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Title: Dimostrationi harmoniche

Author: Gioseffo Zarlino

Publication: Francesco de' Franceschi (Venezia, 1589)

Principal editor: Frans Wiering

Funder: Utrecht University Netherlands Organization for Scientific Research (NWO)

Edition: 2000

Department of Information and Computing Sciences Utrecht University P.O. Box 80.089 3508 TB Utrecht Netherlands
Copyright © 2000, Utrecht University
page i
DE TVTTE L'OPERE
DEL R. M. GIOSEFFO ZARLINO
DA CHIOGGIA,
Maestro di Cappella della Serenissima Signoria di Venetia,
Ch'ei scrisse in buona lingua Italiana;
Secondo Volume.
Contenente
LE DIMOSTRATIONI HARMONICHE
DIVISE IN CINQVE RAGIONAMENTI.
NE I QVALI SI DISCORRONO ET DIMOSTRANO
le cose della Musica; & si risoluono molti dubij d'importanza à tutti quelli,
che desiderano di far buon profitto nella Intelligentia di cotale Scienza.
Con la Tauola delle materiali notabili contenute nell'opera.
Ο῞σα ἐγὼ ἥδει ἡδίστῳ πάλαι ἐμάθησα,

Καὶ καμάτῳ ἀκαματῳ ἅμα εὔξησα,

Εὐνόῳ νῆν νόῳ, καὶ ὁδῳ εὐόδῳ ἐδιδαξα.
PER ME QVI SI RIPOSA
E IN CIEL SI GODE.
PAX
¶ Θεοῦ διδόντος, ὀυδὲν ἰσχύι φθόνος

Καὶ μὴ διδόντος, ὀυδὲν ἰσχύι πόνος.IN VENETIA, MDLXXXIX.
Appresso Francesco de' Franceschi Senese.page iipage iii
IVVENTVS RENOVATA

AL SERENISSIMO
PRENCIPE DI VENETIA
ALVIGI MOCENIGO

GIOSEFFO ZARLINO DA CHIOGGIA.
GLI Antichi, Serenissimo Prencipe, i quali non hebbero se non in
un certo modo & molto imperfetto cognitione di Dio; tra l'altre
cose, che gli attribuirono, questa fù una; il Conseruar la sua crea-
tura & farle benificio. Et questo tennero di modo esser uero, che
hebbero opinone, che colui, il quale apportaua qualche bene à
mortali,usaua quell'officio, che apparteneua ad esso Dio; come
benefattore (parlando al modo loro) era fatto Iddio, à cui soccor-
reua. Da questo auenne, che gli Inuentori de quelle cose, ch'erano utili à gli Huomini,
Dei furono riputati; ancora (come si uede appresso Diodoro SicoloRerum an-
tiquarum.
lib. 1. ca. 2.
) posti nel nu-
mero de i lor Dei. Onde nacque tra loro il Prouerbio: Α῎νθρωπος ἀνθρώπου δαιμόνιον:
L'Huomo è Dio dell'Huomo; il qual Prouerbio accommadarono non solo alle priuate
persone; ma à i Prencipi ancora; & maggiormente à gli Imperatori; che con la lor
possanza & somma autorità poteuano conseuar le Città, i Popoli & i Regni: imperoche
essendo ancora tra mortali, li chiamauano Dei; & dopo la morte loro, tra i Dei, con al-
cune ridicolose ceremonie (come narra Erodiano Greco ScrittoreHist. lib. 4.
Pet. Messia
in Vita Bas
siani Imp.
) tra gli altri Dei li po
neuano & consacrauano. Questo fù cagione; che si come gli Huomini per natura erano
inuitati ad offrir'à Dio doni, & sacrificij, & anco far uoti, acciò lo hauessero propitio;
cosi anco si mouessero ad offrirgli in uita loro quei doni, che li pareuano più conue-
neuoli. La onde un numero quasi infinito de Scrittori (lasciando molte altre cose, che
potrebbero far à questo proposito) dedicarono & consacrarono à i loro Prencipi,
come à loro Dei, l'Opere loro. Percioche Vitruuio dedicò il suo Volume d'Architte-
tura
all'Imperatore Ottauiano Augusto; Valerio Massimo i Libri de i Detti & Fatti no-
tabili de gli Antichi
à Tiberio Cesare; Plinio l'Historia naturale à Tito Vespasiano.
Ilperche mosso dall'essempio di costoro; hauendo Io gli anni passati, dopo le Istitutio-
ni
, composto le presenti Dimostrationi di Musica; & essendo hormai tempo, à benefi-
cio de quelli, che sono studiosi de questa nobil Scienza, ch'elle debbano uscir in publi-
co; hò uoluto offerirle & dedicarle à V. Sublimità, come ad Ottimo Prencipe & mio
Signore. Et spero, che non minormente le saranno grate, di quel, che furono grate à
quei grandi Imperatori le fatiche de quei eccellenti Scrittori; non essendo la Musica
a a puntopage iv punto all'Archittetura in cosa ueruna inferiore; anzi di gran lunga superiore. Perche se
bene Vitruuio dice,Architec.
lib. 1. ca. 1.
che l'Archittetura è scienza ornata di molte discipline & uarie eru-
ditioni; non è però Scienza; ma Arte fattiua, la qual tiene il terzo luogo tra le Arti; &
la Musica,1. Demon.
Def. 1.
oltra ch'ella non si può trattare (secondo 'l parer di PlatoneDe Legi-
bus. 1.
) senza la Vniuer-
sal disciplina; è Scienza; non solo per il Soggetto, ma etiandio per la certezza della
Dimostratione, senza dubio alcuno, dell'Archittetura assai più mobile & più eccellente.
Et se le fatiche di Valerio & di Plinio nell'adunare insieme da diuidersi autori Greci & La-
tini uarie cose, furono con quelle di Vitruuio al mondo grate; credo per certo, che que-
ste mie habbiano simigliantemente à piacere, & esser di grande utile, non solo per il di-
letto, che da sè porta all'Huomo lo studio di questa Scienza; ma etiando per il com-
modo & utilità, che ne sentiranno i Studiosi dell'altre Arti, & Scienze nella cognitio-
ne del buono & del bello, che ritrouaranno in esse; conciosiache si può dir con uerità,
che l'habbiano acquistato col mezo della Musica. Et quantunque à me sia stato cosa
trauagliosa il raccorre, l'ordinare & dimostrare insieme le cose di questa Scienza; le qua-
li ueramente erano poste senz'alcun'ordine, & anco non erano intese, secondo ch'inten-
der si deono; tuttauia con la patienza hò superato la difficultà, & uinto la fatica col pia-
cere; di modo che, per la gratia di Dio, le hò ridutte in tal'essere, che se prima la Musi-
ca pareua esser priua del suo antico honore, hora con maestà & decoro, come nobilissi-
ma & come una delle principali tra l'altre scienze; può comparere. Hauendo io adun-
que à porre in luce queste mie fatiche, le quali trattano le cose di cosi nobile Scienza, &
una delle prencipali; à chi doueua io dedicarle & offerirle, se non ad un Prencipe Illu-
strissimo & Nobilissimo, come è la Serenità uostra? non altramente da me istimata,
per la Religione incontaminata, per la Vita innocentissima, per il Consiglio gra-
ue, & per molt'altre sue eccellenti qualità, di quello che istimassero Vitruuio, Va-
lerio, Plinio quei sommi Imperatori. Essendoche non con altro mezo, che con
quello del suo ualore; dopo molti gradi de i maggiori ottenuti in questa Eccelsa Re-
publica; meritò sedere in quel seggio sublime, nel quale già sedettero molti Pren-
cipi Serenissimi, la cui Pietà & Religione uerso Dio, accompagnate dall'Amore &
Charità uerso la Patria, tanto puotero, che alla Città, la quale intorno Mille Cento
& Quindici anni Vergine & immaculata ancora si conserua; allargarono i confini,& ac-
crebbero il Dominio; tra i quali furono Tomaso, Pietro, & Giouanni Mocenighi, auo-
li & progenitori suoi di nome immmortale per i fatti illustri loro; à cui s'aggiunge Vostra
Sublimità, che non è, ne sarà à loro punto inferiore. Riguardi adunque la Serenità Vo-
stra col guardo della sua clemenza la mia uerso lei diuotione, & riceua con allegro ani-
mo il dono, ch'io offerisco & dedico al suo gran nome, & me faccia degno di conseruar-
mi nella sua buona gratia; percioche mi parerà hauer'ottenuto grande & singolar bene-
ficio; che di continuo terrò uiuo nella memoria, & con gli Antichi (religiosamente par
lando) potrò dire: Α῎νθρωπος ἀνθρώπου δαιμόνιον: & insieme pregar nostro Signor Iddio,
che le dia lunga uita & felice, & gratia di essere sempre uittoriosa contra gli ini-
mici de questa Serenissima christiana Republica.
page v

TAVOLA DI TVTTE
LE COSE NOTABILI CONTENVTE
NELL'OPERA.

A

ADRIANO Vuillaert maestro de cappella della Sereniss. S. di Vene-
tia, 1. f. studiò à Parigi in Legge.
8. f. 12. p. 201. p. Fu cagione del stu-
dio dell'Autore nelle cose della
Musica. 12. p
Aggiungere acqua ad acqua di una istessa qualità
non genera un misto. 136. p
Aggiunto il Tuono maggiore alla Diatessaron fa la
diapente 123. f. Il Tuono maggiore, ouero il mi
nor Semituono alla Diapente non fà consonanza
alcuna. 126. f
Alfonso d'Este Duca di Ferrara uiene à Venezia: &
è riceuuto con solennissima pompa da i Signori
Venetiani 1. m
Angoli fatti da due linee rette nel Semicircolo so-
no retti 149. f
Animali che non respirano. 13. m.
Antichi poteuanno in due modi udire il Ditono & lo
Semitono. 3. f. Non passarono la Quintadeci-
ma uoce, ne la Quadrupla proportione. 3. f. Nō
intesero i Luoghi & Siti delle consonanze. 4. p.
6. m. 60. f. Non consideranno altra diuisione har
monica, che quella della Dupla. 60. f. In qual mo
do denominarono le Proportioni. 88. f. Attribui
rono la ragione de numeri al Quaternario. 81. p
Posero la Diatessaron nel numero delle conso-
nanze nelle loro Compositioni, 84. p Qual chia-
massero Massima & perfetta harmonia. 103. f. Per
che facessero due generi del Pentachordo, & tre
dello Hexachordo. 194. m. Nelle dimostrationi
de generi, perche tolsero il Tetrachordo & non
altro numero di chorde.196. m Perche colloca-
rono la prima specie della Diapason nella chor-
da. A. 287. m
Antigenida sonatore di Piffero. 239. m
Ἇπόδειξις quello che sia, & il suo officio. 17. f
Ἇποψάλματα quello che siano. 178. m
Ἇποτομὴ quello che si uoglia dire. Secondo quello
che sia. 91. m 164. m. E minore del Semituono
maggiore. 164. m
Aristotele molte cose altrui fece sue. 9. p. Chiama la
Diapason solamente Cōsonanza perfetta. 245. p
Aristosseno come diuideua il Tuono. 153. m
Arithmetica progressione quando si faccia. 26. p
Arithmetici quello che considerino. 10. m
Arsenale de i Signori Venetiani. 240. f.
Arte della Musica da qual parte è detta Prattica. 22. f
Arti di Quattro maniere. 22. f.
Astrologia suppone la natura del Circolo celeste
consistere nella figura circolare, compresa da
una sola linea. 16. m.
Attiua, o prattica che fine ella habbia. 22. f.
Autore non uuole essere destruttore delle cose de
gli Antichi; ma più presto renderle facili. 248. p
Per qual cagione non habba uoluto passare il nu
mero delle Dicisette chorde nelle dimostrationi
fatte nel Quinto ragionamento. 254. m
Ἇξιωματα quello che siano. 30. p

C

CAGIONE che mosse i Pitagorici à dire, che
quelli Interualli che sono minori della Diates
saron siano dissonanti. 3. m Propria del non respi
rare qual sia 13. m. perche l'Autore non habbia
uoluto trappassare il numero di Quindeci Chor-
de nelle sue dimostrationi. 203. m. Della parteci
patione fatta nella Quinta parte ināti l'altre dimo
strationi. 242. m Che muoue l'autore à porre al-
tro ordine nelle Specie delle consonanze 246. m
Cagioni più note alla Natura. 14 f. Addutte dall'Au
tore di porre altr'ordine nelle specie delle Con-
sonanze semplici: & ne i modi. 246. m.
Canna di Organo più che è fatta curta rende il Suo
no più acuto. 136. f
Cantilena quando diletta, ouero non diletta: da che
nasce. 4. f
Canzoni composte da moderni per chromatiche,
& non sono. & perche. 215. p
Κατασκευὴ quello che sia: & il suo officio. 17. f
Cauato il Tuono maggiore della Diapente, resta la
Diatessaron: & questa cauata da quella, resta il
Tuono. 133.
Cauato il Ditono della Diapente, resta il Semidito-
no: & lo Semiditono cauato, resta il Ditono. 123. p
Cercatrice arte, che fine ella habbia. 22. f.
Ceretani, ò Canta in banco fanno professione di
Cantar uersi all'improuiso. 190. p
Chorda sonora è buona per conoscer la ragione del
le distanze de i Suoni l'uno dall'altro. 23. f Meza
na proportionale come tra due date trouarsi pos
sa: la quale partisca il Tuono in due equali.
148. m quādo inutilmēte si aggiūga in uno istru
mēto. 216. f. Vera finale de i Modi qual sia. 253.s.
Chorde unisone riputare una chorda sola. 136. p.
Stabili quali siano. 197. f. Stabili quāte in ciasche
duno de i tre Generi 230. m Mobili quali siano.
197. f Mobili quante siano in ciaschedun Gene-
re. 230. m. Neutrali quali siano. 197. f Neutrali
quante siano in ciaschedun de i tre Generi. 230. f
Delle diuisioni Diatonica & Chromatica in qual
Dimost. Harm. a3 modopage vi Tauola. modo l'una all'altra corrispōdino. 194. m. 223. p
Finali delli Sei modi principali. 253. f. Cō
muni al Diatonico & Chromatico genere. 194.
m.
223. p. Quanto siano più acute quelle di uno
Modo, che quelle di un'altro.279. f De i Modi
principali più acute di quelle delli Non principa
li per una Diatessaron. 280. m. De tutti li Modi
abbracciano tutte le Sedeci chorde. 284. f
Chromatico genere si serue del Semituono mag-
giore: 92. p. Quello che sia. 194. m
Chromatisti destruttori della buona musica. 215. f
Quello che osseruino nelle Cōpositioni loro. 193. f.
Si possono comparare ad Herostrato. 216. p.
Cinque Sesquiottaui non fanno uno Duplo. 73. f
Claudio Merulo da Correggio organista soauissi-
mo. 1.
Cognitione delle cose della Musica non si può haue
re se non col mezo de i Corpi sonori. 11. m. della
Natura, & Nostra molto diuerse. 14. m
Colore intorno al Sono quello che sia. 22. p.
Κόμμα quello che sia: & di quanta proportione era
appresso gli Antichi. 93. p. 113. m 154. p 142. f. Di
donde sia cosi detto. 93. p. In qual modo di accō-
modi alla sua proportione sopra una chorda.
172. p. Minimo interuallo musicale. 171. f.
Communi pareri, o Massime dette Ἇξιώματα. 30. p.
Compositioni fatte da Moderni per Chromatiche
& non sono. 215. p
Compositione del Monochordo regolare Diatoni-
co. 198. p Del Monochordo regolare Chromati
co 201. f. Del Monochordo regolare Enharmo-
nico. 202. f
Composto si risoue in quelle cose semplici, delle
quali si compone. 30. f.
Conclusione contingente quello che sia: & perche
è cosi detta. 13. f
Consideratione sopra il Tuono diuiso in due parti
da Aristosseno & da Filolao. 153. m 154. m
Consonanza quello che ella sia. 10. m. Primieramē
te considerata dal Musico. 77. f. Et Dissonanza so-
no due estremi nella seconda specie de gli Oppo
siti. Di due specie. Propriamente detta 78. f.. Cō
munamente detta. 79. m Semplice raddoppiata
non dà nelli suoi estremi interuallo alcuno con-
sonante. 94. f
Consonanze nella Musica hanno i loro gradi. Ten-
gono quei luoghi, che tengono le lor forme tra i
numeri 4. f Musicali come nascono. 7. p. Della
prima materia sono tutte Moltiplici, ò Superpar
ticolari 79. p. della Seconda maniera sono tutte
de gli ultimi tre Generi di proportione. 79. f. 80.
p.
Di due forti. Semplici quali siano. Composte.
82. f. Tutte come l'una all'altra ne i loro luoghi si
soggiunghino 176. f. Diapason, Diapente, & Dia
tessaron quante fiate si ritrouino nelle Quindeci
chorde Diatoniche 231. f. Et quante tra le Chro-
matiche.234. f. Et quante tra le Enharmoniche.
237. m. Quanto alla forma loro sono immutabi-
le: ma non quanto à gli accidenti. 248. m
Contemplatiua che fine ella habbia. 22. f.
Contingente quello che sia. 13. f
Continuare due o piu interualli che siano simili
l'uno dopo l'altro, come si possa fare. 36. m. ouer
differenti di proportione. 36. f
Contr'harmonica proportionalità quello che ella
sia. 27. m
Contrarii di due maniere: Mediati & Immediati:
& quello che l'uno & l'altro sia. 78. p
Corollario quello che importi. 123. m
Corpo sonoro proportionato è il Soggetto della Mu
sica.10. p 11. m 182. f. quello che sia. 23. f E diui-
sibile in infinito. 55. m
Corpi sonori quali siano. 23. f
Corpo Cubo come sia composto. 104. f. Quello che
sia. 105. f
Corpo perfetto consta di tre interualli. 104. f
Corpi celesti soggetto de gli Astrologi. 16. m
Cosa che si raddopiata sia equale ad un'altra: è la sua
metà intiera. 34. m Che raddoppiata trappassa
un'altra cosa, ella è piu della sua metà. 34. f. Che
raddoppiata non arriua allo intero di un'altra. el
lanon può essere la sua metà 35. m. Ridocolosa
osseruata da i moderni. 193. p
Cose in tre modi considerar si possono. 9. f. Che nō
sono mai nella materia. 9. f. Che uniuersalmente
non sono mai nella materia. 9. f. Che cadono sot-
to la Scienza Metafisica. 9. f. Che necessariamen-
te sitrouano nella proposta. 17 f. Che non si tro
uano molte fiate in molti Theorema. Ch'appar-
tengono al Dato. 18. p. Poste in atto nella Musica
non sempre restano 22. f. Che sono ad un'altra
equali, tra loro sono equali. 33. p Che tra loro so
no equali ad una istressa, sono equalmente Molte
plici, ò Superparticolari, ò di altro Genere. 33. m
Che hanno i loro tutti equali, hanno anco tra lo-
ro le parti equali. 33. f
Costruttione del Monochordo Chromatico. 201. f
Κτητικὴ quello che sia: & il suo fine. 22. f
Cubo quello che sia. 105. f

D

DATO quello che sia. 17. f
Definitione è il mezo della Dimostratione 9.
m.
20. p. 89. p E quella che ci fa uenire in cogni-
tione della cosa. 9. m. Quello che sia. 10. m. Si pi-
glia in luogo della Descrittione. 10. f. Che si po-
ne nella Dimostratione qual sia 10. f. Di tre sorti:
cio è Formale & Finale 11. p. Delle Di
mostratione di due sorti 14. p. Delle cose non si
può dimostrare. 15. m. Del Suono data da Boetio
non è al proposito del Musico. 20. m. Di Euclide
del Genere.192. f. Del modo. 250. p. De tutti i
Dodeci modi. 251. m
Definitioni sono differenti per la differenza delle
cose. 9. m. Per qual cagione si pōgono inanti ogn'
altra cosa nelle Scienze . 19. f. Quel
che fanno. 20. p
Descrittione quello che sia. 10. m. Si pone alle fia-
te in luogo della Definitione. 10. f
Dettopage vii Tauola.
Detto d'Antigenida contra Ismenia suo Discepo-
lo. 238. m
Diapason prima consonanza. 5. p. 83. p. Elemēto de
tutti gli altri Interualli 5. p. Esser composta de
Tuoni & Semituoni non è mal detto. 7. p. Quel
lo che sia. Tra l'altre consonanze tiene il primo
luogo. Presa dal musico per il tutto diuisibile.
83. p. Piu d'ogni altra conosciuta dal senso. 86. f.
Come nasca 96. p. Minor de sei & maggiore di
cinq Tuoni maggiori. 128. p Quāti Tuoni & Se
mituoni contenga. 128. f. Conserua inuiolata
quella consonanza, che à lei s'accompagna.
129. p Regina de gli altri interualli. 83. f. 205. p.
Detta da Aristotele Consonanza perfetta. 245. p
Ha Sette specie. 245. f. In ogni caso temperamento re
sta nella sua uera forma. 245. m. Non si può alte-
rare senza offesa dell'Vdito. 243. p. Quando sia
detta harmonicamente, ouero arithmeticamen-
te diuisa. 250. m. Quante fiate sia contenuta tra
le Dicisette chorde temperate. 167. f.
Diapasonditona. 88. p.
Diapason diapente quello che sia. 86. m. Da che na
sca. Quanti Tuoni & Semituoni cōtenga. 131. m.
Diapason diatessaron qual consonanza sia.128. f
E consonanza, secondo il parer di Tolomeo.
& Dissonanza secondo i Pitagorici. 129. p
Diapente quello che sia. 83. m. E la maggior parte
fatta della Diapason harmonicamente. 83. f. Re-
integrata dal Ditono & dal Semitono. 98. p
Quanti Tuoni & Semituoni contenga. 123. m
Come nasca 123. f Quanto resta sciema nel tem-
peramento de gli Istrumenti. 243. p. di Quattro
specie.249. m. 245. f. Quante fiate sia contenuta
tra le Dicisette chorde temperate.267. f. Non ha
luogo tra la Terza & la Settima chorda. 269. m
Diapēte & Diatessaron come insieme nascono.94. p.
Collegate tra le maggiori Superparticolari.95. m
Diaschisma quello che sia. 93. m.
Διαστημα quello che importi. 7. p
Diatessaron quello che sia.8. f. E la parte minore
fatta harmonicamente della Diapason. 83. f. Po-
sta nel numero delle Consonanze. 84. p. E conso
nanza perfetta. 85 p. Hauuta appresso gli Anti-
chi per consonanza. 2. m. 85. f. Quanti Tuo
ni & Semituoni contenga. 120. f. Come si ac-
commodi alla sua proportione con la Diapente
& la Diapason insieme. 175. f. Quanto si accre-
sca nella Participatione. 243. m. Di tre specie.
249. f. Quante fiate sia contenuta tra le Dicisette
chorde temperate. 270. m. Non si troua tra la
Settima & la Decima chorda. 271. p
Diatessaron & Diapēte come insieme nascono. 94. p
Collegate tra le maggiori Superparticolari. 95. m
Diatonico genere quel che sia. 192. f
Dichiaratione di due sorti nello esplicar le cose del
la Musica. 10. m
Δίεσις quello che sia. 91. p 153. f. 154. p. Di Filolao
pitagorico. 86. p. Principio & Elemento de gli
Interualli musicali. 91. p. Detto Apotome secon-
do. 164. p. Minore Enharmonico quello che sia.
92. p. Apotome secondo. E minore del Semituo-
no maggiore. 164. m. Di Martiano capella. Tris
temoria. Tetartemoria. 153.
Differenza quello che sia secondo i mathemati-
ci. 16. p. Tra il Diatonico & Chromatico gene-
re consiste in una sola chorda. 194. m. Ch'è tra la
Participatione fatta nelle Istitutioni & quella del
le presenti Dimostrationi. 200. f
Diffetto di lle cōpositioni, che poco dilettano.4. f
Dimanda di Vitelione. 135. f
Dimostratione fà la cognitione della cosa. 9. m. 11. f
12. m. E come uno istrumento, che ne conduce
al Sapere.12. m Potissima qual sia. Potissima ca-
giona in noi il Sapere. Chiamata A priori & Pro
pter quid. A posteriori & Quia, quello che sia.
13. f. Della Prima proposta del lib.1. di Euclide
18. f. Della Partecipatione, ò Temperamento de
gli Interualli de gl'Istrumenti ritrouata dall'Au-
tore. 200. m
Dimostrationi dipendono l'una dall'altra. 124. f. Pri
me sono dette Elemēti delle Sequēti. 40. m. 124. f
Dimostrar la uerità di una cosa contro alcuno con
modestia, non è fuori della buona creanza. 164. f
Διορισμὸς quello che sia, & il suo officio. 17. f
Dire Tripla & dire Dupla sesquialtera, non è dire
una proportione istessa. 88. f
Disdiapason quello che sia. Cōsiderata da gli Anti-
che cōposta di due Diapason.86. f. Come nasca,
& quanti Tuoni & Semituoni cōtenga. 131. m
Disdiapason ditona. 86. f
Disdiapason diapente. 86. m
Disputare non si può contra quelli, che negano i
Principij. 17. p
Dissonanza è cōtraria alla Cōsonanza nel genere de
gli Opposti.78. p. Et consonanza sono come due
estremi nella Seconda specie de gli oppositi.78. f
Quello che sia.80. f. Al tutto priua della Ragione
de numeri.81. m. Hauer Ragion de Numeri, co-
me s'intenda. 81. p
Ditono posto fuori del suo luogo naturale fa tristo
effetto. 4. m. Collegato nel graue della Cātilena fa
cattiuo effetto.4. f. Posto nell'acuto diletta.4. m
Et Semituono posti nel graue perche siano tāto
poco grati.5. f Quello che sia. Serue al genere En
harmonico. Vna delle prime parti della Diapen-
te, & delle seconde della Diapason.85. f. Et Semi
ditono come nascano. 97. f. Quanti Tuoni & qua
li cōtenga.120. m. Come si accōmoda alla sua pro
portione.174. m. E minore di due Tuoni Sesqui-
ottaui per un Cōma.174. f Et Semitono sono
anco del Diatonico genere.193. m. E contenuto
nella sua uera forma nella Partecipatione. 242. f
Diuersità delle Scienze nasce dalla uarietà delle co
se, che trattano. 9. f. 15.
Diuidere qual si uoglia Interuallo in due, o piu part
equali come si possa fare. 148. p. 150. m La diffe
renza del Tuono in due parti equali, non è la Re
gola di trouare i Semituoni. 161.
Dim. Harm. a 4 Diui-page viii Tauola.
Diuisione del Tuono vanamente fatta da Michaele
Stiffelio, & da Nicolò Tartaglia.146. p. Di qual si
voglia Interuallo in più parti equali, come si pos
sa fare. 150. m. Del Tuono fatta da Aristosseno va
namente. 153. m. Di Martiano Capella fatta del
Tuono. 153. f. Fatta del Tuono da Filolao pitago-
rico in due parti. 154. m. Del monochordo rego
late Diatonico. 198. p. Del monochordo Chro-
matico regolare. 201. f. Dell'Enharmonico mono
chordo regolare. 202. f
Diuisioni dello Schisma, & Diaschisma sono irra-
tionali. 118. m. dello Schisma, & del Diaschisma
non si possono far realmente, se non col mezo
della Geometria. 94 p. Delle proportioni quādo
siano incognite, & irrationali. 119. m
Diuiso l'Interuallo del Tuono in due parti equali,
in quali proportioni sia diuiso. 144. f
Dominico da Pesaro fabricatore di Arpichor-
di. 214. f
Dubbio intorno la Definitione. 10. m. Sopra la pro-
portione della Diapason col ditono. 88. m. So-
pra il Semituono minore. 90. f Et solutione intor-
no l'ordine de gli Interualli del Monochordo
Diatonico. 199. m. Intorno la specie delle Conso
nanze. 246. p
Dubitare di ciascheduna cosa nelle Scienze non è
senza vtilità 90. f 183. p
Due cose da considerare nella Musica 7. p. Interual
li, ò più communi da vna istessa proportione ne i
estremi non fanno consonanza alcuna.38. f. Ses-
quiottaui sono minori di uno Sesquiterzo: &
maggiori di un Sesquiquarto. 70. f. Consonanze
prime, & maggiori diuise in due semplici mino
ri. 102. f. Diatessaron aggiunte insieme, di quan
to trappassino la Diapente. 124. p. Consonanze
semplici contenute da vna proportione insieme
aggiunte ad vna chorda mezana commune, dalla
Diapason in fuori, non fanno alcuna maniera
di Harmonia. 180. f
Dupla reintegrata dalla Sesquialtera, & dalla Sesqui
terza. 54. p. E prima d'ogn'altra proportione.
83. p
Dupla Sesquialtera quello che voglia dire. 88. p
Duplo composto dello Sesquialtero, & dello Sesqui
terzo non è cagione della proportionalità har
monica. 55. p

E

Ε῎κθεσις quello che sia, & il suo officio. 17. p
Elementi sono Quattro. 30. f
Elemento quello che sia. 30. f. 45. m
Enharmonico genere vsa il Semituono minore. 90. f
Epigonio Istrumento di 40. Chorde. 3. f. quello che
sia. 194. f
Errore de i Musici moderni intorno al nome de i
Modi. 252. m
Esser Musico non è per se nell'Huomo; ma per acci
dente. 12. f
Estentione della Chorda è posta indiuisilmente
alla guisa del Punto. 20. f
Estentioni diuerse della chorda à guisa de diuerse
linee. 20. f
Estremi delle Proportioni quali siano. 29. f
Euclide molte cose d'altri fece sue. 9. p

F

FACILITARE le cose è cosa molto lodeuo-
le. 201. m
Fattiua arte, che fine ella habbia. 22. f
Filolao filosofo Pitagorico come diuise il Tuono.
Seguirò le ragioni de i Numeri nella diuisione
del Tuono. 153. f
Fine della Consonanza, & dell'Harmonia. 11. m
Fisica quello che considera. 9. f
Forme del Ditono, & del Semitono de gli antichi
quali erano. 3. m
Forme di tutte le Consonanze musicali contenute
tra i termini, & le differenze dell'Harmonica, &
Contraharmonica proportionalità. 101. p Conte
nute nella Progressione Arithmetica. 102. f Nel-
la Massima, & perfetta harmonia. 106. f Conte-
nute tra le parti delle Linee fatte nella diuisione
del Quadrato. 108. f
Francesco Viola maestro di Cappella di Alfonso
Duca di Ferrara. 1. m

G

GENERE quello che sia. 192. m. Diatonico.
192. f. Chromatico. 194. p. Enharmoni-
co. 194. f
Generi della Melodia sono tre. 192. f
Geometri quello che contemplino. 10. m
Geometrica proportionalità quando si faccia, o co
me nasca. 27 p. 40. f. Harmonia. 105. m
Giulio Polluce à che tempo visse. 4. p
Greci non ritrouarono i Principij di tutte le Scien
ze. 203. f Non hanno sotto la loro Proslambano
menos chorda alcuna. 254. f
Gustabile non è per necessità sempre dolce, ouero
amaro. 78. f

H

HARMONIA non propria di due sorti. 81. m
Semplicemente detta qual sia. 81. f Ad vn
certo modo detta quello che sia. 81. f Ad un
certo modo detta si fà per l'ordine, & non per le
Consonanze, che ella contiene. 87. p. Geometri
ca qual sia 105. m. Tra le qualità del Corpo cubo.
105. f. Semplicemente detta oue si ritroui. 181. p
Detta ad un certo modo oue sia posta. 181. f
Harmonica proportionalità come nasce. 27. p. 55. f.
Consiste nell'ordine. 55. p. Perche sia cosi det-
ta. 105. f
Harmonide discepolo di Timotheo. 239. m
Hauerepage ix Tauola.
Hauere il latte nelle mammelle, non è segno fermo
sempre, che dimostri, che la donna habbia par-
torito. 13. p
Hemispherio quello che sia. 135. p. E il Quarto di
vna Sphera, considerato come si vsa. 135. p
Herostrato perche abbruciasse il Tempio di Dia-
na. 216. p
Hexachorda quello che sia. 255. f. E consonanza;
ma non della istessa natura, che è il Ditono, & lo
m. minore llo che sia. 87. f. Maggiore, & mino-
re come si facciano. 87. m. Maggiore di quanto
sopr'auanz' la Diapēte, & la Diatessaron. 125. f.
Minore di quanto sopr'auanzi la Diapente, & la
Diatessaron 126. m. Maggiore quanti Tuoni, &
Semituoni contenga. 127. f. Minore quanti Tuo
ni, & Semituoni contenga. 127. m Minore co-
me sia contenuto nella sua forma nella Partecipa
tione. 242. m. Hypaton. 216. p. Meson. 256. m.
Diezeugmenon. 256. f. Hyperboleon. 256. f. Sy-
nemennon. 257. p. Synemennon come si aggiun
ga à i quattro primi. 209. p. Della propietà di b
molle 257. p. 267. f Della propietà di Natura.
267. f. Della propietà di quadro. 267. f. Con
tiene tutte le Specie della Diatessaron. 256. p
Hexachordi sono cinque ne gl'ordini de' Suoni.
255. m. Tra le Dicesette chorde tēperate. 267. f.
In qual modo siano nominati da i Moder
ni. 255. f. 265. f
Huomo è composto de i quattro Elementi. 30. f
Huomini hanno il latte nelle mamelle. 13. p
Hypoproslambanomenos quello che sia. 255. p
Perche sia stata aggiunta da i Moderni. 265. p.
Come si aggiunga alle Quindeci chorde ridut-
te al loro temperamento. 264. m

I

IGNORANZA de Compositori da che sia
proceduta. 187. m
Impossibile è che vno habbia tutto quello, che cō-
uiene al Perfetto. 190. f
Indagatrice Arte quello che ella sia, & che fine
habbia. 22. f
Infinito non si può trappassare. 15. m
Instante nel Tempo è indiuisibile. 22. m
Intētione del Stiffelio intorno la diuisione del Tuo
no. 247. p. Dell'Autore nello scriuere le cose del
la Musica; tanto nella Speculatiua, quanto nella
Prattica. 190. m
Interuallo come si faccia. 23. p Quello che sia. 23. p
Primo considerato dal Musico ad un certo mo-
do. 23. p. Molteplice. 24. p. Superparticolare.
24. m. Superpartiente. 24. f. Molteplice superpar
ticolare. 25. p. Molteplice superpartiente. 25. m.
Qual sia maggiore l'vno di due. 32. p. Moltepli-
ce doppiato genera un Molteplice. 39. p. Raddo
piato se produrrà un molteplice, anche lui sarà
molteplice. 41. f. Superparticolare è indiuisibile
in parti proportionali cō numeri rationali. 44. p
Non molteplice raddoppiato nō fa alcuno Mol
teplice,nè Superparticolare. 45. p. Raddoppia-
to, che non da il Moltiplice, non può essere
molteplice. 45. f. Ne i suoi termini radicali co
me moltiplicar si possa con Numeri composti.
51. m. Duplo da che nasca. 53. f. Triplo come si
faccia. 59. m. Quadruplo da che nasca. 60. p. Ses-
quiottauo de quali interualli sia la differenza.
62. f Sesquinono qual differenza sia. 63. f. Sequi
quintodecimo de quali interualli sia la differen
za. 64. f. Sesquiuentesimo quarto di che sia la
differenza. 65. f. Sesquiottantesimo qual differē
za sia. 68. p. Supertripartiente. 125. qual differen
za sia 68. m Del Tuono maggiore, & quello del
minore sono Superparticolari. 100. m. Del Se-
mituono maggiore è Superparticolare. 111. m.
Del Semituono minore è Superparticolare. 111.
m.
del Semituono maggiore è il primo de i Te
trachordi Diatonico, & Chromatico. 223. p. Del
Semituono maggiore è Elemēto del Diatonico,
& del Chromatico. 223. p. Del Tuono diuiso in
due parti equali, in quali proportioni sia diuiso.
144. f. Del Semituono maggiore è minore dello
Apotome. 163. m. Qual si uoglia come si possa
diuidere in due, ò più parti proportionali. 148. p
150. m. Fatto maggiore, ò minore quando s'in-
tenda. 257. p. Farsi più graue, ò più acuto,come
s'intenda. 258. p
Interualli in quante maniere udire si possano in at
to. 3. f. Quando si dicano simili. 32. p. Come si
possano l'uno dopo l'altro. 37. p. mol
teplici raddoppiati quello che facciano. 59. p.
Minore della Diatessaron hauuti da gli Antichi
per Dissonanti. 77. f. Mezani tra la Consonanza,
& la Dissonanza sono molti. 78. f. Dissonanti mi
nori del Semitono sono le differēze de i mag-
giori consonanti. 89. m. del Ditono, & del Se
miditono sono Superperticolari. 98. m. Fatti da
Filolao, & da Aristosseno nelle loro diuisioni
del Tuono aggiunti à due Tuoni Sesquiottaui,
ouero al Ditono non fanno Consonanza alcu
na. 165. m. Vsati da Chromatisti nelle loro com
positioni. 215. p
Inuentione dell'Autore di Participare, ò Tempe
rare con ragione gl'istrumenti da chorde, è di
tre sorti. 200. m.
Inuentore primo della Participatione, ò Tempera
mento de gli Istrumenti non si fa chi si fus-
se. 214. p
Ismenia discepolo di Antigenida Tebano. 239. m
Istitutioni Harmoniche Opera dello Autore. 2. m.
Spesso allegate dall'Autore, & per qual cagio
ne. 40. p
Istrumento di quarto chorde come si chiama. .
p.
De cinque, di sei, di sette, & più chorde come
si nomina. . p. Fatto dall'Autore, il quale si
accorda perfettamente, 199. f
Istru-page x Tauola.
Istrumenti arteficiali di due sorti. 234. m. che han-
no il testame di vna istessa maniera. 240. f

