da altro Genere; & che non essendo la Diapason diatessaron ne Molteplice, ne Superparticolare; essendo che la sua forma è contenuta tra i Molteplici Superpartienti, dalla proportione Dupla superbipartiente ter za; onde non poteua à patto alcuno esser Consonanza. Ma questo concluderebbe ottimamente; quando semplicemente fusse uero, che non si trouasse altre Consonanze, se non quelle, che nascono da i due nominati Generi, & le Semplicemente dette. Vediamo però in fatto altramente essere; come fin'hora dalla Esperienza & dalla Scienza siamo certificati. Et se ben queste due opinioni sono contrarie; tuttauia si possono facilmente accordare; considerato quello, c'hò detto nella Prima & Seconda definitione d'hoggi, sopra le Consonanze Propriamente dette, & le dette Communemente, & anco quello, che dissi heri intorno à i Luo ghi, ouer Siti delle Consonanze; Percioche il tutto in queste due cose consiste; se ue le ricor date. Cele ricordiamo benissimo, disse M. Adriano. Però adunque; soggiunsi; se bene alcun'Interuallo aggiunto à gli estremi della Diapason; come diceua Tolomeo; non fà varietà alcuna di suono, di maniera che si oda diuersa dal Suono primo dell'aggiunto Interuallo; come se aggiunta la Diatessaron alla Diapason, non varia in tal maniera i suoni, che na scono, che parino d'un'altra Consonanza, ma simili alla Diatessaron, la quale è aggiunta; tuttauia non si può dire, che tal Composto sia quell'istesso Semplice, che era inanzi ch'alla Diapason s'accompagnasse; come anco non si può dir con uerità, che 'l numero Duodenario sia l'istesso numero, ch'è il Binario, per esser'esso Binario al Denario accompagnato; essendo che se ben l'uno & l'altro di essi è Numero pare; non si può però dire, che 'l Binario sia della natura del Duodenario, & habbia quelle proprietà istesse. Ne anco si può dir senz'errore; ch'essendo la Diapasondiatessaron composta della Diapason & della Diatessaron semplici consonanze; che tale interuallo Composto sia semplicemente consonante, ouer semplicemente dissonante. Ma si ben si potrà dire; che necessariamenDimost. Harm. I te ca-page 130 130 Ragionamento te caschi nel numero de quelle, che sono connumerate tra i due nominati estremi; cioè, tra quelli Interualli, che consonanze Communemente dette, habbiamo nominato; Imperoche se haueremo riguardo alla proportione, che nasce dalla congiuntione de i due nominati Interualli; ritrouaremo, che sarà la Duplasuperbipartienteterza, contenuta tra 8. & 3. la quale non è ne Molteplice, ne Superparticolare. Onde non può esser posta tra quelle Consonanze, che sono contenute nel primo ordine, dette Propriamente; per non esser la sua forma collocata tra le Parti del Senario; come nella Prima definitione fù dimostrato; il perche non potrà essere à patto alcuno consonanza Propriamente detta; & in questo si potrà tenere con i Pitagorici. Ma ch'ella non sia Consonanza della Seconda maniera Communemente detta, questo non si può, ne potrà mai negare; se 'l si porrà men te à quello, che nella Seconda definitione si è detto. Il perche quello, c'ha detto & concluso Tolomeo, non sarà detto & concluso fuor di proposito. E' ben uero, che quando si uolesse dire, che la mente di Tolomeo fusse, che questo Composto fusse consonanza Propriamente detta; & di mente de i Pitagorici, ch'ello sia Interuallo dissonante; questo sarebbe falso, & ripugnarebbe à i nostri Principij, iquali habbiamo posti nell'incominciare di questo Ragionamento, & alla uerità istessa. Bisogna adunque tenere con Tolomeo, ch'aggiunta la Diatessaron alla Diapason, faccia ne gli estremi una Consonanza, non però Propriamente detta, ma si ben detta Communemente; & con i Pitagorici; che la Diapasondiatessaron non sia ne possa esser Consonanza della prima maniera; se vogliamo accordar l'opinioni diuerse de questi Eccellentissimi Musici di modo, che non siano l'uno dall'altro discordanti quanto al senso; quancunque nelle parole si vedino l'un'all'altro contrarij. Et per tal uia l'uno & gli altri uerranno ad hauer detto bene. Hauete adunque inteso quel che si dee tenere, per intender queste due opinioni, che siano d'accordo. Et se sopra di ciò hauete cosa alcuna da dirmi; ditela auanti ch'io uada più oltra. M'hauete hora dichiarato un dubio, disse M. Adriano; non ue lo dimandando, ilquale mi daua molto trauaglio; che i Pitagorici concedeuano à Tolomeo la sua Premessa esser vera, & negauano la Conclusione. Però questa uostra distintione, c'hauete fatto, nel porre questi Mezani interualli tra i Consonanti propriamente detti, & li Dissonanti, acconcia il tutto. Onde si possono accordar benissimo questi Pifferi, & dire; Che i Pitagorici considerando tale aggiunto quanto alla vicinità della Dissonanza, diceuano ch'era Dissonante; & che Tolomeo consideratolo, in quanto era (dirò cosi) la Diatessaron appogiata alla Diapason, & s'accostaua alla Consonanza; diceua ch'era Consonante; considerando però il tutto quanto al Senso, & anco quanto alla ragione. Cosi stà la cosa in fatto; come vedete Messere, risposi. Soggiunse allora M. Adriano, vi prego adunque à seguitare; poi che da uoi uengo ad imparar molte cose degne di gran consideratione; le quali da altri mai hò più udito. Soggiunsi adunque; Hauendo inteso, in qual maniera queste due contrarie opinioni accordar si possono; seguitarò à dimostrar quello, che dice la Proposta; & dirò in questo modo. Siano a & b. termini radicali della proportione della Diapason, & c con d. numeri minimi continenti la proportione Diatessaron. Molteplico (per la Seconda del ragionamento hauuto heri tra noi) queste due proportioni insieme; & ne viene e. f. g. cioè, e & f. Dupla, & f con g. Sesquiterza; onde dico, che e & g. uiene ad esser composto di ef. Dupla, & di fg. Sesquiterza; & contenere; la Diapason & la Diatessaron consonanze. Ma perche e & g. non è Molteplice, ne anco Superparticolare; percioche e. contiene il g. due fiate & due sue Terze parti; ond'è detta Dupla superbipartiente terza, contenuta nel Quinto genere di proportione, detto Molteplice superpartiente; però, per la Prima definitione di questo, la Diapasondiatessaron non è consonanza Propriamenta detta; ma per la Seconda, è ben detta Communemente; come dice la Proposta; & come ui douea dimostrare. Voltosi allora M. Francesco verso di me disse; A' fe, c'hauete molto ben ragione; & il nostro Messere l'hà molto ben conosciuto; percioche (come ancora hanno fatto i migliori Prattici) quando gli è tornato commodo; hà posto questo Interuallo con molta gratia nelle sue Composition. Et io per me l'userò sempre,page 131 Secondo. 131 sempre, quando lo protrò far con qualche buon proposito, senza schiuarmene; percioche mi pare, che in certi propositi faccia buonissimo effetto. Messer Francesco, dissi, se al
cuno de i moderni Compositori ui vdisse à dar tanto fauore à quest'Interuallo, si scandalizarebbe molto; essendoche hanno l'Vdito tanto delicato contra questa Consonanza, che più tosto con miglior sua satisfattione potrebbe nelle sue Compositioni qualche strana cosa, che una compositione di due consonanze fatta al mostrato modo. Ma lasciamo costoro; percioche son certo, che di loro ue ne curate poco; & ritorniamo à seguitare il nostro incominciato ordine, dicendo; che

PROPOSTA XLI.

La Diapason diapente nasce dalla Diapason & dalla Diapente aggiunte insieme, & contiene cinque Tuoni maggiori, tre minori, & tre maggiori Semituoni.
QVESTA dimostratione è facile; percioche (per la Ventesimaseconda proposta del Primo giorno) l'interuallo Duplo & lo Sesquialtero aggiunti insieme fanno l'interuallo Triplo; ma, per le Definitioni, il Duplo è la forma della Diapason, lo Sesquialtero è quello della Diapente, & lo Triplo è quello della Diasondiapente; Adunque aggiunto insieme la Diapason & la Diapente, nasce la Diapason diapente. Oltra di questo; Se per la Trentesima d'hoggi la Diapente contiene due Tuoni maggiori, vn minore, & un maggior Semituono; & , per la Trentesimanona, la Diapason contiene tre Tuoni maggiori, due minori, & due maggiori Semituoni, & la Diapasondiapente (per la Settima definitione) è Consonanza composta della Diapason & della Diapente; come suona il suo nome: Seguita necessariamente; che quell'istessi Interualli, che sono contenuti in questi due ultimi, siano etiandio contenuti nel primo. Et perche in questi due sono contenuti cinque Tuoni maggiori, tre minori, & tre maggiori Semituoni; però dico, che la Diapasondiapente contiene cinque Tuoni maggiori, tre minori, & tre maggiori Semituoni; come ui douea dimostrare. Aggiungerò etiandio; che

PROPOSTA XLII.

