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Title: Dimostrationi harmoniche

Author: Gioseffo Zarlino

Publication: Francesco de' Franceschi (Venezia, 1589)

Principal editor: Frans Wiering

Funder: Utrecht University Netherlands Organization for Scientific Research (NWO)

Edition: 2000

Department of Information and Computing Sciences Utrecht University P.O. Box 80.089 3508 TB Utrecht Netherlands
Copyright © 2000, Utrecht University
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DE TVTTE L'OPERE
DEL R. M. GIOSEFFO ZARLINO DA CHIOGGIA, Maestro di Cappella della Serenissima Signoria di Venetia,
Ch'ei scrisse in buona lingua Italiana; Secondo Volume. Contenente LE DIMOSTRATIONI HARMONICHE DIVISE IN CINQVE RAGIONAMENTI. NE I QVALI SI DISCORRONO ET DIMOSTRANO le cose della Musica; & si risoluono molti dubij d'importanza à tutti quelli, che desiderano di far buon profitto nella Intelligentia di cotale Scienza. Con la Tauola delle materiali notabili contenute nell'opera.
Ο῞σα ἐγὼ ἥδει ἡδίστῳ πάλαι ἐμάθησα,
Καὶ καμάτῳ ἀκαματῳ ἅμα εὔξησα,
Εὐνόῳ νῆν νόῳ, καὶ ὁδῳ εὐόδῳ ἐδιδαξα.
PER ME QVI SI RIPOSA
E IN CIEL SI GODE.
PAX
¶ Θεοῦ διδόντος, ὀυδὲν ἰσχύι φθόνος
Καὶ μὴ διδόντος, ὀυδὲν ἰσχύι πόνος.IN VENETIA, MDLXXXIX. Appresso Francesco de' Franceschi Senese.page iipage iii
IVVENTVS RENOVATA

AL SERENISSIMO PRENCIPE DI VENETIA ALVIGI MOCENIGO

GIOSEFFO ZARLINO DA CHIOGGIA.
GLI Antichi, Serenissimo Prencipe, i quali non hebbero se non in un certo modo & molto imperfetto cognitione di Dio; tra l'altre cose, che gli attribuirono, questa fù una; il Conseruar la sua crea-tura & farle benificio. Et questo tennero di modo esser uero, che hebbero opinone, che colui, il quale apportaua qualche bene à mortali,usaua quell'officio, che apparteneua ad esso Dio; come benefattore (parlando al modo loro) era fatto Iddio, à cui soccor-reua. Da questo auenne, che gli Inuentori de quelle cose, ch'erano utili à gli Huomini, Dei furono riputati; ancora (come si uede appresso Diodoro SicoloRerum an-tiquarum. lib. 1. ca. 2.) posti nel nu-mero de i lor Dei. Onde nacque tra loro il Prouerbio: Α῎νθρωπος ἀνθρώπου δαιμόνιον: L'Huomo è Dio dell'Huomo; il qual Prouerbio accommadarono non solo alle priuate persone; ma à i Prencipi ancora; & maggiormente à gli Imperatori; che con la lor possanza & somma autorità poteuano conseuar le Città, i Popoli & i Regni: imperoche essendo ancora tra mortali, li chiamauano Dei; & dopo la morte loro, tra i Dei, con al-cune ridicolose ceremonie (come narra Erodiano Greco ScrittoreHist. lib. 4. Pet. Messia in Vita Bassiani Imp.) tra gli altri Dei li poneuano & consacrauano. Questo fù cagione; che si come gli Huomini per natura erano inuitati ad offrir'à Dio doni, & sacrificij, & anco far uoti, acciò lo hauessero propitio; cosi anco si mouessero ad offrirgli in uita loro quei doni, che li pareuano più conue-neuoli. La onde un numero quasi infinito de Scrittori (lasciando molte altre cose, che potrebbero far à questo proposito) dedicarono & consacrarono à i loro Prencipi, come à loro Dei, l'Opere loro. Percioche Vitruuio dedicò il suo Volume d'Architte-tura all'Imperatore Ottauiano Augusto; Valerio Massimo i Libri de i Detti & Fatti no-tabili de gli Antichi à Tiberio Cesare; Plinio l'Historia naturale à Tito Vespasiano. Ilperche mosso dall'essempio di costoro; hauendo Io gli anni passati, dopo le Istitutio-ni, composto le presenti Dimostrationi di Musica; & essendo hormai tempo, à benefi-cio de quelli, che sono studiosi de questa nobil Scienza, ch'elle debbano uscir in publi-co; hò uoluto offerirle & dedicarle à V. Sublimità, come ad Ottimo Prencipe & mio Signore. Et spero, che non minormente le saranno grate, di quel, che furono grate à quei grandi Imperatori le fatiche de quei eccellenti Scrittori; non essendo la Musica page iv punto all'Archittetura in cosa ueruna inferiore; anzi di gran lunga superiore. Perche se bene Vitruuio dice,Architec. lib. 1. ca. 1. che l'Archittetura è scienza ornata di molte discipline & uarie eru-ditioni; non è però Scienza; ma Arte fattiua, la qual tiene il terzo luogo tra le Arti; & la Musica,1. Demon. Def. 1. oltra ch'ella non si può trattare (secondo 'l parer di PlatoneDe Legi-bus. 1.) senza la Vniuer-sal disciplina; è Scienza; non solo per il Soggetto, ma etiandio per la certezza della Dimostratione, senza dubio alcuno, dell'Archittetura assai più mobile & più eccellente. Et se le fatiche di Valerio & di Plinio nell'adunare insieme da diuidersi autori Greci & La-tini uarie cose, furono con quelle di Vitruuio al mondo grate; credo per certo, che que-ste mie habbiano simigliantemente à piacere, & esser di grande utile, non solo per il di-letto, che da sè porta all'Huomo lo studio di questa Scienza; ma etiando per il com-modo & utilità, che ne sentiranno i Studiosi dell'altre Arti, & Scienze nella cognitio-ne del buono & del bello, che ritrouaranno in esse; conciosiache si può dir con uerità, che l'habbiano acquistato col mezo della Musica. Et quantunque à me sia stato cosa trauagliosa il raccorre, l'ordinare & dimostrare insieme le cose di questa Scienza; le qua-li ueramente erano poste senz'alcun'ordine, & anco non erano intese, secondo ch'inten-der si deono; tuttauia con la patienza hò superato la difficultà, & uinto la fatica col pia-cere; di modo che, per la gratia di Dio, le hò ridutte in tal'essere, che se prima la Musi-ca pareua esser priua del suo antico honore, hora con maestà & decoro, come nobilissi-ma & come una delle principali tra l'altre scienze; può comparere. Hauendo io adun-que à porre in luce queste mie fatiche, le quali trattano le cose di cosi nobile Scienza, & una delle prencipali; à chi doueua io dedicarle & offerirle, se non ad un Prencipe Illu-strissimo & Nobilissimo, come è la Serenità uostra? non altramente da me istimata, per la Religione incontaminata, per la Vita innocentissima, per il Consiglio gra-ue, & per molt'altre sue eccellenti qualità, di quello che istimassero Vitruuio, Va-lerio, Plinio quei sommi Imperatori. Essendoche non con altro mezo, che con quello del suo ualore; dopo molti gradi de i maggiori ottenuti in questa Eccelsa Re-publica; meritò sedere in quel seggio sublime, nel quale già sedettero molti Pren-cipi Serenissimi, la cui Pietà & Religione uerso Dio, accompagnate dall'Amore & Charità uerso la Patria, tanto puotero, che alla Città, la quale intorno Mille Cento & Quindici anni Vergine & immaculata ancora si conserua; allargarono i confini,& ac-crebbero il Dominio; tra i quali furono Tomaso, Pietro, & Giouanni Mocenighi, auo-li & progenitori suoi di nome immmortale per i fatti illustri loro; à cui s'aggiunge Vostra Sublimità, che non è, ne sarà à loro punto inferiore. Riguardi adunque la Serenità Vo-stra col guardo della sua clemenza la mia uerso lei diuotione, & riceua con allegro ani-mo il dono, ch'io offerisco & dedico al suo gran nome, & me faccia degno di conseruar-mi nella sua buona gratia; percioche mi parerà hauer'ottenuto grande & singolar bene-ficio; che di continuo terrò uiuo nella memoria, & con gli Antichi (religiosamente parlando) potrò dire: Α῎νθρωπος ἀνθρώπου δαιμόνιον: & insieme pregar nostro Signor Iddio, che le dia lunga uita & felice, & gratia di essere sempre uittoriosa contra gli ini-mici de questa Serenissima christiana Republica. page v

TAVOLA DI TVTTE LE COSE NOTABILI CONTENVTE NELL'OPERA.

A

ADRIANO Vuillaert maestro de cappella della Sereniss. S. di Vene-tia, 1. f. studiò à Parigi in Legge. 8. f. 12. p. 201. p. Fu cagione del stu-dio dell'Autore nelle cose della Musica. 12. p
Aggiungere acqua ad acqua di una istessa qualità non genera un misto. 136. p
Aggiunto il Tuono maggiore alla Diatessaron fa la diapente 123. f. Il Tuono maggiore, ouero il minor Semituono alla Diapente non fà consonanza alcuna. 126. f
Alfonso d'Este Duca di Ferrara uiene à Venezia: & è riceuuto con solennissima pompa da i Signori Venetiani 1. m
Angoli fatti da due linee rette nel Semicircolo so-no retti 149. f
Animali che non respirano. 13. m.
Antichi poteuanno in due modi udire il Ditono & lo Semitono. 3. f. Non passarono la Quintadeci-ma uoce, ne la Quadrupla proportione. 3. f. Non intesero i Luoghi & Siti delle consonanze. 4. p. 6. m. 60. f. Non consideranno altra diuisione harmonica, che quella della Dupla. 60. f. In qual modo denominarono le Proportioni. 88. f. Attribuirono la ragione de numeri al Quaternario. 81. p Posero la Diatessaron nel numero delle conso-nanze nelle loro Compositioni, 84. p Qual chia-massero Massima & perfetta harmonia. 103. f. Per che facessero due generi del Pentachordo, & tre dello Hexachordo. 194. m. Nelle dimostrationi de generi, perche tolsero il Tetrachordo & non altro numero di chorde.196. m Perche colloca-rono la prima specie della Diapason nella chor-da. A. 287. m
Antigenida sonatore di Piffero. 239. m
Ἇπόδειξις quello che sia, & il suo officio. 17. f
Ἇποψάλματα quello che siano. 178. m
Ἇποτομὴ quello che si uoglia dire. Secondo quello che sia. 91. m 164. m. E minore del Semituono maggiore. 164. m
Aristotele molte cose altrui fece sue. 9. p. Chiama la Diapason solamente Consonanza perfetta. 245. p
Aristosseno come diuideua il Tuono. 153. m
Arithmetica progressione quando si faccia. 26. p
Arithmetici quello che considerino. 10. m
Arsenale de i Signori Venetiani. 240. f.
Arte della Musica da qual parte è detta Prattica. 22. f
Arti di Quattro maniere. 22. f.
Astrologia suppone la natura del Circolo celeste consistere nella figura circolare, compresa da una sola linea. 16. m.
Attiua, o prattica che fine ella habbia. 22. f.
Autore non uuole essere destruttore delle cose de gli Antichi; ma più presto renderle facili. 248. p Per qual cagione non habba uoluto passare il numero delle Dicisette chorde nelle dimostrationi fatte nel Quinto ragionamento. 254. m
Ἇξιωματα quello che siano. 30. p

C

CAGIONE che mosse i Pitagorici à dire, che quelli Interualli che sono minori della Diatessaron siano dissonanti. 3. m Propria del non respirare qual sia 13. m. perche l'Autore non habbia uoluto trappassare il numero di Quindeci Chor-de nelle sue dimostrationi. 203. m. Della partecipatione fatta nella Quinta parte inanti l'altre dimostrationi. 242. m Che muoue l'autore à porre al-tro ordine nelle Specie delle consonanze 246. m
Cagioni più note alla Natura. 14 f. Addutte dall'Autore di porre altr'ordine nelle specie delle Con-sonanze semplici: & ne i modi. 246. m.
Canna di Organo più che è fatta curta rende il Suono più acuto. 136. f
Cantilena quando diletta, ouero non diletta: da che nasce. 4. f
Canzoni composte da moderni per chromatiche, & non sono. & perche. 215. p
Κατασκευὴ quello che sia: & il suo officio. 17. f
Cauato il Tuono maggiore della Diapente, resta la Diatessaron: & questa cauata da quella, resta il Tuono. 133.
Cauato il Ditono della Diapente, resta il Semidito-no: & lo Semiditono cauato, resta il Ditono. 123. p
Cercatrice arte, che fine ella habbia. 22. f.
Ceretani, ò Canta in banco fanno professione di Cantar uersi all'improuiso. 190. p
Chorda sonora è buona per conoscer la ragione del le distanze de i Suoni l'uno dall'altro. 23. f Mezana proportionale come tra due date trouarsi possa: la quale partisca il Tuono in due patti [sic: parti] equali. 148. m quando inutilmente si aggiunga in uno istrumento. 216. f. Vera finale de i Modi qual sia. 253.s.
Chorde unisone riputare una chorda sola. 136. p. Stabili quali siano. 197. f. Stabili quante in ciascheduno de i tre Generi 230. m Mobili quali siano. 197. f Mobili quante siano in ciaschedun Gene-re. 230. m. Neutrali quali siano. 197. f Neutrali quante siano in ciaschedun de i tre Generi. 230. f Delle diuisioni Diatonica & Chromatica in qual page vi modo l'una all'altra corrispondino. 194. m. 223. p Finali delli Sei modi principali. 253. f. Communi al Diatonico & Chromatico genere. 194. m. 223. p. Quanto siano più acute quelle di uno Modo, che quelle di un'altro.279. f De i Modi principali più acute di quelle delli Non principali per una Diatessaron. 280. m. De tutti li Modi abbracciano tutte le Sedeci chorde. 284. f
Chromatico genere si serue del Semituono mag-giore: 92. p. Quello che sia. 194. m
Chromatisti destruttori della buona musica. 215. f
Quello che osseruino nelle Compositioni loro. 193. f. Si possono comparare ad Herostrato. 216. p.
Cinque Sesquiottaui non fanno uno Duplo. 73. f
Claudio Merulo da Correggio organista soauissi-mo. 1.
Cognitione delle cose della Musica non si può hauere se non col mezo de i Corpi sonori. 11. m. della Natura, & Nostra molto diuerse. 14. m
Colore intorno al Sono quello che sia. 22. p.
Κόμμα quello che sia: & di quanta proportione era appresso gli Antichi. 93. p. 113. m 154. p 142. f. Di donde sia cosi detto. 93. p. In qual modo di accom-modi alla sua proportione sopra una chorda. 172. p. Minimo interuallo musicale. 171. f.
Communi pareri, o Massime dette Ἇξιώματα. 30. p.
Compositioni fatte da Moderni per Chromatiche & non sono. 215. p
Compositione del Monochordo regolare Diatoni-co. 198. p Del Monochordo regolare Chromatico 201. f. Del Monochordo regolare Enharmo-nico. 202. f
Composto si risoue in quelle cose semplici, delle quali si compone. 30. f.
Conclusione contingente quello che sia: & perche è cosi detta. 13. f
Consideratione sopra il Tuono diuiso in due parti da Aristosseno & da Filolao. 153. m 154. m
Consonanza quello che ella sia. 10. m. Primieramente considerata dal Musico. 77. f. Et Dissonanza so-no due estremi nella seconda specie de gli Oppositi. Di due specie. Propriamente detta 78. f.. Communamente detta. 79. m Semplice raddoppiata non dà nelli suoi estremi interuallo alcuno con-sonante. 94. f
Consonanze nella Musica hanno i loro gradi. Ten-gono quei luoghi, che tengono le lor forme tra i numeri 4. f Musicali come nascono. 7. p. Della prima materia sono tutte Moltiplici, ò Superparticolari 79. p. della Seconda maniera sono tutte de gli ultimi tre Generi di proportione. 79. f. 80. p. Di due forti. Semplici quali siano. Composte. 82. f. Tutte come l'una all'altra ne i loro luoghi si soggiunghino 176. f. Diapason, Diapente, & Diatessaron quante fiate si ritrouino nelle Quindeci chorde Diatoniche 231. f. Et quante tra le Chro-matiche.234. f. Et quante tra le Enharmoniche. 237. m. Quanto alla forma loro sono immutabi-le: ma non quanto à gli accidenti. 248. m
Contemplatiua che fine ella habbia. 22. f.
Contingente quello che sia. 13. f
Continuare due o piu interualli che siano simili l'uno dopo l'altro, come si possa fare. 36. m. ouer differenti di proportione. 36. f
Contr'harmonica proportionalità quello che ella sia. 27. m
Contrarii di due maniere: Mediati & Immediati: & quello che l'uno & l'altro sia. 78. p
Corollario quello che importi. 123. m
Corpo sonoro proportionato è il Soggetto della Musica.10. p 11. m 182. f. quello che sia. 23. f E diui-sibile in infinito. 55. m
Corpi sonori quali siano. 23. f
Corpo Cubo come sia composto. 104. f. Quello che sia. 105. f
Corpo perfetto consta di tre interualli. 104. f
Corpi celesti soggetto de gli Astrologi. 16. m
Cosa che si raddopiata sia equale ad un'altra: è la sua metà intiera. 34. m Che raddoppiata trappassa un'altra cosa, ella è piu della sua metà. 34. f. Che raddoppiata non arriua allo intero di un'altra. ellanon può essere la sua metà 35. m. Ridocolosa osseruata da i moderni. 193. p
Cose in tre modi considerar si possono. 9. f. Che non sono mai nella materia. 9. f. Che uniuersalmente non sono mai nella materia. 9. f. Che cadono sot-to la Scienza Metafisica. 9. f. Che necessariamen-te sitrouano nella proposta. 17 f. Che non si trouano molte fiate in molti Theorema. Ch'appar-tengono al Dato. 18. p. Poste in atto nella Musica non sempre restano 22. f. Che sono ad un'altra equali, tra loro sono equali. 33. p Che tra loro sono equali ad una istressa, sono equalmente Molteplici, ò Superparticolari, ò di altro Genere. 33. m Che hanno i loro tutti equali, hanno anco tra lo-ro le parti equali. 33. f
Costruttione del Monochordo Chromatico. 201. f
Κτητικὴ quello che sia: & il suo fine. 22. f
Cubo quello che sia. 105. f

D

DATO quello che sia. 17. f
Definitione è il mezo della Dimostratione 9. m. 20. p. 89. p E quella che ci fa uenire in cogni-tione della cosa. 9. m. Quello che sia. 10. m. Si pi-glia in luogo della Descrittione. 10. f. Che si po-ne nella Dimostratione qual sia 10. f. Di tre sorti: cio è Matetiale [sic: Materiale] Formale & Finale 11. p. Delle Dimostratione di due sorti 14. p. Delle cose non si può dimostrare. 15. m. Del Suono data da Boetio non è al proposito del Musico. 20. m. Di Euclide del Genere.192. f. Del modo. 250. p. De tutti i Dodeci modi. 251. m
Definitioni sono differenti per la differenza delle cose. 9. m. Per qual cagione si pongono inanti ogn' altra cosa nelle Scienze iDmostratiue [sic: Dimostratiue]. 19. f. Quel che fanno. 20. p
Descrittione quello che sia. 10. m. Si pone alle fia-te in luogo della Definitione. 10. f page vii
Detto d'Antigenida contra Ismenia suo Discepo-lo. 238. m
Diapason prima consonanza. 5. p. 83. p. Elemento de tutti gli altri Interualli 5. p. Esser composta de Tuoni & Semituoni non è mal detto. 7. p. Quello che sia. Tra l'altre consonanze tiene il primo luogo. Presa dal musico per il tutto diuisibile. 83. p. Piu d'ogni altra conosciuta dal senso. 86. f. Come nasca 96. p. Minor de sei & maggiore di cinq Tuoni maggiori. 128. p Quanti Tuoni & Semituoni contenga. 128. f. Conserua inuiolata quella consonanza, che à lei s'accompagna. 129. p Regina de gli altri interualli. 83. f. 205. p. Detta da Aristotele Consonanza perfetta. 245. p Ha Sette specie. 245. f. In ogni caso temperamento resta nella sua uera forma. 245. m. Non si può alte-rare senza offesa dell'Vdito. 243. p. Quando sia detta harmonicamente, ouero arithmeticamen-te diuisa. 250. m. Quante fiate sia contenuta tra le Dicisette chorde temperate. 167. f.
Diapasonditona. 88. p.
Diapason diapente quello che sia. 86. m. Da che nasca. Quanti Tuoni & Semituoni contenga. 131. m.
Diapason diatessaron qual consonanza sia.128. f
E consonanza, secondo il parer di Tolomeo. & Dissonanza secondo i Pitagorici. 129. p
Diapente quello che sia. 83. m. E la maggior parte fatta della Diapason harmonicamente. 83. f. Re-integrata dal Ditono & dal Semitono. 98. p Quanti Tuoni & Semituoni contenga. 123. m Come nasca 123. f Quanto resta sciema nel tem-peramento de gli Istrumenti. 243. p. di Quattro specie.249. m. 245. f. Quante fiate sia contenuta tra le Dicisette chorde temperate.267. f. Non ha luogo tra la Terza & la Settima chorda. 269. m
Diapente & Diatessaron come insieme nascono.94. p. Collegate tra le maggiori Superparticolari.95. m
Diaschisma quello che sia. 93. m.
Διαστημα quello che importi. 7. p
Diatessaron quello che sia.8. f. E la parte minore fatta harmonicamente della Diapason. 83. f. Po-sta nel numero delle Consonanze. 84. p. E consonanza perfetta. 85 p. Hauuta appresso gli Anti-chi per consonanza. 2. m. 85. f. Quanti Tuoni & Semituoni contenga. 120. f. Come si ac-commodi alla sua proportione con la Diapente & la Diapason insieme. 175. f. Quanto si accre-sca nella Participatione. 243. m. Di tre specie. 249. f. Quante fiate sia contenuta tra le Dicisette chorde temperate. 270. m. Non si troua tra la Settima & la Decima chorda. 271. p
Diatessaron & Diapente come insieme nascono. 94. p Collegate tra le maggiori Superparticolari. 95. m
Diatonico genere quel che sia. 192. f
Dichiaratione di due sorti nello esplicar le cose della Musica. 10. m
Δίεσις quello che sia. 91. p 153. f. 154. p. Di Filolao pitagorico. 86. p. Principio & Elemento de gli Interualli musicali. 91. p. Detto Apotome secon-do. 164. p. Minore Enharmonico quello che sia. 92. p. Apotome secondo. E minore del Semituo-no maggiore. 164. m. Di Martiano capella. Tristemoria. Tetartemoria. 153.
Differenza quello che sia secondo i mathemati-ci. 16. p. Tra il Diatonico & Chromatico gene-re consiste in una sola chorda. 194. m. Ch'è tra la Participatione fatta nelle Istitutioni & quella delle presenti Dimostrationi. 200. f
Diffetto di quelle compositioni, che poco dilettano.4. f
Dimanda di Vitelione. 135. f
Dimostratione fà la cognitione della cosa. 9. m. 11. f 12. m. E come uno istrumento, che ne conduce al Sapere.12. m Potissima qual sia. Potissima ca-giona in noi il Sapere. Chiamata A priori & Propter quid. A posteriori & Quia, quello che sia. 13. f. Della Prima proposta del lib.1. di Euclide 18. f. Della Partecipatione, ò Temperamento de gli Interualli de gl'Istrumenti ritrouata dall'Au-tore. 200. m
Dimostrationi dipendono l'una dall'altra. 124. f. Prime sono dette Elementi delle Sequenti. 40. m. 124. f
Dimostrar la uerità di una cosa contro alcuno con modestia, non è fuori della buona creanza. 164. f
Διορισμὸς quello che sia, & il suo officio. 17. f
Dire Tripla & dire Dupla sesquialtera, non è dire una proportione istessa. 88. f
Disdiapason quello che sia. Considerata da gli Anti-che composta di due Diapason.86. f. Come nasca, & quanti Tuoni & Semituoni contenga. 131. m
Disdiapason ditona. 86. f
Disdiapason diapente. 86. m
Disputare non si può contra quelli, che negano i Principij. 17. p
Dissonanza è contraria alla Consonanza nel genere de gli Opposti.78. p. Et consonanza sono come due estremi nella Seconda specie de gli oppositi.78. f Quello che sia.80. f. Al tutto priua della Ragione de numeri.81. m. Hauer Ragion de Numeri, co-me s'intenda. 81. p
Ditono posto fuori del suo luogo naturale fa tristo effetto. 4. m. Collegato nel graue della Cantilena fa cattiuo effetto.4. f. Posto nell'acuto diletta.4. m Et Semituono posti nel graue perche siano tanto poco grati.5. f Quello che sia. Serue al genere Enharmonico. Vna delle prime parti della Diapen-te, & delle seconde della Diapason.85. f. Et Semiditono come nascano. 97. f. Quanti Tuoni & quali contenga.120. m. Come si accommoda alla sua proportione.174. m. E minore di due Tuoni Sesqui-ottaui per un Comma.174. f Et Semitono sono anco del Diatonico genere.193. m. E contenuto nella sua uera forma nella Partecipatione. 242. f
Diuersità delle Scienze nasce dalla uarietà delle cose, che trattano. 9. f. 15.
Diuidere qual si uoglia Interuallo in due, o piu part equali come si possa fare. 148. p. 150. m La differenza del Tuono in due parti equali, non è la Regola di trouare i Semituoni. 161. page viii
Diuisione del Tuono vanamente fatta da Michaele Stiffelio, & da Nicolò Tartaglia.146. p. Di qual si voglia Interuallo in più parti equali, come si possa fare. 150. m. Del Tuono fatta da Aristosseno vanamente. 153. m. Di Martiano Capella fatta del Tuono. 153. f. Fatta del Tuono da Filolao pitago-rico in due parti. 154. m. Del monochordo regolate Diatonico. 198. p. Del monochordo Chro-matico regolare. 201. f. Dell'Enharmonico monochordo regolare. 202. f
Diuisioni dello Schisma, & Diaschisma sono irra-tionali. 118. m. dello Schisma, & del Diaschisma non si possono far realmente, se non col mezo della Geometria. 94 p. Delle proportioni quando siano incognite, & irrationali. 119. m
Diuiso l'Interuallo del Tuono in due parti equali, in quali proportioni sia diuiso. 144. f
Dominico da Pesaro fabricatore di Arpichor-di. 214. f
Dubbio intorno la Definitione. 10. m. Sopra la pro-portione della Diapason col ditono. 88. m. So-pra il Semituono minore. 90. f Et solutione intor-no l'ordine de gli Interualli del Monochordo Diatonico. 199. m. Intorno la specie delle Consonanze. 246. p
Dubitare di ciascheduna cosa nelle Scienze non è senza vtilità 90. f 183. p
Due cose da considerare nella Musica 7. p. Interualli, ò più communi da vna istessa proportione ne i estremi non fanno consonanza alcuna.38. f. Ses-quiottaui sono minori di uno Sesquiterzo: & maggiori di un Sesquiquarto. 70. f. Consonanze prime, & maggiori diuise in due semplici minori. 102. f. Diatessaron aggiunte insieme, di quanto trappassino la Diapente. 124. p. Consonanze semplici contenute da vna proportione insieme aggiunte ad vna chorda mezana commune, dalla Diapason in fuori, non fanno alcuna maniera di Harmonia. 180. f
Dupla reintegrata dalla Sesquialtera, & dalla Sesquiterza. 54. p. E prima d'ogn'altra proportione. 83. p
Dupla Sesquialtera quello che voglia dire. 88. p
Duplo composto dello Sesquialtero, & dello Sesquiterzo non è cagione della proportionalità harmonica. 55. p

E

Ε῎κθεσις quello che sia, & il suo officio. 17. p
Elementi sono Quattro. 30. f
Elemento quello che sia. 30. f. 45. m
Enharmonico genere vsa il Semituono minore. 90. f
Epigonio Istrumento di 40. Chorde. 3. f. quello che sia. 194. f
Errore de i Musici moderni intorno al nome de i Modi. 252. m
Esser Musico non è per se nell'Huomo; ma per accidente. 12. f
Estentione della Chorda è posta indiuisilmente alla guisa del Punto. 20. f
Estentioni diuerse della chorda à guisa de diuerse linee. 20. f
Estremi delle Proportioni quali siano. 29. f
Euclide molte cose d'altri fece sue. 9. p

F

FACILITARE le cose è cosa molto lodeuo-le. 201. m
Fattiua arte, che fine ella habbia. 22. f
Filolao filosofo Pitagorico come diuise il Tuono. Seguirò le ragioni de i Numeri nella diuisione del Tuono. 153. f
Fine della Consonanza, & dell'Harmonia. 11. m
Fisica quello che considera. 9. f
Forme del Ditono, & del Semitono de gli antichi quali erano. 3. m
Forme di tutte le Consonanze musicali contenute tra i termini, & le differenze dell'Harmonica, & Contraharmonica proportionalità. 101. p Contenute nella Progressione Arithmetica. 102. f Nel-la Massima, & perfetta harmonia. 106. f Conte-nute tra le parti delle Linee fatte nella diuisione del Quadrato. 108. f
Francesco Viola maestro di Cappella di Alfonso Duca di Ferrara. 1. m

G

GENERE quello che sia. 192. m. Diatonico. 192. f. Chromatico. 194. p. Enharmoni-co. 194. f
Generi della Melodia sono tre. 192. f
Geometri quello che contemplino. 10. m
Geometrica proportionalità quando si faccia, o come nasca. 27 p. 40. f. Harmonia. 105. m
Giulio Polluce à che tempo visse. 4. p
Greci non ritrouarono i Principij di tutte le Scienze. 203. f Non hanno sotto la loro Proslambanomenos chorda alcuna. 254. f
Gustabile non è per necessità sempre dolce, ouero amaro. 78. f

H

HARMONIA non propria di due sorti. 81. m Semplicemente detta qual sia. 81. f Ad vn certo modo detta quello che sia. 81. f Ad un certo modo detta si fà per l'ordine, & non per le Consonanze, che ella contiene. 87. p. Geometrica qual sia 105. m. Tra le qualità del Corpo cubo. 105. f. Semplicemente detta oue si ritroui. 181. p Detta ad un certo modo oue sia posta. 181. f
Harmonica proportionalità come nasce. 27. p. 55. f. Consiste nell'ordine. 55. p. Perche sia cosi det-ta. 105. f
Harmonide discepolo di Timotheo. 239. m page ix
Hauere il latte nelle mammelle, non è segno fermo sempre, che dimostri, che la donna habbia par-torito. 13. p
Hemispherio quello che sia. 135. p. E il Quarto di vna Sphera, considerato come si vsa. 135. p
Herostrato perche abbruciasse il Tempio di Dia-na. 216. p
Hexachorda quello che sia. 255. f. E consonanza; ma non della istessa natura, che è il Ditono, & lo m. minore quello che sia. 87. f. Maggiore, & mino-re come si facciano. 87. m. Maggiore di quanto sopr'auanz' la Diapente, & la Diatessaron. 125. f. Minore di quanto sopr'auanzi la Diapente, & la Diatessaron 126. m. Maggiore quanti Tuoni, & Semituoni contenga. 127. f. Minore quanti Tuoni, & Semituoni contenga. 127. m Minore co-me sia contenuto nella sua forma nella Partecipatione. 242. m. Hypaton. 216. p. Meson. 256. m. Diezeugmenon. 256. f. Hyperboleon. 256. f. Sy-nemennon. 257. p. Synemennon come si aggiunga à i quattro primi. 209. p. Della propietà di b molle 257. p. 267. f Della propietà di Natura. 267. f. Della propietà di quadro. 267. f. Contiene tutte le Specie della Diatessaron. 256. p
Hexachordi sono cinque ne gl'ordini de' Suoni. 255. m. Tra le Dicesette chorde temperate. 267. f. In qual modo siano nominati da i Moderni. 255. f. 265. f
Huomo è composto de i quattro Elementi. 30. f
Huomini hanno il latte nelle mamelle. 13. p
Hypoproslambanomenos quello che sia. 255. p Perche sia stata aggiunta da i Moderni. 265. p. Come si aggiunga alle Quindeci chorde ridut-te al loro temperamento. 264. m

I

IGNORANZA de Compositori da che sia proceduta. 187. m
Impossibile è che vno habbia tutto quello, che con-uiene al Perfetto. 190. f
Indagatrice Arte quello che ella sia, & che fine habbia. 22. f
Infinito non si può trappassare. 15. m
Instante nel Tempo è indiuisibile. 22. m
Intentione del Stiffelio intorno la diuisione del Tuono. 247. p. Dell'Autore nello scriuere le cose della Musica; tanto nella Speculatiua, quanto nella Prattica. 190. m
Interuallo come si faccia. 23. p Quello che sia. 23. p Primo considerato dal Musico ad un certo mo-do. 23. p. Molteplice. 24. p. Superparticolare. 24. m. Superpartiente. 24. f. Molteplice superparticolare. 25. p. Molteplice superpartiente. 25. m. Qual sia maggiore l'vno di due. 32. p. Moltepli-ce doppiato genera un Molteplice. 39. p. Raddopiato se produrrà un molteplice, anche lui sarà molteplice. 41. f. Superparticolare è indiuisibile in parti proportionali con numeri rationali. 44. p Non molteplice raddoppiato non fa alcuno Molteplice,nè Superparticolare. 45. p. Raddoppia-to, che non da il Moltiplice, non può essere molteplice. 45. f. Ne i suoi termini radicali come moltiplicar si possa con Numeri composti. 51. m. Duplo da che nasca. 53. f. Triplo come si faccia. 59. m. Quadruplo da che nasca. 60. p. Ses-quiottauo de quali interualli sia la differenza. 62. f Sesquinono qual differenza sia. 63. f. Sequiquintodecimo de quali interualli sia la differenza. 64. f. Sesquiuentesimo quarto di che sia la differenza. 65. f. Sesquiottantesimo qual differenza sia. 68. p. Supertripartiente. 125. qual differenza sia 68. m Del Tuono maggiore, & quello del minore sono Superparticolari. 100. m. Del Se-mituono maggiore è Superparticolare. 111. m. Del Semituono minore è Superparticolare. 111. m. del Semituono maggiore è il primo de i Tetrachordi Diatonico, & Chromatico. 223. p. Del Semituono maggiore è Elemento del Diatonico, & del Chromatico. 223. p. Del Tuono diuiso in due parti equali, in quali proportioni sia diuiso. 144. f. Del Semituono maggiore è minore dello Apotome. 163. m. Qual si uoglia come si possa diuidere in due, ò più parti proportionali. 148. p 150. m. Fatto maggiore, ò minore quando s'in-tenda. 257. p. Farsi più graue, ò più acuto,come s'intenda. 258. p
Interualli in quante maniere udire si possano in atto. 3. f. Quando si dicano simili. 32. p. Come si possano coutinuar [sic: continuar] l'uno dopo l'altro. 37. p. molteplici raddoppiati quello che facciano. 59. p. Minore della Diatessaron hauuti da gli Antichi per Dissonanti. 77. f. Mezani tra la Consonanza, & la Dissonanza sono molti. 78. f. Dissonanti minori del Semitono sono le differenze de i mag-giori consonanti. 89. m. del Ditono, & del Semiditono sono Superperticolari. 98. m. Fatti da Filolao, & da Aristosseno nelle loro diuisioni del Tuono aggiunti à due Tuoni Sesquiottaui, ouero al Ditono non fanno Consonanza alcuna. 165. m. Vsati da Chromatisti nelle loro compositioni. 215. p
Inuentione dell'Autore di Participare, ò Temperare con ragione gl'istrumenti da chorde, è di tre sorti. 200. m.
Inuentore primo della Participatione, ò Temperamento de gli Istrumenti non si fa chi si fus-se. 214. p
Ismenia discepolo di Antigenida Tebano. 239. m
Istitutioni Harmoniche Opera dello Autore. 2. m. Spesso allegate dall'Autore, & per qual cagione. 40. p
Istrumento di quarto chorde come si chiama. 292 [sic: 192]. p. De cinque, di sei, di sette, & più chorde come si nomina. 292 [sic: 192]. p. Fatto dall'Autore, il quale si accorda perfettamente, 199. f page x
Istrumenti arteficiali di due sorti. 234. m. che han-no il testame di vna istessa maniera. 240. f

L

LACEDEMONI scacciarono, & bandirono Timotheo dalla loro città;& perche. 215. f
Λεῖμμα quello che sia. 91. p. 170. m. Et quello che voglia dire. Da che proportione sia contenu-to. 91. p
Leuando ne i Quattro maggiori Superparticolari vno Interuallo minore da vn maggiore; quello che viene è Superparticolare. 66. p
Linea come si faccia. 21. m. Mezana proportionale come si troua. 148. p. Retta perpendicolare co-me da vn punto segnato leuar si possa. 149. m
Linee molte mezane proportionali come ritrouar si possino. 150. m
Luogo del Suono, come si considera dal Musi-co. 21. p

M

MARTIANO Capella hà diuiso il Tuono in molti modi. 153. f
Massima, & perfetta harmonia de gl'Antichi. 103. f Perche in tal modo la chiamassero. 103. f. Tra cinque termini, & quattro interualli. 105. p. Che tra i termini, & le differenze loro contiene i Tuoni maggiore, & minore, con l'altre Con-sonanze. 106. f
Massime, ò communi pareri detti Ἇξιωματα. 30. p.
Materia posta nella Derfinitione della Musica. 11. m
Mathematico dimostra per le cagioni forma-li. 11. f.
Mathematiche Scienze quello che considerino. 9. f. Nel primo grado di certezza. 38. f
Melopeo, ò Musico perfetto, Opera dell'Auto-re. 287. p
Mesolabio Istrumento mathematico in che serui al musico, 150. f
Metà di qual si uoglia cosa oue caschi. 35. m. Intera del Tuono doue cada. 156. f. Del Tuono minore doue caschi. 158. m
Metafisica quello che si considera. 9. f. Dimostra per le cagioni formali, finali, & efficienti. 11. f
Mezo de i Contrarij di due sorti. 78. m
Mezani interualli, che cadono tra la Consonanza, & la Dissonanza. 78. f. Nascono da altre proportioni, che da Molteplici, ò Superparticolari, collocate però tra le parti del Senario, & dall'Ottonario numero. 78. f
Michele Stiffelio mathematico eccellente in qual modo diuida il Tuono in due parti equa-li. 145. f
Minimi termini delle Proportioni sono Numeri contraseprimi. 25. m
Moderni dubiosi del Ditono, & Semiditono se siano consonanti. 6. m. Non hanno hauuto sufficienti Principij, nè anco esperienza delle cose della Mathematica. 6. f. Perche trappassarono il numero delle chorde de gli Antichi. 205. p
Modo di udire in atto qual si uoglia Interuallo, accommodato alla sua proportione. 141. f
Modo quello che sia 250. p. Principale, & Autentico. 253. p. Non principale, & Plagale. 253. m
Modi quello che siano, ò quali si chiamino. 243 f. Perche siano l'vno dall'altro differenti. 249. f Secondo l'vso de gli Antichi parte molto difficile da intendere. 251. f. Distanti l'vno dall'altro per vn Tuono, ouer per vn Semituono. 278. p Principali posti per ordine. 275. p. Non principali posti per ordine. 278. p. Tutti l'vno dopo l'altro per ordine. 281. p. Principali tutti contenuti sono tra le Tredici più acute chorde delle Sedici. 283. f. Non principali contenuti tra le Tredici più graui del numero de Sedici. 184. m. Si pos-sono trasportare dal graue all'acuto; & per il contrario. 285. p. Non possono essere nè più nè meno de Dodici. 251. m. 275. m
Modulatione di ciascheduno de i Dodici modi come trasportare si possa. 285. p
Molteplice Interuallo raddoppiato quello che fac-cia. 39. p
Moltitudine contenere per la maggior parte Huo-mini di basso, & vile ingegno. 239. m
Monochordo quello che sia. 192. p. Di doue deriui il suo nome. 192. p. Regolare perche cosi si dica. 198. p
Mouimento non è senza tempo. 20. f
Mouimenti nella Musica tutti sono violenti. 22. f
Musica perche sia sottoposta alla Filosofia naturale. 10. p E scienza di Relatione. 10. p. Hà per Sog-getto il Numero sonoro. 10. p. Hà per [unclear: Soggetto] il Corpo Sonoro proportionato. 10. p. [unclear: Risolta] nel suo fine è cosa attiua. 22. f. A qual Genere sia sottoposta. 22. f. Da qual parte è detta Theorica; & come sia detta Prattica. 22. f. Subalternata alla Arithmetica. 38. p. Et Poesia arriuate ad vna istessa conditione. 190. p. Ripiena di Compositori. 190. p. Senza Artefici, che habbiano cognitione di essa; & per qual cagione. 190. m. Guasta da Chromatisti. 215. f
Musico considera il Suono come principio della Consonanza, & d'ogn'altro interuallo 20. m Non considera il Suono nella lunghezza. 20. f. Come dè vsare i Principij, che piglia da vn'altra Scienza. 38. p. Caua le sue ragioni dal Tutto, & dalle parti del Corpo sonoro. 55. m. Poco conto fà de i Numeri irrationali. 146. m
Musico quello che contemplino. 10. m. Moderni sono Artefici senza cognitione dalla loro Ar-te. & da che sia proceduto. 189. f. Nostri non considerarono la diuisione, ò compositione del Monochordo fatta per Tetrachordi, ma per Hexachordi. 205. p page xi

N

NATVRA delle Scienze. 19. m. della Diapa-son. 245. p
Naturale dimostra per ogni cagione. 11. f
Nicolò Tartaglia Bresciano diuise il Tuono in due parti vanamente, come fece Stiffelio. 146. p
Niuno Superparticolare si può diuidere in due parti equali. 44. p
Nome de gli Antichi appresso l'Autore è venerando & riuerendo. 203. f. De gli Hexachordi ap-presso i Prattici. 255. f
Nome di tutte le Voci, Suoni, & Chorde secondo gli Antichi. 195. m. Et ordine de i Modi. 252. m. Secondo i Moderni. 254. p
Numero sonoro soggetto della Musica. 10. p
Numero numerato quello che sia. 28. f. Qual si vo-glia che moltiplica, ò parti i termini di una pro-portione, produce la istessa. 31. m. Qual si uoglia si può porre per la differenza di qual si voglia proportione. 43. f. Composto quello che sia. 51. m. Maggiore di qualunque ordine dinota il Tutto del Corpo sonoro. 55. m. Numerante è vno Essemplare, & vna Idea nell'Anima nostra. 49. f. Posto in Atto dal Musico quello che si debba intendere. 55. m. Esser aggiunto à se stesso quello che s'intenda. 102. f. Ternario perche non si possa diuidere in due parti equali. 99. m. Ternario è perfetto. 153. f. De Compositori oltra modo cresciuto nella Musica. 190. m. Maggiore di qual si uoglia ordine rappresenta la parte più graue. 251. p. Di Quindeci chorde, perche non sia trappassato nelle dimostrationi, & ordini de Suoni. 203. m
Numeri Contraseprimi sono le Radici delle Pro-portioni. 25. m. Tra loro composti, ò Communi-canti quali siano. 25. f. Di due sorti. 28. f. 49. f. Et proportioni sono imagini de i Suoni, & delle Consonanze. 41. p. O proportioni del Monochordo Diatonico. 211. p. Della Deuisione Chromatica. 220. f. Del Monochordo Enharmonico come si possono adunare insieme. 226. f

O

OGNI proportione de i Corpi sonori è tanta quanta di Numero à numero. 137. p
Opere dell'Autore grate à i Spiriti nobili. 190. m
Opinione di Pitagora, & de gli Antichi Pitagorici. 2. m. De gli Antichi intorno à gli Interualli della Musica. 76. m. De gli Antichi intorno alla loro Massima, & perfetta harmonia. 103. f. Di Tolomeo, & de Pitagorici intorno alla Diapason Diatessaron. 129. p. De' Moderni Chromatisti nel cantare. 193. p. Di Boetio intorno i Mo-di. 252. p
Oppositione contraria quello che sia. 78. p
Oppositioni di quattro maniere. 78. p
Ordine, & luoghi propij delle Consonanze. 4. p. Ordine nelle Voci diuerso da quello, che si troua ne gli Istrumenti arteficiali. 234. m. Interrotto de i Modi. 247. m. Non varia la essenza delle Consonanze. 248. m
Ordinare le specie delle Consonanze col modo debito, è cagione di ordinare i Modi con buon ordine secondo la mente de gli Antichi. 247. f
Ordinatione de i Modi secondo la mente de gli Antichi. 248. f
Origine di tutte le Consonanze. 101. p

P

PARHYPATE Chorda Diatonica, & Chromatica è la Lychanos Enharmonica. 230. f
Parte qual sia maggiore, ò minore di un'altra. 32. f. Aliquota, & non Aliquota di vn numero dato come si troua. 49. f. Qual si voglia come si caua da un'altra. 69. f. Minore della proportionalità harmonica non è atta ad esser diuisa, di modo che produca i suoi interualli consonanti. 99. p
Parte maggiori, & minori l'vna dell'altra. 32. f. Della Diapente. 90. m. Diuerse de' Nominatori, come si riduchino sotto vn solo Denominatore. 72. f. Come insieme si sommano. 72. f.
Partecipatione quello che sia. 221. m. Come si dimostri. 259. p. Si può fare in tre maniere.200. f. De gran commodo nella musica. 210. p
Pentachordo diuiso da gliAntichi in due Generi. 194. m
Pentadecachordo, quello che sia. 204. f
Perfetto si può dire, alquale meno mancano di quelle cose, che fanno alla sua Perfettio-ne. 190. f
Perfetto Musico Opera dell'Autore, 190. m.287. p
Pietra per qual cagione non respira. 13. f
Pitagora non uolea che le Consonanze hauessero le loro forme da altro Genere di proportione, che dal Molteplice, ò Superparticolare. 3. m
Pitagorici, &Pitagora negauano gli Interualli minori della Diatessaron esser consonanti. 2. m. Per qual cagione si mouessero à dire, che quelli interualli, che sono minori della Diatessaron non sono consonanti. 3. m Non hebbero cognitione de i Gradi, & propij Luoghi delle Consonanze. 4. p. 6. p
Platone molte cose d'altrui fece sue. 9. p
Poco accordo che si ode nelle Cantilene nasce da due cagioni. 5. f
Poesia copiosa de Versificatori 190. p
Ποιητικὴ quello che sia, & il suo fine. 22. f
Ponti annotati nelle chorde diuise come da i Gre-ci si chiamano. 178. m
Πορίσμα quello che sia, & quello che significa.123. m
Positioni quello che siano. 15. f. Di più maniere. 15. f. Di due sorti. 16. m
Πρακτικὴ, ò Attiua quello che ella sia, & il suo fi-ne. 22. f
Premesse vanno innanzi la Conclusione; & sono la page xii sua cagione. 14. m. Debbono esser vere. 14. m. Debbono esser più note della conclusione. 14. f. Debbono esser prime, & senza mezo alcu-no. 14. m
Prima Diapason considerata nella Musica. 246. f
Primo termine delle Consonanze qual sia. 231. f.
Prime consonanze qual siano. 245. f
Principij di più sorti. 15. f. Communi. 15. f. Propij. 15. f. Della Geometria. 15. f. Dell'arithmetica. 15. f. Della Musica. 16. p. Communi chiamati Dignità. 16. m. Di vna Scienza in quella sono indemostrabili. 16. m. Della Musica da chi si piglia-no. 38. p
Πρόβλημα quello che sia. 17. m. Perche sia cosi detto. 17. m. Hà in se Sei cose. 17. m
Procedere nostro nella cognitione delle cose.14. f
Progressione Arithmetica. 26. p
Propio del Sillogismo dimostratiuo. 14. p
Proposta di Euclide tolta dall'Autore; per dimo-strare si possa diuidere il Tuono in due parti equali. 148. m
Proportionalità Geometrica. 26. f. Harmonica.27. p. Contr'harmonica. 27. m. Arithmetica più to-sto detta Progressione. 26. p. 55. m. Harmonica detta Mediocrità. 39. m. 55. m. Harmonica consiste nell'ordine. 55. p.Harmonica come si troua. 55. m. Contr'harmonica come si troui. 55. f. 57. p. Continua, & discontinua, ò discreta. 105. m. Geometrica discontinua. 105. f
Proportione del Ditono, & del Semiditono de gli Antichi. 3. m. Di graue, & di acuto tra i Corpi sonori. 11. m. Quando è capace di un termine me-zano, quello che debba hauere. 43. m. 119. p. Qual sia maggiore di due contenute fra tre ter-mini. 72. f. Di suono à suono è tanta, quanta quel-la di Spacio à spazio. 135. f
Proportione de gli Interualli del Tetrachordo Dia-tonico diatono. 3. m. Quando siano fuori delle loro Radici. 25. f. Et Numeri sono le imagini de i Suoni, & delle Consonanze. 41. p. Dello Schis-ma, & del Diaschisma sono irrationali. 118. m. Incognite, & irrationali quali siano. 118. m. Che superanno l'intera metà del Tuono quali siano. 155. f. 157. m. Delle parti fatte vn Spacio di-uiso, quali siano maggiori, ò minori. 142. m. Delle consonanze come si possano descriuere con numeri. 178. f. Della diapente della diatessa-ron, del Tuono, & quella del Semituono mag-giore sono sordi, & irrationali nella Partecipa-tione. 200. f. 263. f.
Propositioni di due sorti. 16. m
Proposta, ò dignità di due sorti. 16. f. O che ne conduce alla Speculatione, oueramente che ne fà operare. 17. m. Prima del lib. 1. di Euclide minutamente dimostrata. 18. m. Del Lib. 6. di Euclide vsata per ritrouar la mezana chorda proportionale tra due date. 148. m
Προςλαμβανόμενος chorda grauissima in ogni ordine de Suoni. 195. f. Perche fù aggiunta da gli Antichi. 104. f
Πρότασις quello che sia; quello che contiene; & quale è il suo officio. 17.
Proua delle operationi mathematiche quello che sia. 45. p
Punta nella Geometria è principio della Quantità continua. 20. m

Q

QVADRATO diuiso da linee che fanno le forme di tutte le Consonanze. 108. m
Quadruplo interuallo come si faccia. 60. m
Quantità rationale, & irrationale quello che sia. 258. m. Sorda, & irrationale. 263. f
Quantitadi collocate in Arithmetica progressione. 26. p. In geometrica proportionalità. 26. f. In Harmonica mediocrità. 27. p. In Proportionalità Contr'harmonica. 27. f
Quarta specie della Diapason non si può diuide-re Arithmeticamente. 273. f
Quattro Elementi quali siano. 30. f. Sesquiottaui superano il Sesquialtero interuallo. 73. p
Quello che misura una cosa; misura anche quello, che dalla misurata è misurato. 30. p. Che misura il cauato, & il restante di vna quantità; misura anco il Tutto. 31. f
Quesito quello che sia. 17. f
Quindeci chorde perche non si trappassino nelle Dimostrationi, & ne gli ordini de Suoni. 203. m

R

RADDOPPIARE vno Interuallo quello che sia. 39. p
Radici, ò minimi termini delle proportioni quali siano. 25. m
Ragione de Numeri è la forma delle Consonanze. 11. m. Noua, la qual proua da Diatessaron essere consonanza, & perfetta. 84. m. Addutta da Tolomeo à prouare, che la Diapason diatessaron sia Consonanza. 129. p. De i Pitagorici, la qual proua, che la Diapason diatessaron non è consonanza. 129. m. Del Temperamento de gl'istrumenti inuentione dell'Autore. 200. f
Ragione de gli Interualli fatti da gli Haxachordi Synemennon, & Diezeugmenon posti insie-me. 210. m
Regola harmonica quello che sia. 134. f. Da alcuni è tenuto vna Listella fatta di legno. 134. f. 198. m
Regola di hauere, ò ritrouare li Semituoni, non è diuidendo la differenza del Tuono in due parti equali. 161. f
Relatione, è cosa debolissima. 248. m
Relationi, che cadono tra le Parti del Senario numero, & il primo numero Cubo, sono Venti-una. 79. f
Replicare alle fiate alcune cose non è senza frutto. 191. f page xiii
Rimesso rispetto al più teso da il suono più gra-ue. 136. f

S

SAPERE perche si piglia. 12. m. Di due sorti. 12. m. Per se. 12. m. Per accidente. 12. m. Per se è vero sapere. 13. m. Per accidente non è vero sapere. 12. f. Per se di due sorti. 12. f. Semplice-mente. 12. f. Ad vn certo modo. 12. f. Per se semplicemente quello che sia. 12. f. Che si acquista col mezo de i segni probabili. 13. f. Con la Scienza sono correlatiui. 13. f. Per negatione quello che sia. 214. f
Σχίσμα quello che sia. che si voglia dire. 93. m
Scienza è posta nello Intelletto 9. m. Col Sapere sono correlatiui. 13. f
Scienze acquistar non si possono se non col mezo della Dimostratione. 9. m. Diuerse nascano da i Generi diuersi delle cose, che si possono sape-re. 9. m. 15. f
Sei cose si trouano in ogni Theorema, ò Proble-ma perfetto. 17. m. Interualli Sesquiottaui sopr'a-uanzano il Duplo. 74. f Specie sole delle Diapa-son si possono diuidere harmonicamente. 272. f
Et Sei Arithmeticamente. 274. m
Semiditono quello che sia. 86. p. Et Ditono posti nel graue della Cantilena, perche siano poco grati. 5. f. Detto Sesquituono, & Trihemituono, ò Trisemituono. 86. p. Serue al genere Chro-matico. 86. p. E la minor consonanza de tutte l'altre. 86. p. Quanti Tuoni, & Semituoni con-tenga. 120. p. Et Ditono come nascano. 97. f. Co-me si colloca alla sua proportione. 173. p. Quanto sia minore di due Tuoni Sesquiottaui. 173. f. Et Ditono sono contenuti nel genere Diatonico. 193. p. Posto da Tolomeo nel Chromatico molle. 216. m
Semituono maggiore quello che sia. 90. m. Detto Apotome. 90. m. Adoperato nel Diatonico genere in ogni Tetrachordo. 90. m. E maggior di cinque, & minor di sei Comma. 115. f. Qual proportione habbia. 111. m. Come si soggiunga al Tuo-no maggiore. 158. f. Come si proponga al Tuono maggiore, & al minore. 159. m. Come si accommodi tra il Tuono maggiore, & minore. 159. f. Consiste in maggior proportione della Sesqui-decimasesta. 160. m. Consiste in maggior proportione della Sesquidecimasettima. 161. m E collocato tra la Sesquiquartadecima, & la Sesquidecimasesta proportione. 163. m. E minore dell'A-potome. 163. f. Elemento del Diatonico, & Chromatico genere. 223. p. Quanto si accresca nel Temperamento de gl'Istrumenti. 244. f
Semituono minore, perche sia cosi detto. 90. f. E il Diesis maggiore Enharmonico. 90. f. Detto da i Greci Limma. 90. f. E detto Diesis da Filolao. 91. f. 170. m. Perche non sia detto Minimo. 90. f. Da che proportione sia contenuto. 112. p. E maggiore di tre, & minore di quattro Comma. 117. m. Come si accommodi alla sua proportione. 168. f Come si soggiunga al maggiore. 169. f. E minore interuallo del Lemma. 170. m
Semituoni di quattro maniere. 91. m
Sentenza di Boetio da mandare à memoria. 133. m Di Hermete, ò Mercurio Trismegisto. 133. m. Di Hesiodo. 188. f
Sentenze di Giustiniano Imperatore intorno il ritrouare, & il facilitare le cose. 201. p. m
Sesqui quello che uoglia dire. 88. f
Sesquinono interuallo di che interualli sia la differenza. 63. f
Sesquiottantesimo interuallo, che differenza ello sia. 68. p
Sesquiottano interuallo di quali interualli sia la differenza. 62. f
Sesquiquarto interuallo da che interuallo sia reintegrato. 59. m
Sesquiquintodecimo interuallo di che sia la diffe-renza. 64. f
Sesquitripartiente. 125.Interuallo qual differenza sia. 69. p
Sesquiuentesimoquarto interuallo qual differenza sia. 65. f
Sesta per sua natura non è molto consonante.85. m. E men buona della Terza. 85. m
Settima specie della Diapason non si può diuidere harmonicamente. 271. f
Soauemente venire all'Vdito, & mutare il Senso è il fine & proprio della Consonanza. 11. m
Simico Istrumento di 35.chorde. 4. p
Σίστημα quello che sia. 7. p
Soggetto della Musica qual sia. 10. p
Spacio qual si chiama. 142. f
Spacij ristretti & minori, cosi maggiori, & più lar-ghi si fanno per la moltiplicatione de gli inter-ualli di vna istessa proportione. 143. m
Specie quello che sia. 245. f. Della diapasopn sono sette. 245. f. Della Diapente sono quattro. 245. f. 249. m. Della Diatessaron sono tre. 256. p. 245. f 249. f
Studio dell'Autore intorno le cose della Musi-ca. 133. m
Subdupla proportione s'assimiglia alla Dupla ne i termini. 28. p
Suono quello che sia. 20. m. E principio della Consonanza 20. m Quando si dice esser Voce. 20. f. Da Greci detto Φθόγγος. 20. m. Considerato secondo diuerse estentioni cade sotto la qualità di Graue, & di Acuto. 21. p. Si vede quasi cadere dal Corpo sonoro ad un certo modo. 21. f. Conti-nuo. 21. f. Considerato secondo la duratione. 21. m. Sottoposto al Genere di cose, che l'vna all'al-tra succedono. 22. f. Quando si estende uerso il graue,ò verso l'acuto, fa l'Interuallo. 23. p. Più graue, ò più acuto da che uenga. 136. f. Di una chorda mezana di un Spacio diuiso in due parti equali, come sopr'auanza gli estremi. 145. p page xiv
Suoni, ò Voci materia della Consonanza. 10. m. Adunati in un luogo istesso si chiamano Vniso-ni. 21. p. Diuersi da che nascono. 21. p. Conside-rati dal Musico quanto alla loro duratione. 21. f Che fanno l'interuallo debbono esser differen-ti. 21. p. Della Diapason niente differenti in uir-tù & possanza da un solo Suono. 129. m. De gli Istrumenti arteficiali sono stabili. 200. m
Supplementi Musicali opera dell'Autore. 287. m
Suppositioni quali siano. 16. f
Συμπέρασμα quello che sia, & il suo officio. 17. f

T

TANGIBILE non è sempre freddo, ò cal-do: oueramente duro, ò tenero. 78. m
Temperamento de gli Istrumenti si può fare in tre modi. 200. f. Quando si fà, che utilità ap-porti. 241. p
Tempio di S. Marco famoso, bello & ricco. 1. m Di Diana effesina abbruggiato da Herostra-to. 216. p
Tempo non è senza quantità. 22. p Considerato intorno al Suono. 22. p. Non ha parte alcuna indi-uisibile, se non lo Istante. 22. m
Termine minore al quale si possa assegnar quante proportioni Superparticolari si uoglia, come si possa trouare. 60. f. Maggiore etiandio in qual maniera trouar si possa. 61. f
Termini di un raddoppiato molteplice sono l'uno all'altro proportionali. 40. f Maggiori di uno in-teruallo à quanti corrispondino de i minori in-sieme adunati. 47. f Maggiori di uno interuallo, come siano equali à i minori. 48. f. Incogniti quali siano. 50. f. Che usa il Musico sono le parti del corpo sonoro. 55. m. Che adopera l'Arithme-tico. 55. m
Ternario non si può diuidere in due numeri equa-li. 99. m. Numero perfetto; 153. f
Tetrachordo Diatonico diatono fù sopra ogn'altro riceuuto da i Pitagorici. 3. m. Di donde sia detto. 192. p. Quello che sia. 196. p. Hypaton nel mo-no chordo diatonico. 204. p. nel Chromatico. 214. m. & nello Enharmonico. 224. p. Meson nel diatonico. 205. m. nel Chromatico. 217. f. & nello Enharmonico. 224. f. Diezeugmenon nel diatonico. 206. m. nel Chrommatico. 218. m. & nello Enharmonico. 225. m. Hyperboleon nel diatonico. 207. f. nel Chromatico. 218. m. & nello Enharmonico 225. f Synemennon nel dia-tonico. 209. p. nel Chromatico. 219. f & nello Enharmonico. 225. f. Congiunto. 197. p. Sepa-rato. 197. m. Symennon è accidentale. 208. f
Tetrachordi sono cinque. 195. f. 196. f
Θεώρημα quello che sia, 17. m. Perche sia cosi det-to. 17. m. Contiene in se Sei cose. 17. m
Θεωριθικὴ quello che sia: & il suo fine. 22. f
Timotheo musico à che essortaua Harmonide suo discepolo. 239. m. Inuentore del Genere Chro-matico fù bandito da i Lacedemoni: & per che. 215. f
Tolomeo pose la forma del Tuono minore. 90. p. Tiene, che la Diapason diatessaron sia conso-nanza. 129. p. Nel Chromatico molle dimostrò la forma del nostro Semiditono. 216. m.
Τόνος quello che significa. 89. f.
Trasportatione de i Modi quanto sia utile à gli Organisti. 285. p.
Trattato di Patienza composto & dato in luce dal-l'Autore. 285. p
Tre cose accascano intorno al Suono 21. p. Interualli Sesquiottaui sopr'auanzano un Sesquiterzo: & sono minori di un Sesquialtero. 71. m. Tuoni maggiori: ò due maggiori & uno minore sopr' auanza la Diatessaron. 121. m. Tuoni maggiori sono minori di una Diapente; & quattro sono maggiori. 124. m
Triplo interuallo come nasce. 59. f
Trite chorda de i due primi generi, è la Paranete dell'Enharmonico. 229. f
Tritono quello che sia. 121. m
Tuono maggiore quello che sia 89. m. 244. m. Al-tramente definito da gli Antichi. 106. m. Et lo minore come nascano. 99. p. E Sesquiottauo. 100. p. E maggiore di noue, & minore de dieci Comma. 14. p. Come si accomodi alla sua proportione. 139. m. è detto maggiore per eccellenza. 138. m. Di quanto resta sciemo nella parte-cipatione. 144. m
Tuono minore quello che sia. 89. f. E Sesquinono. 100. p. Di che si faccia. 112. f. E maggiore di otto & minore di noue Comma. 115. f. Come accomodar si possa alla sua proportione. 138. m. Di quanto si accresca nella participa-tione. 244. m
Tuono Sesuiottauo è maggior di Noue & mino-re di Dieci comma. 114. p
Tuono equali di proportione nella partecipatione. 242. m. 244. f 246. m
Tuono, quello che significa 89. f. Principio della consonanza, secondo gli Antichi. 89. f. Misura d'ogni Consonanza musicale, secondo gli An-tichi. 104. f. Come si accommoda alla sua pro-portione. 137. m. 138. f. Come si possa soggiun-gere ad un'altro, sopra una chorda. 139. p. Co-me si possa preporre. 140. p. Diuiso in due parti nelle estremità, non è diuiso equalmente. 143. f Non si può diuidere in due parti equali con numeri rationali. 145. f. Come si possa diuidere in due parti equali. 148. p. Come si possa diuidere in più equali. 150. m
Tutto è maggiore, che non è la sua parte. 35. f. Di-uisibile appresso il Musico quello che sia. 83. m. Diuisibile è prima delle sue parti. 83. m. Rispetto alla parte, rende il suouo [sic: suono] piu graue. 136. f page xv

V

VAGHEZZA & leggiadria della Musica è posta nel Ditono, & nel Semiditono. 3. m
Vdibile non è sempre consonante, ò dissonante semplicemente. 78. f
Venetiani con solennissima pompa riceuono Al-fonso Duca di Ferrara. 1. m. Religiosi, & à Dio deuoti. 1. m
Versi che insegnano à ritrouar il mezano termine dell'Harmonica, & Contr'harmonica proportionalità. 57. f. Di Horatio contra gli Inuidi, & ma-ligni. 77. m
Vicenzo Colombi fabricatore di Organi 198. m
Visibile non sempre Nero, ò Bianco. 78. m
Viua voce quanta forza ella habbia 191. f
Vltimo grado della poca grata adunanza delle consonanze. 5. m
Vniformi sono sotto una sola qualità, alla similtudi-ne della linea retta. 22. p
Vnità del Numero numerante non si può diuidere. 28. f. 49. f. Del numero numerato si può diuidere. 28. f. 50. p. E parte di qual si uoglia Numero. 30. f. Moltiplicata in qual si uoglia numero, produce l'istesso. 31. p
Voce continua non fa consonanza, nè harmonia. 21. f. Non è considerata dal Musico. 21. f
Voci, ò Suoni materia della Consonanza. 10. m. Considerati dal Musico quanto alla loro duratio-ne. 21. m. Da ogni parte piegar si possono 200. p.234. m
Vtilità che apporta il saper temperare un'Istrumento, & la sua ragione. 241. p
IL FINE DELLA TAVOLA.
page xvi

LETTORI STVDIOSI.