L

LACEDEMONI scacciarono, & bandirono
Timotheo dalla loro città;& perche. 215. f
Λεῖμμα quello che sia. 91. p. 170. m. Et quello che
voglia dire. Da che proportione sia contenu-
to. 91. p
Leuando ne i Quattro maggiori Superparticolari
vno Interuallo minore da vn maggiore; quello
che viene è Superparticolare. 66. p
Linea come si faccia. 21. m. Mezana proportionale
come si troua. 148. p. Retta perpendicolare co-
me da vn punto segnato leuar si possa. 149. m
Linee molte mezane proportionali come ritrouar
si possino. 150. m
Luogo del Suono, come si considera dal Musi-
co. 21. p

M

MARTIANO Capella hà diuiso il Tuono
in molti modi. 153. f
Massima, & perfetta harmonia de gl'Antichi. 103. f
Perche in tal modo la chiamassero. 103. f. Tra
cinque termini, & quattro interualli. 105. p. Che
tra i termini, & le differenze loro contiene i
Tuoni maggiore, & minore, con l'altre Con-
sonanze. 106. f
Massime, ò communi pareri detti Ἇξιωματα. 30. p.
Materia posta nella Derfinitione della Musica. 11. m
Mathematico dimostra per le cagioni forma-
li. 11. f.
Mathematiche Scienze quello che cōsiderino. 9. f.
Nel primo grado di certezza. 38. f
Melopeo, ò Musico perfetto, Opera dell'Auto-
re. 287. p
Mesolabio Istrumento mathematico in che serui al
musico, 150. f
Metà di qual si uoglia cosa oue caschi. 35. m. Intera
del Tuono doue cada. 156. f. Del Tuono minore
doue caschi. 158. m
Metafisica quello che si considera. 9. f. Dimostra per
le cagioni formali, finali, & efficienti. 11. f
Mezo de i Contrarij di due sorti. 78. m
Mezani interualli, che cadono tra la Consonanza,
& la Dissonanza. 78. f. Nascono da altre propor
tioni, che da Molteplici, ò Superparticolari, col
locate però tra le parti del Senario, & dall'Otto
nario numero. 78. f
Michele Stiffelio mathematico eccellente in qual
modo diuida il Tuono in due parti equa-
li. 145. f
Minimi termini delle Proportioni sono Numeri
contraseprimi. 25. m
Moderni dubiosi del Ditono, & Semiditono se
siano consonanti. 6. m. Non hanno hauuto suffi
cienti Principij, nè anco esperienza delle cose
della Mathematica. 6. f. Perche trappassarono il nume
ro delle chorde de gli Antichi. 205. p
Modo di udire in atto qual si uoglia Interuallo,
accommodato alla sua proportone. 141. f
Modo quello che sia 250. p. Principale, & Auten
tico. 253. p. Non principale, & Plagale. 253. m
Modi quello che siano, ò quali si chiamino. 243 f.
Perche siano l'vno dall'altro differenti. 249. f Se
condo l'vso de gli Antichi parte molo difficile
da intendere. 251. f. Distanti l'vno dall'altro per
vn Tuono, ouer per vn Semituono. 278. p Prin
cipali posti per ordine. 275. p. Nō principali po
sti per ordine. 278. p. Tutti l'vno dopo l'altro
per ordine. 281. p. Principali tutti contenuti so
no tra le Tredici più acute chorde delle Sedici.
283. f. Non principali contenuti tra le Tredici
più graui del numero de Sedici. 184. m. Si pos-
sono trasportare dal graue all'acuto; & per il cō
trario. 285. p. Non possono essere nè più nè meno
de Dodici. 251. m. 275. m
Modulatione di ciascheduno de i Dodici modi
come trasportare si possa. 285. p
Molteplice Interuallo raddoppiato quello che fac-
cia. 39. p
Moltitudine contenere per la maggior parte Huo-
mini di basso, & vile ingegno. 239. m
Monochordo quello che sia. 192. p. Di doue deriui
il suo nome. 192. p. Regolare perche cosi si di
ca. 198. p
Mouimento non è senza tempo. 20. f
Mouimenti nella Musica tutti sono violenti. 22. f
Musica perche sia sottoposta alla Filosofia naturale.
10. p E scienza di Relatione. 10. p. Hà per Sog-
getto il Numero sonoro. 10. p. Hà per Soggetto
il Corpo Sonoro proportionato. 10. p. Risolta
nel suo fine è cosa attiua. 22. f. A qual Genere sia
sottoposta. 22. f. Da qual parte è detta Theorica;
& come sia detta Prattica. 22. f. Subalternata alla
Arithmetica. 38. p. Et Poesia arriuate ad vna istes
sa conditione. 190. p. Ripiena di Compositori.
190. p. Senza Artefici, che habbiano cognitione
di essa; & per qual cagione. 190. m. Guasta da
Chromatisti. 215. f
Musico considera il Suono come principio della
Consonanza, & d'ogn'altro interuallo 20. m
Non considera il Suono nella lunghezza. 20. f.
Come dè vsare i Principij, che piglia da vn'al
tra Scienza. 38. p. Caua le sue ragioni dal
Tutto, & dalle parti del Corpo sonoro. 55. m.
Poco conto fà de i Numeri irrationali. 146. m
Musico quello che contemplino. 10. m. Moderni
sono Artefici senza cognitione dalla loro Ar-
te. & da che sia proceduto. 189. f. Nostri non
considerarono la diuisione, ò compositione del
Monochordo fatta per Tetrachordi, ma per
Hexachordi. 205. p
NApage xi Tauola

N

NATVRA delle Scienze. 19. m. della Diapa-
son. 245. p
Naturale dimostra per ogni cagione. 11. f
Nicolò Tartaglia Bresciano diuise il Tuono in
due parti vanamēte, come fece Stiffelio. 146. p
Niuno Superparticolare si può diuidere in due par
ti equali. 44. p
Nome de gli Antichi appresso l'Autore è veneran
do & riuerendo. 203. f. De gli Hexachordi ap-
presso i Prattici. 255. f
Nome di tutte le Voci, Suoni, & Chorde secondo
gli Antichi. 195. m. Et ordine de i Modi. 252. m.
Secondo i Moderni. 254. p
Numero sonoro soggetto della Musica. 10. p
Numero numerato quello che sia. 28. f. Qual si vo-
glia che moltiplica, ò parti i termini di una pro-
portione, produce la istessa. 31. m. Qual si uoglia
si può porre per la differenza di qual si voglia
proportione. 43. f. Composto quello che sia. 51.
m.
Maggiore di qualunque ordine dinota il
Tutto del Corpo sonoro. 55. m. Numerante è
vno Essemplare, & vna Idea nell'Anima nostra.
49. f. Posto in Atto dal Musico quello che si deb
ba intendere. 55. m. Esser aggiunto à se stesso
quello che s'intenda. 102. f. Ternario perche nō
si possa diuidere in due parti equali. 99. m. Ter
nario è perfetto. 153. f. De Cōpositori oltra mo
do cresciuto nella Musica. 190. m. Maggiore di
qual si uoglia ordine rappresēta la parte più gra
ue. 251. p. Di Quindeci chorde, perche non sia
trappassato nelle dimostrationi, & ordini de
Suoni. 203. m
Numeri Contraseprimi sono le Radici delle Pro-
portioni. 25. m. Tra loro composti, ò Communi-
canti quali siano. 25. f. Di due sorti. 28. f. 49. f. Et
proportioni sono imagini de i Suoni, & delle
Cōsonanze. 41. p. O proportioni del Monochor
do Diatonico. 211. p. Della Deuisione Chromati
ca. 220. f. Del Monochordo Enharmonico co
me si possono adunare insieme. 226. f

O

OGNI proportione de i Corpi sonori è tanta
quanta di Numero à numero. 137. p
Opere dell'Autore grate à i Spiriti nobili. 190. m
Opinione di Pitagora, & de gli Antichi Pitagorici.
2. m. De gli Antichi intorno à gli Interualli del
la Musica. 76. m. De gli Antichi intorno alla lo
ro Massima, & perfetta harmonia. 103. f. Di To
lomeo, & de Pitagorici intorno alla Diapason
Diatessaron. 129. p. De' Moderni Chromatisti
nel cantare. 193. p. Di Boetio intorno i Mo-
di. 252. p
Oppositione contraria quello che sia. 78. p
Oppositioni di quattro maniere. 78. p
Ordine, & luoghi propij delle Consonāze. 4. p. Or
dine nelle Voci diuerso da quello, che si troua
ne gli Istrumenti arteficiali. 234. m. Interrotto
de i Modi. 247. m. Non varia la essenza delle Cō
sonanze. 248. m
Ordinare le specie delle Consonanze col modo de
bito, è cagione di ordinare i Modi con buon or
dine secondo la mente de gli Antichi. 247. f
Ordinatione de i Modi secondo la mente de gli
Antichi. 248. f
Origine di tutte le Consonanze. 101. p

P

PARHYPATE Chorda Diatonica, & Chro
matica è la Lychanos Enharmonica. 230. f
Parte qual sia maggiore, ò minore di un'altra. 32. f.
Aliquota, & non Aliquota di vn numero dato
come si troua. 49. f. Qual si voglia come si caua
da un'altra. 69. f. Minore della proportionalità
harmonica non è atta ad esser diuisa, di modo
che produca i suoi interualli consonanti. 99. p
Parte maggiori, & minori l'vna dell'altra. 32. f. Del
la Diapente. 90. m. Diuerse de' Nominatori, co
me si riduchino sotto vn solo Denominatore.
72. f. Come insieme si sommano. 72. f.
Partecipatione quello che sia. 221. m. Come si di
mostri. 259. p. Si può fare in tre maniere.200. f.
De gran commodo nella musica. 210. p
Pentachordo diuiso da gliAntichi in due Gene
ri. 194. m
Pentadecachordo, quello che sia. 204. f
Perfetto si può dire, alquale meno mancano di
quelle cose, che fanno alla sua Perfettio-
ne. 190. f
Perfetto Musico Opera dell'Autore, 190. m.287. p
Pietra per qual cagione non respira. 13. f
Pitagora non uolea che le Consonanze hauessero
le loro forme da altro Genere di proportione,
che dal Molteplice, ò Superparticolare. 3. m
Pitagorici, &Pitagora negauano gli Interualli mi
nori della Diatessaron esser consonanti. 2. m.
Per qual cagione si mouessero à dire, che quelli
interualli, che sono minori della Diatessaron
non sono consonanti. 3. m Non hebbero cogni
tione de i Gradi, & propij Luoghi delle Conso
nanze. 4. p. 6. p
Platone molte cose d'altrui fece sue. 9. p
Poco accordo che si ode nelle Cantilene nasce da
due cagioni. 5. f
Poesia copiosa de Versificatori 190. p
Ποιητικὴ quello che sia, & il suo fine. 22. f
Ponti annotati nelle chorde diuise come da i Gre-
ci si chiamano. 178. m
Πορίσμα quello che sia, & llo che significa.123. m
Positioni quello che siano. 15. f. Di più maniere.
15. f. Di due sorti. 16. m
Πρακτικὴ, ò Attiua quello che ella sia, & il suo fi-
ne. 22. f
Premesse vanno innanzi la Conclusione; & sono la
suapage xii Tauola. sua cagione. 14. m. Debbono esser vere. 14. m.
Debbono esser più note della conclusione. 14. f.
Debbono esser prime, & senza mezo alcu-
no. 14. m
Prima Diapason considerata nella Musica. 246. f
Primo termine delle Consonanze qual sia. 231. f.
Prime consonanze qual siano. 245. f
Principij di più sorti. 15. f. Communi. 15. f. Propij.
15. f. Della Geometria. 15. f. Dell'arithmetica.
15. f. Della Musica. 16. p. Communi chiamati Di
gnità. 16. m. Di vna Scienza in quella sono inde
mostrabili. 16. m. Della Musica da chi si piglia-
no. 38. p
Πρόβλημα quello che sia. 17. m. Perche sia cosi detto.
17. m. Hà in se Sei cose. 17. m
Procedere nostro nella cognitione delle cose.14. f
Progressione Arithmetica. 26. p
Propio del Sillogismo dimostratiuo. 14. p
Proposta di Euclide tolta dall'Autore; per dimo-
strare si possa diuidere il Tuono in due
parti equali. 148. m
Proportionalità Geometrica. 26. f. Harmonica.27.
p.
Contr'harmonica. 27. m. Arithmetica più to-
sto detta Progressione. 26. p. 55. m. Harmonica
detta Mediocrità. 39. m. 55. m. Harmonica consi
ste nell'ordine. 55. p.Harmonica come si troua.
55. m. Contr'harmonica come si troui. 55. f. 57.
p.
Continua, & discōtinua, ò discreta. 105. m. Geo
metrica discontinua. 105. f
Proportione del Ditono, & del Semiditono de gli
Antichi. 3. m. Di graue, & di acuto tra i Corpi so
nori. 11. m. Quando è capace di un termine me-
zano, quello che debba hauere. 43. m. 119. p.
Qual sia maggiore di due contenute fra tre ter-
mini. 72. f. Di suono à suono è tanta, quanta quel-
la di Spacio à spazio. 135. f
Proportione de gli Interualli del Tetrachordo Dia-
tonico diatono. 3. m. Quando siano fuori delle
loro Radici. 25. f. Et Numeri sono le imagini de
i Suoni, & delle Consonanze. 41. p. Dello Schis-
ma, & del Diaschisma sono irrationali. 118. m.
Incognite, & irrationali quali siano. 118. m. Che
superanno l'intera metà del Tuono quali siano.
155. f. 157. m. Delle parti fatte vn Spacio di-
uiso, quali siano maggiori, ò minori. 142. m.
Delle consonanze come si possano descriuere
con numeri. 178. f. Della diapente della diatessa-
ron, del Tuono, & quella del Semituono mag-
giore sono sordi, & irrationali nella Partecipa-
tione. 200. f. 263. f.
Propositioni di due sorti. 16. m
Proposta, ò dignità di due sorti. 16. f. O che ne con
duce alla Speculatione, oueramente che ne fà
operare. 17. m. Prima del lib. 1. di Euclide minu
tamente dimostrata. 18. m. Del Lib. 6. di Euclide
vsata per ritrouar la mezana chorda proportio
nale tra due date. 148. m
Προςλαμβανόμενος chorda grauissima in ogni ordine
de Suoni. 195. f. Perche fù aggiunta da gli Anti
chi. 104. f
Πρότασις quello che sia; quello che cōtiene; & qua
le è il suo officio. 17.
Proua delle operationi mathematiche quello che
sia. 45. p
Punta nella Geometria è principio della Quantità
continua. 20. m

Q

QVADRATO diuiso da linee che fanno le
forme di tutte le Consonanze. 108. m
Quadruplo interuallo come si faccia. 60. m
Quantità rationale, & irrationale quello che sia.
258. m. Sorda, & irrationale. 263. f
Quātitadi collocate in Arithmetica progressione.
26. p. In geometrica proportionalità. 26. f. In
Harmonica mediocrità. 27. p. In Proportionali
tà Contr'harmonica. 27. f
Quarta specie della Diapason non si può diuide-
re Arithmeticamente. 273. f
Quattro Elementi quali siano. 30. f. Sesquiottaui
superano il Sesquialtero interuallo. 73. p
Quello che misura una cosa; misura anche quello,
che dalla misurata è misurato. 30. p. Che misura
il cauato, & il restante di vna quantità; misura
anco il Tutto. 31. f
Quesito quello che sia. 17. f
Quindeci chorde perche non si trappassino nelle
Dimostrationi, & ne gli ordini de Suoni. 203. m

R

RADDOPPIARE vno Interuallo quello che
sia. 39. p
Radici, ò minimi termini delle proportioni quali
siano. 25. m
Ragione de Numeri è la forma delle Consonanze.
11. m. Noua, la qual proua da Diatessaron essere
consonanza, & perfetta. 84. m. Addutta da Tolo
meo à prouare, che la Diapason diatessaron sia
Consonanza. 129. p. De i Pitagorici, la qual pro
ua, che la Diapason diatessaron non è consonan
za. 129. m. Del Temperamento de gl'istrumenti
inuentione dell'Autore. 200. f
Ragione de gli Interualli fatti da gli Haxachordi
Synemennon, & Diezeugmenon posti insie-
me. 210. m
Regola harmonica quello che sia. 134. f. Da alcuni
è tenuto vna Listella fatta di legno. 134. f. 198. m
Regola di hauere, ò ritrouare li Semituoni, non è
diuidendo la differenza del Tuono in due parti
equali. 161. f
Relatione, è cosa debolissima. 248. m
Relationi, che cadono tra le Parti del Senario nu
mero, & il primo numero Cubo, sono Venti-
una. 79. f
Replicare alle fiate alcune cose non è senza frut
to. 191. f
Ripage xiii Tauola.
Rimesso rispetto al più teso da il suono più gra-
ue. 136. f

S

SAPERE perche si piglia. 12. m. Di due sorti.
12. m. Per se. 12. m. Per accidente. 12. m. Per se
è vero sapere. 13. m. Per accidente non è vero
sapere. 12. f. Per se di due sorti. 12. f. Semplice-
mente. 12. f. Ad vn certo modo. 12. f. Per se
semplicemente quello che sia. 12. f. Che si acqui
sta col mezo de i segni probabili. 13. f. Con la
Scienza sono correlatiui. 13. f. Per negatione
quello che sia. 214. f
Σχίσμα quello che sia. che si voglia dire. 93. m
Scienza è posta nello Intelletto 9. m. Col Sapere so
no correlatiui. 13. f
Scienze acquistar non si possono se non col mezo
della Dimostratione. 9. m. Diuerse nascano da i
Generi diuersi delle cose, che si possono sape-
re. 9. m. 15. f
Sei cose si trouano in ogni Theorema, ò Proble-
ma perfetto. 17. m. Interualli Sesquiottaui sopr'a-
uanzano il Duplo. 74. f Specie sole delle Diapa-
son si possono diuidere harmonicamente. 272. f
Et Sei Arithmeticamente. 274. m
Semiditono quello che sia. 86. p. Et Ditono posti
nel graue della Cantilena, perche siano poco
grati. 5. f. Detto Sesquituono, & Trihemituono,
ò Trisemituono. 86. p. Serue al genere Chro-
matico. 86. p. E la minor consonanza de tutte
l'altre. 86. p. Quanti Tuoni, & Semituoni con-
tenga. 120. p. Et Ditono come nascano. 97. f. Co-
me si colloca alla sua proportione. 173. p. Quāto
sia minore di due Tuoni Sesquiottaui. 173. f. Et
Ditono sono contenuti nel genere Diatonico.
193. p. Posto da Tolomeo nel Chromatico mol
le. 216. m
Semituono maggiore quello che sia. 90. m. Detto
Apotome. 90. m. Adoperato nel Diatonico gene
re in ogni Tetrachordo. 90. m. E maggior di cin
que, & minor di sei Comma. 115. f. Qual propor
tione habbia. 111. m. Come si soggiunga al Tuo-
no maggiore. 158. f. Come si proponga al Tuono
maggiore, & al minore. 159. m. Come si accom
modi tra il Tuono maggiore, & minore. 159. f.
Consiste in maggior proportione della Sesqui-
decimasesta. 160. m. Consiste in maggior propor
tione della Sesquidecimasettima. 161. m E col
locato tra la Sesquiquartadecima, & la Sesquide
cimasesta proportione. 163. m. E minore dell'A-
potome. 163. f. Elemēto del Diatonico, & Chro
matico genere. 223. p. Quanto si accresca nel Tē
peramento de gl'Istrumenti. 244. f
Semituono minore, perche sia cosi detto. 90. f. E il
Diesis maggiore Enharmonico. 90. f. Detto da i
Greci Limma. 90. f. E detto Diesis da Filolao.
91. f. 170. m. Perche non sia detto Minimo. 90. f.
Da che proportione sia cōtenuto. 112. p. E mag
giore di tre, & minore di quattro Cōma. 117. m.
Come si accommodi alla sua proportione. 168. f
Come si soggiunga al maggiore. 169. f. E minore
interuallo del Lemma. 170. m
Semituoni di quattro maniere. 91. m
Sentenza di Boetio da mandare à memoria. 133. m
Di Hermete, ò Mercurio Trismegisto. 133. m.
Di Hesiodo. 188. f
Sentenze di Giustiniano Imperatore intorno il ri
trouare, & il facilitare le cose. 201. p. m
Sesqui quello che uoglia dire. 88. f
Sesquinono interuallo di che interualli sia la diffe
renza. 63. f
Sesquiottantesimo interuallo, che differenza ello
sia. 68. p
Sesquiottano interuallo di quali interualli sia la dif
ferenza. 62. f
Sesquiquarto interuallo da che interuallo sia rein
tegrato. 59. m
Sesquiquintodecimo interuallo di che sia la diffe-
renza. 64. f
Sesquitripartiente. 125.Interuallo qual differenza
sia. 69. p
Sesquiuentesimoquarto interuallo qual differenza
sia. 65. f
Sesta per sua natura non è molto consonante.85. m.
E men buona della Terza. 85. m
Settima specie della Diapason non si può diuidere
harmonicamente. 271. f
Soauemente venire all'Vdito, & mutare il Senso è
il fine & proprio della Consonanza. 11. m
Simico Istrumento di 35.chorde. 4. p
Σίστημα quello che sia. 7. p
Soggetto della Musica qual sia. 10. p
Spacio qual si chiama. 142. f
Spacij ristretti & minori, cosi maggiori, & più lar-
ghi si fanno per la moltiplicatione de gli inter-
ualli di vna istessa proportione. 143. m
Specie quello che sia. 245. f. Della diapasopn sono
sette. 245. f. Della Diapente sono quattro. 245. f.
249. m. Della Diatessaron sono tre. 256. p. 245. f
249. f
Studio dell'Autore intorno le cose della Musi-
ca. 133. m
Subdupla proportione s'assimiglia alla Dupla ne i
termini. 28. p
Suono quello che sia. 20. m. E principio della Con
sonanza 20. m Quando si dice esser Voce. 20. f.
Da Greci detto Φθόγγος. 20. m. Considerato secō
do diuerse estentioni cade sotto la qualità di
Graue, & di Acuto. 21. p. Si vede quasi cadere dal
Corpo sonoro ad un certo modo. 21. f. Conti-
nuo. 21. f. Considerato secondo la duratione. 21.
m.
Sottoposto al Genere di cose, che l'vna all'al-
tra succedono. 22. f. Quando si estende uerso il
graue,ò verso l'acuto, fa l'Interuallo. 23. p. Più
graue, ò più acuto da che uenga. 136. f. Di una
chorda mezana di un Spacio diuiso in due parti
equali, come sopr'auanza gli estremi. 145. p
Suoni,page xiv Tauola.
Suoni, ò Voci materia della Consonanza. 10. m.
Adunati in un luogo istesso si chiamano Vniso-
ni. 21. p. Diuersi da che nascono. 21. p. Conside-
rati dal Musico quanto alla loro duratione. 21. f
Che fanno l'interuallo debbono esser differen-
ti. 21. p. Della Diapason niente differenti in uir-
tù & possanza da un solo Suono. 129. m. De gli
Istrumenti arteficiali sono stabili. 200. m
Supplementi Musicali opera dell'Autore. 287. m
Suppositioni quali siano. 16. f
Συμπέρασμα quello che sia, & il suo officio. 17. f

T

TANGIBILE non è sempre freddo, ò cal-
do: oueramente duro, ò tenero. 78. m
Temperamento de gli Istrumenti si può fare in
tre modi. 200. f. Quando si fà, che utilità ap-
porti. 241. p
Tempio di S. Marco famoso, bello & ricco. 1. m
Di Diana effesina abbruggiato da Herostra-
to. 216. p
Tempo non è senza quantità. 22. p Considerato in
torno al Suono. 22. p. Non ha parte alcuna indi-
uisibile, se non lo Istante. 22. m
Termine minore al quale si possa assegnar quante
proportioni Superparticolari si uoglia, come si
possa trouare. 60. f. Maggiore etiandio in qual
maniera trouar si possa. 61. f
Termini di un raddoppiato molteplice sono l'uno
all'altro proportionali. 40. f Maggiori di uno in-
teruallo à quanti corrispondino de i minori in-
sieme adunati. 47. f Maggiori di uno interuallo,
come siano equali à i minori. 48. f. Incogniti qua
li siano. 50. f. Che usa il Musico sono le parti del
corpo sonoro. 55. m. Che adopera l'Arithme-
tico. 55. m
Ternario non si può diuidere in due numeri equa-
li. 99. m. Numero perfetto; 153. f
Tetrachordo Diatonico diatono fù sopra ogn'altro
riceuuto da i Pitagorici. 3. m. Di donde sia detto.
192. p. Quello che sia. 196. p. Hypaton nel mo-
no chordo diatonico. 204. p. nel Chromatico.
214. m. & nello Enharmonico. 224. p. Meson nel
diatonico. 205. m. nel Chromatico. 217. f. &
nello Enharmonico. 224. f. Diezeugmenon nel
diatonico. 206. m. nel Chrommatico. 218. m. &
nello Enharmonico. 225. m. Hyperboleon nel
diatonico. 207. f. nel Chromatico. 218. m. & nel
lo Enharmonico 225. f Synemennon nel dia-
tonico. 209. p. nel Chromatico. 219. f & nello
Enharmonico. 225. f. Congiunto. 197. p. Sepa-
rato. 197. m. Symennon è accidentale. 208. f
Tetrachordi sono cinque. 195. f. 196. f
Θεώρημα quello che sia, 17. m. Perche sia cosi det-
to. 17. m. Contiene in se Sei cose. 17. m
Θεωριθικὴ quello che sia: & il suo fine. 22. f
Timotheo musico à che essortaua Harmonide suo
discepolo. 239. m. Inuentore del Genere Chro-
matico fù bandito da i Lacedemoni: & per
che. 215. f
Tolomeo pose la forma del Tuono minore. 90. p.
Tiene, che la Diapason diatessaron sia conso-
nanza. 129. p. Nel Chromatico molle dimostrò
la forma del nostro Semiditono. 216. m.
Τόνος quello che significa. 89. f.
Trasportatione de i Modi quanto sia utile à gli
Organisti. 285. p.
Trattato di Patienza composto & dato in luce dal-
l'Autore. 285. p
Tre cose accascano intorno al Suono 21. p. Interual
li Sesquiottaui sopr'auāzano un Sesquiterzo: &
sono minori di un Sesquialtero. 71. m. Tuoni
maggiori: ò due maggiori & uno minore sopr'
auanza la Diatessaron. 121. m. Tuoni maggiori
sono minori di una Diapente; & quattro sono
maggiori. 124. m
Triplo interuallo come nasce. 59. f
Trite chorda de i due primi generi, è la Paranete
dell'Enharmonico. 229. f
Tritono quello che sia. 121. m
Tuono maggiore quello che sia 89. m. 244. m. Al-
tramente definito da gli Antichi. 106. m. Et lo
minore come nascano. 99. p. E Sesquiottauo.
100. p. E maggiore di noue, & minore de dieci
Comma. 14. p. Come si accomodi alla sua pro
portione. 139. m. è detto maggiore per eccellen
za. 138. m. Di quanto resta sciemo nella parte-
cipatione. 144. m
Tuono minore quello che sia. 89. f. E Sesquinono.
100. p. Di che si faccia. 112. f. E maggiore di
otto & minore di noue Comma. 115. f. Come
accomodar si possa alla sua proportione.
138. m. Di quanto si accresca nella participa-
tione. 244. m
Tuono Sesuiottauo è maggior di Noue & mino-
re di Dieci comma. 114. p
Tuono equali di proportione nella partecipatione.
242. m. 244. f 246. m
Tuono, quello che significa 89. f. Principio della
consonanza, secondo gli Antichi. 89. f. Misura
d'ogni Consonanza musicale, secondo gli An-
tichi. 104. f. Come si accommoda alla sua pro-
portione. 137. m. 138. f. Come si possa soggiun-
gere ad un'altro, sopra una chorda. 139. p. Co-
me si possa preporre. 140. p. Diuiso in due parti
nelle estremità, non è diuiso equalmente. 143. f
Non si può diuidere in due parti equali con nu
meri rationali. 145. f. Come si possa diuidere in
due parti equali. 148. p. Come si possa diuidere
in più equali. 150. m
Tutto è maggiore, che non è la sua parte. 35. f. Di-
uisibile appresso il Musico quello che sia.
83. m. Diuisibile è prima delle sue parti.
83. m. Rispetto alla parte, rende il piu
graue. 136. f
Vaghezzapage xv Tauola.

V

VAGHEZZA & leggiadria della Musica è po
sta nel Diono, & nel Semiditono. 3. m
Vdibile non è sempre consonāte, ò dissonante sem
plicemente. 78. f
Venetiani con solennissima pompa riceuono Al-
fonso Duca di Ferrara. 1. m. Religiosi, & à Dio
deuoti. 1. m
Versi che insegnano à ritrouar il mezano termine
dell'Harmonica, & Cōtr'harmonica proportio
nalità. 57. f. Di Horatio contra gli Inuidi, & ma-
ligni. 77. m
Vicenzo Colombi fabricatore di Organi 198. m
Visibile non sempre Nero, ò Bianco. 78. m
Viua voce quanta forza ella habbia 191. f
Vltimo grado della poca grata adunanza delle con
sonanze. 5. m
Vniformi sono sotto una sola qualità, alla similtudi-
ne della linea retta. 22. p
Vnità del Numero numerāte non si può diuidere.
28. f. 49. f. Del numero numerato si può diuide
re. 28. f. 50. p. E parte di qual si uoglia Numero.
30. f. Moltiplicata in qual si uoglia numero, pro
duce l'istesso. 31. p
Voce continua non fa consonanza, nè harmonia.
21. f. Non è considerata dal Musico. 21. f
Voci, ò Suoni materia della Consonanza. 10. m. Con
siderati dal Musico quanto alla loro duratio-
ne. 21. m. Da ogni parte piegar si possono 200.
p.234. m

Vtilità che apporta il saper temperare un'Istrumen
to, & la sua ragione. 241. p
IL FINE DELLA TAVOLA.
page xvi

LETTORI STVDIOSI.

CON la uostra solita humanità contentareteui di sottoscriuere al Priui-
legio de Stampatori, che hanno di non stampar mai Libro alcuno
senza errori: col riportare queste poche correttioni, che sono di qual-
che importanza, à i loro luoghi.



























Facciata. Linea. leggi.
. 48. senza aspettar altra.
50. che conoscessero.
12. 16. che cosi fusse,
23. 32. hauete dichiarato
27. nel principio della seconda li
nea dell'essempio manca la
lettera f.
12. Sesquiquarta; & quella che si
troua tra ac. è Dupla, come
quella che si troua tra fg.
30. 32. bene, dissi; onde.
38. 6. che non ui sono.
39. 1. PROPOSTA III.
48. nell'ordine de i Molteplici.
superparticolari. d.10.
93. 2. Messer Claudio; lasciamo
Facciata. Linea.
105. 33. compreso da i Quattro primi
che si uedono, che anco gli al
tri sono Quattro,
213. 11. Semituono.
135. di sopra. TERZO.
137. di sopra. TERZO.
137. 28. per la terza.
139. di sopra. TERZO.
144. 4. & cb. è quello
146. 14. cifera √ la
149. 12. & eg faranno.
214. 29. studiano
246. 20. ch'io non faccia.
254. 1. (per tornar al proposito)
44. gli Istrumenti Naturali.
183. 46. PROPOSTA L.
page 1

DIMOSTRATIONI
HARMONICHE
DEL REV. M. GIOSEFFO ZARLINO
DA CHIOGGIA,
Maestro di Cappella della Serenissima Signoria
DI VENETIA:
Diuise in Ragionamenti.


RAGIONAMENTO PRIMO.