La Disdiapason nasce dalla Diapason raddopiata, ò pur da due Diapason aggiunte insieme; & contiene Sei tuoni maggiori, Quattro minori, & Quattro maggiori Semituoni.
PERCIOCHE per la Ventesimaterza della Prima giornata; raddoppiato l'interuallo Duplo costituisce il Quadruplo; ma per le Definitioni; il Duplo è la forma della Diapason, & il Quadruplo della Disdiapason; adunque raddoppiata la Diapason, ouero aggiunta una Diapason ad un'altra nasce la Disdiapason. Et questo è quanto alla Prima parte della proposta. Ma uenendo alla Seconda dico; Essendo la Disdiapason; per la Settima definitione; Consonanza composta; come 'l nome Dimostr. Harm. I 2 suo di-page 132 132 Ragionamento suo dice; di due Diapason; ouer la Diapason raddoppiata; & contenendo la Diapason semplice, per la Trentesimanona d'hoggi, tre Tuoni maggiori, due minori, con due maggiori Semituoni; è necessario, che la raddoppiata contenga sei Tuoni maggiori, quattro minori, & quattro Semituoni maggiori; come vi douea dimostrare. Questo non si può negare, disse il Sig. Desiderio; & mi piacciono assai quelle ragioni, che uoi dite nelle Isti tutioni,2. parte cap. 2. sopra quello; che gli Antichi, & massimamente i Pitagorici ui etauano il passare oltra la Quadrupla, ouer'oltra la Disdiapason; onde statuirono, che quest'Interuallo fusse 'l termine delle Consonanze. Però, come tutti uoi sapete, si può passar più oltra; il che fate ciascheduno de uoi; per quel poco di lume, ch'io hò di questa cosa; nelle uostre compositioni. Et credo che ancor uoi M. Gioseffo uorrete seruar questo costume; & che non vorrete in queste Dimostrationi passar più oltra; per non trapassare la Quadrupla proportione; ò Disdiapason consonanza; doue pure alla fine con l'aiuto di Dio sete arriuato. Son di questo parere ueramente, dissi; & non accade passar più oltra; ma star si può in queste Proposte dimostrate fin'hora; percioche quantunque si potesse procedere più oltra quasi in infinito; tuttauia non sono l'altre Dimostrationi, come sono queste, necessarie. Il perche tutte le uolte, che uoi uorrete andar più di lungo; da quelle Dimostrationi, che fin'hora ui hò posto inanzi, potrete commodamente per uoi stessi saper quello, che ricercarete. Massimamente hauendoui ragionato, non solamente intorno alle Consonanze semplici; ma etiandio intorno alle Composte. Onde con uostra buona gratia, per questa fiata, farò fine. Dimane poi ritornarete di nuouo in questo luogo; per che ui son per dir cose, che ui piaceranno. Hauete molto ben ragione di posarui; disse M. Claudio; essendo ch'egli è in gran pezzo di tempo, che ragionate. Però è cosa honesta, che hormai si ponga silentio. Mi pensaua; aggiunse M. Adriano; che haueste dimostrato tutto quello, che si può dimostrare intorno questa materia; ma per quello ch'io uedo, ne resta anco una buona parte; Però starò con gran desiderio ad aspettare, che venga dimane; acciò possa udir quello, che hauerete da trattare. Ci manca da trattare (dissi) il più bello Messere; però non vi date fastidio, che pur troppo presto verrà dimane; onde potrete vedere, ch'io non u'inganno. Ma per finirla hormai rimaneteui tutti in pace. M. Francesco andianci con Dio. Messere, dissse M. Francesco, state allegro, che di nuouo vi verremo à uisitare. Di gratia fatelo. Egli rispose. Cosi faremo dissi, & presi la strada: & il Signor Desiderio disse; Vengo anche io. Ne io ci uoglio restare, disse M. Claudio. A' Dio adunque Messere; disse ogn'uno. A' Dio à Dio, rispose egli. Et cosi in un tratto tutti insieme si partissemo.
IL FINE DEL SECONDO RAGIONAMENTO.
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DIMOSTRATIONI HARMONICHE DEL REV. M. GIOSEFFO ZARLINO DA CHIOGGIA, Maestro di Cappella della Serenissima Signoria DI VENETIA: RAGIONAMENTO TERZO.

CREDO che non sia passato mai giorno, dopò ch'io vidi quella bel- la & vera sentenza di Boetio;De Discipli. Scholast. cap. 5. Ch'è cosa propria d'uno Ingegno miserrimo & pouero, vsar sempre le cose, che sono state d'altrui ritrouate, & non mai quelle, che ritrouar si possono; ch'io non habbia hauuto cotal cosa nella memoria. Onde mosso prima dal naturale desiderio, che hanno communemente gli Huomini di sapere;Metaphy. 1. cap. 1. sapendo ch'è verissimo quello, che da quel gran Filosofo, il quale per la sua eccellenza fù chiamato Tre fiate massimo; che La massima parte di quello che sapiamo, è la minima di quello che ignoriamo. Dopoi mosso da quel che continuamente, hauendolo già ueduto, mi staua fisso nella mente; mi diedi à cercare & uedere, se oltra le dette & mostrate cose da gli Antichi Musici ne fusse restato alcuna, che si potesse da nuouo ritrouare; la quale apportasse qualche vtile à i Studiosi di questa Scienza; il che dopò molte lunghe fatiche, varij & lunghi studij quanto bene mi sia successo; lascierò, senza dir cosa alcuna, la cura di far giudicio à quelli; che si degneranno (hauendo intelligenza delle cose della Musica) di ueder le mie fatiche.Nota per i maligni. Percioche, oltra quello, ch'io hò pigliato da gli Antichi, per l'ordimento di questa mia tela; cioè, di quelle cose, c'hauea da dimostrare; ne hò dimostrate & dichiarate tante; che se tutti coloro, c'hanno dato & danno opera alla Musica, affaticato si hauessero, & anco si affaticassero nel modo, c'hò fatto io; credo, che non passarebbe molto tempo, che questa dignissima Scienza pigliarebbe tanto accrescimento, quanto habbia fatto alcun'altra; sia qual si uoglia, ch'è compresa sotto questo titolo di Mathematica, ò sotto qualunque altro. Io per me hò fatto la parte mia, & uoglia Iddio, che venga volontà à qualche Spirito nobile, di ridurre alla perfettione quello, che fin'hora hò (dirò cosi) abbozzato; perche allora forse si potrà ueder quello, che sarà di gran contento à quelli, che sono curiosi di sapere perfettamente, & secondo la verità le cose di questa Scienza. Essendoche fin'hora ne hò posto tante in campo; che ciascheduno, che uorrà seguitar più oltra, potrà hauer soggetto, & materia di ragionare ampiamente. Ma non più di questo; percioche fà dibisogno ritornare al nostro proposito. Però dico; che 'l Sole già per vna Duedecima parte del suo cerchio hauea passato la linea del Mezo giorno; quando ciaschedun di noi, udito il segno del Vespero; senza dimorar punto, si Dimost. Harm. I 3 ridussepage 134 134 Ragionamento ridusse al solito luogo; onde dopò l'hauer discorso vn gran pezzo di tempo sopra quelle cose che 'l giorno inanti furono ragionate; incominciò M. Adriano (volendo che si desse principio ad un'altro ragionamento) in cotal modo à parlare. Il desiderio ch'io tengo di udir cose noue, mi fà ch'io essorti M. Gioseffo à dar principio à quello, che segue à i Ragionamenti hauuti insieme i due giorni passati. Però tanto più presto, che uoi incominciarete; tanto più l'haueremo caro. Dopoi, finito quello, c'hauete da dire; se 'l tempo ce lo concederà; uolendo ragionar d'alcun'altra cosa; si potrà ragionar con più commodità. Veramente M. Adriano, disse il Signor Desiderio; che voi dite bene; però quando ui piacerà di incominciar M. Gioseffo, noi v'ascoltaremo uolentieri. Io son quì (risposi) per obedirui & satisfarui in questo fatto; & mi piace che non perdiamo 'l tempo in altre cose; perche hoggidi hò da dirui cose assai. Ma douendo dar principio à questo nostro Terzo ragionamento, ui uoglio fare auertiti; che fin'hora il parlar nostro è stato tutto speculatiuo; ne mai habbiamo parlato (come ricordarui potete) d'alcuna cosa; onde ui sia stato bisogno di operar manualmente. Il perche si può dire, che le Proposte, le quali fin'hora u'hò dimostrato; più tosto siano state Theoremi, che Problemi; essendoche habbiamo trattato de Numeri & Proportioni, & ueduto come le Consonanze & gli Interualli minori habbiano l'origine loro dalla diuisione harmonicamente fatta delle Consonanze maggiori; & come queste siano reintegrate, ouer contengano quelle, come sue parti. Hora farà dibisogno di uenir qualche fiata à i Problemi; & adoperare le mani, la riga & il Compasso; accommodando gli Interualli, de i quali habbiamo parlato, alle Proportioni loro sopra 'l Corpo sonoro; accioche riduchiamo in atto le nostre speculationi, & le potiamo udir col mezo loro, che ce le conduce sotto 'l giudicio del Senso. Ma uolendoci ridurre à quest'atto, vi concorrono alcuni Istrumenti; senza i quali non si può far cosa buona; onde accioche si conoscano, porrò le lor Definitioni, delle quali la prima sarà di quello, che nelle Istitutioni2. par. c. 27. nominai Monochordo; & Tolomeo,Harmoni. lib. 1. cap. 8. con BoetioMusicae li. 5. cap. 2. & molti altri lo chiamano Regola harmonica; co 'l mezo della quale ui ridurrò à memoria quel ch'ello sia, & à che fine ei sia stato ritrouato. Ascoltatemi adunque.

DEFINITIONE PRIMA.

Regola harmonica è Istrumento, nel quale col mezo d'un'altro detto Hemispherio (hauendo aggiunto 'l giudicio della Ragione con quello del Senso) in vna chorda, ò più tiratole sopra, si và inuestigando le ragioni delle Consonanze, & delle parti loro.
CONOSCO benissimo questo Istrumento; disse M. Adriano; percioche essendo un giorno in casa uostra me lo mostraste. Anch'io l'ho ueduto; soggiunse il Viola. Comprendo hora quello che volete dire, disse à questo il Signor Desiderio; confrontando questa Definitione col Cap. 18. della Seconda parte delle Istitutioni. A queste parole aggiunse il Merulo; Io posso saper quel ch'ello sia, poi che n'hò uno in casa; il quale mi donò M. Vincenzo Colombi eccellente fabricatore d'Organi; onde non accade farui sopra altra espositione. E' vero; risposi; Ma auertite ch'alcuni chiamano Regola harmonica vna Listella fatta di legno, nella quale prima da un capo all'altro ui sia tirato una Linea; sopra la quale si fà le Diuisioni, come vedrete, & dopoi si pone sotto quell'Istrumento, che chiamai Monochordo; sopra 'lquale ui siano solamente tese le chorde; senza esserui Linea alcuna tirata nel mezo. Ma sia comepage 135 Secondo. 135 come si uoglia: è quell'Istrumento, c'hauete ueduto in casa mia. Però uerrò à dirui quel che sia Hemispherio. Dico adunque; che

DEFINITIONE II.