CON la uostra solita humanità contentareteui di sottoscriuere al Priui-legio de Stampatori, che hanno di non stampar mai Libro alcuno senza errori: col riportare queste poche correttioni, che sono di qual-che importanza, à i loro luoghi.
Facciata. Linea. leggi.
a [sic: 4]. 48. senza aspettar altra.
50. che conoscessero.
12. 16. che cosi fusse,
23. 32. hauete dichiarato
27. nel principio della seconda linea dell'essempio manca la lettera f.
12. Sesquiquarta; & quella che si troua tra ac. è Dupla, come quella che si troua tra fg.
30. 32. bene, dissi; onde.
38. 6. che non ui sono.
39. 1. PROPOSTA III.
48. nell'ordine de i Molteplici. superparticolari. d.10.
93. 2. Messer Claudio; lasciamo
Facciata. Linea.
105. 33. compreso da i Quattro primi che si uedono, che anco gli altri sono Quattro,
213. 11. Semituono.
135. di sopra. TERZO.
137. di sopra. TERZO.
137. 28. per la terza.
139. di sopra. TERZO.
144. 4. & cb. è quello
146. 14. cifera √ la
149. 12. & eg faranno.
214. 29. studiano
246. 20. ch'io non faccia.
254. 1. (per tornar al proposito)
44. gli Istrumenti Naturali.
183. 46. PROPOSTA L.
page 1

DIMOSTRATIONI HARMONICHE DEL REV. M. GIOSEFFO ZARLINO DA CHIOGGIA, Maestro di Cappella della Serenissima Signoria DI VENETIA: Diuise in Quattro [sic: Cinque] Ragionamenti.

RAGIONAMENTO PRIMO.

GLI ANNI di nostra Salute erano peruenuti al numero di MDLXII. &era il Mese d'Aprile quando l'Illustrissimo Sig. Donno Alfonso d' Este Duca di Ferrara, per cagione di uedere una bella, nobile & ricca Città; non solamente gloria, splendore & riputatione della bella Italia; ma anco di tutto 'l Christianesimo; & forse per altri suoi negotij d'importanza, uenne à Vinegia; onde da i nostri Sig. Illustrissimi Venetiani con solennissima pompa & regali apparati; com'è lor costume di riceuere tutte quelle Persone, che sono d'alto affare; fu riceuuto. Hauea questo Sig. seco menato i miglior Musici, ch'appresso di lui si ritrouauano; tra i quali (lasciando gli altri, per non esser lungo) era Francesco Viola suo Maestro di Cappella & mio sin-golare amico. Questi uenuto un giorno à ritrouarmi alla mia stanza, & presomi in sua compagnia, s'auiassimo uerso la bellissima piazza di S. Marco. La onde uedendo aperto il suo famoso & ricco Tempio, che de belli & finissimi marmi, con una gran copia di co-lonne, è fabricato; percioche già era l'hora del Vespero, entrammo in esso; & pascendo la vista per un buon pezzo di tempo, con belle pitture, che iui si ritrouano da buoni & eccellenti maestri di Mosaico antico & moderno lauorate; insieme andauamo ragionando della lor bellezza & della ricchezza del Tempio, & della spesa grande, ch'in esso faceuano i nominati Signori Illustrissimi, come quelli, che sono stati sempre religiosi, & à Dio deuoti; per adornarlo di quelle cose, che uedono esser necessarie & conueneuoli, & portino bellezza, decoro & maestà al culto Diuino. Hora mentre che noi con sommo piacere & nostro gran gusto andauamo discorrendo molte cose; essendo già finito il Vespero; eccoti comparere il gentilissimo M. Claudio Merulo da Correggio, soauissimo Organista; il quale uedutoci, s'accostò à noi; & conosciuto il Viola; dopo gli abbracciamenti fat-tisi l'un con l'altro, ci ponemmo à sedere. Il perche essendosi tra noi de molte cose degne & honorate, come 'l luogo richiedeua, per un buon pezzo ragionato, fatto dissegno di partire; prendemmo tutti d'accordo il camino uerso la stanza di M. Adriano Vuillaert, allo-ra Maestro di Cappella di questa Serenissima Signoria; il quale poco lontano dimora-ua, per conto di uisitarlo; & essendo molestato dalle podagre, non si partiua di ca-sa; à fine che la presenza de i suoi amici amoreuoli & carissimi, gli apportasse qual-che solleuamento. Arriuati adunque che noi fussemo, & ritrouato, che 'l sudetto Sig. poco inanzi era stato à uederlo con una bella, degna & honorata copia de Signori & Gentil'huomini; dopo molti ragionamenti hauuti da una parte & l'altra; i quali com- page 2 memorauano le cortesie, che questo Sig. eccellentissimo molte uolte usato gl'hauea; & quanto care gli erano le sue compositioni; & come per lui erano uenute à luce una grandissima parte di quelle cose, ch'egli hauea gia composto; le quali stauano quasi sepolte. Et hauendo insieme con buon proposito discorso molte cose della Musica, & della nostra amicitia; à caso arriuò un degno & honorato Gentil'huomo forastiero amico di M. Adriano, uenuto simigliantemente per cagione di uisitarlo. Questi grandemente si dilettaua della Musica; ma sopra ogn'altra cosa desideraua udir ragionar delle cose dell'Arte, & della Scienza; percioche per molt'anni inanzi studiato hauea nella Filosofia, & hauea letto molti Autori Greci & Latini, i quali di Musica trattauano. Di questo il nome era Desiderio; & era di natione Lombardo, da Pauia; ilquale dopo un lungo ragionamento de uarie cose insieme fatto; hauendo da quel, che detto si hauea compreso, chi erauamo, il nome di ciaschedun de noi, il cognome, la patria, & la particolare professione; cosi ancora noi hauendolo dal suo parlare à pieno conosciuto, & informatoci delle sue qualità & conditioni; uoltatosi questo Gentil'huomo uerso di me; in cotal guisa incominciò à dire. Veramente credo M. Gio-seffo, al desiderio ch'io tengo di potermi risoluere d'alcuni dubij, che mi uanno per la mente già molt'anni sono, dopo ch'io uidi & studiai insieme con molt'altri libri di Musica le uostre Istitutioni harmoniche; che non mi potea abbatter meglio di quello, c'hoggi mi son abbattuto. Percioche ricordandomi molte cose, mi par uedere, che tutto quello,ch'io leggo in molti Autori, & che di continuo odo da Musici ricordare, mi generi nell'animo tanta confusione,ch'io per me non mi sò risoluer'in molte cose, di quel ch'io habbia da tene-re & credere. Et per diruene una, che mi fà molto dubitare; ritrouo, che Pitagora negando di potersi passare oltra la Quadrupla; come nel Cap. 2. delle nominate Istitutioni nella Seconda parte hauete detto; non acconsentiua, che quelli Interualli, i quali hanno la forma loro da i Numeri, che sono maggiori del Quaternario, fussero consonanti. La quale opi-nione fù tenuta da molti; imperoche Euclide Prencipe de Mathematici nel suo Introdottorio di Musica chiaramente manifesta cotali Interualli dicendo: Διάφωνα δὲ τὰ ἐλάττονα τοῦ Διατεσσάπων, Δίεσις, ἡμιτόνιον, τόνος, Τριημιτονιον, Δίτονον, Lequali parole uogliono di-re; Ma le Dissone sono quelle, che sono minori della Diatessaron; il Diesis, lo Semituono, il Tuono, il Trihemituono, il Ditono; hauendo egli prima detto; Σύμφωνα μὴν οὖν ἐστὶν Δια-τεσσάρων, Διαπέντε, Διαπασῶν, καὶ τὰ ὅμοιοα; cioè, Adunque le Consonanze sono la Diatessaron la Diapente, la Diapason, & altre simili. Et Aristosseno antico Musico nel Lib. 2. de gli Ele-menti Musicali dice; ἔστω δὴ τῶν συμφώνων ὀκτὼ μέγεθα. ἐλαχιστον μην τὸ διὰ τεσσάρων. συμβέβηκε δὲ τοῦτο τῇ αὑτοῦ φύσει ἐλάχιστον εἶναι. σημεῖον δὲ τὸ μελοδεῖν μὴν ἡμᾶς πολλὰ τοῦ διατεσσάρων ἐλάτω, πάντα μέντοι διάφωνα; cioè, Siano hormai Otto le magnitudine de i consonanti, de i quali sia minima la Diatessaron: ma ciò auien'ancora naturalmente esser minimo; del che n'è segno, che noi cantiamo molti Interualli, che sono minori della Diatessaron; che sono tut-ti dissoni. Tolomeo etiandio, chiama la Diatessaron col nome d'ἐλαχίστης, καὶ πρώτης συμφω-νίας; cioè, Minima & prima Consonanza. La ondechiaramente [sic: onde chiaramente] si uede, che cotal cosa appresso de costoro era tenuta per uera. Et perche uedo in fatto, & intendo da uoi Musici esser'il contrario; però non sò in qual maniera possa credere; che se ben Pitagora & gli altri, che lo seguirono, negaua cotal cosa, la negasse semplicemente; come le parole à noi suonano. Ne mi par, che questo habbia del uerisimile; essendoche Pitagora & li Pitagorici sono stati huomini saputi, di gran giudicio, & d'eleuato ingegno; & hanno hauuto quel buon senti-mento; come si può credere, che habbiamo noi; col quale si poteuano certificar, se la cosa era in fatto, come la credeuano & teneuano; delche forte mi marauiglio. Però desidero grandemente intender da uoi, donde cotal cosa nascer potesse; la quale appresso di me è tanto difficile; ch'io non posso far, che ricordandomi non la chiami errore. Soggiunse M. A-driano à questo, senz'aspettar'altra risposta: Io ancora già molto tempo è, ch'io desidero d'intender questa cosa; poscia ch'io tengo fermamente; come diceua il S. Desiderio, che gli Antichi non fussero priui ne del sentimento dell[unclear: ']Vdito, neanco di giudicio; ma che conosces-sero cosi bene il buono & il tristo, come conosciamo noi: ma che dite uoi di questo M. Franpage 3 cesco? credete anco uoi, che questo sia uero? Io l'hò per fermo Messere, rifpose M. Francesco, che gli Antichi hauessero tanta cognitione del buono & del tristo, quanta ne habbia-mo noi. Et forse, che come quelli, che dauano grandemente opera alle speculationi, più di quel, che facciamo noi, hauessero 'l Senso più purgato; ma per qual cagione ciò facesse-ro, haurò anch'io molto grato il saperlo da M. Gioseffo. Allora tacendo ogn'uno, dissi: Sig. Desiderio, ancora che questa cosa sia molto difficile, & alle spalle mie carico troppo gra-ue, & cosa ueramente da ricusare; tuttauia desiderando di satisfare in qualche parte al uostro desiderio; poi che questa è la prima uolta, che s'habbiamo ueduto, & lo primo appia-cere anco, che m'hauete richiesto; non resterò di dirui tutto quello, ch'io sento sopra que-sta dimanda; tanto più ch'io ui uedo tutti d'un'istesso uolere, & accesi d'un buon desiderio; ond'io per satisfarui, non porrò tempo alcuno di mezo. Pregate adunque Dio, che mi illumini la mente à dir cose, che ui siano di satisfattione. Cosi faremo, rispose M. Adriano; & ui preghiamo tutti ad incominciare. Auertite adunque, soggiunsi; c'hauendo Pitagora hauuto opinione, che tutti quelli Interualli, che sono consonanti, hauessero le forme loro con-tenute dalle Proportioni del genere Molteplice, ò Superparticolare solamente; hebbe per fermo, che tutti quelli, che le hauessero contenute sott'altri generi, fussero al tutto dissonanti. La onde, uedendo che i Tetrachordi del genere Diatonico diatono, ilquale più d'ogn'altro da lui, & da i suoi seguaci era riceuuto, procedeuano dal graue all'acuto per due Tuoni di proportione Sesquiottaua, & per un Semituono contenuto dalla pro-portione Super 13. partiente 243. & che i due Tuoni, i quali formauano il Ditono, era-no contenuti ne i loro estremi dalla proportione Super 17. partiente. 64. & che un Tuono col nominato Semituono, dal quale si poteua formare un Semiditono, erano contenuti dalla proportione Super. 5. partiente. 27. ritrouandosi queste due proportioni tra quelle del genere Superpartiente, veniua à concludere; per la prima ragione, che ui posso dire; che quelli Interualli, ch'erano contenuti tra queste forme, ne i loro estremi fussero; come ueramente sono; dissonanti. Dalla qual Regola non escludeua i due Hexachordi maggiore & minore; essendo c'hanno in tal genere le forme loro. Et questo è troppo uero; percio-che cotali Interualli ridotti in atto, si conoscono esser poco grati all'Vdito. Onde tale opinione non è da esser giudicata falsa, quanto à questa ragione; & non dee parer cosa stra-na. Quel che uoi dite; rispose M. Adriano; è uerissimo; ma mi par gran cosa da dire; essen-do (come chiaramente da ogn'uno di giudicio si comprende) che tutta la uaghezza & la leggiadria della Musica, & dirò anco ogni sua diuersità, è posta nelle due Consonanze minori della Diatessaron; cioè, nel Ditono & nel Semiditono, & anco nei due Hexachordi maggiore & minore; che gli Antichi non hauessero mai udito tra Sette spacij contenuti nella Diapason; & non hauessero conosciuti i nominati Interualli essere consonanti. E' ben uero, che 'l non hauerli per consonanti, crederò, che fusse fatto non senza qualche ragione. Messere, risposi; à questo, che uoi hauete detto, risponderò con un'altra ragione. Bisogna che uoi consideriate, che se gli Antichi hanno uoluto udire gli Interualli nominati, facea di mestieri, che eglino li hauessero uditi in uno de due modi; prima sotto le Forme contenute tra i Sette nominati spacij, ouer'Interualli della Diapason; dopoi sotto altre forme ua-riate da quelle. Quanto d'hauerli udito nel primo modo; credetemi, che li udirono disso-nanti; percioche le dette forme sono sottoposte al genere Superpartiente; ma in quanto l'hauerli udito sott'altre forme; sia poi nelle uoci, ò ne i suoni; questo è ben possibile d' hauerli udito consonanti. Auertite però, che in due modi li poteuano udire nella secon-da maniera; prima ne i proprij, ueri, & naturali luoghi; dopoi fuori di essi. Se li uole-uano udire ne i proprij & ueri luoghi sopra i loro Istrumenti, quest'era impossibile; percioche cotali Istrumenti non erano sufficienti; essendo che (come hò detto nel cap.2. della Seconda parte dell'Istitutioni) gli Antichi non passarono mai la Quintadecima uoce, ò chor-da; ne mai passarono (secondo 'l precetto di Pitagora) la proportione Quadrupla; se ben si legge appresso di Giulio Polluce di due Istrumenti, l'uno de i quali chiama Epigonio, dal nome dell'Inuentore chiamato Epigono ambraciota, che hauea 40. chorde; & page 4 l'altro Simico, ilqual n'hauea 35. i quali Istrumenti credo, che fussero molto dopoi quella età nella quale fiorirono i primi & più illustri Musici & che di loro ne fusse fatto poco conto: percioche tra quelli, che trattano le cose della Musica, non se ne troua alcuna memoria; se non (come ho detto) appresso il Polluce, che uisse ne i tempi dell'Imperatore Comodo di nome; ma incommodo al mondo; alquale egli dedicò la sua opera, intorno gli Anni di Christo 190. Onde essendo cosi; necessariamente gli udiuano fuori de i loro luoghi, & ne i luoghi non proprij. Et se ne i luoghi non proprij le udirono, non poteuano pienamente satisfare al senso; ilperche sforzatamente le giudicarono dissonanti più tosto, che consonanti; per laqual cosa son di parere, ch'essi non per altro giudicassero gli Interualli, che sono minori della Diatessaron dissonanti, se non perche non hebbero cognitione, ò per dir meglio, non intesero i ueri, legittimi, proprij & naturali Luoghi delle Consonanze; cioè, doue ciascheduna si douea naturalmente collocare; essendoche (come tutti uoi sapete) se bene il Ditono è consonanza, tuttauia posto fuori del suo luogo naturale, & collocato nel luogo d'un'altra consonanza, più tosto rende dissonanza, che buon concento; ilche dir si può anco della Dia-tessaron; percioche posta per base della Diapente tra la Diapason; non dà quella satisfattione all'Vdito, che fà quando si pone essa Diapente per base della Diatessaron nella Diapason. Questo è purtroppo uero, rispose il Merulo, & l'esperienza, ch'io fò ogni giorno nel sonar l'Organo lo dimostra; perche quando il Ditono si ode nelle uoci, ò ne i suoni collocato nel graue, allora parmi di udire un non so chè di tristo, che nasce nella compositione da tale Interuallo, che sommamente mi offende il sentimento. Et questo ueramente non si potrà da alcun di sano giudicio negare. Ma se cotale Interuallo si uà riportando uerso l'acu-to, quanto più si trasporta, tanto più rende maggior dilettatione al senso; di maniera che se quel Ditono, ilquale è posto nella parte graue d'alcuna cantilena, offende alquanto l'Vdito; quel ch'è posto tra 'l graue & l'acuto, non solo non offende, ma anco diletta. Quando poi è posto nella parte più acuta, dà maggior diletto ancora, di quello, che non danno i due nominati, posti nella maniera già detta. Disse allora il S. Desiderio; Parmi che questa cosa sia di non picciola importanza da sapere; Ma poniamo che 'l Ditono, il quale hauete nominato, posto in luogo graue in cotal maniera faccia tristo effetto: farà forse quell'istesso il Semiditono? Non solamente; rispose il Merulo, lo farà tristo; ma tristissimo, di tal sor-te, che quasi non si potrà udire; & questo è uero, credetelo a me, che spesso l'hò prouato nell'Organo; come ho detto; perche se quando si uien'à toccar nella parte graue il Ditono, s'ode tristissimo effetto; se per caso si tocca il Semiditono, fà una ruina tanto grande, che à pena si può udire. Ma quando questi Interualli sono toccati nel mezo decotali [sic: de cotali] Istrumenti ne i loro gradi, fanno udire suono grato & soaue. Et se si toccano ancora più uerso l'acuto, fanno migliori effetti; di maniera che quel, c'hò detto è uerissimo. A fè, rispose il S. Desiderio, che mi piace questa cosa, & credo che pochi siano quelli, che cotali cose considerino. Pochi sono ueramente Sig. mio; rispose allora M. Francesco; & tanto pochi, che io non ue ne saprei ritrouar molti. Voglio dire anche più oltra (soggiunsi io) che non so-lo quest'Interualli, quando sono posti nel graue, possono offender l'Vdito; ma etiandio quando sono posti nell'acuto; percioche quando 'l Ditono tiene il luogo del Semidito-no, ò per il contrario; se pure non discordano, almeno danno manco dilettatione. Et sappiate, che la maggior parte de tutte quelle compositioni Musicali, che poco dilettano; tra gli altri difetti, che hanno, questo è un de quelli. Veramente è cosi; disse Messer'Adriano; percioche hò posto mente, che in tutte quelle Canzoni, che mi dilettano, si troua 'l Ditono esser replicato tra le parti, sopra la parte del Basso; al contrario in quelle, che poco mi piacciono, hò compreso, che 'l Basso sopra di sè molte fiate hà il Semiditono. Douete sapere Sig. (risposi io) com'io hò detto & replicato molte fiate nelle Istitutioni,1. Par. c. 13. & 3. par. c. 60. che le Consonanze nella Musica hanno i lor gradi, & naturalmente occupano quei luoghi, che tengono tra i Numeri harmonici le lor forme. Et quando tali Consonanze sono poste al contrario; se non fanno tristo effetto; almeno lo fanno men buono,di quel che farebbono, se ne i lor proprij luoghi fussero collocate. Però, si come la Dupla, che è page 5 la uera forma della Diapason, collocata ne i numeri tra 2 & 1. per darui un'essempio; tiene il primo luogo tra essi, & tra le proportioni è la prima; essendo che inanzi de questi due termini 2 & 1. non si troua numero, che sia minore; cosi tra le Consonanze non se ne ritroua alcun'altra, che per origine sia prima della Diapason; onde la Diapason tiene 'l primo luogo nel graue, & inanzi non si ritroua Consonanza alcuna, che sia maggior, ò minor di lei. Il perche hò detto molte fiate, che la Diapason è la Prima consonanza, dalla qual nascono tutte l'altre, siano poi di essa maggiori, ò minori. Soggiungo anco di nuouo, che ella è non solo Principio; ma Elemento de tutte l'altre. La onde si come la sua forma sem-plice, contenuta ne' suoi termini radicali 2 & 1. non riceue altro numero, ò termine mezano, che la diuida in due parti; cosi essa non admette nel primo luogo & grauissimo dell'ordine delle Consonanze alcuna chorda mezana, ne anco nella parte grauissima di qual si uoglia Istrumento, che la partisca in due Interualli; onde si possa udir'alcun'effetto, che non sia men grato di quello, che si ode, quando si fà udir semplicemente. Nel secondo luogo si ritroua la Diapente, la cui forma è 3 & 2. che tra l'ordine naturale de' numeri tiene pure il secondo; il perche uà posta senza mezo alcuno dopo la Diapason. Et si come tra 3 & 2. non ui può capire alcun mezano numero; cosi tra l'estreme chorde della Diapente non può cascar'alcuna chorda mezana, che in qualche parte non offenda il sentimento. Dopo que-sta segue nel terzo luogo la Diatessaron tra 4 & 3. nell'ordine naturale de numeri, la qua-le non riceue alcun mezo, che operi buono effetto; onde essendo poste tutte queste Consonanze l'una dopo l'altra (come altroue ho dettoInst. lib. 1. cap. 15.) sopra d'un'Istrumento per ordine, senza porui in mezo alcun'altra chorda, gratissimo suono & soaue concento udir fanno. Ma se per auentura nel graue la Diapason uenisse ad esser tramezata, di modo che nella parte graue s'udisse la Diapente, & nell'acuta la Diatessaron, subito si udirebbe mutar forma il concento, & un non so chè di non cosi grato, com'era 'l primo, all'Vdito. Et se ancora tra questa Diapente si interponesse una chorda, la quale uenisse à diuiderla in due parti; cioè, in un Ditono & in un Semiditono, & questo fusse collocato nella parte acuta, & quello nella parte graue; allora s'udirebbe cosa, che all'Vdito apportarebbe gran dispiacere. Questo, però non è l'ultimo grado della poco grata adunanza delle Consonanze; percioche ancora si troua di peggio; & ciò intrauiene quando 'l Semiditono uiene à tenere il luogo del Ditono, & questo il luogo del Semiditono, & sono posti tra la Diapente al contrario di quello, ch'erano prima; cioè, che 'l Ditono tenesse il luogo acuto, & lo Semiditono il graue; perche allora si udirebbe quella ruina estrema, che possono far le Consonanze a-dunate insieme; essendoche questo ordine allora sarebbe posto alla riuersa; cioè, che 'l Semiditono occuparebbe il primo luogo nel graue, il Ditono il secondo, la Diatessaron il ter-zo, il quarto la Diapente, & la Diapason tenerebbe nell'acuto il sesto & ultimo luogo. Et credo, che tutti quelli, c'hanno giudicio, & hanno prattica de gli Organi, possono questo molto ben sapere; percioche, quando cotali Istrumenti sono sonati à pieno, maggiormente di quel che non fanno gli altri Istrumenti, che hanno poco spirito; scuoprono tale con-quassamento. Si che S. Desiderio; mi par che hora si possa comprendere, in che consista, & quel che sia la già addimandata à me da uoi differenza; laquale à gli huomini d'inge-gno eleuato, non è difficile d'apprendere; ma si bene à quelli, che sono di poca tenuta; tra i quali se ne trouano al presente de quelli, che questa cosa non capiscono, come se fusse cosa della quale non si potesse hauer esperientia alcuna; Onde non la intendendo, la biasi-mano. Hauend'io detto questo; riuoltatosi à me disse, il S. Desiderio; Ditemi ancora questo; per uostra fè; perche maggiormente tanta ruina fanno questi due Interualli, ch'ultima-mente hauete nominato, posti nel graue, che non fanno quando sono situati nell'acuto? Per due cagioni, risposi; l'una, perche 'l luogo del Ditono & del Semiditono non è l'esser posto nel graue, ma nell'acuto; l'altra, perche posti al modo detto, non sono collocati per ordi-ne, secondo i gradi & i luoghi loro, ma al contrario: essendo che quell'Interualli, che so-no di maggior proportione naturalmente uogliono il luogo più graue, & queli di mino-re, il luogo più acuto. Ne mai ritrouarete nell'Ordine naturale delle Consonanze, che page 6 il Ditono segua uerso l'acuto immediatamente 'l Semiditono; ma ritrouerete il contra-rio; che tenendo 'l Ditono il luogo più graue, il Semiditono immediatamente lo segue uerso l'acuto; di maniera che un tal disordine nasce da queste cagioni, quantunque l'uno & l'altro siano consonanti. Adunque; soggiunse il Sign. Desiderio; per quel ch'io ueg-gio il poco accordo, che tallora fanno le parti d'una compositione, procede non solamente dal mescolamento delle Dissonanze, ch'alle fiate ui si fà per dentro; ma dal porre in esse con male ordine le Consonanze. Cosi è in fatto, rispose M. Claudio. Non è stato adun-que fuor di proposito, disse M. Adriano, che nelle mie compositioni habbia schiuato, più c' hò potuto, di por cotali Consonanze nella parte graue; al modo c'hauete dichiarato; perche pur troppo mi parea, che non stauano bene; quantunque io non ne sapesse render ra-gion'alcuna; ma udiua, che non mi contentauano à pieno il senso. Vi sono anche dell'altre osseruanze Messere (gli risposi) nelle uostre Compositioni; lequali hauete imparato co 'l mezo del senso; come quello, che è il principio del nostro sapere, che non sono di poca importanza; delle quali, se ben non ne sapete dire la ragione, non mancano quelli, che la dicono per uoi. Ma per ritornar al nostro proposito, dico; che la cagione, che mosse i Pitagorici, & Pitagora prima à dir, che tutti gl'Interualli, i quali erano minori dell'Diatessaron fussero dissonanti, è questa; secondo 'l mio giudicio, & come ui hò dichiarato; perche non hebbero cognitione de i Gradi & proprij luoghi delle Consonanze, & in qual maniera si hauessero à disporre & collocare in ordine. Onde hauendo essi conosciuto, se pur lo conobbero, che quelle consonanze, che sono minori della Diatessaron; come so-no il Ditono & lo Semiditono, à noi tanto grate; poste nella parte graue, generauano più tosto dissonanza, che consonanza; per non essere stato conosciuto da loro tale differenza; cioè, che poste ne i loro proprij & naturali luoghi, generano grato suono all'udito; & per il contrario ingrato, quando fuori de i loro naturali luoghi sono collocate; però giudicarono, che per ogni modo fussero dissonanti. Adunque dal non conoscere i gradi, & l'ordine, & i proprij luoghi delle consonanze nacque, che gli Antichi negarono quelli Interualli, che sono minori della Diatessaron, esser consonanti. Non li bastaua almeno sapere; disse il S. Desiderio; che posti nell'acuto, & à i loro luoghi proprij erano & sono consonanti? Già ho detto (soggiunsi) che non considerarono questo, anzi mai lo sepero; essendo che se l'hauessero saputo, non è dubio, che l[unclear: ']haurebbono posto in uso, ouero ne haurebbono almen lasciato qualche memoria di loro; com'hanno fatto alcuni de i nostri Moderni, i quali se ben non hanno dimostrato, che 'l Ditono contenuto dalla proportione Sesquiquarta, & lo Semiditono contenuto dalla Sesquiquinta, fussero consonanti, hanno almeno con grande dubitatio-ne affermato, che 'l Ditono composto di due Tuoni sesquiottaui, & il Semiditono, che con-tiene un Tuono sesquiottauo, & un Semitono minore, considerati dalla parte delle loro proportioni, erano dissonanti; appoggiati à questa opinione; che d'altre Proportioni, che dalle Molteplici & dalle Superparticolari in fuori, le Consonanze non potessero hauer le loro forme, & che considerate in atto ne i Suoni, ò nelle Voci, fussero consonanti;Vide cap. 12. lib. 4. supple. perciò che quando uoleuano, tali le udiuano. Ma s'ingannauano; perche quando le udiuano consonanti; erano contenute da proportioni Superparticolari, & non da Superpartienti, come credeuano; & poteua nascer l'errore di costoro, dal non hauer'hauuto sufficienti principij; nelle lor dimostrationi, & poca isperienza delle cose della Musica; percioche non era basteuole il dir solamente, che le Consonanze erano quelle, le quali haueano la forma loro dal genere Molteplice, ò Superparticolare, contenute tra le parti del numero Quaternario; ma bi-sognaua più tosto dire, che erano quelle, le quali haueano le forme loro da quelle proportioni, che si trouano in atto tra le parti del Senario. Adunque; disse M. Francesco; non poteuano costoro dimostrar le cose della Musica perfettamente, non hauendo essi cotali principij; essendo che da loro si hà la cognitione (come molte fiate hovdito [sic: ho vdito] dire) de tutte le cose, che si trattano in qual si uoglia scienza. Dite troppo il uero; risposi; onde bisogna sapere, ch'à uoler dimostrar perfettamente le cose della Musica, bisogna à quei Principij, co 'l mezo de i quali altri hanno dimostrato, aggiungerui quelle, cose, che ne conducono al fine di quello, page 7 che cerchiamo. Et ricordarsi quel c'hò detto nelle Istitutioni;1. Part. c. 13. et. 3. par. cap. 3. che le Consonanze, ò In-terualli musicali non nascono primieramente; com'hanno tenuto alcuni; per l'aggiuntione de molti Interualli minori posti insieme; ma per la Diuisione della Diapason, la quale chiamai Madre & Fonte d'ogni altra consonanza & interuallo. Questo credo, ch'ogn'un de noi l'habbia in memoria; disse M. Adriano; ma parmi, che al tutto non sia mal detto, che la Diapason si componga de tre Tuoni maggiori, de due minori, & de due maggiori Semituoni; percioche si uede pur che contiene in se ueramente, & camina per tali Interualli. Vdite Messere; risposi; nella Musica hauete da considerar due cose; prima l'Interuallo, il quale da Greci è detto Διάστημα; & gli ordini, ò scale, cosi detti d'alcuni moderni, ò pur Costitutioni, che nominar le uogliamo; chiamate separatamente, & ciascheduna da per se Σύστημα; però dico, che se parlate di questa ultima; non è inconueniente dire, ch'una Diapente sia composta de due Tuoni maggiori, d'un minore, & d'un maggior Semituo-no, come da due parti: Ma parlando della prima, questo non si uerifica; percioche nascono dalla diuisione della Diapason; & non è senza proposito il dire, che fatto molte parti d'una Diapason, de quelle istesse si possa reintegrare, & comporre un'ordine, ilquale con-tenga quanti Tuoni & Semituoni possa accascare in quella compositione, secondo la qualità dell'ordine, che uolete comporre; come sarebbe dire; comporre una Diapason, nel-la quale entrino gli Interualli nominati di sopra, & altri simili. Et à questo modo non è errore à dire, ch'una Consonanza; cioè, uno de questi ordini sia composto. Ma si ben sarebbe, quando si dicesse, ch' un'Interuallo de i primi fusse composto. Voi dite bene soggiunse M. Adriano; ma di gratia fatemi un piacere, & à tutti gli altri, che sono qui adu-nati & si dilettano della Musica; ragionateci un poco di queste cose; acciò sappiamo an-che noi ragionarne, quando farà dibisogno, qualche cosa; perche io desidero grande-mente uedere un giorno le cose della Musica dimostrate, come star debbono. Et se uoi uoleste pigliar questa impresa, ci fareste cosa grata; percioche credo, che non sia alcun de noi, che non l'hauesse in piacere, & non ne hauesse da hauer obligo. Cosi è ueramente; rispose il S. Desiderio; & io in particolare lo desidero molto; percioche da queste imparerò la uia, che tiene il Musico, nel dimostrar le sue conclusioni, & uedrò la differenza, ch'è tra le dimostrationi, che fà il Musico, le quali non hò mai compitamente ueduto; & quelle che fà l'Arithmetico & il Geometra; hauendo io queste due ultime molte fiate ueduto porre in atto. Si-gnor; risposi io; non bisogna in queste cose hauer fretta; ma bisogno è di andare adagio. Et ui prometto, che ui andrebbe più tempo di quel, che u'imaginate, quand'io uolessi tuor l' impresa di ragionar, come si debbe, le cose della Musica; percioche bisognerebbe prima dichiarare alcune cose à quelli, che non hanno ueduto, ò letto, che concorrono nel-la Dimostratione; uolendoui di questa materia ragionar con la Dimostratione in mano; & bisognerebbe oltra di questo dichiarar quello, che sia Dimostratione, & di che si compone, & molt'altre cose, lequali portarebbono seco molto tempo. Et bisognarebbe, che u'i-maginaste d'hauere più d'uno ragionamento; essendo che nella Musica l'una cosa è concatenata con l'altra, come sono gli annelli, che si trouano congiunti insieme in una catena. Rispose allora M. Adriano, uoi mi accrescete la uoglia, dicendo coteste cose; on d'io ui prego à pigliar uolontieri questa impresa; perche mi sarà un grande solleuamento del mio male. Et ui giuro, che s'io fusse più giouane di quel, ch'io non sono; uorrei di nuouo diuentar Discepolo, & dar'opera per si fatta maniera all'intender la ragione delle cose della Musica; che non uorrei, ch'alcun mi dimandasse cosa alcuna, che io non lo potesse satisfare. Questo à me sarebbe etiandio ueramente oltra modo grato; disse M. Francesco; acciò mentre stò in Vinegia, acquistassi qualche cosa da portar meco à Ferrara; onde ui essorto & prego M. Gioseffo à pigliar questo carico. Ma ui dico hora Messere, che ui doureste contentar d'esser il primo de nostri tempi nelle cose della prattica, laquale hauete an-co non senza qualche cognitione della Theorica; essendoui sempre dilettato di pratticar con huomini dotti in questa professione. Et se ben non sete in tutto della Theorica colorito, almen sete molto bentinto [sic: ben tinto]. Et ui douete allegrar di questo, percioche sono doni, che non si page 8 danno cosi à tutti, & ringratiatene la Diuina bontà. Veramente di continuo la rin-gratio; rispose egli; ma per questo non si estingue la sete, ch'io hò di sapere; perche è co-sa naturale ad ogn'uno;Metaph. 1. cap. 1. anzi di giorno in giorno più mi uà crescendo. Ne mi doglio d'es-ser uicino à gli anni della decrepità; ma ben mi doglio, che mi conuerrà morire allora, ch'io incomincierò ad imparare. Sia però sempre fatta la uolontà del Signore. Hora 'l de-siderio ch'io tengo di sapere, mi fà di nuouo pregarui M. Gioseffo, à far quello, che ui ho proposto. Non minor sete ho io di cotal cosa soggiunse il S. Desiderio, che 'l nostro M. A-driano habbia; percioche se bene ho ueduto & letto appresso d'alcuni Autori molte cose dimostrate; tuttauia non son restato à pieno satisfatto. Gli uorrebbe (risposi) un fiume de i maggiori, non dirò che sia in Italia, ma de i maggiori che sia nel mondo; & non un picciolo riuo, com'è 'l mio, à uolere estinguere queste seti tanto ardenti; però ui uoglio dire; che se tanti, i quali hanno scritto, & hanno trattato queste cose auanti di me, non ui hanno potuto cauar questa sete, che debbo sperare io? Ma perche son molto tenuto à M. Adriano; & gli hò quell'obligo, come se mi fusse padre; & una certa honestà non sopporta, ch'io ricusi questo carico; per satisfare à questa honorara & uirtuosa compagnia; però non uo-glio restar, di far quello ch'io potrò con tutte le mie forze; perche se bene da me non ha-ueste quel tutto, che desiderate; uedrete almen, che la mia uolontà è pronta nel seruir-ui. Et prego Iddio, che questa fiata io sia & Musico & Medico insieme, il che mi sarà di gran contento l'hauer fatto in un solo colpo due operationi; cioè, dato 'l cibo conue-niente all'Intelletto de chi m'ascolta; & leuato 'l male à quelli, c'hanno bisogno di sanità. Nel nome del Signore adunque uoglio pigliar questo carico uolontieri; E' ben uero, ch' io non mi uoglio obligar à dimostrarui & risoluerui tutte quelle difficoltà, che possono accascar nella Musica; essendo che se 'l si uolesse dimostrare ogni cosa; oltra la difficoltà & la lunghezza del tempo sarebbe se non impossibile, almeno difficile il raccoglierle tutte d' una in una insieme, & dimostrarle per ordine. A questa legge (rispose M. Adriano) non ui uogliamo sottoporre; essendoche troppo ben sappiamo, che quest'è un'impossibile. Soggiunse allora il Sig. Desiderio; Date pur principio da qual capo ui piace; perche quando ci nascerà alcun dubio, ue lo andaremo proponendo; & uoi ce lo risoluerete, uolendo. Cosi farò adunque soggiunsi; Ma auertite,Nota per i maligni. che quand'alle fiate ui proponerò alcuna cosa, che per inanzi l'habbiate udita, letta, ò conosciuta in alcun Autore, di non m'accusar di furto; come fanno alcuni poco giudiciosi, & poco prudenti; accusando questo & quello Scrittore; ne an-che dir, che non faceua dibisogno di commemorarla; percioche uolendoui dimostrar per ordine le cose della Musica; non posso far, che non vi discorra alcune cose necessarie à tali ragionamenti; massimamente conoscendo la maggior parte de uoi non hauer dato opera allo studio dell'Arti, & non saper quello, ch'importi questo nome Dimostratione, & quelle parti ch'entrano in essa. Questo disse M. Francesco; mi piace sommamente; perche se ben può esser, ch'io habbia udito alle fiate quel che sia Dimostratione, da i colloquij del Maggio & del Pigna nostri, grand'huomini nelle lettere; hauuti spesse fiate co 'l nostro Sig. Duca, & con altre persone segnalate; tuttauia, per non esser mia professione, non me ne posso cosi à pieno ricordare. La onde facendo quel, che detto hauete, non potrà esser'à noi se non di grande utilità. Lo douete far per ogni modo; disse M. Adriano; perche ancora io non mi ricordo troppo ben queste cose, se bene essendo giouane le udì in Pariggi, quando mi diedi allo studio delle Leggi imperiali. Ancora io l'haurò in grande piace-re disse M. Claudio: perche di queste cose, credo saperne poche: quantunque io ne hab-bia udito molte ne i ragionamenti de quelli Huomini eccellenti, co i quali praticaua di continuo; onde mi verrò à ricordar qualche cosa, & la terrò ben'in memoria. Poi che cosi ui contentate, cosi farò; risposi; onde parlerò hora con uoi Sig. Desiderio; il quale, co-nosco dal ragionamento poco fà hauuto con noi, esser molto istrutto. Auertisca però ogn' uno, che in questo Ragionamento io non posso far, che io non faccia quello, che etiandio hanno fatto la maggior parte de quelli, c'hanno inanzi à me scritto di queste cose & ragionato; cioè, ch'io non piglia una parte de quei mezi, che mi seruono à uenire all'atto dimostrapage 9 tiuo; essendoche senza loro non potrei far cosa buona. E' ben uero, ch'io uene aggiungerò alquanti altri, per condur questa mia impresa al desiderato fine; conciosiache quelli, i quali sono stati proposti da altri, non sono à bastanza; & con questi & quelli insieme uerrò à rende r [sic: render] ragione di quello, che io ui son per dire, & mi sarà da uoi proposto. I biasi-matori de quelli, che hanno scritto alcune cose nelle scienze, & hanno pigliato i princi-pij da quelli, che hanno scritto per inanzi; rispose il Signor Desiderio; hanno poco giu-dicio. Chi non sà, che uolendo scriuere, ò parlar di alcun'Arte, ò Scienza, bisogna di due cose farne una; ò ritrouar nuoui principii; oueramente usar quelli, ch'altri professo-ri di quell'Arte, ò Scienza hanno usato? Però Platone, Aristotele, & altri eccellen-tissimi Filosofi, molte cose s'hanno fatto proprie; quantunque fussero inuentioni d'altri; come chiaramente ne i Scritti loro si comprende. Ma più si scorge ne i scritti d'Euclide, che in altro autore; poi che siamo à ragionar della Dimostratione; il quale pose insieme tante & tante Dimostrationi fatte da altri, facendosele sue, & anco i Principii, col bel-l'ordine, che le diede; come racconta Proclo, ne i CommentariLib. 2. c. 4.i fatti sopra il Lib.1 de gli Elementi d'esso Euclide, ch'à molti è di gran merauiglia, ch'un tant'huomo lo faces- se; quasi che l'età d'un'huomo fusse à bastanza di ritrouar, porre insieme, & dar perfet-tione à tante cose. Ma lasciamo questo da un canto & diciamo, che se ciò si permette & concede à tanti & tali huomini; ne à loro si attribuisce uitio alcuno; per qual cagione non ui sarà concesso quest'istesso anco à uoi? poi ch'io non uedo, ch'essi habbiano hauu-to dal mondo maggior priuilegio di quello, che hauete uoi. Questo è il douere; disse M. Francesco: Ma lasciamo, per uostra fè, questo da un canto, & attendiamo à quel, che importa à noi, senza perder tanto tempo. Volendo adunque (soggiunsi io) hauer piena notitia di quello, che ui hò da dire; fa dibisogno che uoi sapiate; Ch'essendo ogni Scienza posta nell'intelletto; tutte le cose si rendono intelligibili in atto, secondo che ad alcun modo si considerano lontane dalla materia. Onde secondo che diuersamente han-no (dirò cosi) proportione con essa lei, la lor consideratione appartiene à diuerse Scienze; lequali acquistar non si possono, se non con l'aiuto della Dimostratione; il me-lb> zo della quale, è la Definitione. Onde essendo la Definitione quella, che ci fà uenire in cognitione della cosa; per cioche [sic: percioche] esprime le cose essentiali di essa; è necessario, che si come elle differenti sono tra loro, che anco siano differenti le Definitioni, ò mezi, che le vogliamo dire. La onde nasce la diuersità delle Scienze dalla uarietà delle cose in mol-te maniere considerate; lequali in tre modi considerar si possono;Vide ca. 7. & 12. lib. 1. Supp[unclear: le]. Imperoche primiera-mente ne sono alcune, le quali hanno il loro essere, che dipende dalla Materia, ne sen-za essa definire si possono; Secondariamente ne sono alcune, le quali non possono star da essa materia lontane, & nelle definitioni loro non si pone cotal materia; Oltra di que-sto alcun'altre ue ne sono, che non solamente da tal materia non dependono secondo 'l loro essere, ma ne anco secondo la ragione ò definitione; & queste sono quelle, che ca-dono sotto quella Scienza diuina, che noi chiamiamo Metafisica; percioche quelle cose, le quali considera; ouer che mai si trouano esser nella materia; com'è Iddio benedetto, & l'altre sostanze separate; ouer perche non sono uniuersalmente in essa; come è la Sostanza, la Potenza, & l'Atto, & quell'anco che i filosofi chiamano Ente; il per-che nella loro definitione; per non esser cose corporali; non si pone la materia. Ma le prime; che sono cose naturali, & sono considerate nella Scienza naturale, la quale chia-mano Fisica, & hanno l'esser loro nella materia sensibile, & sono sottoposte al moui-mento, si definiscono per la materia nominata; onde quando definiamo quel che sia Huo-mo, diciamo; che è Animal rationale & mortale; & l'Animale, senz'alcun dubio, è co-sa naturale, & hà l'esser suo tra le cose della natura. L'altre poi sono tutte cose appar-tenenti alle scienze Mathematiche, come sono punti, linee, superficie, corpi, & tutte quelle cose insieme, che appartengono alla Moltitudine & alla Grandezza; onde nella loro definitione non si pone la materia sensibile; se bene non possono star senza lei, essen-do che non si dice, che 'l Triangolo sia figura di legno, ò di pietra, ò di ferro, ò di qua-page 10 lunque altro metallo, ò materia, che si uoglia; ma si dice, ch'ello è figura, la quale hà in se tre angoli equali à due retti, quantunque il Triangolo habbia l'esser suo nella mate-ria; come discorrendo potrete conoscere. Questo discorso tanto più mi è piaciuto; dis-se M. Adriano; quanto più uedo quasi una cosa noua; che ne i ragionamenti di Musica, si parla anco delle cose appartenenti alla Filosofia. Non sapete messere, soggiunsi io, che la Musica, per esser Scienza parte mathematica, & parte naturale; com'hauete potu-to uedere nelle Istitutioni;1. Par. cap. 20. è sottoposta alla Filosofia? Io per me lo sò per certo; ma mol-to mi dilettano (rispose egli) queste cose; tanto più, quando le uedo tirate à qualche bel proposito. Sappiate dissi io, che tutto questo discorso si è fatto, accioche essendo la Musica, come già dimostrai nelle sudette Istitutioni,1. Par. cap. 18. et 29. scienza di Relatione; & hauendo per soggetto il Numero sonoro; ò Corpo sonoro proportionato; come forse dimostrerò un'al-tra fiata;Vide c. 14. lib. 8. Sup-ple. non senza proposito uiene ad esser parte Mathematica, & parte Naturale; es-sendoche considerata nel primo stato; già che da i numeri dipende il suo essere; è con-numerata tra le cose già dette, poste nel terzo luogo; ma considerata al secondo modo, hauendo i Suoni l'esser loro tra cose naturali, è posta tra quelle cose, che posseggono il Secondo. Però credo, che ui ricordate quel, ch'io chiamo Materia; & quello ch'io nomino Forma delle consonanze; onde non starò à replicarlo.Vide cap. primae par-tis Instit. Onde hauete à sapere; che se ben co 'l mezo delle Quantità habbiamo la cognition uera delle cose della Musica; non essendo ella semplice mathematica; nella definitione della Consonanza, & di qualunque altro Interuallo, i Musici sogliono alle fiate porre la materia; come habbiamo potu[unclear: t]o uedere in molte definitioni, nelle quali si pongono i Suoni, ò le Voci, che sono la Materia delle consonanze, & d'ogn'altro Interuallo; essendoche i Musici contempla-no tali Interualli in atto, i quali non sono senza materia; il che non fanno gli Arithme-tici, ne anco i Geometri; percioche i primi con templano il Numero; & i secondi le Quantità misurabili, in quanto sono lontane da essa. Per questo adunque; soggiunse il S. Desiderio; alcuni han detto, che la Consonanza è distanza di suono graue & di acuto. E' cosi; dissi io; ma sono stati etiandio alcuni altri, c'hanno detto la Consonanza esser Aria formato; però auertite, che nell'esplicar quello, che siano le cose (io parlo con quelli, che non lo sanno) usiamo due sorti di Dichiaratione; La prima è detta Defini-tione, & è quella, che esplica la cosa per le cose essentiali; & la Seconda è chiamata De-scrittione, & è quella, che non dice la cosa per gli essentiali; ma per i suoi accidenti. La prima è, quando noi definiamo l'Huomo, & diciamo, che è Animal rationale & mor-tale; che sono cose essentiali dell'Huomo. La seconda è quella, con la quale; uolendo dar'ad intendere ad alcuno quello, che sia Huomo; non sapendo, ò non uolendo esprimer le cose sue essentiali, diciamo; ch'ello è Animale politico, di statura dritto, & altre cose simili, le quali non esplicano la natura dell'Huomo. E' ben uero, che molte fia-te si prende l'una per l'altra; percioche tallora, si piglia la Definitione in luogo della De-scrittione; & alle uolte questa in luogo di quella; quanto alla uoce; & si chiama senz'al-cuna differenza Definitione; ancora che quanto all'esser della cosa sia altramente. Qual di queste due si pone nella Dimostratione? disse allora M. Adriano. La prima (risposi) come uederete. Dichiaratemi un dubio, soggiunse M. Francesco, & poi seguitate. Se d'una cosa sola (come molte fiate hò udito dire) gli è solamente una definitione; da che uiene, che alle fiate non solo se ne ritroua una; ma anco più? A questo, risposi subito, Bel du-bio ueramente proponete M. Francesco; però auertite, che nasce da questo; che non so-no propriamente Definitioni, ma Descrittioni; il perche se ben'alcuna cosa non si può definir più d'una uolta; si può nondimeno molte fiate descriuere; percioche porta seco molti accidenti. La onde tale proposta non è uera in questo caso, ma si bene nelle Definitioni perfette; essendoche se fusse altramente, sarebbe falsa. Soggiunse allora M. Clau-dio, dopo l'hauer per un poco di tempo tacciuto; Da che uiene adunque, che nel Cap. 12. della Seconda parte dell'Istitutioni, hauete posto due definitioni della Consonan-za? Alquale risposi. Mi piace grandemente, che 'l uostro dubitare torni al proposito di page 11 quello, che io uolea dire. Però notate, che la Definitione si troua esser di tre sorti; La prima si chiama Materiale, & è quella, che contiene la materia, la quale entra nella co-sa definita; come s'io uolessi definire l'Huomo, & dir quel che ello fusse, direi, ch'è co-sa composta di carne, d'ossa, de nerui & d'altre cose simili, ch'entrano nella sua mate-riale compositione; La Seconda si chiama Formale; & è quella, che contien la forma della cosa, che si definisce; come s'io dicesse: l'Huomo è animale ratione; conciosia che la Rationalità è la propria & uera f[unclear: o]rma dell'Huomo; Ma la terza si chiama Finale; & è quella che contiene, & esplica il fine della cosa; come quando io dicesse; l'Huomo è Animale rationale & mortale, capace della Beatitudine; di maniera, che la Beatitudine è il fine dell'Huomo. Disse allora M. Adriano; Si troua alcuna definitione, che contenga tutte queste tre cose? Ben sapete; risposi. Ditene una adunque; disse egli; & poi segui-tate quel che ui piace. La Definitione soggiunsi, che contiene ciascheduna di queste co-se sarà, quando uorrò definire alcuna cosa; come sarebbe dire la Consonanza, & porrò nella sua definitione i suoni, la Ragione de Numeri, & quel ch'ella può fare; come sa-rebbe dir; Consonanza è ragion de Numeri contenuta da due suoni, ò uoci l'uno graue & l'altro acuto; la quale soauemente uiene al nostro udito. Stà molto bene, disse M. Adriano; poi che (com'hauete altre fiate detto) i Suoni, ò le Voci sono la materia, la Ragione de Numeri la forma, & lo Soauemente uenire all'Vdito è il fine della Con-sonanza. Allora il S. Desiderio, desideroso di saper più oltra, soggiunse; Diteci per uo-stra fe; questa Consonanza ha ella altro fine? Et io, per satisfarlo, dissi; Hà per certo; & ue lo potrete ricordar da quello, c'hauete letto; com'è il mutare il senso, nella maniera,Inst. 2. par. c. 8. & 12. che hà l'Harmonia di dilettare, & anco d'indurre in noi passioni diuerse. Cosi è in fat-to rispose egli. Onde M. Francesco; Io credo che saria bene, disse che hormai passaste piu oltra; perch'io penso, che tutte queste cose s'intendino bene. Sarà bene; soggiun-se M. Claudio; perche se l'occorrerà alcuna cosa difficile, ue la andaremo dimandando. Allora il S. Desiderio uoltato à me, disse; Ne date forse questa licenza M. Gioseffo? Per qual cagione uolete, che io non ue la dia? risposi. Io son qui per satisfarui; onde facen-dolo mi farete sommo piacere. Hor sù adunque, per non por tempo di mezo dico; ch' essendo 'l Soggetto della Musica il Numero sonoro, ouero il Corpo sonoro proportiona-to, & non potendosi hauer alcuna cognitione uera della quantità de i suoni, se non co 'l mezo de i Corpi sonori, che sono le chorde, le quali sono quantità, che si misurano, ne potendosi hauer Scienz'alcuna de gli Interualli, se non per uia della misura di essi corpi; cioè, dalla misura di due di essi, ò ueramente d'un'almeno diuiso in molte parti; è neces-sario, che tra loro intrauenga una certa proportione di suono graue & d'acuto. La onde per la comparatione della quantità della chorda, che dà il suono graue, con quella che rende il suono acuto, diciamo, che la Musica è sottoposta alla Quantità relata; mediante la quale potiamo con diuersi mezi di mostrar [sic: dimostrar] tutte quelle cose, che sono dimostrabili nella Musica. Ma per hauer' cognitione perfetta de cotali cose; fà dibisogno ricorrere à quell'Istrumento, il quale da ogni Scienza è adoperato, che si chiama Dimostratione;1. Post. ca-pit. 2. la quale è quella, che ne fà ueramente sapere. E' ben uero, che non tutte le Scienze usa-no gli istessi mezi; percioche essendo Quattro le cagioni; come nelle Istitutioni dichia-rai;1. Par. cap. 41. non tutti dimostrano per tutte quattro; conciosiache la Metafisica dimostra solamente per le cagioni formale & finale, & anco per la efficiente. Il Naturale dimostra per ogni cagione; ma il Mathematico (lasciando qualch'altra opinione da un canto) dimo-stra solamente per la cagione formale. A questo disse m [sic: M]. Adriano: Per le cagioni forma-li adunque hauerete à dimostrarci le cose della musica. Et io à lui; Cosi sarà, in quanto Mathematica; però quando s'hauesse à dimostrar come naturale; essendo la Musica collocata tra questi due generi, si procedebbe altramente. Ma inanzi che passiamo à dimo-strar cosa alcuna sarà ben fatto; per alcuni de uoi, che non sete cosi bene essercitati ne i studii delle lettere; d'andar ricordando (com'hò detto ancora) quel che sia Dimostra-tione, & mostrar le sue conditioni, & come debbono esser le sue premesse, ò proporpage 12 tioni, di che ella si compone. Sarà ben fatto; disse il Signor Desiderio; per non star poi à dichiararle fuori di tempo. Questo apunto ui uolea dire; soggiunse M. Claudio; quan-tunque ne habbia un poco di prattica; perche molte fiate io ne hò (come hò detto anco) udito ragionare. Veramente è necessaria la cognitione di queste cose, disse M. Adriano; percioche non le intendendo, non s'haurebbe quel spasso & quella dilettatione; ne si cauerebbe quella utilità, che bisognerebbe. Ma credo, che mi ricorderò il tutto quan-do l'andarete commemorando. Vdito questo il S. Desiderio, le disse. Voi sete stato in Pa-riggi M. Adriano; per quel c'hauete detto. Alquale rispose M. Adriano; Fui, & inco-minciai à studiare; ma Iddio ha uoluto, ch'io insegni Musica alla fine. Allora uoltatomi uerso lui, dissi: Messer Domenedio molto ben sapea, che 'l mondo hauea dibisogno d'un uostro pari, però ci diede uoi, à fine che haueste ad illuminar quelli, che si dilettano di quest'Arte cosi nobile, & dirò anco di questa Scienza; percioche se non foste stato uoi, che mi hauete aiutato nella Prattica, non mi sarei posto à ueder cosi intrinsecamente, com'io hò fatto, & cosi minutamente le cose della Musica; ma mi sarei riportato, come han fatto molti, al giudicio d'altri; & mi sarei attenuto à quel c'hauessi ritrouato scritto d'altri Scrittori, credendoli & persuadendomi, cosi fusse, come hanno scritto. Pe-rò fù ben fatto, che lasciaste lo studio delle Leggi, & attendesti alla Musica; essendoche in questa tenete il primo luogo, & Iddio lo sà; se ben non sete senza giudicio: s'in quel-la professione hauesti tenuto il terzo. Cosi hà piaciuto à Dio; rispose egli; & me ne con-tento. Disse allora M. Francesco; Ve ne potete contentar Messere; ma lasciamo da un canto queste cose; perche 'l tempo scorre, & ancora non si è incominciato à ragionar di quello, ch'è stato proposto. Sappiate adunque (io seguitai) acciò continui quello ch'in-cominciato hauea, che la Dimostratione è proprio come un'Istrumento, che ci conduce al Sapere, & all'acquisto della Scienza, & questo è il suo uero fine, al quale tendiamo. Ma auertite, che qui per il Sapere non intendo altro, che il conoscer le cose col mezo delle lor uere & proprie cagioni; di maniera che manifestamente si comprenda, che non possino essere, ne stare possino altramente di quello, che si conoscono. Et questo dico, ch'è il uero Sa-pere, & la uera Scienza. Sappiate però, che il Sapere si ritroua esser di due maniere; Il primo è detto Sapere per sè, & l'altro Sapere per accidente. Il primo è quello, quando noi conosciamo la conclusione col mezo delle propositioni, ò premesse, che sono per se. Riducetemi di gratia (disse M. Francesco) alla memoria quel che intendiate per queste propositioni, ò premesse, che sono per sè. Lo farò à mano à mano, risposi; ma soggiunse subi-to M. Adriano, Dateci anco un'essempio di quello, che detto hauete. Son contento; ri-sposi; ma non habbiate pressa. Dico, che 'l primo modo è, quando si conosce l'Huomo esser risibile, col mezo di questa propositione, ò proposta maggiore; quando dico; l'Ani-male rationale è risibile; & col mezo di questa minore, che è; l'Huomo è animal ratio-nale; da questa cauo la conclusione, & dico; Adunque l'Huomo è risibile. Questo adunque è il Sapere per se; soggiunse M. Adriano; per quello ch'io m'accorgo. Cosi stà la cosa, soggiunsi. Seguitate adunque il Sapere per accidente, disse egli. Notate a-dunque Messere, risposi, che il Saper per accidente (per dichiararui il secondo modo) è conoscer la cosa col mezo delle premesse, che sono per accidente. Allora M. Clau-dio, Dateci l'essempio di gratia, soggiunse. Et io à lui; eccolo, come s'io uolessi prouar, che l'Huomo compone, io direi; Il Musico compone; l'Huomo è Musico; adunque l'Huomo compone; & questo sarebbe Sapere per accidente; essendo che le premesse & la conclusione sono per accidente; conciosia che l'esser Musico non è per se nell'Huomo, ma per accidente; & questo sapere non è uero sapere. Soggiunse M. Adriano; Da quel che detto hauete adunque; potiamo dire, che 'l primo modo è il uero sapere, ma non il secondo. E' uero, risposi; ma questo primo modo etiandio è di due sorti; imperoche l'uno si chiama Saper semplicemente, &l'altro Sapere ad un certo modo. Il primo de questi è sa-per la conclusione col mezo della propria cagione & immediata; & il Secondo è Saper col mezo d'alcun segno, ò per alcun'effetto, o ueramente per alcuna cagione uniuersa-page 13 le & rimota. Desidero, disse M. Francesco, l'essempio di una & dell'altra maniera. On-de li dichiarai, che Della prima maniera sarà; quando saperemo l'Huomo esser risibile, perche è rationale; percioche la Rationalità è propria & immediata cagione della Risi-bilità, ò del Ridere, che uogliamo dire: Della seconda; quando saperemo, che la Don-na hà partorito, perche hà il latte; essendoche l'hauere il latte non è segno fermo, che sempre ne dimostri, che la Donna habbia partorito; massimamente perche si ritro-uano molte Donne hauer il latte, & non per questo hauer partorito. Et non sola-mente si trouano le Donne, ma anco (per dirui cosa forse, che ui parerà incredibile) hò ueduto de gli huomini, che hanno il latte, & per questo non si può dire, che habbiano partorito. Soggiunse, ridendo M. Claudio. Questa è ben cosa rara & ridicolosa; ma per-che si è inteso benissimo il tutto, ui preghiamo à seguitare. Dico adunque (soggiunsi) che la Dimostratione fatta nel primo modo, fà sapere per sè semplicemente, & in uno modo perfettissimo, ma quella fatta nel secondo, fa sapere per sè ad un certo modo, & molto imperfettamente; come da gli essempii posti di sopra hauete potuto comprendere. Di-teci adunque, disse M. Adriano, quello che sia questo Sapere. Auertite, diss'io, che io non ui uoglio definire il Sapere pigliato uniuersalmente, secondo tutti quei modi, ch'io hò dichiarato di sopra; ma secondo quello, ch'io nomino Sapere per sè semplicemente, & con modo perfettissmo; delquale questa sarà la sua definitione. Il Sapere è conoscer la cosa per la sua cagione, per la quale è, & non può essere in alcun'altra maniera. Et nota-te, ch'io hò detto, che 'l Sapere è conoscer la cosa per la sua cagione; accioche da questo comprendiate, che non intendo il Sapere dall'effetto; anzi uoglio che sappiate, ch'io uengo à distinguer quello da questo. Soggiunsi poi: Per la quale è; facendoui auertiti, che tal cagione è propria non commune à tal cosa & ad un'altra; accioche da questo pos-siate conoscere, quanto sia differente il Sapere, ch'io intendo di sopra, da quello, che si uiene ad acquistare dalla cagione uniuersale & rimota. Imperoche quando noi sap-piamo, che una pietra, ouer un legno secco non respira, perche non hà anima, tal Sa-pere non nasce dalla cagione propria & propinqua; essendoche si trouano molti animali; come sono arbori, ostreghe, uermi, mosche, & infiniti altri imperfetti, i quali non respira-no. Ma la propria cagione & propinqua del non respirare è, che non hanno il polmo-ne. Adunque quand'io dico; Et non può esser'in altra maniera; tale aggiungimento è, accioche conosciate tal cagione essere infallibile & necessaria; & anco accioche co-nosciate 'l Sapere, che s'acquista col mezo de i segni probabili; come quando sappiamo, che l'Infermo si dè sanare; perche fà la urina chiara, mangia con appetito, dorme soa-uemente, & fà altre cose simili; di maniera che queste attioni s'assimigliano à quelle d'un sano. Et questo segno alle fiate è molto fallace; percioche spesso intrauiene il contra-rio. Bisogna adunque, disse M. Francesco, che la cagione, col mezo della quale sappia-mo semplicemente alcuna cosa, sia necessaria. Cosi bisogna che sia; risposi; percioche è il mezo della conclusione. Et perche quello, che si hà da sapere, & la Scienza sono correlatiui, & l'uno all'altro corrispondenti; è necessario, che si come la cagione del Sapere è necessario, che anco necessario sia quello, che si hà da sapere, che è la conclusione: Percioche non potiamo saper semplicemente una conclusione, la quale può accascare, che è detta Contingente; ma si ben potiamo hauer di essa opinione. Queste cose tutte, ri-spose M. Adriano, fin qui intendiamo benissimo. Passaremo adunque (soggiunsi) al-l'Istrumento dell'Intelletto, al Sapere & all'acquistar la Scienza, & lasciaremo di defi-nire la Dimostratione uniuersalmente presa; come habbiamo lasciato anche da un canto il definire il Sapere uniuersalmente, & uerremo alla definitione della Dimostratione, la quale è chiamata da i Filosofi Potissima, & è quella, che cagiona in noi il Sapere so-pra la cosa definita. Aggiungereremo anco, di che, & di quali Premesse si compone: Et tal Dimostratione i nostri addimandano A' priori; & dimostratione Propter quid, la quale è differente dalla Dimostratione, che si chiama A' posteriori & Quia, ch'è quella, la quale si piglia da i segni & dalle cagioni uniuersali, come del secondo modo di Sa-page 14 pere di sopra hò dichiarato. Sono cose (disse M. Francesco) queste, che si lasciano inten-dere; però non ui dia noia il seguitare. Seguitando il mio ragionamento, dissi; Vi porrò adunque inanzi due definitioni della Dimostratione, l'una sarà della cagione finale, & l'altra della materiale. Douete adunque auertire; che si come diciamo; uolendo definire la Casa dal fine, ilquale ci muoue ad edificare; ch'ella è cosa, che ci copre & difende dal freddo, dalla pioggia, dalla neue, & dal caldo; essendoche à questo fine la edifichiamo; oue-ramente, pigliando la definitione dalla materia, della quale ella si compone, uenimo à dire; che è cosa composta de pietre, di calzina, de legni & altre cose simili; cosi pren-dendo la Definitione della Dimostratione dal fine, dicemo; che la Dimostratione (come la dichiara Aristotele nel.1. de i posteriori) è un Sillogismo scientifico, ouer'è Sillo-gismo della scienza; come à noi torna più commodo à dire, il quale ueramente cagiona, ò partorisce in noi la Scienza, ouer il Sapere, che di sopra habbiamo definito. Questo intendo benissimo; disse M. Claudio; ne hò dibisogno d'altra dichiaratione; però segui-tate, che se tutto quello che direte apprenderò cosi facilmente, come ho appreso quello, che fin'hora detto hauete, le cose passaran bene. La Definitione della Dimostratione, risposi, che si piglia dalla materia, M. Claudio, si darà in questo modo. La Dimostra-tione è un Sillogismo, che si compone di Premesse uere, prime, immediate, ò sen-za mezo alcuno, & cagioni piu note; & maggiormente prime, & conosciute della con-clusione. Et quantunque tutte queste cose si ricercano; fà dibisogno ancora, che tali Premesse siano inanzi, ò precedino la conclusione; & siano la sua cagione; di maniera che dall'una & l'altra di queste due Definitioni potete comprender quello, ch'entra nel-la Dimostratione, & il fine, à che ella sia stata ritrouata. Dopo questo M. Francesco aggiunse; Veramente che appresso di me la prima definitione è chiara; ma la seconda mi fà stare alquanto dubioso, per non ricordarmi cosi ben quello, che s'intenda Premesse uere, prime, immediate, & cagioni più note, & maggiormente prime della conclusio-ne. Però ui prego, che ci dichiarate questi termini, che credo, che qui sia il luogo. Adunque (dissi io) accioche di queste cose ne habbiate buona cognitione, statemi ad ascoltare. Io dissi di sopra, che le Premesse debbono esser uere, percioche douendo far sapere la conclusione di maniera, che sia impossibile, che nasca d'altro luogo, che dal-la cagione contenuta in esse; è sommamente necessario, che tali Premesse siano uere, & per consequente cagione della Conclusione. In qual maniera cagione della conclusio-ne? disse M. Adriano. Cagione, dissi, non solamente della Consequenza, come ne gli altri Sillogismi intrauiene per la forma loro, che si richiede ch'auenga, ma cagione del uero esser della Conclusione; ilche è proprio del Sillogismo dimostratiuo, del quale hora parliamo. Questo s'intende benissimo, disse M. Claudio. Le premesse (soggiunsi) à questo debbono etiandio esser più note della conclusione, & anco le debbono precedere. Allora M. Francesco mi fece questa dimanda; Che intendete uoi per questo precedere, & per più noto? Allaquale risposi. Che non siano tali inquanto à noi, ma in quanto al-la Natura istessa; la notitia della quale non sempre concorre con la nostra. Disse à que-sto M. Francesco. Fate di gratia che meglio u'intendiamo. Notate adunque, dissi; che rispetto alla Natura habbiamo à dire, che più note siano à lei le cagioni con le quali el-la opera gli effetti, che essi effetti non sono; & consequentemente, che ad essi effetti nel-la sua cognitione uadino auanti le cagioni; si come etiandio nell'atto parimente prece-dono; poi che senza dubitatione alcuna ella produce col mezo loro tutti gli effetti. On-de hauendo rispetto à noi, che non operiamo detti effetti, col mezo del senso, che ce li mostra; quelli il più delle uolte prima si offeriscono alla nostra cognitione, che non fan-no le cagioni, le quali, discorrendo noi col mezo de tali effetti, conosciamo nell'ulti-mo luogo. Di modo che l'ordine della nostra cognitione, il più delle uolte si troua esser contrario à quello della Natura; la qual Natura operando da quel che produce, à quel che segue; simigliantemente per la intellgenza [sic: intelligenza], ch'ella hà seco, conosce col mezo dell'ordine detto. Ma noi da quel che seguita, spesse fiate procediamo à quello che uà page 15 inanzi, per la ragione detta. Rispose à questo M. Claudio. Diremo adunque, ch'ogni fiata ch'io dico, che le premesse della Dimostratione hanno da esser piu note, che la con-clusione, & preceder quella; che sempre intender debbiamo secondo 'l proceder della natura. Cosi è in fatto, dissi. Adunque, soggiunse M. Adriano, in cotale Sillogismo se-guitiamo l'ordine della natura, & il suo procedere. Senza dubio alcuno; risposi io; ma ciò non accasca molte uolte. Per qual cagione? disse M. Francesco. Per la nostra imper-fettione; risposi io; onde nasce, che simigliantemente rare uolte i Filosofi pongono in es-sere questi Sillogismi. Questo intendiamo bene; disse M. Claudio; ma resta che ancora ci andiate dichiarando quel che s'intende, che le Premesse siano prime, & senz'alcun me-zo. L'esser senza mezo (replicai) s'intendono, quando 'l mezano termine, che si pren-de nella dimostratione è cosi congiunto al maggiore, che si piglia; & al maggiore, che si hà da concludere; che niun'altra cosa si può ritrouar di mezo; ouer è il mezo tra loro per grado predicamentale; & ciò potrete comprendere (per dare un'essempio) auenire tra la Definitione & il Definito; non essendo tra l'Huomo, ch'è definito, & l'Animale di-scorsiuo, ch'è la definitione; alcun mezo, per il quale si possa mostrar, che l'Huomo sia tale. Non si potendo dimostrar la definitione delle cose. L'essempio c'hauete addutto, rispose M. Claudio; hà di maniera illustrato questo ragionamento, che sin'hora s'inten-de benissimo quel c'hauete detto; però seguitate il resto. A questo aggiunsi, che le Premesse debbono oltra ciò esser prime; cioè, debbono esser tali, che non si ritroui in alcu-na Scienza (dirò cosi) più alta proposta & più nota di quelle; & è forza, che si prendino come note, senz'alcuna proua. Adunque; disse M. Adriano; per tal cagione saranno, ò si chiameranno Indemostrabili. Sta molto ben Messere; gli risposi; percioche douendo nascer quello, che si dimostra dalle Premesse precedenti & più note; se le Premesse tutte s'hauessero sempre da dimostrare, & anco le Premesse delle Premesse; bisognerebbe, ch'altre più note, & più precedenti, sempre salendo in infinito; fusse 'l nostro procedere. La onde non si potendo poi arriuar mai à quelle, che per se stesse fussero tali, ne si potendo trappassir l'infinito; saria forza, fermarsi in alcune di esse, le quali, per dipendere da più alte premesse, non sarebbono da noi per se stesse conosciute; & per consequente le conclusioni, che da esse nascessero, non potrebbono rendersi manifeste; da che ne seguirebbe quello, che molti s'hanno imaginato; che niuna propositione dimostrar si potesse. Do-po questo disse M. Francesco; Questo discorso mi è stato molto utile; percioche m'ha riddotto alla memoria molte cose, le quali già (per non attender'à questi studii) mi erano di mente uscite. Et mi souiene, ch io udì spesse fiate dire; che in qualunque Scienza, auanti che si uenga al discorrere in essa cosa alcuna; si suppongono alcune Propositioni manifeste, lequali non debbeno esser negate d'alcuno, che si vuol essercitare in quella Scienza. Vi ricordate molto bene per mia fè; gli risposi; & mi rallegro, che non haurò fati-ca di replicar più cotal cosa; ne meno molt'altre, che concorrono alla Dimostratione, per causa uostra; delle quali ui conosco insieme con gli altri istrutto; però seguitando do-ue hò lasciato, dirò, che tali Principij alcuni si chiamano Positioni; & sono queste Posi-tioni, ouer Principii di più maniere: Imperoche alcuni sono detti Communi, & alcuni sono chiamati Proprii. I Proprij sono quelli, che seruono ad una Scienza particolare; ne bisogna che ui pensiate, che questi siano i Principij istessi d'un'altra; perche sareste in errore: Ma douete sapere (com'hò anco detto di sopra) che da i Generi diuersi delle cose scibili, nascono diuerse Scienze. Onde si come la Quantità continua è differente in ge-nere dalla Discreta; cosi è differente l'Arithmetica dalla Geometria. Et si come la Grandezza è differente dal Numero; cosi sono differenti i principij della Geometria, co i qua-li si dimostrano le sue conclusioni, da quelli dell'Arithmetica. Onde i principij proprii della Geometria sono (per darui un'essempio) questi; Si può condurre una Linea da un punto all'altro; Il continuo è diuisibile in infinito, & altri simili. Ma quelli dell'Arithmeti-ca sono; Il Numero è moltitudine ordinata di Vnità, Le parti del numero non si congiungono ad un termine commune. I Numeri procedono oltra l'Vnità in infinito; & gli altri. page 16 Et quelli della Musica sono; L'Interuallo è habitudine de spacij del suono graue & del-l'acuto; & altri simili, come presto uederete; & questi si chiamano Principij proprij. Ma i Communi sono cosi nominati, che non solo in questa, ò in quella Scienza si posso-no supporre; ma in tutte l'altre vniuersalmente; percioche sono tali, che l'Huomo per natura; inteso che hà la significatione delle parole, che contengono; subito aiutato dall'Intelletto conosce chiaramente la uerità loro: Come per essempio quando si dice; che 'l Tutto è maggior della Parte; saputo che si hà il significato di queste due parole Tutto & Parte; allora allora [sic: allora] si conosce, senz'altro aiuto, di maniera esser uera tal positione; che chi altramente uolesse far credere, non si darebbe fede alle sue parole; & sarebbe riputato pazzo. In uano ueramente si affaticherebbe, disse allora M. Claudio; chi uo-lesse persuadermi il contrario. A questo soggiunsi: Questo principio è de[unclear: t]to Commu-ne; percioche serue in diuerse Scienze, onde nella Geometria il Geometra l'applica al-le quantità misurabili; nella Arithmetica l'Arithmetico l'accommoda alle quantità nu-merabili, & nella Musica il Musico se ne serue & lo addatta à gli Interualli, ouero alle Quantità ò Corpi sonori. Sono questi Principii communi, ò propositioni, chiamati Dignità; & per la loro eccellente notitia che tengono, sono supposti per principij notissi-mi, & principali d'ogni Scienza; ma gli altri Principii & altre Proposte sono d'altra na-tura; percioche se ne ritrouano alcune di esse, che se ben non sono naturalmente cono-sciute da Colui, che vuole apprendere alcuna Scienza; nondimeno è forza, ch'egli le conceda per uere, & non cerchi in tal Scienza di loro altra dimostratione, per non ha-uer quiui elle cosa alcuna più nota, che vi stia sopra. Et queste tali Propositioni sono di due sorti; l'una è che affirmando, ò negando alcuna cosa, si chiama Definitione, la quale dichiara molti termini necessarii à quella Scienza; & tali Definitioni si accettano per uere, senza uerun'altra proua; come trattandosi nell'Astrologia delle Sfere, de i circoli, & d'altri cosi fatti termini; auanti tutte le cose si suppone, che la natura del Circolo cele-ste consista nella figura circolare, compresa da una sola linea, che hà nel mezo il punto, dal quale tirrate le linee alla sua circonferenza, tutte sono equali. Il simile si può anche dire della Sfera; disse il Signor Desiderio; & d'ogni altro termine in cotale Scienza neces-sario. Cosi è, risposi; onde gli Astrologi col mezo de tali definitioni prouano le proprie-tà de i Corpi celesti, che sono ueramente il loro Soggetto. A questo M. Francesco dis-se; Questo istesso si potrebbe anco dir nella Musica de i Corpi sonori, i quali contengo-no l'Interuallo; come sono le Chorde; percioche col diuidere, ò misurare vna linea retta, posta in luogo di chorda tirrata sopra vn spacio; è mezo molto accommodato al Musi-co, per prouar le conclusioni del suo Soggetto. Voi la intendete benissimo; dissi io, però passaremo à dir dell'altre sorti de propositioni, che sono Dignità; & saranno, quando in una Scienza si suppone alcune cose, le quali contengono in se affirmatione, ò negatione; & si debbono chiamare & stimare propositioni. Et se ben per loro natura manifeste non sono; si hanno però da supporre nelle Scienze per note, & queste sono di due maniere. Non mancate, disse M. Claudio, vi prego, di porre gli essempij. Cosi farò; risposi; state-mi pure ad vdire. La prima maniera è quando colui, che hà da imparar quella Scienza; udendo cotali proposte, à loro assentisce facilmente; non essendo prima per se stesso disposto più ad accettarle per uere, che à negarle come false. Et per darui un essempio: S[unclear: ']io di-cesse, che colui, il quale vuole imparare & apprender la Musica, hà da supporre, che tutti gli Interualli della Diapason sono eguali di proportione; & uoi vdendo questo lo credeste; per non hauer prima uoi stessi opinione, che siano più equali, che inequali, queste Po-sitioni si chiamano Suppositioni. Io intendo benissimo, disse M. Adriano, onde potete seguitare. Il perche seguitai, cosi dicendo; La seconda maniera de queste Positioni sono quelle, che quando, per il contrario, colui c'ha da imparar la Scienza, vdendo le Po-sitioni, che li sono proposte da credere, assentisce à quelle, perche gli vien detto, che cosi bisogna fare, ma non perche egli conosca, ò li paia, che sia cosi; hauendo egli uera-mente prima per se stesso piu tosto tenuto 'l contrario. Et per uenire all'essempio; dirò; page 17 Se à uoi, che desiderate di apprender le cose della Musica, si proponesse; che si hà da supporre, che l'Vnisono sia quello, che non hà alcun Interuallo, nella qual Positione [unclear: forse] ui marauigliareste, parendoui strano; se non haueste cognitione di questa Scienza; c'he si possa ritrouar cosa, che non sia dissonante, & che non habbia interuallo. Soggiun-se à questo M. Adriano; Adunque hauendo inteso il tutto bene, potiamo dire, che tut-te le Positioni, Dignità, Definitioni, Suppositioni, & le Petitioni, ò Dimande ancora, si hanno da stimare per Principii di quella Scienza, nella quale si pongono. Cosi è ue-ramente; risposi; ma auertite ancora; che se bene alcuna delle nominate Petitioni & Suppositioni in un'altra Scienza dimostrar si potesse; tuttauia in quella facultà, nella quale è posta per Principio, non si potrebbe ritrouar modo alcuno di dimostrarla; essendoche uo-lendola dimostrare, bisognerebbe altri principii; di maniera che cotali Suppositioni, & Petitioni uerrebbono à non esser Principii. Ma pigliandosi per sapute & per note; da quelle, come da sufficienti premesse, si dimostrano poi le conclusioni, le quali alla det-ta facoltà appartengono. La onde se in alcuna Scienza particolare; come è la Musica, & l'Astrologia, ò in qualunque altra, alcun uorrà negar qual si uoglia principio; in co-tal Scienza non li sarà concesso disputare; ne sarà atto à modo alcuno d'impararla.1. Phy. c. 2. Et Quanto à questa parte non ui uoglio dir'altro; ma credetemi Messere, che hora in comincia il buono. Lodato sia Iddio adunque, disse egli, & seguitate pure, & dite quel che uolete, perche siamo apparecchiati ad ascoltarui. Seguitai, inteso questo, in cotal maniera; Voglio, che sappiate; ch'ogni Proposta, che si propone à dimostrare; può essere di due sorti; imperoche oueramente ch'ella ci conduce alla Speculatione; ò ueramente che ci fà operare. Quella, che ci conduce alla speculatione, è detta Θεώρη-μα; ma l'altra è chiamata Πρόβλημα; & questa è dimandata per tal nome; percioche da lei impariamo il modo di diuidere, comporre, descriuere, disegnare, & formare ogni qualità di figura superficiale, con tutti quei accidenti, che concorrer possono in molte Arti; come nella pittura, prospettiua, corographia, cosmographia, geographia, scol-tura, architettura, & altre simili. Oltra di ciò ui uoglio dire, ch'ogni Theorema, ò Problema, il quale sia compiuto dalle sue parti, debbe hauere in se Sei cose; la prima è la Proposta, che da Greci è detta Πρότασις; nella quale si contiene il Dato, & il Que-sito; delle quali due cose si compone ogni perfetta Proposta; Et l'officio di questa parte è d'insegnar quello che si cerca dal Dato. La Seconda è chiamata Espositione, ouer Esplicatione del Dato; detta Ε῎κθεσις; il cui officio è di riceuere in se il Dato, & appa-recchiarlo alla Questione. Qui disse M. Claudio Merulo, Diteci di gratia quel che sia ciascheduna di queste due cose. Vi farò capace (risposi) con un'essempio. S'io di-cesse; Si può sopra una chorda data collocare il Tuono alla sua proportione; la chor-da data si chiama ueramente il Dato; & il collocare il Tuono è il Quesito. Io in-tendo benissimo; disse il Merulo; seguitate il uostro parlare, & perdonatemi, s'alle fiate ui dò disturbo. Anzi mi date piacere; gli risposi; Ma per ritornar al nostro pro-posito, dico; che la Terza parte si nomina Διορισμὸς; cioè, Determinatione del Quesito; il cui officio è di esporre da parte quello, ch'ello sia. La Quarta è detta Co-struttione, chiamata da i Greci Κατασκευὴ; la quale è quella, che per ritrouare il Quesito, aggiunge quelle cose, che mancano al Dato. S'aggiunge à queste la Quin-ta, detta Α'πόδεξις; cioè; Dimostratione; la quale scientificamente ci dà il proposito, col mezo delle cose concesse, & presupposte. Vltimamente ui è la Sesta, detta Συμπέρασμα; la quale Epilogo, ò Conclusione potiamo dire; che di nuouo si uolta alla Proposta, confirmando quello, ch'è dimostrato. Dimandò allora M. Adriano; se si trouano tutte queste cose in ogni Theorema, ò Problema? A cui risposi; Messer nò; ma in ciascheduno si ritrouano necessariamente la Proposta, la Dimostratione, & la Conclusione; percioche fà bisogno conoscer primieramente il Quesito; cioè, quello, che si propone nella questione; & dopoi dimostrarlo con i debiti mezi; & dopo dimostrato concluderlo. Di modo che non può mai mancare alcuna di queste tre cose. In alcuni luoghi page 18 l'altre molte uolte s'adoperano, & in molti da un canto si lasciano; come si può uedere nella 10. del 4. di Euclide; la qual dice; Potiamo constituire il Triangolo de due lati eguali; che habbia all'uno, & l'altro de gli angoli alla base il doppio de gli altri angoli; doue mancano la Determinatione, & la Espositione; massimamente quando l'Esplicatione del Dato è sufficiente, di maniera che non faccia dibisogno altra aggiuntione, per dimostrar quello, che si propone. Ma la Costruttione spesse fiate non si troua in molti Theo-rema. Et quando nella Proposta non sarà alcun Dato; allora mancherà la Espositione. Ma la proposta il più delle uolte haurà il Dato & il Quesito, non però sempre: percio-che alle uolte haurà solo il Quesito, il quale fa dibisogno di conoscere, ouero di farlo, ò ridurlo ad effetto; come già nel detto Problema, ò Proposta si uede, percioche non si dice; Di qual Dato bisogna costituire il Triangolo de due lati equali, c'habbia l'un de i lati equali doppio all'altro; ma solamente si propone, che tal Triangolo da farsi, sia Equicruro. Quando ueramente la Propositione haurà l'uno & l'altro; allora si ritro-ueranno la Determinatione & l'Espositione. Ma quando 'l Dato non ui sar[unclear: à]; manche-ranno etiandio tutte queste cose; percioche l'Espositione & la Determinatione, sono co-se, ch'appartengono al Dato. Disse à questo il Sig. Desiderio; Veramente che la co-gnitione di queste cose è molto necessaria, à uolere hauer piena notitia della Dimostra-tione; ma forse ch'alcuno de questi Sig. non si contenta ancora; perche uorrà un parti-colare essempio delle Sei cose nominate di sopra. Voi hauete toccato il segno, disse M. Francesco; questo è quello, che uolea à punto dimandare; però M. Gioseffo non ui sia noioso il darci ad intendere coteste cose essemplarmente. Io credea, dissi; che il mio parlar cosi lungo ui douesse rincrescere, ma per quel ch'io uedo, è tuttto al contrario; hora perche cosi ui piace, statemi ad udire. Sia adunque per fondamento di quello, che ui son per dire, la Prima proposta del 1. de gli Elementi d'Euclide; come più facile, più breue, & come quella, che contiene tutte queste Sei cose; la qual dice; Possiamo sopra una data linea retta terminata costituire un Triangolo equilatero. Tutta questa diceria si chiama Proposta, & si diuide in due parti; cioè, nel Dato, ch'è la Linea retta termi-nata; & nel Quesito ch'è il Triangolo equilatero. Hora s'io ui uoglio dimostrar questa cosa, incomincierò prima dall'Espositione del Dato, & dirò; Sia la data linea finita ab; dopoi uerrò alla espositione del Qesito, dicendo, Fa dibisogno sopra di essa ab. linea
retta costituire il Triangolo equilatero. Fatto questo uenirò alla costruttione, & di-rò; Sopra 'l centro a, secondo la quantità della linea ab, discriuerò il circolo bgc. Si-migliantemente sopra il centro b, secondo la quantità della istessa linea ab, descriue-rò il circolo agd. Il che fatto, tirerò le linee ag. & gb. Hora pronuncio la Costruttio-ne, dicendo; Dico; che 'l Triangolo agb. è equilatero. Vengo (fatto questo) alla Di-mostratione, & dico; In ogni circolo, le linee tirate dritte dal centro alla circonferenza sono equali; la figura bgc. è circolo, & il suo centro è a; adunque la ag. è equale alla ab. Et per prouar l'una & l'altra delle propositioni assonte; & mostrar che 'l Sillogismo non è difettiuo nella materia, perche quanto alla forma e della Prima figura, & in essa non ui è difetto alcuno; dico, che la maggior proposta è la Definitione del circolo, & la mi-page 19 nore è nota dalla costruttione. Dico ancora; In ogni circolo le linee dritte, che uanno dal centro alla circonferenza, sono equali; la figura agd. è circolo, & il suo centro è b; adunque la linea gb. è equale alla ba. Et per prouar questo secondo Sillogismo, faccio quello, ch'io feci nel primo, & dico, che la maggiore è la definitione del circolo, con-tenuta ne i principii; & la minore è manifesta dalla Costruttione. Vengo hora ad uno terzo Sillogismo & dico; Quelle cose, che sono equali ad un'altra, tra loro sono anco equali; ciascuna delle linee rette ag, & gb, si troua equale alla linea retta ab; adun-que la retta ag. è equale alla retta gb. Et prouo questo sillogismo, dicendo; La mag-gior propositione è Commun parere; & la parte prima della Minore è la conclusio-ne del primo sillogismo; & quella che segue, è la conclusione del secondo. Ho-ra uengo al quarto sillogismo, & dico; Ciascun Triangolo contenuto da tre linee rette equali, è Triangolo equilatero; Il Triangolo agb. è contenuto da tre linee rette equali; adunque il Triangolo agb. è equilatero. La proua di questo Sillo-gismo è tale; la maggior proposta è la definitione del Triangolo; & la minor è la conclu-sione del terzo sillogismo; & cosi è finita tutta la dimostratione. Onde fatto questo aggiungo la Conclusione, & dico, il Triangolo agb. è equilatero, & posto sopra la data linea ab; Adunque sopra la data linea retta terminata è costituito il Triangolo equilatero; come bisognaua fare. Et cosi è compito il tutto; come potete uedere. Vi hò uoluto far questo cosi lungo discorso inanzi ch'io ui ueng'à dimostrar le cose della Musica, à questo fine, per non hauer da replicarui in ogni dimostratione più cosa alcuna; però tenete à memoria, quello che fin qui u'hò detto. Ho inteso, disse il Viola; & molto bene consi-derato 'l tutto di maniera, che non haurò più cagione di farui replicar sopra queste cose. Voltatosi allora M. Adriano al Sig. Desiderio, disse; Vedete di gratia quanto bell'ordi-ne si tiene nel dimostrare; & quanto sensatamente si capisce ogni cosa; il qual gli rispo-se; Questa è la natura delle Scienze, che dimostrano; che fatta la dimostratione d'una cosa; tanto ne intende [unclear: ']l Maestro, quanto 'l Discepolo; & tanto 'l Discepolo, quanto 'l Maestro. Cosi è dissi io, & si potrebbe ueramente dire ancora molte cose; ma perche comprendo, che sete molto bene istrutti di quelle, che fin'hora hò ragionato; però pre-suppono (essendo queste le più difficili, & più necessarie da sapere) che l'altre ui saran-no facili, quando ue le porrò inanzi; per essere ancora cosa di poca importanza. Onde passaremo più oltra, & uerremo al nostro principale intendimento; percioche queste cose, che fin'hora ui hò discorso, non sono quelle, che ui era per dire; ma un pre-paramento à quei ragionamenti, che seguiteranno. Disse allora il Sig. Desiderio; E' stato molto utile ueramente M. Gioseffo & molto necessario questo discorso, c'hauete fat-to, percioche non attendendo questi nostri amici cari à queste cose; ancora che molte fiate habbiano udito di esse ragionare, bisognaua dimostrarli, come tornano bene & commodo à quello, che uolete dire; però passate pure inanzi, quando ui piace, che mi par che fin'hora habbiamo hauuto una buona lettione. Ripigliai dopo queste parole il mio ragionamento à questo modo: Volendo adunque dar principio alle dimostrationi, è ne-cessario primieramente porre i Principii di questa Scienza; accioche col mezo loro si possa uenir'alle Conclusioni; dimostrando quelle cose, che ci pareranno necessarie. I quali Principij da uoi, com'io credo, non mi saranno negati; se uorrete ch'io uenga al-l'atto dimostratiuo. Ma per seguitar l'ordine tenuto da i nostri Maggiori, & da i moder-ni Mathematici ancora; porrò primieramente le Definitioni per ordine, dopoi le Di-gnità, ò Massime, ò ueramente Communi pareri, che dir li uogliamo; & ultimamente le Dimande, senza le quali poco, anzi nulla potrei dimostrare. Niun di noi; disse M. Adriano; non haurà mai ardimento di negarui cosa alcuna; essendo che sappiamo trop-po bene, che non ci proponereste cosa falsa. Ma diteci ui prego; per qual cagione po-nete inanzi ogn'altra cosa le definitioni? Alquale risposi; Bella dimanda ueramente, & necessaria Messere mi fate; & anco non fuori di proposito, & di grande utile à saperla; pe-rò sappiate, che se ben ui hò detto di sopra, ch'io lo faccio per seguitar gli Antichi; nondime page 20 no questa non può esser buona ragione, anzi la uera è, che le Definitioni sono quelle, che ci danno ad intender quello, che sono le cose, che si hanno da trattare. Percioche ogni ra-gion vuole, che prima si sappia quel che sia la cosa, di che si uuol ragionare, almeno quanto al nome; inanzi che ella si tratti; acciò non si proceda per termini non conosciu-ti. Oltra di ciò; perche la Definitione è (come tengono i Filosofi, & come hò detto più inanzi) il mezo della Dimostratione; la onde potete uedere, per qual cagione io mi sia mosso à uolerla porre inanzi ogn'altra cosa. Io son satisfatto; rispose M. Adriano; però incominciate doue, & quando vi piace. Darò adunque principio (dissi io) col nome del Signore alla prima Definitione, la quale sarà questa.