GLI ANNI di nostra Salute erano peruenuti al numero di MDLXII.
&era il Mese d'Aprile quando l'Illustrissimo Sig. Donno Alfonso d'
Este Duca di Ferrara, per cagione di uedere una bella, nobile & ricca
Città; non solamente gloria, splendore & riputatione della bella Ita
lia; ma anco di tutto 'l Christianesimo; & forse per altri suoi negotij
d'importanza, uenne à Vinegia; onde da i nostri Sig. Illustrissimi Ve
netiani con solennissima pompa & regali apparati; com'è lor costume
di riceuere tutte quelle Persone, che sono d'alto affare; fu riceuuto. Hauea questo Sig.
seco menato i miglior Musici, ch'appresso di lui si ritrouauano; tra i quali (lasciando
gli altri, per non esser lungo) era Francesco Viola suo Maestro di Cappella & mio sin-
golare amico. Questi uenuto un giorno à ritrouarmi alla mia stanza, & presomi in sua
compagnia, s'auiassimo uerso la bellissima piazza di S. Marco. La onde uedendo aperto
il suo famoso & ricco Tempio, che de belli & finissimi marmi, con una gran copia di co-
lonne, è fabricato; percioche già era l'hora del Vespero, entrammo in esso; & pascendo
la vista per un buon pezzo di tempo, con belle pitture, che iui si ritrouano da buoni & ec
cellenti maestri di Mosaico antico & moderno lauorate; insieme andauamo ragionando
della lor bellezza & della ricchezza del Tempio, & della spesa grande, ch'in esso faceua
no i nominati Signori Illustrissimi, come quelli, che sono stati sempre religiosi, & à Dio
deuoti; per adornarlo di quelle cose, che uedono esser necessarie & conueneuoli, & por
tino bellezza, decoro & maestà al culto Diuino. Hora mentre che noi con sommo piace
re & nostro gran gusto andauamo discorrendo molte cose; essendo già finito il Vespero; ec
coti comparere il gentilissimo M. Claudio Merulo da Correggio, soauissimo Organista;
il quale uedutoci, s'accostò à noi; & conosciuto il Viola; dopo gli abbracciamenti fat-
tisi l'un con l'altro, ci ponemmo à sedere. Il perche essendosi tra noi de molte cose degne
& honorate, come 'l luogo richiedeua, per un buon pezzo ragionato, fatto dissegno di par
tire; prendemmo tutti d'accordo il camino uerso la stanza di M. Adriano Vuillaert, allo-
ra Maestro di Cappella di questa Serenissima Signoria; il quale poco lontano dimora-
ua, per conto di uisitarlo; & essendo molestato dalle podagre, non si partiua di ca-
sa; à fine che la presenza de i suoi amici amoreuoli & carissimi, gli apportasse qual-
che solleuamento. Arriuati adunque che noi fussemo, & ritrouato, che 'l sudetto Sig.
poco inanzi era stato à uederlo con una bella, degna & honorata copia de Signori &
Gentil'huomini; dopo molti ragionamenti hauuti da una parte & l'altra; i quali com-
Dimostr. Harm. A memo-page 2 2 Ragionamento memorauano le cortesie, che questo Sig. eccellētissimo molte uolte usato gl'hauea; & quā
to care gli erano le sue cōpositioni; & come per lui erano uenute à luce una grandissima
parte di quelle cose, ch'egli hauea gia cōposto; le quali stauano quasi sepolte. Et hauendo
insieme con buon proposito discorso molte cose della Musica, & della nostra amicitia; à
caso arriuò un degno & honorato Gentil'huomo forastiero amico di M. Adriano, uenuto
simigliantemente per cagione di uisitarlo. Questi grandemente si dilettaua della Musica;
ma sopra ogn'altra cosa desideraua udir ragionar delle cose dell'Arte, & della Sciēza; per
cioche per molt'anni ināzi studiato hauea nella Filosofia, & hauea letto molti Autori Gre
ci & Latini, i quali di Musica trattauano. Di questo il nome era Desiderio; & era di natio
ne Lōbardo, da Pauia; ilquale dopo un lungo ragionamento de uarie cose insieme fatto;
hauendo da quel, che detto si hauea compreso, chi erauamo, il nome di ciaschedū de noi,
il cognome, la patria, & la particolare professione; cosi ancora noi hauendolo dal suo par
lare à pieno conosciuto, & informatoci delle sue qualità & conditioni; uoltatosi questo
Gentil'huomo uerso di me; in cotal guisa incominciò à dire. Veramente credo M. Gio-
seffo, al desiderio chio tengo di potermi risoluere d'alcuni dubij, che mi uanno per la mē
te già molt'anni sono, dopo chio uidi & studiai insieme cō molt'altri libri di Musica le uo
stre Istitutioni harmoniche; che non mi potea abbatter meglio di quello, c'hoggi mi son
abbattuto. Percioche ricordandomi molte cose, mi par uedere, che tutto quello,ch'io leg
go in molti Autori, & che di continuo odo da Musici ricordare, mi generi nell'animo tan
ta confusione,ch'io per me non mi sò risoluer'in molte cose, di quel ch'io habbia da tene-
re & credere. Et per diruene una, che mi fà molto dubitare; ritrouo, che Pitagora negādo
di potersi passare oltra la Quadrupla; come nel Cap. 2. delle nominate Istitutioni nella Se
conda parte
hauete detto; non acconsentiua, che quelli Interualli, i quali hanno la forma
loro da i Numeri, che sono maggiori del Quaternario, fussero consonanti. La quale opi-
nione fù tenuta da molti; imperoche Euclide Prencipe de Mathematici nel suo Introdot
torio di Musica
chiaramente manifesta cotali Interualli dicendo: Διάφωνα δὲ τὰ ἐλάττονα
τοῦ Διατεσσάπων, Δίεσις, ἡμιτόνιον, τόνος, Τριημιτονιον, Δίτονον, Lequali parole uogliono di-
re; Ma le Dissone sono quelle, che sono minori della Diatessaron; il Diesis, lo Semituono,
il Tuono, il Trihemituono, il Ditono; hauendo egli prima detto; Σύμφωνα μὴν οὖν ἐστὶν Δια-
τεσσάρων, Διαπέντε, Διαπασῶν, καὶ τὰ ὅμοιοα; cioè, Adūque le Cōsonanze sono la Diatessarō
la Diapēte, la Diapasō, & altre simili. Et Aristosseno antico Musio nel Lib. 2. de gli Ele-
mēti Musicali
dice; ἔστω δὴ τῶν συμφώνων ὀκτὼ μέγεθα. ἐλαχιστον μην τὸ διὰ τεσσάρν. συμβέβη
κε δὲ τοῦτο τῇ αὑτοῦ φύσει ἐλάχιστον εἶναι. σημεῖον δὲ τὸ μελοδεῖν μὴν ἡμᾶς πολλὰ τοῦ διατεσσάρων
ἐλάτω, πάντα μέντοι διάφωνα; cioè, Siano hormai Otto le magnitudine de i consonāti, de i
quali sia minima la Diatessarō: ma ciò auien'ancora naturalmēte esser minimo; del che n'è
segno, che noi cātiamo molti Interualli, che sono minori della Diatessaron; che sono tut-
ti dissoni. Tolomeo etiādio, chiama la Diatessarō col nome d'ἐλαχίστης, καὶ πρώτης συμφω-
νίας; cioè, Minima & prima Cōsonanza. La si uede, che cotal cosa appres
so de costoro era tenuta per uera. Et perche uedo in fatto, & intendo da uoi Musici esser'il
contrario; però non sò in qual maniera possa credere; che se ben Pitagora & gli altri, che
lo seguirono, negaua cotal cosa, la negasse semplicemente; come le parole à noi suonano.
Ne mi par, che questo habbia del uerisimile; essendoche Pitagora & li Pitagorici sono sta
ti huomini saputi, di gran giudicio, & d'eleuato ingegno; & hāno hauuto quel buon senti-
mento; come si può credere, che habbiamo noi; col quale si poteuano certificar, se la cosa
era in fatto, come la credeuano & teneuano; delche forte mi marauiglio. Però desidero
grandemente intender da uoi, donde cotal cosa nascer potesse; la quale appresso di me è
tanto difficile; ch'io nō posso far, che ricordandomi non la chiami errore. Soggiūse M. A-
driano à questo, sēz'aspettar'altra risposta: Io ancora già molto tēpo è, ch'io desidero d'in
tender questa cosa; poscia ch'io tēgo fermamēte; come diceua il S. Desiderio, che gli Anti
chi nō fussero priui ne del sentimento dell'Vdito, neanco di giudicio; ma che conosces-
sero cosi bene il buono & il tristo, come conosciamo noi: ma che dite uoi di questo M. Frā
cesco?page 3 Primo. 3 cesco? credete anco uoi, che questo sia uero? Io l'hò per fermo Messere, rifpose M. France
sco, che gli Antichi hauessero tanta cognitione del buono & del tristo, quanta ne habbia-
mo noi. Et forse, che come quelli, che dauano grandemente opera alle speculationi, più
di quel, che facciamo noi, hauessero 'l Senso più purgato; ma per qual cagione ciò facesse-
ro, haurò anch'io molto grato il saperlo da M. Gioseffo. Allora tacēdo ogn'uno, dissi: Sig.
Desiderio, ancora che questa cosa sia molto difficile, & alle spalle mie carico troppo gra-
ue, & cosa ueramente da ricusare; tuttauia desiderando di satisfare in qualche parte al uo
stro desiderio; poi che questa è la prima uolta, che s'habbiamo ueduto, & lo primo appia-
cere anco, che m'hauete richiesto; non resterò di dirui tutto quello, ch'io sento sopra que-
sta dimāda; tanto più ch'io ui uedo tutti d'un'istesso uolere, & accesi d'un buon desiderio;
ond'io per satisfarui, non porrò tēpo alcuno di mezo. Pregate adunque Dio, che mi illumi
ni la mente à dir cose, che ui siano di satisfattione. Cosi faremo, rispose M. Adriano; & ui
preghiamo tutti ad incominciare. Auertite adunque, soggiunsi; c'hauendo Pitagora hauu
to opinione, che tutti quelli Interualli, che sono consonanti, hauessero le forme loro con-
tenute dalle Proportioni del genere Molteplice, ò Superparticolare solamente; hebbe
per fermo, che tutti quelli, che le hauessero contenute sott'altri generi, fussero al tutto
dissonanti. La onde, uedendo che i Tetrachordi del genere Diatonico diatono, ilquale
più d'ogn'altro da lui, & da i suoi seguaci era riceuuto, procedeuano dal graue all'acuto
per due Tuoni di proportione Sesquiottaua, & per un Semituono contenuto dalla pro-
portione Super 13. partiente 243. & che i due Tuoni, i quali formauano il Ditono, era-
no contenuti ne i loro estremi dalla proportione Super 17. partiente. 64. & che un Tuono
col nominato Semituono, dal quale si poteua formare un Semiditono, erano contenuti
dalla proportione Super. 5. partiente. 27. ritrouandosi queste due proportioni tra quelle
del genere Superpartiente, veniua à concludere; per la prima ragione, che ui posso dire;
che quelli Interualli, ch'erano contenuti tra queste forme, ne i loro estremi fussero; come
ueramente sono; dissonanti. Dalla qual Regola non escludeua i due Hexachordi maggio
re & minore; essendo c'hanno in tal genere le forme loro. Et questo è troppo uero; percio-
che cotali Interualli ridotti in atto, si conoscono esser poco grati all'Vdito. Onde tale opi
nione non è da esser giudicata falsa, quanto à questa ragione; & non dee parer cosa stra-
na. Quel che uoi dite; rispose M. Adriano; è uerissimo; ma mi par gran cosa da dire; essen-
do (come chiaramente da ogn'uno di giudicio si comprende) che tutta la uaghezza & la
leggiadria della Musica, & dirò anco ogni sua diuersità, è posta nelle due Consonanze
minori della Diatessaron; cioè, nel Ditono & nel Semiditono, & anco nei due Hexachor
di maggiore & minore; che gli Antichi non hauessero mai udito tra Sette spacij contenuti
nella Diapason; & nō hauessero conosciuti i nominati Interualli essere cōsonanti. E' ben
uero, che 'l non hauerli per cōsonanti, crederò, che fusse fatto non senza qualche ragione.
Messere, risposi; à questo, che uoi hauete detto, risponderò con un'altra ragione. Bisogna
che uoi cōsideriate, che se gli Antichi hanno uoluto udire gli Interualli nominati, facea di
mestieri, che eglino li hauessero uditi in uno de due modi; prima sotto le Forme contenu
te tra i Sette nominati spacij, ouer'Interualli della Diapason; dopoi sotto altre forme ua-
riate da quelle. Quanto d'hauerli udito nel primo modo; credetemi, che li udirono disso-
nanti; percioche le dette forme sono sottoposte al genere Superpartiente; ma in quanto
l'hauerli udito sott'altre forme; sia poi nelle uoci, ò ne i suoni; questo è ben possibile d'
hauerli udito consonanti. Auertite però, che in due modi li poteuano udire nella secon-
da maniera; prima ne i proprij, ueri, & naturali luoghi; dopoi fuori di essi. Se li uole-
uano udire ne i proprij & ueri luoghi sopra i loro Istrumenti, quest'era impossibile; percio
che cotali Istrumenti nō erano sufficiēti; essendo che (come hò detto nel cap.2. della Secō
da parte dell'Istitutioni
) gli Antichi non passarono mai la Quintadecima uoce, ò chor-
da; ne mai passarono (secondo 'l precetto di Pitagora) la proportione Quadrupla;
se ben si legge appresso di Giulio Polluce di due Istrumenti, l'uno de i quali chiama Epi
gonio, dal nome dell'Inuentore chiamato Epigono ambraciota, che hauea 40. chorde; &
Dimostr. Harm. A 2 l'altropage 4 4 Ragionamento l'altro Simico, ilqual n'hauea 35. i quali Istrumenti credo, che fussero molto dopoi quella
età nella quale fiorirono i primi & più illustri Musici & che di loro ne fusse fatto poco cōto:
percioche tra quelli, che trattano le cose della Musica, non se ne troua alcuna memoria; se
nō (come ho detto) appresso il Polluce, che uisse ne i tēpi dell'Imperatore Comodo di no
me; ma incōmodo al mondo; alquale egli dedicò la sua opera, intorno gli Anni di Christo
190. Onde essendo cosi; necessariamente gli udiuano fuori de i loro luoghi, & ne i luoghi
nō proprij. Et se ne i luoghi nō proprij le udirono, nō poteuano pienamente satisfare al sē
so; ilperche sforzatamente le giudicarono dissonāti più tosto, che cōsonanti; per laqual co
sa son di parere, ch'essi non per altro giudicassero gli Interualli, che sono minori della Dia
tessaron dissonanti, se non perche non hebbero cognitione, ò per dir meglio, non intesero
i ueri, legittimi, proprij & naturali Luoghi delle Consonanze; cioè, doue ciascheduna si
douea naturalmente collocare; essendoche (come tutti uoi sapete) se bene il Ditono è cō
sonanza, tuttauia posto fuori del suo luogo naturale, & collocato nel luogo d'un'altra con
sonanza, più tosto rende dissonanza, che buon concento; ilche dir si può anco della Dia-
tessaron; percioche posta per base della Diapente tra la Diapason; non dà quella satisfat
tione all'Vdito, che fà quando si pone essa Diapente per base della Diatessaron nella Dia
pason. Questo è purtroppo uero, rispose il Merulo, & l'esperienza, ch'io fò ogni giorno
nel sonar l'Organo lo dimostra; perche quando il Ditono si ode nelle uoci, ò ne i suoni col
locato nel graue, allora parmi di udire un non so chè di tristo, che nasce nella compositio
ne da tale Interuallo, che sōmamente mi offende il sentimento. Et questo ueramēte nō si
potrà da alcū di sano giudicio negare. Ma se cotale Interuallo si uà riportādo uerso l'acu-
to, quanto più si trasporta, tāto più rende maggior dilettatione al senso; di maniera che se
quel Ditono, ilquale è posto nella parte graue d'alcuna cantilena, offende alquanto l'Vdi
to; quel ch'è posto tra 'l graue & l'acuto, non solo non offende, ma anco diletta. Quando
poi è posto nella parte più acuta, dà maggior diletto ancora, di quello, che non danno i
due nominati, posti nella maniera già detta. Disse allora il S. Desiderio; Parmi che questa
cosa sia di non picciola importanza da sapere; Ma poniamo che 'l Ditono, il quale hauete
nominato, posto in luogo graue in cotal maniera faccia tristo effetto: farà forse quell'istes
so il Semiditono? Non solamente; rispose il Merulo, lo farà tristo; ma tristissimo, di tal sor-
te, che quasi non si potrà udire; & questo è uero, credetelo a me, che spesso l'hò prouato
nell'Organo; come ho detto; perche se quando si uien'à toccar nella parte graue il Dito
no, s'ode tristissimo effetto; se per caso si tocca il Semiditono, fà una ruina tanto grande,
che à pena si può udire. Ma quando questi Interualli sono toccati nel mezo Istru
menti ne i loro gradi, fanno udire suono grato & soaue. Et se si toccano ancora più uerso
l'acuto, fanno migliori effetti; di maniera che quel, c'hò detto è uerissimo. A fè, rispose il
S. Desiderio, che mi piace questa cosa, & credo che pochi siano quelli, che cotali cose con
siderino. Pochi sono ueramente Sig. mio; rispose allora M. Francesco; & tanto pochi, che
io non ue ne saprei ritrouar molti. Voglio dire anche più oltra (soggiunsi io) che non so-
lo quest'Interualli, quando sono posti nel graue, possono offender l'Vdito; ma etiandio
quando sono posti nell'acuto; percioche quando 'l Ditono tiene il luogo del Semidito-
no, ò per il contrario; se pure non discordano, almeno danno manco dilettatione.
Et sappiate, che la maggior parte de tutte quelle compositioni Musicali, che poco
dilettano; tra gli altri difetti, che hanno, questo è un de quelli. Veramente è cosi;
disse Messer'Adriano; percioche hò posto mente, che in tutte quelle Canzoni, che mi
dilettano, si troua 'l Ditono esser replicato tra le parti, sopra la parte del Basso; al contra
rio in quelle, che poco mi piacciono, hò compreso, che 'l Basso sopra di sè molte fiate hà il
Semiditono. Douete sapere Sig. (risposi io) com'io hò detto & replicato molte fiate nelle
Istitutioni,1. Par. c.
13.
& 3.
par. c. 60.
che le Cōsonanze nella Musica hanno i lor gradi, & naturalmente occupano
quei luoghi, che tengono tra i Numeri harmonici le lor forme. Et quando tali Consonan
ze sono poste al contrario; se non fanno tristo effetto; almeno lo fanno mē buono,di quel
che farebbono, se ne i lor proprij luoghi fussero collocate. Però, si come la Dupla, che è
lapage 5 Primo. 5 la uera forma della Diapason, collocata ne i numeri tra 2 & 1. per darui un'essempio; tie
ne il primo luogo tra essi, & tra le proportioni è la prima; essendo che inanzi de questi due
termini 2 & 1. non si troua numero, che sia minore; cosi tra le Consonanze non se ne ritro
ua alcun'altra, che per origine sia prima della Diapason; onde la Diapason tiene 'l primo
luogo nel graue, & inanzi non si ritroua Consonanza alcuna, che sia maggior, ò minor di
lei. Il perche hò detto molte fiate, che la Diapason è la Prima consonanza, dalla qual na
scono tutte l'altre, siano poi di essa maggiori, ò minori. Soggiungo anco di nuouo, che el
la è non solo Principio; ma Elemento de tutte l'altre. La onde si come la sua forma sem-
plice, contenuta ne' suoi termini radicali 2 & 1. non riceue altro numero, ò termine meza
no, che la diuida in due parti; cosi essa non admette nel primo luogo & grauissimo dell'ordi
ne delle Consonanze alcuna chorda mezana, ne anco nella parte grauissima di qual si uo
glia Istrumento, che la partisca in due Interualli; onde si possa udir'alcun'effetto, che nō
sia men grato di quello, che si ode, quando si fà udir semplicemente. Nel secondo luogo si
ritroua la Diapente, la cui forma è 3 & 2. che tra l'ordine naturale de' numeri tiene pure il
secondo; il perche uà posta senza mezo alcuno dopo la Diapason. Et si come tra 3 & 2. nō
ui può capire alcun mezano numero; cosi tra l'estreme chorde della Diapente non può ca
scar'alcuna chorda mezana, che in qualche parte non offenda il sentimento. Dopo que-
sta segue nel terzo luogo la Diatessaron tra 4 & 3. nell'ordine naturale de numeri, la qua-
le non riceue alcun mezo, che operi buono effetto; onde essendo poste tutte queste Con
sonanze l'una dopo l'altra (come altroue ho dettoInst. lib. 1.
cap. 15.
) sopra d'un'Istrumento per ordine, sen
za porui in mezo alcun'altra chorda, gratissimo suono & soaue concento udir fanno. Ma
se per auentura nel graue la Diapason uenisse ad esser tramezata, di modo che nella parte
graue s'udisse la Diapente, & nell'acuta la Diatessaron, subito si udirebbe mutar forma il
concēto, & un non so chè di non cosi grato, com'era 'l primo, all'Vdito. Et se ancora tra
questa Diapente si interponesse una chorda, la quale uenisse à diuiderla in due parti; cioè,
in un Ditono & in un Semiditono, & questo fusse collocato nella parte acuta, & quello
nella parte graue; allora s'udirebbe cosa, che all'Vdito apportarebbe gran dispiacere.
Questo, però non è l'ultimo grado della poco grata adunanza delle Consonanze; percio
che ancora si troua di peggio; & ciò intrauiene quando 'l Semiditono uiene à tenere il luo
go del Ditono, & questo il luogo del Semiditono, & sono posti tra la Diapente al contra
rio di quello, ch'erano prima; cioè, che 'l Ditono tenesse il luogo acuto, & lo Semiditono
il graue; perche allora si udirebbe quella ruina estrema, che possono far le Consonanze a-
dunate insieme; essēdoche questo ordine allora sarebbe posto alla riuersa; cioè, che 'l Semi
ditono occuparebbe il primo luogo nel graue, il Ditono il secondo, la Diatessaron il ter-
zo, il quarto la Diapente, & la Diapason tenerebbe nell'acuto il sesto & ultimo luogo. Et
credo, che tutti quelli, c'hanno giudicio, & hanno prattica de gli Organi, possono questo
molto ben sapere; percioche, quando cotali Istrumenti sono sonati à pieno, maggiormen
te di quel che non fanno gli altri Istrumenti, che hanno poco spirito; scuoprono tale con-
quassamento. Si che S. Desiderio; mi par che hora si possa comprendere, in che consista,
& quel che sia la già addimandata à me da uoi differenza; laquale à gli huomini d'inge-
gno eleuato, non è difficile d'apprendere; ma si bene à quelli, che sono di poca tenuta; tra
i quali se ne trouano al presente de quelli, che questa cosa non capiscono, come se fusse co
sa della quale non si potesse hauer esperientia alcuna; Onde non la intendendo, la biasi-
mano. Hauend'io detto questo; riuoltatosi à me disse, il S. Desiderio; Ditemi ancora que
sto; per uostra fè; perche maggiormēte tanta ruina fanno questi due Interualli, ch'ultima-
mente hauete nominato, posti nel graue, che non fanno quādo sono situati nell'acuto? Per
due cagioni, risposi; l'una, perche 'l luogo del Ditono & del Semiditono nō è l'esser posto
nel graue, ma nell'acuto; l'altra, perche posti al modo detto, non sono collocati per ordi-
ne, secondo i gradi & i luoghi loro, ma al contrario: essendo che quell'Interualli, che so-
no di maggior proportione naturalmente uogliono il luogo più graue, & queli di mino-
re, il luogo più acuto. Ne mai ritrouarete nell'Ordine naturale delle Consonanze, che
Dimostr. Harm. A 3 ilpage 6 6 Ragionamento il Ditono segua uerso l'acuto immediatamente 'l Semiditono; ma ritrouerete il contra-
rio; che tenendo 'l Ditono il luogo più graue, il Semiditono immediatamente lo segue uer
so l'acuto; di maniera che un tal disordine nasce da queste cagioni, quantunque l'uno
& l'altro siano consonanti. Adunque; soggiunse il Sign. Desiderio; per quel ch'io ueg-
gio il poco accordo, che tallora fanno le parti d'una compositione, procede non solamen
te dal mescolamento delle Dissonanze, ch'alle fiate ui si fà per dentro; ma dal porre in esse
con male ordine le Consonanze. Cosi è in fatto, rispose M. Claudio. Non è stato adun-
que fuor di proposito, disse M. Adriano, che nelle mie compositioni habbia schiuato, più c'
hò potuto, di por cotali Consonanze nella parte graue; al modo c'hauete dichiarato; per
che pur troppo mi parea, che non stauano bene; quantunque io non ne sapesse render ra-
gion'alcuna; ma udiua, che non mi contentauano à pieno il senso. Vi sono anche dell'al
tre osseruanze Messere (gli risposi) nelle uostre Compositioni; lequali hauete imparato
co 'l mezo del senso; come quello, che è il principio del nostro sapere, che non sono di po
ca importanza; delle quali, se ben non ne sapete dire la ragione, non mancano quelli, che
la dicono per uoi. Ma per ritornar al nostro proposito, dico; che la cagione, che mosse i
Pitagorici, & Pitagora prima à dir, che tutti gl'Interualli, i quali erano minori dell'Dia
tessaron fussero dissonanti, è questa; secondo 'l mio giudicio, & come ui hò dichiarato; per
che non hebbero cognitione de i Gradi & proprij luoghi delle Consonanze, & in qual
maniera si hauessero à disporre & collocare in ordine. Onde hauendo essi conosciuto, se
pur lo conobbero, che quelle consonanze, che sono minori della Diatessaron; come so-
no il Ditono & lo Semiditono, à noi tanto grate; poste nella parte graue, generauano più
tosto dissonanza, che consonanza; per non essere stato conosciuto da loro tale differēza;
cioè, che poste ne i loro proprij & naturali luoghi, generano grato suono all'udito; & per
il contrario ingrato, quando fuori de i loro naturali luoghi sono collocate; però giudicaro
no, che per ogni modo fussero dissonanti. Adunque dal non conoscere i gradi, & l'ordine,
& i proprij luoghi delle consonanze nacque, che gli Antichi negarono quelli Interualli,
che sono minori della Diatessaron, esser consonanti. Non li bastaua almeno sapere; disse
il S. Desiderio; che posti nell'acuto, & à i loro luoghi proprij erano & sono cōsonanti? Già
ho detto (soggiunsi) che nō cōsiderarono questo, anzi mai lo sepero; essendo che se l'haues
sero saputo, nō è dubio, che l'haurebbono posto in uso, ouero ne haurebbono almē lascia
to qualche memoria di loro; com'hāno fatto alcuni de i nostri Moderni, i quali se ben nō
hāno dimostrato, che 'l Ditono cōtenuto dalla proportione Sesquiquarta, & lo Semidito
no contenuto dalla Sesquiquinta, fussero consonāti, hanno almeno con grāde dubitatio-
ne affermato, che 'l Ditono cōposto di due Tuoni sesquiottaui, & il Semiditono, che con-
tiene un Tuono sesquiottauo, & un Semitono minore, cōsiderati dalla parte delle loro pro
portioni, erano dissonanti; appoggiati à questa opinione; che d'altre Proportioni, che dal
le Molteplici & dalle Superparticolari in fuori, le Cōsonanze non potessero hauer le loro
forme, & che considerate in atto ne i Suoni, ò nelle Voci, fussero consonāti;Vide cap.
12. lib. 4.
supple.
perciò che
quando uoleuano, tali le udiuano. Ma s'ingānauano; perche quando le udiuano cōsonan
ti; erano cōtenute da proportioni Superparticolari, & nō da Superpartiēti, come credeua
no; & poteua nascer l'errore di costoro, dal non hauer'hauuto sufficiēti principij; nelle lor
dimostrationi, & poca isperienza delle cose della Musica; percioche non era basteuole il
dir solamente, che le Consonanze erano quelle, le quali haueano la forma loro dal gene
re Molteplice, ò Superparticolare, contenute tra le parti del numero Quaternario; ma bi-
sognaua più tosto dire, che erano quelle, le quali haueano le forme loro da quelle propor
tioni, che si trouano in atto tra le parti del Senario. Adunque; disse M. Francesco; nō pote
uano costoro dimostrar le cose della Musica perfettamēte, nō hauēdo essi cotali principij;
essēdo che da loro si hà la cognitione (come molte fiate dire) de tutte le cose, che
si trattano in qual si uoglia sciēza. Dite troppo il uero; risposi; onde bisogna sapere, ch'à uo
ler dimostrar perfettamente le cose della Musica, bisogna à quei Principij, co 'l mezo de i
quali altri hanno dimostrato, aggiungerui quelle, cose, che ne cōducono al fine di quello,
chepage 7 Primo. 7 che cerchiamo. Et ricordarsi quel c'hò detto nelle Istitutioni;1. Part. c. 13. et. 3.
par. cap. 3.
che le Consonanze, ò In-
terualli musicali non nascono primieramente; com'hanno tenuto alcuni; per l'aggiuntio
ne de molti Interualli minori posti insieme; ma per la Diuisione della Diapason, la quale
chiamai Madre & Fonte dogni altra consonanza & interuallo. Questo credo, ch'ogn'un
de noi l'habbia in memoria; disse M. Adriano; ma parmi, che al tutto non sia mal detto,
che la Diapason si componga de tre Tuoni maggiori, de due minori, & de due maggiori
Semituoni; percioche si uede pur che contiene in se ueramente, & camina per tali Inter
ualli. Vdite Messere; risposi; nella Musica hauete da considerar due cose; prima l'Interual
lo, il quale da Greci è detto Διάστημα; & gli ordini, ò scale, cosi detti d'alcuni moderni, ò
pur Costitutioni, che nominar le uogliamo; chiamate separatamente, & ciascheduna da
per se Σύστημα; però dico, che se parlate di questa ultima; nō è inconueniente dire, ch'una
Diapente sia composta de due Tuoni maggiori, d'un minore, & d'un maggior Semituo-
no, come da due parti: Ma parlando della prima, questo non si uerifica; percioche nasco
no dalla diuisione della Diapason; & non è senza proposito il dire, che fatto molte parti
d'una Diapason, de quelle istesse si possa reintegrare, & comporre un'ordine, ilquale con-
tenga quanti Tuoni & Semituoni possa accascare in quella compositione, secondo la qua
lità dell'ordine, che uolete comporre; come sarebbe dire; comporre una Diapason, nel-
la quale entrino gli Interualli nominati di sopra, & altri simili. Et à questo modo non è
errore à dire, ch'una Consonanza; cioè, uno de questi ordini sia composto. Ma si ben
sarebbe, quando si dicesse, ch un'Interuallo de i primi fusse composto. Voi dite bene sog
giunse M. Adriano; ma di gratia fatemi un piacere, & à tutti gli altri, che sono qui adu-
nati & si dilettano della Musica; ragionateci un poco di queste cose; acciò sappiamo an-
che noi ragionarne, quando farà dibisogno, qualche cosa; perche io desidero grande-
mēte uedere un giorno le cose della Musica dimostrate, come star debbono. Et se uoi uo
leste pigliar questa impresa, ci fareste cosa grata; percioche credo, che nō sia alcun de noi,
che nō l'hauesse in piacere, & nō ne hauesse da hauer obligo. Cosi è ueramente; rispose il
S. Desiderio; & io in particolare lo desidero molto; percioche da queste imparerò la uia,
che tiene il Musico, nel dimostrar le sue cōclusioni, & uedrò la differenza, ch'è tra le dimo
strationi, che fà il Musico, le quali nō hò mai cōpitamente ueduto; & quelle che fà l'Arith
metico & il Geometra; hauēdo io queste due ultime molte fiate ueduto porre in atto. Si-
gnor; risposi io; nō bisogna in queste cose hauer fretta; ma bisogno è di andare adagio. Et
ui prometto, che ui andrebbe più tempo di quel, che u'imaginate, quandio uolessi tuor l'
impresa di ragionar, come si debbe, le cose della Musica; percioche bisognerebbe prima
dichiarare alcune cose à quelli, che non hanno ueduto, ò letto, che concorrono nel-
la Dimostratione; uolendoui di questa materia ragionar con la Dimostratione in mano;
& bisognerebbe oltra di questo dichiarar quello, che sia Dimostratione, & di che si cōpo
ne, & molt'altre cose, lequali portarebbono seco molto tempo. Et bisognarebbe, che u'i-
maginaste dhauere più d'uno ragionamento; essendo che nella Musica l'una cosa è
concatenata con l'altra, come sono gli annelli, che si trouano congiunti insieme in
una catena. Rispose allora M. Adriano, uoi mi accrescete la uoglia, dicendo coteste cose;
on d'io ui prego à pigliar uolōtieri questa impresa; perche mi sarà un grande solleuamēto
del mio male. Et ui giuro, che s'io fusse più giouane di quel, ch'io non sono; uorrei di nuo
uo diuentar Discepolo, & dar'opera per si fatta maniera all'intender la ragione delle cose
della Musica; che non uorrei, ch'alcun mi dimandasse cosa alcuna, che io non lo potesse sa
tisfare. Questo à me sarebbe etiandio ueramente oltra modo grato; disse M. Francesco;
acciò mentre stò in Vinegia, acquistassi qualche cosa da portar meco à Ferrara; onde ui
essorto & prego M. Gioseffo à pigliar questo carico. Ma ui dico hora Messere, che ui doure
ste contentar d'esser il primo de nostri tempi nelle cose della prattica, laquale hauete an-
co non senza qualche cognitione della Theorica; essendoui sempre dilettato di pratticar
cō huomini dotti in questa professione. Et se ben nō sete in tutto della Theorica colorito,
almen sete molto . Et ui douete allegrar di questo, percioche sono doni, che nō si
Dimostr. Harm. A 4 dannopage 8 8 Ragionamento danno cosi à tutti, & ringratiatene la Diuina bontà. Veramente di continuo la rin-
gratio; rispose egli; ma per questo non si estingue la sete, ch'io hò di sapere; perche è co-
sa naturale ad ogn'uno;Metaph. 1.
cap. 1.
anzi di giorno in giorno più mi uà crescendo. Ne mi doglio d'es-
ser uicino à gli anni della decrepità; ma ben mi doglio, che mi conuerrà morire allora,
ch'io incomincierò ad imparare. Sia però sempre fatta la uolontà del Signore. Hora 'l de-
siderio ch'io tengo di sapere, mi fà di nuouo pregarui M. Gioseffo, à far quello, che ui ho
proposto. Non minor sete ho io di cotal cosa soggiunse il S. Desiderio, che l nostro M. A-
driano habbia; percioche se bene ho ueduto & letto appresso dalcuni Autori molte cose
dimostrate; tuttauia non son restato à pieno satisfatto. Gli uorrebbe (risposi) un fiume
de i maggiori, non dirò che sia in Italia, ma de i maggiori che sia nel mondo; & non un pic
ciolo riuo, com'è 'l mio, à uolere estinguere queste seti tanto ardenti; però ui uoglio dire;
che se tanti, i quali hanno scritto, & hanno trattato queste cose auanti di me, non ui han
no potuto cauar questa sete, che debbo sperare io? Ma perche sō molto tenuto à M. Adria
no; & gli hò quell'obligo, come se mi fusse padre; & una certa honestà nō sopporta, chio ri
cusi questo carico; per satisfare à questa honorara & uirtuosa compagnia; però non uo-
glio restar, di far quello ch'io potrò con tutte le mie forze; perche se bene da me non ha-
ueste quel tutto, che desiderate; uedrete almen, che la mia uolontà è pronta nel seruir-
ui. Et prego Iddio, che questa fiata io sia & Musico & Medico insieme, il che mi sarà di
gran contento l'hauer fatto in un solo colpo due operationi; cioè, dato l cibo conue-
niente all'Intelletto de chi m'ascolta; & leuato 'l male à quelli, c'hanno bisogno di sanità.
Nel nome del Signore adunque uoglio pigliar questo carico uolontieri; E' ben uero, ch'
io non mi uoglio obligar à dimostrarui & risoluerui tutte quelle difficoltà, che possono ac
cascar nella Musica; essendo che se 'l si uolesse dimostrare ogni cosa; oltra la difficoltà & la
lunghezza del tempo sarebbe se non impossibile, almeno difficile il raccoglierle tutte d'
una in una insieme, & dimostrarle per ordine. A questa legge (rispose M. Adriano) non
ui uogliamo sottoporre; essendoche troppo ben sappiamo, che questè un'impossibile. Sog
giunse allora il Sig. Desiderio; Date pur principio da qual capo ui piace; perche quando ci
nascerà alcū dubio, ue lo andaremo proponēdo; & uoi ce lo risoluerete, uolēdo. Cosi farò
adūque soggiunsi; Ma auertite,Nota per
i maligni.
che quand'alle fiate ui proponerò alcuna cosa, che per inā
zi l'habbiate udita, letta, ò conosciuta in alcun Autore, di nō m'accusar di furto; come fan
no alcuni poco giudiciosi, & poco prudenti; accusando questo & quello Scrittore; ne an-
che dir, che non faceua dibisogno di commemorarla; percioche uolendoui dimostrar per
ordine le cose della Musica; non posso far, che nō vi discorra alcune cose necessarie à tali
ragionamenti; massimamente conoscendo la maggior parte de uoi non hauer dato opera
allo studio dell'Arti, & non saper quello, ch'importi questo nome Dimostratione, & quel
le parti ch'entrano in essa. Questo disse M. Francesco; mi piace sommamente; perche se
ben può esser, ch'io habbia udito alle fiate quel che sia Dimostratione, da i colloquij del
Maggio & del Pigna nostri, grand'huomini nelle lettere; hauuti spesse fiate co 'l nostro
Sig. Duca, & con altre persone segnalate; tuttauia, per non esser mia professione, non me
ne posso cosi à pieno ricordare. La onde facendo quel, che detto hauete, non potrà esser'à
noi se non di grande utilità. Lo douete far per ogni modo; disse M. Adriano; perche anco
ra io non mi ricordo troppo ben queste cose, se bene essendo giouane le udì in Pariggi,
quando mi diedi allo studio delle Leggi imperiali. Ancora io lhaurò in grande piace-
re disse M. Claudio: perche di queste cose, credo saperne poche: quantunque io ne hab-
bia udito molte ne i ragionamenti de quelli Huomini eccellēti, co i quali praticaua di cō
tinuo; onde mi verrò à ricordar qualche cosa, & la terrò ben'in memoria. Poi che cosi
ui contentate, cosi farò; risposi; onde parlerò hora con uoi Sig. Desiderio; il quale, co-
nosco dal ragionamento poco fà hauuto con noi, esser molto istrutto. Auertisca però ogn'
uno, che in questo Ragionamento io non posso far, che io non faccia quello, che etiandio
hāno fatto la maggior parte de quelli, c'hāno inanzi à me scritto di queste cose & ragiona
to; cioè, ch'io non piglia una parte de quei mezi, che mi seruono à uenire all'atto dimostra
tiuo,page 9 Primo. 9 tiuo; essendoche senza loro non potrei far cosa buona. E' ben uero, ch'io uene aggiūgerò
alquanti altri, per condur questa mia impresa al desiderato fine; conciosiache quelli, i
quali sono stati proposti da altri, non sono à bastanza; & con questi & quelli insieme uer
rò à ragione di quello, che io ui son per dire, & mi sarà da uoi proposto. I biasi-
matori de quelli, che hanno scritto alcune cose nelle scienze, & hanno pigliato i princi-
pij da quelli, che hanno scritto per inanzi; rispose il Signor Desiderio; hanno poco giu-
dicio. Chi non sà, che uolendo scriuere, ò parlar di alcun'Arte, ò Scienza, bisogna di
due cose farne una; ò ritrouar nuoui principii; oueramente usar quelli, ch'altri professo-
ri di quell'Arte, ò Scienza hanno usato? Però Platone, Aristotele, & altri eccellen-
tissimi Filosofi, molte cose s'hanno fatto proprie; quantunque fussero inuentioni d'altri;
come chiaramente ne i Scritti loro si comprende. Ma più si scorge ne i scritti d'Euclide,
che in altro autore; poi che siamo à ragionar della Dimostratione; il quale pose insieme
tante & tante Dimostrationi fatte da altri, facendosele sue, & anco i Principii, col bel-
l'ordine, che le diede; come racconta Proclo, ne i CommentariLib. 2. c. 4.i fatti sopra il Lib.1 de
gli Elementi
d'esso Euclide, ch'à molti è di gran merauiglia, ch'un tant'huomo lo faces-