Hemispherio è Istrumento mobile, il quale serue alla Regola harmonica posto sotto le chorde tiratole sopra, come conuiene, per vdir gli Interualli in essa accommodati alle lor proportioni.
SE 'L si hà da giudicar questo Istrumento, disse il Sig. Desiderio; secondo che suona il suo nome; dirò ch'ello è una meza Sphera. Quanto al nome (dissi) bisognerebbe, che cosi fusse, ma in fatto è la Metà della metà, che uiene ad essere un quarto; come hora ui dipingo; sia poi di legno, ò di metallo, che questo importa poco. Et
HEMISPHERIO
questo poneuano gli Antichi in luogo del Scanello, ch'io hò vsato & mostrato nel Cap. 20. della Seconda parte delle Istitutioni; hora mobile & hora immobile; il che si può chiaramente uedere nell'Vltimo Cap. del Lib. 4. della Musica di Boetio. Ma non ui uoglio porre al presente altre Definitioni; perch'io uoglio che queste insieme con l'altre, ch'io ui proposi ne i passati ragionamenti ui siano à bastanza per il ragionamento d'hoggi; ne gli altri poi ui proponerò quelle, che torneranno al nostro proposito. A questo, disse il Signor Desiderio; Haueteci à proporre altre Dignità, ò Massime, oltra quelle, che ci hauete proposto? Nò; gli risposi; percioche quelle ci haueranno à seruire sufficientemente in tutti i nostri ragionamenti. Intorno alle Dimande poi; soggiunse M. Adriano; ui contentate forse di quelle cose solamente, che 'l primo giorno ci hauete richiesto? Messer nò; gli risposi; anzi uolendoui dimostrare operatiuamente quello, che ui son per dimostrare; è necessario, che mi concediate molt'altre cose; altramente non ui potrei dimostrar cosa alcuna. Et tra l'altre fà dibisogno, che mi concediate neccssariamente questa; che

DIMANDA PRIMA.

Distesa, & tirata vna chorda equale sopra qual si uoglia cosa, quella proportione, che si troua da Spacio à spacio, quell'istessa anco sia da Suono à suono.
IL Sig. Desiderio à questo disse; E' necessario per certo; percioche non ue lo concedendo, non potreste dimostrar cosa alcuna non hauendo altra uia, che sia più ferma & stabile di quella della Diuisione della chorda; al che soggiunse M. Adriano; Anzi sopra di questa, mi pare, com'io lessi nelle Istitutioni;1. par. c. 19. & 2. part. c. 18. che fondate tutto 'l uostro parlare. Cosi è Messere: risposi. Et perche Vitelione dimanda;Perspec. lib. 1. peti. 3. che si gli conceda; che Quando due Superficie si toccano insieme, facciano una Superficie sola; però ancora io ui dimando, che mi sia concesso da uoi; che Dimostr. Harm. I 4 DIMAN-page 136 136 Ragionamento

DIMANDA II.

Quando due ò piu Chorde saranno tirate sopra vn'istessa spacio vguale, & accordate insieme perfettamente vnisone, siano riputate, ouer faciano una chorda sola.
MI concedete questa, ò pur la negate Messere Adriano? Anche questo (egli rispose) è il douere che ui si conceda; essendo che (come dichiarate nelle Istitutioni2. Instit. cap. 11.) l'Vnisono non si fà maggior d'interuallo; come affirmatiuamente tengono alcuni nouelli professori di questa Scienza; iquali dicono che due Vnisoni aggiunti insieme fanno una Seconda; tre fanno una Terza; quattro fanno una Quarta; & cosi aggiungendo gli altri per ordine vanno accrescendo l'Interuallo; il che è falsisfimo appresso d'ogni mediocremente essercitato nelle cose della Musica; essendo che facendosi à questo modo tale Interuallo (se cosi si può dire) non si fà altramente maggiore; come hò anco detto; percioche si potrebbe anche dire, che la Linea si facesse de Punti; aggiungendo l'uno all'altro; il che è impossibile: onde nel farsi cotali l'Interualli la cosa uà altramente; essendo che non si aggiunge vno di essi ad vn'altro; ma si aggiunge uoce à uoce, ouer suono à suono. Questo veramente hanno detto con poca consideratione; disse il Signor Desiderio; & con poca intelligenza dalle cose; & pami una gran pazzia; percioche (com'io credo) cosi come aggiungendo acqua ad acqua dell'istessa qualità, non si uiene à comporre vn misto; ma si molteplica solamente cotale acqua; cioè, la quantità douenta maggiore; cosi aggiungendo un Suono ad un'altro equale, non si muta la prima qualità; ma si molteplica i suoni, ò le Voci. Dite bene per mia fè; risposi; & la comparatione quadra benissimo, stando nella qualità; Però uerremo all'altra Dimanda; la qual sarà questa.

DIMANDA III.

Che si possa diuidere qual si voglia Spatio in quante parti farà dibisogno.
ANCHE questa; disse M. Francesco; ui si può concedere. Non credo già risposi; che essendomi stati fin'hora liberali, che per l'auenire vogliate essere auari; però concedetemi anco; che

DIMANDA IIII.

Il Tutto rispetto alla Parte; & il Più rimesso al più tirato, rendi il suono più graue; & per il contrario; la Parte & il più tirato dia il suono più acuto.
NE questo, aggiunse M. Claudio; ui si può negare; percioche quando noi accordiamo qual si uoglia Istrumento da chorde; vediamo esser uero quel che dimandate. Questo vediamo etiandio ne gli altri Istrumenti da fiato, & maggiormente ne gli Organi; imperoche s'io haurò una Canna, la quale sia più graue di quello, che la uorrei; tanto più ch'io la faccio corta, tanto più il suono, che da lei uiene, si fà acuto. A questo soggiunsi; Ancora che ad alcun di uoi parerà forse, ch'io replichi quasi la Prima dimanda; tuttauia quando considerarete quel, ch'io dimando hora, potrete conoscer la differenza; percioche quello, ch'io uoglio al presente è; che mi concediate. DIMAN-page 137 Secondo. 137

DIMANDA V.

Ogni proportione esser tanto, quanto di numero à numero.
REPLICO' qui il Sig. Desiderio; Par bene, che ella sia quell'istessa, che è la prima; ma quella parla del Spacio referito al suono, & questa del Spacio referito al numero. Voi dite bene; risposi, Et queste saranno quelle cose, ch'io uoglio hauerui dimandato; percioche con esse potrò dimostrar tutto quello, che hoggi ui uoglio proporre. La onde per non andar più in lungo; se cosi ui è in piacere; uerremo alle Proposte. Disse à questo M. Adriano; Anzi tutti noi ui preghiamo à dar principio à quel che ui par, che sia più espediente. Incomincierò adunque; soggiunsi; da una Dimostratione delle più facili, che sarà come Elemento delle seguenti; la quale intesa, non è dubio, che l'altre non ui saranno punto difficili; & sarà questa.

PROPOSTA PRIMA.

Sopra una data chorda distesa si può collocare 'l Tuono alla sua proportione.
QVESTA ui potrà esser facile; se uoi hauerete à memoria quello, ch'io dimostrai nel cap. 18. & 19. della Seconda parte delle Istitutioni. Ce lo ricordiamo benissimo, disse M. Adriano; Ma se ben mi ricordo quelle Sei cose, le quali entrano in ogni perfetto Problema, ò Theorema; nella Proposta, ch'è Problema, non Theorema; non si ritroua il Dato, & anco il Quesito; il primo de i quali è la data Chor da, & il secondo è il Tuono? E' uero dissi; & ei subito soggiunse; A' questa non seguita poi la Seconda cosa, che è la Espositione del Dato? Cosi è, risposi. Fatela adunque se 'l vi piace, replicò egli. La onde cominciai in cotal modo; Sia adunque ab. la data chorda di stesa; sopra la quale habbiamo da collocare il Tuono alla sua proportione. Auertite Messere, che in queste poche parole si ritrouano due cose; prima, quella che hauete nominato; cioè, l'Espositione del Dato; quando dico; Sia ab. la data chorda distesa; ma la seconda è la Espositione del Quesito; quando dico; Sopra la quale habbiamo da collocare il Tuono alla sua proportione; onde tutta questa prima parte è finita; & però uengo alla Costruttione, & dico; Diuido prima essa ab. pert a Terza dimanda d'hoggi in noue parti equali; secondo 'l termine maggiore della proportione del Tuono; la quale, per la Nona proposta di heri, è Sesquiottaua; di maniera, che cb. uenga à contenere otto parti; secondo 'l termine minore della nominata proportione; & qui finisco la Costrut
tione. Stà bene, disse egli; & mi ricordo, & credo che hora bisogna pronunciar la Costruttione. Cosi è risposi; però seguo in questo modo; & perche ab. & cb. contengono il Tuono; però dico sopra la data chorda distesa esser collocato il Tuono alla sua proportione. Fate hora, disse M. Adriano, la Dimostratione, che sarà la Quinta cosa. Voglio; risposi; percioche senza essa haurei fatto nulla. Onde dico prima; Quell'Interuallo, del quale la maggior de due quantità contiene la minore & una sua Ottaua parte; per la Quin ta definitione del Primo ragionamento; è Sesquiottauo. Dopoi soggiungo, Tutto lo Spacio della chorda ab. contiene lo Spacio cb. una fiata & una sua Ottaua parte; essendo chepage 138 138 Ragionamento che ac. è equale ad una delle sue Ottaue parti; adunque, lo Spacio ab. allo Spacio eb. è Sesquiottauo. La onde; per la prima Dimanda poco fà propostaui, quell'istessa proportione sarà del Suono di tutta la chorda ab. alla chorda cb. che si troua dallo Spacio a b. allo Spacio cb. Et anco per l'Vltima dimanda; Quella proportione, che si troua tra a b. & cb. ne i Spacij, quell'istessa si trouarà tra Numero & numero; cioè, tra 9. & 8. La onde per aggiunger l'ultima parte; ch'è la Conclusione, dico; Ma la Sesquiottaua è la forma del Tuono; Adunque tra le chorde ab. & bc. è contenuto il Tuono. Et cosi Sopra una data chorda distesa habbiamo collocato il Tuono alla sua proportione; secondo la proposta; & questo è quello, che ui douea dimostrare. Io hauea dibisogno, disse M. Adriano; che di nuouo commemoraste quelle Sei cose, che di sopra habbiamo nominato; percio che hauendole hora applicate alla proposta, la quale è musicale, mi sono tanto bene affissate nella memoria; che mai più da me si partiranno. Ma parmi, che questa proposta sia stata vniuersale; nondimeno l'hauete accommodata al Tuono maggiore; se ben si poteua intendere anco del minore; questo importa pur qualche cosa. Auertite Messere, dissi; per non replicar tante fiate 'l nome di maggiore, che quando per l'auenire nominerò il Tuono, senza aggiunto alcuno di maggiore, ò di minore, d'intender sempre per una certa eccellenza il Maggiore, & non lo Minore. Percioche quando nominerò questo, v'aggiungerò sempre questo termine Minore, per distinguerli l'un dall'altro. Deh di gratia, disse M. Claudio; se non vi rincrescie, dimostrateci anco, in qual maniera.