DEFINITIONE PRIMA.

Il suono è cadimento di Voce atta alla modulatione, fatto sott'una estensione.
DISSE qui il Sig. Desiderio; Per qual cagione M. Gioseffo definite uoi il Suo-no prima d'ogn'altra cosa? Gli risposi; percioche il Suono, ilquale hò defi-nito è detto da Greci φθόγγος, & non ψόφος. il quale significa ogni Strepito; & è principio della Consonanza, & ogni altro Interuallo qual si uoglia della Musica; com'è il Ponto nella Geometria principio della quantità, che da lui nasce & di-pende; à questo rispose; dicendo. Questa uostra risposta mi satisfa assai; ma ditemi per uostra fè; non è buona la Definitione del Suono data da Boetio,Music lib. 1. cap. 3. la qual dice, ch'è riper-cussione d'aria, che uien fino all'udito? Non è in uerità Sig. Desiderio risposi; questa sua Definitione al nostro proposito; imperoche il Musico considera 'l Suono in un'altra maniera, di quel che lo definisce Boetio. Egli definisce il Suono, come cosa naturale in uniuersale; & il Musico lo definisce in particolare, & lo considera come principio della Consonanza, & d'ogn'altro interuallo Musicale, quando dice; Il Suono esser cadimento di uoce atta alla modulatione, fatto sotto una estensione; ò come lo definisce Aristosseno nel primo de gli Elementi harmonici; dicendo: Il Suono è cadimento di Voce in una estensione: intendendo per tale estensione la mansione, & lo stato della uoce; Percio-che pare ch'allora il Suono stia, cadendo la Voce in un stato conueneuole al Canto; mentre iui cessa in una estensione: La onde quando ella si uede essere in cotale estensio-ne, allora diciamo il Suono esser voce ordinata alla modulatione; & cadere da tal prin-cipio, quasi come fà la Linea dal punto: come potrete uedere dichiarato nel Cap. 6. del Secondo libro de i Sopplimenti; à i quali presto darò fine, à Dio piacendo, & por-rò in luce. Laonde udendo, questo il Signor Desiderio, disse; mi piace grandemente questa noua, che ci hauete dato; poi che haueremo di nuouo quello che non aspet-tauamo; Onde ciascuno Studioso ue ne haurà d'hauere obligo, per le uostre fatiche: ma non uò restardi dirui; che se 'l Suono è cadimento di uoce, tal cadimento non si può far senza mouimento; onde non si ritrouando mouimento senza tempo, ne tempo sen-za quantità; essendo che se gli attribuisce lunghezza, & breuità, secondo diuersi rispet-ti; Seguita, che non si può dire, come à me pare, che 'l Suono sia principio della Consonanza, come il Punto è principio della Linea; ma più tosto sia quantità, com'è essa linea; la-quale si può diuidere in infinito; percioche hà le sue parti aggiunte ad vn termine commune, ch'è l'Instante. Voi argomentate molto bene, Sig. Desiderio risposi; & ueramente il uostro argomento concluderebbe, quando 'l Musico considerasse 'l Suono, che ho definito, nella page 21 lunghezza; ma non è cosi; percioche lo considera con altro rispetto. Onde douete sape-re, che tre cose accadono intorno al Suono; la prima è il Luogo; la seconda il Tempo; & la terza il Colore, diremo cosi. Quanto alla prima; il Luogo del Suono si considera, in quanto ad una certa Relatione di graue, & d'acuto; imperoche quei Suoni, che sono in un'istesso luogo; cioè in un'istesso punto, dirò cosi; il Musico li chiama Vnisoni, & sono senz'alcun'interuallo tra loro, & sott'una istessa estensione, ò qualità. Ma quando si fanno più acuti, ò più graui l'un dell'altro; cioè, quando alcuni de quelli si partono dal detto punto, & uanno in altra parte: allora diciamo, che si trouano in diuersi luoghi, & hanno tra loro Interuallo, & diuerse estensioni, & riceuono tra loro molti Suoni, nel modo ch'in molti luoghi delle Istitutioni hò dichiarato, & altroue son per dichiarare; essendo che allora tale estensione si muta, & li Suoni diuersi nascono dalla estensione uaria della chorda; percioche i Suoni graui nascono, quando si rallenta alcuna chorda tirata sotto qual si uoglia estensione; & gli acuti, quando tal chorda è più tirrata. Et quanto più si ralenta la detta chorda, tànto più graue rende 'l Suono; & per il contrario, quanto piu si tira, tanto maggiormente rende il Suono più acuto; come anco dissi nel cap. 1. del Se-condo Libro sudetto. Il perche considerata la Voce, ouero il Suono dal Musico sola-mente secondo l'Estensione, & non secondo la Duratione, non cade sotto 'l tempo; ma sotto la qualità di graue & d'acuto; comparando l'uno all'altro Suono;Vide c. 16. Lib. 2. Sup-ple. ma considerato nella sua Duratione, non è dubio, che non sia sottoposto ad esso tempo. La Estensione adunque semplicemente considerata, com'è il Punto, non è diuisibile; ma si bene quando è considerato & riceuuto nella sua Duratione, come Linea. Potiamo adunque dire, che quantunque il Suono sia diuisibile per la duratione, quanto alla lunghezza, e però indi-uisibile quanto alla larghezza & alla distanza di graue, & di acuto nella Estensione; essendo che non hà alcuno Interuallo. Onde essendo considerato come Punto, & essen-do il Punto indiuisibile; segue anco, che gli Indiuisibili sia; poi che non hà distanz'al-cuna in atto di luogo, ò sito, alla simiglianza del punto; se ben l'hà nella Duratione, come hà il punto nella Positione. Ma si come quando tal punto si muoue, uiene à far la Linea; cosi anco mosso il Suono uerso 'l graue, ouero uerso l'acuto, fà l'Interuallo; il quale in larghezza è diuisibile. Il Suono adunque pigliato al primo modo; non si può diuidere; come hò detto; & essendo indiuisibile (ripugnando la diuisibilità all'esser principio) resta, che senz'alcuna con tradittione esso Suono sia anche principio. Se il Suono col tempo dura; disse allora il Signor Desiderio; ello hà lunghezza, es-sendo misurato dal tempo lungo, ò breue; & se cosi è, si può diuidere: per la qual cosa di nuouo ui dico; che essendo diuisibile, ripugna ch'ello sia principio. A que-sto risposi; Già ui hò detto, che quantunque il Suono, quanto alla sua duratione hab-bia lunghezza & da questa parte non sia considerato dal Musico; essendo che lui non considera quella particola, che pone Boetio nella sua Definitione del Suono: Che peruiene all'udito; essendo che troppo ben sà, che bisogna che sia cosi, se 'l si hà da udi-re; tuttauia lo considera per cadimento di uoce solamente; & ui aggiunge; Ad una estensione; percioche quando nasce il Suono, si uede quasi cadere ad un certo mo-do dal Corpo sonoro, di doue ello deriua; ma non si ode mutatione alcuna di suono dal graue all'acuto, ò per il contrario; percioche haurebbe più d'una estensione; co-me da quello, ch'io hò detto, si può comprendere; ma hà una sola qualità, & è di un sol tenore; & tal suono si chiama continuo, mentre che resta in questa e-stensione. Et uoi sapete, che la uoce continua; essendo che non fà consonanza, ne harmonia alcuna; non è considerata dal Musico, ma si bene la discreta. Et quantunque il nostro parlare familiare (come forse potreste dire) habbia un non sò che di graue & d'acuto; tuttauia al suono, che habbiamo dichiarato, non si ue-de aggiunta alcuna di queste qualità, che da essa si possa tenere il contrario di quel-lo, che si è detto. Non uoglio però che pensiate, che 'l Musico tenga poco conto de cotali Suoni, ò Voci, quanto alla loro duratione; essendoche cascano sotto 'l senso page 22 dell'Vdito; & è cosa, che appartiene à lui; per ilche notate la seconda cosa, che accasca intorno al Suono, ch'è il Tempo; il quale è considerato, come quel che comprende Nu-mero, ò Rhythmo; onde da questa parte è considerato secondariamente secondo la sua duratione, nella prolatione delle sillabe lunghe ò breui, contenute nella Prosa, ouer nel Verso: come dichiarai nel cap. 16. del Secondo libro,Vide c. 16. Lib. 2. Sup-pli. c'hò nominato poco fà. Inteso questo, disse il Sig. Desiderio; Io son benissimo satisfato del uostro parlare, di quello ch'io dubitaua; ma non uiscordate [sic: ui scordate] però di dir la terza cosa, che segue 'l Suono, ch'è il Colore. Non mi son per questo scordato; risposi; però ui dico, che 'l Colore è quello, per il quale sono disserenti [sic: differenti] le Voci & i Suoni l'un dall'altro; com'è nelle cantilene, le quali consistono nelle uoci, ò ne i suoni, i quali sono tutti sotto diuersi estensioni; & so-no (dirò cosi) tortuosi & piegati hor da una parte & hora dall'altra; cioè, hora uerso l'a-cuto & hora uerso 'l graue; contrario di quel che fanno gli Vnisoni, i quali dal principio loro per tutta la lor duratione, fino al fine sono sotto vna sola estensione; & sotto vna sola qualità, & sotto un solo tenore, alla similitudine della linea retta, la quale giace di pari tra i suoi punti, & si troua esser senz'alcuna larghezza. Tornò di nuouo à dire il Sig. Desiderio: Voi uenite pure à confessar, che 'l vostro suono definito habbia duratione, la quale consiste nella lunghezza. Et io à questo risposi; Non hò mai negato questo; come si può conoscere da quello che fin'hora hò detto: Ma che importa questo, purche al modo che lo considera il Musico, come principio sia indiuisibile. Vi voglio ancor dir una co-sa, & poi far fine di ragionar sopra questo principio. Non sapete che quando la Musica è considerata & ridutta nel suo fine, ella è ueramente cosa attiua? & è posta in atto col mezo di quelle cose che sono sottoposte à quel Genere di cose, che succedono l'una al-l'altra? com'è il Suono, & non in quello, ch'è di cose durabili & permanenti? come vo-lete voi adunque ch'ella si ponga in atto, se i Suoni non restano, & non si fanno vdire per qualche spacio di tempo? il quale non hà alcuna parte, che indiuisibile sia, se non l'In-stante? Ma in vero altro è la cosa quanto al suo essere; & altro quanto all'esser conside-rata; come uediamo delle quantità mathematiche, le quali ancorache non possino esser lontane dalla materia; sono però considerate come da essa lontane. In fatto è cosi; disse egli; come detto hauete, & hauete ragione; però seguitate quello, che più ui piace. Cosi voglio fare, dissi. Allora M. Claudio hauendo inteso questo, disse; M. Gioseffo, hauete posto la Musica nel Genere attiuo; & hauete detto, che i Suoni sono sotto 'l Ge-nere delle cose che succedono l'vna l'altra; di gratia fatteui vn poco meglio intendere; & poi farete quel che più u'aggradirà. Son contento soggiunsi; Auertite adunque che l'Arti si ritrouano esser di quattro maniere; imperoche l'vna è detta da i nostri maggiori [unclear: Θ]εωριτικὴ; ò Contemplatiua, la quale hà il suo fine nella speculatione; come è l'Arith-metica, l'Astronomia & altre simili. L'altra è chiamara [sic: chiamata] πρακτικὴ; oueramente Attiua, [unclear: o] Prattica, che la vogliamo dire, com è l'arte del Saltare, ò Ballare, del Sonare di cetera, & del Cantare. La rerza [sic: terza] è nominata ποιητικὴ, ò Fattiua; com'è l'arte del Fabro, la Pittu-ra, la Scoltura & altre simili. Ma la quarta è detta Κτητικὴ; ò Indagatrice, ò Cercatrice; com'è l'Arte del pescare & quella della Caccia. Onde alcune Arti fanno le cose, com'è l'Arte del Testore, del Calzolaio & altre simili; alcune conseruano le cose fatte; come l'Arte del gouernar la naue; & altre fanno l'vno & l'altro, com'è l'Arte dello edificare. Et se ben la Musica dalla parte speculatiua è detta Theorica; tuttauia dal porre in atto & nel suo fine le cose, è detta Attiua, ouer Prattica. Ma le cose poste in atto nella Musica non sempre restano, se non tanto quanto elle sono essercitate; imperoche tanto dura il Ballo, quanto colui, che l'essercita si muoue; & tanto si ode la Cetera, quanto sono mosse le chorde da colui, che le percuote: simigliantemente, tanto si ode la cantileua [sic: cantilena], quanto colui, che canta, manda fuori la voce. Et perche tutti i mouimenti, che sono fatti in questi atti, sono violenti; però non sono durabili; onde passato l'vno, di necessità bisogna che l'altro succeda, se 'lsi uuole, che la cosa stia in atto; oueramente essendo tali mouimenti giunti al fine, è necessario che da capo si rinuouino; però hò detto che la Musica è cosa attiua, & che le cose, di ch'ella si serue, non sono tra page 23 quelle, che rimangono; come quelle dell'arte fabrile, ma tra quelle, che l'una all'altra succedono, hanno luogo. Vdito questo M. Claudio restò satisfatto, onde disse; Non mi pen-tisco di hauerui fatto ragionar queste quattro parole; perche in uero è stata una buona lettione; Onde ui prego à darci spesso de questi buoni cibi; il che farete seguitando quel-lo, c'hauete principiato, secondo che ui uerrà commodo. Cosi son per fare, dissi; Ma perche quando 'l Suono si estende uerso il graue, ò uerso l'acuto, immediatamente si ge-nera l'Interuallo, il quale è il primo considerato dal Musico ad un certo modo, & non semplicemente; percioche il Musico semplicemente, & prima d'ogni altra cosa con-sidera la Consonanza, della quale intende comporre la sua cantilena; però senza por-re alcun tempo di mezo, definirò l'Interuallo à questo modo.

DEFINITIONE II.

Interuallo è quello, che è compreso da due suoni differenti per il graue & per l'acu-to; i quali nascono da i corpi ò quantità sonore.
IO non starò hora à replicar quello, ch'io dissi nelle Istitutioni dell'Interuallo; ne anco ui dirò le sue specie; percioche credo, che ue lo ricordiate; Ma ui dirò sola-mente, che questa definitione è dell'Interuallo propriamente, & non del com-munemente, detto. Et se hauete in memoria quel c'hò detto di sopra, sappiate, che fà di bisogno, che questi Suoni siano differenti di estensione; percioche se tutti hauessero una estensione istessa, non si farebbe altramente l'Interuallo; essendo che questi Suoni parreb-bono essere & sariano anche in un'istesso luogo; di modo che la differenza, ò distanza, che si troua tra 'l suono graue, & l'acuto; ò trà l'acuto & il graue, si chiama Interuallo. Questo è chiaro, disse M. Adriano, & s'intende benissimo, & non hà bisogno d'altro commento. Allora seguitai, dicendo: Quantunque creda, che uoi sappiate quello che sia Corpo sonoro; tuttauia lo uoglio da bel nuouo definire, accioche habbiate di lui più certa & più ferma cognitione. Onde dirò, che appresso il Musico.

DEFINITIONE III.

Corpo sonoro è quello, che percosso in qual si uoglia maniera, manda fuori al-cun suono.
ADVNQVE, disse, allora M. Claudio; Corpo sonoro sarà qual si uoglia Chorda di ciaschedun'Istrumento musicale; Et non solo questa, ma etiandio le Campane, & qualunque altra cosa fatta di metallo, ò d'altra materia, dalla quale nasca suo-no; come hò dichiarato di sopra, serà Corpo sonoro. Cosi è, risposi; & di più anco, che ciascheduna Canna fatta di qual materia si voglia, che poco importa, pur che man-di fuori suono, è Corpo sonoro. Ma perche ogn'Interuallo musicale (com'hò det-to poco fà) hà distanza, che si troua tra 'l suono graue, & l'acuto; la quale senza du-bio cade sotto alcuna proportione; però uolendo i Musici hauer la ragione di ta-le distanza, non hanno ritrouato miglior mezo, quanto la misura de i nominati Corpi, da i quali nascono i Suoni; onde come cosa più sicura, & men uariabile, eles-sero la Chorda sonora; & dalle parti fatte di essa, comparate l'una all'altra, ritrouarono quel che cercauano. Ne solamente tal cosa ritrouarono, adoperando una sola chorda; ma page 24 ancora ponendone in opera due tre, & quante più di queste ne facea bisogno; come nel-le Istitutioni mostrai.2. par. Cap. 20. Et perche le diuisioni sono quasi infinite, & le parti sono di uaria-te lunghezze, & cadono (comparate esse Parti al tutto, ouero tra loro; oueramente com-parati i corpi, da i quali nascono i Suoni, l'uno con l'altro) sotto l'uno de i Cinque generi di proportione di Maggiore inequalità; però auertirete, che nel primo.

DEFINITIONE IIII.

Quell'Interuallo, del quale la maggiore di due quantità sonore contiene la minore più uolte interamente; come sarebbe due, tre, quattro & più fiate ancora, si chiama Molteplice; il primo de i quali si nomina Duplo, il secondo Triplo, il terzo Quadruplo, & cosi di lungo.
COME nella Prima Parte del Capitolo 24. delle Istitutioni più diffusamente di-chiarai quello che sia Genere; & mostrai anco le sue Specie. Ma nel secon-do luogo diremo, che

DEFINITIONE V.

Quello nel quale la maggior quantità contiene la minore una fiata & una sua par-te Aliquota, si chiama Superparticolare; come, se la maggior contiene la minore una sol volta, & una sua meza parte, è detto Sesquialtero; & se la contiene una fiata; & la sua terza parte, è chiamato Sesquiterzo; & cosi gli altri per ordine.
DENOMINANDOLI sempre dalla parte Aliquota. Onde tali comparationi uengono denominate dalla parola Sesqui, aggiuntaui la parte nominata; la qual parte, quello ch'ella sia, nelle Istitutioni dichiarai.1. parte ca. 23. 25. Et perche sò che tutti uoi l'hauete studiate; credo che ue lo ricordate; onde di essa non ne dirò più cosa alcuna. Veramente ce lo ricordiamo, disse M. Adriano, & non habbiamo di-bisogno di replica. Seguitiamo adunque (dissi) più oltra, & diciamo che nel Ter-zo genere

DEFINITIONE VI.