se; quasi che l'età d'un'huomo fusse à bastanza di ritrouar, porre insieme, & dar perfet-
tione à tante cose. Ma lasciamo questo da un canto & diciamo, che se ciò si permette &
concede à tanti & tali huomini; ne à loro si attribuisce uitio alcuno; per qual cagione
non ui sarà concesso quest'istesso anco à uoi? poi ch'io non uedo, ch'essi habbiano hauu-
to dal mondo maggior priuilegio di quello, che hauete uoi. Questo è il douere; disse
M. Francesco: Ma lasciamo, per uostra fè, questo da un canto, & attendiamo à quel,
che importa à noi, senza perder tanto tempo. Volendo adunque (soggiunsi io) hauer pie
na notitia di quello, che ui hò da dire; fa dibisogno che uoi sapiate; Ch'essendo ogni
Scienza posta nell'intelletto; tutte le cose si rendono intelligibili in atto, secondo che ad
alcun modo si considerano lontane dalla materia. Onde secondo che diuersamente han-
no (dirò cosi) proportione con essa lei, la lor consideratione appartiene à diuerse Scien
ze; lequali acquistar non si possono, se non con l'aiuto della Dimostratione; il me-lb> zo della quale, è la Definitione. Onde essendo la Definitione quella, che ci fà uenire in
cognitione della cosa; esprime le cose essentiali di essa; è necessario, che si co
me elle differenti sono tra loro, che anco siano differenti le Definitioni, ò mezi, che le
vogliamo dire. La onde nasce la diuersità delle Scienze dalla uarietà delle cose in mol-
te maniere considerate; lequali in tre modi considerar si possono;Vide ca. 7.
& 12. lib.
1. Supple
.
Imperoche primiera-
mente ne sono alcune, le quali hanno il loro essere, che dipende dalla Materia, ne sen-
za essa definire si possono; Secondariamente ne sono alcune, le quali non possono star
da essa materia lontane, & nelle definitioni loro non si pone cotal materia; Oltra di que-
sto alcun'altre ue ne sono, che non solamente da tal materia non dependono secondo 'l
loro essere, ma ne anco secondo la ragione ò definitione; & queste sono quelle, che ca-
dono sotto quella Sciēza diuina, che noi chiamiamo Metafisica; percioche quelle cose, le
quali considera; ouer che mai si trouano esser nella materia; com'è Iddio benedetto, &
l'altre sostanze separate; ouer perche non sono uniuersalmente in essa; come è la
Sostanza, la Potenza, & l'Atto, & quell'anco che i filosofi chiamano Ente; il per-
che nella loro definitione; per non esser cose corporali; non si pone la materia. Ma le
prime; che sono cose naturali, & sono considerate nella Scienza naturale, la quale chia-
mano Fisica, & hanno l'esser loro nella materia sensibile, & sono sottoposte al moui-
mento, si definiscono per la materia nominata; onde quando definiamo quel che sia Huo-
mo, diciamo; che è Animal rationale & mortale; & l'Animale, senz'alcun dubio, è co-
sa naturale, & hà l'esser suo tra le cose della natura. L'altre poi sono tutte cose appar-
tenenti alle scienze Mathematiche, come sono punti, linee, superficie, corpi, & tutte
quelle cose insieme, che appartengono alla Moltitudine & alla Grandezza; onde nella lo
ro definitione non si pone la materia sensibile; se bene non possono star senza lei, essen-
do che non si dice, che 'l Triangolo sia figura di legno, ò di pietra, ò di ferro, ò di qua-
lunquepage 10 10 Ragionamento lunque altro metallo, ò materia, che si uoglia; ma si dice, ch'ello è figura, la quale hà
in se tre angoli equali à due retti, quantunque il Triangolo habbia l'esser suo nella mate-
ria; come discorrendo potrete conoscere. Questo discorso tanto più mi è piaciuto; dis-
se M. Adriano; quanto più uedo quasi una cosa noua; che ne i ragionamenti di Musica,
si parla anco delle cose appartenenti alla Filosofia. Non sapete messere, soggiunsi io, che
la Musica, per esser Scienza parte mathematica, & parte naturale; com'hauete potu-
to uedere nelle Istitutioni;1. Par. cap.
20.
è sottoposta alla Filosofia? Io per me lo sò per certo; ma mol-
to mi dilettano (rispose egli) queste cose; tanto più, quando le uedo tirate à qualche bel
proposito. Sappiate dissi io, che tutto questo discorso si è fatto, accioche essendo la Musi
ca, come già dimostrai nelle sudette Istitutioni,1. Par. cap.
18.
et 29.
scienza di Relatione; & hauendo per sog
getto il Numero sonoro; ò Corpo sonoro proportionato; come forse dimostrerò un'al-
tra fiata;Vide c. 14.
lib. 8. Sup-
ple.
non senza proposito uiene ad esser parte Mathematica, & parte Naturale; es-
sendoche considerata nel primo stato; già che da i numeri dipende il suo essere; è con-
numerata tra le cose già dette, poste nel terzo luogo; ma considerata al secondo modo,
hauendo i Suoni l'esser loro tra cose naturali, è posta tra quelle cose, che posseggono il
Secondo. Però credo, che ui ricordate quel, ch'io chiamo Materia; & quello ch'io no
mino Forma delle consonanze; onde non starò à replicarlo.Vide cap.
primae par-
tis Instit.
Onde hauete à sapere; che
se ben co 'l mezo delle Quantità habbiamo la cognition uera delle cose della Musica;
non essendo ella semplice mathematica; nella definitione della Consonanza, & di qua
lunque altro Interuallo, i Musici sogliono alle fiate porre la materia; come habbiamo
potuto uedere in molte definitioni, nelle quali si pongono i Suoni, ò le Voci, che sono
la Materia delle consonanze, & d'ogn'altro Interuallo; essendoche i Musici contempla-
no tali Interualli in atto, i quali non sono senza materia; il che non fanno gli Arithme-
tici, ne anco i Geometri; percioche i primi con templano il Numero; & i secondi le
Quantità misurabili, in quanto sono lontane da essa. Per questo adunque; soggiunse il
S. Desiderio; alcuni han detto, che la Consonanza è distanza di suono graue & di acuto.
E' cosi; dissi io; ma sono stati etiandio alcuni altri, c'hanno detto la Consonanza esser
Aria formato; però auertite, che nell'esplicar quello, che siano le cose (io parlo con
quelli, che non lo sanno) usiamo due sorti di Dichiaratione; La prima è detta Defini-
tione, & è quella, che esplica la cosa per le cose essentiali; & la Seconda è chiamata De-
scrittione, & è quella, che non dice la cosa per gli essentiali; ma per i suoi accidenti. La
prima è, quando noi definiamo l'Huomo, & diciamo, che è Animal rationale & mor-
tale; che sono cose essentiali dell'Huomo. La seconda è quella, con la quale; uolendo
dar'ad intendere ad alcuno quello, che sia Huomo; non sapendo, ò non uolendo espri
mer le cose sue essentiali, diciamo; ch'ello è Animale politico, di statura dritto, & altre
cose simili, le quali non esplicano la natura dell'Huomo. E' ben uero, che molte fia-
te si prende l'una per l'altra; percioche tallora, si piglia la Definitione in luogo della De-
scrittione; & alle uolte questa in luogo di quella; quanto alla uoce; & si chiama senz'al-
cuna differenza Definitione; ancora che quanto all'esser della cosa sia altramente. Qual
di queste due si pone nella Dimostratione? disse allora M. Adriano. La prima (risposi) co
me uederete. Dichiaratemi un dubio, soggiunse M. Francesco, & poi seguitate. Se d'una
cosa sola (come molte fiate hò udito dire) gli è solamente una definitione; da che uiene,
che alle fiate non solo se ne ritroua una; ma anco più? A questo, risposi subito, Bel du-
bio ueramente proponete M. Francesco; però auertite, che nasce da questo; che non so-
no propriamente Definitioni, ma Descrittioni; il perche se ben'alcuna cosa non si può
definir più d'una uolta; si può nondimeno molte fiate descriuere; percioche porta seco
molti accidenti. La onde tale proposta non è uera in questo caso, ma si bene nelle Defini
tioni perfette; essendoche se fusse altramente, sarebbe falsa. Soggiunse allora M. Clau-
dio, dopo l'hauer per un poco di tempo tacciuto; Da che uiene adunque, che nel Cap.
12. della Seconda parte dell'Istitutioni
, hauete posto due definitioni della Consonan-
za? Alquale risposi. Mi piace grandemente, che 'l uostro dubitare torni al proposito di
quello,page 11 Primo. 11 quello, che io uolea dire. Però notate, che la Definitione si troua esser di tre sorti; La
prima si chiama Materiale, & è quella, che contiene la materia, la quale entra nella co-
sa definita; come s'io uolessi definire l'Huomo, & dir quel che ello fusse, direi, ch'è co-
sa composta di carne, d'ossa, de nerui & d'altre cose simili, ch'entrano nella sua mate-
riale compositione; La Seconda si chiama Formale; & è quella, che contien la forma
della cosa, che si definisce; come s'io dicesse: l'Huomo è animale ratione; conciosia che
la Rationalità è la propria & uera forma dell'Huomo; Ma la terza si chiama Finale; & è
quella che contiene, & esplica il fine della cosa; come quando io dicesse; l'Huomo è Ani
male rationale & mortale, capace della Beatitudine; di maniera, che la Beatitudine è il
fine dell'Huomo. Disse allora M. Adriano; Si troua alcuna definitione, che contenga
tutte queste tre cose? Ben sapete; risposi. Ditene una adunque; disse egli; & poi segui-
tate quel che ui piace. La Definitione soggiunsi, che contiene ciascheduna di queste co-
se sarà, quando uorrò definire alcuna cosa; come sarebbe dire la Consonanza, & porrò
nella sua definitione i suoni, la Ragione de Numeri, & quel ch'ella può fare; come sa-
rebbe dir; Consonanza è ragion de Numeri contenuta da due suoni, ò uoci l'uno graue
& l'altro acuto; la quale soauemente uiene al nostro udito. Stà molto bene, disse
M. Adriano; poi che (com'hauete altre fiate detto) i Suoni, ò le Voci sono la materia,
la Ragione de Numeri la forma, & lo Soauemente uenire all'Vdito è il fine della Con-
sonanza. Allora il S. Desiderio, desideroso di saper più oltra, soggiunse; Diteci per uo-
stra fe; questa Consonanza ha ella altro fine? Et io, per satisfarlo, dissi; Hà per certo; &
ue lo potrete ricordar da quello, c'hauete letto; com'è il mutare il senso, nella maniera,Inst. 2. par.
c. 8. & 12.

che hà l'Harmonia di dilettare, & anco d'indurre in noi passioni diuerse. Cosi è in fat-
to rispose egli. Onde M. Francesco; Io credo che saria bene, disse che hormai passaste
piu oltra; perch'io penso, che tutte queste cose s'intendino bene. Sarà bene; soggiun-
se M. Claudio; perche se l'occorrerà alcuna cosa difficile, ue la andaremo dimandando.
Allora il S. Desiderio uoltato à me, disse; Ne date forse questa licenza M. Gioseffo? Per
qual cagione uolete, che io non ue la dia? risposi. Io son qui per satisfarui; onde facen-
dolo mi farete sommo piacere. Hor sù adunque, per non por tempo di mezo dico; ch'
essendo 'l Soggetto della Musica il Numero sonoro, ouero il Corpo sonoro proportiona-
to, & non potendosi hauer alcuna cognitione uera della quantità de i suoni, se non co 'l
mezo de i Corpi sonori, che sono le chorde, le quali sono quantità, che si misurano, ne
potendosi hauer Scienz'alcuna de gli Interualli, se non per uia della misura di essi corpi;
cioè, dalla misura di due di essi, ò ueramente d'un'almeno diuiso in molte parti; è neces-
sario, che tra loro intrauenga una certa proportione di suono graue & d'acuto. La onde
per la comparatione della quantità della chorda, che dà il suono graue, con quella che
rende il suono acuto, diciamo, che la Musica è sottoposta alla Quantità relata; mediante
la quale potiamo con diuersi mezi tutte quelle cose, che sono dimostrabili
nella Musica. Ma per hauer' cognitione perfetta de cotali cose; fà dibisogno ricorrere à
quell'Istrumento, il quale da ogni Scienza è adoperato, che si chiama Dimostratione;1. Post. ca-
pit. 2.

la quale è quella, che ne fà ueramente sapere. E' ben uero, che non tutte le Scienze usa-
no gli istessi mezi; percioche essendo Quattro le cagioni; come nelle Istitutioni dichia-
rai;1. Par. cap.
41.
non tutti dimostrano per tutte quattro; conciosiache la Metafisica dimostra solamen
te per le cagioni formale & finale, & anco per la efficiente. Il Naturale dimostra per
ogni cagione; ma il Mathematico (lasciando qualch'altra opinione da un canto) dimo-
stra solamente per la cagione formale. A questo disse . Adriano: Per le cagioni forma-
li adunque hauerete à dimostrarci le cose della musica. Et io à lui; Cosi sarà, in quanto
Mathematica; però quando s'hauesse à dimostrar come naturale; essendo la Musica col
locata tra questi due generi, si procedebbe altramente. Ma inanzi che passiamo à dimo-
strar cosa alcuna sarà ben fatto; per alcuni de uoi, che non sete cosi bene essercitati ne i
studii delle lettere; d'andar ricordando (com'hò detto ancora) quel che sia Dimostra-
tione, & mostrar le sue conditioni, & come debbono esser le sue premesse, ò propor
tioni,page 12 12 Ragionamento tioni, di che ella si compone. Sarà ben fatto; disse il Signor Desiderio; per non star poi
à dichiararle fuori di tempo. Questo apunto ui uolea dire; soggiunse M. Claudio; quan-
tunque ne habbia un poco di prattica; perche molte fiate io ne hò (come hò detto anco)
udito ragionare. Veramente è necessaria la cognitione di queste cose, disse M. Adriano;
percioche non le intendendo, non s'haurebbe quel spasso & quella dilettatione; ne si
cauerebbe quella utilità, che bisognerebbe. Ma credo, che mi ricorderò il tutto quan-
do l'andarete commemorando. Vdito questo il S. Desiderio, le disse. Voi sete stato in Pa-
riggi M. Adriano; per quel c'hauete detto. Alquale rispose M. Adriano; Fui, & inco-
minciai à studiare; ma Iddio ha uoluto, ch'io insegni Musica alla fine. Allora uoltatomi
uerso lui, dissi: Messer Domenedio molto ben sapea, che 'l mondo hauea dibisogno d'un
uostro pari, però ci diede uoi, à fine che haueste ad illuminar quelli, che si dilettano di
quest'Arte cosi nobile, & dirò anco di questa Scienza; percioche se non foste stato uoi,
che mi hauete aiutato nella Prattica, non mi sarei posto à ueder cosi intrinsecamente,
com'io hò fatto, & cosi minutamente le cose della Musica; ma mi sarei riportato, come
han fatto molti, al giudicio d'altri; & mi sarei attenuto à quel c'hauessi ritrouato scritto
d'altri Scrittori, credendoli & persuadendomi, cosi fusse, come hanno scritto. Pe-
rò fù ben fatto, che lasciaste lo studio delle Leggi, & attendesti alla Musica; essendoche
in questa tenete il primo luogo, & Iddio lo sà; se ben non sete senza giudicio: s'in quel-
la professione hauesti tenuto il terzo. Cosi hà piaciuto à Dio; rispose egli; & me ne con-
tento. Disse allora M. Francesco; Ve ne potete contentar Messere; ma lasciamo da un
canto queste cose; perche 'l tempo scorre, & ancora non si è incominciato à ragionar di
quello, ch'è stato proposto. Sappiate adunque (io seguitai) acciò continui quello ch'in-
cominciato hauea, che la Dimostratione è proprio come un'Istrumento, che ci conduce
al Sapere, & all'acquisto della Scienza, & questo è il suo uero fine, al quale tendiamo. Ma
auertite, che qui per il Sapere nō intendo altro, che il conoscer le cose col mezo delle lor
uere & proprie cagioni; di maniera che manifestamente si cōprenda, che non possino esse
re, ne stare possino altramente di quello, che si conoscono. Et questo dico, ch'è il uero Sa-
pere, & la uera Scienza. Sappiate però, che il Sapere si ritroua esser di due maniere; Il
primo è detto Sapere per sè, & l'altro Sapere per accidente. Il primo è quello, quando
noi conosciamo la conclusione col mezo delle propositioni, ò premesse, che sono per se.
Riducetemi di gratia (disse M. Francesco) alla memoria quel che intendiate per queste pro
positioni, ò premesse, che sono per sè. Lo farò à mano à mano, risposi; ma soggiunse subi-
to M. Adriano, Dateci anco un'essempio di quello, che detto hauete. Son contento; ri-
sposi; ma non habbiate pressa. Dico, che 'l primo modo è, quando si conosce l'Huomo
esser risibile, col mezo di questa propositione, ò proposta maggiore; quando dico; l'Ani-
male rationale è risibile; & col mezo di questa minore, che è; l'Huomo è animal ratio-
nale; da questa cauo la conclusione, & dico; Adunque l'Huomo è risibile. Questo adun
que è il Sapere per se; soggiunse M. Adriano; per quello ch'io m'accorgo. Cosi stà la
cosa, soggiunsi. Seguitate adunque il Sapere per accidente, disse egli. Notate a-
dunque Messere, risposi, che il Saper per accidente (per dichiararui il secondo modo)
è conoscer la cosa col mezo delle premesse, che sono per accidente. Allora M. Clau-
dio, Dateci l'essempio di gratia, soggiunse. Et io à lui; eccolo, come s'io uolessi prouar,
che l'Huomo compone, io direi; Il Musico compone; l'Huomo è Musico; adunque
l'Huomo compone; & questo sarebbe Sapere per accidente; essendo che le premesse & la
conclusione sono per accidente; conciosia che l'esser Musico non è per se nell'Huomo, ma
per accidente; & questo sapere non è uero sapere. Soggiunse M. Adriano; Da quel che
detto hauete adunque; potiamo dire, che 'l primo modo è il uero sapere, ma non il secon
do. E' uero, risposi; ma questo primo modo etiandio è di due sorti; imperoche l'uno si
chiama Saper semplicemente, &l'altro Sapere ad un certo modo. Il primo de questi è sa-
per la conclusione col mezo della propria cagione & immediata; & il Secondo è Saper
col mezo d'alcun segno, ò per alcun'effetto, o ueramente per alcuna cagione uniuersa-
lepage 13 Primo. 13 le & rimota. Desidero, disse M. Francesco, l'essempio di una & dell'altra maniera. On-
de li dichiarai, che Della prima maniera sarà; quando saperemo l'Huomo esser risibile,
perche è rationale; percioche la Rationalità è propria & immediata cagione della Risi-
bilità, ò del Ridere, che uogliamo dire: Della seconda; quando saperemo, che la Don-
na hà partorito, perche hà il latte; essendoche l'hauere il latte non è segno fermo, che
sempre ne dimostri, che la Donna habbia partorito; massimamente perche si ritro-
uano molte Donne hauer il latte, & non per questo hauer partorito. Et non sola-
mente si trouano le Donne, ma anco (per dirui cosa forse, che ui parerà incredibile) hò
ueduto de gli huomini, che hanno il latte, & per questo non si può dire, che habbiano
partorito. Soggiunse, ridendo M. Claudio. Questa è ben cosa rara & ridicolosa; ma per-
che si è inteso benissimo il tutto, ui preghiamo à seguitare. Dico adunque (soggiunsi) che
la Dimostratione fatta nel primo modo, fà sapere per sè semplicemente, & in uno modo
perfettissimo, ma quella fatta nel secondo, fa sapere per sè ad un certo modo, & molto
imperfettamente; come da gli essempii posti di sopra hauete potuto comprendere. Di-
teci adunque, disse M. Adriano, quello che sia questo Sapere. Auertite, diss'io, che io non
ui uoglio definire il Sapere pigliato uniuersalmente, secondo tutti quei modi, ch'io hò
dichiarato di sopra; ma secondo quello, ch'io nomino Sapere per sè semplicemente, &
con modo perfettissmo; delquale questa sarà la sua definitione. Il Sapere è conoscer la
cosa per la sua cagione, per la quale è, & non può essere in alcun'altra maniera. Et nota-
te, ch'io hò detto, che 'l Sapere è conoscer la cosa per la sua cagione; accioche da questo
comprendiate, che non intendo il Sapere dall'effetto; anzi uoglio che sappiate, ch'io
uengo à distinguer quello da questo. Soggiunsi poi: Per la quale è; facendoui auertiti,
che tal cagione è propria non commune à tal cosa & ad un'altra; accioche da questo pos-
siate conoscere, quanto sia differente il Sapere, ch'io intendo di sopra, da quello, che
si uiene ad acquistare dalla cagione uniuersale & rimota. Imperoche quando noi sap-
piamo, che una pietra, ouer un legno secco non respira, perche non hà anima, tal Sa-
pere non nasce dalla cagione propria & propinqua; essendoche si trouano molti animali;
come sono arbori, ostreghe, uermi, mosche, & infiniti altri imperfetti, i quali non respira-
no. Ma la propria cagione & propinqua del non respirare è, che non hanno il polmo-
ne. Adunque quand'io dico; Et non può esser'in altra maniera; tale aggiungimento
è, accioche conosciate tal cagione essere infallibile & necessaria; & anco accioche co-
nosciate 'l Sapere, che s'acquista col mezo de i segni probabili; come quando sappiamo,
che l'Infermo si dè sanare; perche fà la urina chiara, mangia con appetito, dorme soa-
uemente, & fà altre cose simili; di maniera che queste attioni s'assimigliano à quelle d'un
sano. Et questo segno alle fiate è molto fallace; percioche spesso intrauiene il contra-
rio. Bisogna adunque, disse M. Francesco, che la cagione, col mezo della quale sappia-
mo semplicemente alcuna cosa, sia necessaria. Cosi bisogna che sia; risposi; percioche
è il mezo della conclusione. Et perche quello, che si hà da sapere, & la Scienza sono
correlatiui, & l'uno all'altro corrispondenti; è necessario, che si come la cagione del Sa
pere è necessario, che anco necessario sia quello, che si hà da sapere, che è la conclusione:
Percioche non potiamo saper semplicemente una conclusione, la quale può accascare,
che è detta Contingente; ma si ben potiamo hauer di essa opinione. Queste cose tutte, ri-
spose M. Adriano, fin qui intendiamo benissimo. Passaremo adunque (soggiunsi) al-
l'Istrumento dell'Intelletto, al Sapere & all'acquistar la Scienza, & lasciaremo di defi-
nire la Dimostratione uniuersalmente presa; come habbiamo lasciato anche da un can
to il definire il Sapere uniuersalmente, & uerremo alla definitione della Dimostratione,
la quale è chiamata da i Filosofi Potissima, & è quella, che cagiona in noi il Sapere so-
pra la cosa definita. Aggiungereremo anco, di che, & di quali Premesse si compone:
Et tal Dimostratione i nostri addimandano A' priori; & dimostratione Propter quid,
la quale è differente dalla Dimostratione, che si chiama A' posteriori & Quia, ch'è quel
la, la quale si piglia da i segni & dalle cagioni uniuersali, come del secondo modo di Sa-
perepage 14 14 Ragionamento pere di sopra hò dichiarato. Sono cose (disse M. Francesco) queste, che si lasciano inten-
dere; però non ui dia noia il seguitare. Seguitando il mio ragionamento, dissi; Vi porrò
adunque inanzi due definitioni della Dimostratione, l'una sarà della cagione finale, &
l'altra della materiale. Douete adunque auertire; che si come diciamo; uolendo definire la
Casa dal fine, ilquale ci muoue ad edificare; ch'ella è cosa, che ci copre & difende dal fred
do, dalla pioggia, dalla neue, & dal caldo; essendoche à questo fine la edifichiamo; oue-
ramente, pigliando la definitione dalla materia, della quale ella si compone, uenimo à
dire; che è cosa composta de pietre, di calzina, de legni & altre cose simili; cosi pren-
dendo la Definitione della Dimostratione dal fine, dicemo; che la Dimostratione (come
la dichiara Aristotele nel.1. de i posteriori) è un Sillogismo scientifico, ouer'è Sillo-
gismo della scienza; come à noi torna più commodo à dire, il quale ueramente cagiona,
ò partorisce in noi la Scienza, ouer il Sapere, che di sopra habbiamo definito. Questo in
tendo benissimo; disse M. Claudio; ne hò dibisogno d'altra dichiaratione; però segui-
tate, che se tutto quello che direte apprenderò cosi facilmente, come ho appreso quello,
che fin'hora detto hauete, le cose passaran bene. La Definitione della Dimostratione,
risposi, che si piglia dalla materia, M. Claudio, si darà in questo modo. La Dimostra-
tione è un Sillogismo, che si compone di Premesse uere, prime, immediate, ò sen-
za mezo alcuno, & cagioni piu note; & maggiormente prime, & conosciute della con-
clusione. Et quantunque tutte queste cose si ricercano; fà dibisogno ancora, che tali
Premesse siano inanzi, ò precedino la conclusione; & siano la sua cagione; di maniera
che dall'una & l'altra di queste due Definitioni potete comprender quello, ch'entra nel-
la Dimostratione, & il fine, à che ella sia stata ritrouata. Dopo questo M. Francesco
aggiunse; Veramente che appresso di me la prima definitione è chiara; ma la seconda mi
fà stare alquanto dubioso, per non ricordarmi cosi ben quello, che s'intenda Premesse
uere, prime, immediate, & cagioni più note, & maggiormente prime della conclusio-
ne. Però ui prego, che ci dichiarate questi termini, che credo, che qui sia il luogo.
Adunque (dissi io) accioche di queste cose ne habbiate buona cognitione, statemi ad
ascoltare. Io dissi di sopra, che le Premesse debbono esser uere, percioche douendo far
sapere la conclusione di maniera, che sia impossibile, che nasca d'altro luogo, che dal-
la cagione contenuta in esse; è sommamente necessario, che tali Premesse siano uere, &
per consequente cagione della Conclusione. In qual maniera cagione della conclusio-
ne? disse M. Adriano. Cagione, dissi, non solamente della Consequenza, come ne gli
altri Sillogismi intrauiene per la forma loro, che si richiede ch'auenga, ma cagione del
uero esser della Conclusione; ilche è proprio del Sillogismo dimostratiuo, del quale ho
ra parliamo. Questo s'intende benissimo, disse M. Claudio. Le premesse (soggiunsi) à que
sto debbono etiandio esser più note della conclusione, & anco le debbono precedere.
Allora M. Francesco mi fece questa dimanda; Che intendete uoi per questo precedere,
& per più noto? Allaquale risposi. Che non siano tali inquanto à noi, ma in quanto al-
la Natura istessa; la notitia della quale non sempre concorre con la nostra. Disse à que-
sto M. Francesco. Fate di gratia che meglio u'intendiamo. Notate adunque, dissi; che
rispetto alla Natura habbiamo à dire, che più note siano à lei le cagioni con le quali el-
la opera gli effetti, che essi effetti non sono; & consequentemente, che ad essi effetti nel-
la sua cognitione uadino auanti le cagioni; si come etiandio nell'atto parimente prece-
dono; poi che senza dubitatione alcuna ella produce col mezo loro tutti gli effetti. On-
de hauendo rispetto à noi, che non operiamo detti effetti, col mezo del senso, che ce li
mostra; quelli il più delle uolte prima si offeriscono alla nostra cognitione, che non fan-
no le cagioni, le quali, discorrendo noi col mezo de tali effetti, conosciamo nell'ulti-
mo luogo. Di modo che l'ordine della nostra cognitione, il più delle uolte si troua esser
contrario à quello della Natura; la qual Natura operando da quel che produce, à quel
che segue; simigliantemente per la , ch'ella hà seco, conosce col mezo
dell'ordine detto. Ma noi da quel che seguita, spesse fiate procediamo à quello che uà
inan-page 15 Primo. 15 inanzi, per la ragione detta. Rispose à questo M. Claudio. Diremo adunque, ch'ogni
fiata ch'io dico, che le premesse della Dimostratione hanno da esser piu note, che la con-
clusione, & preceder quella; che sempre intender debbiamo secondo 'l proceder della
natura. Cosi è in fatto, dissi. Adunque, soggiunse M. Adriano, in cotale Sillogismo se-
guitiamo l'ordine della natura, & il suo procedere. Senza dubio alcuno; risposi io; ma
ciò non accasca molte uolte. Per qual cagione? disse M. Francesco. Per la nostra imper-
fettione; risposi io; onde nasce, che simigliantemente rare uolte i Filosofi pongono in es-
sere questi Sillogismi Questo intendiamo bene; disse M. Claudio; ma resta che ancora ci
andiate dichiarando quel che s'intende, che le Premesse siano prime, & senz'alcun me-
zo. L'esser senza mezo (replicai) s'intendono, quando 'l mezano termine, che si pren-
de nella dimostratione è cosi congiunto al maggiore, che si piglia; & al maggiore, che si
hà da concludere; che niun'altra cosa si può ritrouar di mezo; ouer è il mezo tra loro per
grado predicamentale; & ciò potrete comprendere (per dare un'essempio) auenire tra
la Definitione & il Definito; non essendo tra l'Huomo, ch'è definito, & l'Animale di-
scorsiuo, ch'è la definitione; alcun mezo, per il quale si possa mostrar, che l'Huomo sia
tale. Non si potendo dimostrar la definitione delle cose. L'essempio c'hauete addutto,
rispose M. Claudio; hà di maniera illustrato questo ragionamento, che sin'hora s'inten-
de benissimo quel c'hauete detto; però seguitate il resto. A questo aggiunsi, che le Pre
messe debbono oltra ciò esser prime; cioè, debbono esser tali, che non si ritroui in alcu-
na Scienza (dirò cosi) più alta proposta & più nota di quelle; & è forza, che si prendino
come note, senz'alcuna proua. Adunque; disse M. Adriano; per tal cagione saranno, ò si
chiameranno Indemostrabili. Sta molto ben Messere; gli risposi; percioche douendo
nascer quello, che si dimostra dalle Premesse precedenti & più note; se le Premesse tutte
s'hauessero sēpre da dimostrare, & anco le Premesse delle Premesse; bisognerebbe, ch'al
tre più note, & più precedenti, sempre salendo in infinito; fusse 'l nostro procedere. La on
de non si potendo poi arriuar mai à quelle, che per se stesse fussero tali, ne si potendo trap
passir l'infinito; saria forza, fermarsi in alcune di esse, le quali, per dipendere da più alte
premesse, non sarebbono da noi per se stesse conosciute; & per consequente le conclusio
ni, che da esse nascessero, non potrebbono rendersi manifeste; da che ne seguirebbe
quello, che molti s'hanno imaginato; che niuna propositione dimostrar si potesse. Do-
po questo disse M. Francesco; Questo discorso mi è stato molto utile; percioche m'ha rid
dotto alla memoria molte cose, le quali già (per non attender'à questi studii) mi erano
di mente uscite. Et mi souiene, ch io udì spesse fiate dire; che in qualunque Scienza,
auanti che si uenga al discorrere in essa cosa alcuna; si suppongono alcune Propositioni
manifeste, lequali nō debbeno esser negate d'alcuno, che si vuol essercitare in quella Sciē
za. Vi ricordate molto bene per mia fè; gli risposi; & mi rallegro, che non haurò fati-
ca di replicar più cotal cosa; ne meno molt'altre, che concorrono alla Dimostratione,
per causa uostra; delle quali ui conosco insieme con gli altri istrutto; però seguitando do-
ue hò lasciato, dirò, che tali Principij alcuni si chiamano Positioni; & sono queste Posi-
tioni, ouer Principii di più maniere: Imperoche alcuni sono detti Communi, & alcuni
sono chiamati Proprii. I Proprij sono quelli, che seruono ad una Scienza particolare;
ne bisogna che ui pensiate, che questi siano i Principij istessi d'un'altra; perche sareste in
errore: Ma douete sapere (com'hò anco detto di sopra) che da i Generi diuersi delle cose
scibili, nascono diuerse Scienze. Onde si come la Quantità continua è differente in ge-
nere dalla Discreta; cosi è differente l'Arithmetica dalla Geometria. Et si come la Gran
dezza è differente dal Numero; cosi sono differenti i principij della Geometria, co i qua-
li si dimostrano le sue conclusioni, da quelli dell'Arithmetica. Onde i principij proprii
della Geometria sono (per darui un'essempio) questi; Si può condurre una Linea da un
punto all'altro; Il continuo è diuisibile in infinito, & altri simili. Ma quelli dell'Arithmeti-
ca sono; Il Numero è moltitudine ordinata di Vnità, Le parti del numero non si congiun
gono ad un termine commune. I Numeri procedono oltra l'Vnità in infinito; & gli altri.
Etpage 16 16 Ragionamento Et quelli della Musica sono; L'Interuallo è habitudine de spacij del suono graue & del-
l'acuto; & altri simili, come presto uederete; & questi si chiamano Principij proprij.
Ma i Communi sono cosi nominati, che non solo in questa, ò in quella Scienza si posso-
no supporre; ma in tutte l'altre vniuersalmente; percioche sono tali, che l'Huomo per
natura; inteso che hà la significatione delle parole, che contengono; subito aiutato
dall'Intelletto conosce chiaramente la uerità loro: Come per essempio quando si dice;
che 'l Tutto è maggior della Parte; saputo che si hà il significato di queste due parole Tut
to & Parte; si conosce, senz'altro aiuto, di maniera esser uera tal positione;
che chi altramente uolesse far credere, non si darebbe fede alle sue parole; & sarebbe
riputato pazzo. In uano ueramente si affaticherebbe, disse allora M. Claudio; chi uo-
lesse persuadermi il contrario. A questo soggiunsi: Questo principio è detto Commu-
ne; percioche serue in diuerse Scienze, onde nella Geometria il Geometra l'applica al-
le quantità misurabili; nella Arithmetica l'Arithmetico l'accommoda alle quantità nu-
merabili, & nella Musica il Musico se ne serue & lo addatta à gli Interualli, ouero alle
Quantità ò Corpi sonori. Sono questi Principii communi, ò propositioni, chiamati Di
gnità; & per la loro eccellente notitia che tengono, sono supposti per principij notissi-
mi, & principali d'ogni Scienza; ma gli altri Principii & altre Proposte sono d'altra na-
tura; percioche se ne ritrouano alcune di esse, che se ben non sono naturalmente cono-
sciute da Colui, che vuole apprendere alcuna Scienza; nondimeno è forza, ch'egli le
conceda per uere, & non cerchi in tal Scienza di loro altra dimostratione, per non ha-
uer quiui elle cosa alcuna più nota, che vi stia sopra. Et queste tali Propositioni sono di
due sorti; l'una è che affirmando, ò negando alcuna cosa, si chiama Definitione, la qua
le dichiara molti termini necessarii à quella Scienza; & tali Definitioni si accettano per
uere, senza uerun'altra proua; come trattandosi nell'Astrologia delle Sfere, de i circoli,
& d'altri cosi fatti termini; auanti tutte le cose si suppone, che la natura del Circolo cele-
ste consista nella figura circolare, compresa da una sola linea, che hà nel mezo il punto,
dal quale tirrate le linee alla sua circonferenza, tutte sono equali. Il simile si può anche
dire della Sfera; disse il Signor Desiderio; & d'ogni altro termine in cotale Scienza neces-
sario. Cosi è, risposi; onde gli Astrologi col mezo de tali definitioni prouano le proprie-
tà de i Corpi celesti, che sono ueramente il loro Soggetto. A questo M. Francesco dis-
se; Questo istesso si potrebbe anco dir nella Musica de i Corpi sonori, i quali contengo-
no l'Interuallo; come sono le Chorde; percioche col diuidere, ò misurare vna linea retta,
posta in luogo di chorda tirrata sopra vn spacio; è mezo molto accommodato al Musi-
co, per prouar le conclusioni del suo Soggetto. Voi la intendete benissimo; dissi io, però
passaremo à dir dell'altre sorti de propositioni, che sono Dignità; & saranno, quando in
una Scienza si suppone alcune cose, le quali contengono in se affirmatione, ò negatione;
& si debbono chiamare & stimare propositioni. Et se ben per loro natura manifeste non
sono; si hanno però da supporre nelle Scienze per note, & queste sono di due maniere.
Non mancate, disse M. Claudio, vi prego, di porre gli essempij. Cosi farò; risposi; state-
mi pure ad vdire. La prima maniera è quando colui, che hà da imparar quella Scienza;
udendo cotali proposte, à loro assentisce facilmente; non essendo prima per se stesso dispo
sto più ad accettarle per uere, che à negarle come false. Et per darui un essempio: S'io di-
cesse, che colui, il quale vuole imparare & apprender la Musica, hà da supporre, che tutti
gli Interualli della Diapason sono eguali di proportione; & uoi vdēdo questo lo credeste;
per non hauer prima uoi stessi opinione, che siano più equali, che inequali, queste Po-
sitioni si chiamano Suppositioni. Io intendo benissimo, disse M. Adriano, onde potete
seguitare. Il perche seguitai, cosi dicendo; La seconda maniera de queste Positioni sono
quelle, che quando, per il contrario, colui c'ha da imparar la Scienza, vdendo le Po-
sitioni, che li sono proposte da credere, assentisce à quelle, perche gli vien detto, che
cosi bisogna fare, ma non perche egli conosca, ò li paia, che sia cosi; hauendo egli uera-
mente prima per se stesso piu tosto tenuto 'l contrario. Et per uenire all'essempio; dirò;
Sepage 17 Primo. 17 Se à uoi, che desiderate di apprender le cose della Musica, si proponesse; che si hà da
supporre, che l'Vnisono sia quello, che non hà alcun Interuallo, nella qual Positione
forse ui marauigliareste, parendoui strano; se non haueste cognitione di questa Scienza;
c'he si possa ritrouar cosa, che non sia dissonante, & che non habbia interuallo. Soggiun-
se à questo M. Adriano; Adunque hauendo inteso il tutto bene, potiamo dire, che tut-
te le Positioni, Dignità, Definitioni, Suppositioni, & le Petitioni, ò Dimande ancora,
si hanno da stimare per Principii di quella Scienza, nella quale si pongono. Cosi è ue-
ramente; risposi; ma auertite ancora; che se bene alcuna delle nominate Petitioni & Sup
positioni in un'altra Scienza dimostrar si potesse; tuttauia in quella facultà, nella quale è
posta per Principio, non si potrebbe ritrouar modo alcuno di dimostrarla; essendoche uo-
lendola dimostrare, bisognerebbe altri principii; di maniera che cotali Suppositioni, &
Petitioni uerrebbono à non esser Principii. Ma pigliandosi per sapute & per note; da
quelle, come da sufficienti premesse, si dimostrano poi le conclusioni, le quali alla det-
ta facoltà appartengono. La onde se in alcuna Scienza particolare; come è la Musica,
& l'Astrologia, ò in qualunque altra, alcun uorrà negar qual si uoglia principio; in co-
tal Scienza non li sarà concesso disputare; ne sarà atto à modo alcuno d'impararla.1. Phy. c. 2.
Et Quanto à questa parte non ui uoglio dir'altro; ma credetemi Messere, che hora in
comincia il buono. Lodato sia Iddio adunque, disse egli, & seguitate pure, & dite
quel che uolete, perche siamo apparecchiati ad ascoltarui. Seguitai, inteso questo, in
cotal maniera; Voglio, che sappiate; ch'ogni Proposta, che si propone à dimostrare;
può essere di due sorti; imperoche oueramente ch'ella ci conduce alla Speculatione; ò
ueramente che ci fà operare. Quella, che ci conduce alla speculatione, è detta Θεώρη-
μα; ma l'altra è chiamata Πρόβλημα; & questa è dimandata per tal nome; percioche da
lei impariamo il modo di diuidere, comporre, descriuere, disegnare, & formare ogni
qualità di figura superficiale, con tutti quei accidenti, che concorrer possono in molte
Arti; come nella pittura, prospettiua, corographia, cosmographia, geographia, scol-
tura, architettura, & altre simili. Oltra di ciò ui uoglio dire, ch'ogni Theorema, ò
Problema, il quale sia compiuto dalle sue parti, debbe hauere in se Sei cose; la prima
è la Proposta, che da Greci è detta Πρότασις; nella quale si contiene il Dato, & il Que-
sito; delle quali due cose si compone ogni perfetta Proposta; Et l'officio di questa parte
è d'isegnar quello che si cerca dal Dato. La Seconda è chiamata Espositione, ouer
Esplicatione del Dato; detta Ε῎κθεσις; il cui officio è di riceuere in se il Dato, & appa-
recchiarlo alla Questione. Qui disse M. Claudio Merulo, Diteci di gratia quel che
sia ciascheduna di queste due cose. Vi farò capace (risposi) con un'essempio. S'io di-
cesse; Si può sopra una chorda data collocare il Tuono alla sua proportione; la chor-
da data si chiama ueramente il Dato; & il collocare il Tuono è il Quesito. Io in-
tendo benissimo; disse il Merulo; seguitate il uostro parlare, & perdonatemi, s'alle
fiate ui dò disturbo. Anzi mi date piacere; gli risposi; Ma per ritornar al nostro pro-
posito, dico; che la Terza parte si nomina Διορισμὸς; cioè, Determinatione del
Quesito; il cui officio è di esporre da parte quello, ch'ello sia. La Quarta è detta Co-
struttione, chiamata da i Greci Κατασκευὴ; la quale è quella, che per ritrouare il
Quesito, aggiunge quelle cose, che mancano al Dato. S'aggiunge à queste la Quin-
ta, detta Α'πόδεξις; cioè; Dimostratione; la quale scientificamente ci dà il proposito,
col mezo delle cose concesse, & presupposte. Vltimamente ui è la Sesta, detta
Συμπέρασμα; la quale Epilogo, ò Conclusione potiamo dire; che di nuouo si uolta
alla Proposta, confirmando quello, ch'è dimostrato. Dimandò allora M. Adriano; se
si trouano tutte queste cose in ogni Theorema, ò Problema? A cui risposi; Messer
nò; ma in ciascheduno si ritrouano necessariamente la Proposta, la Dimostratione,
& la Conclusione; percioche fà bisogno conoscer primieramente il Quesito; cioè, quello,
che si propone nella questione; & dopoi dimostrarlo cō i debiti mezi; & dopo dimostrato
concluderlo. Di modo che nō può mai mācare alcuna di queste tre cose. In alcuni luoghi
Dimostr. Harm. B l'altrepage 18 18 Ragionamento l'altre molte uolte s'adoperano, & in molti da un canto si lasciano; come si può uedere
nella 10. del 4. di Euclide; la qual dice; Potiamo constituire il Triangolo de due lati egua
li; che habbia all'uno, & laltro de gli angoli alla base il doppio de gli altri angoli; doue
mancano la Determinatione, & la Espositione; massimamente quando l'Esplicatione
del Dato è sufficiente, di maniera che non faccia dibisogno altra aggiuntione, per dimo
strar quello, che si propone. Ma la Costruttione spesse fiate non si troua in molti Theo-
rema. Et quando nella Proposta non sarà alcun Dato; allora mancherà la Espositione.
Ma la proposta il più delle uolte haurà il Dato & il Quesito, non però sempre: percio-
che alle uolte haurà solo il Quesito, il quale fa dibisogno di conoscere, ouero di farlo,
ò ridurlo ad effetto; come già nel detto Problema, ò Proposta si uede, percioche non
si dice; Di qual Dato bisogna costituire il Triangolo de due lati equali, c'habbia l'un
de i lati equali doppio all'altro; ma solamente si propone, che tal Triangolo da farsi,
sia Equicruro. Quando ueramente la Propositione haurà l'uno & l'altro; allora si ritro-
ueranno la Determinatione & l'Espositione. Ma quando 'l Dato non ui sarà; manche-
ranno etiandio tutte queste cose; percioche l'Espositione & la Determinatione, sono co-
se, ch'appartengono al Dato. Disse à questo il Sig. Desiderio; Veramente che la co-
gnitione di queste cose è molto necessaria, à uolere hauer piena notitia della Dimostra-
tione; ma forse ch'alcuno de questi Sig. non si contenta ancora; perche uorrà un parti-
colare essempio delle Sei cose nominate di sopra. Voi hauete toccato il segno, disse M.
Francesco; questo è quello, che uolea à punto dimandare; però M. Gioseffo non ui sia
noioso il darci ad intendere coteste cose essemplarmente. Io credea, dissi; che il mio
parlar cosi lungo ui douesse rincrescere, ma per quel ch'io uedo, è tuttto al contrario;
hora perche cosi ui piace, statemi ad udire. Sia adunque per fondamento di quello, che
ui son per dire, la Prima proposta del 1. de gli Elementi d'Euclide; come più facile, più
breue, & come quella, che contiene tutte queste Sei cose; la qual dice; Possiamo sopra
una data linea retta terminata costituire un Triangolo equilatero. Tutta questa diceria
si chiama Proposta, & si diuide in due parti; cioè, nel Dato, ch'è la Linea retta termi-
nata; & nel Quesito ch'è il Triangolo equilatero. Hora s'io ui uoglio dimostrar questa
cosa, incomincierò prima dall'Espositione del Dato, & dirò; Sia la data linea finita ab;
dopoi uerrò alla espositione del Qesito, dicendo, Fa dibisogno sopra di essa ab. linea
retta costituire il Triangolo equilatero. Fatto questo uenirò alla costruttione, & di-
rò; Sopra 'l centro a, secondo la quantità della linea ab, discriuerò il circolo bgc. Si-
migliantemente sopra il centro b, secondo la quantità della istessa linea ab, descriue-
rò il circolo agd. Il che fatto, tirerò le linee ag. & gb. Hora pronuncio la Costruttio-
ne, dicendo; Dico; che 'l Triangolo agb. è equilatero. Vengo (fatto questo) alla Di-
mostratione, & dico; In ogni circolo, le linee tirate dritte dal centro alla circonferenza
sono equali; la figura bgc. è circolo, & il suo centro è a; adunque la ag. è equale alla ab.
Et per prouar l'una & laltra delle propositioni assonte; & mostrar che 'l Sillogismo non
è difettiuo nella materia, perche quanto alla forma e della Prima figura, & in essa non
ui è difetto alcuno; dico, che la maggior proposta è la Definitione del circolo, & la mi-
norepage 19 Primo. 19 nore è nota dalla costruttione. Dico ancora; In ogni circolo le linee dritte, che uanno
dal centro alla circonferenza, sono equali; la figura agd. è circolo, & il suo centro è b;
adunque la linea gb. è equale alla ba. Et per prouar questo secondo Sillogismo, faccio
quello, ch'io feci nel primo, & dico, che la maggiore è la definitione del circolo, con-
tenuta ne i principii; & la minore è manifesta dalla Costruttione. Vengo hora ad uno
terzo Sillogismo & dico; Quelle cose, che sono equali ad un'altra, tra loro sono anco
equali; ciascuna delle linee rette ag, & gb, si troua equale alla linea retta ab; adun-
que la retta ag. è equale alla retta gb. Et prouo questo sillogismo, dicendo; La mag-
gior propositione è Commun parere; & la parte prima della Minore è la conclusio-
ne del primo sillogismo; & quella che segue, è la conclusione del secondo. Ho-
ra uengo al quarto sillogismo, & dico; Ciascun Triangolo contenuto da tre linee
rette equali, è Triangolo equilatero; Il Triangolo agb. è contenuto da tre linee
rette equali; adunque il Triangolo agb. è equilatero. La proua di questo Sillo-
gismo è tale; la maggior proposta è la definitione del Triangolo; & la minor è la conclu-
sione del terzo sillogismo; & cosi è finita tutta la dimostratione. Onde fatto questo aggiun
go la Conclusione, & dico, il Triangolo agb. è equilatero, & posto sopra la data linea
ab; Adunque sopra la data linea retta terminata è costituito il Triangolo equilatero;
come bisognaua fare. Et cosi è compito il tutto; come potete uedere. Vi hò uoluto far
questo cosi lungo discorso inanzi ch'io ui ueng'à dimostrar le cose della Musica, à questo
fine, per non hauer da replicarui in ogni dimostratione più cosa alcuna; però tenete à
memoria, quello che fin qui u'hò detto. Ho inteso, disse il Viola; & molto bene consi-
derato 'l tutto di maniera, che non haurò più cagione di farui replicar sopra queste cose.
Voltatosi allora M. Adriano al Sig. Desiderio, disse; Vedete di gratia quanto bell'ordi-
ne si tiene nel dimostrare; & quanto sensatamente si capisce ogni cosa; il qual gli rispo-
se; Questa è la natura delle Scienze, che dimostrano; che fatta la dimostratione d'una
cosa; tanto ne intende 'l Maestro, quanto 'l Discepolo; & tanto 'l Discepolo, quanto 'l
Maestro. Cosi è dissi io, & si potrebbe ueramente dire ancora molte cose; ma perche
comprendo, che sete molto bene istrutti di quelle, che fin'hora hò ragionato; però pre-
suppono (essendo queste le più difficili, & più necessarie da sapere) che l'altre ui saran-
no facili, quando ue le porrò inanzi; per essere ancora cosa di poca importanza. Onde
passaremo più oltra, & uerremo al nostro principale intendimento; percioche queste
cose, che fin'hora ui hò discorso, non sono quelle, che ui era per dire; ma un pre-
paramento à quei ragionamenti, che seguiteranno. Disse allora il Sig. Desiderio; E' sta
to molto utile ueramente M. Gioseffo & molto necessario questo discorso, c'hauete fat-
to, percioche non attendendo questi nostri amici cari à queste cose; ancora che molte
fiate habbiano udito di esse ragionare, bisognaua dimostrarli, come tornano bene & com
modo à quello, che uolete dire; però passate pure inanzi, quando ui piace, che mi par
che fin'hora habbiamo hauuto una buona lettione. Ripigliai dopo queste parole il mio
ragionamento à questo modo: Volendo adunque dar principio alle dimostrationi, è ne-
cessario primieramente porre i Principii di questa Scienza; accioche col mezo loro si
possa uenir'alle Conclusioni; dimostrando quelle cose, che ci pareranno necessarie. I
quali Principij da uoi, com'io credo, non mi saranno negati; se uorrete ch'io uenga al-
l'atto dimostratiuo. Ma per seguitar l'ordine tenuto da i nostri Maggiori, & da i moder-
ni Mathematici ancora; porrò primieramente le Definitioni per ordine, dopoi le Di-
gnità, ò Massime, ò ueramente Communi pareri, che dir li uogliamo; & ultimamente
le Dimande, senza le quali poco, anzi nulla potrei dimostrare. Niun di noi; disse M.
Adriano; non haurà mai ardimento di negarui cosa alcuna; essendo che sappiamo trop-
po bene, che non ci proponereste cosa falsa. Ma diteci ui prego; per qual cagione po-
nete inanzi ogn'altra cosa le definitioni? Alquale risposi; Bella dimanda ueramente, &
necessaria Messere mi fate; & anco non fuori di proposito, & di grande utile à saperla; pe-
rò sappiate, che se bē ui hò detto di sopra, ch'io lo faccio per seguitar gli Antichi; nōdime
Dimostr. Harm. B 2 nopage 20 20 Ragionamento no questa non può esser buona ragione, anzi la uera è, che le Definitioni sono quelle, che
ci danno ad intender quello, che sono le cose, che si hanno da trattare. Percioche ogni ra-
gion vuole, che prima si sappia quel che sia la cosa, di che si uuol ragionare, almeno
quanto al nome; inanzi che ella si tratti; acciò non si proceda per termini non conosciu-
ti. Oltra di ciò; perche la Definitione è (come tengono i Filosofi, & come hò detto più
inanzi) il mezo della Dimostratione; la onde potete uedere, per qual cagione io mi sia
mosso à uolerla porre inanzi ogn'altra cosa. Io son satisfatto; rispose M. Adriano; però
incominciate doue, & quando vi piace. Darò adunque principio (dissi io) col nome
del Signore alla prima Definitione, la quale sarà questa.