PROPOSTA II.

Si può accommodare il Tuono minore alla sua proportione sopra vna data chorda distesa.
QVESTO io farò volentieri; gli risposi ma non ui starò à dir cosa alcuna più delle Sei cose di sopra nominate. Però incominciando dico; Sia ab. la distesa chorda, sopra la quale; nel modo c'habbiamo collocato il Tuono Sesquiottauo & maggiore; uogliamo etiandio collocare lo Sesquinono & minore. Diuido
per la Terza dimanda, in Dieci parti equali la chorda da ab. secondo 'l termine maggiore della proportione Sesquinona, la quale è la forma del proposto Tuono; di tal sorte, che cb. habbia noue parti, secondo 'l termine minore, & ac. sia una parte. Ilche fatto, Dico ab. & cb. contenere il Tuono minore, & sopra tal chorda esser collocato esso Tuono alla sua proportione. Et perche tutto lo Spacio ab. contiene cb. & la sua nona parte; essendo che ac. è equale ad una delle noue; però, per la Quinta definitione del primo giorno, lo Spacio ab. è Sesquinono con cb. La onde la Prima dimanda d'hoggi ci concede; che quella proportione istessa, che si troua tra la chorda, ò Spacio ab. con la cb. quell'isteass si troui ancora tra 'l Suono causato da tutta la chorda ab. con quel che nasce dalla cb. Et per l'Vltima, quella proportione, che si troua tra ab. & cb. ne i Spacij, quell'istessa si troua tra Numero numero; cioè, tra 10 & 9. La onde essendo tra ab. & cb. la proportione Sesquinona; & essendo questa proportione, per la Nona proposta del giorno precedente, la forma del Tuono minore; seguita, che tra ab. & cb. sia collocato & accommodato il Tuono minore sopra la data chorda alla sua proportione, secondo la vostra proposta; come dimostrar ui douea. Resto di questo satisfatto, disse M. Claudio. Vi piaceranno anco l'altre; come spero; risposi; però ascoltate questa Terza. PRO-page 139 Terzo. 139

PROPOSTA III.

Si può soggiungere un Tuono, ò quanti si uogliano sopra vna data chorda ad un'altro Tuono.
CREDO, che vi ricordate quello, che io scrissi nelle Istitutioni1. par. cap. 31. & 32. Et. 2. part. cap. 21. & 22. intorno la materia del Soggiungere & del Preporre l'una all'altra le Consonanze, & anche le Proportioni; onde non ui sarà difficile quel ch'in questa ui hò da dimostrare. Però qui non replicherò altro; ma uerrò alla dimostratione. Sia adunque ab. la data chorda, sopra la quale, per la Prima proposta; sia accommodato ab. & cb. Tuono alla sua proportione; al quale faccia dibisogno di soggiungerne vn'altro, ouer più, come torna in proposito. Diuido, per la Terza dimanda di questo, cb. in noue parti equali, per il ter
mine radicale maggiore del Tuono; & nel principio delle otto segno d. accioche db. ne contenga otto, per il minor termine; & cb. ne contenga noue. Il perche è manifesto, per la Prima proposta, che cb. & db. risonerà il Tuono. Ma perche ab. & cb. è Tuono, & simigliantemente cb. & db. è Tuono adesso ab. & cb. congiunto; però dico, che sopra la data chorda habbiamo soggiunto un Tuono ad un'altro; secondo la proposta. Et questo è quello, che vi douea di mostrare. Ne vi sarà cosa difficile da fare; quando à questi due ne uoleste aggiungere un Terzo, oueramente qualunque altro Interuallo, che più vi piacesse; percioche diuidendo 'l restante di tutta la chorda, che è db, secondo 'l termine maggiore radicale della proportione dell'Interuallo, che vorrete accommodare; & pigliate quelle parti, che fanno per il numero delle Vnità, che sono contenute nel minore; come insegna la Prima proposta; potrete sempre hauer quello, che ricercarete. Io intendo benissimo ogni cosa; à questo rispose M. Adriano; percioche mi ricordo quello, che hauete scritto in questa materia nelle Istitutioni;1. par cap. 31. Et. 2. part. cap. 21. onde intorno à questa cosa non mi nasce dubio alcuno. Ma vi uoglio solamente dire; che mi pare, che questa cosa vadi sempre ad vn modo; purche si osserui di diuider la chorda, sopra la quale si vuole accommodar l'Interuallo alla sua proportione, secondo i termini contenuti nella sua Radice. Que sto è uero Messere; gli risposi; Percioche quanta varietà può intrauenire, lasciamo di dir quanto al sito, è quella delle Proportioni; percioche l'vna può esser dell'altra maggiore; ma quanto all'operare, è un'istesso modo di vna, con quello che serue all'altra. Quest'istessa anco uedete nella Geometria; percioche (per darui un'essempio) volendo di Tre linee rette, che siano pari à Tre altre rette date, formare un Triangolo; sempre si fà ad un modo; purche le Due in qualunque modo prese siano maggiori dell'altra; come per la Ventesimaseconda del Primo de gli Elementi d'Euclide è manifesto; siano poi quanto si vogliano corte, ò lunghe le date Tre linee, che non fà caso alcuno. Et di questo credo che il Sig. Desiderio, come quello, che ha veduto molti autori, se ne potra ricordare. Me ne ricordo ueramente, rispose egli; Onde non ui è dubio alcuno, che la cosa non sia, come l'hauete detta. Mi piace, dissi, che ue lo ricordate; Ma perche habbiamo nomina to la Geometria, ui uoglio dire, ch'io spero, che vederete ne i miei Sopplimenti4. Supple. cap. 21. un modo nouo facile (com'io credo) di Molteplicare, soggiungendo l'uno all'altro quanti Interualli si uorranno, contenuti da un'istessa proportione; che verranno ad essere proportionali; & questo col mezo della Geometria. Et credo che ui piacerà molto; percioche è (com'hò detto) facile, breue & ingegnioso. Questo haueremo molto grato M. Gioseffo: disse il Viola; però sforzateui di dar presto in luce cotali Sopplimenti; acciò potiamo vederepage 140 140 Ragionamento uedere qualche cosa di nuouo. Pregate il Sig. diss'io; che mi dia gratia di poterlo fare; poi che ogni cosa è all'ordine. Ma non perdiamo il tempo, & passiamo un poco più oltra.

PROPOSTA IIII.