L'Interuallo, nel quale la maggior quantità sonora contiene la minore una sol fia-ta & più parti di essa, che si chiamano parte Nonaliquota, è detto Superpartiente. Onde se la maggior contiene la minore una fiata con due terze parti, è detto Super-bipartiente terzo, & cosi gli altri di lungo.
QVESTI tutti sono stati Generi semplici, i quali hò definito; ma ascoltate le de-finitioni de due, composti del Primo & dell'uno de gli altri due Generi nomina-ti; & questa sarà la Prima, & terrà il Quarto luogo. Laonde dico; che page 25

DEFINITIONE VII.

Quell'Interuallo è detto Molteplice superparticolare, del quale la maggior quantità contien la minore due, ò più volte, & vna sua parte Aliquota; come se la maggior contiene la minor due fiate con la sua metà, è detto Duplosequialtero.
ET questo è il primo Interuallo di questo quarto genere. Ma auertite bene, che nel Quinto luogo si troua il Secondo de i due Generi composti: Il per-che diremo:

DEFINITIONE VIII.

Quell'è nominato Moltiplicesuperpartiente, del quale la maggior contiene la mino-re due, ò più fiate con vna sua parte Nonaliquota; di modo che quella quantità mag-giore, la qual contiene la minore due fiate, & due terze parti fà la proportione Du-plasuperbipartiente terza.
ET questo è il Quinto & ultimo genere di proportione l'un dall'altro diuersi; & tal diuersità uiene da quella de i loro Denominatori; come, ragionando nel-le Istitutioni1. Par. Cap. 25. intorno à i Denominatori delle proportioni de i numeri, ui di-chiarai. Ma sappiate (per uenire ad un'altra Definitione) che,

DEFINITIONE IX.

Le radici, ò Minimi termini delle proportioni sono i numeri Contraseprimi.
QVESTI non possono esser d'altro numero numerati, che dalla Vnità; come di-chiarai nelle Istitutioni.1. Par. Cap. 13. Et tanto questi, quanto quelli, che sono detti numeri Tralorocomposti, sono numeri Relati. Auertite però; che,

DEFINITIONE X.

Le Proportioni si dicono esser fuori delle lor Radici, quando sono contenute da nu-meri Tralorocomposti, ò Communicanti.
DE I quali numeri (come sapete da quello c'hauete letto nel Cap. 13. della 1. Parte delle Istitutioni) niun'all'altro è primo; & possono esser numerati & diuisi d'altro numero, che dalla Vnità. Et perche la Definitione da sè è chiara; però non ui replicherò altro sopra di essa; ma hauendo qualcheduno de uoi da dirmi cosa alcuna, si lascia intendere, auanti che si uada più oltra. Allora M. Adriano disse; Gli altri numeri, come sono Pari, Impari, Parimente pari, Primi & incomposti, Composti, Quadrati, Cubi, & Perfetti, non sono eglino tutti Numeri semplici, & senz'alcuna relatione? Cosi è Messe-re, risposi; & dimostrate molto ben di hauere studiato le mie Istitutioni; però con uostra licentia passarò ad un'altra Definitione [sic: Defiitione] la qual sarà questa. page 26

DEFINITIONE XI.

Quando tre Quantità sonore si troueranno collocate l'una dopo l'altra, di modo che la differenza, che si troua tra la maggiore & la mezana, sia equale à quella, ch'è tra questa & la minore; & che tra le minori si troua la maggior proportione, & la minore tra le maggiori; allora si diranno esser collocate & ordinate in Arithmetica progressione.
MA accioche più facilmente m'intendiate, ui dico; che i Mathematici chiamano Differenza quella Quantità, per la quale una maggiore sopr'auanza una mino-re; come è manifesto dalla Quarta definitione del Lib. 7. d'Euclide, secondo la tradottione del Campano. Hora ui dò l'essempio di quello, c'hò detto della definitione. Poniamo che a b. & c. siano le quantità nominate, & che d. sia la differenza, che si tro-ua tra a. & b. & e. sia la differenza, che è tra b. & c. Dico, essendo queste due differenze
tra loro equali; & ritrouandosi tra 3. & 2. termini minori, maggior proportione, che tra 4. & 3. termini maggiori; che tali quantità si dicono esser'ordinate secondo la Progres-sione arithmetica. A questo disse M. Adriano; Questo habbiamo facilmente inteso, per il lume c'habbiamo hauuto dalle uostre Istitutioni; però seguitate il resto. Allora Sog-giunsi; Verrò adunque all'altra definitione, & dirò.

DEFINITIONE XII.

Tre Quantità sonore si chiameranno l'una all'altra proportionali, ouer'ordinate secondo la Geometrica proportionalità, quando le proportioni, che si trouano tra la maggiore & la mezana; & tra questa & la minore; & anco tra i termini delle lor differenze, saran-no simili & equali.
ET accioche questo ui sia più facile da intendere, dirò in questo modo: siano a. b. & c. le quantità nominate; & d. sia la differenza di a. & b. & f. quella di b. & c. Dico, essendo le proportioni a. & b. b. & c. con d. & f. Duple; che tali quan-
tità si dicono esser proportionali; ouer poste in ordine secondo la Geometrica proportio-nalità. Questa etiandio; disse M. Francesco; non hà dibisogno di replica; Onde soggiunsi subito; Passarò adunque ad un'altra definitione, & dirò. page 27

DEFINITIONE XIII.

Quando saranno tre quantità sonore poste per ordine; & tra la maggiore & la me-zana sarà maggior proportione di quella, ch'è tra la mezana & la minore; & anco quel-la, che si troua tra le differenze della quantità maggiore alla mezana, & di questa alla minore, sia equale à quella, ch'è posta tra gli estremi; allora tal ordine si dirà esser fat-to secondo la Proportionalità, ò mediocrità Harmonica.
QVI (disse M. Claudio) bisogna un poco di commento. Facciamolo adunque (diss'io) Siano a. b. & c. tre quantità, & sia f. la differenza di a. & b. & g. sia quello di b. & c. Dico, che le dette quantità si diranno collocate in Proportionalità, ouer Mediocrità harmonica; poi che la proportione, che si troua tra a. & b. la quale dal
la Quinta definitione, ch'io ui proposi, potete conoscere, che è Sesquialterà, & è mag-gior di quella, che è tra b. & c. Sesquiquarta; com'è il proprio di questa Mediocrità. Che segue dopoi, sogiunse M. Desiderio; Segue (& io dissi) che,

DEFINITIONE XIIII.

Se saranno tre Quantità sonore ordinate l'una dopo l'altra di tal sorte, che tra le due minori si troui maggior proportione di quella, ch'è contenuta tra le due maggiori; & quella che si troua tra le due estreme, s'assimigli à quella ch'è posta tra le differen-ze, le quali sono tra la maggiore & la mezana, & tra questa & la minore; tal'ordi-ne si dirà fatto secondo la proportionalità Contr'harmonica.
ET questa sarà l'ultima definitione. Qui M. Adriano disse; Desidero ueder l'essempio; percioche di questa mai più non ne hò udito cosa alcuna. Se haueste uedu-to Boetio,:2. Arith. cap. 51. risposi, & Giordano,10. lib. Arith. questo non ui parrerebbe cosa nuoua, Messere Ma ueniamo pur'all'esempio. Siano a. b. & c. le nominate quantità, sia & d.la differenza
delle due maggiori a. & b. & e. quella delle minori b.& c. & la proportione, che si troua tra a. & c. ch'è Dupla, s'assimigli à quella, ch'è posta tra d. & e. Subdupla; dico queste quantità esser'ordinate secondo la Contr'harmonica proportionalità, percioche etiandio tra le due minori si troua maggior proportione di quella, ch'è collocata tra le due magpage 28 giori. Ma notate, c'hò detto, s'assimiglia; percioche la comparatione, che si fà della maggiore alla minore quantità, è alquanto differente da quella, che si fà delle differenze, che si trouano tra le quantità nominate; essendoche per il contrario (uolendo seguir l'ordine incominciato) si compara la differenza minore alla maggiore; onde nasce la proportio-ne Subdupla, che ne i termini alla Dupla s'assimiglia; come nelle Istitutioni1. par. cap. 21. & 30. & 2. part. cap. 50. hò dichiarato. Ho inteso il tutto benissimo; disse M. Adriano; però proponete quel che ui piace. Soggionsi allora; S'alcuno de uoi hà da dire alcuna cosa, sopra di quel, che fin'hora si è detto, non ponga tempo alcuno di mezo, acciò possiamo ragionar senza interrompimento, quelle cose, che seguono. Rispose il Sig. Desiderio; Non habbiamo altro che dirui; se non ch'à queste Definitioni ci par, che debbano succedere i Pareri communi; che ne di-te di questo? non è cosi? Cosi è (risposi io à questo) essendo che sono stati alcuni, i quali hanno tenuto tale ordine; non sò però con che ragione; percioche quei Principij, che seruono à più Scienze, si debbono porre separati da i Principij proprij d'alcuna Scienza, & non mescolarli tutti insieme. Però in questo, parmi, di uoler tener'altr'ordi-ne, & di seguitare insieme con la ragione quelli, che sono stati i migliori; i quali hanno scritto delle cose dimostratiue; che dopo le Definitioni hanno posto le Dimande, & dopo queste le Dignità, ò i Communi pareri. Incomincierò adunque da quelle, le quali sono Proprij principij, & il Musico, per dimostrar le cose della Scienza, dimanda che li siano concessi; percioche ogni uolta, che negati li fussero, si negarebbe tutta la scienza della Musica, la quale dipende da essi; ne accascarebbe disputar più di essa cosa alcuna; ilche fatto porrò dopoi quelle. Parue à M. Adriano, che ciò fusse ben fatto, onde disse; E' cosa ragioneuole; bisogna adunque prima che uoi concediate, dissi allora; che,

DIMANDA PRIMA.

Tra i numeri, che sono differenti per l'Vnità; che non si possa porre alcun'altro nume-ro, ò mezano termine.
VE lo concediamo uolontieri; disse M. Adriano; percioche tra 2. & 3. si sà che non si può porre altro numero. E' uero Messere, risposi; perche l'Vnità non si può partire in due parti; ma resta nella Musica indiuisibile. Notate però, ch' io parlo dell'Vnità discreta, & non della Continua; essendo che qual si uoglia Continuo si può diuidere in infinito in parti infinite, in potenza almeno, se non in atto. Perche rispetto; disse il Viola. Per questa ragione, soggiunsi; che ui basterà solamente; perche non si dà nella natura una cosa infinita in atto, secondo 'l Filosofo.3. phy. c. 1. Ibidem. c. 4. & 11. Metaph. c. 9. 4. Physi. cap. 9. La onde doue-te sapere, che i Numeri sono di due sorti; l'un de i quali si chiama Numero numerante, & l'altro Numero numerato. La Vnità del primo non si può diuidere in atto; ma quella del secondo è troppo ben diuisibile; essendo che questo non è altro, che una moltitudine di cose numerate. Allora M. Claudio disse; Mi piace questa bella distintione del Numero, & la espositione, di questo principio.All'altro adunque, dissi; bisogna che mi concediate; che,

DIMANDA II.

Se vn Numero ne multiplicherà vn'altro dato; & l'istesso diuiderà il prodotto; che ritor-ni l'istesso numero dato.
page 29 SIAVI ancora questo concesso; rispose il Viola; perche se 'l si moltiplica 24. per 6. ne uiene 144. & diuiso tal prodotto medesimamente per 6. senza dubio ritor-na 24. il che manifesta quel che s'habbia da intendere in questa seconda diman-da. Disse allora il Merulo; A fè M. Francesco, che uoi siete un buon mathematico, & mi allegro; però M. Gioseffo ponete fuori la terza se fa dibisogno; poi che questa s'intende. Concedetemi etiandio, se cosi uolete, ch'io uada più oltra, dissi; che,

DIMANDA III.

Se vn numero partirà prima vn'altro dato; & il prodotto dopoi si moltiplicherà per il Di-uisore; che ritorni il primo Numero dato.
QVI voltatosi il S. Desiderio à M. Adriano, disse; Che direte uoi à questa, Messere? Questo, rispose egli; è il contrario di quello, ch'inanzi s'è detto, per quel ch'io m'accorgo. Percioche se diuideremo 144. per il 6. ne uerrà 24. onde tal prodotto moltiplicato per il 6. darà senza dubio alcuno 144. secondo che dice questa dimanda. A que-sto disse M. Francesco; Che ui pare M. Gioseffo del nostro Messere? Parui forse, che egli non sappia far conto? Cosi fà, risposi; chi hà Denari assai. Burlate M. Gioseffo; disse M. Adriano; per quel ch'io uedo. Al quale disse M. Claudio; A fè, che non burla ello, anzi dice il uero; perche n'hauete guadagnato assai col mezo del uostro ualore. Ne hò guadagnato assai ueramente, rispose egli; ma holli anco dispensato à i miei più stretti parenti; il perche pochi ne posso hauere. Ond'io soggiunsi; Voi hauete fatto da huomo da bene, come uoi sete; però non ui hò dato la burla à dire, che chi ha assai Denari, sà far ben conto. Ma non più di questo: Vltimamente concedetemi; che,

DIMANDA IIII.

La Proportione de gli estremi si dice esser composta de i mezi Proportionali; come da sue parti.
CHE si hà da intender'in questo luogo, per gli estremi? disse M. Francesco; Il Mas-simo & il Minimo, risposi io. Dechiarateci questa, disse M. Adriano; & poi segui-tate à dir quello, che più ui piace. E' molto ben honesto Messere, risposi; hauen-domi tolto questo carico: però attendete. Se fussero quattro termini a. b. c. & d. & a. d. fus sero gli estremi; cioè a. il Massimo, & d. il Minimo, i quali contenessero la proportione Dupla; allora diressimo, che questa proportione contenuta da tali estremi fusse composta;
percioche la proportione Sesquiquinta a. b. & la Sesquiquarta b. c. con la Sesquiterza c. d. fanno aggiunte insieme la Dupla proportione a. b. Oueramente si direbbe, ch'aggiun-gendo la proportione Sesquiquarta b. c. alla Sesquiquinta a. b. si farebbe la Sesquialtera a. c. che congiunta alla Sesquiterza c. d. farebbe la Dupla contenuta tra a. & b. Et questo è tanto manifesto, che non hà dibisogno d'altra proua. Niuno di noi haurà ardimento, disse il Sig. Desiderio; di negarui questo principio; perche, com'hauete mostrato, da se stesso è chiaro; inteso che si hà i termini della cosa. Voglio adunque, dissi che queste Dipage 30 mande siano basteuoli à quelle cose, ch'à mano à mano son per dirui; dopo ch'io ui haurò proposto i Communi pareri, ouer Massime; dette da i Greci Α'ξιώματα; le quali, per la loro euidente uerità, si chiamano anche Dignità; la prima delle quali sarà questa.

DIGNITA' PRIMA.

Ciascheduna cosa, che misura vn'altra, misura anco tutto quello, che dalla misura-ta è misurato.
DATECELO ad intendere; soggiunse M. Adriano. Poniamo adunque (dissi) tre quantità a. b. & c. delle quali a. misuri, ò numeri due fiate la b. & questa sia la misurata, che numeri, ò misuri la c. due fiate. Dico che a. numera la c. quattro fiate, che fù dalla b. misurata due. Et questo è quello, che questa Dignità uuol inferire. Disse allora Messer'Adriano; La cosa è chiara, & non ha di-
bisogno d'altra dimostratione. Adunque seguendo quello, ch'io ho incominciato, sog-giunsi; dirò; che,

DIGNITA' II.

Il Composto si risolue in quelle cose semplici, delle quali si compone.
SOGGIVNSE il Sig. Desiderio; Questo è tolto d'Aristotele nella Fisica, & nella Metafisica, & anco nel Libro 3. del Cielo. E' uero, risposi; la onde M. Francesco aggiunse; Questo par che sia difficile, & è ueramente facile da intendere; pur de-sideriamo, che sopra di questo (per maggior nostra intelligenza) ragionate qualche cosa. Notate adunque, soggiunsi; che tutta la scuola de i Filosofi chiama Elemento quella cosa, della quale primieramente un naturale Indiuiduo si compone; di maniera che nel-la resolutione tale Indiuiduo non si può risoluere in altri corpi, che siano primi. Del che (per darui un'essempio) piglierò l'Huomo, il quale è composto de i Quattro elementi Terra, Acqua, Aria, & Fuoco; onde, perche niun de questi quattro si ri-solue in altro corpo, che sia primo di loro; essendo che non si ritroua alcun Corpo corruttibile, che sia primo de i Quattro nominati Elementi; però è neccssario, che morendo l' Huomo, si risolua il corpo ne i detti Elementi, & non in altri corpi; percioche tali Elementi sono corpi semplici, de i quali è composto; & ciascheduno altro corpo è de questi composto, ouer Misto. Questo s'intende, disse Messer'Adriano; & uolete dire; se un Interual-lo fusse composto de Tuoni & Semituoni; che risoluendosi, in Tuoni & Semituoni, etiandio si risoluerebbe. Stà molto bene; onde passarò alla terza Dignità; è dirò.

DIGNITA' III.

L'Vnità è parte di qual si voglia numero; denominata da lui medesimo.
page 31 ET questa è tolta di peso dal Settimo d'Euclide. Et l'essempio si piglia dall'Vnità, la quale per esser'una delle parti del Binario, tal parte si dice la Metà. Simiglian-temente, perche nel Ternario si trouano tre unità; la vnità è detta Terza parte di esso. Il che si può anco dir de gli altri Numeri; ma è cosa tanto chiara, che non fà di-bisogno dirne più parola. Ma per il Quarto parer commune, ò Dignità, dirò;

DIGNITA' IIII.

L'Vnità moltiplicata in qual si voglia Numero, produce quel numero istesso.
ET ciò uedete manifestamente esser uero; percioche se uoi moltiplicarete il Senario per la Vnità, uerrà l'istesso Senario; com'è noto à ciascheduno, che sia essercitato nell'Arithmetica. Et anco questa Dignità è di Euclide nel luogo nominato. Qui non è dibisogno di commento, disse il Viola. Adunque uerrò all'altra, dissi; & sarà questa.

DIGNITA' V.

Ciaschedun numero, il qual moltiplica, ò diuide i termini di qual si voglia proportione, pro-duce la proportione medesima.
QVESTA istessa, disse M. Adriano; mi ricordo hauer ueduto nelle Istitutioni; è ben uero, che le aggiungete il Partire; ma qui non è dubitatione alcuna, che cosi sia. Cosi è Messere, gli dissi; pur uoglio dirui una parola; che se noi moltiplicheremo 3. & 2. termini radicali della proportione Sesquialtera, per il 4. ne uerrà 12. & 8. i quali conteneranno la medesima Sesquialtera, tra i numeri Tralorocomposti; essendo però 1 1/2 il Denominator dell'una & dell'altra. Ma se diuideremo 12. & 8. per il medesimo 4. nascerà 3. & 2. i quali senza dubio alcuno contengono quella proportione istessa, che con-tengono i primi; che sono 12. & 8. Ma passiamo un poco più oltra.

DIGNITA' VI.

Quel che misura il cauato, & il restante d'vna quantità; misura etiandio il Tut-to di quella.
ET questo si fà palese ad ogn'uno, che sano sia di giudicio; percioche se noi da 24 leuaremo 18. ne resterà 6. Onde dico, che se 'l 3. numera, ò misura il 18. ch'è il cauato di 24. & il 6. ch'è il restante; al medesimo modo misurerà, ò numererà etiandio il Tutto, ch'è il 24. Et è uero; perche il 3. numera il 6. due fiate; il 18. sei; & il 24. otto uolte. Allora soggiunse il Merulo; Meritamente si chiamano Communi pareri, ò Massime, ò ueramente Dignità, che dir le uogliamo, essendo che non sò pensarmi, chi sarebbe quel tanto pazzo, che uolesse tenere il contrario. Che ne dite uoi Messere di que-sto? Sarebbe ueramente da connumerar tra i balordi, rispoe [sic: rispose]; & priui d'ogni sentimen-to. Però seguitando ripigliai il mio ragionamento in cotal modo. page 32

DIGNITA' VII.

Quell'Interualli sono simili & equali, che da termini simili sono contenuti; ouer'hanno le Denominationi loro da vn'istesso Denominatore. Ancora quando diuiso 'l mag-gior termine d'vno, secondo il maggior dell'altro; & il minore, secondo 'l minore. Simi-gliantemente, quando moltiplicato il maggior di vno scambieuolmente secondo il minore dell'altro; i prodotti vengono equali.
LA prima parte di questa Dignità da se stessa è manifesta; quando la simiglianza & la equalità si piglia dalla parte della forma, & non della materia; & del resto habbiamo la proua in mano; percioche noi sappiamo, che tanto la proportione, che si troua tra 3. & 2. quanto quella, ch'è contenuta tra 9. & 6. è detta Sesquialtera, dal Denominatore dell'una & dell'altra, il quale è 1 1/2. se ui ricordate quello, ch'io dis-si in questo proposito nelle Istitutioni.1. Part. Cap. 25. Et se noi partiremo il 9. termine maggiore della seconda data proportione, per il 3. pur termine maggiore della prima; & il 6. minore ter-mine dell'una per il 2. termine minore dell'altra; tanto da una parte, quanto dall'altra uerrà 3. Onde uerrà anco 18. moltiplicando 'l 9. per il 2. & il 6. per il 3. ch'è segno manife-sto esser uero quello, c'habbiamo detto. Il perche aggiungeremo à questo:

DIGNITA' VIII.

Quello è Maggiore interuallo, il quale è denominato da maggior Denominatore, & quello è minore, ch'è denominato da minore.
ET ciò è manifesto; percioche l'interuallo Sesquialtero è maggior del Sesquiterzo com'è maggiore 1 1/2. Denominator del primo, di 1 1/3. Denominator del secondo. Aggiunse il S. Desiderio; Questo è troppo manifesto; & però stà be-ne, che questo principio sia numerato tra le Dignità. Seguitai dopo questo: Vi uoglio etiandio aggiungere; che simigliantemente.

DIGNITA' IX.

De i Numeri & de gli Interualli, quella parte è maggiore, la quale hà maggiore Denominatore, & minor quella, che l'hà minore.
ANCORA che pari, che questa & la precedente siano quasi una cosa istessa; & che questa douerebbe porsi auanti di quella; tuttauia hò uoluto, che qui sia il suo luo-go; essendo che sempre il Tutto uà inanzi le Parti. Et perche quella Parte, ch'è la metà d'alcuna cosa, sempre è maggior di quella, la quale è la terza parte; però non è dubio che quella parte, ch'è denominata dalla metà, sia maggior di quella, ch'è denomi-nata dalla terza. La onde perche questo è pur troppo noto à tutti quelli, c'hanno qualche intelligenza delle cose; pero uerremo ad un'altra Dignità, ò parer commu-ne, il quale sara questo. page 33

DIGNITA' X.

Quelle cose, che ad vna cosa istessa sono equali; sono etiandio tra loro equali.
VOLETE di questo l'essempio? eccouelo. Poniamo tre quantità a. b. & c. dico, che se a. & b. saranno separatamente l'una dall'altra equali alla c. la a. sarà al medesimo modo equale alla b. Et quello che si uerifica in una sorte di quantità, si uerifica etiandio in un'altra. Questo non hà bisogno d'altra proua, disse M. Adriano; pe
rò si può proceder più oltra. Et io, per farli piacere, non stetti molto; onde dissi. Auertite che,

DIGNITA' XI.

Quelle cose, che tra loro sono equali, ad vna cosa istessa sono equalmente Molteplici, ò Su-perparticolari; ò d'alcun de gli altri Generi.
QVESTO hà dibisogno d'esser dichiarato, disse qui il Merulo. Dichiaramolo adunque, soggiunsi; & siano tre quantità a. b. c. per essempio, delle quali a. & b. siano equali; & l'una & l'altra sia il doppio della c. E' manifesto da quel che det-to habbiamo di sopra, che quella proportione, che si troua tra a. & c. si troui anco tra b.
& c. Intendo, intendo hora il tutto, disse M. Claudio; passate pur'inanzi. Diremo adun-que, soggiunsi da nouo; che,

DIGNITA' XII

Di quelle cose delle quali i Tutti sono equali; equali etiandio sono le lor parti.
ET chi non credesse, che cosi fusse; da questo si potrà chiarire. Siano a. b. due quantità; & sia c. d'una & l'altra la Terza parte. Dico, che se 'l si farà a. & b. equali in d. & e. secondo la quantità di c. quel che nascerà dalle dette quantità, sarà cambieuolmente equale. Oltra di questo, se 'l si farà equale la c. f. alla Terza parte di tutta la c. quella proportione, ch'era prima tra tutta la a. ouer la b. con tutta la c. si trouerà anco tra le parti loro; cioè, tra la a. d. ouer b. e. con la c. f. & etiandio tra tutta la d. ouer tutta la e. con tutta la f. la quale senza dubio alcuno è Tripla medesimamente. Veramente è cosi, affermò il Sig. Desiderio; percioche, secondo 'l principio d'Euclide, Se da cose equali si leueranno cose equali; i rimanenti saranno equali; onde si come tra a. & c. & tra b. & c. page 34
si troua la proportione esser Tripla; cosi leuata da tutta la quantità a. la parte ad. & da tutta la b. leuata la be. ne uiene la d. & la e. ciascheduna delle quali con c. uengono ad esse-re in Dupla proportione. E' cosi in fatto, dissi; & il Principio, che hauete allegato è il Terzo Commun parere, che Euclide pone nel principio del lib. 1. de suoi Elementi. Dirò; disse hora M. Francesco; che questo è tanto manifesto, che chi lo uolesse negare, sa-rebbe riputato un pazzo. Seguiterò l'altro, risposi; ilquale è,

DIGNITA' XIII.

Qual si voglia cosa, che raddoppiata sia equale ad un'altra, fà dibisogno, ch'ella sia la sua metà.
ET questo è manifesto per l'essempio; percioche se raddoppiaremo la quantità a. di maniera, che ne uenga b. la quale è di tanta quantità, quanta è la c. ch'è il doppio di a. bisogna necessariamente confessare, che a. sia la intera metà della quan
tità c. Et perche questo è purtroppo uero; però non mi affaticarò più per daruelo ad in-tendere; ma passarò ad un'altra Dignità.

DIGNITA' XIIII.

Ciascheduna cosa, la quale, essendo raddoppiata ne trapassa un'altra; è necessario, che la sia più della sua metà intiera.
ET questo è più che manifesto; percioche se saranno due quantità a. & b. delle quali a. sia minore della b. dico, che essendo c. la quantità a. raddoppiata; se la c. trapassarà la b. ch'essa a. sarà più della metà intera della b. Ecci un'altro parer commu
ne à questo contrario; & è questo. page 35

DIGNITA' XV.

Quel che raddoppiato non arriua all'intiero, non può per alcun modo esser la sua metà.
IL che è manifesto da questo; che si troua essere un'istessa Disciplina de due con-trarij: che se la quantità a. sarà il doppio della quantità b. & non arriuerà alla quantità c. che b. non sarà la metà della c. come ciaschedun de uoi può com-
prender chiaramente. Ma ascoltate questa, la quale è nota à tutti quelli, che sono ca-paci di ragione.

DIGNITA' XVI.

La Metà di qual si voglia cosa, necessariamente casca nel mezo di due; delle quali l'una sia maggiore di essa, & l'altra minore.
ET se ben questa Dignità sia da se stessa chiara; tuttauia, per magiore intelligen-za, porrò la quantità a. la quale è la metà della b. onde è cosa assai ben chiara, ch'essendo la c. minore di essa a. & la d. maggiore; ch'essa a. casca nel mezo della
e. & della d. Ma chi sarebbe quel tanto sciocco & tanto balordo, che uolesse negare questo, ultimamente?

DIGNITA' XVII.

Ogni Tutto esser maggior della sua Parte.
QVALCHE pecora campi, disse à questo il Sig. Desiderio. A punto (diss'io) un pecora campi; essendo che tanto sarebbe dire, che la quantità a. che ui dimostro sopra quest'asse, & è minore & parte della b. fusse ad essa b. equale, oueramente maggiore; cosa molto lontana; anzi dirò lontanissima dalla uerità. Tanto sarebbe anco,
disse M. Adriano; à dire, che 'l Tutto fusse minore della sua parte; quando quel che detto hauete, fusse uero; percioche se questa è uera; La parte è maggior del suo Tutto; uale anco à dire per il contrario; Il tutto è minor della sua parte; page 36 essendo che sono relatiui l'uno all'altro. Messere, dissi; uoi sete diuentato un gran Logi-co, & sapete molto bene riuoltare una propositione; & parmi che l'esser stato à Pariggi ui ha giouato molto; perche la uostra conclusione è uera; ma veniamo ad altro. Io non son per proponerui per hora altri Principij: ma quando 'l tempo & il luogo lo ricercheranno, allora ue ne proponerò de gli altri, che faranno al proposito. Onde questi, che mostrato & proposto ui hò, saranno à sufficienza per dimostrarui quello, di che habbiamo à ragio-nare. Parmi hora di uedere, disse il S. Desiderio; verificarsi quello, che detto hauete nelle Istitutioni;1. Par. c. 20 ch'essendo la Musica subalternata alla Arithmetica, ella piglia una gran par-te de questi Principij ad imprestido da questa Scienza; massimamente de questi ultimi, che hauete chiamato Dignità. Onde si uede, ch'una Scienza porge aiuto all'altra; secondo che più fiate hò ueduto in quel, ch'io hò studiato, & hora lo uedo in fatto. Questo non è dubioso appresso d'alcun Dotto (dissi io) che la Scienza subalternata non usi alcu-no de i principij della Scienza subalternante. Ma bisogna che 'l Musico habbia questa auertenza, di pigliarne meno, che ei puote; & quando è sforzato d'usarli, bisogna che li usa in un'altra maniera di quello; che si usano nell'Arithmetica. La onde si debbono usar secondo 'l modo, che si tiene nelle dimostrationi della Musica; applicandoli à i Suoni, à i mu-sici Interualli, & à i Corpi sonori; accioche l'una con l'altra corrispondino in una certa proportione. Mi par mille anni, soggiunse M. Adriano; che incominciate à dimostrar qualche cosa. Non andrà molto in lungo Messere, risposi; che in fatto lo uedrete; ma per hoggi non intraremo à dimostrar quelle cose, che uoi desiderate di uedere in-torno à gli Interualli della Musica: dimane poi, piacendo à Dio, sarete piena-mente satisfatto; percioche bisogna prima trattar quelle, che più presto appartengo-no ad un certo uniuersale nelle cose delle Proportioni, che à gli Interualli, ò Con-sonanze istesse. Ma per non proceder più in lungo, uerrò alle Proposte; delle qua-li la Prima sarà.

PROPOSTA PRIMA.

Si può continuar due, ò più Interualli l'un dopo l'altro, che siano simili di propor-tione.
FERMATEVI M. Gioseffo, disse allora M. Adriano; Per quel che mi ricordo hauer ueduto & letto nell'Istitutioni; parmi che non sia necessario nella Musica, il continuar due, ò più Interualli d'un istessa proportione l'un dopo l'altro; percioche ne i loro estremi non fanno consonanz'alcuna, & i ueri Numeri harmonici non comportano cotale continuatione. Ancorache questo non sia uniuersalmente uero, risposi; percioche falla in molte delle proportioni Molteplici; tuttauia non hà da esser fatto fuori di proposito, per quel ch'io son per dimostrarui; percioche se ben alle cose della prattica non fà dibisogno soggiungere, ò preporre tanti Tuoni, ò altri In-terualli simili di proportione, continuati l'un dopo l'altro; nondimeno nelle cose speculatiue alle fiate occorre di adoperar tali modi. Onde non uoglio lasciar di di-mostrarui questa cosa; acciò dimostrar ui possa quel che farà dibisogno. Ma auerti-te, che per questo continuare, ch'io dico; non intendo altro, che 'l Moltiplicar due, ò più proportioni simili l'una dopo l'altra. V'intendo, disse M. Adriano; & comprendo hora l'utile, che si potrà hauere di questa cosa; però seguitare il uostro parlare. Soggiunsi allora; Siano a & b. i minimi termini della proportione di qual si uoglia Interuallo, che noi uogliamo molteplicare. Dobbiamo prima mol-tiplicare a. in se stesso, & ne uerrà c. dopoi lo moltiplicheremo co 'l b, & ne nasce-page 37
rà d. Fatto questo moltiplicheremo etiandio il b. in se stesso, & ne uerrà e. Dico hora c. d. & e. esser due Interualli simili continuati & insieme congiunti; cioè, c. d. il primo; & d. e. il secondo. Percioche c. & d. nascono dalla moltiplicatione di a. in se stesso, & anco in b. però (per la Quinta dignità) tanta è la proportione di c. & d. quanta quella di a. & b. Più oltra; perche d. & e. nascono dalla moltiplicatione di b. in se stesso & in a. però (per l'istessa Dignità) tanta è la proportione di d. & e. quanta quella di a. & b. Onde se tanta è la proportione di c. & d. & anco di d. & e. separatamente, quanto è quella di a. & b. seguita, che habbiamo tra c. d. & e. due Interualli continuati da un'istessa proportione contenuti; co-m'è il proposito. Ma per hauere un terzo Interuallo; moltiplicheremo di nuouo c. d. & e. per a. & ancora e. per b. & ne uerrà f. g. h. & k. i quali simigliantemente, per la già allega-ta quinta Dignità; saranno tre proportioni, ò Interualli simili à quel ch'è contenuto tra a. & b. cioè, f. g. per il primo; g. h. per il secondo; & h. k. per il terzo. Et per hauer'il quar-to à questi tre congiunto, di nuouo moltiplicheremo a. con f. g. h. & k. & anco b. con K. & haueremo, per la Quinta nominata, quattro proportioni simili alla a. b. continuate & moltiplicate l'una dopo l'altra; cioè, l. m. la prima, m. n. la seconda; n. o. la terza; & o. p, la quarta, secondo 'l proposito. Et questo è tutto quel che dimostrar ui douea. La onde operando in questo modo, si potrà continuar quanti Interualli faranno dibisogno l'un dopo l'altro, i quali saranno etiandio contenuti da una proportione istessa, in un'ordine Radicale; ilche farà qual si uoglia Interuallo, quando sarà moltiplicato ne i suoi minimi termini. Hora si uede, disse M. Adriano, la grandezza della Dimostratione; la quale confirmata da i Principij, fà che ueramente sapiamo le cose; essendo ch'è impossibile, che stiano altramente di quello, che sono dimostrate. In fatto è cosi Messere, soggiunse M: [sic: .] Claudio; ma ui uoglio dir, che se ben questa cosa, che hà dimostrato hora Messere Gioseffo, non s'adoperasse mai, non mi dispiace d'hauerla imparata; percioche è molto bel-la, & à me ueramente noua. Ma come potrei far, s'io uolesse in cotal maniera continuare l'un dopo l'altro due Interualli, che non fussero di proportione simili? Bene, risposi; se terrete quest'ordine istesso; è ben uero, che bisognerà por sempre gli Interualli (come ui mostrerò) l'un sopra l'altro; di modo che sempre dalla parte di sopra stia-no i termini di quel che uorrete soggiungere, & di sotto i termini di quel che uor-rete preporre. Ma acciò che meglio m'intendiate, ui uoglio far la dimostratione. Ascoltate adunque la proposta.

PROPOSTA II.

Potiamo continuar dur, ò più Interualli differenti di proportione l'un dopo l'altro, & ritrouar l'Ordine radicale de i prodotti termini.
page 38 NOTATE, c'hò aggiunto in questa, di ritrouar l'Ordine radicale de i termini prodotti; percioche alle fiate auerrà; ma non sempre, che aggiungendo due proportioni diuerse insieme, i prodotti saranno collocati ne i numeri Tralorocompo-sti. Però accioche con più facilità possiate intender'il Tutto, & adoperar questi Inter-
ualli commodamente, quando farà dibisogno, si ridurano nella lor Radice. Et perche sò che ui sono incogniti questi termini; cioè, Ordine radicale, & Radice delle proportioni; però non ui starò à replicar cosa alcuna; ma uenirò alla Dimostratione. Siano a. b. & c. d. minimi termini de due Interualli, quali si uogliano, differenti di proportione; cioè, a. & b. di uno, & c. & d. dell'altro, che uogliamo insieme moltiplicare. Moltiplico primieramente a. in c. & in d. dopoi b. in d. onde ne uiene e. f. & g. Dico hora e. f. & g. contenere l'Interuallo a. b. & lo c. d. cioè, e. f. il primo, & f. g. il secondo. Et perche, per la Quinta dignità; Qualunque numero moltiplicato ne i termini di qual si uoglia proportione, produce la proportione medesima; nascendo e. & f. dalla moltiplicatione di a. ne i termini c. & d. di-co e. & f. esser di tanta proporrione [sic: proportione], quanta è c. & d. Simigliantemente dico, risultando f. & g. dalla moltiplicatione di d. in a. & b[unclear: .] per l'istessa dignità; f. g. contener la proportione istessa, che contengono a. & b. secondo 'l proposito. Il perche, se tanta è la proportio-ne di e. & f. quanta è quella di c. & d. & tanta quella di f. & e. quanta è quella di a. & b. seguita, che tra questi termini e. f. & g. habbiamo continuato due Interualli differenti di proportione l'un dopo l[unclear: ']altro; come dice la proposta, & secondo che ui douea dimostra-re. Ma perche per la Decima definitione, e. f. & g. sono tre Numeri Tralorocomposti, i quali possono esser numerati d'altro numero, che dall'Vnità però, come c'insegna il Cap. 43. della Prima parte delle lstitutioni, ritroueremo un numero, ò termine, il maggior, che si possa ritrouare, che numeri ciafchedun da persè & insieme de i nominati tre numeri; il quale sarà h. onde diuiso e. f. & g. per h. nascerà k. l. m. i quali dico, per la Nona de-finitione, esser Numeri Contraseprimi, & per consequente minimi termini & radicali di questi due Interualli, i quali, per la già detta Quinta dignità, contengono quell'istesse proportioni, che tra e. f. & g. sono contenute; percioche Ciaschedun numero, il quale partisca i termini di qua si uoglia proportione, produce la proportione medesima. Et questo è tutto quello, che secondo la proposta ui douea dimostrare. Notate ancora, che s'à questi due Interualli ne uoleste aggiungere un terzo; moltiplicando il suo maggior termine radicale con k. l. & m. & il minor di nuouo con m. si haurà il proposito; riducendo poi li termini, quando fusse bisogno, se fussero numeri Tralorcomposti alla Radice; seguendo l'ordine mostrato nel detto Cap.43. onde si potrà proceder in infinito. Ma se per caso uoleste per il contrario, che la proportione, ò interuallo c. d. fusse preposto, & a. b. fusse sog-giunto; allora non si haurebbe da far altro, se non di cambiare i luoghi, & porre lo a. b. nel luogo dello c. d. & questo nel luogo di quello, & haureste il proposito. Queste cose sono molto diletteuoli, disse il Sig. Desiderio; percioche in esse si uede un'aperta uerità; essendo che subito dimostrate; achettano l'intelletto. Et però ben disse quel gran Filosofo;Auer. 2. Metap. com. 1. che le dimostrationi Mathematiche sono nel primo grado di certezza collocate; & che le Naturali seguitano quelle. Questo è uero risposi; ma udite un'altra proposta. page 39

PROPOSTA VII [sic: III].

Se un'Interuallo Molteplice sarà doppiato; quell'Interuallo, che verrà da tal doppiamen-to sarà etiandio Molteplice.
AVERTITE prima, che 'l Raddoppiare un'Iteruallo [sic: Interuallo] non è altro, ch'aggiungere insieme due Interualli, che siano contenuti da un'istessa proportione. Però dico: Sia nel sottoposto essempio a. b. l'Interuallo Molteplice semplice, che uogliamo raddoppiare; & sia c. d. e. l'Interuallo proposto; cioè, a. b. raddoppiato; come c'insegna
la prima proposta di questo nostro ragionamento; di modo che c. sia al d. Moltepllce [sic: Molteplice], & il d. all'e. Dico etiandio il prodotto Interuallo c. & e. esser Molteplice. Et perche d. è molteplice di e. però, per la Definitione de i Molteplici, e. misura il d. interamente più d'u-na uolta. Ma dalla suppositione fatta di sopra; si come d. è molteplice con e. cosi c. è mol-teplice con d. il perche e. misura esso c. più fiate interamente. Adunque, per la sopradet-ta Definitione, il c. è molteplice di esso e. come bisognaua dimostrare. Ditemi di gratia, disse M. Adriano; & perdonate alla mia curiosità; percioche la facilità di questa dimostratione mi fà, ch'io ui dimandi, se questa Proposta si può dimostrar'in altro modo. Si può ueramente, dissi; Messere. Adunque, soggiunse M. Claudio; si può fare in una proposta istessa diuerse dimostrationi. Ben sapete, gli risposi; percioche essendoui molti mezi; ui sono ancora molte dimostrationi. Dimosttatelo [sic: Dimostratelo] adunque per uostra fè, disse il Viola. Cosi uoglio fare, per satisfarui, dissi. Sia adunque di nuouo l'Interuallo a. & b. molteplice; come propone la proposta; il quale per la Prima di questo, sia raddoppiato; & sia c. & e. il doppio; & la proportione, che si troua tra c. & d. & sia anco tra d. & e. Dico l'Interuallo c. & e. esser simigliantemente Molteplice. Et che cosi sia lo dimostro. La proportione, che si troua tra a. & b. per la Settima dignità; è quella, che si troua anco tra c. & d. & simigliantemente tra d. & e; onde ciascheduna da per se è la metà della raddoppiata c. & e. ma la proportione a. & b. è posta Molteplice; adunque la proportione c. & d. medesimamente è Molteplice. Il d. adunque, per la Quarta Definitione, misura 'l c. due, ò più fiate; & all'i-stesso modo tante fiate e. misura il d. per il che etiandio medesimamente, per il Primo commun parere, ò Dignità, che dice; che Quella cosa, che misura un'altra, misura anco quella, ch'è misurata da lei; e. misura esso c. Adunque per la Definitione de i Molteplici, l'In-teruallo c. & e. uiene ad esser Molteplice; come faceua dibisogno di mostrare. Ogni cosa torna molto bene, disse M. Adriano; ma inanzi che si proceda piu oltra ditemi. Voi ha-uete allegato molte fiate il modo d'operare alcuna cosa; secondo le uostre Istitutioni; nondimeno in esse dimostrate poche cose, per quel che mi ricordo; anzi piu tosto procede-te con un'atto prattico; però desidero, che sopra di questo mi diciate qualche co-sa. Soggiunsi allora; Questo Messere è di poca importanza; ne in questa parte, che serue all'accommodar l'essempio, ò figura alla Dimostratione; la quale nominai Κατασκευὴ, ò Costruttione (stando nelle già nominate cose, ch'entrano in ciaschedun Theorema, ò Problema) fà molto dibisogno, che tale operatione nasca dalla Dimostratione; pur che quel che si opera sia fatto senza errore, & secondo 'l proposito. Imperoche quando si uiene poi alla Quinta, ch'è la Α'πόδειξις, ò Dimostratione; allora si fà noto il uero, oueramente il falso dalle premesse. Ma uoglio che sapiate; se ben nelle Istitutioni hò proceduto nel mostrar le cose con atto prattico, com'hauete detto; che tali operationi non son fatte à caso; anzi so- page 40 no cauate dal fonte delle Dimostrationi, c'hanno fatto de loro i Mathematici. Di modo che il tutto uiene ad esser fatto senz'alcun'errore; essendo c'habbiamo anco la proua, la quale non è altro, ch'un certo mezo, & una dimostratione, che scuopre, se quel che noi operiamo nel cercar la uerità d'alcuna cosa, habbiamo operato senz'errore. Et se ben per l'auenire potessi allegare un modo di operar, secondo le Dimostrationi fatte d'alcuno Autore; tuttauia uoglio anco seruirmi di quel c'hauete ueduto ne i miei Scritti, che ui stà (come posso comprender) nella memoria; accioche più facilmente m'intendiate, & ne riportiate quel frutto, ch'io desidero, & che desiderate anche uoi d'hauer da questi miei Ragionamenti. Però quando udirete nominare alcuna cosa mostrata nelle Istitutioni, non ui scandalizate; perche hò dimostrato iui il tutto con ogni uerità, & con ogni proua; onde non fà dibisogno di farne altra dimostratione. Rispose à questo M. Adriano; Se ben ui hò fatto questa dimanda M. Gioseffo, non pensate che sia stato per altro, se non per saper la uostra intentione; accioche rispondendomi al proposito, com'hauete risposto; io ne ri-portasse, com'hò fatto, qualche guadagno. Et mi contento, percioche è stata una buona istruttione fin qui, quel che hauete detto; & me la terrò molto bene à memoria. Et perche d'ogni cosa restiamo benissimo satisfatti; però non sarà se non bene, ch'uoi andiate più oltra. Adunque auertite, ui prego, risposi; di tenere apunto bene à memoria tutto quello, ch'io ui dimostro; percioche quando non ui ricordaste una di queste dimostrationi; malamen-te potresti intender le seguenti; essendo che l'una dipende dall'altra; & le prime son chiamate Elementi delle sequenti; perche co 'l mezo loro, queste si uengono à prouare. Io per me sforzerommi di ritenerle; disse il Merulo; & sò troppo bene, per quel poco d'esperien-za, che io tengo; che 'l domenticarsi le cose precedenti, causa l'ignoranza delle sequenti. La onde hauendo udito M. Adriano queste parole, soggiunse; Se ben la maggior parte de i uecchi mancano di memoria; tuttauia ringratio Dio, che m'hà concesso questa gra-tia, che nella mia uecchiezza non ne son di essa priuo. Et ui prometto, che questa cosa tanto mi diletta, che in questa età mi potrei ben stancare di udir quel che nella mia giouanezza non ho mai potuto ne udire, ne imparare; ma satiare non mi potrò già mai. Verremo adunque, soggiunsi; alla Quarta proposta.

PROPOSTA IIII.

I Termini di qual si uoglia raddoppiato interuallo Moltiplice, sono l'vno all'altro proportionali; & costituiscono la Geometrica proportionalità.
VOGLIO però farui auertiti, che per questo nome Proportionalità (com'hò detto etiandio altroue1. Istitut. cap. 36. 37. & 39.) intendo, & si dè intender della Geometrica; percioche l'Arithme-tica più tosto si chiama Progressione, & l'Harmonica maggiormente si dee nomi-nar Mediocrità, che Proportionalità, ò Progressione; onde i termini della Geometrica si nominano drittamente Proportionali; per il che, se ben quest'importa poco; tuttauia hò uoluto farui sapere, che s'alle fiate m'udirete usar questi termini, senz'alcun'ag-giunto; uoi li dobbiate riceuer per quello, ch'io li ho dichiarati. Et queste cose ui saranno à memoria; onde passaremo alla Dimostratione. Siano a. b. & c. tre termini dell' interuallo Molteplice raddoppiato per la precedente; & sia d. la differenza, che si troua
page 41 tra i termini a & b; & e sia quella, ch'è posta tra b. & c. Dico ab. & c. esser termini l'un all'altro proportionali, i quali costituiscono la Geometrica proportionalità. Et perche i termini b & c. sono simili à i d & e, com'è manifesto; però, per la settima Dignita, tanta è la proportione, che si troua tra b & c; quanto quella, che è posta tra d & e: ma per la Pre-cedente, ab & bc. sono simili di proportione: adunque, per la Duodecima definitione, a. b & c. sono l'un'all'altro proportionali, & costituiscono la proportionalità Geometri-ca; poi che Tre quantità si chiamano Proportionali, & la costituiscono allora; quando le proportioni, che si trouano tra loro sono equali & simili à quella, che si troua tra i termini delle lor differenze. Et tutto questo è quello, ch'io ui douea, secondo la proposta, dimostrare. E' possibile, disse il Signor Desiderio; che queste dimo-strationi di numero à numero, le quali seruono piu tosto all'Arithmetica, ch'alla Musica, habbiano à tornare al uostro proposito? Non ui ricordate, soggiunsi, ch' io dissi nelle Istitutioni, che i Numeri & le Proportioni sono le imagini de i Suoni & delle Consonanze? Me ne ricordo; rispose. Et io dissi; Habbiate adunque pa-tienza, & statemi ad ascoltare, che non andrà molto di lungo, che conoscerete, che non sono fatte uanamente. Sappiate però che la Quinta proposta; dipenderà dalle due poco fà mostrate, & sarà.

PROPOSTA V.

Se 'l sarà un'Ordine fatto de molti termini proportionali; quando 'l minore misurerà il maggiore; misurerà etiandio quelli di mezo.
SIANO a. b. & c. i dati termini proportionali; & c. minore misuri a. maggiore. Dico, che c. simigliantemente misurerà il b. termine mezano. Riduco prima a. b. & c. ne i lor minimi termini & radice di quest'ordine, nel modo mostrato
nel Cap. 43. della Prima parte delle Istitutioni; onde ne uiene d. e. f. Et dopoi dico; per-che, per la settima Dignità, tant'è la proportione di de, & di ef; quanto quella di ab, & di bc; però, per l'Equale proportionalità, dico; tanto esser la proportione, che si troua tra d & f, quanto quella, ch'è tra a & b. Ma, per la Suppositione, c. minore misura a. termine maggiore; adunque f. misurerà d. maggior termine de i minimi ri-trouati. Et perche d. e. f. si trouano Contraseprimi, & sono, per la Nona definitione, minimi termini di tal'ordine; per tanto d. f. sono anco contraseprimi. Simigliantemente perche f. misura se stesso & d. ancora; però per la Definitione detta, f. uiene ad esser l'Vnità. Ma l'Vnità, per la Terza massima, ò Dignità, è parte di qual si uoglia numero; adunque f. misurerà anco e. La onde essendo tanta la proportione, che si troua dal b. al c, quanta quella, che si troua tra e & f; seguita, che c. minore de i dati termini misura il b, il quale è il secondo & mezano; il che era il proposito di dimostrare. Aggiungerò à questa; che,

PROPOSTA VI.

Se un'Interuallo raddoppiato produrrà un'Interuallo Molteplice; il raddoppiato sarà anche Molteplice.
page 42 PARMI disse M. Claudio, che questa sia la Terza proposta riuoltata. Cosi è ue-ramente; risposi io. Come farete adunque à dimostrar questa; soggiunse M. Adriano. Ben Messere; risposi; ascoltate pure. Essendo l'Interuallo a. b. c. rad-raddoppiato; per la Terza proposta, Moltiplice; & anche a. con c. Molteplice: Et la proportio
ne, che si troua tra a & b. sia quell'istessa, che si troua tra b & c. dico: Perche a. col b. sarà Molteplice, il c, per la Quarta definitione, misurerà esso a. più fiate; il perche, per la Precedente, c. misurerà anche 'l b. Adunque l'Interuallo bc. sarà semplice; & per la detta De-finitione, anco Molteplice; come fù il proposito di dimostrarui. Disse allora di nuouo M. Claudio: Stà bene; ma diteci; si potra dimostrar questa proposta per altra uia? Si può ueramente; risposi; statemi à udire. Essendo ac. Interuallo composto; & risoluen-dosi, per il secondo parer commune, ò Dignità, in quell'Interualli, che dalla molti-plicatione, ò raddoppiamento è generato, ò composto; poi ch'ogni C omposto [sic: Composto] si ri-solue in quelle cose simplici, delle quali si troua esser composto; non è da dubitare; che, si come s'è dimostrato nella Terza proposta, d'un'Interuallo molteplice, raddoppiato; che si generò un molteplice composto; cosi per il contrario, risoluendosi tal composto ne i suoi semplici; se tali semplici furono Molteplici; che siano anco dopo la risolutlone [sic: risolutione] Molteplici, il ch'è secondo 'l proposito; come bisognaua dimostrare. Qui disse il Signor Desiderio; Questa dimostratione ultima, più tosto hà del Naturale, che del Mathema-tico; onde mi è forte piaciuta. Questo è ben detto; risposi; onde passarò alla Settima.

PROPOSTA VII.

Se due Interualli paragonati l'un'all'altro, saranno contenuti da un'istessa proportio-ne; è necessario, che tanti siano i mezi proportionali dell'uno, quanti quelli dell'altro.
DIMOSTRATECI disse il Merulo questa più facilmente, che potete; perche mi par, che sia alquanto difficile da intendere. Hor'hora la farò facile; soggiunsi. Siano ab & de. due, qual si uogliono, Interualli proposti; contenuti da un'istes-
sa proportione; tra termini differenti. Sia etiandio f. il mezan termine di de; & de sia contenuto ne i suoi termini radicali. Dico, che simigliantemente tra a & b. può cascar' un termine mezano; Onde dico argumentando per la Vndecima dignità dalla Equale proportione: Tanta è la proportione di df, quanto quella di ac; & tanta quella di fe, quanta di cb; Adunque tanta è quella di de, quanta è quella di ab. Ma se i termini ab. sono contenuti da un'istessa proportione co i termini de; manifesta cosa è, che tra ab. casca ancora un termine mezano proportionale, ch'è il c. Et se ciò non è; d & e. misu-page 43 reranno a & b. equalmente; & questo secondo 'l g. Molteplico adunque g in d. f. & e; & ne uiene a. c. b; di modo che tra ac. si troua esser quella proportione istessa, che si tro-ua tra df; & tant'è quella, che si troua tra c. b; quanto quella, ch'è posta tra fe; il che proportionatamente c. uiene à cascar nel mezo di a & b; come bisognaua dimostrare. Intendo hora quello, disse M. Claudio, che hauete uoluto dire nella uostra proposta: Però seguitate 'l resto à uostro bel piacere. Notate adunque, soggiunsi; che nella pro-posta, che ui son per proporre, uoglio ch'intendiate, che niun Superparticolare In-teruallo si può diuidere in due parti equali, ò proportionali, con certi & determinati Numeri rationali; se ben si può diuidere con irrationali; come in qualche buon propo-sito son per dichiararui. Onde da questo, che ui dimostrerò spero, che ui sarà manife-sto. Vorrei saper più inanzi; disse M. Adriano; S'ogni Interuallo Molteplice può esser capace di uno, è piu termini, che lo diuida in due, ò più parti simili. Ricordateui; ri-sposi; quel ch'io dissi nelle Istitutioni,1. Par. cap. 37. & Co-rol. 25. Se-cundi huius. & uederete quali siano capaci, & quali non. Mi ricordo hora, rispose egli; essendo che bisogna, che la proportione, la quale può esser capace di cotal mezo, ne i suoi termini radicali habbia tal conditione, che 'l maggior sia numero Quadrato, ouer Cubo; & il minore sia l'Vnità. A questo soggiunsi subito; Io non dissi già, che cotal numero fusse Cubo, ma Quadrato; percioche iui parlai dell'In-uentione d'un sol termine mezano, il quale diuidesse la proportione in due parti equali. Ma quando si uolesse pur diuidere cotal proportione in tre parti equali, tal numero sa-rebbe necessario; percioche come uoi potrete comprendere da quello ch'io mostrarò nel cap. 6. dell'Ottauo Lib. De i Sopplimenti; quando l'Vnità sarà il minor termine della proportione, & il primo numero Cubo sarà il maggiore; allora tal proportione potrà esser diuisa dal Binario & dal Quaternario insieme, in tre proportioni equali; come tra questi termini. 8. 4. 2. 1. Intendo molto ben la cosa; disse M. Adriano; però seguitate quello, che più ui piace, senza tardare. Cosi farò dissi; Ma prima che 'l si uenga à dimostrarui quel che ui hò dichiarato, uoglio che uediamo questa. Che

PROPOSTA VIII.

Qual si voglia Numero si può porre per la differenza de i termini di qual si voglia proportione Superparticolare.
SIANO a & b. i termini radicali di qual si uoglia Interuallo superparticolare: & sia c. che è l'Vnità, la lor differenza: essendo che a. si troua per tanta quantità differente dal b. Volendo porre il d. per differenza de tali estremi, si moltepli-
cherà d. in a. & in b; & ne uerrà e. & f; iquali, per la Quinta dignità, saranno medesima-mente gli estremi della proportione proposta a & b. Ma quel che nasce dal d. moltiplica-to in a. è tanto quanto quel che nasce dal d. moltiplicato in b. & c. i quali sono equali ad esso a. Imperoche moltiplicato d. in b. nasce f; & ancora moltiplicato in c, che è l'Vnità nasce il g; i quali aggiunti insieme & composti fanno h; essendoche moltiplicato d. in c, ch'è Vnità, produce, per la Quarta dignità, se stesso d; adunque il g è posto per la dif-ferenza di e. & f. Superparticolare proportione; come dimostrar ui douea. Et questo etiandio si potrà far quando si uorra porre altro numero per tale differenza; sia Ter-nario, ò Quaternario; moltiplicando sempre i termini radicali, ò non radicali di quell' page 44 Interuallo, alquale si uorrà porre cotal numero per differenza de i suoi estremi: A questo replicò M. Adriano: Spero d'auanzar molto da questi uostri Ragionamenti; & uscir fuori della prattica; però seguitate, ui prego, à dimostrarci quello, che uoleuate dimostrare; Et io soggiunsi à queste parole:

PROPOSTA IX.