DEFINITIONE
PRIMA.

Il suono è cadimento di Voce atta alla modulatione, fatto sott'una estensione.
DISSE qui il Sig. Desiderio; Per qual cagione M. Gioseffo definite uoi il Suo-
no prima d'ogn'altra cosa? Gli risposi; percioche il Suono, ilquale hò defi-
nito è detto da Greci φθόγγος, & non ψόφος. il quale significa ogni Strepito; &
è principio della Consonanza, & ogni altro Interuallo qual si uoglia della Mu
sica; com'è il Ponto nella Geometria principio della quantità, che da lui nasce & di-
pende; à questo rispose; dicendo. Questa uostra risposta mi satisfa assai; ma ditemi per
uostra fè; non è buona la Definitione del Suono data da Boetio,Music lib.
1. cap. 3.
la qual dice, ch'è riper-
cussione d'aria, che uien fino all'udito? Non è in uerità Sig. Desiderio risposi; questa
sua Definitione al nostro proposito; imperoche il Musico considera 'l Suono in un'altra
maniera, di quel che lo definisce Boetio. Egli definisce il Suono, come cosa naturale in
uniuersale; & il Musico lo definisce in particolare, & lo considera come principio della
Consonanza, & d'ogn'altro interuallo Musicale, quando dice; Il Suono esser cadimento
di uoce atta alla modulatione, fatto sotto una estensione; ò come lo definisce Aristosseno
nel primo de gli Elementi harmonici; dicendo: Il Suono è cadimento di Voce in una
estensione: intendendo per tale estensione la mansione, & lo stato della uoce; Percio-
che pare ch'allora il Suono stia, cadendo la Voce in un stato conueneuole al Canto;
mentre iui cessa in una estensione: La onde quando ella si uede essere in cotale estensio-
ne, allora diciamo il Suono esser voce ordinata alla modulatione; & cadere da tal prin-
cipio, quasi come fà la Linea dal punto: come potrete uedere dichiarato nel Cap. 6.
del Secondo libro de i Sopplimenti
; à i quali presto darò fine, à Dio piacendo, & por-
rò in luce. Laonde udendo, questo il Signor Desiderio, disse; mi piace grandemente
questa noua, che ci hauete dato; poi che haueremo di nuouo quello che non aspet-
tauamo; Onde ciascuno Studioso ue ne haurà d'hauere obligo, per le uostre fatiche:
ma non uò restardi dirui; che se 'l Suono è cadimento di uoce, tal cadimento non si può
far senza mouimento; onde non si ritrouando mouimento senza tempo, ne tempo sen-
za quantità; essendo che se gli attribuisce lunghezza, & breuità, secondo diuersi rispet-
ti; Seguita, che non si può dire, come à me pare, che 'l Suono sia principio della Consonan
za, come il Punto è principio della Linea; ma più tosto sia quantità, com'è essa linea; la-
quale si può diuidere in infinito; percioche hà le sue parti aggiūte ad vn termine cōmune,
ch'è l'Instante. Voi argomentate molto bene, Sig. Desiderio risposi; & ueramente il uostro
argomento concluderebbe, quando 'l Musico considerasse 'l Suono, che ho definito, nella
lunghez-page 21 Primo. 21 lunghezza; ma non è cosi; percioche lo considera con altro rispetto. Onde douete sape-
re, che tre cose accadono intorno al Suono; la prima è il Luogo; la seconda il Tempo; &
la terza il Colore, diremo cosi. Quanto alla prima; il Luogo del Suono si considera, in
quanto ad una certa Relatione di graue, & d'acuto; imperoche quei Suoni, che sono in
un'istesso luogo; cioè in un'istesso punto, dirò cosi; il Musico li chiama Vnisoni, & sono
senz'alcun'interuallo tra loro, & sott'una istessa estensione, ò qualità. Ma quando si
fanno più acuti, ò più graui l'un dell'altro; cioè, quando alcuni de quelli si partono dal
detto punto, & uanno in altra parte: allora diciamo, che si trouano in diuersi luoghi, &
hanno tra loro Interuallo, & diuerse estensioni, & riceuono tra loro molti Suoni, nel mo
do ch'in molti luoghi delle Istitutioni hò dichiarato, & altroue son per dichiarare; essendo
che allora tale estensione si muta, & li Suoni diuersi nascono dalla estensione uaria della
chorda; percioche i Suoni graui nascono, quando si rallenta alcuna chorda tirata sotto
qual si uoglia estensione; & gli acuti, quando tal chorda è più tirrata. Et quanto più si
ralenta la detta chorda, tànto più graue rende 'l Suono; & per il contrario, quanto piu
si tira, tanto maggiormente rende il Suono più acuto; come anco dissi nel cap. 1. del Se-
condo Libro
sudetto. Il perche considerata la Voce, ouero il Suono dal Musico sola-
mente secondo l'Estensione, & non secondo la Duratione, non cade sotto 'l tempo; ma
sotto la qualità di graue & d'acuto; comparando l'uno all'altro Suono;Vide c. 16.
Lib. 2. Sup-
ple.
ma considerato
nella sua Duratione, non è dubio, che non sia sottoposto ad esso tempo. La Estensione
adunque semplicemente considerata, com'è il Punto, non è diuisibile; ma si bene quando
è considerato & riceuuto nella sua Duratione, come Linea. Potiamo adunque dire, che
quantunque il Suono sia diuisibile per la duratione, quanto alla lunghezza, e però indi-
uisibile quanto alla larghezza & alla distanza di graue, & di acuto nella Estensione; essen
do che non hà alcuno Interuallo. Onde essendo considerato come Punto, & essen-
do il Punto indiuisibile; segue anco, che gli Indiuisibili sia; poi che non hà distanz'al-
cuna in atto di luogo, ò sito, alla simiglianza del punto; se ben l'hà nella Duratione,
come hà il punto nella Positione. Ma si come quando tal punto si muoue, uiene à far la
Linea; cosi anco mosso il Suono uerso 'l graue, ouero uerso l'acuto, fà l'Interuallo; il
quale in larghezza è diuisibile. Il Suono adunque pigliato al primo modo; non si può
diuidere; come hò detto; & essendo indiuisibile (ripugnando la diuisibilità all'esser
principio) resta, che senz'alcuna con tradittione esso Suono sia anche principio. Se
il Suono col tempo dura; disse allora il Signor Desiderio; ello hà lunghezza, es-
sendo misurato dal tempo lungo, ò breue; & se cosi è, si può diuidere: per la qual
cosa di nuouo ui dico; che essendo diuisibile, ripugna ch'ello sia principio. A que-
sto risposi; Già ui hò detto, che quantunque il Suono, quanto alla sua duratione hab-
bia lunghezza & da questa parte non sia considerato dal Musico; essendo che lui non
considera quella particola, che pone Boetio nella sua Definitione del Suono: Che
peruiene all'udito; essendo che troppo ben sà, che bisogna che sia cosi, se 'l si hà da udi-
re; tuttauia lo considera per cadimento di uoce solamente; & ui aggiunge; Ad una
estensione; percioche quando nasce il Suono, si uede quasi cadere ad un certo mo-
do dal Corpo sonoro, di doue ello deriua; ma non si ode mutatione alcuna di suono
dal graue all'acuto, ò per il contrario; percioche haurebbe più d'una estensione; co-
me da quello, ch'io hò detto, si può comprendere; ma hà una sola qualità, & è
di un sol tenore; & tal suono si chiama continuo, mentre che resta in questa e-
stensione. Et uoi sapete, che la uoce continua; essendo che non fà consonanza,
ne harmonia alcuna; non è considerata dal Musico, ma si bene la discreta. Et
quantunque il nostro parlare familiare (come forse potreste dire) habbia un non
sò che di graue & d'acuto; tuttauia al suono, che habbiamo dichiarato, non si ue-
de aggiunta alcuna di queste qualità, che da essa si possa tenere il contrario di quel-
lo, che si è detto. Non uoglio però che pensiate, che 'l Musico tenga poco conto
de cotali Suoni, ò Voci, quanto alla loro duratione; essendoche cascano sotto 'l senso
Dimostr. Harm. B 3 del-page 22 22 Ragionamento dell'Vdito; & è cosa, che appartiene à lui; per ilche notate la seconda cosa, che accasca
intorno al Suono, ch'è il Tempo; il quale è considerato, come quel che comprende Nu-
mero, ò Rhythmo; onde da questa parte è cōsiderato secondariamente secondo la sua du
ratione, nella prolatione delle sillabe lunghe ò breui, contenute nella Prosa, ouer nel
Verso: come dichiarai nel cap. 16. del Secondo libro,Vide c. 16.
Lib. 2. Sup-
pli.
c'hò nominato poco fà. Inteso
questo, disse il Sig. Desiderio; Io son benissimo satisfato del uostro parlare, di quello
ch'io dubitaua; ma non però di dir la terza cosa, che segue 'l Suono, ch'è il Co
lore. Non mi son per questo scordato; risposi; però ui dico, che 'l Colore è quello, per
il quale sono le Voci & i Suoni l'un dall'altro; com'è nelle cantilene, le
quali consistono nelle uoci, ò ne i suoni, i quali sono tutti sotto diuersi estensioni; & so-
no (dirò cosi) tortuosi & piegati hor da una parte & hora dall'altra; cioè, hora uerso l'a-
cuto & hora uerso 'l graue; contrario di quel che fanno gli Vnisoni, i quali dal principio
loro per tutta la lor duratione, fino al fine sono sotto vna sola estensione; & sotto vna sola
qualità, & sotto un solo tenore, alla similitudine della linea retta, la quale giace di pari
tra i suoi punti, & si troua esser senz'alcuna larghezza. Tornò di nuouo à dire il Sig. De
siderio: Voi uenite pure à confessar, che 'l vostro suono definito habbia duratione, la
quale consiste nella lunghezza. Et io à questo risposi; Non hò mai negato questo; come
si può conoscere da quello che fin'hora hò detto: Ma che importa questo, purche al mo
do che lo considera il Musico, come principio sia indiuisibile. Vi voglio ancor dir una co-
sa, & poi far fine di ragionar sopra questo principio. Non sapete che quando la Musica è
considerata & ridutta nel suo fine, ella è ueramente cosa attiua? & è posta in atto col
mezo di quelle cose che sono sottoposte à quel Genere di cose, che succedono l'una al-
l'altra? com'è il Suono, & non in quello, ch'è di cose durabili & permanenti? come vo-
lete voi adunque ch'ella si ponga in atto, se i Suoni non restano, & non si fanno vdire per
qualche spacio di tempo? il quale non hà alcuna parte, che indiuisibile sia, se non l'In-
stante? Ma in vero altro è la cosa quanto al suo essere; & altro quanto all'esser conside-
rata; come uediamo delle quantità mathematiche, le quali ancorache non possino esser
lontane dalla materia; sono però considerate come da essa lontane. In fatto è cosi; disse
egli; come detto hauete, & hauete ragione; però seguitate quello, che più ui piace.
Cosi voglio fare, dissi. Allora M. Claudio hauendo inteso questo, disse; M. Gioseffo,
hauete posto la Musica nel Genere attiuo; & hauete detto, che i Suoni sono sotto 'l Ge-
nere delle cose che succedono l'vna l'altra; di gratia fatteui vn poco meglio intendere; &
poi farete quel che più u'aggradirà. Son contento soggiunsi; Auertite adunque che l'Ar
ti si ritrouano esser di quattro maniere; imperoche l'vna è detta da i nostri maggiori
Θεωριτικὴ; ò Contemplatiua, la quale hà il suo fine nella speculatione; come è l'Arith-
etica, l'Astronomia & altre simili. L'altra è πρακτικὴ; oueramente Attiua,
o Prattica, che la vogliamo dire, com è l'arte del Saltare, ò Ballare, del Sonare di cetera,
& del Cantare. La è nominata ποιητικὴ, ò Fattiua; com'è l'arte del Fabro, la Pittu-
ra, la Scoltura & altre simili. Ma la quarta è detta Κτητικὴ; ò Indagatrice, ò Cercatrice;
com'è l'Arte del pescare & quella della Caccia. Onde alcune Arti fāno le cose, com'è l'Ar
te del Testore, del Calzolaio & altre simili; alcune cōseruano le cose fatte; come l'Arte del
gouernar la naue; & altre fanno l'vno & l'altro, com'è l'Arte dello edificare. Et se bē la Mu
sica dalla parte speculatiua è detta Theorica; tuttauia dal porre in atto & nel suo fine le co
se, è detta Attiua, ouer Prattica. Ma le cose poste in atto nella Musica non sempre restano,
se non tanto quanto elle sono essercitate; imperoche tanto dura il Ballo, quanto colui, che
l'essercita si muoue; & tanto si ode la Cetera, quanto sono mosse le chorde da colui, che le
percuote: simigliantemēte, tāto si ode la , quanto colui, che canta, manda fuori la
voce. Et perche tutti i mouimēti, che sono fatti in questi atti, sono violenti; però non sono
durabili; onde passato l'vno, di necessità bisogna che l'altro succeda, se 'lsi uuole, che la cosa
stia in atto; oueramēte essendo tali mouimēti giūti al fine, è necessario che da capo si rinuo
uino; però hò detto che la Musica è cosa attiua, & che le cose, di ch'ella si serue, nō sono tra
quelle,page 23 Primo. 23 quelle, che rimangono; come quelle dell'arte fabrile, ma tra quelle, che l'una all'altra suc
cedono, hanno luogo. Vdito questo M. Claudio restò satisfatto, onde disse; Non mi pen-
tisco di hauerui fatto ragionar queste quattro parole; perche in uero è stata una buona
lettione; Onde ui prego à darci spesso de questi buoni cibi; il che farete seguitando quel-
lo, c'hauete principiato, secondo che ui uerrà commodo. Cosi son per fare, dissi; Ma
perche quando 'l Suono si estende uerso il graue, ò uerso l'acuto, immediatamente si ge-
nera l'Interuallo, il quale è il primo considerato dal Musico ad un certo modo, & non
semplicemente; percioche il Musico semplicemente, & prima d'ogni altra cosa con-
sidera la Consonanza, della quale intende comporre la sua cantilena; però senza por-
re alcun tempo di mezo, definirò l'Interuallo à questo modo.

DEFINITIONE II.

Interuallo è quello, che è compreso da due suoni differenti per il graue & per l'acu-
to; i quali nascono da i corpi ò quantità sonore.
IO non starò hora à replicar quello, ch'io dissi nelle Istitutioni dell'Interuallo; ne
anco ui dirò le sue specie; percioche credo, che ue lo ricordiate; Ma ui dirò sola-
mente, che questa definitione è dell'Interuallo propriamente, & non del com-
munemente, detto. Et se hauete in memoria quel c'hò detto di sopra, sappiate, che fà di
bisogno, che questi Suoni siano differenti di estensione; percioche se tutti hauessero una
estensione istessa, non si farebbe altramente l'Interuallo; essendo che questi Suoni parreb-
bono essere & sariano anche in un'istesso luogo; di modo che la differenza, ò distanza,
che si troua tra 'l suono graue, & l'acuto; ò trà l'acuto & il graue, si chiama Interuallo.
Questo è chiaro, disse M. Adriano, & s'intende benissimo, & non hà bisogno d'altro
commento. Allora seguitai, dicendo: Quantunque creda, che uoi sappiate quello che
sia Corpo sonoro; tuttauia lo uoglio da bel nuouo definire, accioche habbiate di lui
più certa & più ferma cognitione. Onde dirò, che appresso il Musico.

DEFINITIONE III.

Corpo sonoro è quello, che percosso in qual si uoglia maniera, manda fuori al-
cun suono.
ADVNQVE, disse, allora M. Claudio; Corpo sonoro sarà qual si uoglia Chorda di
ciaschedun'Istrumento musicale; Et non solo questa, ma etiandio le Campane,
& qualunque altra cosa fatta di metallo, ò d'altra materia, dalla quale nasca suo-
no; come hò dichiarato di sopra, serà Corpo sonoro. Cosi è, risposi; & di più anco, che
ciascheduna Canna fatta di qual materia si voglia, che poco importa, pur che man-
di fuori suono, è Corpo sonoro. Ma perche ogn'Interuallo musicale (com'hò det-
to poco fà) hà distanza, che si troua tra 'l suono graue, & l'acuto; la quale senza du-
bio cade sotto alcuna proportione; però uolendo i Musici hauer la ragione di ta-
le distanza, non hanno ritrouato miglior mezo, quanto la misura de i nominati
Corpi, da i quali nascono i Suoni; onde come cosa più sicura, & men uariabile, eles-
sero la Chorda sonora; & dalle parti fatte di essa, comparate l'una all'altra, ritrouarono
quel che cercauano. Ne solamente tal cosa ritrouarono, adoperando una sola chorda; ma
Dimostr. Harm. B 4 ancorapage 24 24 Ragionamento ancora ponendone in opera due tre, & quante più di queste ne facea bisogno; come nel-
le Istitutioni mostrai.2. par.
Cap. 20.
Et perche le diuisioni sono quasi infinite, & le parti sono di uaria-
te lunghezze, & cadono (comparate esse Parti al tutto, ouero tra loro; oueramente com-
parati i corpi, da i quali nascono i Suoni, l'uno con l'altro) sotto l'uno de i Cinque generi
di proportione di Maggiore inequalità; però auertirete, che nel primo.

DEFINITIONE IIII.

Quell'Interuallo, del quale la maggiore di due quantità sonore contiene la minore più
uolte interamente; come sarebbe due, tre, quattro & più fiate ancora, si chiama
Molteplice; il primo de i quali si nomina Duplo, il secondo Triplo, il terzo Qua
druplo, & cosi di lungo.
COME nella Prima Parte del Capitolo 24. delle Istitutioni più diffusamente di-
chiarai quello che sia Genere; & mostrai anco le sue Specie. Ma nel secon-
do luogo diremo, che

DEFINITIONE V.

Quello nel quale la maggior quantità contiene la minore una fiata & una sua par-
te Aliquota, si chiama Superparticolare; come, se la maggior contiene la minore una
sol volta, & una sua meza parte, è detto Sesquialtero; & se la contiene una fiata;
& la sua terza parte, è chiamato Sesquiterzo; & cosi gli altri per ordine.
DENOMINANDOLI sempre dalla parte Aliquota. Onde tali comparationi
uengono denominate dalla parola Sesqui, aggiuntaui la parte nominata; la
qual parte, quello ch'ella sia, nelle Istitutioni dichiarai.1. parte
ca. 23.
25.
Et perche sò che
tutti uoi l'hauete studiate; credo che ue lo ricordate; onde di essa non ne dirò
più cosa alcuna. Veramente ce lo ricordiamo, disse M. Adriano, & non habbiamo di-
bisogno di replica. Seguitiamo adunque (dissi) più oltra, & diciamo che nel Ter-
zo genere

DEFINITIONE VI.

L'Interuallo, nel quale la maggior quantità sonora contiene la minore una sol fia-
ta & più parti di essa, che si chiamano parte Nonaliquota, è detto Superpartiente.
Onde se la maggior contiene la minore una fiata con due terze parti, è detto Super-
bipartiente terzo, & cosi gli altri di lungo.
QVESTI tutti sono stati Generi semplici, i quali hò definito; ma ascoltate le de-
finitioni de due, composti del Primo & dell'uno de gli altri due Generi nomina-
ti; & questa sarà la Prima, & terrà il Quarto luogo. Laonde dico; che
DEFI-page 25 Primo. 25

DEFINITIONE VII.

Quell'Interuallo è detto Molteplice superparticolare, del quale la maggior quantità
contien la minore due, ò più volte, & vna sua parte Aliquota; come se la maggior
contiene la minor due fiate con la sua metà, è detto Duplosequialtero.
ET questo è il primo Interuallo di questo quarto genere. Ma auertite bene,
che nel Quinto luogo si troua il Secondo de i due Generi composti: Il per-
che diremo:

DEFINITIONE VIII.

Quell'è nominato Moltiplicesuperpartiente, del quale la maggior contiene la mino-
re due, ò più fiate con vna sua parte Nonaliquota; di modo che quella quantità mag-
giore, la qual contiene la minore due fiate, & due terze parti fà la proportione Du-
plasuperbipartiente terza.
ET questo è il Quinto & ultimo genere di proportione l'un dall'altro diuersi; &
tal diuersità uiene da quella de i loro Denominatori; come, ragionando nel-
le Istitutioni1. Par.
Cap. 25.
intorno à i Denominatori delle proportioni de i numeri, ui di-
chiarai. Ma sappiate (per uenire ad un'altra Definitione) che,

DEFINITIONE IX.