Si può preporre vn Tuono ad vn'altro già accommodato sopra vna data chorda.
CREDO, disse; vdendo questo il Viola: che questa Proposta corrisponda al Cap. 32. della Prima parte, & al 22. della Seconda delle Istitutioni; & però credo anco, che non haurò difficultà d'intenderla; essendo che mi ricordo bene tutto quello, che contengono questi due Capitoli. Ma perche ui hauete obligato di dimostrar tutto quello, che uoi proponerete; però dimostratela. Credo; risposi; che ui ricordate, che ne i luoghi, che m'hauete allegato, voglia; percioche cosi fà dibisogno; che primieramente si sommino insieme quelle proportioni, lequali si vogliano accommodare & preporre l'una all'altra, & ridurle sotto una sola Denominatione. Però sia (come dice la Proposta) che vogliamo preporre un Tuono ad un'altro sopra una data chorda; Sommaremo prima le proportioni de due Tuoni insieme, le quali sono due Sesquiottaue, nel modo ch'io mostrai nel Cap. 33. della Prima parte delle Istitutioni, & haueremo questi termini 81. & 64. iquali, per la Nona definitione del Primo ragionamento saranno radicali; percioche non possono esser numerati communemente da altro numero, che dall'Vnità, & conteneranno la Super. 17. partiente 64. che sono due Tuoni Sesquiottaui sommati insieme. Dopoi, sopra la data chorda ab. accommodaremo questi Tuoni; diuidendo, per la Terza dimanda, lo Spacio ab. in Ottantauna parte equale; diuidendola prima tutta in Noue; dopoi diuidendo quella parte, ch'è più vicina allo a. che sarà ad. in altre Noue parti equali, perche faranno 81. per il Tutto di tutta la chorda a b. Onde con l'istessa ragione & apertura di Compasso; aggiungendo à queste noue parti
fin'al punto c. altre Otto; ac. ne uerrà à contenere 17. le quali leuate da 81. resteranno 64. Il perche dico cb. contenere 64. parti di tutta la chorda ab. & esser per il termine minore delle sommate proportioni. Dico hora ab. contenere la nominata proportione. Percioche se tutto lo Spacio della chorda ab. contiene cb. una fiata & 17. Sessantesimequarte parti; Adunque per la Sesta definitione del Primo; lo Spacio ab. sarà Super. 17. partiente 64 al cb. Et per la Prima dimanda, sarà l'istessa proportione di Suono à suono della chorda ab. alla cb. che si troua tra lo Spacio ab. al spacio cb. & per la Quinta, quella proportione, che si troua tra ab. & cb. ne i Spacij, quell'istessa si troua tra Numero & numero. Ma perche ab. & cb. è Interuallo composto di ab. & dh. & di db. & cb. che sono due Tuoni Sesquiottaui; però, per la Seconda dignità, risoluendosi il composto ab. & cb. in ab & db. & in db. & cb. dico ab. & db. tanto esser Tuono, quanto è db. & cb. Onde essendo db. & cb. Sesquiottauo; sarà anco Sesquiottauo ab. & db. Et, per la prima Dimanda di questo, tanta sarà la proportione di Suono à suono, quanta di Spacio à spacio. Habbiamo adunque al Tuono cb. & db. preposto il Tuono ab. & db. secondo 'l nostro proposito; come vi doueà dimostrare. Auertite però, che questo modo di preporre si fà, quando bisogna che 'l Tutto della chorda ab. sia l'estremo graue del Tuono, che si hà da preporre. Et il sommare insieme le proportioni non si fà ad altro effetto; se non accioche hauendo prima accommodato quell'Interuallo alla sua proportione, al quale se ne uoglia un'altro preporre, dopoi quello, che si hà da preporre, habbia tanta parte di chorda, che sia capace dell'Interuallo; percioche quando noi fussemo certi, chepage 141 Terzo. 141 che tale Spacio fusse capace dell'Interuallo, che uogliamo preporre; ouer che prima fusse accommodato alla sua proportione quell'Interuallo, al quale ne vogliamo aggiungere un'altro, non accaderebbe fare altra somma. Però adunque poniamo, che per le due cose nominate, fussemo certi, che non bisognasse far'altra somma, & che euidentemente apparesse, che quella parte di chorda, sopra la simile tale Interuallo si uolesse accommodare, fusse capace, procederemo à questo modo. Sia la chorda ab. sopra la quale sia accommodato, per la Prima di questo, il Tuono cb. & db. alla sua proportione; al quale vogliamo
preporre un'altro Tuono. Diuido prima cb. in Otto parti equali, per il termine minore della proportione del Tuono; alle quali, secondo la ragione istessa, aggiungo la Nona, la quale segno e. onde ne viene eb. Dico, che tra eb. & cb. habbiamo collocato il Tuono alla sua proportione, & l'habbiamo preposto al Tuono cb. & db. Imperoche tutta la chorda eb. contiene lo spacio cb. & una sua Ottaua parte; essendo che ec. viene equale ad vna delle parti di cb. adunque per la Definitione, lo spacio eb. è Sesquiottauo allo spacio cb. Et per la Prima Dimanda di hoggi, quell'istessa proportione è del Suono di tutta la chorda eb. alla chorda cb. che si troua dallo Spacio eb. allo spacio cb. Et, per la Quinta; quella proportione, che si troua tra eb. & cb. ne i Spacij, ò Interualli, quell'istessa è tra Numero & numero; cioè, tra 9. & 8. Ma perche eb. è Sesquiottauo al cb. & è la forma del Tuono; per la Nona di heri, è la Sesquiottaua proportione; però dico, che tra eb. & cb. habbiamo collocato il Tuono alla sua proportione. Simigliantemente; perche eb. & cb. proportione è proposta alla proportione cb. & db. essendo cb. & db. Tuono, & anco eb. & cb. però dico, c'habbiamo preposto il Tuono eb. & cb. al Tuono cb, & db. il che è secondo la proposta, & come ui douea dimostrare. Disse allora M. Francesco; Chi uolesse preporre un'altro Interuallo, che fusse di proportione diuersa, credo, che si potrebbe tener l'ordine istesso; s'io non m'inganno. Al quale risposi; Non u'ingannate altramente; purche si osserui la varietà de i termini delle proportioni. Onde se hauesti da preporre il Tuono maggiore, contenuto dalla proportione Sesquiottaua, al minore, contenuto dalla Sesquinona; bisognarebbe tener quell'ordine istesso; sommando prima i termini radicali delle lor proportioni, se fusse dibisogno, che sono. 9. 8. & 10. 9. Percioche ne verrebbe 5. & 4. dopoi diuidendo tutta la chorda per il numero maggiore de i prodotti; si pigliarebbe le Quattro parti, secondo 'l numero delle Vnità contenute nel minor termine de i prodotti, & si hauerebbe insieme accommodato alla sua proportione i sommati due Tuoni; iquali pongo che siano tra ab. & cb. del primo essempio. Ma per preporre il maggiore al minore, diuideremo la chorda minore in Noue parti equali, per le Vnità contenute nel minor termine del Tuono minore; Onde aggiungendouene un'altra, secondo le Vni tà del termine maggiore, haueremo proposto il Tuono maggiore al minore, secondo 'l proposito; il quale per cagione d'essempio, diremo che sia ab. & db. & lo minore db. & cb. Hora uolendo vdire in atto tutto quello, che si è operato; tirato che si haurà sopra la Regola harmonica due chorde di grossezza vguale, di lunghezza della ab. & accordate perfettamente insieme vnisone, saranno (per la Seconda dimanda di hoggi) riputate vna chorda sola. Il perche posto l'Hemispherio sotto una di esse chorde nel segno d. & toccata la ab. prima, & dopoi la db. oueramente percosse tutte due insieme; si udirà senza dubio alcuno il suono di tutta la Chorda ab. col suono della Chorda db. mandar fuori l'interuallo del Tuono. Et se 'l si porrà, ò spingerà l'Hemispherio della Chorda db. nel punto c. dal percuotere prima la Chorda ab. & la cb. dopoi; oueramente del percuoter queste due insieme, vdiremo l'Interuallo composto de due Tuoni Sesquiottaui, il quale senza dubio non è consonante. Ma se sotto la Chorda ab. porremo un'Hemispherio in punto d. tra la db. & la cb. si udirà un'altro Tuono più acuto del primo per una Sesquiottaua proportio-page 142 142 Ragionamento portione, il quale è della quantità del Tuono ab. & db. posto nella parte graue. Per cotal modo (adunque) qual si uoglia Interuallo si potrà porre sotto 'l giudicio del senso dell'Vdito; come mostrai etiandio nelle Istitutioni,2. par. c. 2. & udir anco, percotendo insieme cotali chorde, ogni Consonanza & Dissonanza; & aggiungendoli una terza chorda, ogn'Harmonia accommodate alla loro proportione. Qui disse M. Adriano; Parmi, che fin'hora hauete dimostrato assai; & molto mi piace, ch'alle fiate ci andate riducendo alla memoria alcune cose, c'hauete insegnato nelle Istitutioni; percioche tanto più si affisseranno nelle nostre menti; quanto più ce le ricordarete; di maniera, che noi credo, che cosi tosto si partiranno. Allora, disse M. Francesco; Queste cose Mathematiche sono à me tanto difficili, quanto alcun'altra cosa; & cosi credo che sia anco à molti altri; da tenersi à memoria. Onde non senza frutto si possono spesse fiate replicare. Il perche ne sento ueramente un gran contento. A questo, disse M. Claudio; Sono di gran giouamento per ogni modo, tanto più, quanto dalla uiua uoce procedono, & con gli essempij si pongono auanti gli occhi; percioche queste due cose aggiunte insieme hanno grandissima forza. Questo è uero, dissi; la onde ui uoglio anco dire una cosa; che ritrouarete ne i poco fà nominati Sopplimenti;4. Supple. c. 22. & 23. aiutati dalla Geometria, il modo di molteplicare aggiungendo ò proponendo quanti si uogliano Interualli, l'uno all'altro proportionalmente; modo poco differente da quello, ch'io hò commemorato poco fà; sopra la Regola harmonica; & etiandio un modo di riportar nell'acuto, ò nel graue qual si uoglia Ordine de proportioni accommodato nella detta Regola; senza far molte repliche di alcuna diuisione; operando il tutto con la Riga solamente, & col Compasso. Questo credo ueramente, disse M. Adriano; che non potrà essere se non grato; uenendo à minuire la fatica & la lunghezza del tempo nell'operare; cose à tutti molto noiose; però Iddio ui dia gratia, che li potiate porre in luce, & presto. Cosi faccia il Sig. Iddio, risposi, à laude & gloria sua. Ma seguitando la nostra impresa, uerremo ad un'altra proposta.

PROPOSTA V.