L'Interuallo Superparticolare non riceue ne uno, ne più termini mezani rationali, che lo partisca in due, ò più parti equali & proportionali.
SIA a. & c. Interuallo Superparticolare, i cui estremi, per la Precedente, siano differenti per il Binario; onde uengono ad esser capaci d'un termine mezano; il quale Interuallo uogliamo diuider (se sarà possibile) in due parti equali rationa-
li; cioè, in ab, & bc, con certi & determinati numeri; per laqual cosa sia la b & c, come la a & b. Riduco a. b. & c, secondo 'l modo mostrato nel Cap. 42. & 43. della Prima parte delle Istitutioni, alla sua Radice, & ne uiene d. e. f. tre termini proportionali nella propor-tione a & b. Et perche de. si troua, come è ab; & ef. come bc; adunque, per l'equale proportionalità df. è come ac. Ma ac. è posto Interuallo superparticolare; però df. simi-gliantemente è Superparticolare. Ma perche d. e. f. sono i minimi termini di tal'ordine; però d. & f. primo & ultimo, per la nona definitione, sono numeri Contraseprimi. Hauendo adunque mostrato d. con f. esser Superparticolare; per la Quinta Definitione, il d. contiene f. & una sua parte Aliquota; la qual parte però, per quello, ch'io dichiarai nel Cap. 23. della sudetta Prima parte, misura esso f. Et se tal parte uiene ad esser Numero; misurando, per il Sesto parer commune, il d; misurerà anco se stesso, ch'è la parte caua-ta, & lo restante, che uiene ad esser equale ad f. Et per tal modo d. & f. non uerranno ad essere Insieme, ò Contraseprimi; della qual cosa già si è mostrato l'opposito, & l'impos-sibile. Sarà adunque necessariamente tal parte la Vnità. Disse allora M. Desiderio; Questo è ueramente necessario; ma che ne segue per questo? Soggiunsi, ne segue, ch'io ag-giungo essa Vnità ad esso f, & ne uiene g; di maniera, che g. & f. uengono ad esser lon-tani l'un dall'altro per la Vnità solamente. Dico hora, per la Settima dignità, che quella proportione, ch'è tra d. & f, è quella etiandio, che si troua tra g. & f; ma tra d. & f. fù supposto, che casca un solo mezo; adunque, per la Penultima proposta simigliantemente tra g. & f; che sono numeri differenti per la Vnità; cascherà alcun numero mezano; il che, per la Prima dimanda, è impossibile. Concludiamo adunque, che se l'Interual-lo Superparticolare non riceue un termine mezano rationale, che lo diuida in due par-ti equali & proportionali; che minormente ne riceuerà, per l'istesso argomento, molti; come dice la proposta. Et questo è tutto quel, che si douea dimostrare. Allora M. Francesco; Questo è troppo il uero; disse; ma non bastaua la Regola dell'Vnità, & del nume-ro Quadrato, & del Cubo, che uoi diceste poco fà, per saper cotal cosa? Bastaua, dissi, quanto al saper'ad un certo modo; ma per questo cotal cosa non si sapea semplicente; perciò che questo saper s'acquista col mezo della Dimostratione, la qual com'hauete ue-page 45 duto) lieua ogni dubitatione. Intendo hora 'l tutto, rispose M. Francesco. Passiamo adunque alla Decima proposta, dissi io.

PROPOSTA X.

Se un'Interuallo, il quale non è Molteplice sarà doppiato; quel che verrà da tal doppia-mento non sarà ne Molteplice, ne Superparticolare.
ET che questo sia uero, statemi ad ascoltare. Sia l'Interuallo non Molteplice a & b; & lo raddoppiato sia a & c; di maniera, che l'istessa proportione sia tra a & b, che si troua tra b & c. Dico, che l'Interuallo a & c. non è Molteplice, ne Su-
perparticolare. Laonde se a & c. si porrà molteplice, non è dubio, che per la Sesta pro-posta, l'Interuallo a & b. sarà anco lui molteplice. Ma già habbiamo detto ciò esser im-possibile; adunque senza contradittione alcuna, ne uiene il proposito. E' uero disse il Merulo; che non è Molteplice; ma non potrebbe egli esser forse Superparticolare? Questo è anco impossibile; risposi. Et che questo sia uero, uerremo alla dimostratione, che farà ogni cosa chiaro. Essendo a & b. di tanta proportione, di quanta è b & c; non è dubio, che a & c. haurà un termine mezano proportionale, che lo diuiderà in due parti equali; il che essendo palese, per la Precedente, esser'impossibile; è cosa anco per se stessa mani-festa; che Se un[unclear: ']Interuallo non molteplice si uorra raddoppiare, che l'Interuallo composto non potrà esser, ne Molteplice, ne meno Superparticolare; secondo 'l nostro proposito. Non pote allora M. Adriano contenersi, che non dicesse; O come mirabilmente tali dimostrationi sono insieme concatenate, che l'una con l'altra si uiene à porgere aiu-to, non altrimente di quello che fanno le dimostrationi Geometriche; però meritamen-te sono chiamate Elementi. Rispose il Viola; Veramente c'han detto bene quelli, che l'hanno nominate con tal nome; percioche (come si uede manifestamente) l'una uiene ad esser'elemento dell'altra. Et bene; disse il Signor Desiderio; poi che Elemento si chia-ma quello, del quale si compone primieramente (come altre fiate si è dettoSupra dig. 2.) alcuna co-sa. Che ne dite uoi M. Claudio di questo? A questo ei rispose; Hò sempre udito dire, che le Mathematiche sono Scienze, che hanno del diuino, & lo uedo hora in effetto, con mia grande satisfattione. Soggiunsi allora. Poi che fin qui ui sete compiaciuti di tutto quel ch'io hò detto; non mi rincrescerà di seguitar il resto; però notate quel che in questa proposta ui uoglio dimostrare.

PROPOSTA XI.

Se 'l si raddoppierà un'Interuallo, & che quel che nascerà da tal raddoppiamento non sarà Molteplice; esso Interuallo etiando non sarà Molteplice.
DISSE allora M. Adriano; questa Proposta mi par la rouerscia di quella, c'hora hauete dimostrato; percioche in quella l'antecedente dalle Parti aggiunte in-sieme, nega il tutto; & in questa dal tutto si negano le Parti. Voi dite bene; diss'io; però seguitando l'impresa dirò; Sia a. & c. l'Interuallo raddoppiato, come è po-page 46 sto nella Precedente; & non sia a. & c. Interuallo molteplice. Dico simigliantemente, l'Interuallo a & b. non esser molteplice. Percioche se a & b. è Interuallo molteplice;
nascendo a & c, per quel c'habbiamo supposto, dall'Interuallo a & b. raddoppiato; per la Terza proposta di questo ragionamento, l'Interuallo a & c. sarà etiandio Molteplice. Ma quel ch'è posto non è molteplice; adunque, Se l'Interuallo non Molteplice nasce-rà dal raddoppiamento d'alcun Interuallo, ne anco esso raddoppiato sarà Molteplice. Et questo è quello, ch'io intendea di dimostrarui. Disse qui il Viola; Fin'hora hauete proceduto chiaramente tanto, ch'io credo, che cosa alcuna non resti, che non sia chia-ra & palese; però ui preghiamo à seguitar cosi facilmente il resto; che ui udiremo con gran piacere. Mi sforzerò, dissi; di satisfarui. Ma notate, auanti ch'io uenga all'altra Propo-sta: percioche è cosa alquanto difficile; che le Parti, che si nominaranno in essa, si ha-urano da intendere, per quei Numeri, per i quali i Termini maggiori continenti l'In-teruallo sopr'auanzaranno i minori, di una delle lor parti Aliquote; come della loro Me-tà, ò della Terza, ò della Quarta, ò d'altra parte simile. Onde auiene che tali Termini si hauranno da considerar, come un Tutto aggregato de tante delle sudette Parti; quante sono l'Vnità che contengono. Et accioche mi possiate meglio intendere; proponerò i termini del primo Interuallo superparticolare, detto Sesquialtero; che sono 3. & 2. de i quali il 3. sopra'auanza il 2. per la Vnità; la qual senza dubio uiene ad essere la sua Me-tà intiera; ò Meza parte, come dir la uogliamo. Laonde il 3. è considerato come Tre meze parti; & il 2. come due metà; come si può dir anco nel Sesquiterzo, contenu-to tra i termini 4 & 3. dell'Vnità; percioche il 4. superando il 3. per essa Vnità ella uien ad esssere la Terza parte del minore. Onde cotali termini uengono à rappresentare tante delle sudette parti, quante Vnità contengono. Però si dè auertire prima questo, che poste insieme al numero de tante, quante Vnità si trouano nel termine minore; si dicono restituire il loro Tutto, intesa la cosa à cotal modo, Dopoi à questo numero se n'aggiunge un'altra maggiore per una unità; & per tal modo questi due Numeri saranno quei mezi, da i quali nascerà la Dimostratione. Et perche credo che habbiate inteso quello, ch'io uoglio dire; però senza dir'altro, uerrò alla Dimostratione. Allora ch'io hebbi fini-to di dire; disse il S. Desiderio; questa è stata una buona & necessaria preparatione; sen-za la quale potea essere qualche difficultà; ma questa leuarà ogni cosa: però M. Giosef-fo ui preghiamo à seguitare il uostro ragionamento; & dimostrar questa cosa con quella breuità & facilità, più che sia possibile. Ilche hauendo inteso, dissi; Attendete alla pro-posta la qual sarà questa.

PROPOSTA XII.

Il numero delle Parti di qual si uoglia Interuallo Superparticolare, le quali poste insie-me facciano un Tutto; et un'altro Numero maggior di esso per l'Vnità; ci di-mostra, quanti maggior termini dell'Interuallo, à i minori insieme aggiunti corri-spondono.
ET tenetela bene alla memoria: percioche porrò ogni mia industria, per satisfarui. Incomincierò adunque con l'aiuto del Signor Iddio. Sia a & b. Interual-lo Superparticolare; è manifesto dalla Quinta definitione de i Superparticolari, a. contenere il b. & una delle sue Parti; la quale sarà c. & costituirà b. suo Tutto, secon- page 47 do 'l numero d. Ma sia oltra di questo e. numero maggior di d. per l'Unità. Dico hora a. preso secondo 'l numero d. esser equale à b. preso secondo 'l numero e. Impero-
che a. preso secondo d. contengono b. preso secondo d. & di più le parti di b. prese anco secondo d. Ma si è detto, queste hauer già costituito un b. adunque a: preso secondo d. contiene b. preso secondo 'l numero maggiore di d. per una unità; Ma e. è posto numero maggiore di d. per una Vnità; adunque a. preso secondo d. contiene il b. preso secondo e. come douea dimostrare. Ma di bisogno è, che cotal cosa si consideri in uniuersale; ancora che nell'essempio habbia posta la proportione & Interuallo particolare. Conside-rasi però à qual modo si uoglia; sempre tornerà bene, & si dimostrerà quest'esser uero. Desidero, disse M. Adriano; che ui lasciate intender un poco meglio, s'è possibile; pur con l' essempio posto di sopra, col chiamar l'Interuallo col suo proprio nome; acciò s'inten-da meglio. Messere ui uoglio al tutto satisfare; risposi. Poniamo adunque a & b, come di so-pra facemmo, Interuallo Sesquialtero; Et perche a & b. è Sesquialtero; però per la Quinta definitione, a. contiene il b. & la sua metà; Ma due metà, per la Terzadecima dignità, restituiscono il loro Tutto; adunque due a. che sono d, sono tanto, quanto sono tre b.
che sono c. Et perche due a. contengono due b. & di più due metà di esso b. lequali fanno un b. intiero; però due a. contengono tre b. & diuengono à tre equali. Di maniera, che data qual si uoglia Superparticolare, i maggior termini, secondo 'l minor numero della proportione, sono equali à i minori, pigliati secondo 'l minore; come bisognaua dimo-strarui. Io son satisfatto; disse M. Adriano; & credo, che chi uolesse dimostrar l'altre Specie di questo genere, ch'altra differenza non ui sarebbe, che le Parti; percioche nell'Interuallo Sesquiterzo u'intrarebbe la terza; nel Sesquiquarto la quarta; & cosi per ordine l'altre: di maniera ch'essendo cosi, non accade sopra ciò far altra diceria. Però buon sarebbe, che 'l si andasse di lungo, senza perder tempo sopra questa cosa. Poi che cosi ui piace; risposi; seguirò à proporui la Terzadecima proposta, la quale sarà questa:

PROPOSTA XIII.

I Termini maggiori di qual si voglia proportione, presi secondo 'l numero de i minori, sono equali à minori presi secondo 'l numero de i maggiori.
page 48 ET di ciò eccoui l'essempio, il quale ui seruirà non solo ne i Molteplici, ò Super-particolari; ma etiandio ne gli altri Generi di proportione. Sia adunque a & b. qual si uoglia proportione; & sia a. il suo termine maggiore, & b. il mino-re. Dico che a. preso (per la precedente) secondo 'l numero b, ch'è minore, è equale à b, pigliato secondo a. numero maggiore. Imperoche è manifesto, che quel che nasce del-
la moltiplicatione di a in b, il quale è c; è equale à quel che produce la moltiplicatione di b in a, che è d. Ma quel che nasce dalla moltiplicatione di a. in b, è a. preso secondo 'l b; & quel che nasce dalla molteplicatione di b in a, è b. preso secondo a; come dimo-stra la Precedente; adunque a. preso secondo il b, è equale à b. preso secondo a; come douea dimostrare. Et se uolete, ch'io discenda al particolare, com'hò fatto nella Precedente, lo farò uolentieri; acciò restiate da me satisfatti. Non accade; disse M. Francesco; percioche la cosa è tanto da sè chiara, che non fà dibisogno d'altra espositione. Verre-te adunque all'altra proposta, se ui è in piacere. L'altra proposta, che segue, soggiun-si, è questa.

PROPOSTA XIIII.

Quando alquanti de i Termini maggiori d'un'Interuallo sono equali ad alquanti de i minori; si ritroua quella proportione tra uno de i maggiori & uno de i minori, che si troua etiandio in uno de i minori adunati insieme, ad uno de i maggiori insieme aggiunti.
QVESTA disse M. Adriano; mi par la precedente riuoltata, s'io non m'inganno. Non u'ingannate punto Messere; dissi; Auertite adunque che, per la Precedente, i Numeri minori raccolti insieme secondo 'l Numero maggiore, sono equali à i maggiori adunati secondo 'l numero de i minori; ma 'l Numero de i maggiori è un termine maggiore; Adunque quell'istessa proportione si troua tra un de i maggiori ad uno de i minori, che si troua anco tra uno de i numeri minori raccolti, al numero de i maggio-ri posti insieme. Parmi, disse il Merulo, che fuesta [sic: questa] cosa sia molto d ifficile [sic: difficile], & che questo page 49 forse auenga, perche non è troppo in uso; però dateci per uostra fè meglio ad intender questa proposta con un'essempio; accioche quello, che à noi è tanto oscuro, si faccia lu-cido & chiaro. Sono queste cose ueramente difficili, M. Claudio; risposi; ma l'uso di es-se ui leuerà nelle sequenti dimostrationi la difficultà. Ascoltate però quel ch'io ui uo-glio dire. Habbiamo, per la Precedente, che In ogni genere di proportione, se 'l nu-mero maggiore è comparato al minore, che 'l maggiore preso secondo 'l numero del mi-nore, è equale al minore, preso secondo 'l numero del maggiore; onde si uede nella Ses-quialtera; che due 3. numeri maggiori sono equali à tre 2. numeri minori. La onde in ogni Genere di proportione, tanta è la proportione contenuta ne i termini radicali di qual si uoglia Interuallo; quanta è quella, ch'è contenuta ne i termini non radicali mol-tiplicati ò raddoppiati essi radicali termini. Et per darui un'essempio ne i Superparti-colari; dico; Quando due maggiori sono equali à tre minori, Quattro à sei, Sei à noue, & Otto à dodici, l'un de i maggiori ad uno de i minori, & tale Interuallo è Sesquialte-ro; allora quella proportione, che si troua tra 3 & 2. numeri radicali, ch'è Sesquialtera; si troua anco tra 6 & 4; & tra 9 & 6; come anco si troua tra 12. & otto; i quali sono Nu-meri non radicali di tal proportione. Et ne i Molteplici, quando Vno sarà equale à Due, due à Quattro; & quattro ad Otto; & il maggior è duplo al minore; allora tanta sarà la proportione dupla tra 2 & 1. quanto tra 4 & 2. & anco tra 8 & 4. percioche 'l maggior è doppio al minore, il che si può dire anco de gli altri Generi; che per esser cosa chiara, non mi uoglio sopra ciò molto distendere. Ma ne i Numeri composti, ò Composte pro-portioni è da auertire; che quando 2. saranno equali à 4 1/2. allora saranno due congiunte Sesquialtere; & quando 2. saranno equali à 6. 3/4. saranno tre; com'allora saranno due congiunte Sesquiterze, quando 3. saranno equali à 5 1/3. & 3. saranno equali à 7 1/9. ò in altre simili, che nascono dal loro raddoppiamento & più oltra. Ma allora cotal co-sa ui sarà facile da intendere; quando hauerete compreso tutto quel ch'io ui son per di-re. Ascoltate dunque attentamente, & tenetelo à memoria. Ma auanti ch'io ui dimo-stri in qual maniera si componghino, ò molteplicano questi Interualli ne i Numeri com-posti; uoglio che uediamo, in qual maniera.

PROPOSTA XV.

Si può trouar qual si uoglia parte Aliquota, ò Nonaliquota d'un numero dato.
QVESTO sia detto quanto alla proposta; ma uoglio anco aggiungerui un Co-rollario, che gentilmente da essa nasce; accioche habbiate la cosa perfetta; il qual sarà questo.

COROLLARIO.

Onde auiene; che la Parte di qual numero si uoglia, è numerata da esso, & denomina-ta dal Denominatore di cotal parte.
CRedo, che ui ricordate quel che sia parte Aliquota, & Nonaliquota; però non starò qui à replicar cosa alcuna. Chiaritemi hora d'un dubio; disse il Sig. Desiderio; & poi seguitate il uostro parlare; Si può diuider l'Vnità, essendo appresso i Mathematici indiuisibile? A questo risposi; Io dissi ancora, dichiarandoui la prima Dimanda, che i Numeri appresso i Filosofi4. Phy. cap. 3. si trouano esser di due maniere, delle quali la prima, è detta Numero numerante; & la seconda Numero numerato. I primi sono un'essemplare & una Idea nell'Anima no page 50 stra; & la lor Vnità non si può à patto alcuno diuidere; ma ne i secondi; come sono nelle Cose naturali i numeri de i Mouimenti; nelle Geometriche le Linee, Superficie, Corpi & altri simili; nell'Astronomiche i Numeri de i tempi; & nelle Musicali il Numero de gli Interualli. l'Vnità loro; anzi per dir meglio; la cosa intesa per l'Vnità, è diuisibile in più parti, senza contradittione alcuna. V'hò inteso, disse allora il Sig. Desiderio; che uoi intendete del Numero numerato, & della sua Vnità in questa proposta; se ben'hauete fatto quel discorso sopra la prima dimanda, il quale troppo ben mi ricordo; tuttauia hò uoluto chiarirmi; acciò non prendessi errore. Cosi bisogna intender (soggiunsi) questa cosa, come u'hò detto; onde tornando al mio primo proposito, dico; Sia a. qual numero si uoglia, del quale sia ricercata una delle Parti denominata da b. Riduco prima a. in tutte le sue parti denominate dal b. Denominator della parte; Moltiplicando esso b. Denominator del numero a. di modo che ne nasce c. E' manifesto, che le parti c. denominate
insieme dal Denominator b. saranno eguali à tutto 'l numero a. Diuido adunque c. per il b. Denominatore, & risulta d. onde dico d. esser la parte Aliquota di a. ricercata; & da esso a. numerata; cioè, dal numero b. denominante esso a. Ma che d. sia la parte di a. de-nominata dal Denominator b. come contiene il Corollario; da questo sarà manifesto; perche molteplicato b. in d. per la Terza dimanda, di nuouo produce il c. però d. è par-te di c. denominata dal Denominator b. Ma d. si agguaglia alla a. adunque d. è parte di a. denominata dal b. Et che 'l d. sia numerato da a. è manifesto; perche molteplicato a nel b. produce il c. Adunque, per la Seconda Dimanda, il c. diuiso per il b. ritorna a. Ma essendo diuiso l'istesso c. per il b. prima ueniua d. adunque a. numera il d. una fiata: & per tal modo la proposta uiene ad esser manifesta insieme col suo Corollario. Disse allora il Viola; Voi proponeste di dimostrarci anco la parte Nonaliquota; nondimeno non l'ha-uete ancora dimostrata; però se 'l ui piace di pagar'il uostro debito, fate uoi. E' il douere, risposi, & uoglio; ma non m'hauete lasciato finir di dir quello, ch'io uolea; percio-che bisognaua prima ragionar sopra il Corollario, & dimostrar ch'era uero; però per sa-tisfare alla proposta, dico; che se la parte, che si uorrà cauar del Numero dato sarà Non-aliquota; è necessario, ch'ella habbia il Numeratore, che sia altro numero, che la Vnità. Onde poniamo, che 'l Numerator della parte ricercata secondo 'l Denominator b. sia e. molteplicheremo e. in d. & haueremo f. la quale dico esser la parte Nonaliquota di a. percioche f. uiene ad essere il d. molteplicato secondo 'l Numeratore e. Et questo è tutto quello, che per pagare il mio debito ui doueua dire. Allora disse il Viola; Son in tutto satis-fatto: però seguitate quello, c'hauete da dire. La onde seguitai in questo modo; per fi-nir quello c'hauea da dire. Vi uoglio oltra di ciò auertire; che d. è il Numerator della par-te Aliquota ritrouata di a. numero dato, & f. è il Numerator della Nonaliquota; Ma il b. uiene ad esser il commune Denominator dell'una & l'altra. Allora disse M. Adriano; Haurei molto caro, se far si potesse, che questa proposta ci dimostrasti con Numeri sem-plici; percioche questi termini a. b. c. & gli altri, che da i Filosofi sono detti Termini ignoti, ouero Incogniti, alle fiate non hanno quella forza, che hanno i Numeri semplici; massimamente quando sono posti in prattica; ancora che non si può negare, che la dimostratione, che hauete fatto con tali termini, & con i numeri dati ancora, sia chiara. Io ui uoglio al tutto satisfare dissi; s'io potrò Messere; & accioche con un'essempio uediate il tutto; page 51 Sia ricercato, come di sopra ho dimostrato, la Parte della somma di 16; & sia tal parte 1/15; Molteplico primieramente 16 & 15. denominatori & numeratori de cotali parti l'un con l'altro, & ne uiene 240/15; imperoche tante Quintedecime contiene il 16. risolto in parti. Diuido poi 240. per il 15, & ne risulta 16/15; i quali sono la Quintadecima parte di tutta la somma de 240. parti. Onde il 16. anco uiene ad esser la Quintadecima parte. Ma 16/15 contengono la Vnità & 1/15; adunque la Vnità con 1/15 appresso sarà la Quintadeci-ma parte di 16. numero dato; la quale è parte Aliquota. Ma per hauer la parte Non-aliquota; moltiplicando la parte Aliquota per il Numerator della parte Nonaliquota, haueremo sempre quel che cerchiamo; come si uede nell'essempio posto di mezo; che moltiplicato il 4. per il 2. Numerator della parte 2/3, hauemmo 8/3; cioè, 2 2/3, ch'è la parte non Aliquota di 4. ricercata. Di modo che uolendo la Parte di qual si uoglia nu-mero proposto; operando à questo modo; sempre si haur à [sic: haurà] quel che si cerca. Ma uenia-mo all'altra proposta.

PROPOSTA XVI.

Qual si voglia dato Interuallo ne i suoi termini radicali, si può moltiplicar quante fiate si vuole tra Numeri composti.
DESIDERO; disse qui M. Adriano; saper quello che intendiate qui per Nume-ro composto. Al quale risposi; Io chiamo in questo luogo Numero composto quello; che contiene in sè un numero intero, & qual si uoglia sua parte; come è 3 1/8; ouer 4 2/3 de i quali, il 3. & il 4. non sono numeri composti; ma semplici, & 1/8 & 2/3 sono le parti; di modo che 3 1/8. è composto di 3. numero semplice, & di 1/8. sua parte; & 4 2/3. è composto di 4. numero semplice medesimamente, & di 2/3, che sono parti di esso 4; cioè, parte Nonaliquota. Siano adunque a. & b. i minimi termini di qual si uoglia Interuallo, il quale uogliamo moltiplicare. Ritrouo prima, secondo 'l modo mostrato nel Cap. 25. della Prima parte delle Istitutioni il Denominatore della sua Proportione; il quale è c, che contien l'Vnità; la quale dimandarò Numero; & una parte, sia poi Aliquota, ò Nonaliquota; oueramente un Numero, con la nominata Parte. Moltiplico poi il numero c in a, & ne uiene d; il che fatto, per la Precedente, ri-trouo la parte di a, secondo la parte di c; la qual uiene e; & questa aggiungo con d. & ne nasce f. Dico hora, per la Settima dignità, che la proportione; che si troua tra f. & a. è simile à quella, ch'è posta tra a. & b. percioche tanto uiene c. diuiso f. maggior termi-ne della proportione fa. per a. termine della proportione a. b. quanto diuiso a. minor termine della fa. per il b. minor termine di essa ab. Habbiamo adunque secondo la proposta, molteplicato l'Interuallo fa. con Numeri composti al dato ab. contenuto ne i suoi radicali Termini; come ui douea dimostrare. Chi uorrà; disse il Merulo; à questi due moltiplicar'un'altro Interuallo simile, tra gli istessi Numeri composti, che ordine haurà egli da tenere? L'ordine istesso, risposi. Soggiunse ancora M. Claudio; Per uostra fè di-mostrateci il modo. Bisognerà dissi, primieramente moltiplicar'il numero di c. in f. & ne uerrà g. dopoi bisognerà cauar, per la Precedente, la parte di g. secondo la parte di c. onde ne uerrà h. la quale aggiungeremo con g. & nascerà K. che con f. senza dubio alcuno, per la Settima dignità nominata; contenerà quella proportione istessa, che si troua tra a & b. percioche molteplicando b. maggior termine di Kf. per il b. minor termine di ab. ne nascerà l. come etiandio nascerà, moltiplicando f minor termine di Kf. con a. maggior ter page 52
mine della proportione ab. Et questo è quello, che m'hauete proposto, ch'io ui douesse dimostrare. Onde uolendone ancora aggiunger un'altro, & poi un'altro; tenendo quest'ordine, si potrà andare in infinito, & hauere il proposito. Che ui par Messe-re? disse il Viola; parmi che bisogna saper'adoperar ben la penna, & far ben con-to, à chi uuol intendere, & porre in atto queste cose. Vi sò che dire, che non biso-gna esser grosso di ceruello; rispose M. Adriano; per che non si farebbe cosa alcuna di buono. Ma che uorrete soggiungere à questa M. Gioseffo? Questa; risposi io; che

PROPOSTA XVII.

L'Interuallo Duplo nasce dalla congiuntione de i due maggiori Superpartico-lari.
ET che questo sia uero, lo uederemo tosto. Sia b. c. l'Interuallo Duplo, & sia ab. Sesquialtero, & bc. Sesquiterzo. Dico ac. nascer dalla congiuntione di ab. con bc. Et perche ab. è Sesquialtero; però, per la Quinta definitione, a. con-
page 53 tiene il b. una fiata, & una sua meza parte; adunque, per la Duodecima proposta, due a. sono equali à tre b. Et di nuouo; perche b & c. è Sesquiterzo; però, per l'istessa De-finitione, il b. contiene il c. una fiata & una sua Terza parte. Adunque tre b. sono equali à quattro c. & due a.sono posti equali à tre b. adunque due a. sono equali à quattro c. Essendo per il Decimo parer commune, che Quelle cose, lequali ad una cosa istessa sono equali, tra loro etiandio sono equali. Et 4. numero de i minori adunati insieme è il doppio, per la Quartadecima proposta, de due maggiori posti insieme: adunque, per l'istessa Quartadecima, uno a. sarà doppio ad un c. Ma perche 'l Sesquialtero & lo Sesquiterzo: per l'Ottaua, & per la Nona dignità; sono tra i Superparticolari i due maggiori; però dico, che l'Interuallo Duplo nasce dalla congiuntione de i due maggiori Superparticolari, co-sa, che ui douea dimostrare. Dopo questo aggiunse M. Adriano: Si può anco dimostrar questa propositione, secondo che mi pare, per un'altra strada; & questo col mezo della Duodecima dignità; & mi dà l'animo di saperlo fare. E' uero quel che uoi ditte Messe-re; risposi; & quando la dimostraste, dareste da intendere in fatto, che uoi intendiate benissimo quel che fin'hora hò detto; però fate quel che ui piace. Voglio prouar per ogni modo; soggiunse egli. Dico adunque, ch'essendo due a. del uostro proposto essem-pio equali à quattro c; come hauete concluso; uno a, per la Dignità nominata, uiene à farsi equale a due c. Imperoche, Di quelle cose, delle quali Tutti sono equali, equali so-no etiandio le lor parti: Ma perche due c. sono il doppio di uno; adunque uno a. equale à due c, sarà il doppio di un c. Ma a & c, nasce dalla congiuntione di ab. & ac, che so-no (come hauete prouato) due maggiori superparticolari; adunque l'interuallo Duplo nasce dalla congiuntione de i due maggiori superparticolari. Fatto che egli hebbe cota-le proua egli dissi: Voi sete in fatto un gran picciolo, Messere; sete come 'l Pepe, il-quale è piccolo in quantità, ma è grande in uirtù & possanza; percioche ui sete dimo-strato un gran Discepolo in poco tempo. Che ui par Signor Desiderio, non s'hà egli diportato bene? Ben ueramente; rispose egli; & non m'ha ingannato punto, di quel ch' io credeuo di lui; percioche sempre hò hauuto M. Adriano, per huomo di bello ingegno. Ringratio V. Signoria (rispose M. Adriano) di questo fauore; ma lasciamo per uostra fè queste parole da un canto, & stiamo à ueder quello che uorrà aggiungere M. Giosef-fo; & non ci partiamo dall'ordine incominciato. Quello, ch'io uoglio aggiungere, dissi; sarà; che quest'istessa proposta ui uoglio dimostrare con un'altro mezo, se non ui rincre-sce l'ascoltarmi. Come rincresciere? soggiunse M. Desiderio; non ci potete fare il mag-gior fauore, ne apportarci maggior diletto, che seguitar quello, c'hauete princpiato [sic: principiato]; percioche io per me non credeua di ueder cotante cose uarie della Musica. Co 'l no-me di Dio adunque; dissi; & ripigliai il ragionamento in questo modo. Sia ab. Inter-uallo Sesquialtero; & bc. Sesquiterzo. Dico a. con c. esser'Interuallo Duplo. Faccio prima a. equale al b, & ne uiene d; & sopra auanza e; dopoi faccio b. equale al c; & nasce f, & auanza g. il che fatto, dico; perche a. è Sesquialtero con b; e. uiene ad esser la Terza parte di a
& la metà di b. Simigliantemente, perche b. è Sesquiterzo con c; g. uiene ad esser la Quarta parte di b. & la Terza di c. Onde essendo g Quarta parte di b; & e. la sua metà; g sarà la me

COROLLARIO.

Ond'è manifesto, che la Dupla è reintegrata, ò vogliamo dir restituita, ò composta della Ses-quialtera & Sesquiterza proportione, come da sue parti principali.
ET questo sarà prouato dalla Quarta dimanda, la qual dice; che La proportione de gli estremi di qual proportione si uoglia, ouer Interuallo, si dice esser com-posta de i suoi mezi proportionali; come da sue parti. Bella dimostratione ue-ramente è stato questa; disse il Signor Desiderio; & mi è sommamente piaciuta; però seguitate quello, che ui torna più al proposito. Mi torna hora commodo il dimostrarui, soggiunsi; che

PROPOSTA XVIII.

Aggiunti insieme i due maggiori Superparticolari, nasce l'Harmonica proportiona-lità.
PE sia a. b. c. Interuallo Duplo, nato; per la Precedente; dalla congiuntione de i due maggiori superparticolari; ab. Sesquialtero, & bc. Sesquiterzo. Dico dall'Interuallo a & c. composto in tal maniera nascer l'Harmonica proportionalità. Faccio adunque primieramente a. equale al b, di modo che sopr'auanzi d; il qua-
le sia la differenza, che si troua tra a & b. dopoi faccio simigliantemente b. equale al c. di tal sorte, che soprauanzi e. & e. sia la differenza che si troua tra b & c. Dico hora; per-che d. contiene e. due fiate di punto, per la Quarta definitione, d. uiene ad esser duplo allo e; ma a. simigliantemente; per la Precedente; è posto duplo al c. adunque, per la Settima dignità; ac. & de. sono Interualli contenuti da un'istessa proportione. Et per-che tra i maggiori termini ab. per la Ottaua dignità; si troua la proportione maggio-re, & tra i minori, che sono bc. si troua la minore; però, per la Terzadecima de-finitione, dico; che tra i termini a. b. c. si troua la proportionalità, ò mediocrità Harmonica; essendo aggiunti i due maggiori Superparticolari interualli insieme; come proposi à dimostrarui. Ogni cosa torna bene; disse allora M. Adriano; Ma ditemi per nostra fè; s'io trouerò l'Interuallo Duplo composto (per dir com'hauete detto) d'una page 55 Sesquiterza & d'una Sesquialtera, tra questi termini. 4. 3. 2. ouer'altri simili; come molte fiate n'hò ritrouato, non si potrà forse dire, che tali Interualli si trouano in Harmoni-ca proportionalità ordinati? Si potrà ben dire, diss'io, Messere; ch'ello sia Interuallo composto de i due nominati; ma non già, che tal ordine posto sia in proportionalità har-monica. Per qual cagione? disse egli; non è ello composto de quelli Interualli, che entrano nella uostra proposta? Che l'interuallo Duplo sia composto d'un Sesquialtero & d'un Sesquiterzo semplicemente; risposi; non è cagione, che tale Interuallo contenga la Proportionalità harmonica; ma si ben consiste nell[unclear: ']ordine; percioche bisogna, che le Proportioni siano ordinate in tal maniera; oltra le proportioni, che si trouano tra le diffe-renze, & tra gli estremi, lequali uogliono esser simili; che ne i termini maggiori si troui la maggior proportione, & tra i minori la minore. Percioche (come nel Cap. 40 della Prima parte delle Istitutioni, degno di esser considerato dichiarai) il Musico se ui ricor-date Messere) uà facendo & cauando sue ragioni dal Tutto & dalle Parti fatte del Cor-po sonoro; sia poi chorda, ò qual si uoglia altra cosa, che torni al proposito; ilqual Cor-po è diuisibile in infinito. Onde intende & piglia in qual ordine si uoglia di proportio-ne il numero maggiore per il Tutto del Corpo sonoro diuiso in tante parti & non il mi-nore. Il perche accommoda sempre i termini maggiori de gli interualli al Tutto fatto in parti, & gli altri nel restante; secondo le parti, che considera; & come che per loro natura accommodar si debbono, secondo i loro gradi per ordine[unclear: .] Però uedete, che i termini, i quali hauete proposto, sono posti al contrario; perche tra i numeri maggiori si ritroua la proportione minore, & tra i minori la maggiore. La onde si uede dalle differenze loro, che sono Vnità tra loro equali, che tali termini sono ordinati in progressione, ò come più ui piace di dire, proportionalità Arithmetica, & non in mediocrità, ò proportio-nalità Harmonica; come dall'Vndecima definitione si può comprendere. Intendo ho-ra il tutto; disse M. Adriano; poi che mi hauete ridutto alla memoria questo Capitolo; ma in uero non mi ricordaua tanto inanzi. Et quando non haueste hauuto altra ragio-ne, che dirmi; era a bastanza la Definitione, c'hauete allegato. Ma non mi scorderò più quello c'hauete detto in esso; cioè, che i Termini, che usa il Musico sono parti del Cor-po sonoro; & quelli che usa l'Arithmetico, sono cose, ouer'Vnità moltiplicate; come sono quelle che sono contenute ne i termini, ch'io ui proposi, & non le parti del nomina-to Corpo. Cosi è ueramente; soggiunsi; però per l'auenire quando uedrete ch'io pro-ponerò un numero in atto; sempre lo prenderete per tante parti fatte del Corpo sonoro, le quali dinota esso Numero. Et quando ne uedrete più di uno in un'altro ordine; sempre piglierete il maggiore per il Tutto del detto Corpo fatto in tante parti, & gli altri intenderete per quelle che succedono. Questa disse M. Francesco; è stata un'altra buona lettione & molto utile; percioche ancora non hauea inteso, in qual modo applicauate questi Nu-meri, ò termini al detto Corpo. Attendete adunque, dissi io, & non ui lasciate uscir di memoria quello, ch'io uò dimostrando; percioche potrebbe esser causa di confusione. Ma uenendo alla proposta, dico:

PROPOSTA XIX.

Tra due dati termini di qual si voglia proportione, si può ritrouar'il mezano, il quale costituisca la Proportionalità harmonica; ouer quello che faccia la Contr'harmonica, ne i suoi termini radicali.
SIANO a. & b. termini radicali della proposta proportione, tra i quali habbiamo da ritrouar il mezan Termine, ouer'harmonico Diuisore. Et perche a. & b. so-no termini differenti l'un dall'altro per l'Vnità; & non riceuono, per la prima Dimanda, tra loro alcun mezano termine; però adunaremo prima insieme a & b. & ne page 56 nascerà c. Questo molteplicato con i detti a & b. ci darà d & e. i quali conteneranno, per la Quinta Dignità, l'istessa proportione, che contiene ab; & saranno capaci di cotale termine nominato. Onde moltiplicando poi a. co 'l b. haueremo f. che, raddoppiato, ci darà g. il quale senza dubio alcuno sarà il ricercato Mezano termine, che costituirà l'Harmo
nica proportionalità ne i suoi termini radicali, tra dg. & e. Et per dimostrarui questi, piglio la differenza, che si troua tra d & g, la quale è h. & quella, ch'è posta tra g & e. la-quale è k. & dico: perche la proportione h & k. hà gli istessi termini, da i quali è conte-nuta etiandio la proportione a & b. però, per la Settima Dignità, tanta è la proportione h & k. quanta quella de i dati termini a & b. M'habbiamo già detto, che tanta è la pro-portione di d. & e. quanta quella di a. & b. adunque tanta è quella delle due differenze h. & k. quanta quella de gli estremi d. & e. Onde, per la Terzadecima definitione, la qual dice; che Se saranno tre quantità sonore poste in ordine di maniera, che la proportione, la qual si troua tra le differenze del maggiore al mezano, & di questo al minore, sia equale à quella, che si troua tra le differenze de i nominati termini; dico, che tra due dati termini habbiamo ritrouato 'l mezano, il quale costituisce l'Harmonica proportionalità. Et perche d. g. e. sono numeri Contraseprimi; percioche non hanno altra misura tra loro commune, che l'Vnità; però dico, per la Nona definitione, tal proportionalità esser con-tenuta ne i suoi termini radicali; come dice la proposta. Et questo è tutto quello, ch'io ui douea dimostrare. A questo disse M. Adriano; Questa cosa è molto bella & ingegnosa; onde io soggiunsi; E' anco una delle mie Inuentioni; & non sono molti giorni, che af-faticandomi di ritrouar il mezan termine della Contr'harmonica, ritrouai questo bel modo, facile & presto. Soggiunse anco M. Adriano; Voi tenete, se ben mi ricordo, un' altro ordine, nel ritrouar questo termine mezano nelle Istitutioni.2. par. Cap. 39. E' uerò, risposi; & cotal modo serue molto à dimostrar (se ui ricordate1. par. cap. 40.) la conformita della proportionalità Arithmetica con l'Harmonica; la qual cosa mi diede occasione di discorrere sopra dell' una & dell'altra molte cose. Mi ricordo; ei rispose; ma ditemi per uostra fè; questa maniera di ritrouar questo mezano termine, è ello commune à gli altri Generi di proportione? E' commune per certo, dissi; & serue à qual Genere si uoglia; purche si tenga 'l modo & l'ordine, c'hò dimostrato. Aggiunse anco egli; Nella Contr'harmonica poi, come si ri-troua questo mezano termine? Et io; In un modo bello & anco breuissimo. Ma sappia-te, che se ben questa proportionalità è Antichissima, & che di lei molti n'habbiano fat-to mentione; tuttauia quanto all'uso di essa, non sò se ritrouarete alcuno, che n'habbia parlato, & c'habbia detto, in qual cosa l'Huomo di essa se ne possa seruire. A questo dis-se il Signor Desiderio; Io mi ricordo d'hauerla ueduto ueramente in Boetio;Arith. lib. 2. cap. 51. & 53. ma non mi poteua imaginare, à che potesse seruir nella Musica; onde la teneua quasi per cosa su-perflua. Ma non mi dispiacerà conoscere, in qual modo ella sia utile in questa Scienza, la quale col mezo delle sue Dimostrationi si mostra tanto copiosa, tanto ricca, & tanto abondante de cose; che non credo, ch'alcuni sciocchi potranno più dire, che la Musica non sia speculatiua. O ueramente sciocchi, gli risposi; anzi goffi che sono costoro, se si penssassero, che si potesse dire, ò scriuere ogni cosa, che si ritroua in questa Scienza; per-cioche ogni giorno nasce qualche bel dubio; & qualche bella consideratione di maniera, che la cosa uà in infinito. Ma ritorniamo al nostro proposito. Siano (come di sopra) a.& b. page 57 termini radicali d'alcuna proportione, tra i quali uogliamo ritrouare un Mezan termi-ne contr'harmonico; & siano d. & e (com'anno di sopra) termini capaci di cotal me-zo, continenti la proportione, che si troua tra a & b. Dico, che se noi cauaremo b. mi-
nor termine de i primi dal maggiore, ch'è a; & moltiplicaremo il prodotto per l'istesso b. & quello che uerrà da tal molteplicatione cauaremo dal d. maggior de i secondi; uer-rà f. che sarà il Mezano termine, ò ricercato Diuisore, che costituirà la Contr'harmoni-ca proportionalità. Et per dimostrar questo; cauo prima la Differenza, che si troua tra d. & f. maggiori termini de i secondi, & ne nasce g. dopoi cauo quella, che si troua tra f. & e. & ne uiene h. onde dico; perche tra a. b & g. h. ui è simiglianza de termini; però, per la Settima Dignità, ui è anco simiglianza di proportione. Ma, per la Definitione Decimaquarta; Quando tra le differenze di tre dati termini, & i loro estremi si trouerà simiglianza di proportione, allora si dirà che tal ordine sia fatto secondo la proportionalità Contr'harmonica; il perche ritrouandosi tale simiglianza tra de. & gh. seguita, che tra d. f. & e. sia costituita la proportionalità nominata. Tra due termini dati, adunque, di qual si uoglia proportione, habbiamo ritrouato 'l Mezano, il quale costituisce la Contr'har-monica proportionalità, secondo ch'io ui douea dimostrare. Questo modo; disse M. Claudio; è ello, commune ad ogni sorte di proportione? Ben sapete, risposi. In ueri-tà; soggiunse il Signor Desiderio; ch'è anche lui molto bello & facile. Ma uenite à di-mostrarci qualche altra cosa. Cosi uoglio fare, risposi; ascoltatemi prima, & manda-te alla memoria questi Versi ch'io ui reciterò; acciò più facilmente ui ricordate le Re-gole, ch'io ui hò dato per ritrouare i Mezani termini de queste due proportionalità; & sono cotesti. Se vorrai ritrouare tra due numeri
Dati, che un terzo sia Mezano harmonico;
Fà che tu aggiunga insieme cotai numeri;
Et quel che nascerà con quei molteplica;
Et ne uerrà due altri maggior numeri.
Fatto questo, bisogna che molteplichi
I due Dati tra loro, & che raddoppij
Il prodotto, & uerrà 'l sudetto harmonico.
S'anco delli due Dati il minor numero
Leuarai dal maggior; fà che 'l residuo
Con il minor insieme tu molteplichi;
Et quel che nasce dal maggior de i termini
Leua, e tra lor quello ch'auanza colloca,
C'hauerai lo mezano Contr'harmonico.
Questi Versi non mi dispiaceno, allora disse il Signor Desiderio; poiche le cose mathe-matiche per la lor natura presto si partono delle menti nostre; onde saranno cagione di far, che non cosi facilmente cotesta cosa si scompagnarà da noi; essendo che 'l Verso per sua natura non si domentica tanto facilmente, quanto auiene della Prosa; però hauendo fat-to questo poco di guadagno, ui prego M. Gioseffo, à seguitare il resto. Sappiate adun-que questo, dissi, essere infallibilmente uero, come ui dimostrerò, che: page 58

PROPOSTA XX.

Diuiso l'interuallo Sesquialtero da un mezano termine harmonico, ne nasce un Sesqui-quarto & un Sesquiquinto.
SIANO a. b. c. l'Interuallo Sesquialtero diuiso, per la Precedente, da b. mezano termine harmonico, in ab. & bc. dico da tal diuisione nascere il Sesquiquarto, & lo Sesquiquinto; il primo tra ab, & lo secondo tra bc. Et perche a. contiene
b. una fiata & la sua quarta parte; però, per la Quinta definitione, dico a. essere al b. Ses-quiquarto. Simigliantemente, perche b. contiene c. una fiata & una sua Quinta parte; però, per la Definitione nominata, b. con c. è Sesquiquinto. Ma perche ac. è interuallo Sesquialtero, & da b. termine Mezano harmonico è diuiso in ab. Sesquiquarto, & in b c. Sesquiquinto; però dico, che Diuiso l'Interuallo Sesquialtero da un termine harmo-nico mezano, nasce un Sesquiquarto & un Sesquiquinto; come dimostrar ui douea. Et à questo aggiungerò, il seguente Corollario, ilquale sarà; che

COROLLARIO.

De qui auiene, che l'Interuallo Sesquialtero è reintegrato dal Sesquiquarto & dal Sesquiquinto, come da sue parti principali; & che cauato l'uno de questi da esso ne-cessariamente, resta l'altro.
IL che è troppo manifesto. Chi uolesse negare questo, disse M. Claudio, si po-trebbe porre nel Numero de i pazzi. A questo, dissi; uoglio hor'aggiunge-re; che.

PROPOSTA XXI.

L'Interuallo Sesquiquarto si diuide da un mezano termine harmonico in un Sesquiotta-uo, & in un Sesquinono.
VDITO che hebbe il Signor Desiderio questa proposta; prorupe in que-ste parole; Mi souiene hora, che io non hò mai ritrouato, che gli Antichi hab-biano considerato altra diuisione Harmonica, che quella della Dupla; on-de mi pare, che ciò potesse procedere, ò da ignoranza, ò da troppo superstitione. O, non dite cosi; gli risposi à questo; credo che più tosto gli Antichi fussero super-stitiosi, che ignoranti; se ben si può credere, che dalla ignoranza de molte cose, da quel che già dissi, & da quello che uederete scritto ne i miei Sopplimenti;Lib. 3. c. 5. & 6. non fussero al tutto liberi; poi che loro non intesero i Gradi delle Consonanze. Onde procedeua 'l tut-to, dal non uolere admettere alcuno Interuallo, che fusse minor della Diatessaron, nel numero loro; del che quanto s'habbiano ingannato, la proua, che facciamo ogni gior-page 59 no del Ditono & del Semiditono, che sono due parti, che nascono dalla proposta & dimostrata diuisione, ce lo manifesta: Ma ueniamo alla sua dimostratione. Siano a. b. c. l'interuallo Sesquiquarto, diuiso, per la Duodecimanona [sic: Decimanona] proposta, dal b. Mezano termine Har
monico in due parti, a. b. & in b. c. Dico che da tal Diuisione nasce l'Interuallo Sesquiottauo, & lo Sesquinono; percioche se a. contiene il b. con una sua Ottaua parte, non è du-bio; per la Definitione de i Molteplici, che a. & b. sia Interuallo Sesquiottauo. Al medesimo modo; perche b. contiene il c. una fiata & una sua Nona parte; però, per l'istessa Definitione, il b. & c. sarà interuallo Sesquinono. Il perche dico, Diuiso l'interuallo Sesqui-quarto da un mezano termine Harmonico, come dice la proposta, si diuide in un Sesquiottauo & in un Sesquinono; come ui douea dimostrare. A questa etiandio aggiungerò; che,

COROLLARIO.

De qui nasce, che dall'Interuallo Sesquiottauo & dal Sesquinono il Sesquiquarto è reinte-grato, come da sue parti principali.
VOI non dite cosa alcuna, disse Messer Adriano; de gli Interualli, che sono maggiori della Dupla. Et io à lui; Anzi ue ne uoglio hora dire; perche questo è il suo luogo; che,

PROPOSTA XXII.

Dall'interuallo Duplo & dal Sesquialtero aggiunti insieme, nasce l'interuallo Triplo, ilqual contiene l'Harmonica proportionalità.
QVESTA proposta non mi par molto difficile, disse il Viola; anzi molto simile ad alcuna delle già dimostrate. Questo è uero, soggiunsi; però uolendola dimo-strare, dirò in questo modo. Sia prima a. b. c. Interuallo composto di a. b. Du-plo, & di b. c. Sesquialtero. Dopoi sia la d. la differenza, che si troua tra a. & b. & sia anco c. quella, che si troua tra b. & c. Dico hora a. esser Triplo al c. & a. b. c. esser ordinati in Har
monica proportionalità. Et perche a. ueramente è doppio al b. però a. per la Quarta de-finitione, contiene il b. due fiate; adunque per la Duodecima proposta, uno a. si troua esser equale à due b. Simigliantemente; perche b. c. è Sesquialtero; però il b. contiene, per la Quinta definitione, il c. una fiata & la sua metà; Adunque per l'istessa Duodecima, due b. sono equali à tre c. & due b. erano equali ad uno a. adunque tre c. simigliantemente sopage 60 no equali ad uno a. Ma tre sono Tripli ad uno; adunque, per la quarta decima, uno a. è Triplo ad uno c. come primieramente dimostrarui douea. Ma perche la proportione delle differenze contenute ne i termini d. & e. uiene ad esser Tripla; essendo che 'l d. contiene tre fiate e. & già per la Dimostratione habbiamo a. & c. esser Triplo; però, per la Settima dignità, & per la Decimaterza, ne segue; ch'essendo d. & e. differenze de i sopra dati termini a. b. c. simili in proportione con a. c. estremi termini; che a. b. c. siano collocati in Harmonica proportionalità; come secondariamente ui douea dimostrare. Hora dopo que-sta seguitarò dirui; che,

PROPOSTA XXIII.

L'interuallo Duplo raddoppiato constituisce un'interuallo Quadruplo, & insieme la Geome-trica proportionalità.
SIA a. b. c. interuallo Duplo raddoppiato, per la Terza di questo; & sia a. b. Duplo, & b. c. simigliantemente Duplo. Dico a. esser Quadruplo al c. Et perche a. è doppio al b. però due b. sono equali ad uno a. Et di nuouo; perche b. è doppio al c. però due c. sono equali ad uno b. Ma se due c. sono tanto quanto è un b. quattro c. saran-no equali à due b. ma due b. sono posti equali ad uno a. adunque quattro c. saranno equa
li ad uno a. Et perche quattro sono in proportione Quadrupla ad uno; però, per la Quartadecima proposta, uno a. è Quadruplo ad un c. Et questo è quello, che primieramente douea dimostrare. Ma perche a. b. c. è interuallo d'un Duplo raddoppiato; & il Duplo, per la Quarta definitione, è Molteplice; però seguita, che l'Interuallo a. b. c. sia interual-lo Molteplice raddoppiato. Ma i termini di qual si uoglia interuallo Molteplice raddop-piato, per la Quarta proposta, constituiscono la proportionalità Geometrica; adunque a. b. c. interuallo Duplo raddoppiato constituisce la proportionalità Geometrica. Et questo è quello, che secondo la proposta, ui douea secondariamente dimostrare. Sete arriuato alla Quadrupla, disse M. Adriano; non credo già, che uorrete passar più oltra; però c'hauerete più da dirci? Attendete pur Messere, risposi; che se ben non uoglio trappassare i termini della Quadrupla, non mancano le cose da proporui. Onde hora ui uoglio di-mostrare; come noi.

PROPOSTA XXIIII.

Potiamo ritrouar'un Termine minore, al quale potremmo assegnar quante proportioni Su-perparticolari vorremo.
page 61 QVESTO apunto mi piacerà di uedere, disse M. Claudio. Et io à punto son qui per satisfarui, gli risposi. Sia adunque il nostro principale intendimento, di ritrouar un Termine, ò Numero minore, al quale possiamo assegnar due, ò più In-terualli diuersi di proportione; & siano a. b. & c. d. le proportioni, che uogliamo assegna
re, contenute ne i lor termini radicali. Primieramente molteplico insieme b. & d. termi-ni minori de gli Interualli: a. b. & c. d. onde ne uiene e. il quale dico esser il Numero minore ricercato; percioche cauando primieramente, per la Quintadecima proposta, la parte di e. secondo 'l d. uiene f. il quale aggiunto con e. nasce g. Et perche g. contiene e. & u-na sua parte; come etiandio contiene al medesimo modo c. il d. però dico, per la Settima dignità, tanto esser la proportione di g. con e. quanta quella di c. con d. Cauo secondariamente, per l'istessa Quintadecima, al medesimo modo, la parte di e. secondo b. la qual uiene h. & questa aggiungo con e. onde risulta k. Ma perche k. contiene e. una fiata & una sua parte; come anco a. contiene al modo medesimo il b. però dico, per l'istessa Set-tima dignità, tanta esser la proportione di k. e. quanta quella di a. b. Et perche habbia-mo assegnate le Proportioni proposte a. b. & c. d. al numero e. però dico, che habbia-mo ritrouato un numero minore, al quale potiamo assegnar quante proportioni Super-particolari uogliamo; secondo la proposta. Et questo è quello, ch'io ui uolsi dimostrare. Vi uoglio anco auertire una cosa; che si può ritrouar cotale termine, il quale sarà il mag-giore; operando però tutto al contrario di quello, che habbiamo fatto à ritrouar'il minore; onde questa sarà la proposta.

PROPOSTA XXV.

Si può ritrouar'vn termine maggiore, al quale si potrà assegnar quante proportioni Super-particolari farà dibisogno.
A QVESTO, disse M. Claudio; Parmi uedere uno de quelli Contrapunti doppij, che uoi insegnate nelle Istitutioni;3. par. cap. 56. & 62. ilche molto mi diletta; però dimostrateci questa anco; poi che si procede al contrario della Precedente. Onde soggiunsi; Vo-lendo ritrouar'il proposto termine, dico: Sia il proposito nostro di ritrouar un Numero, ò
Termine maggiore, al qual si possa assegnare i termini minori de più Interualli differen-ti di proportione; & siano a. b. & c. d. constituiti ne i lor termini radicali. Molteplico pri-ma a. & c. maggiori termini delle proposte proportioni a. b. & c. d. & ne risulta e. Dico e. esser'il Termine maggiore, al quale potremmo assegnar le date proportioni a. b. & c. d. onde fatto questo, dopoi per la Quintadecima di questo nostro ragionamento, piglio la parte di e. secondo c. maggior termine della proportione c. d. la quale uiene f. questa cauo di e. & ne nasce g. Dico hora, per la Settima dignità, tra e. & g. esser quella medesima propage 62 portione, ch'è collocata tra c. & d. percioche tante fiate contiene e. il g. & una sua parte; quante fà il c. il d. Piglio di nuouo, per la nominata Quintadecima, la parte di e. secondo a. maggior termine della proportione a. b. & ne uiene h. ilquale cauo di e. & ne nasce k. la onde dico, per l'istessa Dignità, tanta esser la proportione di g. & k. quanta quella di a. b. percioche g. contiene tanto una fiata il k. & una sua parte; quanto fà a il b. Ma perche habbiamo assegnato al numero e. le proportioni proposte a. b. & c. d. secondo 'l pro-posito; però dico e. esser'il ritrouato numero, ò termine maggiore, secondo la proposta. Et questo è tutto quello, ch'io ui douea dimostrare. Ma auertite, che nella Precedente bisogna incominciare à giunger le Parti dalle proportioni, che hanuo [sic: hanno] minor denomina-tore; & in questa, da quelle, che l'hanno maggiore. Disse allora M. Claudio; Si può ben ueramente dire, che si proceda al contrario; & pur troppo mi son accorto nel dimostrar la proposta, che l'hauete osseruato; però dimostrateci qualch'altra cosa. Io uoglio ch'in-cominciamo hora, risposi; adoperar queste proposte; però ascoltate.

PROPOSTA XXVI.

Se da vn'interuallo Sesquialtero si leuerà il Sesquiterzo, quel che verrà sarà Sesqui-ottauo.
ET sia a. termine maggiore, ritrouato per la Precedente, al quale sia assegnato b. sesquiterzo, & c. Sesquialtero. Da a. c. cauo a. b. Sesquiterzo, lasciando da un canto b. c. il quale dico esser Sesquiottauo. Imperoche essendo a. Sesquialtero al c. a. contiene esso c. una fiata & la sua metà. Il perche, per la Duodecima di questo,
Due a. sono equali à tre c. & Quattro à Sei; & Sei à noue. Oltra di questo; perche b. è Sesquiterzo di a. adunque a. contiene in se il b. & una sua Terza parte; onde nasce, che, per la nominata Duodecima, Tre a. sono equali à quattro b. & Sei ad otto. Ma Sei a. so-no già equali à Noue c. adunque Otto b. sono equali à noue c. per la Decimaquarta adun-que; il b. contiene il c. & la sua ottaua parte; & b. e. per la 5. Definitione; Sesquiottauo al c. come ui douea dimostrare.

COROLLARIO.

Onde nasce, che l'interuallo Sesquiottauo è la differenza, per la quale il Sesquialtero sopr'auanza il Sesquiterzo interuallo.
page 63 QVESTA è cosa, disse M. Adriano; che si tocca con le mani, & non si può nega-re. Onde ripigliai dopo questo il mio ragionamento in questo modo. Dirò adunque aggiungendo la uentesimasettima proposta.

PROPOSTA XXVII.

Se dall'interuallo Sesquiterzo si leuerà il Sesquiquinto, quel che risulterà, sarà Ses-quinono.
SIA hora per la Ventesimaquintà [sic: Ventesimaquinta] proposta, a. il termine maggior ritrouato, al quale sia assegnato il b. Sesquiquinto, & il c. Sesquiterzo. Leuo da a. c. Sesqui-terzo, a. b. Sesquiquinto; lasciando da un canto b. c. & dico b. c. esser'Interuallo Sesquinono. Imperoche essendo a. Sesquiterzo al c. a. contiene il c. una fiata & una sua terza parte; onde Tre a. uengono equali, per la Duodecima proposta, à quattro c. Sei, ad otto; Noue, à dodici; Dodeci, à sedici; & Quindeci, à uenti. Simigliantemen
te, perche b. è Sesquiquinto alla a. però a. contiene una fiata il b. & una sua Quinta parte; onde, per l'istessa Duodecima, Cinque a. sono equali à sei b. Dieci, à dodici; & Quindeci, à diciotto. Ma Quindeci a. sono posti equali à Venti c. adunque Venti c. sono equali à Diciotto b. La onde, per la Decimaquarta proposta di questo nostro ragionamen-to, il b. contiene il c. & la sua Nona parte; adunque b. c. per la Quinta definitione, è Ses-quinono; come ui douea dimostrar, secondo la proposta.