Le radici, ò Minimi termini delle proportioni sono i numeri Contraseprimi.
QVESTI non possono esser d'altro numero numerati, che dalla Vnità; come di-
chiarai nelle Istitutioni.1. Par.
Cap. 13.
Et tanto questi, quanto quelli, che sono detti numeri
Tralorocomposti, sono numeri Relati. Auertite però; che,

DEFINITIONE X.

Le Proportioni si dicono esser fuori delle lor Radici, quando sono contenute da nu-
meri Tralorocomposti, ò Communicanti.
DE I quali numeri (come sapete da quello c'hauete letto nel Cap. 13. della 1. Parte
delle Istitutioni
) niū'all'altro è primo; & possono esser numerati & diuisi d'altro nu
mero, che dalla Vnità. Et perche la Definitione da sè è chiara; però non ui repli
cherò altro sopra di essa; ma hauendo qualcheduno de uoi da dirmi cosa alcuna, si lascia
intendere, auanti che si uada più oltra. Allora M. Adriano disse; Gli altri numeri, come
sono Pari, Impari, Parimente pari, Primi & incomposti, Composti, Quadrati, Cubi, &
Perfetti, non sono eglino tutti Numeri semplici, & senz'alcuna relatione? Cosi è Messe-
re, risposi; & dimostrate molto ben di hauere studiato le mie Istitutioni; però con uostra
licentia passarò ad un'altra la qual sarà questa.
DE-page 26 26 Ragionamento

DEFINITIONE XI.

Quando tre Quantità sonore si troueranno collocate l'una dopo l'altra, di modo che la
differenza, che si troua tra la maggiore & la mezana, sia equale à quella, ch'è tra
questa & la minore; & che tra le minori si troua la maggior proportione, & la
minore tra le maggiori; allora si diranno esser collocate & ordinate in Arithmetica
progressione.
MA accioche più facilmente m'intendiate, ui dico; che i Mathematici chiamano
Differenza quella Quantità, per la quale una maggiore sopr'auanza una mino-
re; come è manifesto dalla Quarta definitione del Lib. 7. d'Euclide, secondo la
tradottione del Campano. Hora ui dò lessempio di quello, c'hò detto della definitione.
Poniamo che a b. & c. siano le quantità nominate, & che d. sia la differenza, che si tro-
ua tra a. & b. & e. sia la differenza, che è tra b. & c. Dico, essendo queste due differenze
tra loro equali; & ritrouandosi tra 3. & 2. termini minori, maggior proportione, che tra
4. & 3. termini maggiori; che tali quantità si dicono esser'ordinate secondo la Progres-
sione arithmetica. A questo disse M. Adriano; Questo habbiamo facilmente inteso, per
il lume c'habbiamo hauuto dalle uostre Istitutioni; però seguitate il resto. Allora Sog-
giunsi; Verrò adunque all'altra definitione, & dirò.

DEFINITIONE XII.

Tre Quantità sonore si chiameranno l'una all'altra proportionali, ouer'ordinate secondo
la Geometrica proportionalità, quando le proportioni, che si trouano tra la maggiore &
la mezana; & tra questa & la minore; & anco tra i termini delle lor differenze, saran-
no simili & equali.
ET accioche questo ui sia più facile da intendere, dirò in questo modo: siano
a. b. & c. le quantità nominate; & d. sia la differenza di a. & b. & f. quella di b. &
c. Dico, essendo le proportioni a. & b. b. & c. con d. & f. Duple; che tali quan-
tità si dicono esser proportionali; ouer poste in ordine secondo la Geometrica proportio-
nalità. Questa etiandio; disse M. Francesco; non hà dibisogno di replica; Onde soggiun
si subito; Passarò adunque ad un'altra definitione, & dirò.
DE-page 27 Primo. 27

DEFINITIONE XIII.

Quando saranno tre quantità sonore poste per ordine; & tra la maggiore & la me-
zana sarà maggior proportione di quella, ch'è tra la mezana & la minore; & anco quel-
la, che si troua tra le differenze della quantità maggiore alla mezana, & di questa alla
minore, sia equale à quella, ch'è posta tra gli estremi; allora tal ordine si dirà esser fat-
to secondo la Proportionalità, ò mediocrità Harmonica.
QVI (disse M. Claudio) bisogna un poco di commento. Facciamolo adunque
(diss'io) Siano a. b. & c. tre quantità, & sia f. la differenza di a. & b. & g. sia quel
lo di b. & c. Dico, che le dette quantità si diranno collocate in Proportionalità,
ouer Mediocrità harmonica; poi che la proportione, che si troua tra a. & b. la quale dal
la Quinta definitione, ch'io ui proposi, potete conoscere, che è Sesquialterà, & è mag-
gior di quella, che è tra b. & c. Sesquiquarta; com'è il proprio di questa Mediocrità. Che
segue dopoi, sogiunse M. Desiderio; Segue (& io dissi) che,

DEFINITIONE XIIII.

Se saranno tre Quantità sonore ordinate l'una dopo l'altra di tal sorte, che tra le
due minori si troui maggior proportione di quella, ch'è contenuta tra le due maggiori;
& quella che si troua tra le due estreme, s'assimigli à quella ch'è posta tra le differen-
ze, le quali sono tra la maggiore & la mezana, & tra questa & la minore; tal'ordi-
ne si dirà fatto secondo la proportionalità Contr'harmonica.
ET questa sarà l'ultima definitione. Qui M. Adriano disse; Desidero ueder l'essem
pio; percioche di questa mai più non ne hò udito cosa alcuna. Se haueste uedu-
to Boetio,:2. Arith.
cap. 51.
risposi, & Giordano,10. lib. Arith. questo non ui parrerebbe cosa nuoua, Messere
Ma ueniamo pur'all'esempio. Siano a. b. & c. le nominate quantità, sia & d.la differenza
delle due maggiori a. & b. & e. quella delle minori b.& c. & la proportione, che si troua
tra a. & c. ch'è Dupla, s'assimigli à quella, ch'è posta tra d. & e. Subdupla; dico queste
quantità esser'ordinate secondo la Contr'harmonica proportionalità, percioche etiandio
tra le due minori si troua maggior proportione di quella, ch'è collocata tra le due mag
giori.page 28 28 Ragionamento giori. Ma notate, c'hò detto, s'assimiglia; percioche la comparatione, che si fà della mag
giore alla minore quantità, è alquanto differente da quella, che si fà delle differenze, che
si trouano tra le quantità nominate; essendoche per il contrario (uolendo seguir l'ordine
incominciato) si compara la differenza minore alla maggiore; onde nasce la proportio-
ne Subdupla, che ne i termini alla Dupla s'assimiglia; come nelle Istitutioni1. par. cap.
21.
& 30.
& 2. part.
cap. 50.
hò dichiara
to. Ho inteso il tutto benissimo; disse M. Adriano; però proponete quel che ui piace. Sog
gionsi allora; S'alcuno de uoi hà da dire alcuna cosa, sopra di quel, che fin'hora si è det
to, non ponga tempo alcuno di mezo, acciò possiamo ragionar senza interrompimento,
quelle cose, che seguono. Rispose il Sig. Desiderio; Non habbiamo altro che dirui; se
non ch'à queste Definitioni ci par, che debbano succedere i Pareri communi; che ne di-
te di questo? non è cosi? Cosi è (risposi io à questo) essendo che sono stati alcuni,
i quali hanno tenuto tale ordine; non sò però con che ragione; percioche quei Principij,
che seruono à più Scienze, si debbono porre separati da i Principij proprij d'alcuna
Scienza, & non mescolarli tutti insieme. Però in questo, parmi, di uoler tener'altr'ordi-
ne, & di seguitare insieme con la ragione quelli, che sono stati i migliori; i quali hanno
scritto delle cose dimostratiue; che dopo le Definitioni hanno posto le Dimande, & do
po queste le Dignità, ò i Communi pareri. Incomincierò adunque da quelle, le quali
sono Proprij principij, & il Musico, per dimostrar le cose della Scienza, dimanda che li
siano concessi; percioche ogni uolta, che negati li fussero, si negarebbe tutta la scienza
della Musica, la quale dipende da essi; ne accascarebbe disputar più di essa cosa alcuna;
ilche fatto porrò dopoi quelle. Parue à M. Adriano, che ciò fusse ben fatto, onde disse;
E' cosa ragioneuole; bisogna adunque prima che uoi concediate, dissi allora; che,

DIMANDA
PRIMA.

Tra i numeri, che sono differenti per l'Vnità; che non si possa porre alcun'altro nume-
ro, ò mezano termine.
VE lo concediamo uolontieri; disse M. Adriano; percioche tra 2. & 3. si sà che
non si può porre altro numero. E' uero Messere, risposi; perche l'Vnità non si
può partire in due parti; ma resta nella Musica indiuisibile. Notate però, ch'
io parlo dell'Vnità discreta, & non della Continua; essendo che qual si uoglia
Continuo si può diuidere in infinito in parti infinite, in potenza almeno, se non in atto.
Perche rispetto; disse il Viola. Per questa ragione, soggiunsi; che ui basterà solamente;
perche non si dà nella natura una cosa infinita in atto, secondo 'l Filosofo.3. phy. c. 1.
Ibidē. c. 4.
& 11. Me
taph. c. 9.

4. Physi.
cap. 9.
La onde doue-
te sapere, che i Numeri sono di due sorti; l'un de i quali si chiama Numero numerante, &
l'altro Numero numerato. La Vnità del primo non si può diuidere in atto; ma quella del
secondo è troppo ben diuisibile; essendo che questo non è altro, che una moltitudine di co
se numerate. Allora M. Claudio disse; Mi piace questa bella distintione del Numero, &
la espositione, di questo principio.All'altro adūque, dissi; bisogna che mi concediate; che,

DIMANDA II.

Se vn Numero ne multiplicherà vn'altro dato; & l'istesso diuiderà il prodotto; che ritor-
ni l'istesso numero dato.
SIA-page 29 Primo. 29 SIAVI ancora questo concesso; rispose il Viola; perche se 'l si moltiplica 24. per
6. ne uiene 144. & diuiso tal prodotto medesimamente per 6. senza dubio ritor-
na 24. il che manifesta quel che s'habbia da intendere in questa seconda diman-
da
. Disse allora il Merulo; A fè M. Francesco, che uoi siete un buon mathematico, & mi
allegro; però M. Gioseffo ponete fuori la terza se fa dibisogno; poi che questa s'intende.
Concedetemi etiandio, se cosi uolete, ch'io uada più oltra, dissi; che,

DIMANDA III.

Se vn numero partirà prima vn'altro dato; & il prodotto dopoi si moltiplicherà per il Di-
uisore; che ritorni il primo Numero dato.
QVI voltatosi il S. Desiderio à M. Adriano, disse; Che direte uoi à questa, Messere?
Questo, rispose egli; è il cōtrario di quello, ch'inanzi s'è detto, per quel ch'io m'ac
corgo. Percioche se diuideremo 144. per il 6. ne uerrà 24. onde tal prodotto mol
tiplicato per il 6. darà senza dubio alcuno 144. secondo che dice questa dimanda. A que-
sto disse M. Francesco; Che ui pare M. Gioseffo del nostro Messere? Parui forse, che egli
non sappia far conto? Cosi fà, risposi; chi hà Denari assai. Burlate M. Gioseffo; disse M.
Adriano; per quel ch'io uedo. Al quale disse M. Claudio; A fè, che non burla ello, anzi di
ce il uero; perche n'hauete guadagnato assai col mezo del uostro ualore. Ne hò guadagna
to assai ueramēte, rispose egli; ma holli anco dispensato à i miei più stretti parenti; il perche
pochi ne posso hauere. Ond'io soggiunsi; Voi hauete fatto da huomo da bene, come uoi
sete; però non ui hò dato la burla à dire, che chi ha assai Denari, sà far ben conto. Ma nō
più di questo: Vltimamente concedetemi; che,

DIMANDA IIII.

La Proportione de gli estremi si dice esser composta de i mezi Proportionali; come da sue parti.
CHE si hà da intender'in questo luogo, per gli estremi? disse M. Francesco; Il Mas-
simo & il Minimo, risposi io. Dechiarateci questa, disse M. Adriano; & poi segui-
tate à dir quello, che più ui piace. E' molto ben honesto Messere, risposi; hauen-
domi tolto questo carico: però attendete. Se fussero quattro termini a. b. c. & d. & a. d. fus sero gli estremi; cioè a. il Massimo, & d. il Minimo, i quali contenessero la proportione
Dupla; allora diressimo, che questa proportione contenuta da tali estremi fusse composta;
percioche la proportione Sesquiquinta a. b. & la Sesquiquarta b. c. con la Sesquiterza c.
d. fanno aggiunte insieme la Dupla proportione a. b. Oueramente si direbbe, ch'aggiun-
gendo la proportione Sesquiquarta b. c. alla Sesquiquinta a. b. si farebbe la Sesquialtera
a c. che congiunta alla Sesquiterza c. d. farebbe la Dupla contenuta tra a. & b. Et questo
è tanto manifesto, che non hà dibisogno d'altra proua. Niuno di noi haurà ardimento,
disse il Sig. Desiderio; di negarui questo principio; perche, com'hauete mostrato, da se
stesso è chiaro; inteso che si hà i termini della cosa. Voglio adunque, dissi che queste Di
man-page 30 30 Ragionamento mande siano basteuoli à quelle cose, ch'à mano à mano son per dirui; dopo ch'io ui haurò
proposto i Communi pareri, ouer Massime; dette da i Greci Α'ξιώματα; le quali, per la
loro euidente uerità, si chiamano anche Dignità; la prima delle quali sarà questa.

DIGNITA'
PRIMA.

Ciascheduna cosa, che misura vn'altra, misura anco tutto quello, che dalla misura-
ta è misurato.
DATECELO ad intendere; soggiunse M. Adriano. Poniamo adunque (dissi)
tre quantità a. b. & c. delle quali a. misuri, ò numeri due fiate la b. & questa
sia la misurata, che numeri, ò misuri la c. due fiate. Dico che a. numera la c.
quattro fiate, che fù dalla b. misurata due. Et questo è quello, che questa
Dignità uuol inferire. Disse allora Messer'Adriano; La cosa è chiara, & non ha di-
bisogno d'altra dimostratione. Adunque seguendo quello, ch'io ho incominciato, sog-
giunsi; dirò; che,

DIGNITA' II.

Il Composto si risolue in quelle cose semplici, delle quali si compone.
SOGGIVNSE il Sig. Desiderio; Questo è tolto d'Aristotele nella Fisica, & nella
Metafisica, & anco nel Libro 3. del Cielo. E' uero, risposi; la onde M. Francesco
aggiunse; Questo par che sia difficile, & è ueramente facile da intendere; pur de-
sideriamo, che sopra di questo (per maggior nostra intelligenza) ragionate qualche cosa.
Notate adunque, soggiunsi; che tutta la scuola de i Filosofi chiama Elemento quella cosa,
della quale primieramente un naturale Indiuiduo si compone; di maniera che nel-
la resolutione tale Indiuiduo non si può risoluere in altri corpi, che siano primi.
Del che (per darui un'essempio) piglierò l'Huomo, il quale è composto de i Quattro
elementi Terra, Acqua, Aria, & Fuoco; onde, perche niun de questi quattro si ri-
solue in altro corpo, che sia primo di loro; essendo che non si ritroua alcun Corpo corrut
tibile, che sia primo de i Quattro nominati Elementi; però è neccssario, che morendo l'
Huomo, si risolua il corpo ne i detti Elementi, & non in altri corpi; percioche tali Elemē
ti sono corpi semplici, de i quali è composto; & ciascheduno altro corpo è de questi com
posto, ouer Misto. Questo s'intende, disse Messer'Adriano; & uolete dire; se un Interual-
lo fusse composto de Tuoni & Semituoni; che risoluendosi, in Tuoni & Semituoni,
etiandio si risoluerebbe. Stà molto bene; onde passarò alla terza Dignità; è dirò.

DIGNITA' III.

L'Vnità è parte di qual si voglia numero; denominata da lui medesimo.
ETpage 31 Primo. 31 ET questa è tolta di peso dal Settimo d'Euclide. Et l'essempio si piglia dall'Vnità,
la quale per esser'una delle parti del Binario, tal parte si dice la Metà. Simiglian-
temente, perche nel Ternario si trouano tre unità; la vnità è detta Terza parte
di esso. Il che si può anco dir de gli altri Numeri; ma è cosa tanto chiara, che non fà di-
bisogno dirne più parola. Ma per il Quarto parer commune, ò Dignità, dirò;

DIGNITA' IIII.

L'Vnità moltiplicata in qual si voglia Numero, produce quel numero istesso.
ET ciò uedete manifestamēte esser uero; percioche se uoi moltiplicarete il Senario
per la Vnità, uerrà l'istesso Senario; com'è noto à ciascheduno, che sia essercita
to nell'Arithmetica. Et anco questa Dignità è di Euclide nel luogo nominato.
Qui non è dibisogno di commento, disse il Viola. Adunque uerrò all'altra, dissi; &
sarà questa.

DIGNITA' V.

Ciaschedun numero, il qual moltiplica, ò diuide i termini di qual si voglia proportione, pro-
duce la proportione medesima.
QVESTA istessa, disse M. Adriano; mi ricordo hauer ueduto nelle Istitutioni; è bē
uero, che le aggiungete il Partire; ma qui non è dubitatione alcuna, che cosi sia.
Cosi è Messere, gli dissi; pur uoglio dirui una parola; che se noi moltiplicheremo
3. & 2. termini radicali della proportione Sesquialtera, per il 4. ne uerrà 12. & 8. i quali
conteneranno la medesima Sesquialtera, tra i numeri Tralorocomposti; essendo però
1 1/2 il Denominator dell'una & dell'altra. Ma se diuideremo 12. & 8. per il medesimo 4. na
scerà 3. & 2. i quali senza dubio alcuno contengono quella proportione istessa, che con-
tengono i primi; che sono 12. & 8. Ma passiamo un poco più oltra.

DIGNITA' VI.

Quel che misura il cauato, & il restante d'vna quantità; misura etiandio il Tut-
to di quella.
ET questo si fà palese ad ogn'uno, che sano sia di giudicio; percioche se noi da
24 leuaremo 18. ne resterà 6. Onde dico, che se 'l 3. numera, ò misura il 18. ch'è
il cauato di 24. & il 6. ch'è il restante; al medesimo modo misurerà, ò numererà
etiandio il Tutto, ch'è il 24. Et è uero; perche il 3. numera il 6. due fiate; il 18. sei; & il 24.
otto uolte. Allora soggiunse il Merulo; Meritamente si chiamano Communi pareri, ò
Massime, ò ueramente Dignità, che dir le uogliamo, essendo che non sò pensarmi, chi sa
rebbe quel tanto pazzo, che uolesse tenere il contrario. Che ne dite uoi Messere di que-
sto? Sarebbe ueramente da connumerar tra i balordi, ; & priui d'ogni sentimen-
to. Però seguitando ripigliai il mio ragionamento in cotal modo.
DI-page 32 32 Ragionamento

DIGNITA' VII.

Quell'Interualli sono simili & equali, che da termini simili sono contenuti; ouer'hanno
le Denominationi loro da vn'istesso Denominatore. Ancora quando diuiso 'l mag-
gior termine d'vno, secondo il maggior dell'altro; & il minore, secondo 'l minore. Simi-
gliantemente, quando moltiplicato il maggior di vno scambieuolmente secondo il minore
dell'altro; i prodotti vengono equali.
LA prima parte di questa Dignità da se stessa è manifesta; quando la simiglianza
& la equalità si piglia dalla parte della forma, & non della materia; & del resto hab
biamo la proua in mano; percioche noi sappiamo, che tanto la proportione, che
si troua tra 3. & 2. quanto quella, ch'è contenuta tra 9. & 6. è detta Sesquialtera, dal
Denominatore dell'una & dell'altra, il quale è 1 /2. se ui ricordate quello, ch'io dis-
si in questo proposito nelle Istitutioni.1. Part.
Cap. 25.
Et se noi partiremo il 9. termine maggiore della se
conda data proportione, per il 3. pur termine maggiore della prima; & il 6. minore ter-
mine dell'una per il 2. termine minore dell'altra; tanto da una parte, quanto dall'altra uer
rà 3. Onde uerrà anco 18. moltiplicando 'l 9. per il 2. & il 6. per il 3. ch'è segno manife-
sto esser uero quello, c'habbiamo detto. Il perche aggiungeremo à questo:

DIGNITA' VIII.

Quello è Maggiore interuallo, il quale è denominato da maggior Denominatore, & quello
è minore, ch'è denominato da minore.
ET ciò è manifesto; percioche l'interuallo Sesquialtero è maggior del Sesquiterzo
com'è maggiore 1 1/2. Denominator del primo, di 1 1/3. Denominator del secon
do. Aggiunse il S. Desiderio; Questo è troppo manifesto; & però stà be-
ne, che questo principio sia numerato tra le Dignità. Seguitai dopo questo: Vi uoglio
etiandio aggiungere; che simigliantemente.

DIGNITA' IX.

De i Numeri & de gli Interualli, quella parte è maggiore, la quale hà maggiore Denomina
tore, & minor quella, che l'hà minore.
ANCORA che pari, che questa & la precedente siano quasi una cosa istessa; & che
questa douerebbe porsi auāti di quella; tuttauia hò uoluto, che qui sia il suo luo-
go; essendo che sempre il Tutto uà inanzi le Parti. Et perche quella Parte, ch'è
la metà d'alcuna cosa, sempre è maggior di quella, la quale è la terza parte; però nō è du
bio che quella parte, ch'è denominata dalla metà, sia maggior di quella, ch'è denomi-
nata dalla terza. La onde perche questo è pur troppo noto à tutti quelli, c'hanno
qualche intelligenza delle cose; pero uerremo ad un'altra Dignità, ò parer commu-
ne, il quale sara questo.
DI-page 33 Primo. 33

DIGNITA' X.

Quelle cose, che ad vna cosa istessa sono equali; sono etiandio tra loro equali.
VOLETE di questo l'essempio? eccouelo. Poniamo tre quantità a. b. & c. dico,
che se a. & b. saranno separatamente l'una dall'altra equali alla c. la a. sarà al me
desimo modo equale alla b. Et quello che si uerifica in una sorte di quantità, si
uerifica etiandio in un'altra. Questo non hà bisogno d'altra proua, disse M. Adriano; pe
rò si può proceder più oltra. Et io, per farli piacere, non stetti molto; onde dissi.
Auertite che,

DIGNITA' XI.

Quelle cose, che tra loro sono equali, ad vna cosa istessa sono equalmente Molteplici, ò Su-
perparticolari; ò d'alcun de gli altri Generi.
QVESTO hà dibisogno d'esser dichiarato, disse qui il Merulo. Dichiaramolo
adunque, soggiunsi; & siano tre quantità a. b. c. per essempio, delle quali a. & b.
siano equali; & l'una & l'altra sia il doppio della c. E' manifesto da quel che det-
to habbiamo di sopra, che quella proportione, che si troua tra a. & c. si troui anco tra b.
& c. Intendo, intendo hora il tutto, disse M. Claudio; passate pur'inanzi. Diremo adun-
que, soggiunsi da nouo; che,

DIGNITA' XII

Di quelle cose delle quali i Tutti sono equali; equali etiandio sono le lor parti.
ET chi non credesse, che cosi fusse; da questo si potrà chiarire. Siano a. b. due quā
tità; & sia c. d'una & l'altra la Terza parte. Dico, che se 'l si farà a. & b. equali in d.
& e. secondo la quantità di c. quel che nascerà dalle dette quantità, sarà cambie
uolmente equale. Oltra di questo, se 'l si farà equale la c. f. alla Terza parte di tutta la c.
quella proportione, ch'era prima tra tutta la a. ouer la b. con tutta la c. si trouerà anco tra
le parti loro; cioè, tra la a. d. ouer b. e. con la c. f. & etiandio tra tutta la d. ouer tutta la e.
con tutta la f. la quale senza dubio alcuno è Tripla medesimamente. Veramente è cosi,
affermò il Sig. Desiderio; percioche, secondo 'l principio d'Euclide, Se da cose equali
si leueranno cose equali; i rimanenti saranno equali; onde si come tra a. & c. & tra b. & c.
Dimost. Harm. C sipage 34 34 Ragionamento
si troua la proportione esser Tripla; cosi leuata da tutta la quantità a. la parte ad. & da tut
ta la b. leuata la be. ne uiene la d. & la e. ciascheduna delle quali con c. uengono ad esse-
re in Dupla proportione. E' cosi in fatto, dissi; & il Principio, che hauete allegato è il
Terzo Commun parere, che Euclide pone nel principio del lib. 1. de suoi Elementi. Di
rò; disse hora M. Francesco; che questo è tanto manifesto, che chi lo uolesse negare, sa-
rebbe riputato un pazzo. Seguiterò l'altro, risposi; ilquale è,

DIGNITA' XIII.

Qual si voglia cosa, che raddoppiata sia equale ad un'altra, fà dibisogno, ch'ella sia
la ua metà.
ET questo è manifesto per l'essempio; percioche se raddoppiaremo la quantità a.
di maniera, che ne uenga b. la quale è di tanta quantità, quanta è la c. ch'è il
doppio di a. bisogna necessariamente confessare, che a. sia la intera metà della quā
tità c. Et perche questo è purtroppo uero; però non mi affaticarò più per daruelo ad in-
tendere; ma passarò ad un'altra Dignità.

DIGNITA' XIIII.

Ciascheduna cosa, la quale, essendo raddoppiata ne trapassa un'altra; è necessario, che la
sia più della sua metà intiera.
ET questo è più che manifesto; percioche se saranno due quantità a. & b. delle quali
a. sia minore della b. dico, che essendo c. la quantità a. raddoppiata; se la c. trapas
sarà la b. ch'essa a. sarà più della metà intera della b. Ecci un'altro parer commu
ne à questo contrario; & è questo. DI-page 35 Primo. 35

DIGNITA' XV.

Quel che raddoppiato non arriua all'intiero, non può per alcun modo esser la sua
metà.
IL che è manifesto da questo; che si troua essere un'istessa Disciplina de due con-
trarij: che se la quantità a. sarà il doppio della quantità b. & non arriuerà alla
quantità c. che b. non sarà la metà della c. come ciaschedun de uoi può com-
prender chiaramente. Ma ascoltate questa, la quale è nota à tutti quelli, che sono ca-
paci di ragione.

DIGNITA' XVI.

La Metà di qual si voglia cosa, necessariamente casca nel mezo di due; delle quali l'una
sia maggiore di essa, & l'altra minore.
ET se ben questa Dignità sia da se stessa chiara; tuttauia, per magiore intelligen-
za, porrò la quantità a. la quale è la metà della b. onde è cosa assai ben chiara,
ch'essendo la c. minore di essa a. & la d. maggiore; ch'essa a. casca nel mezo della
e. & della d. Ma chi sarebbe quel tanto sciocco & tanto balordo, che uolesse negare que
sto, ultimamente?

DIGNITA' XVII.

Ogni Tutto esser maggior della sua Parte.
QVALCHE pecora campi, disse à questo il Sig. Desiderio. A punto (diss'io) un pe
cora campi; essendo che tanto sarebbe dire, che la quantità a. che ui dimostro so
pra quest'asse, & è minore & parte della b. fusse ad essa b. equale, oueramente
maggiore; cosa molto lontana; anzi dirò lontanissima dalla uerità. Tanto sarebbe anco,
disse M. Adriano; à dire, che 'l Tutto fusse minore della sua parte; quando quel
che detto hauete, fusse uero; percioche se questa è uera; La parte è maggior
del suo Tutto; uale anco à dire per il contrario; Il tutto è minor della sua parte;
Dimost. Harm. C 2 essendopage 36 38 Ragionamento essendo che sono relatiui l'uno all'altro. Messere, dissi; uoi sete diuentato un gran Logi-
co, & sapete molto bene riuoltare una propositione; & parmi che l'esser stato à Pariggi ui
ha giouato molto; perche la uostra conclusione è uera; ma veniamo ad altro. Io non son
per proponerui per hora altri Principij: ma quando 'l tempo & il luogo lo ricercheranno,
allora ue ne proponerò de gli altri, che faranno al proposito. Onde questi, che mostrato
& proposto ui hò, saranno à sufficienza per dimostrarui quello, di che habbiamo à ragio-
nare. Parmi hora di uedere, disse il S. Desiderio; verificarsi quello, che detto hauete nelle
Istitutioni;1. Par.
c. 20
ch'essendo la Musica subalternata alla Arithmetica, ella piglia una gran par-
te de questi Principij ad imprestido da questa Scienza; massimamente de questi ultimi,
che hauete chiamato Dignità. Onde si uede, ch'una Scienza porge aiuto all'altra; secon
do che più fiate hò ueduto in quel, ch'io hò studiato, & hora lo uedo in fatto. Questo
non è dubioso appresso d'alcun Dotto (dissi io) che la Scienza subalternata non usi alcu-
no de i principij della Scienza subalternāte. Ma bisogna che l Musico habbia questa auer
tenza, di pigliarne meno, che ei puote; & quando è sforzato d'usarli, bisogna che li usa
in un'altra maniera di quello; che si usano nell'Arithmetica. La onde si debbono usar secō
do 'l modo, che si tiene nelle dimostrationi della Musica; applicandoli à i Suoni, à i mu-
sici Interualli, & à i Corpi sonori; accioche l'una con l'altra corrispondino in una certa
proportione. Mi par mille anni, soggiunse M. Adriano; che incominciate à dimostrar
qualche cosa. Non andrà molto in lungo Messere, risposi; che in fatto lo uedrete; ma
per hoggi non intraremo à dimostrar quelle cose, che uoi desiderate di uedere in-
torno à gli Interualli della Musica: dimane poi, piacendo à Dio, sarete piena-
mente satisfatto; percioche bisogna prima trattar quelle, che più presto appartengo-
no ad un certo uniuersale nelle cose delle Proportioni, che à gli Interualli, ò Con-
sonanze istesse. Ma per non proceder più in lungo, uerrò alle Proposte; delle qua-
li la Prima sarà.

PROPOSTA
PRIMA.

Si può continuar due, ò più Interualli l'un dopo l'altro, che siano simili di propor-
tione.
FERMATEVI M. Gioseffo, disse allora M. Adriano; Per quel che mi ricordo ha
uer ueduto & letto nell'Istitutioni; parmi che non sia necessario nella Musica,
il continuar due, ò più Interualli d'un istessa proportione l'un dopo l'altro; per
cioche ne i loro estremi non fanno consonanz'alcuna, & i ueri Numeri harmo
nici non comportano cotale continuatione. Ancorache questo non sia uniuersalmente
uero, risposi; percioche falla in molte delle proportioni Molteplici; tuttauia non hà da es
ser fatto fuori di proposito, per quel ch'io son per dimostrarui; percioche se ben alle co
se della prattica non fà dibisogno soggiungere, ò preporre tanti Tuoni, ò altri In-
terualli simili di proportione, continuati l'un dopo l'altro; nondimeno nelle cose
speculatiue alle fiate occorre di adoperar tali modi. Onde non uoglio lasciar di di-
mostrarui questa cosa; acciò dimostrar ui possa quel che farà dibisogno. Ma auerti-
te, che per questo continuare, ch'io dico; non intendo altro, che 'l Moltiplicar
due, ò più proportioni simili l'una dopo l'altra. V'intendo, disse M. Adriano; &
comprendo hora l'utile, che si potrà hauere di questa cosa; però seguitare il uostro
parlare. Soggiunsi allora; Siano a & b. i minimi termini della proportione di
qual si uoglia Interuallo, che noi uogliamo molteplicare. Dobbiamo prima mol-
tiplicare a. in se stesso, & ne uerrà c. dopoi lo moltiplicheremo co 'l b, & ne nasce-
page 37 Primo. 37
rà d. Fatto questo moltiplicheremo etiandio il b. in se stesso, & ne uerrà e. Dico hora c. d.
& e. esser due Interualli simili continuati & insieme congiunti; cioè, c. d. il primo; & d. e.
il secondo. Percioche c. & d. nascono dalla moltiplicatione di a. in se stesso, & anco in b.
però (per la Quinta dignità) tanta è la proportione di c. & d. quanta quella di a. & b. Più
oltra; perche d. & e. nascono dalla moltiplicatione di b. in se stesso & in a. però (per l'istes
sa Dignità
) tanta è la proportione di d. & e. quanta quella di a. & b. Onde se tanta è la pro
portione di c. & d. & anco di d. & e. separatamente, quanto è quella di a. & b. seguita, che
habbiamo tra c. d. & e. due Interualli continuati da un'istessa proportione contenuti; co-
m'è il proposito. Ma per hauere un terzo Interuallo; moltiplicheremo di nuouo c. d. & e.
per a. & ancora e. per b. & ne uerrà f. g. h. & k. i quali simigliantemente, per la già allega-
ta quinta Dignità; saranno tre proportioni, ò Interualli simili à quel ch'è contenuto tra
a. & b. cioè, f. g. per il primo; g. h. per il secondo; & h. k. per il terzo. Et per hauer'il quar-
to à questi tre congiunto, di nuouo moltiplicheremo a. con f. g. h. & k. & anco b. con K. &
haueremo, per la Quinta nominata, quattro proportioni simili alla a. b. continuate &
moltiplicate l'una dopo l'altra; cioè, l. m. la prima, m. n. la seconda; n. o. la terza; & o. p,
la quarta, secondo 'l proposito. Et questo è tutto quel che dimostrar ui douea. La onde
operando in questo modo, si potrà continuar quanti Interualli faranno dibisogno l'un
dopo l'altro, i quali saranno etiandio contenuti da una proportione istessa, in un'ordine
Radicale; ilche farà qual si uoglia Interuallo, quando sarà moltiplicato ne i suoi minimi
termini. Hora si uede, disse M. Adriano, la grandezza della Dimostratione; la quale con
firmata da i Principij, fà che ueramente sapiamo le cose; essendo ch'è impossibile, che
stiano altramente di quello, che sono dimostrate. In fatto è cosi Messere, soggiunse M
Claudio; ma ui uoglio dir, che se ben questa cosa, che hà dimostrato hora Messere Gio
seffo, non s'adoperasse mai, non mi dispiace d'hauerla imparata; percioche è molto bel-
la, & à me ueramente noua. Ma come potrei far, s'io uolesse in cotal maniera continua
re l'un dopo l'altro due Interualli, che non fussero di proportione simili? Bene, risposi;
se terrete quest'ordine istesso; è ben uero, che bisognerà por sempre gli Interualli
(come ui mostrerò) l'un sopra l'altro; di modo che sempre dalla parte di sopra stia-
no i termini di quel che uorrete soggiungere, & di sotto i termini di quel che uor-
rete preporre. Ma acciò che meglio m'intendiate, ui uoglio far la dimostratione.
Ascoltate adunque la proposta.

PROPOSTA II.