Qual si voglia Spacio diuiso in molti spacij equali, è minore la proportione del Tutto alla Parte della vicina diuisione, che di essa Parte à tutto 'l restante delle parti, che seguono à lei più vicine.
QVESTA mi pare, disse M. Adriano; non solamente bella; ma vtile ancora da sapere. Vi douete pure ricordar quello, ch'io chiamo Spacio, gli dissi. Benissimo, rispose; onde il Sig. Desiderio soggiunse; Non chiamate uoi Spacio la Lunghezza de tutte quelle cose, le quali possono mandar fuori Suono? come sono Chorde, Nerui, Aria mandato dal petto, & ogn'Istrumento qual si uoglia da fiato? come sono Canne d'Organi, Pifferi, Trombe, Cornetti & altri simili? Queste cose tutte si chiamano ueramente Spacio, risposi; nelle quali si ritroua una certa proportione, col mezo della quale ritengono quasi un'istessa natura. Però adunque sia tutto lo Spacio ab. diuiso, per la Terza dimanda, in Noue parti equali; cioè, ac. cd. de. ef. fg. gh. hi. ik. & kb. Dico la proportione ab. & cb. esser minore della proportione cb. & db. Imperoche essendo ab. diuiso per i punti c. d. e. f. g. h. i. k. in Noue parti equali, cb. contiene Otto di esse parti, delle quali ab. ne contiene Noue, & ab. contiene lo spacio cb. & una sua Ottaua parte, la quale è ac. Ma perche cb. contiene Otto parti equali alla cd. però db. de tutte le parti ne contiene solamente Sette. Adunque cb. contiene lo Spacio db. & una settima sua parte, ch'è cd. Ma essendo la Ottaua parte, per la Nona dignità, minore della Settima; per la Ottaua dignità di nuouo diremo, che ab. & cb. proportione Superparticolare sia minore della cb. & db. come quella, ch'è denominata da parte minore. Essendo che dalla Set-page 143 Terzo. 143
la Settima parte è denominata la Sesquisettima, & dall'Ottaua la Sesquiottaua. Adunque; Qual si uoglia Spacio diuiso in molti Spacij equali, è minore la proportione del Tutto à tutta la Parte della uicina diuisione, che di essa parte à tutto il restante delle Parti, che seguono più uicine; come ui douea dimostrare. Allora M. Francesco disse, questo hauete dimostrato benissimo nelle Istitutioni,1. par. cap. 40. parlando della Progressione, ò Proportionalità arithmetica; percioche (per addur l'essempio che mostrate) tra 4. 3. 2. che sono termini differenti per la Vnità; come sono etiandio le Parti fatte dello Spacio, che hauete diuiso tra 3. & 2. ui è la proportione Sesquialtera, & tra 4. & 3. la Sesquiterza, le quali sono due proportioni differenti; come à ciaschedun di noi è manifesto. Voi hauete detto bene; gli risposi; & questo istesso, che uoi dite (se ui ricordate) vi dimostrai heri nella Duodecima proposta. Ma vdite che bel Corollario ne segue da quello, che detto habbiamo de i Spacij equali, in quelli che sono di proportione equali & proportionali.

COROLLARIO.

De qui auiene; Che quanto più gli Interualli simili di proportioni in acuto si molteplicano, & l'uno all'altro si soggiungono; tanto più contengono i Spacij ristretti & minori. Et quanto più nel graue l'uno all'altro si prepongono, tanto più i Spacij sono maggiori & più larghi.
ET questo si fà manifesto per la Quarta dimanda d'hoggi, che 'l Tutto rispetto alla Parte più grauemente, & la Parte rispetto al Tutto più acutamente suona. Onde se al Tuono, il quale senza dubio è collocato tra ab. & cb. si aggiungerà un'altro Tuono; quel che s'aggiungerà, sarà senza dubio più acuto di tanta proportione, quanta è quella, ch'è contenuta nel primo. La onde se lo Spacio cb. si haurà da partire in Noue parti equali, ciascheduna di essa uerrà minore dello Spacio cd. il quale è la sua Ottaua parte. Imperoche è la Nona, & è denominata da maggior numero, che non è la Ottaua. Sarà adunque ciascheduna delle Noue parti minore dello Spacio ac. essendo che ac. & cd. sono equali. Et questo, ch'io hò detto d'un tuono, si potrà dire anco di ciaschedun'altro, che si aggiungesse verso l'acuto. Non uoglio però, che vi ristringiate à credere, che questa Proposta sia uera nell'Interuallo, ò Spacio del Tuono solamente; ma sapiate, che è commune à qualunque altro Interuallo, sia qual si uoglia, ò grande, ò picciolo; pur che s'osserui l'istessa proportione. M. Adriano à questo, disse; Questa cosa è chiara, & non porta seco dubitatione alcuna. Seguitando adunque (dissi) è manifesto, che quanto più in acuto un Tuono, ò altro Interuallo qual si uoglia d'un istessa proportione, s'aggiunge all'altro; tanto contiene i Spacij più ristretti & minori ò per il contrario; nel graue saranno tanto più larghi & maggiori; come dice la Proposta. Ma che direte di questo? che

PROPOSTA VI.

Diuiso il Tuono nel mezo delle sua estremità in due parti equali, non è diuiso però in due parti proportionali.
QVA-page 144 144 Ragionamento QVALE è il mezo delle estremità, disse il Sig. Desiderio. Hora ve lo dirò; dissi; Sia ab. & cb. l'interuallo del Tuono accommodato alla sua proportione, & sia diuiso ab. come nella Precedente si è fatto; da c. d. e. f. g. h. i. k. in Noue parti equali. Dico che 'l mezo delle estremità del Tuono, che sono ab. & cb. & è quello Spacio, che si troua tra a & c. ilquale se bene è diuiso da l. in due parti equali, non è però nella Regula harmonica diuiso in due parti proportionali. Adunque; soggiunse egli; uoi uolete inferire, che se 'l si diuiderà lo Spacio ac. della detta Regola in due par
ti equali; il Tuono non sarà però partito in due Interualli equali proportionali. Cosi dico, risposi; & il Sig. Desiderio soggiunse; Come è possibil questo? Lo vederete tosto, dissi, se hauete inteso la precedente. Ma notate, acciò non prendesti errore; ch'io dico diuidere in due parti equali tutta la proportione del Tuono geometricamente; & non la sua differenza, ouero estremità; percioche facendo la diuisione della differenza per cotal modo; tal diuisione è arithmetica, & non geometrica; & cosi le parti delle diuisioni sono in proportione inequali & non equali. V'intendo hora benissimo; rispose egli; & mi marauigliaua grandemente di cotal cosa. Ma seguitate pure à dirci altro; che questa cosa à me hora è chiara. Anzi ui uoglio dimostrar, soggiunsi, questa cosa minutamente; per seruarui il patto, c'ho fatto con esso uoi. Questo non dico per interromperui; replicò il Sig. Desiderio; percioche tanto ne dee esser cara la dimostratione delle cose facili; quanto quelle delle difficili; poi che col suo mezo le uenimo à sapere. Perche se ben le sapiamo senza 'l suo mezo; le sapiamo però ad un certo modo, che non è propriamente sapere; tanto più che non le sapiamo dalle lor cagioni. Essendo adunque diuisa la ab. risposi; in Noue parti equali, & essendo ab. & cb. le estremità del Tuono dico, che se 'l si diuiderà lo Spacio ac. ch'è il mezano de queste due estremità, in due parti equali nel punto l. per questo il Tuono non sarà diuiso in due parti proportionali & equali. Et che 'l Suono ab. & lb. non sarà equale in proportione al Suono lb. & cb. lo prouo. Diuido ciascheduna dell'altre parti, ouer'otto Spacij simigliantemente in Due parti equali, ne i punti m. n. o. p. q. r. s. t. Hora è manifesto, che tutto lo Spacio ab. è diuiso in Diciotto parti equali, che sono al. lc. cm. md. dn. ne. eo. of. fp. pg. gq. qh. hr. ri. is. sk. kt. & tb. Adunque, per la Precedente, la proportione ab. & lb. è minore della lb. & cb. Et diuiso il Tuono in questa maniera, non è però diuiso in due parti equali, ò proportionali; come dice la Proposta. Et questo è quello, che ui douea dimostrare. Ma ascoltate quel ch'io uoglio dire, che segue benissimo à quello, che ui hò dimostrato; & sarà questo.

PROPOSTA VII.

Diuiso l'Interuallo del Tuono nel mezo dell'estremità in due parti equali, è partito in vn Sesquidecimosettimo, & in vn Sesquidecimosesto interuallo.
ET sia l'Interuallo ab. diuiso, come nella Precedente, in Diciotto parti equali; & siano anco ab. & cd. l'Interuallo del Tuono diuiso similmente nel mezo de i suoi estremi nel punto l. in due parti equali. Dico che l'Interuallo del Tuono ab. & cb. è diuiso in un Sesquidecimosettimo ab. & lb. & in un Sesquidecimosesto lb. & c b. Et perche ab. contiene Diciotto parti, & lb. ne contiene Dicesette; però dico, per la Quinta definitione del Primo ragionamento, ab. & ln. essere interuallo Sesquidecimosettimo;page 145 Terzo. 145 settimo; percioche ab. contiene lb. una fiata & una sua Decimasettima parte, detta parte Aliquota. Simigliantemente, perche lb. contiene Dicesette parti, & cb. ne contiene Sedici; però dico lb. & cb. per la nominata Definitione, essere interuallo Sesquisestodecimo; essendo che lb. contiene cb. & una sua Sestadecima parte Aliquota. Diuiso adunque l'Interuallo del Tuono nel mezo delle sue estremità in due parti equali, è diuiso in vn Sesquidecimosettimo, & in vn Sesquisestodecimo interuallo; come, secondo la proposta, vi douea dimostrare. Ma Ascoltate quello, che ui uoglio dire in consequenza di quel, che ui hò dimostrato.

PROPOSTA VIII.

Lo Spacio del Tuono diuiso in due parti equali nel mezo delle sue estremità, il Suono della mezana chorda di tutto il partimento sopr'auanza il Suono del maggiore estremo per l'acuto, & del minore per il graue.
ET lo dimostro in cotal modo. Sia (come nella Precedente) ab. diuiso in Diciotto parti equali; di maniera che ab. & cb. sia il Tuono. Dico che 'l Suono, che uiene dalla lb. sopr'auanza quello, che nasce da ab. per l'acuto; & l'istesso lb. uince lo cb. per il graue. Et perche ab. è il Tutto, & lb. Vna delle sue parti; però, per la Quarta dimanda d'hoggi; ab. fà il suono più graue, & lb. più acuto. Et per la istessa; perche il b. è il Tutto di cb. & cb. sono parti; però il suono lb. è più graue del suono cb. Adunque
lb. sopr'auanza 'l maggiore estremo del Tuono per l'acuto, & il minore per il graue. La qual cosa ui era debitore di dimostrare. Siamo satisfatti, disse allora M. Claudio; & si può seguitare. Dirò adunque, soggiunsi; in consequenza di quello che si è dimostrato; che

PROPOSTA IX.