CORROLLARIO.

Et de qui nasce, che l'interuallo Sesquinono è la differenza, che si troua tra la Sesquiterza & la Sesquiquinta proportione; per laquale quella viene ad esser'à questa superiore.
QVESTO aggiunto, disse il Viola; è tanto chiaro, che non hà dibisogno d'altra espositione; però al uostro bel piacere seguitarete quello, che più ui torna com-modo. Cosi son per fare, risposi; la onde dico; che, page 64

PROPOSTA XXVIII.

Se dall'interuallo Sesquiterzo si cauerà il Sesquiquarto, il rimanente sarà Sesquiquintodecimo.
QVESTA proposta dimostraremo à questo modo. Sia a. il termine minore, per la Ventesimaquarta, ritrouato. Faccio b. Sesquiquarto con a. & c. Sesquiterzo ancora con a. il che fatto, leuo b. a. Sesquiquarto, da c. a. Sesquiterzo; & lascio da un canto c. b. il perche quest'Interuallo; senza dubio alcuno, è Sesquiquintodecimo.
Onde dico; poiche c. uiene Sesquiterzo con a. c. contiene a. una fiata & la sua Terza parte; la onde, per la Duodecima proposta, tre c. sono equali à quattro a. sei, ad otto; no-ue, à dodeci; dodeci à sedeci; & quindeci, à uenti. Oltra di questo; perche b. con a. è Sesquiquarto; però b. contiene a. & una sua Quarta parte; onde auiene, per la detta Duodecima, che quattro b. sono equali à cinque a. otto, à dieci; dodici, à quindeci; & sedeci, à uenti. Ma Quindeci c. erano equali à uenti a. adunque sedici b. sono equali à quindeci c. Per la Quartadecima adunque già nominata, il c. contiene il b. & una sua Quintadecima parte; & c. per la Quinta definitione, è al b. Sesquiquintodecimo; come ui douea dimostrare.

COROLLARIO.

Onde è manifesto, che l'interuallo Sesquiquintodecimo è la differenza, che casca tra la Ses-quiterza & la Sesquiquarta proportione.
QVI il Sig. Desiderio, non è contraditione alcuna, disse; onde bisogna dire, che quando à questo ultimo Interuallo si aggiungerà il primo; che 'l secondo uerra ad esser integrato di tutta la sua proportione. Non ella cosi M. Gioseffo? Cosi è senza fallo, gli risposi; onde uerrò ad un'altra proposta. page 65

PROPOSTA XXIX.

Se da un Sesquiquarto si leuerà un Sesquiquinto interuallo, quello che nascerà sarà Sesqui-uentesimoquarto.
SIA a. termine maggiore, ritrouato secondo la Ventesimaquinta proposta. Pri-mieramente faccio b. Sesquiquinto con esso a. dopoi faccio c. etiandio con esso lui Sesquiquarto; & da a. c. cauo a. b. Sesquiquinto; onde resta da una parte l'in-teruallo b. c. il quale dico essere Sesquiuentesimoquarto; dimostrandolo à co-testo modo. Essendo a. Sesquiquarto al c. non è da dubitare, che a. contenga il c. & una
sua Quarta parte. Il perche dico quattro a. essere equali à cinque c. otto, à dieci; dodici, à quindeci; sedeci, à uenti; & uenti, à uenticinque. Et perche b. etiandio è Sesquiquin-to di a. però a. contiene il b. & una sua Quinta parte. Onde nasce, che cinque a. sono e-quali à sei b. dieci, à dodici; quindeci, à diciotto; & uenti, à uentiquattro. Ma perche hò detto, uenti a. essere tanto quanto uenticinque c. però dico ancora, che uentiquattro b. sono equali à uenticinque c. Et per la Quartadecima proposta simigliantemente dico, che il b. contiene il c. una fiata & una sua Ventesimaquarta parte. Onde b. c. uengono à contenere l'interuallo Sesquiuentesimoquarto; come ui douea, secondo quello, ch'io hò proposto, dimostrare.

COROLLARIO.

Onde auiene, che 'l Sesquiuentesimoquarto interuallo è la differenza di quanto il Sesquiquarto supera lo Sesquiquinto.
MARAVIGLIANDOSI grandemente il Sig. Desiderio della facilità & modo non cosi esposto da ogn'uno del dimostrare, disse; O' quanto sono chiare que-este dimostrationi; onde chi uolesse opponersi, per mia opinione, haurebbe grandemente del pazzo. Veramente, che cosi sarebbe, gli risposi; ma ueniamo pur'ad un' altra proposta. page 66

PROPOSTA XXX.

Se da vno de i Tre maggiori de i Quattro primi interualli Superparticolari, si leuerà qual si voglia de i tre minori; quel che nascerà, sarà etiandio Superparticolare.
SIANO a. e. a. d. a. c. & a. b. i Quattro Primi interualli Superparticolari; come a. e. Sesquialtero, a. d. Sesquiterzo, a. c. Sesquiquarto, & a. b. Sesquiquinto; assegnati, per la Ventesima quinta, al termine a. Et siano a. e. a. d. & a. c. i tre maggiori; & a. d. a. c. & a. b. i tre minori. Dico, sel si leuarà un de questi, sia qual si voglia, da uno de i tre primi; che quello che uscirà, sarà simigliantemente Superparticola
re. E' manifesto, per la Decimasettima di questo, gli interualli Sesquialtero & Sesquiterzo esser Massimi superparticolari; & per l'Ottaua dignità; l'interuallo Sesquialtero è mag-gior del Sesquiterzo; percioche anco il suo Denominatore è maggiore. Se noi adunque dall'interuallo Sesquialtero a. & e. il quale è il primo & maggior de i tre maggiori de i sudetti quattro Superparticolari, leuaremo il Sesquiterzo a. & d. che è il primo & maggio-re di ciascheduno de i tre minori; resterà d. & e. il quale dico, per la Ventesimasesta pro-posta, esser Sesquiottauo. Et perche d. contiene e. una fiata & una sua parte Aliquota; però, per la Quinta definitione, d. & e. uiene ad esser'interuallo Superparticolare. Hora se da a. & e. Sesquialtero leuaremo a. & c. Sesquiquarto, ilquale è il secondo de i minori; per il Corollario della Ventesima proposta; resterà c. & e. Sesquiquinto. Et perche c. contiene e. una fiata, & una sua Quinta parte; però, per la istessa Quinta definitione, c. & e. uiene ad esser collocato tra i Superparticolari. Ma se da a. & e. di nuouo cauaremo a. & b. Sesquiquinto, ultimo Interuallo de i minori; per l'istesso Corollario, ne uerrà b[unclear: .] & e. Sesqui-quarto, il quale medesimamente, per la Suppositione, è Superparticolare. Et que-sto sia detto intorno quello, che si può dire del Primo interuallo de i tre maggiori. Ma uenendo al Secondo dico; essendo a. & d. Sesquiterzo; se da lui cauaremo a. & c. Ses-quiquarto; quel che uerrà, per la Ventesimaottaua, sarà c. & d. Sesquiquintodecimo. Et perche c. contiene il d. & una sua Quintadecima parte; però, per la sudetta Definitio-ne, c. d. è interuallo Superparticolare. Ma se di nuouo da a. & d. Sesquiterzo cauaremo a. & b. Sesquiquinto; ne uerrà, per la Ventesimasettima, un Sesquinono; il quale dico es-ser'interuallo Superparticolare; percioche d. contiene una fiata il b. & una sua Nona parte. Vltimamente; se da a. c. Sesquiquarto leuaremo a. b. Sesquiquinto; per la Precedente, page 67 ne uerrà b. c. Sesquiuentesimoquarto. Et perche b. contiene il c. intieramente una fiata & una sua Ventesimaquarta parte, chiamata Aliquota; però b. c. per la detta Quinta defi-nitione, uiene connumerato tra gli interualli Superparticolari. Adunque; Se da uno de i tre maggiori de i quattro primi interualli Superparticolari, si leuerà qual si uoglia de i tre minori; quel che uerrà, sarà etiandio Superparticolare. Et questo è tutto quello, che secondo la proposta ui douea dimostrare. A questo M. Adriano tutto allegro disse; Que-sta dimostratione mi è molto piaciuto, perche hà dell'ingegnoso; però seguitate pur'un'altra; che queste cose non mi lasciano sentir dolore alcuno. Mi piace Messere, dissi; che questi Ragionamenti seruino per medicina al uostro male; però molto uolentieri uoglio se-guitare, & dimostrarui; che,

PROPOSTA XXXI.

Se da un'interuallo Sesquiottauo si leuerà il Sesquinono, il rimanente sarà Sesquiottan-tesimo.
SIA a. il termine maggiore, ritrouato per la Ventesimaquinta; & sia a. b. Sesquinono, & a. c. Sesquiottauo. Leuo da a. c. l'interuallo a. b. onde ne resta b; c. il quale dico infallibilmente esser Sesquiottantesimo; percioche, essendo a. c. Sesquiottauo; a. contiene il c. una fiata & la sua Ottaua parte; Onde per la Duodecima di questo, Ot
to a. sono equali à noue c. Sedici, à diciotto; & proportionatamente ascendendo (per non andar'in lungo) Ottantauno c. sono equali à Settantadue a. Di nuouo dico; perche a. è Sesquinono di b. contiene a. il b. una fiata, & la sua Nona parte. Onde auiene, per la sudetta Duodecima, che Noue a. sono equali à dieci b. Diciotto, à uenti; & cosi (ascendendo con l'istessa progressione, & con l'istess'ordine) Settantadue a. saranno equali ad Ottanta b. Ma habbiamo già detto, che Settantadue a. sono equali ad Ottantauno c. adunque Ottantauno c. sono tanto, quanto Ottanta b. Il b. adunque contiene il c. una fiata & la sua Ottantesima parte. Et b. c. come ui douea dimostrare, è interuallo Sesquiottantesimo; secondo che si è proposto. page 68

COROLLARIO.

Onde manifestamente appare, che l'interuallo Sesquiottantesimo sia la differanza, che si troua tra 'l Sesquiottauo & il Sesquinono interuallo.
MA perche è cosa, che si tocca con le mani; però passaremo ad un'altra dimostratione, laquale sarà la sequente.

PROPOSTA XXXII.

Se dall'Interuallo Sesquiquintodecimo si leuerà il Sesquiuentesimoquarto, quel che sopr'auanzerà sarà Supertripartientecentesimouentesimoquinto.
SIA, per la Ventesimaquarta di questo,a termine, al quale sia assegnato b. Sesquiuentesimoquarto, & c. Sesquiquintodecimo. Dico, che cauando b. a. interuallo Sesquiuentesimoquarto da c. a. Sesquiquintodecimo, ne rimane-rà c. b. il quale è Supertripartiente 125. Imperoche c. contiene a. & una sua Quintadecima parte; onde, per la Duodecima proposta, Quindeci c. sono equali à sede ci a. Trenta, à trentadue; Quarantacinque, à quarantaotto; & cosi ultimamente, accrescendo secondo l'Arithmetica progressione, Trecento settantacinque c. saranno equali à Quattrocento a. Et perche b. a. è Sesquiuentesimoquarto; però b. contiene a. & una sua Ventesimaquarta parte; onde nasce, per la sudetta Proposta, che Ventiquattro b. sono e-quali à uinticinque a. Quarantaotto, à cinquanta; & cosi per Arithmetica progressione, per non andar più di lungo; Trecento ottantaquattro b. sono equali à Quattrocento a. Ma habbiamo già detto, che Trecentosettantacinque c. sono equali à Quattrocento a. adunque Trecentoottantaquattro b. sono equali à Trecentosettantacinque c. Et per la Quartadecima proposta, dico; che 'l c. contiene il b. una fiata & tre centesimeuentesime
page 69 quinte parti; onde c. per la Definitione de i Superpartienti, è Supertripartiente 125. al b. Ilche si può facilmente scorgere da i termini radicali di c. & b. i quali sono d. & e. acquistati dalla diuisione del Ternario, secondo 'l modo mostrato nel Cap. 43. della Prima parte delle Istitutioni, ne i termini c. b. a. onde nasce d. e. f. che sono Numeri Contrase-primi; & per la Nona Definitione, Radice delle proportioni c. b. a. Il perche; Se dall' interuallo Sesquiquintodecimo si leuerà il Sesquiuentesimoquarto, quel che uerrà, sarà Supertripartiente centesimouentesimoquinto; Come ui douea dimostrare.

COROLLARIO.

Ond'è manifesto, che l'interuallo Supertripartiente centesimouentesimoquinto è la differenza, che si troua tra lo Sesquiquintodecimo, & lo Sesquiuentesimoquarto; Et che l'interuallo Sesquiquintodecimo è reintegrato dal Sesquiuentesimoquarto & dal Supertripar-tiente centesimouentesimoquinto; come da sue parti.
IO sò & sento insieme, c'hormai sarebbe hora di dar fine à questo nostro Ragio gionamento [sic: Ragionamento]; percioche è molto tempo, che siamo adunati in questo luogo, & hormai son stanco per il molto ragionare; ma di gratia non ui rincresca l'ascol-tarmi ancora un poco; Percioche desidero di finir di dimostrarui alcune cose, per non hauer poi al nostro ritorno da far'altro, che dar principio à quello, ch'è il nostro princi-pale intendimento, applicando tutte queste dimostrationi fatte fin'hora, & quelle poche, ch'io son per dimostrarui, alle Consonanze & à tutti quelli Interualli, che sono nella Mu-sica; essendo che queste sono come fondamento de quelle cose, che ui son per dire. Io non desidero altro, disse il Sig. Desiderio; se non di udirui ragionare; perche mi pare, che queste hore siano ben spese; & uoi credete, che m'habbia da rincresciere? seguitate pur quel che ui piace, che tutti noi ui ascoltiamo uolentieri; perche in uero tutta la fati-ca è uostra. Questa non mi è fatica, risposi; anzi piacere: la onde poi che non ui rincre-sce, Seguiterò à dar fin'à quello, che dir ui uolea; il perche dico; che,

PROPOSTA XXXIII.

Il Restante d'una Parte maggiore, dalla quale ne sia cauata vna minore à lei più vicina, ò con-tinua di qual si voglia Interuallo, aggiunto alla seconda, produce la prima.
BISOGNA che prima ci dichiarete la proposta, disse il Merulo, perche mi par dif ficile; & dopoi che ce la dimostriate. E' cosa honesta, dissi; però attendete. Vo-glio dire; per farui capaci di questa cosa con un particolar'essempio; che se da una Terza parte di qual si uoglia Interuallo, leuarete la Quarta, che l'è minore & continua, ò uogliate dir' uicina; quel che uerrà, che sarà il restante; aggiunto alla Quarta parte fa-rà medesimamente la Terza. Et che questo sia uero, lo uederete prima in prattica; dopoi ve lo dimostrerò, acciò lo sapiate, come saper si debbe. Quando adunque uorrete ca-uare 1/4 di 1/3; che sono parti propinque l'una all'altra; prima molteplicarete cambieuol-mente il Numerator dell'una co 'l Denominator dell[unclear: ']altra; ilche fatto, uerrà 3. & 4. che saranno i Numeratori delle due parti, che nasceranno, simili alle parti proposte. Dopoi molteplicarete i Denominatori delle proposte parti insieme, & ne uerrà 12. ilquale sarà il Denominator de i detti due Numeratori; Percioche altro non è quel ch'io hò operato fin[unclear: ']hora, che un ridur molte parti de diuersi Denominatori, sotto un solo. Onde da co- page 70
molteplicatione nasceranno & 3/12 & 4/12; de i quali il primo corrisponde à 1/4 , & il secon-do à 1/3. Fatto questo, cauareteli 3/12 de i 4/12, & ne uerrà senza fallo1/12; il quale s'aggiungerete à 1/4, hauerete 1/3. Il che ui uerrà fatto, quando molteplicherete i Numeratori di 1/12 & di 1/4 scambieuolmente, per i Denominatori; sommando insieme i prodotti, & molteplicando etiandio l'un per l'altro i Denominatori; ponendo il prodotto di questi sotto una linea, & quello di quelli sopra; come uedete nell'essempio, che ui hò formato, accioche piu facilmente m'haueste da intendere. Hora potrete dire, che cauato 1/4 di 1/3, ne uiene 1/12; il quale aggiunto ad 1/4 rende di punto 1/3. Et questo si fà manifesto con la Dimostratione, per tal modo. Se Tre terze parti d'un Interuallo fanno tutto l'Interual-lo intiero, il che fanno etiandio Quattro quarte parti, ò Dodici duodecime parti; Tre terze parti, & quattroquarte [sic: quattro quarte] parti, simigliantemente Dodici duodecime parti sono traloro equali. Onde auiene, che 2/4 sono equali à 6/12, & 1/4 à 1/12 & 2/3 sono anco equali à 1/12, & 1/3 à 4/12. Imperoche, per la Duodecima dignità; De quelle cose, delle quali i Tutti sono equali, equali etiandio sono le Metà loro. Ma 4/12 sono 1/3; adunque sono una Terza parte di tutto l'Interuallo, al quale Dodici duodecime sono equali, & con esso sono una cosa istessa. Però adunque 1/4 minor parte di tutto l'Interuallo, ch'è equale (come è mostrato) à 3/12, & 1/12 aggiunto ad 1/4, restituiscono 1/3; il quale è la parte maggiore di esso Interuallo. Sono adunque l/4 & 1/12 equali ad un Terzo; come ui hò mostrato. Onde il restante d'una parte maggiore di qual si uoglia Interuallo, dalla quale sia cauata una minore à lei piu uicina, ò continua, aggiunto alla seconda, produce la prima. Et que-sto è quello, che secondo la proposta, dimostrarui douea. Et ancora che questa dimostratione sia ristretta in un particolare; tuttauia si uerifica uniuersalmente in due qualunque si uogliano parte propinque & nell'Vniuersale, come sono una Quarta & Quinta parte; perche aggiunto una Ventesima alla Quinta parte, uiene una Quarta intera. Simigliantemente aggiunta una Sesta parte & una Trentesima, ne nasce una Quinta; il che si po-trebbe anco dir dell'altre, le quali lascio per breuità. Il Merulo; hauendo io dato fine à questa dimostratione; allora disse; Questo intendo hora benissimo, & ui ringratio della fattica, c'hauete fatto à mia istantia. Al quale soggiunsi; Accioche uediate à che pro-posito habbia introdotta questa proposta, hora lo mostrerò, & dirò in questa maniera.

PROPOSTA XXXIIII.

Due interualli Sesquiottaui sono minori d'un Sesquiterzo, & maggiori d[unclear: ']un Sesqui-quarto.
SIANO adunque a. b. & b. c. due interualli Sesquiottaui, l'un dopo l'altro, per la Prima proposta di questo, molteplicati; di modo che a. b. sia il primo, & b c. il secondo, a i quali (per più facilità) corrispondino l. k. h. ancora per la Decimasesta, due interualli Sesquiottaui moltiplicati tra i Numeri composti; cioè h. ad. a. k. al b. & l. al c. Et sia anco a. & d. interuallo Sesqui 3. & a. come. Sesqui 4. Dico a. c. esser minor'Interuallo di a. d. & magpage 71
giore di a. e. La onde perche a. è Sesquiottauo col b. però, per la Duodecima, Otto a. so-no equali à noue b. Simigliantemente, perche b. è Sesquiottauo al c. per l'istessa Duode-cima, Otto b. fanno tanto, quanto noue c. Ma essendo (per la 14. proposta) un de i b. equale ad un de i c. & ad una sua Ottaua parte; 9. b. uengono equali à 10. c. & ad una Ottaua parte, d'esso c. Habbiamo però detto, 9. b. esser'equali ad 8. a. adunque 8. a. sono equali à 10. e. & ad 1/8 parte. Ma 10. & 1/8 contengono 8. una fiata & 17/64. che sono una sua Quarta parte con 1/64. adunque per l'istessa Quartadecima proposta, uno a. contiene un c. & una sua Quarta parte con 1/64. Et una Quarta parte con 1/64 sono il Denominatore dell'Inter-uallo de due Tuoni molteplicati; & per l'Ottaua Dignità; minor di 1/3 parte, ch'è il De-nominatore del Sesquiterzo, & maggior di 1/4. ch'è Denominatore del Sesquiquarto. Imperoche, come anco particolarmente dimostrai nella Precedente 1/4 & 1/12. fanno una Terza parte, ch'è maggiore, per l'istessa Nona Dignità, che non è 1/4 & 1/64 come questa è maggior della Quarta parte; percioche la supera per 1/64. La onde, perche 10. & 1/8 parte, con 8. per la Sestadecima proposta, sono due Sesquiottaui insieme moltiplicati tra i Numeri composti; però potiamo concludere, che due Sesquiottaui sono minori d' un Sesquiterzo, & maggior d'un Sesquiquarto interuallo; come bisognaua dimostrare. Questo non si può negare, disse M. Adriano. Ne questo anco, soggiunsi io, si potrà negare; cioè, che,

PROPOSTA XXXV.

Tre interualli Sesquiottaui sopr'auanzano un Sesquiterzo, & sono minori d'un Sesquialtero.
IL che si proua in questo modo. Siano a. b. c. d. tre interualli Sesquiottaui congiunti, per la Prima di questo; di modo che a. b. sia il primo, b. c. il secondo, & c.d. il terzo. Et siano anco h. k. l. m. tre Sesquiottaui per la Decima sesta, moltiplicati tra i Numeri composti, di modo che 'l maggior de questi corrispondi al minor de i primi; & per ordine, il minore al maggiore. Dico primieramente a. d. esser maggior d'un inter-uallo Sesquiterzo; percioche essendo a. b. & b. c. due Sesquiottaui, per la Precedente; per la Duodecima 8. a. sono tanto quanto 10. c. & 1/8 parte. Ma c. anco è Sesquiottauo al d. per la detta Duodecima adunque; 8. c. sono equali à 9. d. & 9. c. sono equali à 10. d. & 1/8 sua parte; & anco 10. c. & 1/8 numero composto è equali ad 11. d. & 25/64 pur composto. Ma poi che 8/8 di c. contengono 9/8 di d. adunque, per la Quartadecima proposta, 1/8 di c. contiene 1/8 di d. & la sua Ottaua parte, ch'è 1/64. Adunque 10. c. & 1/8 sono equali à 11. d. & 25/64, che sono 3/8 & 1/64. & per la Decimaquarta nominata; si come 11. 3/8 & 1/64 sono in proportione ad 8. cosi si troua esser'a. con il d. Ma 11. contiene una fiata 8. con 3/8 & 1/64. Et queste parti col resto, che sono Denominatori dell'Interuallo, che fanno i quattro Tuoni proposti; per la Nona dignità, sono più della Terza parte del Denominator loro Adunque necessariamente seguita; che [unclear: 3/8] con 1/64 siano più della sudetta Terza parte. Imperoche 11. page 72 & 3/8 di uno & 1/64 contengono gli Ottaui una fiata & più della Terza parte loro. Onde seguita, che a. contien d. & più d'una sua terza parte. Et perche a. con d. ouer h. con m. per la Decimasesta proposta, sono tre Sesquiottaui insieme aggiunti; però tre Sesquiottaui sono più d'un Sesquiterzo interuallo. Secondariamente dico a.d. esser minore del Sesquialtero; essendoche 11. contiene 8. & i suoi 3/8; adunque manca 1/8 al compimento di 4/8, i quali sono la metà de i Otto; che è il Denominatore dell'interuallo Sesquialtero. Ma quelle parti, che superano, sono i 3/8 di 1/8 & 1/64, & fanno meno della metà di 1/8; ilche anco minormente faranno. 1/8. Adunque 11. & 3/8 & 1/64 di uno contengono 8. una fiata & meno che la metà di 8/[unclear: 8] parti. Adunque, per la Quartadecima nominata, a. con-
tiene il d. & meno de la sua metà. Il perche ne segue, che l'Interuallo a. d. sia minor d'un Sesquialtero. Et questo è tutto quello, che in tal proposta bisognaua dimostrare. Que-sta è stata una lunga diceria, disse il Viola; & bisogna che tanto colui, che ascolta, quan-to quel che dimostra, stia in ceruello; altramente le cose non passariano troppo bene. In fatto, rispose M. Adriano; il commemorar tante parti contante minutie, fanno un gran garbuglio à quelli, che non hanno molta prattica de i Numeri. Soggiunse à questo il Sig. Desiderio; Veramente, che colui, ilquale non hà prattica delle cose dell'Arithme-tica, non può ben intender le cose della Musica. Et però non è da marauigliarsi, s'alcu-ni de i uostri Musici; dico de i bassi d'ingegno & di grosso & ottuso intelletto, non la uogliono assaggiare; anzi la sprezzano; Et questo auiene per la lor dapocaggine. Ma bisogna hauer patientia; però non perdiamo tempo intorno à costoro. Voglio adunque dis-si; che uediamo; che,

PROPOSTA XXXVI.

Se saran posti per ordine Tre termini, la proportione, che si troua tra gli estremi, sarà maggior, che quella di ciaschedun di loro da persè co 'l Termine mezano.
ET accioche intendiate questa, ch'è facile, state attenti. Siano a. b. c. Tre termini posti per ordine; dico che maggior'è la proportione, che si troua tra a. & c. ter-mini estremi, che non è quella di b. mezano termine con a. oueramente con c. Imperoche essendo, per la Quarta dimanda, la proportione de gli estremi a. & c. com-
posta delle proportioni a. b. & b. c. come da sue parti; laproportione a. b. & la b. c. sono parti della a. c. & la a. c. è il Tutto. Ma perche, per l'Vltima dignità, Ogni tutto è mag-page 73 gior della sua parte; però è maggior la proportione di a & c. che non è quella di a & b. ouer di b & c. come dice la proposta. Et questo è quello, che dimostrarui uolea. Et questa maniera d'argomento seruirà ad ogni proposta simile. Veramente, disse M. Adriano, ch'è bella, & anco; com'hauete detto, è facile molto; onde assai mi piace. Però se-guitate 'l resto. Voglio che hora dimostriamo; soggiunsi; che

PROPOSTA XXXVII.

Quattro interualli Sesquiottaui adunati insieme superanno l'interuallo Sesquialtero.
ET ciò si può prouare in cotal modo. Siano a. b. c. d. e. per la Prima di questo, quattro Interualli insieme congiunti; & sia ab. il primo; bc. il secondo; cd. il terzo: & de. il quarto. Et siano etiandio h. K. l. m. n. quattro Sesquiottaui, per la Decimasesta proposta, insieme adunati; di modo che h. corrispondi ad a. K al b. l al c. m al d. & n ad e. Dico hora, che l'Interuallo ae. si ritroua esser maggior dell'interuallo Sesquialtero. Imperoche, come hò dimostrato nella penultima. 10. a. sono tanto quanto undeci d. & 25/64. Et Vndici d. & 25/64 sono equali à dodici e. & 417/512 Adunque Ot-
to a. sono equali à dodici e, & 417/512. Ma 12. con 417/512 contengono 8. una fiata, & più della metà d'Otto ottaue parti; percioche 12. contengono 8. una fiata & la sua metà; Onde, per la Definitione, sono in proportione Sesquialtera; ma il 12. oltra di questo contiene la 417/512 parte di Vno; onde, per la Precedente, haurà maggior proportione 8. con 12 & 417/512 numero composto; che non haurà con 12. numero semplice. Onde, per la Quartadecima proposta, a. contiene e. una fiata & più della sua metà. Et essendo a & e. Interuallo congiunto de quattro sesquiottaui; quattro Sesquiottaui insieme adunati superano l'Interuallo Sesquialtero; com'era il proposito di dimostrarui. Credo; disse allora M. Claudio; che si potrà dimostrar, che cinque Sesqiuiottaui sono minori (come sono cer-tamente) d'un interuallo Duplo. Questo si può anco dimostrar per questa strada; risposi; ma io per schiuar la lunghezza, uedrò di tener altro mezo, di quel ch'io ho tenuto di sopra. Et qual mezo sarà questo? disse M. Adriano; onde io risposi; Ascoltate prima la Proposta, Messere; & dopoi udirete la dimostratione.

PROPOSTA XXXVIII.

Cinque interualli Sesquiottaui posti insieme non fanno l'interuallo Duplo.
page 74 QVESTA è la proposta; & la Dimostratione procederà in questo modo. Habbia-mo già dimostrato nella Decimasettima proposta, che l'interuallo Duplo si fà di due maggiori interualli Superparticolari, i quali sono Sesquialtero & Sesquiter-zo. Ma per la Trentesima quinta proposta Tre interualli Sesquiottaui, sono minori d'un Interuallo Sesquialtero; & due, per la Trentesima quarta, sono minori d'un'Interuallo Sesquiterzo; adunque tutti insieme aggiunti sono minori d'un Interuallo Duplo; come dice la Proposta. Io staua pur à ueder, disse M. Francesco; doue poteua uscir un'altro modo differente dimostrati; ma mi hauete satisfatto benissimo; percioche è bello, fa-cile, & breue. Et credo, che (come già dicesti) quanti sono i mezi, tante siano le Dimostrationi; però, uorrei sapere, se questa ancora si potesse dimostrare in un'altro modo. Si può ueramente, risposi, & in questa maniera. Siano a & f. gli estremi termini di cin-que interualli Sesquiottaui, per la Prima di questo, adunati insieme; oueramente siano h & o. medesimamente cinque Interualli Sesquiottaui molteplicati, per la Decimasesta, tra numeri composti; di modo che h. corrispondi con a. & o. con f. Sia oltra di questo p. il quale con a. contenga l'Interuallo Duplo. Dico, che a. & f. non fanno cotale Inter-uallo; percioche, per la Trentesima sesta proposta, è maggior la proportione, che si tro-ua tra a. & p. due estremi, che non è quella laquale si troua tra un'estremo & un mezano
termine. La onde essendo a. & f. cinque Interualli Sesquiottaui aggiunti insieme, & a. con p. l'Interuallo Duplo; seguita che cinque interualli Sesquiottaui posti insieme non faciano quest'Interuallo, come douea dimostrare. Ancora ui uoglio dire; perche a & f. sono cinque Interualli Sesquiottaui; & a. p. ènterual lo [sic: è Interuallo] Duplo; essendo che a. contie-ne f. solamente una fiata con 3/4 parti, & di più 1705/4096, le quali parti aggiunte insieme non arriuano all'intero di esso p. ch'è il termine della Dupla; de qui nasce, che cinque interualli Sesquiottaui aggiunti insieme non fanno un'interuallo Duplo; come dice la Proposta. Ma per dar fine à questo ragionamento, ui dico; che

PROPOSTA XXXIX.

Sei interualli Sesquiottaui sono maggiori d'un'interuallo Duplo.
HORA mi accorgo; disse il Signor Desiderio; doue tende 'l uostro pensiero; perche credo, che uogliate prouar questa proposta contra l'opinione d'Aristosseno, & riprobar, che Sei tuoni (com'ei teneua) facessero una Diapason. Cosi è uera-mente; dissi; ma ueniamo al proposito della proposta. Sia a & g. interuallo, che contenga Sei sesquiottaui congiunti; di modo che ab. sia il primo; bc. il secondo; cd. il Terzo; de. il Quarto; ef. il Quinto; & fg. il Sesto. Et siano anco h. K. l. m. n. o. p. simiglian-temente Sei sesquiottaui interualli, molteplicati, per la Sesta decima, tra Numeri composti; & accommodati di maniera, che h. corrispondi ad a. per ordine, & p. al g. Dico che ag. è maggior d'uno interuallo Duplo. Et perche ab. è Sesquiottauo; però, per la Duodecima proposta, 8. a. sono equali à 9. b. &, per l'istessa, sono equali à 10. c. & 1/8 Et per la Trentesima quarta, 10. c. & 1/8 sono equali ad 11. d. & 25/64. Et, per la Trentesimaquinta, 11. d. con 25/64. sono equali à 12. e. & 417/512. Simigliantemente 12. page 75 e. col resto sono equali à 14. f. & 1705/4096; & tutta questa somma è equale à 16. g. & 7153/32768. On-de 16. con 7153/32768 contengono 8. due fiate & anco più; di modo che per la Quartadeci-
ma
, & per la Trentesima sesta proposta, ag. si troua esser maggiore dell'Interuallo Duplo. Sei Sesquiottaui adunque congiunti insieme sono maggiori d'un'interuallo Duplo; com' era 'l mio proposito di dimostrarui. Et qui con la uostra buona gratia uoglio far fine per hoggi di ragionar più alcuna cosa della Musica; percioche hormai son stanco. Hauete mol-to ben ragione; disse M. Adriano; & credo che sia cosi; Ma queste ultime dimostratio-ni mi paiono molto difficili da mandare alla memoria, & che habbiano dibisogno di molto essercitio delle Mathematiche. Sono ueramente difficili Messere; dissi io; ma quan-do si possederà bene la Duodecima proposta, & le due sequenti, allora il tutto parerà fa-cile. Ma qui stà il peso della cosa; che uolendosi far patroni de queste Dimostrationi, bisogna affaticarsi & essercitarsi; non solamente nel porre insieme molte Proportioni d'un solo genere; ma etiandio de gli altri; raccogliendo molte parti insieme, & diuidendo l'una per l'altra, & facendo molt'altre cose simili; percioche cosi facendo, si uiene à far la pratti-ca; onde nel dimostrar, non lasciano parer le cose tanto strane. Ma non più di questo; di gratia; perch'io credo, che ancor uoi hormai tanto sete stanchi di ascoltarmi, quant' io di ragionare. Può ben essere, disse M. Francesco; che siamo stanchi, ma non già sa-tij; essendoche troppo diletteuole & troppo utile è l'imparare. Diciamo pur quello ch'è ueramente; soggiunse M. Claudio; l'hora è tarda, & il tempo non ci concede, ch'andiamo più oltra. Quanto poi alla stanchezza, non credo ch'alcun di noi si possa chiamar stanco; essendo stata la fatica tutta di M. Gioseffo. Questo è pur troppo uero; aggiunse M. Adriano; ma ui prego à farmi questo fauore, di ritornar dimane all'hora, che sete uenuti hoggidì à uedermi; poi ch'io non mi posso partire, come uedete; perche se mi fusse concesso, uerrei à ritrouar uoi. Et questo dico; accioche potiamo udire il fine di questa cosa, & non lasciamo l'incominciata opera imperfetta. Cosi faremo Messere dis-si; rimaneteui adunque in pace. La onde M. Adriano soggiungendo; Andate tutti ch'Iddio u'accompagni; tutti noi partissemo insieme, & ciascuno andò per diuerse strade al suo alloggiamento.
Il fine del Primo Ragionamento.
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DIMOSTRATIONI HARMONICHE DEL REV. M. GIOSEFFO ZARLINO DA CHIOGGIA, Maestro di Cappella della Serenissima Signoria DI VENETIA: RAGIONAMENTO SECONDO.

SECONDO l'ordine dato, un poco più per tempo, il seguente giorno ritornassimo à casa di M. Adriano; per cagione di seguitare i nostri diletteuoli & utili già incominciati ragionamenti. Onde hauendosi prima discorso sopra diuierse cose, ragionate 'l giorno inanti; quan-do mi parue tempo, con licentia de tutti, incominciai à parlare in cotal guisa. Io conosco Signori miei da molti segni, & massima-mente da questo; che inanzi l'hora costituita il giorno precedente insieme ui sete adunati; che i nostri Ragionamenti passati ui siano piaciuti. Il che etian tiandio [sic: etiandio] heri lo conobbi dalla patientia, c'haueste in ascoltarmi; però penso di dirui hoggi cose, che maggiormente ui dilettaranno; percioche entraremo à ragionare un poco più particolarmente della Musica; Essendo che 'l ragionamento hauuto heri fù in-torno al dimostrarui molte cose de Numeri & Proportioni; Ma hoggi descenderemo à dare una cognitione particolare de gli Interualli Musicali, & à dimostrarui in qual ma-niera nascono i consonanti, & anco i dissonanti, i quali seruono alle compositioni delle nostre Cantilene; & sarui conoscere, quanta differenza si troui tra quelli, che usauano gli Antichi, i quali erano minori della Diatessaron, tenuti da loro per dissonanti, & quelli che usiamo al presente. Onde potrete dopoi conoscere in quanto errore siano quelli, ch'à i giorni nostri credono, & ostinatamente affermano, che tali Interualli da gli An-tichi prohibiti entrino nel numero delle nostre Consonanze. Le quali cose spero dimo-strar tanto facilmente, & tanto chiaramente, ch'ogn'un de uoi potrà restar satisfatto. Et s'alcun de uoi hebbe mai opini one [sic: opinione] contraria, da quel che son per dirui & dimostrar-ui; son certo che si ridurrà à creder quello, ch'è uero, & che in fatto non può esser altra-mente; & si leuarà dal credere il falso. Qui incominciò il Viola à dire; Fin hora si può troppo ben conoscer l'errore de questi tali, quando si hà inteso quel c'hauete scritto nelle Istitutioni; percioche tanto manifesto appare, che non hà dibisogno d'altre dimostrationi. Alle quali parole, uoltatosi M. Claudio uerso M. Adriano, soggiunse; Che direte uoi di questo Messere; ch'alcuni, forse per parer d'intender meglio di ciaschedun'altro le cose della Musica; quando odono dire, che noi adoperiamo il Semituono maggiore nelle nostre compositioni, & non il minore; simigliantemente, quando odono far la dif-ferenza di Tuono maggiore & di minore; mostrano di merauigliarsi di queste cose; il che fanno ancora, quando odono dire, che i Modi, ò Tuoni arriuano al numero de Dodi-ci; quasi, che non fussero uere, & che non fussero state dimostrate da M. Gioseffo otti-page 77 mamente; & che la cosa non fusse tanto chiara, ch'ogn'un di mediocre intelletto potesse esser capace; ma consistesse più presto in opinione, che in altro. Non ui fate marauiglia disse M. Adriano; di questo perche si trouano etiandio alcuni, i quali se ben non si posso-no numerar tra gli ignoranti; almeno si possono porre tra i Maligni; che quando cono-scono, ch'una cosa sia per apportar qualche utile & qualche honore ad alcuno per scie-mar le laudi che gli conuengono; da una certa loro passione uinti; più tosto uogliono con lor biasimo & contra la conscienza loro occultar'il uero & contrastare; che affirmar quel-lo, che sentono nell'animo non esser falso. Questa è una mala razza d'huomini Messere, disse il Viola; Ma che direte de quegli altri, che non potendo apertamente biasimare il buono; perche uedono, che in fatto non gli riuscirebbe il lor pensiero; cercano d'offus-care in qualche parte la gloria di coloro, che per qualche buona opera fatta, la merita-no; col lodarli frigidamente insieme con l'operationi loro; ch'è peggio assai; come so-leua dir Fauorino appresso Aulo Gellio;Lib. 19. Cap. 3. che s'apertamente le biasimassino; oueramen-te almeno col lodare estremamente l'opere di qualchedun'altro; quantunque conosca-no, che non meritano laude; & tutto fanno à fine d'abbassarli, se ben si ritrouano esser presenti. Ancora, s'altro non sanno fare, lodano almeno tanto gli Antichi, quantunque non habbiano cognitione delle cose loro; che con ogni lor potere cercano di leuar quel poco di riputatione, che i Moderni s'hanno delle buone opere loro fatto acquisto. A costoro si conuiene soggiunse M. Adriano; quel bel detto d'Horatio, il qual torna benissimo à questo proposito de cotali Huomini rabiosi, inuidi, ignoranti & maligni; quando dice:Epistol. lib. 2. Epist. 1. Iam saliare Numae carmen, qui laudat, & illud,
Quod mecum ignorat, solus uult scire uideri.
Ingenijs non ille famet, plauditque sepultis:
Nostra sed impugnat; nos, nostraque liuidus odit.
Veramente Messere, che uoi sete un buon scolare; dissi; perche ui hauete tenuto molto bene à memoria la lettione, ch'io già ui lessi sopra questi Versi; à proposito de quei maligni, che cantando una fiata le uostre compositioni, le biasimauano molto; lo-dando fuor d'ogni proposito grandemente quelle di Giosquino con parole; ma con i fatti, al lor dispetto lodauano uoi, & ueniuano à biasimare il lodato; percioche ne i con-serti loro non adoperauano cosa alcuna di Giosquino, ne d'alcuna sua cosa se ne serui-uano, ma si ben delle uostre; il che ui è di somma laude. Onde ui dico, che questo Ho-ratio è stato & è un gran Poeta. Vedete, com'egli ci pone auanti gli occhi questa mala generatione d'huomini dipingendoci la lor natura; perch'ancora lui à i suoi tempi da simil Gente inuida, maligna, & peruersa era bersagliato. Ma di gratia non parliamo più cosa alcuna di costoro; percioche non uoglio c'habbiamo da far con loro; & desi-dero, che ritorniamo à ragionar di quelle cose, delle quali heri incominciassemo il nostro ragionamento. Sarà ben fatto M. Gioseffo; disse il Signor Desiderio; & incominciarete da quello che ui torna più commodo. Ripigliai adunque il mio ragionamento in questo modo. Hauendoui à ragionar de quelle cose, che fanno alla cognitione delle Con-sonanze, & anco delle Dissonanze, & à dimostraruene molte, che accascano intorno ad esse, secondo la uerità, & come la Scienza richiede; è necessario il porui prima inanzi quei Principij, da i quali dipendono tutti i nostri Ragionamenti, & dichiararui quel ch'importino alcuni termini, & il Nome d'alcuni Interualli usati nella Scienza; ancora che della maggior parte de loro ne habbiate acquistato la cognitione, col mezo delle Istitutioni; accioche per auentura non procediamo per cose non conosciute. Et ciò non sarà senza utilità; percioche non resterò di dichiararui alcune cose, & aprirui alcuni secreti, che ui saranno di gran contentezza & giouamento. Et per non andar molto in lungo, darò principio alla definitione della Consonanza; laquale (com'altroue hò det-to) è primieramente dal Musico considerata; & dopoi dirò quel che sia la Dissonanza, ch'è il suo Opposito, ò contrario; la qual'è considerata nel secondo luogo, & per acci-dente. Ma auanti, che passiamo più oltra, ui uoglio fare un poco di discorso, che ui sarà page 78 di grande utile, & forse non più udito in questo proposito; & tornerà bene, per poter ri-soluere alcune cose, che ui son per dimostrare. Attendete adunque prima, & dopoi uer-remo senza por tempo di mezo, à por le Definitioni l'una dopo l'altra. Dico adunque incominciando, che la Oppositione, secondo 'l Filosofo,Prd. Trat. 3. cap. 1. si troua esser de Quattro ma-niere; acciò sappiate per qual cagione hò detto, che la Dissonanza è opposita ò contra-ria alla Consonanza; come è, Relatiua, Contraria, Priuatiua, & Contradittoria. Ma perche la prima & le due ultime non fanno al nostro proposito; però le uoglio lasciar da un canto, & dir solamente della Seconda; la quale non è altro, che la Ripugnanza de due contrarij, che non conuengono insieme in un'istesso Soggetto; ma per lor natu-ra l'un scaccia ò destrugge l'altro. Et questi Contrarij sono de due maniere; percioche ouer che sono mediati, oueramente immediati. I primi sono quelli che riceuono alcu-ni mezi ne i loro estremi; come tra 'l Nero & il Bianco molti mezani colori. Onde non è necessario sempre, che l'un de i due estremi sia nel soggetto; percioche 'l Corpo può es-ser Rosso, ò Verde, ò di qualch'altro colore; se ben non è Nero, ò Bianco. Ma i Secondi sono quelli, che non riceuono cosa alcuna mezana dell'istesso Genere; com'è la Sani-tà & la Infermità; tra lequali non ui si dà mezo alcuno, secondo i Filosofi; ancora che i Medici habbiano altra opinione. Il Mezo però in questo luogo è di due sorti; prima per Participatione dell'uno & dell'altro estremo, come sono i mezani Colori & Sapori; dopoi per Negatione dell'uno & dell'altro de gli nominati estremi; & quando si troua un Soggetto, il quale non habbia estremo alcuno. Onde da quel c'hò detto potete comprendere, che essendo la Consonanza & la Dissonanza senz'alcun dubio Suono, uengono ad esser Qualità passibili; percioche da l'una & da l'altra il Senso è mutato; la onde essendo à questo modo; chiara cosa è, che si hanno à porre nel Predicamento della Qualità, & si debbono collocar come due estremi nella Seconda specie de gli Oppositi; essendo che riceuono molti mezi tra loro. Et questo è uero; percio che, si come il Corpo uisibile non è per necessità sempre bianco, ò nero; ma tallora è rosso, tallora uerde, & tallora di qualch'altro colore; ne anco il Tangibile, è sempre freddo, ò caldo; ò duro ò tenero; ma alle fiate te-pido; & hora più & hora men caldo ò freddo; oueramente di qualch'altra mezana qua-lità; come anco il Gustabile, che non è sempre per necessità dolce, ouer'amaro; ma gar-bo, ò acerbo, oueramente in altro modo; cosi l'Vdibile non è sempre semplicemente Consonante, ò Dissonante; ma alle fiate partecipa d'una qualità mezana, che tiene dell'uno & dell'altro, più & meno, secondo che più s'auicina all'un de i nominati estre-mi. Per il che non sò ueder, ne ritrouar ragione, che mi costringa à dire & credere; che tra gli estremi Oggetti de gli altri Sensi possano cascar molti mezi, & non in quel-li dell'Vdito. Però adunque diciamo, che tra la Consonanza, & la Dissonanza, che sono due estremi nella Seconda specie de gli Oppositi; ui cascano; contra l'opinione de molti; per non hauere di questa Aristotele fatto mentione alcuna; molti mezani interualli, i quali partecipano (secondo che maggiormente s'accostano più all'una, che al-l'altra) de questi due estremi udibili. Et questi saranno quelli (lasciando di por qual-ch'altra differenza tra loro, che si potrebbe fare) che nascono d'altra proportione, che da alcuna de quelle, che sono contenute nel Genere Molteplice & Superparticolare, collocate tra le parti del numero Senario. La onde diuideremo la Consonanza in due specie; delle quali la prima chiamaremo Consonanza propriamente detta, & la secon-da Consonanza detta Communemente. Le quali uolendo conoscere, incomincian-do dalla prima; diremo.

DEFINITIONE PRIMA.

Consonanza Propriamente detta è mistura, ò compositione di suono graue & di acuto, page 79 la quale soauemente & uniformemente uiene all'Vdito; la cui forma è contenuta da proportione Molteplice, ò Superparticolare, che si troua in atto tra le parti del primo Numero perfetto; cioè, del Senario.
QVESTO c'hauete detto M. Gioseffo; disse qui il Sig. Desiderio; in fatto mi è molto nouo; essendoche non hò mai più inteso cosa alcuna di queste Qualità ò meza nivdibili [sic: mezani vdibili] dette d'alcuno in uesto proposito; ne meno hò ritrouato cotal cosa appresso d'alcun'autore, ch'io habbia studiato; Onde mi piace molto questa noua distintione, & di questo hauete una gran ragione. Et quando non diceste altro in tutto il Ragiona-mento, c'habbiamo da fare insieme; questo pagherà ogni cosa. Che ne dite uoi di que-sto Messere Adriano? Questa cosa (rispose egli) mi hà leuato molti dubij, ch'io hauea nel capo; percioche nella prattica udiua tutte queste cose; ne sapea dir, come la cosa pote-ua stare; ma hora son chiaro, ch'è quello, che detto ha M. Gioseffo; percioche spesse fiate udimo nella Musica alcun'Interualli, che non si possono chiamar dissonanti, ne anco li potiamo nominar semplicemente consonanti; Onde questa cosa assai assai mi è piaciuta; però M. Gioseffo seguitate à dirci quel che sia l'altra sorte di Consonanza; acciò sappiamo conoscer l'una dall'altra, col mezo delle definitioni. Vedete Messere dissi, ch' io ui dirò sempre qualche cosa di nouo; però ascoltate questa.

DEFINITIONE II.

La Consonanza detta communemente è compositione di suono graue & di acuto, la-quale, se ben non è interamente soaue all'Vdito, è però sopportabile; & la sua for-ma à contenuta da altra proportione, che Molteplice, ò Superparticolare; la qual si troua in atto tra le parti del Senario, & il primo Numero cubo.
QVESTE due Definitioni replicò M. Adriano; hanno di bisogno di qualche di-chiaratione; percioche hauendoci proposto due maniere de Consonanze; fà bi-sogno, che ce le dimostrate particolarmente. Cosi farò Messere, risposi, non du-bitate: onde douete sapere, che la prima maniera è riceuuta da tutti per tale; ch'essen-do i suoi Indiuidui &Interualli collocati ne i loro proprij & naturali luoghi; come heri fù dichiarato; sono in tal modo grati all'Vdito; che non si può desiderar cosa più perfetta. Ma la seconda, contien quelli, che fanno un non sò che di poca poca offesa al senso; la qua-le però è sopportabile. Onde i primi hanno le forme loro contenute in atto tra le parti del Senario, che tra loro fanno le proportioni del genere Molteplice, ò Superparticola-re; & i secondi le hanno contenute tra le proportioni de gli altri Generi; tra le nomina-te parti & il primo numero Cubo, ch'è l'Ottonario. Et accioche meglio m'intendiate; douete sapere, che tra le nominate Parti, & il detto numero Cubo; che sono 1. 2. 3. 4. 5. 6. 8. ui cadono Ventiuna relatione; Sei tra ciascheduno de gli altri numeri & l'Vnità; Cinque tra i cinque numeri maggiori & il Binario; Quattro tra i quattro numeri mag-giori & il Ternario; Tre tra i primi tre maggiori & il Quaternario; Due tra i due maggiori & il Quinario; & Vna tra il Se-nario & l'Ottonario. Delle quali, Vndici sono Molteplici, Sei Superparticolari, Due Superpartienti, Vna Molteplice superpartico-lare, & Vna Molteplice Superpartiente. On-
2. 1. Diapason.
3. 1. Diapason diapente.
4. 1. Disdiapason.
5. 1. Disdiapason ditona.
6. 1. Disdiapason diapente. page 80
8. 1. Trisdiapason.
3. 2. Diapente.
4. 2. Diapason.
5. 2. Diapason ditona.
6. 2. Diapason diapente.
8. 2. Disdiapason.
4. 3. Diatessaron.
5. 3. Hexachordo maggiore.
6. 3. Diapason.
8. 3. Diapason diatessaron.
5. 4. Ditona.
6. 4. Diapente.
8. 4. Diapason.
6. 5. Semiditono.
8. 5. Hexachordo minore.
8. 6. Diatessaron.
de dico, che nelle Vndeci molteplici, & nelle Sei superparticolari sono contenute tut-te le forme delle Consonanze della Prima maniera; & nelle due, con l'altra seguente, si ritrouano le forme delle Consonanze del-la Seconda; percioche tra 2. & 1, 4. & 2, 6. & 3, 8. & 4, che sono tutte Duple, si troua la forma della Diapason. Tra 3. & 1, 6. & 2, che sono Triple; si troua la forma della Diapasondiapente. Tra 4. & 1, 8. & 2. che sono Quadruple, si troua quella della Dis-diapason. Tra 5. & 1, che fanno la Quin-tupla, si troua la forma della Disdiapason-ditono; tra 6. & 1, ch'è la Sestupla, si tro-ua la forma della Disdiapason diapente; & tra 8. & 1, che contiene l'Ottupla propor-portione, si troua la forma della Trisdiapa-son. Et queste sono tutte Molteplici. Similiantemente tra 3. & 2, & anco tra 6. & 4, che sono Sesquialtere, si troua la Forma della Diapente; tra 4. & 3, ancora tra 8. & 6, che sono Sesquiterze, quella della Diatessaron; & tra 5. & 4, che è Sesquiquarta, quel-la del Ditono. Vltimamente tra 6. & 5, che è Sesquiquinta, è quella del Semiditono. Et tutte queste proportioni sono Superparticolari. Onde queste con le Molteplici sono contenute nella Prima schiera delle Consonanze, & hanno il loro essere in atto tra i nu-meri; ò parti nominate. Ma quelle della Seconda, si trouano tra l'altre, percioche nel Su-perpartiente tra 5. & 3, ch'è Superbipartiente terzo, si troua la forma dell'Hexachordo maggiore; & tra 8. & 5, che è Supertripartientequinto; si troua quella del minore. Ma nel Molteplice superparticolare tra 5. & 2, ui è la Dupla Sesquialtera; la quale è la for-ma della Diapasonditona; & tra 8. & 3. nel Molteplice Superpartiente, ch'è la Dupla superbipartiente terza, si troua la forma della Diapason diatessaron. M'hauete intera-mente satisfatto; disse M. Adriano & mi piace grandemente questa noua distintione; percioche mi par uedere, ch'ella habbia à portar grande utile, & d'accordar molte di-scordie & liti, che già gran tempo sono tra i Musici; & non sono ancora finite. Cosi cre-do, che sarà; risposi; ma acciò non perdiamo tempo, definirò la Dissonanza; la quale è oppositamente contraria alla Consonanza propriamente detta; onde dirò.

DEFINITIONE III.

La Dissonanza è distanza di suono graue & di acuto, che insieme per lor natura l'uno con l'altro mescolare, ouer vnire non si possono; & percuote l'Vdito aspramente, & senz'alcun piacere; & nasce da proportioni differenti di denominatione da quelle, che si trouano collocate in atto tra le parti del Senario, & l'Ottonario numero.
VERAMENTE; disse M. Claudio; che colui, il quale ha inteso la Definitione della Consonanza; può anco intender quella della Dissonanza; se per caso non uoleste far'alcuna distintione di essa; com'hauete fatto della Consonanza. Non uoglio; disse M. Claudio; porre altra distintione al presente; ma uoglio dir solamente che secondo la definitione del Filosofo,2. post. c. 2. il quale definisce, che la Consonanza è ragion de Numepage 81 ri, che etiandio nella Dissonanza si troua una certa ragione de Numeri; onde aggiunsi; Contenuta da proportioni differente de denominationi da quelle, che si trouano in atto tra le parti del Senario & dell'Ottonario numero, collocate; accioche conosciate, che la Dissonanza sia al tutto priua della Ragione de quei Numeri, che intende il Filosofo; & anco quel ch'io hò dichiarato altroue in questo proposito.Istitut. 2. par. c. 11. & 3. par. cap. 5. Vi uoleua apunto dire; disse M. Adriano; S'ogni Consonanza & ogni Interuallo Musicale rationale è contenu- to sotto una determinata proportione di numero à numero; come più fiate ui hò udito dire; come potea stare, che solamente la Consonanza fusse Ragione de Numeri, & non la Dissonanza? Non si può negare (dissi) Messere, che la Dissonanza, essendo conte-nuta da proportione rationale di numero à numero; habbia Ragione de Numeri; essendo che quella Ragione si considera, & si scorge in quanto 'l maggior termine contiene lo mi-nore, una due, ò più fiate, con alcuna sua parte Aliquota, ò Non aliquota; Ma l'hauer ra-gion de Numeri, ò esser ragion de Numeri, per una certa eccellenza conuiene al pri-mo Numero perfetto, ch'è il Senario ancora che gli Antichi attribuissero tal Ragione al Quaternario, chiamandolo per alcune ragioni anco lui Perfetto. La onde le Consonanze, che ueramente hanno le lor uere forme dalle proportioni contenute tra le parti del Senario; si chiamano hauer ragione de Numeri; oueramente esser ragione de Numeri. Ma le Dissonanze non possono esser dette, ne hauer cotali ragioni; percioche hanno le proportioni loro contenute tra altri numeri, che tra quelli che sono posti tra le parti nominate. Son satisfatto benissmo; soggiunse M. Adriano; seguitate il resto. Allora dissi; Ha-uendoui definito la Consonanza secondo le due maniere dichiarate, & la Dissonanza ancora; fà dibisogno ch'io ui definisca l'Harmonia, la quale si compone di due consonan-ze almeno. Onde hauete prima à sapere; che quella distintione, che hò posto della Consonanza, è necessario che anco sia fatta dell'Harmonia; intendendo però dell'Harmonia non propria; secondo 'l modo dichiarato nel Cap. 12. della Seconda parte delle Istitu-tioni; percioche è di due sorti anch'ella; cioè, Semplicemente, & Detta ad un certo mo-do. Onde dichiarando la prima, dirò che:

DEFINITIONE IIII.

Harmonia Semplicemente detta è il concento, che nasce da due consonanze almeno insie-me unite, secondo i gradi dell'Harmonica proportionalità, laquale soauemente per-uiene all'Vdito.
ONDE quando due Suoni distanti l'uno dall'altro per il graue & per lo acuto, ri-ceuono un mezano suono, che diuida l'Interuallo, che si troua tra loro, in due Consonanze, secondo i gradi della proportionalità Harmonica; allora si fà questa compositione, che intendiamo nella definitione, che si chiama Harmonia Semplicemente detta. Ma per dichiararui il secondo membro dell'Harmonia non pro-pria; dico, che

DEFINITIONE V.