Potiamo continuar dur, ò più Interualli differenti di proportione l'un dopo l'altro, &
ritrouar l'Ordine radicale de i prodotti termini.
Dimostr. Harm. C 3 NO-page 38 38 Ragionamento NOTATE, c'hò aggiunto in questa, di ritrouar l'Ordine radicale de i termini pro
dotti; percioche alle fiate auerrà; ma non sempre, che aggiungendo due propor
tioni diuerse insieme, i prodotti saranno collocati ne i numeri Tralorocompo-
sti. Però accioche con più facilità possiate intender'il Tutto, & adoperar questi Inter-
ualli commodamente, quando farà dibisogno, si ridurano nella lor Radice. Et perche sò
che ui sono incogniti questi termini; cioè, Ordine radicale, & Radice delle proportioni;
però non ui starò à replicar cosa alcuna; ma uenirò alla Dimostratione. Siano a. b. & c. d.
minimi termini de due Interualli, quali si uogliano, differenti di proportione; cioè, a. &
b. di uno, & c. & d. dell'altro, che uogliamo insieme moltiplicare. Moltiplico primieramē
te a. in c. & in d. dopoi b. in d. onde ne uiene e. f. & g. Dico hora e. f. & g. contenere l'Inter
uallo a. b. & lo c. d. cioè, e. f. il primo, & f. g. il secondo. Et perche, per la Quinta dignità;
Qualunque numero moltiplicato ne i termini di qual si uoglia proportione, produce la
proportione medesima; nascendo e. & f. dalla moltiplicatione di a. ne i termini c. & d. di-
co e. & f. esser di tanta , quanta è c. & d. Simigliantemente dico, risultando
f. & g. dalla moltiplicatione di d. in a. & b. per l'istessa dignità; f. g. contener la proportio
ne istessa, che contengono a. & b. secondo 'l proposito. Il perche, se tanta è la proportio-
ne di e. & f. quanta è quella di c. & d. & tanta quella di f. & e. quanta è quella di a. & b. se
guita, che tra questi termini e. f. & g. habbiamo continuato due Interualli differenti di
proportione l'un dopo l'altro; come dice la proposta, & secondo che ui douea dimostra-
re. Ma perche per la Decima definitione, e. f. & g. sono tre Numeri Tralorocomposti, i
quali possono esser numerati d'altro numero, che dall'Vnità però, come c'insegna il Cap.
43. della Prima parte delle lstitutioni, ritroueremo un numero, ò termine, il maggior,
che si possa ritrouare, che numeri ciafchedun da persè & insieme de i nominati tre nume
ri; il quale sarà h. onde diuiso e. f. & g. per h. nascerà k. l. m. i quali dico, per la Nona de-
finitione
, esser Numeri Contraseprimi, & per consequente minimi termini & radicali di
questi due Interualli, i quali, per la già detta Quinta dignità, contengono quell'istesse pro
portioni, che tra e. f. & g. sono contenute; percioche Ciaschedun numero, il quale parti
sca i termini di qua si uoglia proportione, produce la proportione medesima. Et questo
è tutto quello, che secondo la proposta ui douea dimostrare. Notate ancora, che s'à que
sti due Interualli ne uoleste aggiungere un terzo; moltiplicando il suo maggior termine
radicale con k. l. & m. & il minor di nuouo con m. si haurà il proposito; riducendo poi li
termini, quando fusse bisogno, se fussero numeri Tralorcomposti alla Radice; seguendo
l'ordine mostrato nel detto Cap.43. onde si potrà proceder in infinito. Ma se per caso uo
leste per il cōtrario, che la proportione, ò interuallo c. d. fusse preposto, & a. b. fusse sog-
giunto; allora non si haurebbe da far altro, se non di cambiare i luoghi, & porre lo a. b.
nel luogo dello c. d. & questo nel luogo di quello, & haureste il proposito. Queste cose so
no molto diletteuoli, disse il Sig. Desiderio; percioche in esse si uede un'aperta uerità; es
sendo che subito dimostrate; achettano l'intelletto. Et però ben disse quel gran Filosofo;Auer. 2.
Metap.
com. 1.

che le dimostrationi Mathematiche sono nel primo grado di certezza collocate; & che le
Naturali seguitano quelle. Questo è uero risposi; ma udite un'altra proposta.
PRO-page 39 Primo. 39

PROPOSTA .

Se un'Interuallo Molteplice sarà doppiato; quell'Interuallo, che verrà da tal doppiamen-
to sarà etiandio Molteplice.
AVERTITE prima, che 'l Raddoppiare un' non è altro, ch'aggiungere in
sieme due Interualli, che siano contenuti da un'istessa proportione. Però dico:
Sia nel sottoposto essempio a. b. l'Interuallo Molteplice semplice, che uogliamo
raddoppiare; & sia c. d. e. l'Interuallo proposto; cioè, a. b. raddoppiato; come c'insegna
la prima proposta di questo nostro ragionamento; di modo che c. sia al d. , &
il d. all'e. Dico etiandio il prodotto Interuallo c. & e. esser Molteplice. Et perche d. è mol
teplice di e. però, per la Definitione de i Molteplici, e. misura il d. interamente più d'u-
na uolta. Ma dalla suppositione fatta di sopra; si come d. è molteplice con e. cosi c. è mol-
teplice con d. il perche e. misura esso c. più fiate interamente. Adunque, per la sopradet-
ta Definitione
, il c. è molteplice di esso e. come bisognaua dimostrare. Ditemi di gratia,
disse M. Adriano; & perdonate alla mia curiosità; percioche la facilità di questa dimostra
tione mi fà, ch'io ui dimandi, se questa Proposta si può dimostrar'in altro modo. Si può
ueramente, dissi; Messere. Adunque, soggiunse M. Claudio; si può fare in una proposta
istessa diuerse dimostrationi. Ben sapete, gli risposi; percioche essendoui molti mezi; ui so
no ancora molte dimostrationi. adunque per uostra fè, disse il Viola. Cosi
uoglio fare, per satisfarui, dissi. Sia adunque di nuouo l'Interuallo a. & b. molteplice; co
me propone la proposta; il quale per la Prima di questo, sia raddoppiato; & sia c. & e. il
doppio; & la proportione, che si troua tra c. & d. & sia anco tra d. & e. Dico l'Interuallo c.
& e. esser simigliantemente Molteplice. Et che cosi sia lo dimostro. La proportione, che
si troua tra a. & b. per la Settima dignità; è quella, che si troua anco tra c. & d. & simiglian
temente tra d. & e; onde ciascheduna da per se è la metà della raddoppiata c. & e. ma la
proportione a. & b. è posta Molteplice; adunque la proportione c. & d. medesimamente
è Molteplice. Il d. adunque, per la Quarta Definitione, misura 'l c. due, ò più fiate; & all'i-
stesso modo tante fiate e. misura il d. per il che etiandio medesimamente, per il Primo cō
mun parere, ò Dignità
, che dice; che Quella cosa, che misura un'altra, misura anco quel
la, ch'è misurata da lei; e. misura esso c. Adunque per la Definitione de i Molteplici, l'In-
teruallo c. & e. uiene ad esser Molteplice; come faceua dibisogno di mostrare. Ogni cosa
torna molto bene, disse M. Adriano; ma inanzi che si proceda piu oltra ditemi. Voi ha-
uete allegato molte fiate il modo d'operare alcuna cosa; secondo le uostre Istitutioni; non
dimeno in esse dimostrate poche cose, per quel che mi ricordo; anzi piu tosto procede-
te con un'atto prattico; però desidero, che sopra di questo mi diciate qualche co-
sa. Soggiunsi allora; Questo Messere è di poca importanza; ne in questa parte, che serue
all'accommodar l'essempio, ò figura alla Dimostratione; la quale nominai Κατασκευὴ, ò
Costruttione (stando nelle già nominate cose, ch'entrano in ciaschedun Theorema, ò
Problema) fà molto dibisogno, che tale operatione nasca dalla Dimostratione; pur che
quel che si opera sia fatto senza errore, & secōdo 'l proposito. Imperoche quādo si uiene poi
alla Quinta, ch'è la Α'πόδειξις, ò Dimostratione; allora si fà noto il uero, oueramēte il falso
dalle premesse. Ma uoglio che sapiate; se ben nelle Istitutioni hò proceduto nel mostrar le
cose con atto prattico, com'hauete detto; che tali operationi non son fatte à caso; anzi so-
Dimostr. Harm. C 4 nopage 40 40 Ragionamento no cauate dal fonte delle Dimostrationi, c'hanno fatto de loro i Mathematici. Di modo
che il tutto uiene ad esser fatto senz'alcun'errore; essendo c'habbiamo anco la proua, la
quale non è altro, ch'un certo mezo, & una dimostratione, che scuopre, se quel che noi
operiamo nel cercar la uerità d'alcuna cosa, habbiamo operato senz'errore. Et se ben per
l'auenire potessi allegare un modo di operar, secondo le Dimostrationi fatte d'alcuno Au
tore; tuttauia uoglio anco seruirmi di quel c'hauete ueduto ne i miei Scritti, che ui stà (co
me posso comprender) nella memoria; accioche più facilmente m'intendiate, & ne ripor
tiate quel frutto, ch'io desidero, & che desiderate anche uoi d'hauer da questi miei Ragio
namenti. Però quando udirete nominare alcuna cosa mostrata nelle Istitutioni, non ui
scandalizate; perche hò dimostrato iui il tutto con ogni uerità, & con ogni proua; onde
non fà dibisogno di farne altra dimostratione. Rispose à questo M. Adriano; Se ben ui
hò fatto questa dimanda M. Gioseffo, non pensate che sia stato per altro, se non per saper
la uostra intentione; accioche rispondendomi al proposito, com'hauete risposto; io ne ri-
portasse, com'hò fatto, qualche guadagno. Et mi contento, percioche è stata una buona
istruttione fin qui, quel che hauete detto; & me la terrò molto bene à memoria. Et perche
d'ogni cosa restiamo benissimo satisfatti; però nō sarà se nō bene, ch'uoi andiate più oltra.
Adunque auertite, ui prego, risposi; di tenere apunto bene à memoria tutto quello, ch'io
ui dimostro; percioche quando non ui ricordaste una di queste dimostrationi; malamen-
te potresti intender le seguenti; essendo che l'una dipende dall'altra; & le prime son chia
mate Elementi delle sequenti; perche co 'l mezo loro, queste si uengono à prouare. Io per
me sforzerōmi di ritenerle; disse il Merulo; & sò troppo bene, per quel poco d'esperien-
za, che io tengo; che 'l domenticarsi le cose precedenti, causa l'ignoranza delle sequenti.
La onde hauendo udito M. Adriano queste parole, soggiunse; Se ben la maggior parte
de i uecchi mancano di memoria; tuttauia ringratio Dio, che m'hà concesso questa gra-
tia, che nella mia uecchiezza nō ne son di essa priuo. Et ui prometto, che questa cosa tan
to mi diletta, che in questa età mi potrei ben stancare di udir quel che nella mia giouanez
za non ho mai potuto ne udire, ne imparare; ma satiare non mi potrò già mai. Verremo
adunque, soggiunsi; alla Quarta proposta.

PROPOSTA IIII.

I Termini di qual si uoglia raddoppiato interuallo Moltiplice, sono l'vno all'altro propor
tionali; & costituiscono la Geometrica proportionalità.
VOGLIO però farui auertiti, che per questo nome Proportionalità (com'hò detto
etiandio altroue1. Istitut.
cap. 36.
37.
& 39.
) intēdo, & si dè intēder della Geometrica; percioche l'Arithme-
tica più tosto si chiama Progressione, & l'Harmonica maggiormente si dee nomi-
nar Mediocrità, che Proportionalità, ò Progressione; onde i termini della Geometrica
si nominano drittamente Proportionali; per il che, se ben quest'importa poco; tuttauia
hò uoluto farui sapere, che s'alle fiate m'udirete usar questi termini, senz'alcun'ag-
giunto; uoi li dobbiate riceuer per quello, ch'io li ho dichiarati. Et queste cose ui
saranno à memoria; onde passaremo alla Dimostratione. Siano a. b. & c. tre termini dell'
interuallo Molteplice raddoppiato per la precedente; & sia d. la differenza, che si troua
trapage 41 Primo. 41 tra i termini a & b; & e sia quella, ch'è posta tra b. & c. Dico ab. & c. esser termini l'un
all'altro proportionali, i quali costituiscono la Geometrica proportionalità. Et perche i
termini b & c. sono simili à i d & e, com'è manifesto; però, per la settima Dignita, tanta è
la proportione, che si troua tra b & c; quanto quella, che è posta tra d & e: ma per la Pre-
cedente
, ab & bc. sono simili di proportione: adunque, per la Duodecima definitione,
a. b & c. sono l'un'all'altro proportionali, & costituiscono la proportionalità Geometri-
ca; poi che Tre quantità si chiamano Proportionali, & la costituiscono allora; quando
le proportioni, che si trouano tra loro sono equali & simili à quella, che si troua tra
i termini delle lor differenze. Et tutto questo è quello, ch'io ui douea, secondo
la proposta, dimostrare. E' possibile, disse il Signor Desiderio; che queste dimo-
strationi di numero à numero, le quali seruono piu tosto all'Arithmetica, ch'alla
Musica, habbiano à tornare al uostro proposito? Non ui ricordate, soggiunsi, ch'
io dissi nelle Istitutioni, che i Numeri & le Proportioni sono le imagini de i Suoni
& delle Consonanze? Me ne ricordo; rispose. Et io dissi; Habbiate adunque pa-
tienza, & statemi ad ascoltare, che non andrà molto di lungo, che conoscerete, che
non sono fatte uanamente. Sappiate però che la Quinta proposta; dipenderà dalle due
poco fà mostrate, & sarà.

PROPOSTA V.

Se 'l sarà un'Ordine fatto de molti termini proportionali; quando 'l minore misurerà
il maggiore; misurerà etiandio quelli di mezo.
SIANO a. b. & c. i dati termini proportionali; & c. minore misuri a. maggiore.
Dico, che c. simigliantemente misurerà il b. termine mezano. Riduco prima
a. b. & c. ne i lor minimi termini & radice di quest'ordine, nel modo mostrato
nel Cap. 43. della Prima parte delle Istitutioni; onde ne uiene d. e. f. Et dopoi dico; per-
che, per la settima Dignità, tant'è la proportione di de, & di ef; quanto quella di ab,
& di bc; però, per l'Equale proportionalità, dico; tanto esser la proportione, che si
troua tra d & f, quanto quella, ch'è tra a & b. Ma, per la Suppositione, c. minore
misura a. termine maggiore; adunque f. misurerà d. maggior termine de i minimi ri-
trouati. Et perche d. e. f. si trouano Contraseprimi, & sono, per la Nona definitione,
minimi termini di tal'ordine; per tanto d. f. sono anco contraseprimi. Simigliantemente
perche f. misura se stesso & d. ancora; però per la Definitione detta, f. uiene ad esser l'Vni
tà. Ma l'Vnità, per la Terza massima, ò Dignità, è parte di qual si uoglia numero;
adunque f. misurerà anco e. La onde essendo tanta la proportione, che si troua dal b. al
c, quanta quella, che si troua tra e & f; seguita, che c. minore de i dati termini misura
il b, il quale è il secondo & mezano; il che era il proposito di dimostrare. Aggiungerò
à questa; che,

PROPOSTA VI.

Se un'Interuallo raddoppiato produrrà un'Interuallo Molteplice; il raddoppiato sarà
anche Molteplice.
Parmipage 42 42 Ragionamento PARMI disse M. Claudio, che questa sia la Terza proposta riuoltata. Cosi è ue-
ramente; risposi io. Come farete adunque à dimostrar questa; soggiunse M.
Adriano. Ben Messere; risposi; ascoltate pure. Essendo l'Interuallo a. b. c. rad-
raddoppiato; per la Terza proposta, Moltiplice; & anche a. cō c. Molteplice: Et la proportio
ne, che si troua tra a & b. sia quell'istessa, che si troua tra b & c. dico: Perche a. col b. sarà
Molteplice, il c, per la Quarta definitione, misurerà esso a. più fiate; il perche, per la Prece
dente
, c. misurerà anche 'l b. Adunque l'Interuallo bc. sarà semplice; & per la detta De-
finitione
, anco Molteplice; come fù il proposito di dimostrarui. Disse allora di nuouo
M. Claudio: Stà bene; ma diteci; si potra dimostrar questa proposta per altra uia? Si
può ueramente; risposi; statemi à udire. Essendo ac. Interuallo composto; & risoluen-
dosi, per il secondo parer commune, ò Dignità, in quell'Interualli, che dalla molti-
plicatione, ò raddoppiamento è generato, ò composto; poi ch'ogni si ri-
solue in quelle cose simplici, delle quali si troua esser composto; non è da dubitare; che,
si come s'è dimostrato nella Terza proposta, d'un'Interuallo molteplice, raddoppiato;
che si generò un molteplice composto; cosi per il contrario, risoluendosi tal composto
ne i suoi semplici; se tali semplici furono Molteplici; che siano anco dopo la
Molteplici, il ch'è secondo 'l proposito; come bisognaua dimostrare. Qui disse il Signor
Desiderio; Questa dimostratione ultima, più tosto hà del Naturale, che del Mathema-
tico; onde mi è forte piaciuta. Questo è ben detto; risposi; onde passarò alla Settima.

PROPOSTA VII.

Se due Interualli paragonati l'un'all'altro, saranno contenuti da un'istessa proportio-
ne; è necessario, che tanti siano i mezi proportionali dell'uno, quanti quelli dell'altro.
DIMOTRATECI disse il Merulo questa più facilmente, che potete; perche mi
par, che sia alquanto difficile da intendere. Hor'hora la farò facile; soggiunsi.
Siano ab & de. due, qual si uogliono, Interualli proposti; contenuti da un'istes-
sa proportione; tra termini differenti. Sia etiandio f. il mezan termine di de; & de sia
contenuto ne i suoi termini radicali. Dico, che simigliantemente tra a & b. può cascar'
un termine mezano; Onde dico argumentando per la Vndecima dignità dalla Equale
proportione: Tanta è la proportione di df, quanto quella di ac; & tanta quella di fe,
quanta di cb; Adunque tanta è quella di de, quanta è quella di ab. Ma se i termini ab.
sono contenuti da un'istessa proportione co i termini de; manifesta cosa è, che tra ab.
casca ancora un termine mezano proportionale, ch'è il c. Et se ciò non è; d & e. misu-
rerannopage 43 Primo. 43 reranno a & b. equalmente; & questo secondo 'l g. Molteplico adunque g in d. f. & e;
& ne uiene a. c. b; di modo che tra ac. si troua esser quella proportione istessa, che si tro-
ua tra df; & tant'è quella, che si troua tra c. b; quanto quella, ch'è posta tra fe; il che
proportionatamente c. uiene à cascar nel mezo di a & b; come bisognaua dimostrare.
Intendo hora quello, disse M. Claudio, che hauete uoluto dire nella uostra proposta:
Però seguitate 'l resto à uostro bel piacere. Notate adunque, soggiunsi; che nella pro-
posta, che ui son per proporre, uoglio ch'intendiate, che niun Superparticolare In-
teruallo si può diuidere in due parti equali, ò proportionali, con certi & determinati
Numeri rationali; se ben si può diuidere con irrationali; come in qualche buon propo-
sito son per dichiararui. Onde da questo, che ui dimostrerò spero, che ui sarà manife-
sto. Vorrei saper più inanzi; disse M. Adriano; S'ogni Interuallo Molteplice può esser
capace di uno, è piu termini, che lo diuida in due, ò più parti simili. Ricordateui; ri-
sposi; quel ch'io dissi nelle Istitutioni,1. Par. cap.
37.
& Co-
rol. 25. Se-
cūdi huius.
& uederete quali siano capaci, & quali non. Mi
ricordo hora, rispose egli; essendo che bisogna, che la proportione, la quale può esser
capace di cotal mezo, ne i suoi termini radicali habbia tal conditione, che 'l maggior
sia numero Quadrato, ouer Cubo; & il minore sia l'Vnità. A questo soggiunsi subito; Io
non dissi già, che cotal numero fusse Cubo, ma Quadrato; percioche iui parlai dell'In-
uentione d'un sol termine mezano, il quale diuidesse la proportione in due parti equali.
Ma quando si uolesse pur diuidere cotal proportione in tre parti equali, tal numero sa-
rebbe necessario; percioche come uoi potrete comprendere da quello ch'io mostrarò
nel cap. 6. dell'Ottauo Lib. De i Sopplimenti; quando l'Vnità sarà il minor termine della
proportione, & il primo numero Cubo sarà il maggiore; allora tal proportione potrà
esser diuisa dal Binario & dal Quaternario insieme, in tre proportioni equali; come tra
questi termini. 8. 4. 2. 1. Intendo molto ben la cosa; disse M. Adriano; però seguitate
quello, che più ui piace, senza tardare. Cosi farò dissi; Ma prima che 'l si uenga à dimo
strarui quel che ui hò dichiarato, uoglio che uediamo questa. Che

PROPOSTA VIII.

Qual si voglia Numero si può porre per la differenza de i termini di qual si voglia
proportione Superparticolare.
SIANO a & b. i termini radicali di qual si uoglia Interuallo superparticolare: &
sia c. che è l'Vnità, la lor differenza: essendo che a. si troua per tanta quantità
differente dal b. Volendo porre il d. per differenza de tali estremi, si moltepli-
cherà d. in a. & in b; & ne uerrà e. & f; iquali, per la Quinta dignità, saranno medesima-
mente gli estremi della proportione proposta a & b. Ma quel che nasce dal d. moltiplica-
to in a. è tanto quanto quel che nasce dal d. moltiplicato in b. & c. i quali sono equali ad
esso a. Imperoche moltiplicato d. in b. nasce f; & ancora moltiplicato in c, che è l'Vnità
nasce il g; i quali aggiunti insieme & composti fanno h; essendoche moltiplicato d. in c,
ch'è Vnità, produce, per la Quarta dignità, se stesso d; adunque il g è posto per la dif-
ferenza di e. & f. Superparticolare proportione; come dimostrar ui douea. Et questo
etiandio si potrà far quando si uorra porre altro numero per tale differenza; sia Ter-
nario, ò Quaternario; moltiplicando sempre i termini radicali, ò non radicali di quell'
Inter-page 44 44 Ragionamento Interuallo, alquale si uorrà porre cotal numero per differenza de i suoi estremi: A questo
replicò M. Adriano: Spero d'auanzar molto da questi uostri Ragionamenti; & uscir fuori
della prattica; però seguitate, ui prego, à dimostrarci quello, che uoleuate dimostrare;
Et io soggiunsi à queste parole:

PROPOSTA IX.

L'Interuallo Superparticolare non riceue ne uno, ne più termini mezani rationali, che lo
partisca in due, ò più parti equali & proportionali.
SIA a. & c. Interuallo Superparticolare, i cui estremi, per la Precedente, siano diffe
renti per il Binario; onde uengono ad esser capaci d'un termine mezano; il qua
le Interuallo uogliamo diuider (se sarà possibile) in due parti equali rationa-
li; cioè, in ab, & bc, con certi & determinati numeri; per laqual cosa sia la b & c, come la
a & b. Riduco a. b. & c, secondo 'l modo mostrato nel Cap. 42. & 43. della Prima parte del
le Istitutioni
, alla sua Radice, & ne uiene d. e. f. tre termini proportionali nella propor-
tione a & b. Et perche de. si troua, come è ab; & ef. come bc; adunque, per l'equale pro
portionalità df. è come ac. Ma ac. è posto Interuallo superparticolare; però df. simi-
gliantemente è Superparticolare. Ma perche d. e. f. sono i minimi termini di tal'ordine;
però d. & f. primo & ultimo, per la nona definitione, sono numeri Contraseprimi. Hauen
do adunque mostrato d. con f. esser Superparticolare; per la Quinta Definitione, il d.
contiene f. & una sua parte Aliquota; la qual parte però, per quello, ch'io dichiarai nel
Cap. 23. della sudetta Prima parte, misura esso f. Et se tal parte uiene ad esser Numero;
misurando, per il Sesto parer commune, il d; misurerà anco se stesso, ch'è la parte caua-
ta, & lo restante, che uiene ad esser equale ad f. Et per tal modo d. & f. non uerranno ad
essere Insieme, ò Contraseprimi; della qual cosa già si è mostrato l'opposito, & l'impos-
sibile. Sarà adunque necessariamente tal parte la Vnità. Disse allora M. Desiderio; Que
sto è ueramente necessario; ma che ne segue per questo? Soggiunsi, ne segue, ch'io ag-
giungo essa Vnità ad esso f, & ne uiene g; di maniera, che g. & f. uengono ad esser lon-
tani l'un dall'altro per la Vnità solamente. Dico hora, per la Settima dignità, che quella
proportione, ch'è tra d. & f, è quella etiandio, che si troua tra g. & f; ma tra d. & f. fù
supposto, che casca un solo mezo; adunque, per la Penultima proposta simigliantemen
te tra g. & f; che sono numeri differenti per la Vnità; cascherà alcun numero mezano;
il che, per la Prima dimanda, è impossibile. Concludiamo adunque, che se l'Interual-
lo Superparticolare non riceue un termine mezano rationale, che lo diuida in due par-
ti equali & proportionali; che minormente ne riceuerà, per l'istesso argomento, molti;
come dice la proposta. Et questo è tutto quel, che si douea dimostrare. Allora M. Fran
cesco; Questo è troppo il uero; disse; ma non bastaua la Regola dell'Vnità, & del nume-
ro Quadrato, & del Cubo, che uoi diceste poco fà, per saper cotal cosa? Bastaua, dissi,
quanto al saper'ad un certo modo; ma per questo cotal cosa non si sapea semplicente; per
ciò che questo saper s'acquista col mezo della Dimostratione, la qual com'hauete ue-
duto)page 45 Primo. 45 duto) lieua ogni dubitatione. Intendo hora 'l tutto, rispose M. Francesco. Passiamo
adunque alla Decima proposta, dissi io.

PROPOSTA X.

Se un'Interuallo, il quale non è Molteplice sarà doppiato; quel che verrà da tal doppia-
mento non sarà ne Molteplice, ne Superparticolare.
ET che questo sia uero, statemi ad ascoltare. Sia l'Interuallo non Molteplice a &
b; & lo raddoppiato sia a & c; di maniera, che l'istessa proportione sia tra a & b,
che si troua tra b & c. Dico, che l'Interuallo a & c. non è Molteplice, ne Su-
perparticolare. Laonde se a & c. si porrà molteplice, non è dubio, che per la Sesta pro-
posta
, l'Interuallo a & b. sarà anco lui molteplice. Ma già habbiamo detto ciò esser im-
possibile; adunque senza contradittione alcuna, ne uiene il proposito. E' uero disse il Me
rulo; che non è Molteplice; ma non potrebbe egli esser forse Superparticolare? Questo è
anco impossibile; risposi. Et che questo sia uero, uerremo alla dimostratione, che farà
ogni cosa chiaro. Essendo a & b. di tanta proportione, di quanta è b & c; non è dubio,
che a & c. haurà un termine mezano proportionale, che lo diuiderà in due parti equali;
il che essendo palese, per la Precedente, esser'impossibile; è cosa anco per se stessa mani-
festa; che Se un'Interuallo non molteplice si uorra raddoppiare, che l'Interuallo com
posto non potrà esser, ne Molteplice, ne meno Superparticolare; secondo 'l nostro pro
posito. Non pote allora M. Adriano contenersi, che non dicesse; O come mirabilmente
tali dimostrationi sono insieme concatenate, che l'una con l'altra si uiene à porgere aiu-
to, non altrimente di quello che fanno le dimostrationi Geometriche; però meritamen-
te sono chiamate Elementi. Rispose il Viola; Veramente c'han detto bene quelli, che
l'hanno nominate con tal nome; percioche (come si uede manifestamente) l'una uiene
ad esser'elemento dell'altra. Et bene; disse il Signor Desiderio; poi che Elemento si chia-
ma quello, del quale si compone primieramente (come altre fiate si è dettoSupra dig.
2.
) alcuna co-
sa. Che ne dite uoi M. Claudio di questo? A questo ei rispose; Hò sempre udito dire,
che le Mathematiche sono Scienze, che hanno del diuino, & lo uedo hora in effetto,
con mia grande satisfattione. Soggiunsi allora. Poi che fin qui ui sete compiaciuti
di tutto quel ch'io hò detto; non mi rincrescerà di seguitar il resto; però notate quel
che in questa proposta ui uoglio dimostrare.

PROPOSTA XI.

Se 'l si raddoppierà un'Interuallo, & che quel che nascerà da tal raddoppiamento non
sarà Molteplice; esso Interuallo etiando non sarà Molteplice.
DISSE allora M. Adriano; questa Proposta mi par la rouerscia di quella, c'hora
hauete dimostrato; percioche in quella l'antecedente dalle Parti aggiunte in-
sieme, nega il tutto; & in questa dal tutto si negano le Parti. Voi dite bene;
diss'io; però seguitando l'impresa dirò; Sia a. & c. l'Interuallo raddoppiato, come è po-
stopage 46 46 Ragionamento sto nella Precedente; & non sia a. & c. Interuallo molteplice. Dico simigliantemente,
l'Interuallo a & b. non esser molteplice. Percioche se a & b. è Interuallo molteplice;
nascendo a & c, per quel c'habbiamo supposto, dall'Interuallo a & b. raddoppiato; per
la Terza proposta di questo ragionamento, l'Interuallo a & c. sarà etiandio Molteplice.
Ma quel ch'è posto non è molteplice; adunque, Se l'Interuallo non Molteplice nasce-
rà dal raddoppiamento d'alcun Interuallo, ne anco esso raddoppiato sarà Molteplice.
Et questo è quello, ch'io intendea di dimostrarui. Disse qui il Viola; Fin'hora hauete
proceduto chiaramente tanto, ch'io credo, che cosa alcuna non resti, che non sia chia-
ra & palese; però ui preghiamo à seguitar cosi facilmente il resto; che ui udiremo con gran
piacere. Mi sforzerò, dissi; di satisfarui. Ma notate, auanti ch'io uenga all'altra Propo-
sta: percioche è cosa alquanto difficile; che le Parti, che si nominaranno in essa, si ha-
urano da intendere, per quei Numeri, per i quali i Termini maggiori continenti l'In-
teruallo sopr'auanzaranno i minori, di una delle lor parti Aliquote; come della loro Me-
tà, ò della Terza, ò della Quarta, ò d'altra parte simile. Onde auiene che tali Termini
si hauranno da considerar, come un Tutto aggregato de tante delle sudette Parti; quante
sono l'Vnità che contengono. Et accioche mi possiate meglio intendere; proponerò i
termini del primo Interuallo superparticolare, detto Sesquialtero; che sono 3. & 2. de i
quali il 3. sopra'auanza il 2. per la Vnità; la qual senza dubio uiene ad essere la sua Me-
tà intiera; ò Meza parte, come dir la uogliamo. Laonde il 3. è considerato come
Tre meze parti; & il 2. come due metà; come si può dir anco nel Sesquiterzo, contenu-
to tra i termini 4 & 3. dell'Vnità; percioche il 4. superando il 3. per essa Vnità ella uien
ad esssere la Terza parte del minore. Onde cotali termini uengono à rappresentare tante
delle sudette parti, quante Vnità contengono. Però si dè auertire prima questo, che
poste insieme al numero de tante, quante Vnità si trouano nel termine minore; si dicono
restituire il loro Tutto, intesa la cosa à cotal modo, Dopoi à questo numero se n'aggiun
ge un'altra maggiore per una unità; & per tal modo questi due Numeri saranno quei
mezi, da i quali nascerà la Dimostratione. Et perche credo che habbiate inteso quello,
ch'io uoglio dire; però senza dir'altro, uerrò alla Dimostratione. Allora ch'io hebbi fini-
to di dire; disse il S. Desiderio; questa è stata una buona & necessaria preparatione; sen-
za la quale potea essere qualche difficultà; ma questa leuarà ogni cosa: però M. Giosef-
fo ui preghiamo à seguitare il uostro ragionamento; & dimostrar questa cosa con quella
breuità & facilità, più che sia possibile. Ilche hauendo inteso, dissi; Attendete alla pro-
posta la qual sarà questa.

PROPOSTA XII.

Il numero delle Parti di qual si uoglia Interuallo Superparticolare, le quali poste insie-
me facciano un Tutto; et un'altro Numero maggior di esso per l'Vnità; ci di-
mostra, quanti maggior termini dell'Interuallo, à i minori insieme aggiunti corri-
spondono.
ET tenetela bene alla memoria: percioche porrò ogni mia industria, per satisfar
ui. Incomincierò adunque con l'aiuto del Signor Iddio. Sia a & b. Interual-
lo Superparticolare; è manifesto dalla Quinta definitione de i Superparticolari,
a. contenere il b. & una delle sue Parti; la quale sarà c. & costituirà b. suo Tutto, secon- do 'lpage 47 Primo. 47 do 'l numero d. Ma sia oltra di questo e. numero maggior di d. per l'Unità. Dico
hora a. preso secondo 'l numero d. esser equale à b. preso secondo 'l numero e. Impero-
che a. preso secondo d. contengono b. preso secondo d. & di più le parti di b. prese anco
secondo d. Ma si è detto, queste hauer già costituito un b. adunque a: preso secondo d.
contiene b. preso secondo 'l numero maggiore di d. per una unità; Ma e. è posto numero
maggiore di d. per una Vnità; adunque a. preso secondo d. contiene il b. preso secondo
e. come douea dimostrare. Ma di bisogno è, che cotal cosa si consideri in uniuersale; an
cora che nell'essempio habbia posta la proportione & Interuallo particolare. Conside-
rasi però à qual modo si uoglia; sempre tornerà bene, & si dimostrerà quest'esser uero. De
sidero, disse M. Adriano; che ui lasciate intender un poco meglio, s'è possibile; pur con l'
essempio posto di sopra, col chiamar l'Interuallo col suo proprio nome; acciò s'inten-
da meglio. Messere ui uoglio al tutto satisfare; risposi. Poniamo adunque a & b, come di so-
pra facemmo, Interuallo Sesquialtero; Et perche a & b. è Sesquialtero; però per la Quin
ta definitione
, a. contiene il b. & la sua metà; Ma due metà, per la Terzadecima dignità,
restituiscono il loro Tutto; adunque due a. che sono d, sono tanto, quanto sono tre b.
che sono c. Et perche due a. contengono due b. & di più due metà di esso b. lequali fanno
un b. intiero; però due a. contengono tre b. & diuengono à tre equali. Di maniera, che
data qual si uoglia Superparticolare, i maggior termini, secondo 'l minor numero della
proportione, sono equali à i minori, pigliati secondo 'l minore; come bisognaua dimo-
strarui. Io son satisfatto; disse M. Adriano; & credo, che chi uolesse dimostrar l'altre
Specie di questo genere, ch'altra differenza non ui sarebbe, che le Parti; percioche
nell'Interuallo Sesquiterzo u'intrarebbe la terza; nel Sesquiquarto la quarta; & cosi per
ordine l'altre: di maniera ch'essendo cosi, non accade sopra ciò far altra diceria. Però buō
sarebbe, che 'l si andasse di lungo, senza perder tempo sopra questa cosa. Poi che cosi ui
piace; risposi; seguirò à proporui la Terzadecima proposta, la quale sarà questa:

PROPOSTA XIII.

I Termini maggiori di qual si voglia proportione, presi secondo 'l numero de i minori,
sono equali à minori presi secondo 'l numero de i maggiori.
ETpage 48 48 Ragionamento ET di ciò eccoui l'essempio, il quale ui seruirà non solo ne i Molteplici, ò Super-
particolari; ma etiandio ne gli altri Generi di proportione. Sia adunque a
& b. qual si uoglia proportione; & sia a. il suo termine maggiore, & b. il mino-
re. Dico che a. preso (per la precedente) secondo 'l numero b, ch'è minore, è equale à b,
pigliato secondo a. numero maggiore. Imperoche è manifesto, che quel che nasce del-
la moltiplicatione di a in b, il quale è c; è equale à quel che produce la moltiplicatione
di b in a, che è d. Ma quel che nasce dalla moltiplicatione di a. in b, è a. preso secondo 'l
b; & quel che nasce dalla molteplicatione di b in a, è b. preso secondo a; come dimo-
stra la Precedente; adunque a. preso secondo il b, è equale à b. preso secondo a; come do
uea dimostrare. Et se uolete, ch'io discenda al particolare, com'hò fatto nella Preceden
te, lo farò uolentieri; acciò restiate da me satisfatti. Non accade; disse M. Francesco;
percioche la cosa è tanto da sè chiara, che non fà dibisogno d'altra espositione. Verre-
te adunque all'altra proposta, se ui è in piacere. L'altra proposta, che segue, soggiun-
si, è questa.

PROPOSTA XIIII.