Il Tuono non si può diuidere in due parti equali, & proportionali con certi & determinati numeri rationali.
COME nò? disse il Signor Desiderio; non si affaticò Michele StifellioArith. lib. 1. cap. 9. di dimostrare, contra quelli, che teneuano il contrario, che questo si può fare ottimamente? & lo dimostrò ancora con numeri determinati; come può stare adunque, che questo non si possa fare? Dissi à questo; Come lo dimostra il Stifellio? ue lo ricordate? Si bene, soggiunse. Di gratia dimostratelo, gli dissi; perche ui uoglio far ueder l'errore di questa cosa. Seguitò il Sig. Desiderio; Molteplica il Stifellio i termini radicali della proportione Sesquiottaua; ch'è (com'hauete più uolte detto) la forma del Tuono; l'un nell'altro; & lo produtto pone tra 'l maggior termine della proportione & il minore, [[i-n]] questo modo diuidendolo con queste cifere ¯ & ˘ in due Semituoni minori, segnati con la prima iquali habbiano appresso loro lo Schisma rappresentato per la seconda cifera. Di maniera, che Dimost. Harm. K Semi-page 146 146 Ragionamento
uoi pur uedete, che 'l 9. & la √ 72. & lo 8. sono Numeri certi & determinati. Et non solamente diuide quest'Interuallo, ma gli altri ancora, i quali sono più minuti assai; come sono il Comma; oltra il Semituono maggiore & lo minore. Sta bene, risposi; Ma come uorrete ridurre in atto cotal diuisione? Mi ricordo pur troppo la diuisione del Stifellio, & mi ricordo anco, che Nicolò Tartaglia nella Seconda parte del suo general Trattatolib. 7. cap. 17. de Numeri & Misure; corse la posta col Stifellio; percioche in questo luogo pose tutto quello, c'hauea scritto questo ueramente dotto nelle discipline Mathemati che; & Huomoin gegnoso; ma (come ho detto) in qual maniera uorrete ridurre all'atto tal diuisione? Vedete, ch'ella è irrationale; percioche tutte le uolte che si molteplica i minimi termini d'una proportione tra loro; & che dal prodotto non si possa cauar la Radice quadrata; se li pone appresso questa cifera √. la quale significa (come dimostrai nelle Istitutioni1. par. cap. 37.) quella Radice, che si hà da cauar di quel tal numero. La onde il 72. il quale pone 'l Stifellio, ch'è il produtto della molteplicatione di 9. con 8. non hà altramente Radice quadrata; & è di altra specie, che non è il 9. & l'otto, che sono numeri semplici; come ei troppo bene lo sapea; però gli hà posto appresso la cifera √. onde cotal diuisione si chiama Sorda & Irrationale. Et però dico, che la proportione Sesquiottaua non si può diuidere in due parti equali & proportionali, con numeri certi & determinati rationali. Et per consequente ne anco il Tuono. Et che questo sia uero, uedete che 'l Stifellio nel fine del nominato Capitolo dice; che ne Giordano, ne il Fabro, ne alcun'Huomo dotto negò giamai, che tal diuisione si potesse fare; parlando della sua; ma non già con numeri rationali & determinati; come douete anco intendere la mia proposta. Di questo mi curo poco, disse il Signor Desiderio; pur che si possa diuidere con certi numeri. Et io soggiunsi; di questo poco conto tiene il Musico; ma si bene che siano certi & rationali. La onde ui uoglio dire, che quelle tre quantità, che pone 'l Stifellio nella sua diuisione, sono non solamente (comparando l'estreme con la mezana) irrationali; ma etiandio incerte. E come sono incerte? disse il Viola. Percioche le proportioni de i Schisma, gli risposi; per la Ventesimaquinta proposta di heri, sono incognite & irrationali; le quali, se si aggiungeranno à qual si uoglia proportione, che sia Rationale; quello che uerra, senza dubio alcuno, sarà Irratio nale & incerto; come ui dimostrerò un'altra fiata; ma per hora contentatiue di questo. Et dico Incerto & Irrationale, in questo modo; perche 'l Musico non si può preualere di esse in modo alcuno; essendo che non può tra due date chorde, che danno il Tuono, col mezo del numero √ 72. porre una terza chorda mezana, che tramezi (dirò cosi) ò partisca equalmente il Tuono in parti equali, ouero equali Interualli di tal sorte; che tanta sia la proportione del Suono, che nasce dalla chorda graue & dalla mezana; quanta quella del Suono, che nasce da questa & dall'acuta. Et che ciò sia uero, poniamo l'essempio dell'Interuallo ab. della Precedente, nel quale si ritroui tra ab. & cb. collocato il Tuono. Pigliate qual si uoglia di uoi un Compasso, & ponete tra a & c. la quantità di una mezana chorda, secondo i Numeri trouati nella diuisione del Tuono, che hà dimostrato il Signor Desiderio; di maniera che diuida la proportione ab. & cb. in due parti equali, & che tanto sia la proportione di ab. con la detta mezana; quanto quel
la di questa con la c. b. & dimostratemelo, che cosi sia; ch'io uoglio pagar tutto quello, che honestamente mi condannarete. Io per me non lo saprei fare; rispose M. Adriano; Il che dissero anco gli altri. Ma il Signor Desiderio udendo questo, disse; In ueritàpage 147 Terzo. 147 uerità ch'è cosa impossibile: Et se questo non ui dà l'animo di far uoi, che pratticate le cose della Musica; uoglio creder, che quello, ch'è à uoi impossibile, possa anco à me & ad altri intrauenire. Però non sò che mi dire in questo fatto. Dite uoi appresso qualche cosa M. Gioseffo, s'hauete da dire. Vi uoglio dir questo, dissi; che con tutte le brauure, che habbia fatto 'l Stifellio; non lo pote, ne potrebbe anco fare, se ui fusse, con questi suoi numeri certi & determinati. A questo; soggiunse M. Adriano. Che ha uoluto adunque fare quest'huomo da bene? Mostrare, dissi; il suo ingegno contra alcuni, che detto haueano, che non si poteua partire il Tuono in due parti equali con certi & determinati numeri; non hauendo nominato i Rationali. Per quel ch'io ueggio, disse il Viola; da queste Diuisioni fatte à questo modo, poca utilità si puo cauar nelle cose della Musica; & però le iudico, per dirui il uero liberamente, uane & inutili; & in ciò non credo offendere 'l Stifellio, ne etiandio altri. Sono ueramente inutili & superflue, dissi; quanto all'uso prattico; ma quanto poi alla parte speculatiua, non ui potete appagare se non di quello, che ueduto hauete. Allora, disse; di nuouo il Viola; Non dite più cosa alcuna, per uostra fè, di questa cosa, & ritornate al uostro proposito. Et se non fusse, che hauete nell'Istititioni2. par. cap. 24. &. 25. insegnato il modo di ritrouare in due maniere le Chorde mezane; ui uorrei pregare, poi che 'l luogo lo ricerca, che hora le doueste dimostrare; ma sarebbe superflua cotal cosa. Anzi ui uorrò, risposi dimostrar l'uno & l'altro modo, in queste due proposte seguenti; espedito che mi haurò da questa. Per qual cagione? disse il Merulo; Perche quantunque habbia dimostrato ritrouar cotali Chorde mezane, dissi; non hò però in tal maniera & cosi copiosamente dimostrato & prouato il tutto, ch'appresso d'alcuno non possa nascer qualche dubio; essendo che iui hò dimostrato cotal cosa con breue modo; ma à mano à mano ui dimostrerò tutto quello, che in questa fattura si può dimostrare. Vi ricordate quello che io dissi il Primo giorno dimostrandoui la Nona proposta? Ce lo ricordiamo, disse M. Adriano. Vi dissi, soggiunsi; che l'Interuallo Superparticolare non riceue ne uno, ne più mezani termini, che lo diuida proportionalmente in due, ò più parti equali; Et per la Prima dimanda d'hoggi; Quell'istessa proportione, che si troua da Spacio à spacio; si troua anco da Suono à suono; Ma il Tuono non nasce egli da un Superparticolare? essendo che è contenuto dalla proportione Sesquiottaua? E' uero, rispose il buon Vecchio, & io gli aggiunsi; Fate hora uoi la conclusione. Adunque bisogna dire, diss'egli; che 'l Tuono non si possa partire in due parti equali & proportionali, con certo & determinato numero rationale; quantunque si possa diuidere con numeri Sordi & irrationali; com'hauete dimostrato. Cosi è Messere, gli risposi; ma per il Corollario etiandio della Ventesimaquinta proposta del giorno passato, habbiamo; che, Di quelle proportioni, le quali non hanno nelle lor Radici il maggior termine, che sia Numero quadrato, & lo minore la Vnità; le Parti delle lor diuisioni sono incognite & irrationali; Ma i termini della proportione del Tuono, i quali sono 9. & 8. non sono sottoposti à cotal legge; quantunque il primo sia Numero quadrato; Adunque le proportioni delle diuisioni, che si facessero del Tuono, sarebbono incognite & irrationali. Ma l'essere à questo modo, è, che non si possino come poco fà ui hò dichiarato) descriuer con numeri determinati & rationali; Adunque il Tuono non si può diuidere in due parti equali & proportionali, con certi & determinati numeri rationali; come dice la Proposta; & come ui douea dimostrare. Ma aggiungete anco questo; che 'l non si possa diuidere minormente in più de due parti. Disse allora il Sig. Desiderio; Hauete dichiarato il tutto ottimamente & dimostrato; di maniera che non ui resta dubio alcuno; però potrete seguitare à uostro piacere; & dimostrare in che modo si possano ritrouar queste Chorde mezane tra gli estremi suoni d'un'Interuallo, di modo che lo diuida in due parti equali & proportionali. Seguitai adunque in questo modo; Volendo far questo, uerrò prima à dirui; che Dimostr. Harm. K 2 PRO-page 148 148 Ragionamento

PROPOSTA X.