Harmonia Detta ad un certo modo è l'accordo, che fanno due consonanze almeno, po-ste insieme; ma non secondo i gradi della mediocrità Harmonica, la quale non cosi soa-uemente, come la Semplicemente detta, uiene al senso dell'Vdito.
page 82 PIACQVE molto anco questa distintione al Sig. Desiderio; onde per intenderla meglio, disse; Questa anco mi pare, che hà dibisogno d'un poco del uostro lu-me; perche à me, ch'io non son molto prattico delle cose della Musica, è alquan-to oscura; Però sarete contento di darmi meglio ad intendere questa cosa con vno essempio. E' il douere risposi, Dico adunque, che poco fà mostrandoui le Propor-tioni, che nascono dalle parti del Senario & dall'Ottonario; breuemente ui dichiarai, & dimostrai anco le forme de tutte le Consonanze; il che ricordandoui dico, che quando ritrouarete due consonanze unite insieme, le cui proportioni saranno in cotal modo ordi-nate. 6. 4. 3. direte, che elle fanno l'Harmonia Semplicemente detta; percioche tra loro si troua l'Harmonica mediocrità; come la Quintadecima definitione di heri sempre lo farà manifesto. Il che direte anco dell'altre simili; & questo è quanto alla Semplicemente det-ta. Ma la Detta ad un certo modo, si fà, quando tra due consonanze ordinate al modo detto, non si troua tale Mediocrità; come sarebbe dire; quando le sue proportioni fussero collocate tra questi terimini 4. 3. 2. percioche se ui ricordate la Terzadecima Definitione di heri, sono collocate in Arithmetica progressione, ò proportionalità; come più ui piace dire. Essendo che nella prima la forma della Diapente, anzi la Diapente istessa è colloca-ta nel graue, & la Diatessaron nell'acuto; & in questa il tutto è posto al contrario; percio-che la Diatessaron tiene il luogo graue, & la Diapente occupa l'acuto; cosa che non si tro-ua tra le proportioni, che sono collocate nell'ordine naturale de i Numeri Harmonici. Onde, quello aggiunto: Meno che soauemente peruenire all'Vdito: che si è detto nella sua Definitione, non è causato da gli interualli nominati; percioche sono consonanti; ma si ben dall'ordine, ch'è posto al contrario del primo; il perche Meno che soauemente muo-uono l'Vdito. Questa è bella consideratione; disse il Sig. Desiderio: Et la intendo hora; però passate ad un'altra proposta; s'altro sopra di questo non uolete dire. Non uoglio dire altro risposi: Ma uoglio che sappiate, che le Consonanze; parlando uniuersalmente; so-no de due maniere; percioche alcune si chiamano Semplici, & alcune Composte; & ac-cioche conosciate l'une & l'altre, uerremo alla lor definitione; onde incominciando dal-le prime, diremo.

DEFINITIONE VI.

Le Consonanze semplici sono quelle, che sono minori della Diapason; come la Diapente, la Diatessaron, il Ditono, il Semiditono, & essa Diapason; le cui forme sono contenute tra le parti del numero Senario ne i Generi Molteplice & Superparticolare.
MI ricordo, disse m [sic: M]. Adriano; che nelle Istitutioni1. par. cap. 13. & 16. hauete connumerato etiando i due Hexachordi; Maggiore & Minore; onde non credo che hora li uogliate escludere. E' uero, dissi, ch'io chiamai l'Hexachordo semplice consonananza; non però semplicemente; ma ad un certo modo, & per un certo rispetto; percioche è minore della Diapason; onde essa Diapason non entra nella sua compositione; Ma qui chiamo solamente semplici quelle Consonanze, c'hò nominato, & non l'altre; onde seguitarò à di-re; che

DEFINITIONE VII.

Le Consonanze composte sono quelle, che sono maggiori della Diapason; come la Diapason diapente, la Disdiapason, & tutte l'altre Maggiori di queste.
page 83 OGNI Interuallo, sia qual si uoglia, adunque accompagnato alla Diapason farà uno Interuallo, che si potrà dir Composto; per quello, ch'io ueggio; disse il Viola. A' cui risposi; Cosi è in fatto; ma senza por tempo di mezo, uerremo alla par-ticolar Definitione di ciascheduna Consonanza; onde incominciando da quella, ch'è Regina de tutte l'altre, la Diapason, diremo.

DEFINITIONE VIII.

La Diapason è consonanza contenuta nella sua forma vera dalla proportione Dupla.
QVESTA Consonanza naturalmente è la Prima de tutte l'altre; percioche si come tra i numeri semplici non si troua maggior proportione nell'ordine naturale di numero à numero, l'uno all'altro più uicino, della Dupla; essendo ch'ogni altra, che si troua, se è minore, è sua parte, & se è maggiore, è collocata tra numeri, i quali non sono uicini, & è composta di lei & d'una sua parte; Cosi la Diapason tra l'altre Consonanze & Interualli tiene il primo luogo; & non si troua alcun'altro Interuallo, sia qual si uoglia, che di lei sia maggiore; essendo che se è minore, è sua parte; & se è maggiore, è composto d'una sua parte & del suo Tutto, com'altroue ho dichiarato;1. par. cap. 13. & dal Musico è presa per il suo Tut-to diuisibile. Ma si come non si troua proportione, che sia auanti la Dupla; cosi non si troua Consonanza, che sia prima della Diapason;2. par. cap. 48. poi che la Dupla è la sua uera forma; essendo il Tutto diuisibile, senza dubio alcuno, prima delle sue parti; come è noto à tutti gli intelligenti; hora hauendoui definito il Tutto, ui uerrò à definire di una in una tut-te le sue parti; le quali nascono dalla diuisione harmonica di esso Tutto; come nelle Istitu-tioni si è dimostrato; & incominciando dalla maggiore, dirò in cotal modo.

DEFINITIONE IX.

La Diapente è consonanza, la quale è contenuta nella sua natural forma dalla propor-tione Sesquialtera.
QVESTA Consonanza è la parte maggiore della Diapason, che nasce dalla sua diuisione fatta harmonicamente; come uederemo al suo luogo. Et perche in-torno ad essa non ui cade difficultà alcuna; però passarò all'altra definitione.

DEFINITIONE X.

La Diatessaron è consonanza, che hà la sua uera forma dalla proportione Sesquiterza.
INTESA questa definitione, disse M. Adriano; Se la Diapente è la parte mag-giore della Diapason; non è dubio, che la Diatessaron farà la sua parte minore; poi ch'aggiunte queste due parti insieme, fanno di punto la Diapason. Et mi ricordo, che heri dimostrate,Propo. 17 che l'Interuallo Duplo nasce dalla congiuntione de i due primi maggiori Superparticolari; Onde se la Diapente è contenuta dalla Sesqui-altera, & la Diatessaron dalla Sesquiterza; non è dubio, che diuisa la Diapason in que-ste due parti; per il conuerso della detta proposta; elle non siano le sue parti mag-giori; come sono ancora maggiori d'ogn'altra Superparticolare le loro proportio-ni. Voi l'intendete benissimo, Messere risposi; perche è cosi in fatto. Aggiunge-te anco disse M. Claudio; che se poste insieme, come dimostra la Decimaottaua,1. Huius. page 84 fanno la Proportionalità harmonica, che queste due parti nascono dalla diuisione di es-sa Diapason, fatta per la istessa Proportionalità. Qui non può nascer difficultà alcuna; gli dissi. Il perche il Signor Desiderio soggiunse; in fatto hauete ragione à dire, che la Diatessaron sia consonanza; & hanno il torto tutti quei Prattici, che la pongono nel numero delle Dissonanze; ma sono da iscusare in questo, che non sanno quel, che si facciano. Questi c'hanno questa opinione; disse M. Adriano; sono in errore. Et mi ricordo, ch' inanzi de noi quei buoni Antichi Giosquino, il suo Maestro Gio. Ochegen; Gascogne, & il mio precettore Gio. Motone in molti luoghi delle loro compositioni l'hanno posta nella parte graue, senz'aggiungerle altro Interuallo. Messere; gli risposi; Se la Diatessa-ron fusse dissonanza, non la porreste ne i uostri Contrapunti, nel modo che la ponete, sopra la Diapente, ò sopra il Ditono, ò lo Semiditono; ne anco questo farebbono gli altri compositori. Ne anco; soggiunse il Merulo; si potrebbe accordar col mezo di questo Interuallo alcuna sorte d'Istrumenti, se non fusse consonante; tuttauia se n'accorda-no de molte sorti; come sono Organi, Viuole, Leuti, Lire & altri simili, tanto bene; come si fà col mezo della Diapente & della Diapason. Ascoltate di gratia, dissi, ch'io ui uoglio dire una ragione; la quale hor'hora mi souiene; alla quale non si può con ragione contradire. Ditela di gratia, soggiunse M. Adriano. Ascoltate, adunque Messere, rispo-si; & uoglio che oltra quello, ch'à questo proposito hò detto nelle Istitutioni; habbiate questa per una Massima; che Quando si muta alcuno de gli estremi di qual si uogla In-teruallo, sia consonante, ò dissonante; facendolo d'acuto graue; ò per il contrario di gra-ue acuto per una Diapason, si hà uno corrispondente Interuallo nell'acuto, ò nel graue, il quale è della istessa natura del primo. Et accioche m'intendiate, ui uoglio parlare pratticamente. Poniamo, che sia quell'Interuallo, che noi chiamiamo Seconda; Questo (co-me è noto à ciascheduno) è Interuallo dissonantissimo; però se trasportaremo il suo estremo graue nell'acuto, ouer'il suo acuto uerso 'l graue, per una Ottaua; rimanendo gli altri termini à i loro luoghi; non è dubio, che haueremo un'Interuallo à lui corrispondente, nella parte acuta, ouer nella parte graue, che sarà dell'istessa natura di essa Secon-da, & sarà una Settima; la quale ciascheduno di uoi conosce essere dissonante. Il che ancora auerrà facendo 'l contrario; cioè, quando si trasporterà l'estremo acuto dalla Set-tima uerso il graue; ouer l'estremo suo graue uerso l'acuto; percioche ne nascerà la Seconda nominata. Onde non si può negare, che l'uno & l'altro de questi due Interualli sia d' una istessa natura, & siano comprese sotto un'istesso Genere di Dissonanza. Questo istes-so auerrà nella Semidiapente, che trasportato il suo estremo acuto uerso 'l graue, ouer l'estremo graue uerso l'acuto, uerrà il Tritono; & trasportati in cotal maniera gli estremi di esso Tritono; nascerà la Semidiapente; de i quali Interualli l'uno & l'altro sono con-tenuti sotto questo genere di Falso interuallo. In fatto è cosi; disse il Viola; ma non ue-do, doue uogliate arriuare. Andrà poco lontano la cosa, risposi; che lo uederete. Dico ancora; che se di nuouo pigliaremo una Terza, la quale sapete, ch'è posta nel numero delle Consonanze imperfette; & faremo il simile, trasportando in acuto il suo estremo graue per una Ottaua; oueramente ponendo il suo estremo acuto nel graue, per un simi-le Interuallo; subito ne uerrà la Sesta, la quale etiandio è connumerata tra le Conso-nanze imperfette. Il che auerrebbe anco, trasportando all'istesso modo gli estremi di questa; percioche ne risultarebbe la Terza; cosa che ueramente non si può da niun sano di giudicio negare. La onde, se usando simili modi, di trasportare i detti termini, si uede; ch'una Dissonante ne produce un'altra; come fa anco il Falso interuallo; & una Conso-nanza imperfetta ce ne da un'altra simile di genere, ò specie; che maggior priuileggio in questo debbono hauer le Dissonanze, i Falsi interualli & le Consonanze imperfette; del-le perfette Consonanze? Niuna certamente; percioche non ui è maggior ragione delle prime, che di queste ultime. Diremo adunque con l'istessa ragione, che se 'l si riporterà l'e-stremo graue d'una Quinta uerso l'acuto per una Ottaua; oueramente l'estremo acuto uerso il graue per un simile interuallo; quello, che uerrà sarà una Quarta, la quale, per page 85 le ragioni addotte nelle Dissonanze, ne i Falsi Interualli & nelle Consonanze imperfette, dico esser della natura della Quinta, & esser sottoposta ad un'istesso genere, ò specie di Consonanza. Et si come la Quinta per diuersi rispetti è detta Consonanza perfetta; co-si ancora, per quelli istessi, la Quarta è detta Consonanza perfetta. Percioche ancora riportando gli estremi della Quarta nell'acuto & nel graue, come facemmo quelli della Quinta; nasce al medesimo modo essa Quinta; Onde siamo sforzati uolendo, o non uolendo, dire; che se la Quarta è dissonante, che dissonante sia all'istesso modo la Quinta; ouero che se questa è consonante, che anco quella sia di tale natura. Ilche non credo che sia negato da Huomini di sano intelletto. Disse allora M. Adriano, Questa ragione è ben ueramente noua, & è una delle belle, che si possa addurre in confirmatione delle uostre ragioni. E quando non imparassi mai altro hoggi di questo, me ne contento assai. Spero di dirui dell'al-tre cose Messere, diss'io; che ui piaceranno, però state allegro. Replicò anco il Viola in questo modo, Io dirò M. Gioseffo, che la ragione della Seconda & della Settima uà bene; percioche sono tutte due dissonanti; simigliantemente quella della Terza con la Sesta & delli due Falsi interualli, che hauete nominato: ma quella della Quinta con la Quarta mi par differente. Et ciò dico; accio che sopra di questo diciate qualche cosa; essendo che tra le parti de i Contrapunti senz'alcuna differenza si pone la Terza & la Sesta per buone consonanze, che fanno buono effetto; ma non auiene cosi della Quarta. A questo risposi & dissi, La differenza, che si troua tra la Quinta & la Quarta consonanza della prima maniera, è quasi l'istessa, che si troua tra la Terza consonanza della pri-ma, & la Sesta consonanza della seconda; Imperoche si come la Sesta per sua natura non è molto consonante, & è men buona della Terza; massimamente della maggiore; come si uede, che non la lasciate ne i Contrapunti dimorare in un luogo per molto tempo, perche offende il senso; ne mai date fine ad una uostra cantilena per il detto Inter-uallo; ma si ben per Ottaua & per Quinta; cosi la Quarta, comparata alla Quinta, non è molto consonante, & è men buona di essa Quinta; come anco essa Quinta è men buona della Ottaua, la quale più d'ogn'altra perfettamente consona. La onde dico la Dia-tessaron esser Consonanza & perfetta; ma non però dico, che ella sia tanto consonante & tanto perfetta, com'è la Diapente; ne meno com'è la Diapason; come etiandio dico l'Hexachordo (per ritornar ne i nostri termini primi) esser consonante; ma non di quell' istessa & propria natura, ch'è il Ditono, ò lo Semiditono; percioche secondo che nell' altre cose si ritrouano gradi tra loro; cosi ancora ui sono i suoi gradi tra le consonanze, & gli interualli dissonanti; ma questo ui basti. Io resto benissimo satisfatto; rispose il Viola. Onde il Sig. Desiderio soggiunse subito; Questo è stato un ragionamento molto utile; & credo che non si ritrouerà più alcuno, dopo c'haueranno inteso queste ragioni, che uoglia dire, che la Diatessaron sia dissonante. Noua & bella ragione è stata uera-mente; aggiunse M. Claudio; onde dobbiamo desiderar che 'l si uada più oltra; acciò in-tendiamo di nouo qualch'altra cosa. Notate, adunque soggiunsi; che della Diapente harmonicamente diuisa, si fanno due parti, come son per dimostrarui; l'una delle quali si chiama Ditono, che è la maggiore; l'altra, ch'è la minore, è nominata Semiditono; & la definitione della prima sarà di questa maniera.

DEFINITIONE XI.

Il Ditono è consonanza, la cui forma è contenuta dalla proportione Sesquiquarta.
QVESTO Interuallo, considerato solamente ne i suoi estremi, & senz'alcuna mezana chorda, serue etiandio al Genere Enharmonico. Et si può chiamare una delle prime parti della Diapente, & delle Seconde della Diapason; come anco si può nominare al modo medesimo il Semituono, del quale porremo questa definitione. page 86

DEFINITIONE XII.

Semiditono è consonanza, della quale la forma è la proportione Sesquiquinta.
QVESTO Interuallo è stato da molti nominato diuersamente; imperoche alcuni l'hanno chiamato Sesquituono; quasi uolendole dire d'un Tuono & mezo; ma quel, ch'io scrissi nel Cap. 25. della Prima parte delle Istitutioni, sopra questa paro-la Sesqui, ui potrà chiarire; se 'l si può dire di un Tuono & mezo. Altri l'hanno detto Trihemituono, ò Trisemituono; hauendo consideratione, che serue al Genere chro-matico, quando è pigliato senza ueruna chorda mezana. Ma non stiamo hora sopra la consideratione de i nomi; noi lo chiamaremo Semiditono, il quale è la minor conso-nanza, che si troui. Imperoche non ui è alcun'Interuallo, sia qual si uoglia, il quale sia minor di lui; che sia consonante. Et da questo si può conoscere, che la sua proportione tiene l'ultimo luogo tra i numeri delle parti del Senario. La onde, credo, c'habbiate da uoi stessi compreso, che tutte le Consonanze, lequali fin'hora habbiamo definito, siano semplici, & tutte minori della Diapason; però uerremo hora à quelle, che sono di lei maggiori, & si chiamano Composte.

DEFINITIONE XIII.

La Diapason diapente è consonanza contenuta dalla proportione Tripla.
QVESTA primieramente è denominata dalla Diapason; dopoi dalla Diapente; es-sendo che dell'una & dell'altra di queste due si compone; come si conosce dalle lor forme 3. 2. 1. contenute nel Senario tra i numeri Arithmetici; ouer da 6. 3. 2. Numeri harmonici. Ma,

DEFINITIONE XIIII.

La Disdiapason è consonanza, la cui forma contiene la Quadrupla proportione.
MI ricordo; aggiunse M. Adriano; che nell'Istitutioni hauete detto,1. par. c. 16 che questa Consonanza si può considerar composta in due maniere; prima, della Diapason, della Diapente, & della Diatassaron; come si scorge tra questi numeri. 4. 3. 2. 1. ouer tra questi. 12. 6. 4. 3. dopoi, de due Diapason; come si uede tra questi termini. 4. 2. 1. per qual cagione adunque si dice da molti, che la Disdiapason si compone di due Diapa-son maggiormente; che di una & delle due altre nominate consonanze? Questo auie-ne Messere; risposi; perche gli Antichi; prima la considerarono come composta de due consonanze piu note: come sono due Diapason; che dal senso sono maggior-mente conosciute, che non è qual si uoglia altra consonanza; dopoi perche la considerarono composta della più nobile consonanza replicata, ch'è la Diapason; che sia tra l'altre consonanze. Et se bene la prima Diapason si pigliasse semplice & l'altra composta delle due maggiori sue parti, questo importarebbe poco; percioche per ogni modo contiene & contenerebbe due Diapason. Ma per dirui;

DEFINITIONE XV.

La Disdiapason ditona è consonanza, la cui forma è contenuta dalla proportione Quintupla.
page 87 MESSER Gioseffo; disse qui il Viola; S'io dirò: perche questa consonanza sia maggiormente composta della Disdiapason & del Ditono, che d'altre conso-nanze; poi che i termini della Quintupla stanno tramezati in questo modo. 5. 4. 3. 2. 1. oueramente tra i Numeri Harmonici. 60. 30. 20. 15. 12. sò che mi risponderete, co-me hauete fatto à M. Adriano; però senza por tempo di mezo, seguitate 'l uostro ra-gionamento; ch'altro non uoglio dire. Voglio che anco ui ricordiate; soggiunsi; che

DEFINITIONE XVI.

La Disdiapason diapente è consonanza, che [sic: hà] la sua forma contenuta dalla proportione Sestupla.
MA perche più d'una, che d'un'altra Consonanza ella sia detta Composta; poiche i termini della sua forma in tal maniera tramezati sono. 6. 5. 4. 3. 2. 1. oueramete. 60. 30. 20. 15. 12. 10. la ragione detta di sopra ui può bastare. Onde uerremo alla Decimasettima definitione.

DEFINITIONE XVII.

L'Hexachordo maggiore è consonanza, la cui forma è contenuta dalla proportione Superbipartiente terza.
PARMI, disse qui il Viola, che ritorniamo indietro, per quel ch'io ueggio; es-sendo che prima hauete definito le Consonanze, incominciando dalle Sempli-ci, uenendo alle Composte, & sete uenuto dalle minori alle maggiori; hora di nuouo ritornate da capo; & per qual cagione lo fate, per uostra fè? Quelle Consonanze, dissi; che fin'hora hò definito, sono contenute ne i generi Molteplice & Superpar-ticolare, che sono Generi semplici di proportione; il perche hauendo posto fine à quel-le, che sono contenute sotto questi due Generi; uengo hora à definir quelle, che sono contenute ne gli altri; per poter seguitar un buon'ordine. Ne mi curo, che queste ch'al presente definisco siano maggiori, ò minori; essendoche questo è di pochissima importanza. Ma ui basta à sapere; che questa proportione Superbipartienteterza, no-minata di sopra, è compresa nel Terzo genere di proportione, detto Superpartiente, & è la prima di cotal genere. Mi piace l'ordine, & resto satisfatto, rispose il Viola; però seguitate quello, che ui piace. Soggiunsi adunque; Ancora che tra le parti del Senario non ui sia la forma dell'Hexachordo minore in atto; tuttauia per esserui (com' hò dichiarato altroueInstitut. 1. part. c. 16.) in potenza; & tra 'l primo Cubo & il Quinario in atto: non uoglio restar, già ch'è contenuta la sua forma nel Genere sopradetto, di darui la sua definitio-ne; onde diremo.

DEFINITIONE XVIII.

L'Hexachordo minore è consonanza, la quale hà la sua forma contenuta dalla propor-tione Supertripartiente quinta.
page 88 QVESTA consonanza (come hò detto) hà la sua proportione, ch'è contenuta nel secondo luogo del nominato Genere, tra questi numeri, ò termini. 8 & 5. Ma per uenire à gli altri due Generi, che sono composti; per dimostrarui, ch' in ogni Genere di proportione si troua alcuna consonanza; se non semplice, almeno Composta; porrò senza por tempo alcun di mezo, la definitione della Diapason col Di-tono; in questa maniera.

DEFINITIONE. XIX.

La Diapasonditona è consonanza, ch'è contenuta nella sua vera forma dalla proportione Dupla sesquialtera.
MA i termini di questa proportione si ritrouano esser collocati tra le parti del Se-nario, tra questi termini. 5. & 2. Fermateui di gratia un poco M. Gioseffo; disse qui M. Adriano; & lasciatemi addimandarui un dubio. Voi dite, che la Diapa-sonditona ha lasua [sic: la sua] forma dalla Dupla sesquialtera; nondimeno questo Interuallo è composto d'una Diapason, la quale hà la forma dalla proportione Dupla, & di un Ditono, che hà la forma della Sesquiquarta; com'hauete posto nelle loro definitioni. Ma se la Sesquialtera, è la forma della Diapente; com'è possibile, che la Diapason col Ditono habbiano la forma della Dupla sesquialtera, & non dalla Dupla sesquiquarta? Com-prendo dalle uostre parole; dissi; che uorreste, che più tosto si dicesse, che la proportio-ne Dupla sesquiquarta fusse la forma della Diapasonditona; la quale è composta della Diapason & del Ditono, che la Dupla sesquialtera; perche ui pare, che da questa de-nominatione più tosto si douesse denominar la Diapason diapente, che la Diapasondi-tona; poi che la Dupla è la forma della Diapason; & la Sesquialtera quella della Dia-pente. Non è com'io dico? Stà bene; rispose egli. Allora soggiunsi; Se è dibisogno che sia cosi; sommaremo nel modo, ch'io dimostrai nel Cap. 33. della Prima partedelle [sic: parte delle] Isti-tutioni, la Dupla insieme con la Sesquiquarta, & se uerrà la proportione, c'hauete nominato, la cosa andrà bene. Ma noi uediamo, che ella uà ad'un'altro modo; essendo che uiene una Dupla sesquialtera, come contiene la Definitione; adunque la cosa non uà bene. Onde sommando insieme anco al modo detto la Dupla con la Sesquialtera, non nasce la Dupla sesquialtera, ma si bene la Tripla, ch'è la forma della Diapason dia-pente. Il perche si uede, che à dir Tripla, & dir Dupla sesquialtera, non è dire una pro-portione istessa; ma due diuerse. Questo di nuouo uediamo, che sommando insieme la proportione della Diapason, & quella della Diatessaron; non uiene la Dupla sesquiter-za; se ben la Dupla è la forma della Diapason, & la Sesquiterza quella della Diatessaron; ma la Supertripartiente quinta; ch'ella della Diapason diatessaron; come nella seconda Definitione dichiarai. Onde è manifesto, che gli Antichi all'uniuersale più attesero, che al particolare, & al leuar la confussione dalle menti de gli huomini. Et uolsero (com era 'l douere) denominar le Proportioni in ogni Genere da i modi che 'l maggior termine con-tiene il minore più fiate interamente; ouero più fiate con una, ò più parti del minore; accioche queste denominationi seruissero non solo alle Proportioni & à gli Interualli della Musica particolarmente; ma etiandio è quelle, che seruono all'altre Scienze. Et ancora che mi potreste dire, che questa parola Sesqui; come dichiarai nelle Istitutioni;1. Par. cap. 25. uoglia dire Tutto, & Altera significhi l'una de due parti fatte d'alcuna cosa; & che meglio sareb-be dire, Dupla & Altera, che Duplasesquialtera; responderò, che questo non sareb-be mal fatto; quando in ogni Genere, la parola Sesqui si pigliasse solamente per una additione sillabica; come uoleuano alcuni; ne altro uolesse significare. Ma diciamo pure con la page 89 sua significatione; che Dupla sesquialtera uoglia dire; Due fiate il Tutto & una parte della minor quantità comparata alla maggiore; percioche questo non è di molta importan-za, che se le aggiunga, ò leua tal particella; essendoche già è riceuuta per tale; & s'aggiunge oltra questi termini Dupla, Tripla, & gli altri. Et simili denominationi; come Sesquialtera, Sesquiterza, & l'altre per ordine, sono le denominationi delle parti, per le qua-li il maggior termine, che si ritroua ne i Denominatori delle Proportioni; sopr'auanza il minore. Et questo per hora ui potrà bastare. Son satisfatto benissimo, soggiunse M. Adriano . Passarò adunque auanti, risposi; & dirò, che tutte queste Definitioni, che io hò dato sono à bastanza intorno à quelli Interualli, che sono Consonanti; percioche bisogna hormai definire i Dissonanti, i quali seruono alla cognitione delle cose della Scienza & anco dell'Arte; accioche nelle Dimostrationi, che siamo per fare, non ci manchino quei Principij, che sono necessarij per concluder quello, c'habbiamo da preporre: Tanto più, che le Definitioni (com'altroue hò dettoSupra ante primam Definitionem.) sono i Mezi delle Dimostrationi. Ascoltate adunque, che hora ui definirò tutti quelli Interualli dissonanti, che io ui son per defi-nire, l'un dopo l'altro, & senza hauer rispetto à Genere alcuno. Onde incominciando dal Maggiore, dirò in questo modo.

DEFINITIONE XX.

Il Tuono maggiore e [sic: è] quell'Interuallo, per il quale la consonanza Diapente sopr'auanza la Diatessaron.
QVESTO Interuallo fù altramente definito da gli Antichi; percioche diceuano, il Tuono esser principio della Consonanza; il quale nasce, producendo da suono à suono, dalla proportione Sesquiottaua. Disse allora M. Adriano; Per qual cagione adunque non hauete detto nella definitione, come hauete fatto nell'altre, che questo Tuono nasce da simil proportione; poiche nell'Istitutioni molte fiate l'hauete deto [sic: detto]. Perche uoglio, risposi; che ella sia uno de i Principij, ch'io adopererò in questo & ne gli altri Ragionamenti. Et s'io hauesse posto nella Definitione, che ella nasce dalla proportione Sesquiottaua, non lo potrei dimostrare; perche i Principij non si dimostra-no; ma perche son per dimostrarui cotal cosa; però ui hò detto solamente, ch'è la diffe-renza, che si troua tra la Diatessaron & la Diapente; essendo che ui uoglio far col mezo di queste Definitioni auertiti; che tutti quelli Interualli, che sono minori del Semidito-no, & sono dissonanti, altro non sono che le differenze, che si trouano tra un'Interual-lo Maggiore & un Minore. Questo mi piacerà assai, soggiunse M. Claudio; ma diteci, ui prego, che uuol dir questa parola Tuono. E' Greca, risposi; & si dice Τόνος, che impor-ta Fermezza, ò Stabilità. Et perche non si troua alcuno Interuallo consonante, il quale non ritenga questo Interuallo; cioè, la sua proportione almeno; però gli Antichi lo chiamarono Principio della Consonanza. Essendo c'haueano opinione, ch'ogni interuallo Maggiore di lui fusse, ò si douesse di lui & del suo minor Semituono comporre. Onde da questa credula fermezza & stabilità, ch'in esso uedeano, lo chiamarono Tuono. Disse à questo M. Adriano; Non sono de due sorti Tuoni? Sono per certo, diss'io; & da questo si conosce, ch'à questo aggiungo la parola, Maggiore, che lo fà differente dall'altro, che ui definirò hor'hora, che sarà il Minore.

DEFINITIONE XXI.

Il Tuono minore è quella differenza, che cade tra la Diatessaron, & lo Semiditono.
page 90 HAVENDO taciuto un pezzo il Sig. Desiderio, & udendo parlare de questi Tuo-ni, mi disse; Questo Tuono fu egli mai conosciuto da gli Antichi? Allora gli ri-sposi; Quando sarà il suo Tempo, ui dimostrerò in che proportione ello si troui, Harm. lib. 1. cap. 15.& allora conoscerete, se hauerete à memoria le cose di Tolomeo, hauendole uedute, che questo Interuallo entraua nella compositione della specie Diatonica, chiamata Diato-nico syntono; se bene da lui non è chiamato col nome di Tuono, & era conosciuto. Ma noi lo nomineremo Tuono aggiungendoui questa parola Minore, à differenza del primo, che già habbiamo definito. Essendo che tra l'uno & l'altro ui cade po-ca differenza; come potrete uedere, Ma passiamo un poco più oltra, acciò non perdiamo tempo.

DEFINITIONE XXII.

Il Semituono maggiore è quell'Interuallo, per il quale la Diatessaron è maggiore del Ditono.
SE ben mi ricordo, soggiunse M. Adriano; parmi che i Greci chiamassero questo Semituono Apotome. E' uero, dissi; che chiamarono Α'ποτομὴ il Semituono maggiore; ma questo ch'io hò definito non è quello de i Greci; essendoche è contenuto d'altra proportione, che dalla Super. 139. partiente. 2048. dalla quale è contenu-to quello, com'io son per dimostrarui. Per qual cagione lo chiamauano con tale nome? dimandò il Viola. Perche diceuano, risposi io; che è Quasi tagliato fuori del Tuono, come superfluo; essendo che gli Antichi non adoperauano tal Semituono ne i loro Tetra-chordi. Onde Α'ποτομὴ appresso di loro significa Tagliamento. Auertite però; che,

DEFINITIONE XXIII.

Il Semituono minore, ò Diesis maggiore Enharmonico è quell'Interuallo, per il quale il Di-tono viene à superare il Semitono, ouer il Tuono minore il maggiore Semituono.
NOTATE però ch'io lo chiamo etiandio Diesis maggiore Enharmonico; percio-che è Interuallo, il quale serue al Genere Enharmonico; come udirete & uederete al suo luogo ne i nostri ragionamenti. Questo intendiamo bene, disse Me-ser'Adriano; ma sopra la definitione, che ci hauete proposto, ui uoglio dir due cose; del-le quali la prima è, che i Greci chiamauano Lemma il lor Semituono minore. La secon-da, che se noi consideriamo il Tuono maggiore diuiso in due parti; cioè, in due Semituoni, secondo la ragione, ch'io feci già, leggendo un giorno le uostre Istitutioni, ritrouo, che se noi cauaremo il maggior Semituono dal Tuono maggiore, quella parte, che uer-rà, sarà maggiore di questo Semituono, che ponete per la differenza, che si troua tra il Ditono & lo Semiditono, ouer tra 'l Tuono minore & lo maggiore Semituono, che ha-uete definito, & sarà etiandio di questo maggiore; tuttauia chiamate questo Minore, che si douerebbe dire Minimo. Et non fate mentione alcuna di quello, ilquale sarebbe ueramente il Minore; diteci adunque doue nasce questa cosa. Messere; dissi allora; Voi sete in poco tempo fatto un'huomo molto sottile. Et mi diletta molto il uostro dubitare, il quale è di gran giouamento; essendo che egli è uicino al Sapere. Percioche il dubitare di ciascheduna cosa, nelle Scienze (secondo il FilosofoPraedica-ment. c. 3.) non è senza utilità. Et mi pia-ce, che uoi penetriate alle cose difficili col uostro intelletto, il quale è stato sempre bello, & arteficioso. Però risponderò uolontieri à quel, che dimandato m'hauete; & prima alpage 91 la Prima cosa; dopoi uerrò alla seconda. Quanto alla prima ui dico, che è uero: che i Greci chiamarno il lor Semituono minore Λεῖμμα; ma (come u'hò detto anco del Maggiore) questo Semituono, che hò definito, non è quello, che da i Greci è chiamato per cotal nome; ma si ben quello il quale da noi è usato al presente; essendo che il loro era conte-nuto dalla proportione Super. 13. partiente. 243. & il nostro è contenuto d'altra propor-tione; come son per dimostrarui. Onde appresso de loro tanto uuol dir Λεῖμμα, quanto Residuo, ò Restante appresso di noi; percioche i Pitagorici chiamarono con tal nome la parte minore d'una cosa diuisa in due parti inequali. Questo fù anco detto Δίεσις da Filo-lao pitagorico. Ma di quel Δίεσις, del quale alcuni hebbero parere, che fosse Principio,10. Meta-phy. c. 2. Et 1. poste. cap. 17. & Elemento de gli altri Interualli della Musica; & uoleuano, che fusse come l'Vnità ne i Numeri, la quale è la lor commune misura; hora non ui uoglio dir cosa alcuna; ma leggerete il Cap. 48. della Seconda parte delle Istitutioni, se uorrete intender di lui qualche cosa; & uoglio che questo ui sia basteuole intorno alla prima cosa, che m'hauete richiesto. Quanto poi alla Seconda douete sapere; ch'io hò definito il Semitono minore esser quell'Interuallo, per il quale il Ditono sopr'auanza il Semiditono, oueramente il Tuono minore su-pera 'l maggior Semituono; & non quello, per il quale il Semituono maggiore definito di sopra. [sic: ,] dal Tuono maggiore è superato; percioche questo, ch'io hò definito, è quello, ch'a-doperano al presente i Musici, & fà più al proposito nostro, di quell'altro; ancora che nel Genere diatonico s'adoperi solamente 'l Maggiore in ogni suo Tetrachordo, & non il minore. Onde non hauete dubitato fuor di proposito Messere. Et ui uoglio dire, che chi uolesse minutamente considerar gli Interualli, che nascono in una ordinatione de Suoni nelle lor proportioni, si trouerebbe esserui non solamente il Maggiore & lo Minor semi-tuono, ma anco il Massimo, il Minimo, & il Mezano: onde si uerrebbe quasi à confondere l'intelletto de chi ascoltasse. Et perche queste minutie non fanno al nostro proposito; perche dal Senso non sono comprese, per la poca differenza, che cade tra l'uno & l'altro; Simigliantemente, perche ne gli Istrumenti arteficiali la Partecipatione & il Tempera-mento loro non lascia conoscer cotali cose; però si lasciano da un canto. E' ben uero, che quando queste minutie si uorranno trattare, & dimostrare il luogo doue accascano & si ritrouano in un'ordine de suoni, noi sarà cosa impossibile, quantunque difficile; & già so-pra un'Istrumento fabricato à tal proposito molt'anni sono le ridussi in atto, & le uolsi udire; come potrete uedere à Dio piacendo ne i miei SopplimentiLi. 4. c. 11. già promessi. Mi ricordo dell'Istrumento, disse il Viola; & mi accorgo hora; per qual cagione non hauete fatto mentione alcuna cosi minutamente de questi Semituoni nelle Istitutioni; massimamente di questo Minore, quando ne parlaste. A questo dissi; Voi hauete udito la cagione; ma nel Cap. 46. della Seconda, & nel 19. della Terza parte, non solamente l'hò nominato, ma pongo anco la sua proportione, se ue lo ricordate. A questo disse; Me ne ricordo; & ricordomi anco, che nel Cap. 15. della Prima, è compresa la sua proportione nell'ordine de i Numeri harmonici. Per qual cagione adunque; interrogo M. Adriano; per ritornar'à dir qualche cosa ancora di questo Semituono, lo chiamate Minore, essendo Minimo? Risposi Per due cagioni; l'una è, perche per la moltiplicatione delle parti del Senario tra loro secondo 'l proposito, non si passa il numero 36. Onde tra quei numeri, che sono minori di questo, non si troua la proportione del Minore, che uoi intendete; ma si bene del Minimo, ch'è questo ilquale chiamo Minore; ilperche douendo dir Minimo, era necessario, che ui fusse auanti il Minore, ò dopoi almeno; essendo che Minimo è relatiuo di Minore, ne i gradi della Comparatione; onde non mi parue cosa conueniente di nominare il Minimo, non ui essendo il Minore; però lo nominai Minore, per rispetto del maggiore. L'altra cagione fù; perche il Minore, che uoi dite non fà al proposito nostro. Son satisfatto, rispose M. Adriano; se-guitate pur quel, che più ui piace. Soggiunsi allora; Dandoui di sopra la Definitione del Semituono minore, io uenni à definire insieme il Diesis maggiore, che serue al Genere enharmonico, percioche è quell'Istesso Interuallo; per il che hora seguiterò à dirui la definitione dell'altro, ch'è il Minor, & dirò à questo modo. page 92

DEFINITIONE XXIIII.

Il Diesis Minore enharmonico è un picciolo Interuallo, per il quale il maggior Semituo-no supera il Diesis maggiore, ò Semituono minore.
VEDETE di gratia, che bell'ordine è questo, che 'l Chromatico si serue del Semituon maggiore, il quale è commune al Diatonico; & l'Enharmonico usa il minore, ch'è commune al Chromatico; di maniera che potete comprendere, quanto la Natura maestra delle cose sia mirabile. Vedete ancora, soggiunse M. Claudio; che bell' ordine & regolato è questo; che 'l Semiditono, il quale si troua nel Diatonico tra la prima & la terza chorda del suo Tetrachordo; nel Chromatico si ritroua tra la terza & la quar-ta; & il Ditono, che nel Diatonico tra la seconda & la quarta è collocato, nell'Enharmonico è posto tra la terza & la quarta medesimamente. Che uorranno adunque dir questi Chromatisti; soggiunse il Sig. Desiderio? staranno forse ancora ostinati? uorranno forse dire ancora, che 'l Ditono & lo Semiditono non siano del Diatonico, ma si bene, che l'u-no sia dell'Enharmonico, & l'altro serui al Chromatico. Lo diranno certo, disse M. Adriano; & senza ragione; Et se dicessero almeno, che 'l Semiditono, che si troua tra la chor-da E. parlando come prattico, & la chorda C. segnata con questo segno . il quale chia-miamo Diesis, & ciò discendendo; quasi quasi, che si potrebbe, se non in tutto, almeno in parte, tener da loro; ma non già altramente. In che modo Messere, soggiunse il Vio-la ; uorreste tenere con loro in questa cosa. In questo, rispose; quando la nominata Consonanza si ritrouasse esser collocata tra una chorda Diatonica, segnata E. & una Chromatica, segnata . com'hò detto di sopra; perche allora non si ritrouerebbe esser semplicemente tra le chorde Diatoniche; ma tra una segnata E. Diatonica, & una signata . Chromatica; & à questo modo potrei tener dalla sua. Ma che quest'Interuallo non si troui nel Diatonico tra le chorde . & d. & tra e. & g. & non si possa cantare, senza interponerui una chorda mezana; & ch'ello non sia interuallo Diatonico, questo non li consentirò mai; percioche se 'l si canta la Diatessaron senz'esser tramezata d'alcun'altro suono, & in un solo Interuallo, & questa non faccia alcuna uarietà di Genere; il simile etiandio bisogna che auenga, quando si canta il Ditono, ò lo Semiditono con un solo Interuallo; percioche non ui sò uedere, ne ritrouar maggior ragione, c'habbia l'un più che l'altro de questi Interualli; essendo tutti consonanti. Anzi se 'l si douesse hauer qualche rispetto ad alcun di loro; che, come più consonanti, si potessero cantar tramezati & non tramezati, & non fa-cessero uarietà alcuna di Genere, come forse questi potrebbono dire della Diatessa-ron; percioche da gli Antichi era tenuta la Prima consonanza; maggiormente do-urebbe hauer questo priuilegio il Ditono & lo Semiditono; percioche tra i Mo-derni fin'hora la Diatessaron da molti non è posta nel numero delle Consonan-ze; come sono la Diapason & la Diapente; ma si bene il Ditono & lo Semiditono. Et che questo sia uero, uedete questi due Interualli consonanti, che scambieuol-mente tanto si pongono nella parte graue delle nostre compositioni l'uno sotto, ouer sopra l'altro, quanto nell'acuto; il che non si fà della Diatessaron con la Diapente; per-cioche questa sempre si pone sotto la Diatessaron, & questa le stà di sopra; oueramente costumiamo di porle sotto il Ditono, ò lo Semiditono. Io uoglio dire, disse il Merulo, una parola Messere, & poi seguitarete. Ditemi per uostra cortesia; di che Genere fanno costoro, che sia il Tritono, il Semidiatessaron, la Diapente superflua, la Semidiapente, & altri simili Interualli saluatichi, i quali non sono consonanti, ch'essi pongono nelle lor compositioni? Voleua anch'io à punto dimandarui, soggiunse il Viola; Di che Genere li fanno. Dicono, rispose egli all'uno & l'altro; che sono di un Genere misto, questi ga-page 93 lant'huomini; ma non conoscono però la sua mistura. Vdita questa Conclusione, dissi; Horsu Messere; lasciamo hormai queste cose da un canto, & torniamo al nostro proposito, che sarà cosa più utile: & sarà la Definitione del minimo Interuallo rationale, che si troua nella Musica, il quale è chiamato Comma; onde diremo.

DEFINITIONE XXV.

Il Comma è un'Interuallo, per il quale il Tuono maggiore sopr'auanza 'l minore.
ET è detto Κόμμα; quasi tagliamento, ò parte, che dir uogliamo; col qual nome chiamano etiandio i Grammatici una parte dell'Oratione. Disse allora il Meru-lo; Questo nostro Comma non s'assimiglia à quello de gli Antichi, per quel ch' io hò potuto uedere. Non solamente, dissi; non s'assimiglia nella proportione; ma ne anco nella origine; percioche il Comma antico è quello, per il quale il Tuono sesquiottauo è maggiore di due loro Semituoni minori, ouero è quella differenza, che si troua l'Α'πο-τομὴ & il Λεῖμμα; & è contenuto dalla proportione Super. 7153. partiente. 524288. come porta la natura di cotal cosa; ma quel, che hò definito, è contenuto d'altra proportione; come al suo luogo son per dimostrarui. Et è differente per la origine, il che ci manifesta la definitione. Disse allora M. Adriano; Ci direte cosa alcuna de i loro Schisma & Diaschisma? poi ch'io uedo che procedete per un'altra strada fuori di quella che faceuano gli An-tichi. Dirouui gli risposi; & questo sarà il luogo; per non andare più in lungo: essendoche lo Schisma nasce dal Comma, & lo Diaschisma del Semituono minore, come udirete. Diremo adunque,

DEFINITIONE XXVI.

Lo Schisma è la metà intera del Comma.
DI qual Comma intendete uoi, soggiunse M. Adriano; del nostro, ò pur di quello de gli Antichi? A' questo soggiunsi; Quantunque si habbia da intender di quel-lo de gli Antichi; percioche da loro sono uenuti questi termini, & queste diui-sioni; tuttauia non uoglio che facciamo tra 'l nostro & il loro alcuna differenza; ancora che quello sia molto differente da questo di proportione; pur che ui dimostri quello, ch' io intendo di dimostrarui al suo luogo. Sopra di questo Soggiunse M. Claudio; Che uuol dire ueramente Schisma? Σχίσμα, risposi; è uoce Greca, & uuol dire Diuisione; percio-che, come hauete udito nella sua definitione, gli Antichi faceuano due parti equali, ouer l'intendeuano del Comma, & ciascheduna di esse chiamauano Schisma. Stà bene, disse M. Adriano; ma che sarà poi lo Diaschisma? Quello, che ui hò detto di sopra, risposi; il quale diffiniremo à questo modo.

DEFINITIONE XXVII.

Lo Diaschisma è l'intiera metà del Semituono minore.
SOGGIUNSE M. Adriano; Di qual Semituono s'hà da intendere; dell'Antico, ò pur del nostro? Sete molto diligente Messere, gli dissi; Ma qui non uoglio far differenza alcuna; percioche importa poco hauendoui à dimostrar solamente, che le sue diuisioni sono Irrationali; essendoche non si possono denominar con Numeri deterpage 94 minati & rationali; ma con irrationali & sordi. Et realmente le loro diuisioni non posso-no farsi se non col mezo della Geometria; cioè, con l'aiuto d'un'istrumento Geometri-co, come ui dimostrerò quando sarà il tempo. Ma quel che fin'hora hò detto ui potrà essere à bastanza intorno alle Definitioni; percioche uoglio, che ueniamo alle Proposte. Non sarà fuori di proposito, aggiunse il Sig. Desiderio; non hauendoci altro da dire so-pra questi Principij; però incominciate da quello, che ui torna commodo, che noi ui a-scoltaremo attentamente. Voi dite bene, risposi; però ascoltate la prima Proposta, la quale sarà,

PROPOSTA PRIMA.

La Diapente & la Diatessaron nascono dalla diuisione Harmonica della Diapason con-sonanza.
LA quale ui uoglio dimostrare à questo modo. Sia a. b. la consonanza Diapason, secondo la Decimanona del primo nostro Ragionamento, dal c. Harmonica-mente in due parti in a. c. & in c. b. diuisa. Dico di tal diuisione nascer la conso-nanza Diapente & la Diatessaron; & lo prouo. Perche a. contiene il c. & la sua metà; però, per la Quinta definitione di heri, a. co 'l c. uiene ad essere interuallo Sesqui-
altero. Simigliantemente; perche c. contiene il b. una fiata & una sua Terza parte; però, per l'istessa definitione, dico c. b. esser'interuallo Sesquiterzo. Ma perche, per la Nona & decima definitione d'hoggi, la Sesquialtera è la forma della Diapente, & la Sesquiterza è quella della Diatessaron; però dico a. c. esser la Diapente, & c. b. la Diatessaron, le quali nascono dalla diuisione della Diapason a. b. Harmonicamente fatta, secondo che era 'l proposito di dimostrarui. Ancora che queste cose siano palesi al senso, disse Messer' Adriano; non sono però considerate per il uerso che uanno; Percioche se bene io sò, che una Diapente & una Diatessaron aggiunte insieme fanno una Diapason; tuttauia non sapea, che fussero parti della Diapason; & che nascessero dalla sua diuisione Harmoni-camente fatta, come hora hauete dimostrato. Se ben tutte ui erano note; Messere, gli dissi; non però le sapeuate dimostratiuamente, & per le lor cagioni; però ascoltatemi, che à poco à poco uerrete à sapere il tutto. Onde auertite; che,

PROPOSTA II.

Raddoppiata qual si voglia Semplice consonanza, ne i suoi estremi; dalla Diapason in fuori; non dà alcun'Interuallo, che sia consonante.
SIANO a. & b. minimi termini di qual si uoglia semplice Consonanza, la quale, per la Decimasesta del giorno passato, sia raddoppiata tra c. a. & b. & siano a. & b. numeri semplici, & d. sia numero composto di Numero & Parte; & tra c. & a. si troui quell'istessa proportione, che si troua tra a. & b. Dico, che gli estremi termini c. page 95 & b. di tal raddoppiamento non danno consonanza alcuna. Imperoche, non vi essendo consonanza, che non sia della prima, ò della seconda maniera; & hauendo cotali Con-sonanze; per la Prima & per la Seconda Definitione di questo ragionamento; le forme lo-ro tra i numeri, ò termini, che sono le parti del Senario, col primo numero Cubo; i quali sono Numeri semplici; poi che c. numero & parte uiene ad esser numero Composto; ne segue che tra c & b. non ui possa cascare forma d'alcuna consonanza. Ma perche c. nu-
mero & parte vengono ad esser con b. la forma della proposta Consonanza raddoppiata; però dico, che Raddoppiata qual si uoglia semplice consonanza; ne i suoi estremi non dà alcun'interuallo, che sia Consonante. Et perche, per la Ventesimaterza del ragionamento del giorno passato; raddoppiato l'interuallo Duplo, costituisce il Quadruplo; & per l'Ottaua definitione d'hoggi, il Duplo è la forma della consonanza Diapason; &, per la Quarta decima, il Quadruplo è quella della Disdiapason; però raddoppiato l'interuallo della Diapason ne gli estremi produce la Disdiapason; la quale, per la Settima & per la Quartadecima nominata definitione; è interuallo Cosonante [sic: Consonante]. Raddoppiata adunque qual si uoglia semplice consonanza dalla Diapason in fuori, ne i suoi estremi non dà al-cun'Interuallo, che sia consonante. Et questo è tutto quello, che secondo la proposta, ui douea dimostrare. Onde passarò à dirui, che

PROPOSTA III.

La Diapente & la Diatessaron sono collocate tra le maggiori Superparticolari.
ET ve lo dimostro. Siano ab. la Diapente, & c. con d. la Diatessaron. Dico à [sic: a] b & cd. esser collocate tra le maggiori Superparticolari. Molteplico adunque, ò raddoppio; per la Decimasesta del giorno passato, l'interuallo ab. & lo cd. di maniera, che ne uenga eb. due Diapente, & fd. due Diatessaron. Et per-che eb & fd; per la Precedente; non fanno alcuna consonanza; però dico; per la Prima definitione d'hoggi; che ne eb & fd; simigliantemente, ne anco ab & cd; per la Vnde-cima proposta di hieri; possono tra le Molteplici esser collocate. Ma ab. Diapente, & c d. Diatessaron; per la Sesta definitione d'hoggi; sono Consonanze semplici, & le forme loro sono collocate tra le Molteplici, ò Superparticolari, & non tra altri Interualli; Adun-que ab & cd. non hauendo luogo tra le prime, di necessità l'haueranno tra le seconde; che sono le Superparticolari. Ma la Diapente & la Diatessaron; per le loro Definitioni; han-no le forme dalla Sesquialtera, & dalla Sesquiterza proportione; delle quali, per l'Otta-
ua Dignità
; tra i Superparticolari non ue n'è un'altra maggiore; adunque la Diapente & la Diatessaron sono collocate tra le maggiori Superparticolari; come ui douea dimostra-page 96 re. Piu oltra. Per la Decimasettima proposta del giorno inanti, ui dimostrai, che l'Interual-lo Duplo nasce dalla congiuntione dei due maggiori Superparticolari; cioè, Sesquialtero & Sesquiterzo. La onde, essendo, per la Nona definitione d'hoggi, la Sesquialtera forma della Diapente; & per la Decima, la Sesquiterza forma della Diatessaron; seguita che la Diapente & la Diatessaron siano collocate tra le maggiori Superparticolari; come dice la proposta. Et questo è tutto quello, che dimostrar ui douea. Et perche ui uedo attentamente ascoltarmi; seguitarò dicendo; che

PROPOSTA IIII.

La Diapason nasce dalla congiuntione della Diapente & della Diatessaron poste insieme.
S'Io non m'inganno; disse qui il Sig. Desiderio; in questa proponete il contrario di quello, che poponeste nella Prima proposta. Come adunque può stare, che di queste due consonanze si componi la Diapason, se hauete detto prima che dalla diuisione di essa nascono le due altre? Questo non è inconueniente (gli dis-si) à dire, & anco ad essere; come dissi heri; che di una cosa diuisa in più parti, se ne componi in'altra & quell'istessa, di quelle parti istesse. E' ben uero; ei rispose; ma genera fastidio udire, che questi due termini contrarij possino stare insieme Diuiso & Composto, in un'istes-so soggetto. Sono possibili, dissi io, quando sono considerati secondo diuersi rispetti. Ma ueniamo al nostro proposito. Vi dimostrai nella Precedente, che la Diapente & la Dia-tessaron sono collocate nelle maggiori Superparticolari. Dimostrai ancora heri; per la De-cimasettima; che l'Interuallo Duplo si sà de due Massimi superparticolari; la onde essendo l'Interuallo Duplo la forma della Diapason; & la Sesquialtera quella della Diapente; & quella della Diatessaron la Sesquiterza; seguita che la Diapason nasca, quando la Diapente con la Diatessaron insieme si congiungono; come dice la proposta. Et questo è quello, che bisognaua dimostrare; al che aggiungeremo:

COLLORARIO.

Onde nasce, che reciprocamente cauata la Diapente dalla Diapason, ne uenga la Diatessaron; & cauatane la Diatessaron resti la Diapente.
DISSE allora M. Claudio; Questa cosa da se stessa è chiara, & non ha bisogno d'al-tra dimostratione: percioche se da ab. interuallo della Diapason; come hauete dimostrato nella Prima; leuaremo ac. Diapente; ne resterà senza dubio cb. Dia-tessaron: come anco, se da ac. si leuarà cb. Diatessaron, necessariamente resterà ac. Diapente. Questo è uero, risposi, & si tocca con le mani; onde uerrò all'altra proposta; la quale sarà questa.

PROPOSTA V.

L'Interuallo della Diapason è Molteplice.
SIA a & b. l'interuallo della Diapason; & sia anco, per la Ottaua definitione, d'hoggi, & per la Terza del primo la Dupla la sua proportione; & sia oltra di que-sto c & b. tale Interuallo raddoppiato. Dico a & b. essere interuallo Molteplice. Per la Ventesima terza di heri; l'interuallo Duplo raddoppiato costituisce il Quadruplo; ma il Quadruplo, per la Quarta definitione di heri; è Molteplice; adunque raddoppia-page 97
to a & b. prouiene c & a. ch'è simigliantemente molteplice. Et perche c & b. è Interual-lo molteplice; però a & b. Interuallo raddoppiato in c & b. per la Sesta proposta di heri; fa-rà etiandio molteplice. Ma tra a & b. ui è l'Interuallo della Diapason; adunque (come dimostrar ui douea) tale Interuallo è molteplice. Ancora; per la Decimasettima di he-ri, habbiamo; che l'Interuallo Duplo nasce dalla congiuntione de i due maggiori super-particolari; Sesquialtero & Sesquiterzo. Et per la Precedente, habbiamo dimostrato; che la Diapason nasce dalla congiuntione della Diapente con la Diatessaron; lequali hanno le forme loro dalle due nominate proportioni, ouero interuallo; Onde non è dubbio, es-sendo l'interuallo Duplo (per la Quarta definitione di heri) Molteplice; che anco l'inter-uallo della Diapason sia molteplice; poiche, per la Definitione, la Dupla è la sua vera for-ma. Ancora; Per la Ottaua definitione d'hoggi, l'interuallo della Diapason, ò uogliamo dire la Diapason cononanza è contenuta dalla Dupla proportione; ma, per la nominata Quarta definitione di heri; tale interuallo è Molteplice; adunque l'interuallo della Dia-pason è Molteplice; come, secondo quello, che ui hò proposto, vi douea dimostrare. Stà bene, disse M. Francesco; ma ditemi perche non dimostrate, che l'interuallo della Diapa-son sia Duplo? Perche già lo sapete per uia della sua Definitione, risposi; che dice; che è contenuta nella sua uera forma dalla proportione Dupla. Et già vi hò detto, che le De-finitioni sono Principij, i quali non si possono in quella Scienza, della quale sono Princi-pij, dimostrare; altramente non si potrebbono dire Principij, però non aspettate, ch'io ue lo dimostri. Soggiunse allora M. Claudio; Poniamo, che non haueste detto, che la forma della Diapason fusse la proportione Dupla; la potreste uoi allora dimostrare? Si be-ne, dissi. Fatemi adunque di gratia questo fauore; soggiunse egli; dimostratecela. A que-sto gli dissi; vi uoglio satisfare al tutto. Vi hò già dimostrato; che questo interuallo è Mol-teplice; non è cosi? Cosi è in fatto replicò M. Claudio; Adunque, dissi io; ouero ch'ello è Duplo, oueramente maggiore del Duplo. Ma perche il giorno auanti hò dimostrato, per la già nominata Decimasettima proposta, l'interuallo Duplo nascere dalla congiun-tione de i due Massimi superparticolari; però se l'Interuallo è maggior del Duplo; il Du-plo non si componerebbe solamente de due interualli Superparticolari, ma de più de due. Nondimeno, hò dimostrato nella Penultima, che la Diapason si compone de due Con-sonanze & superparticolari Interualli, che sono la Diapente, & la Diatessaron; adunque la Diapason non è maggior dell'interuallo Duplo. Et se non è maggiore, adunque è Du-plo; come vi douea dimostrare, secondo la uostra richiesta. Siamo benissimo satisfatti; disse M. Claudio; & ui ringratiamo. Verremo adunque ad un'altra proposta, soggiunsi; la quale sarà.

PROPOSTA VI.

Il Ditono, & lo Semiditono nascono dalla diuisione della Diapente Harmonicamente fatta.
SIA ab. la Diapente diuisa, per la Decimanona proposta di heri, da c. mezano termine Harmonicamente in due parti; in ac. & in cb. Dico da tal diuisione nasce-re il Ditono & lo Semiditono. Onde perche a. contiene c. & la sua Quarta par-te; però, per la Quinta definitione di heri, ac. uiene ad essere Sesquiquarto; Ma il Sesquiquarto, per la Vndecima definitione d'hoggi, è la forma del Ditono; adunque a & c. uerranno ad essere il Ditono. Ancora; perche c. contiene il b. & una sua Quinta parte; page 98 però dico cb. essere, per la Quinta definitione nominata, interuallo Sesquiquinto. Ma lo Sesquiquinto, per la Duodecima Definitione d'hoggi, è la Forma del Semiditono, adunque
c & b. è Semiditono. Et perche a. b. c. è Interuallo secondo la definitione Tertia decima del primo, diuiso Harmonicamente in un ditono & in un Semiditono; però dico, ch'el Ditono & lo Semiditono nascono dalla diuisione Harmonicamente fatta della Diapen-te. Et questo è quello, che secondo la Proposta douea dimostrarui.

COROLLARIO.

Onde nasce, che la Diapente è reintegrata dal Ditono & dal Semiditono, come da sue parti.
INTESO questo il Signor Desiderio; con vn uolto molto lieto, disse; In fatto la Dimostratione chiarisce il tutto. Onde si uede M. Gioseffo, che quello che uoi dite, è vero in effetto; che dalla diuisione della Diapason nelle sue parti, nascono gli altri Interualli, che seruono alla Musica; cosa, che mai più hò inteso da altri, che da uoi. Ma che ci proporrete hora da dimostrare? Subito soggiunsi; Che

PROPOSTA VII.