Potiamo partire il Tuono & qualunque altro Interuallo in due parti equali & proportionali, & dimostrare i termini delle vere metà nelle chorde.
LA Precedente hà dimostrato, che 'l Tuono non si pu ò diuidere con numeri determinati & rationali; hora la Presente dimostrerà, che tal diuisione si può fare Geometricamente, senza ragione dimostratiua de numeri. Et questo ui uoglio dimostrare in due modi; de i quali il primo sarà, di ritrouare una Chorda sola mezana proportionale, che lo partisca in due parti equali; L'altro sarà, di ritrouarne non solamente una; ma più ancora, che lo diuida proportionalmente in quante parti equali sarà dibisogno. Iquali modi seruiranno, non solamente alla diuisione del Tuono, ma etiandio di qual si uoglia Interuallo. Il primo modo adunque sarà questo. Sia la chorda ab. sopra la quale, per la Prima d'hoggi, sia accommodato il Tuono alla sua proportione; & sia ab.
& cb. il detto Tuono. Faccio prima de. come stà nella figura, ch'io ui propongo, equale alla ab. & fe. equale alla cb. Onde sia dibisogno tra la chorda de. & la fe. che sono l'estreme chorde del Tuono, porre una Chorda mezana proportionale. Il perche seruendomi della Nona proposta del Sesto de gli Elementi d'Euclide; secondo la tradottione del Campano; ò delle Terzadecima di Theone; aggiungo dopoi, per la Quartadecima del primo la linea eg equale alla fe. & compono tutta la dg. sopra la quale descriuo 'l Semicircolo dhg. & sopra 'l punto e. doue la de. si coniunge con la eg. per la Vndecima del detto, tiro la perpendicolare eh. che uada alla circonferenza dhg & descriuo le linee dh. & gh. Et perche, per la Trentesimaprima del Terzo, l'angolo dhg. nel semicircolo è angolo retto; & nel Triangolo dgh. dall'angolo retto alla base perpendicolarmente fù tirato la linea eh. però per il Corollario dell'Ottaua del Sesto, eh. uiene ad esser la ricercata Linea, ò
Chorda mezana proportionale della de. & fe. Faremo adunque la Linea ke. equale alla he. laqualed iremo essere il termine della uera metà del Tuono nella chorda de. & la ritrouatapage 149 Terzo. 149 trouata Chorda mezana proportionale tra de. & fe. secondo 'l proposito. Et si come tanta è la proportione di Spacio à spacio; come per la Prima dimanda è concesso; cosi tanta è la proportione di Suono à suono. A questa maniera adunque si potrà diuidere non solamente il Tuono; ma qualunque Interuallo minimo; ritrouando la Chorda mezana proportionale, secondo la lunghezza delle linee, che ueranno nella figura. Haueua in animo, disse M. Francesco, di dimandarui quel che dicono & dimostrano le da uoi allegate proposte d'Euclide; onde quando ui tornasse commodo, mi fareste grande piacere à dichiararle; per non esser molto prattico in queste cose. Son contento, dissi; perche, per esser facili, & pigliandosi & accettandosi per uere, come dimostrate; in quattro parole ui risoluerò il tutto. La Decimaquarta proposta del primo d'Euclide dimostra; che Se da una retta; come sarebbe dire he. nell'essempio dato; & da un punto, che sia in essa; come saria e. due rette non poste dalla medesima parte; come sono de. & egh. faranno gli ango li, che sono à canto l'uno & l'altro; come sono deh. & heg. equali à due retti; quelle due rette saranno poste à drittura l'una con l'altra; come sono de. & eg. & faranno una linea sola. Son satisfatto di questa, aggiunse M. Francesco; andate all'altra. La Vndecima del Primo anco è facile, dissi; percioche dimostra in qual maniera, Da un punto segnato; come sarebbe e. in una linea retta, come è la dg. si possa leuare una perperdicolare; come eh. la quale faccia due angoli retti; i quali sono li già mostrati. Et accioche quando ui occorresse di leuar tal linea, lo possiate far prestamente; ui voglio mostrar un modo prattico bello & breue. Sia dg. vna linea retta, com'è quella posta nell'essempio, che ui hò dato; & sia e il punto, dal quale faccia bisogno di leuare un'altra retta perpendicolare, la quale dall'una parte & l'altra faccia due angoli retti. Segnaremo prima due punti nella linea dg. che siano equidistanti dall'una parte & dall'altra dal punto e. & saranno k. & l.
Fatto questo, porremo il piede immobile del Compasso sopra l'uno de i segnati punti; come sarebbe k. & con quella apertura, che più piacerà; pur che di poco sia distante dall'altro punto l. per maggior commodità, discriueremo la piegata linea lm. Hora con quell'istessa apertura porremo il piede immobile nel punto l. & descriueremo la piegata linea km. secondo la quantità della lm. Il che fatto, dal punto e. al punto m. doue si coniungono lm. & km. tiraremo una linea retta giustamente, la quale sarà em. & questa dico, che sarà la Perpendicolare ricercata. Mi hauete fatto un singolare piacere, disse M. Adriano; ad insegnarci questo bel modo & facile di leuar cotal linea; percioche mi verrà commodo in un certo mio proposito; & è necessario saperlo massime ad vno, che si adoperi nelle cose delle misure. Vdito questo seguirai nella proua della Demostratione. La Trentesimaprima del Terzo dimostra, che Tutti gli angoli, che si fanno di due linee rette; che sono le dh. & hg. nel Semicircolo dhg. sono retti, come è l'angolo dh g. Questa è manifesta, disse M. Claudio; oltra l'essempio, che mostrato hauete; Ma che dice il Corollario dell'Ottaua del Sesto? Che in ogni Triangolo rettangolo; soggiunsi subito; coDimost. Harm. K 3 mepage 150 150 Ragionamento me dgh. se dall'angolo retto dhg. alla basa dg. si condurrà una reta linea perpendicolare; come è la he. tal linea sarà mezana proportionale tra i due partimenti della detta base dc. & eg. Et simigliantemente l'uno & l'altro lato, hg. & hd. tra tutta la base dg. & la parte della base ad esse parti conterminale. Et questo è detto; perche la linea he. diuide il Triangolo dhg. in due triangoli minori d'un'istessa specie; che ciascheduno col maggiore hà un'angolo retto; & sono hed. & heg. Et la eg. si chiama conterminale al lato gh. & la ed. al lato dh. Vedete di gratia, disse il Sig. Desiderio; che bella & sonora Harmonia nel suo genere si ritroua tra le linee de questi Triangoli; i quali si fanno per la detta perpendicolare. Gli rispose; M. Adriano; Veramente è cosa mirabile quella de i Numeri; ma sopra ogn'altra è miracolo nella natura l'Huomo, il quale col suo diuino intelletto và inuestigando & ritrouando cose tanto sottili, difficili & rare. Questo è poco Messere, gli dissi; rispetto à quello, che uede il Mathematico; per che in uerità uede tal cosa tra i Numeri & altre Quantità, che meritamente può stimare con i Pitagorici; che tra loro siano alcune cose diuine. Ma passiamo hormai all'altra proposta.

PROPOSTA IX.

Potiamo diuidere qual si voglia Interuallo in più parti equali, & proportionali; & dimo strare i Punti delle parti nelle chorde sonore.
DOPO la proposta disse M. Francesco; credo, che qui sarà dibisogno d'adoperare il Mesolabio; non è cosi M. Giosseffe? Cosi è, dissi; percioche senza 'l suo mezo non vi potrei dimostrar cosa alcuna. A questo disse il Signor Desiderio; Parmi che sia quasi superfluo il uoler replicar quello, ch'altre fiate hauete dimostrato. Non giudico superfluo quello, gli risposi; che hà dibisogno d'esser ricordato & dimostrato, per le Dimostrationi, che hanno da seruire à nostri ragionamenti. Tanto più, che già v'inseguai, col mezo di quest'Istrumento, ritrouar Tra due linee date una linea sola mezana proportionale; & hora ui uoglio dimostrar, che non solamente una, ma due, & anco più se ne potrà porre, se mi prestarete udienza. Disse allora il buon Vecchio; Altro non desideriamo; però seguitate pure allegramente à dimostrar quello, che ci hauete proposto. Cosi uoglio far Messere, risposi; ne mi uoglio smarrire à patto alcuno. Sia adunque
lapage 151 Terzo. 151 la chorda ab. sopra la quale sia accommodato qual si uoglia Interuallo tra ab. & cb. & sia dibisogno di partirlo in tre interualli. Bisogno è, che secondo 'l modo mostrato nelle Istitutioni, si ritroui tra la chorda ab. & la cb. due chorde mezane proportionali. Onde piglio primieramente l'istrumento Mesolabio; & l'acconcio nel modo, che si conuiene; ponendo tre Paralellogrammi defg. hikl. mnop. l'uno sotto l'altro; come uedete. Di modo che defg. stia sopra gli altri; & il lato de. uiene ad esser di punto equale alla quantità della chorda proposta ab. Faccio dopoi il lato po. del terzo paralellogrammo mnop. equale alla chorda cb. in punto s. Et accommodo gli altri di maniera, che i loro diametri k h. & mo. s'affrontino con i lati gf. & lk. ne i punti q & r. Onde nasce due mezane linee. q f & rk. lequali dico essere alle de. & so. proportionali; & che tra le chorde ab. & cb. si haueranno à collocare; percioche diuideranno l'Interuallo ab. & cb delle date chorde in tre parti equali; secondo 'l proposito. Et che tali Linee siano proportionali, lo dimostro in questo modo. Poniamo, che le linee causate nel Mesolabio siano de. qf. rk. so. & siano q & r. i segni de gli affronti de i lati de