Gli Interualli del Ditono & del Semiditono sono Superparticolari.
ET lo dimostro in cotal maniera. Sia a. b. c. l'Interuallo del Ditono raddop-piato, & sia a & c. due Ditoni. Dico ab. ouer bc. esser'Interuallo Super-particolare. Et perche ac. per la Seconda di questo; è impossibile, che fac-cia consonanza alcuna; però ac. non può esser Molteplice, ne meno per la Vndecima del passato ragionamento ab. ouer bc. sarà Molteplice. Ma per la Sesta de
finitione
d'hoggi, ab. ouer b. c. Ditono è Consonanza semplice; onde è compresa tra i Molteplici, ouer tra i Superparticolari; però se ab. ouer bc. non è Molteplice; bisogna necessariamente, ch'ella sia Superparticolare. Ilche è quello, che vi douea dimostrare. Allora il Viola; Stà bene, disse, Hauete detto del Ditono; ma come si farà à prouar, che 'l Semiditono sia anche lui Superparticolare? Si tenerà l'istesso ordine, soggiunsi; & si use-ranno le ragioni istessse, che habbiamo usate nel Ditono; raddoppiando 'l Semiditono; co-
me si uede raddoppiato tra a. b. & c. in questo essempio; & si haurà il proposito. La onde verrò all'altra, che segue; la quale sarà questa. page 99

PROPOSTA VIII.

Il Tuono maggiore & lo minore nascono dalla diuisione del Ditono fatta harmonica-mente.
FERMATEVI di gratia vn poco M. Gioseffo, disse il Signor Desiderio; Da che uiene, ch'in tutte le Diuisioni, fatte fin'hora harmonicamente, hauete sempre pigliato la Parte maggiore della diuisione precedente, & non minore? Perche la minore, dissi non dà quelli Interualli, che fanno al proposito, ne consonanti, ne anco dissonanti; come da questo potrete comprendere; che diuidendosi la Diatessaron harmo-nicamente in due parti, dirò cosi; ne uengono due Interualli, de i quali il maggiore è con-tenuto dalla Sesquisesta, & lo minore dalla Sesquisettima proportione; che se ben sono Superparticolari, non fanno però Consonanza alcuna; percioche i loro termini non so-no contenuti tra le Proportioni delle parti del Senario, secondo la Definitione; Onde non seruono alle nostre Harmonie, essendo che non sono Interualli, per i quali l'uno maggio-re de i consonanti superi un'altro minore; come sono gli interualli de i Tuoni & Semituo-ni, & altri ancora, i quali habbiamo definito. Detto ch'io hebbi questo, replicò & disse, Da che nasce questo? Nasce; risposi; che tali Interualli per loro natura & proprietà non sono atti à riceuer tal diuisione, che possa produrre i suoi Interualli consonanti; come fà quello della Diapente; ouer se non sono consonanti, ch'almeno seruino alle modula-tioni delle cantilene; come quelli, che nascono (come ui dimostrerò) dalla diuisione del Ditono; il che dico etiandio de gli altri. Questa ragione è molto commodo; soggiunse egli. Et io per hora (risposi) non ui sò dir'altro; ma quando ne direte un'altra più particolare, & più propria; la mia le darà luogo. Ma ditemi per uostra fè; per qual cagione il numero Ternario non si può di uidere in due altri numeri, che siano equali? Ei rispose; Per la ragione istessa c'hauete detto della Parte nominata; però con questa uostra dimanda m'hauete fatto accorgere, ch'è buona ragione quella, c'hauete addotto; se ben non è propria, essendo che in uerità altro non si può dir sopra questo fatto; se non che tali proprietà uenghino dal-la lor Natura. Seguitate adunque quello c'hauete principiato; percioche di questo resto satisfatto. Sia adunque soggiunsi ab. il Ditono diuiso dal c. harmonicamente in due parti ac. & cb. come c'insegna la Decimanona del Primo. Dico da tale diuisione esser prodotto il
Tuono maggiore, & lo minore. Et perche a. contiene il c. una fiata & una sua ottaua parte; però dico, per la Quinta definitione del primo, ac. esser'interuallo Sesquiottauo. Ancora; perche contiene b. & la nona parte di esso b però, per la istessa Definitione, cb. uiene ad esser Sesquinono. Ma perche ac. è Sesquiottauo, & il Sesquiottauo, per la Ventesima sesta proposta di heri, & per il suo Corollario, è la differenza, che si troua tra lo Sesquialtero forma della Diapente, & lo Sesquiterzo forma della Diatessaron; la quale, per la Ventesima defi-nitione d'hoggi, è Tuono maggiore; però dico ac. esser Tuono maggiore. Simigl[unclear: i]antemente; perche cb. è Sesquinono, & questo, per la Ventesima settima proposta del giorno passato, & anco per il suo Corollario, è la differenza, per la quale la Sesquiterza; cioè, la Diatessa-ron sopr'auanza la Sesquiquinta, che è il Semiditono; & tale differenza è Tuono minore; però dico cb. esser Tuono minore. Diremo adunque, che dalla diuisione del Ditono fatto harmonicamente nascono il Tuono il maggiore & lo minore; come ui douea dimostrare. Si può egli dimostrare, disse M. Adriano; che 'l Tuono maggiore sia Sesquiottauo, & lo minore Sesquinono. Si può; Messere; & si debbe anco dimostrare; dissi; se ben da quello, che di page 100 sopra detto habbiamo, tal cosa si possa comprendere; essendo che nella loro Definitione non ui è posto la lor forma. Allora ei soggiunse; Adunque se 'l non ui rincresce dimostra-teci cotal cosa. Et io dissi. Voglio satisfarui Messere per ogni modo; onde diremo.

PROPOSTA IX.

L'interuallo del Tuono maggiore è Sesquiottauo, & quello del minore è Sesquinono.
HABBIAMO dalla Ventesima definitione d'hoggi; che 'l Tuono maggiore è quel-l'Interuallo, per il quale la Diapente sopr'auanza la Diatessaron. La onde essendo, per la Ventesimasesta proposta del primo, tale interuallo Sesquiotta-uo; com'anco si è detto nella Precedente; ne uiene, che l'interuallo del Tuono maggio-re sia Sesquiottauo. Simigliantemente, per la Definitione Ventesimaprima di questo Ragionamento; chiaramente si uede & conosce, che 'l Tuono minore è la differenza, che si troua tra la Diatessaron & lo Semiditono, di quanto l'un supera l'altro; & già si è dimostrato nel Ragionamento passato, nella Ventesimasettima proposta & nel suo Corol-lario, che tal differenza è un Sesquinono; però necessariamente seguita, che l'interuallo del Tuono minore sia Sesquinono. Et questo è quello, che m'hauete richiesto, ch'io ui douesse dimostrare. Son satisfatto; disse M. Adriano. Io adunque seguiterò; soggiunsi; dimostrandoui; che

PROPOSTA X.

L'interuallo del Tuono maggiore, & quello del minore sono Superparticolari.
QVESTO è cosa facile; sopraggiunse il Signor Desiderio; percioche, se per la Definitione, Quell'interuallo è Superparticolare, ilquale hà i suoi termini in tal maniera, che 'l loro maggiore contenga il minore & di più una sua parte Ali-quota; l'interuallo del Tuono maggiore & quello del minore, senza dubio sono Superparticolari; perche, come hauete dimostrato nella Precedente; l'uno è Ses-quiottauo, & l'altro Sesquinono, & ne l'uno & ne l'altro di essi il termine maggiore con-tiene il minore & la sua nominata parte Aliquota. Onde posso dire, che questo è quello, che uoi poteuate dimostrare. La cosa và bene; risposi; però andaremo un passo più auan-ti. Il perche hauendo espedito di dimostrare, in qual maniera tutti quelli Interualli, che sono semplici, nascano dalla diuisione harmonica della Diapason, fatta nelle sue parti; uoglio ch'al presente dimostriamo alcune cose, che vi saranno di molta contentezza l'ha-uerle uedute; percioche da esse comprenderete, come la madre Natura, Istrumento del Sommo fattore, sia mirabilissima nel produrre & nell'ordinar le sue cose. Et uede-rete, che quelle della Musica non sono fatte dall'Arte; ne accascano casualmente; ma necessariamente sono per lor natura tali; & per tali debbono dal Musico esser considera-te. Però; accioche incominciate à uedere in quante cose, che sono quasi infinite, l'ordi-ne delle Consonanze & Interualli Musicali si ritroui; ui proponerò & dimostrerò la pro-posta, che segue. page 101

PROPOSTA XI.

Tra i termini delle diuisioni della Diapason, fatte secondo l'Harmonica & Contr'har-monica proportionalità, & anco tra le loro differenze; si trouano le forme de tutte le Consonanze musicali.
MOSSE qui un dubio M. Adriano, udendo questa proposta, dicendo; Per qual cagione non hauete cosi detto d'un'altra Consonanza; com'hauete detto della Diapason? Onde gli risposi in cotal modo; Perche dalla sua diuisione, per es-ser Prima consonanza, com'hò detto altroue;Cap. 13. Inst. 1. par. hanno origine tutte l'altre. Et perche ogn'altro Interuallo minor di lei, è come sua parte; ò maggior, come composto di essa & d'una sua parte, non è atto à darci tutte queste cose. Vi hò inteso, disse egli; però segui-tate, ch'io haurò molto caro di ueder questa cosa. Cosi farò Messere, per satisfarui, sog-giunsi. Siano adunque a & b. minini termini della Dupla, la quale, per la Definitione,
è la forma della Diapason; & sia primieramente, per la Decimanona di heri, d & c. diuisa da e. termine mezano harmonicamente. Et sia etiandio a. la differenza di d & e. & b. quella, che si troua tra e & c. Dopoi, sia; per l'istessa Decimanona, da f. meza-no termine posto tra c & d. diuisa secondo la proportionalità Contr'harmonica; di ma-niera, che simigliantemente a & b. siano le differenze, che si trouano tra df. & fc. & a. sia la differenza di f. & c. & b. quella di d & f. Onde tra d. e. c. sia l'Harmonica collocata; & tra d. f. c. la Contr'harmonica; & a. con b. siano le nominate differenze. Dico, che tra tutti questi termini. a. b. c. d. e. f. si ritrouano le Forme de tutte quelle Consonanze, che seruono all'uso delle Compositioni moderne. Imperoche d & c. fatta la compara-tione del Massimo termine al Minimo de i Quattro maggiori; contiene la proportione Dupla. la quale si troua simigliantemente tra a & b. Onde per la Definitione, tale In-teruallo contiene la Diapason consonanza. Al medesimo modo il d. contiene e. una fia-ta & la sua metà; per tanto dico d & e. esser Sesquialtero, & per la Nona definitione di questo, esser la forma della Diapente. Ancora; perche e. contiene il c. & una sua terza parte; però dico ec. esser Sesquiterzo; onde la sua consonanza, per la Decima defini nitione [sic: definitione], sarà la Diatessaron. Comparato ancora f con e. si ritrouerà f contenere e. & una sua Quarta parte; onde sarà la proportione Sesquiquarta; la quale, per la Vndeci-ma definitione, è la forma del Ditono. Et quella del Semiditono sarà tra d & f. percio-che il d. contiene f. una fiata & una sua quinta parte; onde nasce, per la Quinta definitio-ne del Primo, la proportione Sesquiquinta; la quale, per la Duodecima definitione di questo, è la sua uera forma. Tra c & b. ancora uiene ad esser la proportione Tripla; la quale è la forma della Diapason diapente; come dalla propria Definitione si può com-prendere; la quale è Consonanza composta; percioche il d. contiene il b. tre fiate à pun-to. Et se 'l si farà comparatione tra e & b. si trouerà, che tra quei termini ui è la Quadru-pla; dalla quale, per la Decima quarta definitione d'hoggi, nasce la Disdiapason; essen-do che e. contiene il b. quattro fiate & non più. Tra f & b. si trouerà anco la Quintupla; per la Quintadecima definitione, forma della Disdiapasonditona, poi che f. contiene b. cinque uolte intere. Et tra d & f. sarà la forma della Disdiapason diapente; per la pro- page 102 portione Sestupla, che si troua tra i nominati termini. Ma se faremo comparatione di f. con c. ritrouaremo la Superbipartiente terza, dalla quale hà la sua forma; come per la definitione Decimasettima è manifesto; l'Hexachordo maggiore. Percioche anco tra f & a. si troua la Dupla sesquialtera, che è la forma della Diapasonditona; com'è pa-lese dalla Decimanona definitione. Onde è manifesto, che tra i termini della Diapason, diuisa secondo la proportionalità Harmonica, & Contr'harmonica, & le loro differen-ze; si trouano tutte quelle Consonanze, che sono possibili da ritrouarsi, le quali à tempi nostri i Musici pongono nelle lor Compositioni; come ui douea dimostrare. Disse qui il Viola; Non hauete già fatto mentione alcuna dell'Hexachordo minore, ne della Diapa-son col Semiditono, & de molt'altre Consonanze, che si pongono ne i Contrapunti. Al-lora soggiunsi; Quando hò fatto mentione de tutte quelle Consonanze semplici, che si possono porre in atto, & che nascono secondo l'ordine naturale de Numeri harmonici; imaginateui, ch'io habbia fatto anco mentione di ciaschedun'altra Composta, & de tut-te quelle, che nascono da un'ordine accidentale; come sono quelle, che nominato m'hauete. Percioche (com'hò detto nelle Istitutioni1. par. c. 16.) tra questi termini, che ui hò mostrato in queste due Proportionalità congiunte, si ritrouano tutte le Parti del numero Senario; le quali contengono in atto & in potenza tutte quelle Consonanze, che si può l'Huomo imagi-nare, che possano seruire alla Musica. Me ne ricordo & resto satisfatto, soggiunse il Viola. Che dite uoi Messere di questi cosi belli discorsi & dimostrationi? Veramente ch'io stu-pisco; rispose M. Adriano; ne mai credeua di ueder tante cose, & tanto diuerse, & anco tanto belle della Musica, com'io ueggio; del che ne sia lodato Iddio. Ma uoltatosi uerso di me soggiunse; non ui uoglio più interrompere col mio parlare M. Gioseffo; percio che deside-ro, che uoi seguitiate; essendo che u'ascolto molto uolentieri. Vi uoglio anco dire Messe-re; risposi; che noi potremmo hauere quante delle già dimostrate Proportionalità congiunte piaceranno à noi; se molteplicheremo i termini d. f. e. c. per qual numero uorremo; per-cioche, per la Quinta dignità, haueremo un'ordine, il quale contenerà quelle Proportio-ni istesse, che sono contenute tra i primi termini. Et cosi si potrà hauer prontissimamente quante proportionalità Harmoniche & Contr'harmoniche congiunte insieme, che sarà dibisogno d'hauere. Ma poi che siamo in questi dolci ragionamenti, ui uoglio dimostrar l'istessa cosa, che u'hò dimostrato con un'altro mezo; accioche conosciate, quanto questa Scienza si piena di belli concetti, & di dolcissime speculationi. Statemi adunque ad udire.

PROPOSTA XII.

Ogni Progressione arithmetica, laquale incomincia da qual numero si voglia, cinque fiate aggiunto à se stesso, contiene le forme de tutte le Consonanze; tra le quali si trouano le Due prime maggiori semplici, esser diuise in Due semplici minori.
BISOGNA, che prima ci dichiarate la proposta; disse qui M. Claudio; & dopoi fa-rete al uostro piacere la dimostratione. Hauete ragione risposi. Notate adunque, ch'io intendo un Numero esser'aggiunto à se stesso Cinque fiate, quando primie-ramete se gli aggiunge una fiata un'altro numero à lui equale dopoi due fiate, oltra di questo tre fiate, quattro anco, & ultimamente cinque fiate; onde nasce l'Arithmetica Progres-sione; La onde dico, ch'ogni Progressione arithmetica, la quale incomincia da qual nu-mero si uoglia aggiunto à se stesso in questo modo, contiene la forma d'ogni Musical consonanza. Et di più ui dico; che le Due prime maggiori consonanze semplici; che sono la Diapason & la Diapente, ciascheduna per se, si troua in tal Progressione diuisa, alla similitudine dell'Harmonica proportionalità in due Consonanze minori. Hora u'intendiamo benissimo; aggiunse M. Claudio, seguitate il dimostrarci cotal cosa. Questa è cosa facile; dissi, & che ciò sia uero page 103 lo vederete. Sia a. il numero, ilquale vogliamo aggiungere Cinque fiate à se stesso, di modo che produca l'Arithmetica progressione. Dico, che dobbiamo prima raddoppiare esso a. & ne uerrà b. Et perche b. è duplo di a. però la Ottaua definitione, ba. contengono la forma della Diapason. Dopoi aggiungeremo a. al b. & ne uerrà c. Ma perche c. contiene a. tre fiate. [sic: ,] & una il b. con la sua terza parte; però per le Definitioni, ca. è Tripla; & è la forma della Diapason diapente, & cb. è Sesquialtera, & è la forma della Diapente. Di nuouo ag-giungeremo a. col c. & ne risulterà d. Manifesta cosa è, che 'l d. contiene a. quattro fiate, & c. una fiata con la sua terza parte; la onde, per le Definitioni; da. è Quadruplo; & uiene à contener la Disdiapason; & cd. è Sesquiterzo, & contiene la Diatessaron. Al d. aggiunge-remo di nuouo a & ne nascerà e. dico e. contenere a. cinque fiate, & esser Quintuplo; & contenere il d. una fiata & la sua Quarta parte; il perche e & d. è Sesquiquarto. Onde dalle Definitioni date al principio di questo ragionamento, è manifesto, che tra e & a. si troua la forma della Disdiapason ditona; & tra e & d. quella del Ditono. Di nuouo aggiungendo a. con e. nasce f. Onde, perche f. contiene a. sei fiate apunto; & e. una fiata con la sua Quinta parte; dico, che f & a è Sestuplo, & per la Decimasesta definitione d'hoggi è la forma del-la consonanza Disdiapason diapente, & fe. è Sesquiquinto, & è la forma del Semidito-no. Ma perche e. contiene c. una fiata con due sue terze parti; però, per la Sesta definitione del Primo ragionamento, ec. è Superbipartiene [sic: Superbipartiente] terzo, & per la Decima settima di questo; è la forma dell'Hexachordo maggiore. Oltra di questo; perche il d. contiene il b. due fiate; però d & b. sono in Dupla proportione, & tale proportione è la forma della Diapason, & è diuisa (come dice la Seconda parte della proposta) in due parti; in una Diapente cb & in una Diatessaron dc. Simigliantemente, perche f. contiene il d. una fiata & di più la sua metà; però dico, per la Definitione, f & d. esser Sesquialtero, & esser la forma della consonanza Diapente. Essendo poi tramezata da e. dico, ch'ella è diuisa in due parti, l'una delle quali si troua tra e & d. ch'è il Ditono, & l'altra tra f & e. ch'è il Semiditono; come di sopra si è mostrato. Ma perche qualchedun di uoi potrebbe dire, che i mostrati ordini non fussero ordinati in Arithmetica progressione, ui uoglio aggiunger questo di sopr'abondante; che dalla Vndecima definitione di heri, lo potrete comprendere; che le differenze, che si tro-uano tra a. b. c. d. e. f. sono equali. La onde essendo tanta la differenza, laquale si troua tra b & a. quanta quella, che si troua tra c & b. & d con c. e con d. & f. con e. la quale è uera-mente a. dà segno manifesto, che questi Termini son'ordinati in Arithmetica progressio-ne; come ui haueua proposto. Adunque Ogni arithmerica progressione, la quale inco-mincia da qual si voglia numero, aggiunto cinque fiate à se stesso; contiene le forme de tutte le Consonanze; Et ciascheduna delle due maggiori semplici si troua esser diuisa in due minori; come v'hò dimostrato. Questa è una bella consideratione; disse il Viola; & degna d'hauerla in memoria; percioche da tutti non è consideirata cosi minutamente, co-me la considerate uoi; però ogn'animo uirtuoso ui hauerà da hauere grande obligo, poi che u'affaticate per giouarli. Lasciamo andar da un canto questo; risposi; & lodiamo DIO delle sue gratie & doni, che ci concede. Et perche siamo sopra le belle cose, ve ne uoglio dimostrar'un'altra, che vi piacerà, la quale è degna di tenerla à memoria. Mi farà molto grato; disse M. Adriano; però date principio. Allora soggiunsi; Perche ui hò dimostrato, che tra Quattro termini continenti la Diapason diuisa secondo l'Harmo-nica & la Contr'harmonica proportionalità, & anco, che nella Progressione arithmetica d'un Numero cinque volte aggiunto à se stesso, si trouano le forme de tutte le Consonan-ze; ui uoglio hora dimostrare, in qual modo Cinque termini più fiate si possino replica-re, tra i quali si ritrouino, non solamentele nominate consonanze, ma anco il Tuono mag-giore & lo iminore. Et per dimostrarui questo con qualche intelligenza, douete sapere; che (come afferma Boetio2. Arith. cap. 54) gli Antichi hebbero questo parere; che quella fusse una Massi-ma & Perfetta harmonia, la quale in se contenesse quattro termini l'un dopò l'altro, che fussero ordinati in tal maniera; che si come poco fà ui mostrai, tra questi Quattro 6. 5. 4. 3, numeri, si trouaua l'Harmonica & la Contr'harmonica proportionalità; cosi page 104
tra questi loro Quattro 12. 9. 8. 6. si ritrouasse la Geometrica, l'Arithmetica, & l'Harmo-nica insieme congiunte; di modo che tra 'l Massimo & lo Minore de i due mezani; & tra il loro Maggiore & il Minimo, fusse la Geometrica; tra 'l Massimo, il Maggior de i mezani & il Minimo, l'Arithmetica; & l'Harmonica tra 'l Massimo, lo Minor mezano & il Minimo. Et uoleuano, che questa Massima & Perfetta harmonia hauesse gran forza nella Musica, & nelle speculationi delle cose naturali; & che non si potesse ritrouar cosa alcuna più per-fetta di questa medietà; & che contenendosi tra tre Interualli, hauesse presa la natura del-la Sostanza d'un Corpo perfetto, il quale consta simigliantemente di tre interualli; che sono lunghezza, larghezza & profondità, ouer'altezza; indotti dall'Harmonia, che si tro-ua tra le qualità del corpo Cubo; ilquale essendo composto de Dodici lati, Otto angoli, & Sei superficie; passando dalla lunghezza alla larghezza, & da questa alla profondità, ouero altezza; equalmente crescendo & facendo il suo progresso da cose equali, & perue-nendo à coseequali [sic: cose equali]; equa lmente [sic: equalmente] è tutto proportionato à se stesso: le quali cose tutte sono veramente degne di gran consideratione. Onde per la conuenienza de tutte queste co-se poste insieme, la quale è ueramente harmonica; la nominarono Geometrica har-monia. Ne per altro chiamarono l'Harmonica mediocrità, ò progressione, Proportiona-lità harmonica, se non per la grande conuenienza, che questa hà con quella. Ma per finir di dirui, tra questa loro Massima harmonia, diceuano, che erano contenute tutte le sem-plici Consonanze della Musica, & anco il Tuono; ilquale affirmauano esser misura com-mune de tutti i Suoni musicali; essendo che uoleuano, ch'ello fusse il più picciolo d'ogn'al-tro. Et se bene gli Antichi hanno dimostrato questa lor Massima harmonia contenersi tra Quattro termini, & che tra loro si ritrouassero tutte le semplici Consonanze, che noi hora page 105 chiamiamo perfette & anco il Tuono; tuttauia non si ritrouando in esso quelle Consonanze, le quali chiamiamo Imperfette; che sommamente sono all'Vdito grate; & da i Musici nelle loro cantilene grandemente poste in uso; ui uoglio dimostrar questa medesima Massima harmo-nia accresciuta al numero de Cinque termini & Quattro interualli, i quali conteneranno medesimamente non solo la Geometrica, l'Arithmetica, & l'Harmonica al modo loro; ma anco la Contr'harmonica, & qual si uoglia consonanza; insieme con le forme del Tuono maggiore & del minore. Questo, disse M. Adriano; ci sarà molto caro; m'auanti che pas-siate più oltra, dateci un'essempio di questa loro Massima perfetta & ueramente mirabi-le harmonia, ui prego; percioche mi nasce di dimandarui un dubio sopra di essa. Io son contento, risposi; & ui dò lo essempio de questi quattro termini; come uedete qui notato: onde hauete à sapere, che Tutto quello, che ui hò descritto, intendono per Massima harmonia. Stà bene; soggiunse M. Adriano. Io uedo hora, che tra 12. 9. 6. ui è la propor-tionalità Arithmetica, & tra 12. 8. 6. si troua l'Harmonica, ouer quella, c'hauete nomi-nato di sopra Geometrica harmonia; ma per questo non ueggio la Geometrica. Et se è quella, c'hauete detto di sopra, che si contiene tra 12 & 8; ancora tra 9 & 6; parmi che questa non sia simile alla Geometrica, c'hauete mostrato nelle Istitutioni.1. par. c. 37. E' uero tutto quello, che dicete; messere, risposi; ma gli Antichi intendeuano anco questa esser pro-portionalità Geometrica; perche si assimiglia à quella, ch'io ui mostrai in questa cosa;
che tanto rende molteplicato il Massimo termine col Minimo, quanto molteplicati i due mezani tra loro; come potete uedere; percioche tanto uiene 72. molteplicato il 12. per il 6. quanto il 9. molteplicato per 8. Ma questa maniera di Proportionalità i nostri Ma-thematici nominano Discontinua, ò Discreta, come la uogliamo dire; & è (come haue-te ueduto) costituita tra quattro termini. Quella poi, ch'è posta fra tre solamente, chiamano Continua; come hauete ueduto nelle due altre. Adunque; soggiunse il Me-rulo; chiamaremo questa proportionalità Geometrica discontinua, per quello ch'io in-tendo. Cosi stà bene, risposi. Voglio anch'io (aggiunse il Viola) dimandarui una cosa; Che cosa è corpo Cubo? del quale n'hauete fatto mentione. Corpo cubo (gli dissi) si no-mina quello, il quale per ogni uerso si troua equale, & hà le sue superficie ò facciate, equali, & equali i suoi lati, & è fatto propriamente come un Dado, à questo modo. Hora
CVBO
intendo benissimo soggiunse egli & resto satisfatto; percioche considero hora i Dodici lati, gli Otto angoli, & le Sei superfi-cie; le quali di sopra hauete commemorato. Et hò finalmente anche compreso Quattro angoli solidi. Ma ui uoglio ancor di-re; ch'io non sò uedere in questi termini tanta Harmonia per-fetta, com'essi dicono, che ui sia. Percioche, se li uogliamo considerare inquanto alla compositione; se fussero tirrate quattro chorde sopra un'Istrumento sotto la ragione de tali proportioni, & fussero insieme percosse; s'alcun uorrà dire, che facciano Consonanza, non che Massima & perfetta harmonia; costui si potrà ben connumerare con page 106 quelli, che non hanno giudicio delle cose della Musica, perche l'Interuallo, ch'è compreso tra i numeri, ò termini 9 & 8, è il Tuono; per quanto ci hauete insegnato, il quale quanto sia perfettamente dissonante, lo dirà uno, che fusse al tutto sordo. Ma se 'l si di-rà che non considerassero questa Massima harmonia à questo modo, ma in quanto con-teneua tutte le Consonanze; questo sarebbe anco errore; essendo che (come detto hauete) in quest'ordine mancano molti Interualli consonanti, iquali appresso de noi sono in frequente uso. Però bisogna dir, che tale Harmonia non si possa chiamar da que-sto, ne Massima, ne Perfetta; ma si bene secondo 'l loro modo: percioche contiene so-lamente tutti quelli Interualli semplici, che appresso di loro erano riputati consonanti. Voi dite bene M. Francesco, soggiunsi; ma mi penso che gli Antichi non la chiamasse-ro Massima & Perfetta harmonia solamente per questo; ma ancora perche in se con-tiene l'Harmonia del Cubo, di sopra da me dichiarata; & perche in lei (com'hò mostrato) sono insieme aggiunte le tre nominate Proportionalità; percioche mi dò da in-tendere, che molto ben sapeuano, che l'Tuono non è Interuallo consonante. Et se lo chiamauano più picciolo d'ogn'altro suono; penso, che haueano rispetto à questo; per-che essendo 'l Tuono la differenza della Diapente & della Diatessaron, con tal differen-za ueniuano à misurar gli altri Interualli; essendo che li considerauano come composti de Tuoni & de Semituoni. Onde lo chiamarono Misura commune; & Minimo de gli al-tri suoni; rispetto alla Misura, la quale è sempre minor di quella cosa, che da lei uien misurata. Intendendo però questo sanamente; come il Braccio che misura 'l panno; ouer l'Vnità, che misura & numera gli altri numeri; percioche altramente non sarebbe uero, poi che il Semituono è d'esso minore, & come sua parte. Questo credo anch'io; disse di nuouo il Viola; ma perche non hò altro, che dimandarui sopra di questo, ui es-sorto à seguitare il uostro ragionamento; & dir quello, che uoleuate. Cosi uoglio fare; risposi: ma di questo ne ragionerò à Dio piacendo ne i Libri de i miei Sopplimenti.Lib. 8. c. 4. 5. & 6. La onde douendo seguitar quello che segue, ascoltate la proposta.

PROPOSTA XIII.

Si può dar quante Massime & Perfette harmonie si vuole; le quali conteneranno cia-scheduna da per sè il Tuono maggiore, & lo Minore, con tutte le Consonanze, tra i suoi termini & le loro differenze.
SIANO adunque, per la Vndecima di questo nostro ragionamento, c. f. e. d. la proportionalità Harmonica & Contr'harmonica insieme aggiunte. Et sia cd. Dupla; ce. Sesquialtera; cf. Sesquiquinta; fd. Superbipartiente terza; fe. Sesquiquarta; & ed. Sesquiterza; alle quali dobbiamo aggiunger l'Arithme-tica & la Geometrica. Per ritrouar l'Arithmetica, raddoppio, secondo 'l modo mostra-to nelle Istitutioni;1. par. c. 36. c & d; & ne uiene g & h; i quali, per la Quinta dignità, conten-gono quell'istessa proportione, che si troua tra c & d. La onde essendo cd. Dupla; gh. simigliantemente uiene ad esser Dupla. Hora piglio la metà, di g. & h. aggiunti insieme, & faccio i. Dico hora gi. esser Sesquiterzo, & ih. Sesquialtero; percioche essendo n. la differenza, che si troua tra g & i; & contenendo g. quattro n. & i. contenendone tre; per la Definitione, gi. è Sesquiterzo. Simigliantemente; perche i. contiene tre n. & h. ne contiene due; però, per la Definitione, ih. uiene ad esser Sesquialtero. La onde, di-co g. i. k. per la Vndecima definitione di heri; esser la ricercata proportionalità Arithmetica; poiche le differenze, che si trouano tra i termini. g. i. k. sono tra loro equali & si-mili alla differenza n. Fatto questo raddoppio simigliantemente f & e. & ne risulta k & l. page 107 Onde dico, che tra g. k. l. h. sono contenute quelle proportioni istesse, che sono collo-cate tra c. f. e. d. per la Quinta dignità nominata; cioè, gh. Dupla; gl. Sesquialtera; g k. Sesquiquinta; k h. Superbipartienteterza; kl. Sesquiquarta; & lh. Sesquiterza. Ma perche tanta è la proportione, che si troua tra g & i; quanta quella, ch'è tra l & h; & tanto rende moltiplicati gli estremi g & h. essendo che l'uno & l'altro danno 72; però, secondo che io dichiarai nella Precedente, dico; che tra g & i. & tra l & h. habbiamo la proportionalità Geometrica. Hauendo ancora mostrato, che gh. è Duplo; per la De-cimasettima di heri; gl. sarà Sesquialtero, & lh. Sesquiterzo. Certo è, per quello ch'io hò mostrato, che i & h. è Sesquialtero; il perche, per l'istessa Decimasettima, g & i. uiene ad esser Sesquiterzo. Se adunque da ih. che è Sesquialtero, leuaremo gi. Sesquiterzo; per la Ventesima sesta del passato ragionamento, restarà i & l. che sarà Sesquiottauo. Si-migliantemente; se da gi. Sesquiterzo leuaremo gk. Sesquiquinto, per la Ventesimasettima di heri; uerrà k & i. Sesquinono. Onde si uede, che tra g. k. i. l. & h; sono contenu-te le forme de tutti gli Interualli consonanti. Et anco quelle del Tuono maggiore & del
minore. Però dico g. k. i. l. h. costituir la Massima & Perfetta nostra harmonia, la quale contiene ogni Consonanza, & il Tuono maggiore; con lo minore, i quali sono parti d'esse Consonanze. Laonde hauendo prima dimostrato gh. esser Dupla; per la Defi-nitione; gh. contiene la Diapason. Ma perche dimostrai gl. esser Sesquialtera; però gl. contiene la Diapente. Habbiamo ancora detto g & i. esser Sesquiterzo; adunque g & i. contiene la Diatessaron. Dimostrai ancora kl. esser Sesquiquarto; adunque kl. è l'interuallo del Ditono. Dichiarai etiandio gk. esser Sesquiquinto; onde dico gk. esser l'interuallo del Semiditono. Oltra di ciò mostrai i & l. esser Sesquiottauo: adunque i & l. è l'Interuallo (per la Nona proposta di questo) del Tuono maggiore. Et perche k & i. è Sesquinono; però (per l'istessa Nona) k & i. è quello del Tuono minore. Più oltra: ui dimostrai kh. essere Superbipartienteterza; adunque, per la Decimasettima defini-tione, c'hoggi u'hò mostrato, kh. è l'Interuallo dell'Hexachordo maggiore. Cosi an-cora dimostrai hm. essere Tripla; adunque hm. è la forma della Diapason diapente. Dimostrai simigliantemente lm. esser Quadrupla; per consequente lm. è l'Interuallo della Disdiapason. Ma quello della Disdiapasonditona è mk. percioche dimostrai tale interuallo esser Quintuplo: come etiandio dimostra il g. esser Sestuplo; onde nasce la Dis-diapason diapente. Dico ancora i & o. essere Duplasesquiquarta, doue ha la sua for-ma la Diapason col Tuono maggiore appresso. Et si come l & f. uiene ad essere Super-tripartiente quinta, la quale, per la Deciaottaua definitione d'hoggi, è la forma dell' Hexachordo minore; cosi kn. è Triplasesquiterza, & è l'interuallo della Diapason ac-compagnata con l'Hexachordo maggiore. Per concludere adunque potete hora ueder page 108 dimostrato tutto quello, che si contiene nella Proposta, come far douea. Et di più anco-ra; hauendoui dichiarato molt'altre cose, le quali uoglio che crediate, che cosi siano; ancora ch'io non l'habbia dimostrate; percioche quando poi uorrete, ui dimostrerò il tut-to; acciò mi crediate, & mi habbiate per huomo senza inganno. Disse allora M. Adriano; Queste cose sono quasi t utte [sic: tutte] dimostrate; per qual cagione adunque uolete uoi, che non ui prestiamo fede? Ma uerament e [sic: ueramente] questo è stato un lungo tiro; & ui prometto, ch'io mi son tanto satisfatto, quanto di cosa, che fin'hora habbiate dimostrato; percioche è cosa molto bella, sottile, ingegnosa, & diletteuole. Il Signor Desiderio anche lui sog-giunse; Veramente è cosa, che può dilettare; poiche dimostra congiunte insieme mol-te cose, le quali, oltra l'esser (com'hauete detto M. Adriano) bella & ingegnosa; è anco piena di dottrina. Ripigliò M. Adriano; Veramente ch'è cosi; ma queste cose non so-no per ogn'uno; massimamente per quelli, che sono di grosso intelletto; perche oltra le molte stenti, che farebbono nel uolerle apprendere; potrebbono anco forse impaz-zire. Dite pure Messere la cosa come ella stà; disse M. Claudio; sono Noci moscate da non porre auanti i porzi; ma si bene bisogna porli auanti le Ghiande, come cibo loro proprio. La cosa è uera; dissi; & per dirui, resto molto consolato; poi ch'io uedo gli amici miei tanto cari & di tanto sano giudicio, come sete uoi, restar satisfatti. Et ciò mi dà animo di caminar più inanti, & di non temer fatica. Et per questo auanti che ui dimostri alcun'altra cosa, ue ne uoglio dimostrare una molto bella, ingegnosa, & forse (dirò cosi) anche noua; Però state ad udire.

PROPOSTA XIIII.

Diuiso il Quadrato geometrico in Sei Parallelogrammi equali; Se noi tiraremo una retta linea da un'angolo di esso Quadrato sopra il lato opposto; di modo che lo di-uida in due parti equali; tra le linee de i lati de i Parallelogrammi, fatte da i i [sic: i] segamenti della retta, nasceranno tali parti, che paragonate l'una con l'altra, ci daranno le forme de tutte le consonanze Musicali.
page 109 SIA adunque il Quadrato a. b. c. d. diuiso primieramennte in sei Parallelelo-grammi equali a. b. e. f: e. f. g, h: g. h. i. k: i. k. l. m: l. m. n. o, & n. o. p. q. di maniera che ciascun di loro sia la Sesta parte di tutto 'l Quadrato, a. b. c. d. Fatto que-sto tiraremo dall'angolo a. la linea ap. di modo che tagli la cd. in due parti equali in punto p. & sia cp. la metà intiera di cd. & il simile sia pd. Et la ef. uenga di-uisa dalla ap. in due parti; cioè, in eq. & qf. la gh. in gr. & rh: la ik. in is. & sk: la lm. in lt. & tm: & ultimamente la nq. in nu. & uo. di maniera che eq. uenga ad esser la sesta parte dell'intiero lato di ciascun parallelogrammo; gr. due: is. tre: lt. quattro: nu. cinque; & cp. ouer pd. sei. Et di nuouo: uo, uenga ad esser sette parti: tm otto: sk. noue: r. h. dieci: qf. undeci; & ab. dodeci. Dico hora, che tra le parti de i lati ef. gh. ik. lm. no. & cd. fatte da i segamenti della ap; & tra 'l lato ab. ritrouaremo le for-me de tutte le Consonanze musicali. Percioche essendo ab. alla cp. ouer pd. Dupla; & la Dupla, per la Definitione, la forma della Diapason; seguita, che ab. & cp. ouer. p. d. sia la forma della Diapason. Et perche ab. contiene tutta la tm. & la sua metà; Però, per la Definitione, queste sono in proportione Sesquialtera. Ma se la Sesquialtera, per la Definitione, è forma della Diapente; adunque ab. & rm. contengono la Diapente. Ancora perche ab. contiene una fiata sk. & una sua terza parte; però ab. & sk. contengono la Sesquiterza; essendo poi questa proportione la forma della Diatessaron; seguita, che ab. & sk. sia la sua forma. Di più rh. & tm. sono in Sesquiquarta pro-portione; percioche rn. contiene tm. & la sua quarta parte; essendo la Sesquiquarta forma del Ditono; seguita che rh. & tm. sia la forma di esso Ditono. Oltra di que-sto; perche ab. contiene rh. & di più una sua Quinta parte; però, per la Definitio-ne, dico ab. & rh. esser Sesquiquinta; La onde essendo questa proportione la forma del Semiditono; consequentemente ab. & rh. uiene ad esser la forma di questo Interuallo consonante. Et perche sk. contiene tm. con una sua ottaua parte; Però dico, sk. & tm. esser Sesquiottauo. Ma essendo, per la Nona di questo il Sesquiottauo la forma del Tuono maggiore; però diremo, che sk. & tm. contengono la forma di questo Tuo-no. Vltimamente (perch'io non uoglio perdere più tempo in dimostrarui tutto quello, che si potrebbe) dico; perche rh. contiene sk. con una sua nona parte; ih. & sk. esser Sesquinono. Ma 'l Sesquinono, per l'istessa Nona proposta, è la forma del Tuono mi-nore; adunque rh. & sk. è la forma del Tuono minore. Et questo è tutto quello, che sommariamente ui hò uoluto dire, & dimostrare; cioè, che tra queste Parti sono con-tenute le forme delle Consonanze & Interualli semplici, & le Forme del Tuono maggiore & del minore, lasciando da un canto il dimostrarui le forme delle Composte; percio-che sono da se stesse, per quello che fin'hora habbiamo ragionato, conosciute. Onde quando uorrete da uoi stessi potrete con facilità uedere, che cotali Forme di una in una tra le già nominate parti si ritrouano; & per più uostra commodità potrete uedere, & far da uoi stessi le dimostrationi de quelli Interualli, c'hò lasciati; aiutate dalla seguente Tauola, ch'io ui propongo; nellaquale trouarete. 45. Relationi di numero à numero, che so-no le forme de quelli Interualli; à i quali saranno accommodati. Hauendo il Signor Desiderio ueduto cotal cosa, tutto ammiratiuo disse; Veramente che questa è stata una bel-la inuentione; & si uede, che le proportioni della Musica sono tutte contenute (come molte fiato hauete detto) nel numero Senario; perche alle proue, & alle Dimostrationi, c' hauete fatto tante fiate, pazzo in tutto & balordo sarebbe colui, che negar le uolesse. Ma passate pur innanzi, che ui sò dire, c'habbiamo hoggi hauuto alquante buone lettioni. Già che hauete fatto mentione del Senario; risposi io ui uoglio anco auertire una cosa, degna di consideratione; che se uoi porrete mente alle diuisioni fatte del proposto Qua-drato, ritrouarete in lui non senza gran marauiglia una grande harmonia; Percioche se lo considerarete diuiso ne i Parallelogrammi, ritrouarete per un uerso il numero Senario; essendo di esso datto Sei parti; come si può comprende re [sic: comprendere] dal Parallelogrammo e. f. g. h. ouer dal l. m. n. o. imperoche ciascheduno di loro è la Sesta parte di tutto 'l Quadrato page 110
¶ Tauola de 45. Relationi, ò Proportioni, che si trouano tra i Numeri intesi
nella diuisione del Quadrato geometrico, che sono le Forme de gli Inter
terualli; che s'adoperano nella Musica.
proposto. Ma considerandolo diuiso per l'altro uerso, ritrouarete il numero Quaterna-rio; percioche il Triangolo a. c. p. uiene ad esser la Quarta parte di tutto il detto Quadrato; come è noto à tutti quelli, c'hanno giudicio delle cose Geometriche; il che ui po-trei anco facilmente dimostrare; che per non andare in lungo, lascierò à uoi altri questa impresa. Solamente ui uoglio dire, che diuidendo questo Quadrato in Triangoli della grandezza del Triangolo a. c. p. ne hauerete quattro, che saranno Orthogonii; cioè, che haueranno un'angolo retto; com'è l'angolo a. c. p. del nominato Triangolo. Di manie-ra che da questo potrete chiaramente comprendere, quanta forza habbiano questi due numeri Quaternario & Senario nelle Musicali harmonie. Voglioui finalmente dire, che se ui uerranno alle mani i miei Otto libri, ch'io chiamo Sopplimenti Musicali; i quali molte fiate ui hò nominati; & piacendo à Dio uederete un giorno & presto in luce, & leggerete il Cap. 3. del Lib. 3. ritrouarete in questa materia cose che ui piaceranno assai; & forse non più udite, ma non più di questo. Inteso questo M. Adriano, disse, Ancora io uoglio, dire, che questa è una bella, sottile, & dotta inuentione; & che ui si potrebbe sopra di essa far molti belli quesiti, che mi uanno per la mente; & dirui anco, che se haueremo de queste lettioni, ui prometto ch'andranno per noi ben le cose; Però non ui uoglio più tenere à bada; onde seguitate pur M. Gioseffo quello, che ci uolete dire. Fin hora Mes-page 111 sere, gli dissi, habbiamo ragionato intorno quelli Interualli, che nascono dell'harmo-nica Mediocrità; onde è cosa giusta hormai, che passiamo più oltra, & parliamo de quel-li, che sono minori de loro, i quali non nascono per cotal modo; ma sono differenze, che si trouano tra i nominati; come sono i due Semituoni, maggiore & minore, & il Comma. Però uederemo hora quali siano le forme loro, & in che Genere di proportioni siano contenute. Incominciando adunque diremo.

PROPOSTA XV.

L'Interuallo del Semituono maggiore è compreso dalla proportione Sesquiquintadecima.
STETTE un gran pezzo ad ascoltare M. Claudio; ilquale hauendo udito questa proposta disse; In qual modo la dimostrarete M. Gioseffo? Hora lo intenderete gli dissi, ascoltate; Per il Corollario della Ventesima ottaua di heri, è manifesto, l'interuallo Sesquiquintodecimo esser la differenza che si troua tra lo Sesquiterzo, & lo Sesquiquarto; Ma essendo lo Sesquiterzo (come tante fiate hò replicato) la forma della Diatessaron, & lo Sesquiquarto quella del Ditono, non è dubio, che 'l Semituono maggiore (per la sua Definitione) uiene ad essere tal differenza. La onde essendo ella contenuta dalla proportione Sesquiquintadecima; ne seguita ancora, che l'Interuallo del Semituono maggiore sia contenuto dalla Sesquiquintadecima proportione. Et que-sto è quello, ch'io ui douea dimostrare. Ogni cosa torna bene disse allora M. Claudio; Et io seguiterò risposi à dimostrarui; che

PROPOSTA XVI.

L'Interuallo del Semituono maggiore è Superparticolare.
CHE u'induce al presente (soggiunse il Signor Desiderio) di prouar, che questo Interuallo sia Superparticolare? Perche uoglio con ogni mio potere (risposi) le-uarui totalmente dalla fantasia; che questo sia quello, che adoperauano gli An-tichi ne i lor Tetrachordi, & usauano nelle lor cantilene. Non bastaua sapere aggiunse ancora, che questo che usiamo sia il maggiore, & quello che elli adoperauano era il mi-nore? Bastaua si, gli dissi; quanto al saperlo ad un certo modo; ma non bastaua al saperlo semplicemente; acciò non haueste qualche fiata à credere, che 'l loro maggiore & mi-nore siano simili à i nostri maggiore & minore. La onde ui uoglio dimostrare, che i no-stri sono compresi da proportioni Superparticolari; essendo che i loro (come hauete potuto comprendere dalla dichiaratione della Ventesima seconda, & della Ventesima terza definitione d'hoggi) sono Superpartienti; se ui ricordate. Me ne ricordo & resto sa-tisfatto; disse il Signor desiderio [sic: Desiderio]; però seguitate il uostro parlare; & perdonatemi, s'al-le fiate interrompo il uostro ragionamento. Questo importa poco; risposi; però ascol-tate la dimostratione; la quale anderà in questo modo. Quell'Interuallo, del quale il termine maggiore contiene il minore una fiata & una sua parte Aliquota; per la Quinta de-finitione di heri, è Superparticolare; ma il Sesquiquintodecimo è sottoposto à tal leg-ge; percioche 'l maggior termine, il quale è 16. contiene lo minore, ch'è 15. una fia-ta, & di più una sua Quintadecima parte, la quale è detta Aliquota; adunque l'inter-uallo Sesquiquintodecimo è Superparticolare. Ma perche, per la Precedente; il Semi-tuono maggiore è compreso da tale Interuallo; però dico, che l'Interuallo del Semituo-page 112 no maggiore (come dimostrar ui douea) è Superparticolare. Ma passiamo ad un'altra Proposta; percioche il tutto è chiaro,

PROPOSTA XVII.

L'Interuallo del Semituono minore è contenuto dalla proportione Sesquiuentesima quarta.
L'INTERVALLO del Ditono è contenuto dalla Sesquiquarta proportione; & quello del Semiditono dalla Sesquiquinta; quell'Interuallo, anco per il quale il Ditono uiene à superar lo Semiditono, per la Definitione, è il Semituono minore; ma l'Interuallo, per il quale la Sesquiquarta sopr'auanza la Sesqui-quinta; per la Ventesimanona proposta di heri; è la differenza, che si troua tra queste due proportioni; adunque tale Interuallo è la differenza, che si troua tra 'l Ditono & lo Se-miditono. Ma perche tal differenza è interuallo Sesquiuentesinoquarto; Però si con-clude, il Semituono minore esser contenuto dalla proportione detta, come bisognaua dimostrare. Et à questa uoglio, che aggiungiamo, per tener l'ordine, che si è tenuto nell'altre; che

PROPOSTA XVIII.

L'Interuallo del Semituono minore è collocato tra i Superparticolari.
ET per dimostrar questa, breuemente vi uoglio dire; per la Quinta definitione del giorno passato; che Quella proportione è Superparticolare, la quale hà il suo ter-mine maggiore di tal maniera, che contenga il minore, & una sua parte Aliquo-ta. Et perche la Sesquiuentesimaquarta è di tal natura; percioche il suo termine maggio-re, che è 25. contiene il minore, che è 24. una fiata & una Ventesima sua quarta parte; pe-rò dico, che la Sesquiuentesima quarta è contenuta nel Genere delle proportioni tra i Su-perparticolari interualli; ma tale proportione; per la Precedente; è la forma, ouero in-teruallo del Semituono minore; Adunque tale Interuallo è collocato tra i Superpartico-lari. Et questo è quello, che breuemente, & succintamente; per non molteplicare in pa-role; ui hò uoluto dimostrare. Questa cosa è espedita; disse à questo M. Adriano; onde tocca la uolta ad un'altra. E' cosi Messere; però ascoltate, gli dissi;

PROPOSTA XIX.

Se 'l si aggiungerà il maggiore al minor Semituono; quello che verrà, sarà Tuono minore.
SIANO adunque a & b. minimi termini della proportione del Maggior semituo-no; & cd. quelli del Minore. Continuo, per la Seconda proposta di heri, questi due Interualli l'un dopò l'altro; molteplicando a in c. & ne uiene e. & a in b. & ne nasce f. Simigliantemente b. in d. & ne risulta g. Hora; perche e & f. nascono dalla molteplicatione di c. in a. & in b. essendo ab. Semituon maggiore, per la Quinta dignità
page 113 dico, che e. & f. uiene ad essere anco l'interuallo del Semituono maggiore. Ancora; perche f. & g nascono dalla molteplicatione di b. in c. & in d. essendo c. et d. Semituon minore; dico, per l'istessa Dignità, f & g. esser'etiandio Semituono minore. Et perche e. contie-ne il g. vna fiata & vna sua nona parte; Però, per la Definitione de i Superparticolari, e. uiene ad esser con g. Sesquinono. Ma per la Nona proposta di questo, l'interuallo Sesqui-nono è quello del Tuono minore; adunque e & g. è l'interuallo del Tuono minore. Ma e & g. sono il Semituono maggiore & lo minore insieme aggiunti; adunque per la Quarta dimanda; Se 'l si aggiungerà il Semituono maggiore al minore, nascerà il Tuono minore; come ui douea dimostrare. Hora aggiungerò questo Corollario; che

COROLLARIO.

De qui auiene, che leuato l'un de questi due Interualli; cioè, il maggiore, ò minor Semidituono dal Tuono minore; necessariamente resta l'altro.
ET perche credo, che questo vi sia manifesto; però seguiterò à dimostrarui un'altra proposta, & sarà questa.

PROPOSTA XX.

Il Comma è contenuto dalla proportione Sesquiottantesima, tra i Superparticolari.
INTESO che hebbe M. Adriano questo, subito disse; Questa proposta hà due ca-pi, per quel che si può uedere. Prima volete dimostrare, che 'l Comma hà la sua forma dalla Sesquiottantesima proportione; dopoi, che questa Forma sia collo-cata tra i Superparticolari. Onde credo, che farete due dimostrationi. Cosi son per fare Messere; risposi. Et per incominciar dalla prima, dico; Per la Trentesimaprima di heri fù concluso; che Se da un Sesquiottauo si uorrà cauare vn Sesquinono, quel che uerrà, sarà un Sesquiottantesimo. Et, per il Corollario dell'istessa proposta, habbiamo, che tale In-teruallo è la differenza che si troua tra 'l Sesquiottauo & lo Sesquinono. Ma la forma del Tuono maggiore, per la Nona proposta di questo, è il Sesquiottauo; & quella del mino-re, per la medesima Proposta, è il Sesquinono. Et il Comma (per la Ventesimaquinta de-finitione d'hoggi) è quell'Interuallo, per il quale il Tuono maggiore sopr'auanza 'l mino-re; però essendo la proportione Sesquiottantesima la forma di tal differenza; Seguita, che 'l Comma sia contenuto dalla proportione Sesquiottantesima. Et perche 'l termine suo mag-giore, ch'è 81. contiene 80. ch'è il minore vna fiata, & una sua ottantesima parte, la quale è parte Aliquota; però, per la Definitione de i Superparticolari, la quale è, che quell'in-teruallo è Superparticolare, del quale il termine maggiore contiene lo minore una fiata, & una sua parte Aliquota. Seguita (ritrouandosi l'interuallo Sesquiottantesimo sotto po-sto à cotali conditioni) ch'ello sia collocato tra i Superparticolari. Et questo è tutto quel-lo, che secondo la proposta dimostrar ui douea. Questo si è inteso benissimo; disse il Viola. Ma già che siamo à ragionar del Comma; diteci per vostra fè; Se 'l si può saper la quantità determinata de i Comma, che sono contenuti ne i Tuoni & ne i Semituoni, che ci hauete dimo-strato. Et se non si può sapere, vi prego à pigliar questa fatica, di dimostrarci il vero di cotesta cosa, se 'l si può fare; acciò leuiate ogni dubio dalle menti nostre. Si può dimostrar benissimo; risposi; & ui uoglio satisfare; per mostrarui, che quello, c'hò detto nelle Istitutioni2. par. c. 4. in que-sto proposito, è uero. Ma perche 'l nostro Comma è molto differente da quello de gli Antichi; come ui dichiarai sopra la Definitione Ventesimasesta d'hoggi; & etiandio sono quelli In-terualli tutti, che sono minori della Diatessaron, dal Tuono maggiore in fuori; ch'appres-so loro erano tenuti per dissonanti; Però di questo piglierò uolentieri l'assonto; accioche vi page 114 dimostri questa uerità ne i nostri Interualli, per satisfarui; poiche ne i loro BoetioMusicae li-bro 3. cap. 15. hà di-ligentemente dimostrato quel, che si potea dimostrare; oue leggendole potrete il tutto conoscere. Et accioche vediate, ch'io vi voglio seruire, incomincierò da questo capo, il quale più vniuersalmente è considerato, & proponerò à dimostrarui questo; che

PROPOSTA XXI.

Il Tuono maggiore sopr'auanza la quantità di noue Comma, & è minore de dieci.
PARMI; disse M. Adriano; se ben mi ricordo; che BoetioMusicae lib. 3. cap. 14. & 15. uoglia, che questo Tuono sia minor di noue Comma, & maggior di otto. Onde si uede in questo, che discordate da lui molto; doue nasce questo, di gratia? Nasce (dissi) che 'l Comma di Boetio è maggior del nostro; percioche la proportione Sesquiottantesima; la quale è la forma del vero Comma; è minor della Super. 7153. partiente. 524288. che è la proportione del Comma di Boetio; come conoscerete dalla dimostratione, onde dico. Sia a & b. la proportione del Tuono, proposto ne i suoi minimi & radicali termini. Et siano c & d. il Comma, conte-nuto ne i suoi minimi termini, ò numeri. Molteplico prima a in c & in d. onde ne viene e & f. dopoi molteplico c in b. & il prodotto sia g. Dico hora e & f. esser l'interuallo del Comma; percioche, Ogni numero (per la Quinta dignità) molteplicato in due altri, qual si vogliano; produce una proportione simile à quella, che tra i due numeri primi si conteneua. La onde essendo molteplicato c & d per a. non è dubio, che tra e & f. sia quel-l'istessa proportione, che si troua esser tra c & d. Il simile dico, ch'è tra e & g. percioche a b. sono molteplicati per il c. onde, si come tra a & b. si troua la proportione del Tuono; co-si quell'istessa si ritroua, per il detto Commun parere, ò Dignità, tra e & g. Fatto que-sto molteplico c in e. & d in f. & ne nasce h & i. Simigliantemente molteplico c in g. & ne uiene k. Dico hora h & i. esser la quantità de due Comma; cioè, del contenuto tra c & d. & del compreso tra e & f. & hk. esser il Tuono. Di nuouo molteplico c in h. & d in i. & ne risulta l & m. che sono tre Comma sommati insieme; & molteplico simigliantemente c. in k. & ne uiene n. La onde dico, per la Quinta dignità nominata, l & n. esser l'Interuallo del Tuono. Molteplico ancora c in l. & d in m. & ne nasce o & p. che per le ragioni dette, contiene quattro Comma; & c in n. & ne viene q. il quale con o. fà (per le ragioni addotte) l'interuallo del Tuono. Vn'altra fiata molteplico c in o. & d in p. & ne risulta r & s. i quali contengono cinque Comma; & c in q & nasce t. che con r. contiene simigliantemente il detto Tuono; come vi potrei di nuouo dichiarare; che, per non esser lungo, lascio da vn canto; es-sendo che hormai è cosa à uoi manifesta. Più oltra; molteplico c in r. & d in s. & anco c. in t. & ne uiene. u. x. y. di modo che tra u & x. sono sommati insieme sei Comma; & tra u & x. viene à contenersi il Tuono. Fatto questo da capo molteplico c in u. & d in x. & uiene Z & A. che contengono sette Comma; & molteplico c in y. & il produtto è B. il quale con Z. contiene l'interuallo del Tuono, Quest'ordine istesso tengo, molteplicando un'altra fiata c in z. & d in A. & c in B. & ne viene C. D. E. La onde dico, che C. D. contiene otto Comma; & C. E, il Tuono. Ancora con l'istesso modo molteplico c in C. & d in D. & ne risulta F. G. che contengono noue Comma; & ancora c in E. & nasce H. il quale insieme con F. contiene medesimamente il Tuono. Fin qui vedete chiaramente, che 'l Tuono è maggior de noue Comma. Percioche se 'l si farà comparatione del Numero F. al numero G. & di nuouo di es-so F. al numero H. essendo 'l G. maggior numero di H. non è dubio, che sarà anco (per la Trentesimasesta del Primo) minor la proportione di F. G. che quella di F. H. La onde essendo FG. interuallo, il quale contiene noue Com