Quando alquanti de i Termini maggiori d'un'Interuallo sono equali ad alquanti de i
minori; si ritroua quella proportione tra uno de i maggiori & uno de i minori, che si
troua etiandio in uno de i minori adunati insieme, ad uno de i maggiori insieme
aggiunti.
QVESTA disse M. Adriano; mi par la precedente riuoltata, s'io non m'inganno.
Non u'ingannate punto Messere; dissi; Auertite adunque che, per la Preceden
te
, i Numeri minori raccolti insieme secondo 'l Numero maggiore, sono equali
à i maggiori adunati secondo 'l numero de i minori; ma 'l Numero de i maggiori è un ter
mine maggiore; Adunque quellistessa proportione si troua tra un de i maggiori ad uno de
i minori, che si troua anco tra uno de i numeri minori raccolti, al numero de i maggio-
ri posti insieme. Parmi, disse il Merulo, che cosa sia molto , & che questo
forsepage 49 Primo. 49 forse auenga, perche non è troppo in uso; però dateci per uostra fè meglio ad intender
questa proposta con un'essempio; accioche quello, che à noi è tanto oscuro, si faccia lu-
cido & chiaro. Sono queste cose ueramente difficili, M. Claudio; risposi; ma l'uso di es-
se ui leuerà nelle sequenti dimostrationi la difficultà. Ascoltate però quel ch'io ui uo-
glio dire. Habbiamo, per la Precedente, che In ogni genere di proportione, se 'l nu-
mero maggiore è comparato al minore, che 'l maggiore preso secondo 'l numero del mi-
nore, è equale al minore, preso secondo 'l numero del maggiore; onde si uede nella Ses-
quialtera; che due 3. numeri maggiori sono equali à tre 2. numeri minori. La onde in
ogni Genere di proportione, tanta è la proportione contenuta ne i termini radicali di
qual si uoglia Interuallo; quanta è quella, ch'è contenuta ne i termini non radicali mol-
tiplicati ò raddoppiati essi radicali termini. Et per darui un'essempio ne i Superparti-
colari; dico; Quando due maggiori sono equali à tre minori, Quattro à sei, Sei à noue,
& Otto à dodici, l'un de i maggiori ad uno de i minori, & tale Interuallo è Sesquialte-
ro; allora quella proportione, che si troua tra 3 & 2. numeri radicali, ch'è Sesquialtera;
si troua anco tra 6 & 4; & tra 9 & 6; come anco si troua tra 12. & otto; i quali sono Nu-
meri non radicali di tal proportione. Et ne i Molteplici, quando Vno sarà equale à Due,
due à Quattro; & quattro ad Otto; & il maggior è duplo al minore; allora tanta sarà la
proportione dupla tra 2 & 1. quanto tra 4 & 2. & anco tra 8 & 4. percioche 'l maggior è
doppio al minore, il che si può dire anco de gli altri Generi; che per esser cosa chiara,
non mi uoglio sopra ciò molto distendere. Ma ne i Numeri composti, ò Composte pro-
portioni è da auertire; che quando 2. saranno equali à 4 1/2. allora saranno due congiun
te Sesquialtere; & quando 2. saranno equali à 6. 3/4. saranno tre; com'allora saranno
due congiunte Sesquiterze, quando 3. saranno equali à 5 1/3. & 3. saranno equali à 7 1/9.
ò in altre simili, che nascono dal loro raddoppiamento & più oltra. Ma allora cotal co-
sa ui sarà facile da intendere; quando hauerete compreso tutto quel ch'io ui son per di-
re. Ascoltate dunque attentamente, & tenetelo à memoria. Ma auanti ch'io ui dimo-
stri in qual maniera si componghino, ò molteplicano questi Interualli ne i Numeri com-
posti; uoglio che uediamo, in qual maniera.

PROPOSTA XV.

Si può trouar qual si uoglia parte Aliquota, ò Nonaliquota d'un numero dato.
QVESTO sia detto quanto alla proposta; ma uoglio anco aggiungerui un Co-
rollario, che gentilmente da essa nasce; accioche habbiate la cosa perfetta; il
qual sarà questo.

COROLLARIO.

Onde auiene; che la Parte di qual numero si uoglia, è numerata da esso, & denomina-
ta dal Denominatore di cotal parte.
CRedo, che ui ricordate quel che sia parte Aliquota, & Nōaliquota; però nō starò qui
à replicar cosa alcuna. Chiaritemi hora d'un dubio; disse il Sig. Desiderio; & poi se
guitate il uostro parlare; Si può diuider l'Vnità, essēdo appresso i Mathematici in
diuisibile? A questo risposi; Io dissi ancora, dichiarādoui la prima Dimāda, che i Numeri ap
presso i Filosofi4. Phy.
cap. 3.
si trouano esser di due maniere, delle quali la prima, è detta Numero nume
rāte; & la secōda Numero numerato. I primi sono un'essēplare & una Idea nell'Anima no
Dimostr. Harm. D stra;page 50 50 Ragionamento stra; & la lor Vnità non si può à patto alcuno diuidere; ma ne i secondi; come sono nelle
Cose naturali i numeri de i Mouimenti; nelle Geometriche le Linee, Superficie, Corpi
& altri simili; nell'Astronomiche i Numeri de i tempi; & nelle Musicali il Numero de gli
Interualli. l'Vnità loro; anzi per dir meglio; la cosa intesa per l'Vnità, è diuisibile in più
parti, senza contradittione alcuna. V'hò inteso, disse allora il Sig. Desiderio; che uoi
intendete del Numero numerato, & della sua Vnità in questa proposta; se ben'hauete
fatto quel discorso sopra la prima dimanda, il quale troppo ben mi ricordo; tuttauia hò
uoluto chiarirmi; acciò non prendessi errore. Cosi bisogna intender (soggiunsi) questa
cosa, come u'hò detto; onde tornando al mio primo proposito, dico; Sia a. qual numero
si uoglia, del quale sia ricercata una delle Parti denominata da b. Riduco prima a. in tut
te le sue parti denominate dal b. Denominator della parte; Moltiplicando esso b. Deno
minator del numero a. di modo che ne nasce c. E' manifesto, che le parti c. denominate
insieme dal Denominator b. saranno eguali à tutto 'l numero a. Diuido adunque c. per
il b. Denominatore, & risulta d. onde dico d. esser la parte Aliquota di a. ricercata; & da
esso a. numerata; cioè, dal numero b. denominante esso a. Ma che d. sia la parte di a. de-
nominata dal Denominator b. come contiene il Corollario; da questo sarà manifesto;
perche molteplicato b. in d. per la Terza dimanda, di nuouo produce il c. però d. è par-
te di c. denominata dal Denominator b. Ma d. si agguaglia alla a. adunque d. è parte di
a. denominata dal b. Et che 'l d. sia numerato da a. è manifesto; perche molteplicato a nel
b. produce il c. Adunque, per la Seconda Dimanda, il c. diuiso per il b. ritorna a. Ma
essendo diuiso l'istesso c. per il b. prima ueniua d. adunque a. numera il d. una fiata: & per
tal modo la proposta uiene ad esser manifesta insieme col suo Corollario. Disse allora il
Viola; Voi proponeste di dimostrarci anco la parte Nonaliquota; nondimeno non l'ha-
uete ancora dimostrata; però se 'l ui piace di pagar'il uostro debito, fate uoi. E' il doue
re, risposi, & uoglio; ma non m'hauete lasciato finir di dir quello, ch'io uolea; percio-
che bisognaua prima ragionar sopra il Corollario, & dimostrar ch'era uero; però per sa-
tisfare alla proposta, dico; che se la parte, che si uorrà cauar del Numero dato sarà Non-
aliquota; è necessario, ch'ella habbia il Numeratore, che sia altro numero, che la Vnità.
Onde poniamo, che 'l Numerator della parte ricercata secondo 'l Denominator b. sia e.
molteplicheremo e. in d. & haueremo f. la quale dico esser la parte Nonaliquota di a. per
cioche f. uiene ad essere il d. molteplicato secondo 'l Numeratore e. Et questo è tutto quel
lo, che per pagare il mio debito ui doueua dire. Allora disse il Viola; Son in tutto satis-
fatto: però seguitate quello, c'hauete da dire. La onde seguitai in questo modo; per fi-
nir quello c'hauea da dire. Vi uoglio oltra di ciò auertire; che d. è il Numerator della par-
te Aliquota ritrouata di a. numero dato, & f. è il Numerator della Nonaliquota; Ma il
b. uiene ad esser il commune Denominator dell'una & l'altra. Allora disse M. Adriano;
Haurei molto caro, se far si potesse, che questa proposta ci dimostrasti con Numeri sem-
plici; percioche questi termini a. b. c. & gli altri, che da i Filosofi sono detti Termini igno
ti, ouero Incogniti, alle fiate non hanno quella forza, che hanno i Numeri semplici; massi
mamente quando sono posti in prattica; ancora che non si può negare, che la dimostratio
ne, che hauete fatto con tali termini, & con i numeri dati ancora, sia chiara. Io ui uoglio
al tutto satisfare dissi; s'io potrò Messere; & accioche con un'essempio uediate il tutto;
Siapage 51 Primo. 51 Sia ricercato, come di sopra ho dimostrato, la Parte della somma di 16; & sia tal parte
1/15; Molteplico primieramente 16 & 15. denominatori & numeratori de cotali parti l'un
cō l'altro, & ne uiene 240/15; imperoche tante Quintedecime contiene il 16. risolto in parti.
Diuido poi 240. per il 15, & ne risulta 16/15; i quali sono la Quintadecima parte di tutta
la somma de 240. parti. Onde il 16. anco uiene ad esser la Quintadecima parte. Ma
16/15 contengono la Vnità & 1/15; adunque la Vnità con 1/15 appresso sarà la Quintadeci-
ma parte di 16. numero dato; la quale è parte Aliquota. Ma per hauer la parte Non-
aliquota; moltiplicando la parte Aliquota per il Numerator della parte Nonaliquota,
haueremo sempre quel che cerchiamo; come si uede nell'essempio posto di mezo; che
moltiplicato il 4. per il 2. Numerator della parte 2/3, hauemmo 8/3; cioè, 2 2/3, ch'è la
parte non Aliquota di 4. ricercata. Di modo che uolendo la Parte di qual si uoglia nu-
mero proposto; operando à questo modo; sempre si quel che si cerca. Ma uenia-
mo all'altra proposta.

PROPOSTA XVI.

Qual si voglia dato Interuallo ne i suoi termini radicali, si può moltiplicar quante
fiate si vuole tra Numeri composti.
DESIDERO; disse qui M. Adriano; saper quello che intendiate qui per Nume-
ro composto. Al quale risposi; Io chiamo in questo luogo Numero composto
quello; che contiene in sè un numero intero, & qual si uoglia sua parte; come è
3 1/8; ouer 4 2/3 de i quali, il 3. & il 4. non sono numeri composti; ma semplici, &
1/8 & 2/3 sono le parti; di modo che 3 1/8. è composto di 3. numero semplice, & di
1/8. sua parte; & 4 2/3. è composto di 4. numero semplice medesimamente, & di 2/3, che
sono parti di esso 4; cioè, parte Nonaliquota. Siano adunque a. & b. i minimi termini
di qual si uoglia Interuallo, il quale uogliamo moltiplicare. Ritrouo prima, secondo 'l
modo mostrato nel Cap. 25. della Prima parte delle Istitutioni il Denominatore della
sua Proportione; il quale è c, che contien l'Vnità; la quale dimandarò Numero; & una
parte, sia poi Aliquota, ò Nonaliquota; oueramente un Numero, con la nominata
Parte. Moltiplico poi il numero c in a, & ne uiene d; il che fatto, per la Precedente, ri-
trouo la parte di a, secondo la parte di c; la qual uiene e; & questa aggiungo con d. &
ne nasce f. Dico hora, per la Settima dignità, che la proportione; che si troua tra f. & a.
è simile à quella, ch'è posta tra a. & b. percioche tanto uiene c. diuiso f. maggior termi-
ne della proportione fa. per a. termine della proportione a. b. quanto diuiso a. minor
termine della fa. per il b. minor termine di essa ab. Habbiamo adunque secondo la pro
posta, molteplicato l'Interuallo fa. con Numeri composti al dato ab. contenuto ne i
suoi radicali Termini; come ui douea dimostrare. Chi uorrà; disse il Merulo; à questi due
moltiplicar'un'altro Interuallo simile, tra gli istessi Numeri composti, che ordine haurà
egli da tenere? L'ordine istesso, risposi. Soggiunse ancora M. Claudio; Per uostra fè di-
mostrateci il modo. Bisognerà dissi, primieramente moltiplicar'il numero di c. in f. & ne
uerrà g. dopoi bisognerà cauar, per la Precedente, la parte di g. secondo la parte di c. on
de ne uerrà h. la quale aggiungeremo con g. & nascerà K. che con f. senza dubio alcuno,
per la Settima dignità nominata; contenerà quella proportione istessa, che si troua tra a
& b. percioche molteplicando b. maggior termine di Kf. per il b. minor termine di ab. ne
nascerà l. come etiandio nascerà, moltiplicando f minor termine di Kf. con a. maggior ter
Dimost. Harm. D 2 minepage 52 52 Ragionamento
mine della proportione ab. Et questo è quello, che m'hauete proposto, ch'io ui douesse
dimostrare. Onde uolendone ancora aggiunger un'altro, & poi un'altro; tenendo
quest'ordine, si potrà andare in infinito, & hauere il proposito. Che ui par Messe-
re? disse il Viola; parmi che bisogna saper'adoperar ben la penna, & far ben con-
to, à chi uuol intendere, & porre in atto queste cose. Vi sò che dire, che non biso-
gna esser grosso di ceruello; rispose M. Adriano; per che non si farebbe cosa alcuna
di buono. Ma che uorrete soggiungere à questa M. Gioseffo? Questa; risposi io; che

PROSTA XVII.

L'Interuallo Duplo nasce dalla congiuntione de i due maggiori Superpartico-
lari.
ET che questo sia uero, lo uederemo tosto. Sia b. c. l'Interuallo Duplo, & sia ab.
Sesquialtero, & bc. Sesquiterzo. Dico ac. nascer dalla congiuntione di ab.
con bc. Et perche ab. è Sesquialtero; però, per la Quinta definitione, a. con-
tienepage 53 Primo. 53 tiene il b. una fiata, & una sua meza parte; adunque, per la Duodecima proposta,
due a. sono equali à tre b. Et di nuouo; perche b & c. è Sesquiterzo; però, per l'istessa De-
finitione, il b. contiene il c. una fiata & una sua Terza parte. Adunque tre b. sono equali
à quattro c. & due a.sono posti equali à tre b. adūque due a. sono equali à quattro c. Essen
do per il Decimo parer commune, che Quelle cose, lequali ad una cosa istessa sono equa
li, tra loro etiandio sono equali. Et 4. numero de i minori adunati insieme è il doppio,
per la Quartadecima proposta, de due maggiori posti insieme: adunque, per l'istessa Quar
tadecima, uno a. sarà doppio ad un c. Ma perche 'l Sesquialtero & lo Sesquiterzo: per
l'Ottaua, & per la Nona dignità; sono tra i Superparticolari i due maggiori; però dico,
che l'Interuallo Duplo nasce dalla congiuntione de i due maggiori Superparticolari, co-
sa, che ui douea dimostrare. Dopo questo aggiunse M. Adriano: Si può anco dimostrar
questa propositione, secondo che mi pare, per un'altra strada; & questo col mezo della
Duodecima dignità; & mi dà l'animo di saperlo fare. E' uero quel che uoi ditte Messe-
re; risposi; & quando la dimostraste, dareste da intendere in fatto, che uoi intendiate
benissimo quel che fin'hora hò detto; però fate quel che ui piace. Voglio prouar per
ogni modo; soggiunse egli. Dico adunque, ch'essendo due a. del uostro proposto essem-
pio equali à quattro c; come hauete concluso; uno a, per la Dignità nominata, uiene à
farsi equale a due c. Imperoche, Di quelle cose, delle quali Tutti sono equali, equali so-
no etiandio le lor parti: Ma perche due c. sono il doppio di uno; adunque uno a. equale
à due c, sarà il doppio di un c. Ma a & c, nasce dalla congiuntione di ab. & ac, che so-
no (come hauete prouato) due maggiori superparticolari; adunque l'interuallo Duplo
nasce dalla congiuntione de i due maggiori superparticolari. Fatto che egli hebbe cota-
le proua egli dissi: Voi sete in fatto un gran picciolo, Messere; sete come 'l Pepe, il-
quale è piccolo in quantità, ma è grande in uirtù & possanza; percioche ui sete dimo-
strato un gran Discepolo in poco tempo. Che ui par Signor Desiderio, non s'hà egli
diportato bene? Ben ueramente; rispose egli; & non m'ha ingannato punto, di quel ch'
io credeuo di lui; percioche sempre hò hauuto M. Adriano, per huomo di bello ingegno.
Ringratio V. Signoria (rispose M. Adriano) di questo fauore; ma lasciamo per uostra
fè queste parole da un canto, & stiamo à ueder quello che uorrà aggiungere M. Giosef-
fo; & non ci partiamo dall'ordine incominciato. Quello, ch'io uoglio aggiungere, dissi;
sarà; che quest'istessa proposta ui uoglio dimostrare con un'altro mezo, se non ui rincre-
sce l'ascoltarmi. Come rincresciere? soggiunse M. Desiderio; non ci potete fare il mag-
gior fauore, ne apportarci maggior diletto, che seguitar quello, c'hauete ;
percioche io per me non credeua di ueder cotante cose uarie della Musica. Co 'l no-
me di Dio adunque; dissi; & ripigliai il ragionamento in questo modo. Sia ab. Inter-
uallo Sesquialtero; & bc. Sesquiterzo. Dico a. con c. esser'Interuallo Duplo. Faccio prima
a. equale al b, & ne uiene d; & sopra auanza e; dopoi faccio b. equale al c; & nasce f, & auan
za g. il che fatto, dico; perche a. è Sesquialtero con b; e. uiene ad esser la Terza parte di a
& la metà di b. Simigliantemēte, perche b. è Sesquiterzo con c; g. uiene ad esser la Quarta
parte di b. & la Terza di c. Onde essendo g Quarta parte di b; & e. la sua metà; g sarà la me
Dimost. Harm. D 3 page 5454 Ragionamento tà intiera di e. Ma habbiamo detto e. esser la Terza parte di a; adunque g. sarà la sua Se-
sta parte. Et perche g. è la Terza parte di c. & la Sesta di a; però a, per la Quarta
definitione
, sarà Duplo al c. Ma 'l Sesquialtero & lo Sesquiterzo (per la Quinta defini-
tione
) sono denominati, l'un dalla metà & l'altro dalla Terza parte; le quali sono (per la
Nona dignità) le maggior parti di qual si uoglia altra; Adunque questi due Interualli
sono i maggiori nel genere Superparticolare. La onde nascendo l'Interuallo Duplo dal
la congiuntione loro; potiamo dire, che nasca dalla congiuntione de i due maggiori Su
perparticolari. Et tutto questo è quello, ch'io ui douea dimostrare, secondo la propo-
sta; dalla qual cauaremo questo Corollario:

COROLLARIO.

Ond'è manifesto, che la Dupla è reintegrata, ò vogliamo dir restituita, ò composta della Ses-
quialtera & Sesquiterza proportione, come da sue parti principali.
ET questo sarà prouato dalla Quarta dimanda, la qual dice; che La proportione
de gli estremi di qual proportione si uoglia, ouer Interuallo, si dice esser com-
posta de i suoi mezi proportionali; come da sue parti. Bella dimostratione ue-
ramente è stato questa; disse il Signor Desiderio; & mi è sommamente piaciuta; però
seguitate quello, che ui torna più al proposito. Mi torna hora commodo il dimostrarui,
soggiunsi; che

PROPOSTA XVIII.

Aggiunti insieme i due maggiori Superparticolari, nasce l'Harmonica proportiona-
lità.
PE sia a. b. c. Interuallo Duplo, nato; per la Precedente; dalla congiuntione
de i due maggiori superparticolari; ab. Sesquialtero, & bc. Sesquiterzo. Dico
dall'Interuallo a & c. composto in tal maniera nascer l'Harmonica proportiona
lità. Faccio adunque primieramente a. equale al b, di modo che sopr'auanzi d; il qua-
le sia la differenza, che si troua tra a & b. dopoi faccio simigliantemente b. equale al c. di
tal sorte, che soprauanzi e. & e. sia la differenza che si troua tra b & c. Dico hora; per-
che d. contiene e. due fiate di punto, per la Quarta definitione, d. uiene ad esser duplo
allo e; ma a. simigliantemente; per la Precedente; è posto duplo al c. adunque, per la
Settima dignità; ac. & de. sono Interualli contenuti da un'istessa proportione. Et per-
che tra i maggiori termini ab. per la Ottaua dignità; si troua la proportione maggio-
re, & tra i minori, che sono bc. si troua la minore; però, per la Terzadecima de-
finitione
, dico; che tra i termini a. b. c. si troua la proportionalità, ò mediocrità
Harmonica; essendo aggiunti i due maggiori Superparticolari interualli insieme; come
proposi à dimostrarui. Ogni cosa torna bene; disse allora M. Adriano; Ma ditemi per
nostra fè; s'io trouerò l'Interuallo Duplo composto (per dir com'hauete detto) d'una
Sesqui-page 55 Primo. 55 Sesquiterza & d'una Sesquialtera, tra questi termini. 4. 3. 2. ouer'altri simili; come mol
te fiate n'hò ritrouato, non si potrà forse dire, che tali Interualli si trouano in Harmoni-
ca proportionalità ordinati? Si potrà ben dire, diss'io, Messere; ch'ello sia Interuallo
cōposto de i due nominati; ma non già, che tal ordine posto sia in proportionalità har-
monica. Per qual cagione? disse egli; non è ello composto de quelli Interualli, che en
trano nella uostra proposta? Che l'interuallo Duplo sia composto d'un Sesquialtero &
d'un Sesquiterzo semplicemente; risposi; non è cagione, che tale Interuallo contenga
la Proportionalità harmonica; ma si ben consiste nell'ordine; percioche bisogna, che le
Proportioni siano ordinate in tal maniera; oltra le proportioni, che si trouano tra le diffe-
renze, & tra gli estremi, lequali uogliono esser simili; che ne i termini maggiori si troui
la maggior proportione, & tra i minori la minore. Percioche (come nel Cap. 40 della
Prima parte delle Istitutioni
, degno di esser considerato dichiarai) il Musico se ui ricor-
date Messere) uà facendo & cauando sue ragioni dal Tutto & dalle Parti fatte del Cor-
po sonoro; sia poi chorda, ò qual si uoglia altra cosa, che torni al proposito; ilqual Cor-
po è diuisibile in infinito. Onde intende & piglia in qual ordine si uoglia di proportio-
ne il numero maggiore per il Tutto del Corpo sonoro diuiso in tante parti & non il mi-
nore. Il perche accommoda sempre i termini maggiori de gli interualli al Tutto fatto in
parti, & gli altri nel restante; secondo le parti, che considera; & come che per loro natura
accommodar si debbono, secondo i loro gradi per ordine. Però uedete, che i termini,
i quali hauete proposto, sono posti al contrario; perche tra i numeri maggiori si ritroua la
proportione minore, & tra i minori la maggiore. La onde si uede dalle differenze loro,
che sono Vnità tra loro equali, che tali termini sono ordinati in progressione, ò come
più ui piace di dire, proportionalità Arithmetica, & non in mediocrità, ò proportio-
nalità Harmonica; come dall'Vndecima definitione si può comprendere. Intendo ho-
ra il tutto; disse M. Adriano; poi che mi hauete ridutto alla memoria questo Capitolo;
ma in uero non mi ricordaua tanto inanzi. Et quando non haueste hauuto altra ragio-
ne, che dirmi; era a bastanza la Definitione, c'hauete allegato. Ma non mi scorderò più
quello chauete detto in esso; cioè, che i Termini, che usa il Musico sono parti del Cor-
po sonoro; & quelli che usa l'Arithmetico, sono cose, ouer'Vnità moltiplicate; come
sono quelle che sono contenute ne i termini, ch'io ui proposi, & non le parti del nomina-
to Corpo. Cosi è ueramente; soggiunsi; però per l'auenire quando uedrete ch'io pro-
ponerò un numero in atto; sempre lo prenderete per tante parti fatte del Corpo sonoro,
le quali dinota esso Numero. Et quando ne uedrete più di uno in un'altro ordine; sempre
piglierete il maggiore per il Tutto del detto Corpo fatto in tante parti, & gli altri intende
rete per quelle che succedono. Questa disse M. Francesco; è stata un'altra buona lettione
& molto utile; percioche ancora non hauea inteso, in qual modo applicauate questi Nu-
meri, ò termini al detto Corpo Attendete adunque, dissi io, & non ui lasciate uscir di
memoria quello, ch'io uò dimostrando; percioche potrebbe esser causa di confusione.
Ma uenendo alla proposta, dico:

PROPOSTA XIX.

Tra due dati termini di qual si voglia proportione, si può ritrouar'il mezano, il quale
costituisca la Proportionalità harmonica; ouer quello che faccia la Contr'harmonica,
ne i suoi termini radicali.
SIANO a. & b. termini radicali della proposta proportione, tra i quali habbiamo
da ritrouar il mezan Termine, ouer'harmonico Diuisore. Et perche a. & b. so-
no termini differenti l'un dall'altro per l'Vnità; & non riceuono, per la prima
Dimanda
, tra loro alcun mezano termine; però adunaremo prima insieme a & b. & ne
Dimost. Harm. D 4 nasce-page 56 56 Ragionamento nascerà c. Questo molteplicato con i detti a & b. ci darà d & e. i quali conteneranno, per
la Quinta Dignità, l'istessa proportione, che contiene ab; & saranno capaci di cotale ter
mine nominato. Onde moltiplicando poi a. co 'l b. haueremo f. che, raddoppiato, ci darà
g. il quale senza dubio alcuno sarà il ricercato Mezano termine, che costituirà l'Harmo
nica proportionalità ne i suoi termini radicali, tra dg. & e. Et per dimostrarui questi,
piglio la differenza, che si troua tra d & g, la quale è h. & quella, ch'è posta tra g & e. la-
quale è k. & dico: perche la proportione h & k. hà gli istessi termini, da i quali è conte-
nuta etiandio la proportione a & b. però, per la Settima Dignità, tanta è la proportione
h & k. quanta quella de i dati termini a & b. M'habbiamo già detto, che tanta è la pro-
portione di d. & e. quanta quella di a. & b. adunque tanta è quella delle due differenze
h. & k. quanta quella de gli estremi d. & e. Onde, per la Terzadecima definitione, la
qual dice; che Se saranno tre quantità sonore poste in ordine di maniera, che la proportio
ne, la qual si troua tra le differēze del maggiore al mezano, & di questo al minore, sia equa
le à quella, che si troua tra le differenze de i nominati termini; dico, che tra due dati termi
ni habbiamo ritrouato 'l mezano, il quale costituisce l'Harmonica proportionalità. Et per
che d. g. e. sono numeri Contraseprimi; percioche non hanno altra misura tra loro com
mune, che l'Vnità; però dico, per la Nona definitione, tal proportionalità esser con-
tenuta ne i suoi termini radicali; come dice la proposta. Et questo è tutto quello, ch'io
ui douea dimostrare. A questo disse M. Adriano; Questa cosa è molto bella & ingegnosa;
onde io soggiunsi; E' anco una delle mie Inuentioni; & non sono molti giorni, che af-
faticandomi di ritrouar il mezan termine della Contr'harmonica, ritrouai questo bel
modo, facile & presto. Soggiunse anco M. Adriano; Voi tenete, se ben mi ricordo, un'
altro ordine, nel ritrouar questo termine mezano nelle Istitutioni.2. par. Cap.
39.
E' uerò, risposi; & co
tal modo serue molto à dimostrar (se ui ricordate1. par. cap.
40.
) la conformita della proportionalità
Arithmetica con l'Harmonica; la qual cosa mi diede occasione di discorrere sopra dell'
una & dell'altra molte cose. Mi ricordo; ei rispose; ma ditemi per uostra fè; questa maniera
di ritrouar questo mezano termine, è ello commune à gli altri Generi di proportione?
E commune per certo, dissi; & serue à qual Genere si uoglia; purche si tenga 'l modo &
l'ordine, c'hò dimostrato. Aggiunse anco egli; Nella Contr'harmonica poi, come si ri-
troua questo mezano termine? Et io; In un modo bello & anco breuissimo. Ma sappia-
te, che se ben questa proportionalità è Antichissima, & che di lei molti n'habbiano fat-
to mentione; tuttauia quanto all'uso di essa, non sò se ritrouarete alcuno, che n'habbia
parlato, & c'habbia detto, in qual cosa l'Huomo di essa se ne possa seruire. A questo dis-
se il Signor Desiderio; Io mi ricordo d'hauerla ueduto ueramente in Boetio;Arith. lib.
2. cap. 51.

& 53.
ma non mi
poteua imaginare, à che potesse seruir nella Musica; onde la teneua quasi per cosa su-
perflua. Ma non mi dispiacerà conoscere, in qual modo ella sia utile in questa Scienza,
la quale col mezo delle sue Dimostrationi si mostra tanto copiosa, tanto ricca, & tanto
abondante de cose; che non credo, ch'alcuni sciocchi potranno più dire, che la Musica
non sia speculatiua. O ueramente sciocchi, gli risposi; anzi goffi che sono costoro, se si
penssassero, che si potesse dire, ò scriuere ogni cosa, che si ritroua in questa Scienza; per-
cioche ogni giorno nasce qualche bel dubio; & qualche bella consideratione di maniera,
che la cosa uà in infinito. Ma ritorniamo al nostro proposito. Siano (come di sopra) a.& b.
terminipage 57 Primo. 57 termini radicali d'alcuna proportione, tra i quali uogliamo ritrouare un Mezan termi-
ne contr'harmonico; & siano d. & e (com'anno di sopra) termini capaci di cotal me-
zo, continenti la proportione, che si troua tra a & b. Dico, che se noi cauaremo b. mi-
nor termine de i primi dal maggiore, ch'è a; & moltiplicaremo il prodotto per l'istesso
b. & quello che uerrà da tal molteplicatione cauaremo dal d. maggior de i secondi; uer-
rà f. che sarà il Mezano termine, ò ricercato Diuisore, che costituirà la Contr'harmoni-
ca proportionalità. Et per dimostrar questo; cauo prima la Differenza, che si troua tra
d. & f. maggiori termini de i secondi, & ne nasce g. dopoi cauo quella, che si troua tra f.
& e. & ne uiene h. onde dico; perche tra a. b & g. h. ui è simiglianza de termini; però,
per la Settima Dignità, ui è anco simiglianza di proportione. Ma, per la Definitione
Decimaquarta
; Quando tra le differenze di tre dati termini, & i loro estremi si trouerà si
miglianza di proportione, allora si dirà che tal ordine sia fatto secondo la proportionalità
Contr'harmonica; il perche ritrouandosi tale simiglianza tra de. & gh. seguita, che tra d. f.
& e. sia costituita la proportionalità nominata. Tra due termini dati, adunque, di qual
si uoglia proportione, habbiamo ritrouato 'l Mezano, il quale costituisce la Contr'har-
monica proportionalità, secondo ch'io ui douea dimostrare. Questo modo; disse M.
Claudio; è ello, commune ad ogni sorte di proportione? Ben sapete, risposi. In ueri-
tà; soggiunse il Signor Desiderio; ch'è anche lui molto bello & facile. Ma uenite à di-
mostrarci qualche altra cosa. Cosi uoglio fare, risposi; ascoltatemi prima, & manda-
te alla memoria questi Versi ch'io ui reciterò; acciò più facilmente ui ricordate le Re-
gole, ch'io ui hò dato per ritrouare i Mezani termini de queste due proportionalità; &
sono cotesti.
Se vorrai ritrouare tra due numeri

Dati, che un terzo sia Mezano harmonico;

Fà che tu aggiunga insieme cotai numeri;

Et quel che nascerà con quei molteplica;

Et ne uerrà due altri maggior numeri.

Fatto questo, bisogna che molteplichi

I due Dati tra loro, & che raddoppij

Il prodotto, & uerrà 'l sudetto harmonico.

S'anco delli due Dati il minor numero

Leuarai dal maggior; fà che 'l residuo

Con il minor insieme tu molteplichi;

Et quel che nasce dal maggior de i termini

Leua, e tra lor quello ch'auanza colloca,

C'hauerai lo mezano Contr'harmonico.

Questi Versi non mi dispiaceno, allora disse il Signor Desiderio; poiche le cose mathe-
matiche per la lor natura presto si partono delle menti nostre; onde saranno cagione di
far, che nō cosi facilmente cotesta cosa si scompagnarà da noi; essendo che 'l Verso per sua
natura non si domentica tanto facilmente, quanto auiene della Prosa; però hauendo fat-
to questo poco di guadagno, ui prego M. Gioseffo, à seguitare il resto. Sappiate adun-
que questo, dissi, essere infallibilmente uero, come ui dimostrerò, che:
Sianopage 58 58 Ragionamento

PROPOSTA XX.

Diuiso l'interuallo Sesquialtero da un mezano termine harmonico, ne nasce un Sesqui-
quarto & un Sesquiquinto.
SIANO a. b. c. l'Interuallo Sesquialtero diuiso, per la Precedente, da b. mezano
termine harmonico, in ab. & bc. dico da tal diuisione nascere il Sesquiquarto,
& lo Sesquiquinto; il primo tra ab, & lo secondo tra bc. Et perche a. contiene
b. una fiata & la sua quarta parte; però, per la Quinta definitione, dico a. essere al b. Ses-
quiquarto. Simigliantemente, perche b. contiene c. una fiata & una sua Quinta parte;
però, per la Definitione nominata, b. con c. è Sesquiquinto. Ma perche ac. è interuallo
Sesquialtero, & da b. termine Mezano harmonico è diuiso in ab. Sesquiquarto, & in b
c. Sesquiquinto; però dico, che Diuiso l'Interuallo Sesquialtero da un termine harmo-
nico mezano, nasce un Sesquiquarto & un Sesquiquinto; come dimostrar ui douea.
Et à questo aggiungerò, il seguente Corollario, ilquale sarà; che

COROLLARIO.

De qui auiene, che l'Interuallo Sesquialtero è reintegrato dal Sesquiquarto & dal
Sesquiquinto, come da sue parti principali; & che cauato l'uno de questi da esso ne-
cessariamente, resta l'altro.
IL che è troppo manifesto. Chi uolesse negare questo, disse M. Claudio, si po-
trebbe porre nel Numero de i pazzi. A questo, dissi; uoglio hor'aggiunge-
re; che.

PROPOSTA XXI.

L'Interuallo Sesquiquarto si diuide da un mezano termine harmonico in un Sesquiotta-
uo, & in un Sesquinono.
VDITO che hebbe il Signor Desiderio questa proposta; prorupe in que-
ste parole; Mi souiene hora, che io non hò mai ritrouato, che gli Antichi hab-
biano considerato altra diuisione Harmonica, che quella della Dupla; on-
de mi pare, che ciò potesse procedere, ò da ignoranza, ò da troppo superstitione.
O, non dite cosi; gli risposi à questo; credo che più tosto gli Antichi fussero super-
stitiosi, che ignoranti; se ben si può credere, che dalla ignoranza de molte cose, da
quel che già dissi, & da quello che uederete scritto ne i miei Sopplimenti;Lib. 3. c. 5.
& 6.
non fussero al
tutto liberi; poi che loro non intesero i Gradi delle Consonanze. Onde procedeua 'l tut-
to, dal non uolere admettere alcuno Interuallo, che fusse minor della Diatessaron, nel
numero loro; del che quanto s'habbiano ingannato, la proua, che facciamo ogni gior-
nopage 59 Primo. 59 no del Ditono & del Semiditono, che sono due parti, che nascono dalla proposta & dimo
strata diuisione, ce lo manifesta: Ma ueniamo alla sua dimostratione. Siano a. b. c. l'inter
uallo Sesquiquarto, diuiso, per la proposta, dal b. Mezano termine Har
monico in due parti, a. b. & in b. c. Dico che da tal Diuisione nasce l'Interuallo Sesquiot
tauo, & lo Sesquinono; percioche se a. contiene il b. con una sua Ottaua parte, non è du-
bio; per la Definitione de i Molteplici, che a. & b. sia Interuallo Sesquiottauo. Al medesi
mo modo; perche b. contiene il c. una fiata & una sua Nona parte; però, per l'istessa De
finitione, il b. & c. sarà interuallo Sesquinono. Il perche dico, Diuiso l'interuallo Sesqui-
quarto da un mezano termine Harmonico, come dice la proposta, si diuide in un Sesqui
ottauo & in un Sesquinono; come ui douea dimostrare. A questa etiādio aggiūgerò; che,

COROLLARIO.

De qui nasce, che dall'Interuallo Sesquiottauo & dal Sesquinono il Sesquiquarto è reinte-
grato, come da sue parti principali.
VOI non dite cosa alcuna, disse Messer Adriano; de gli Interualli, che sono mag
giori della Dupla. Et io à lui; Anzi ue ne uoglio hora dire; perche questo è il
suo luogo; che,

PROPOSTA XXII.

Dall'interuallo Duplo & dal Sesquialtero aggiunti insieme, nasce l'interuallo Triplo, ilqual
contiene l'Harmonica proportionalità.
QVESTA proposta non mi par molto difficile, disse il Viola; anzi molto simile ad
alcuna delle già dimostrate. Questo è uero, soggiunsi; però uolendola dimo-
strare, dirò in questo modo. Sia prima a. b. c. Interuallo composto di a. b. Du-
plo, & di b. c. Sesquialtero. Dopoi sia la d. la differenza, che si troua tra a. & b. & sia anco
c. quella, che si troua tra b. & c. Dico hora a. esser Triplo al c. & a. b. c. esser ordinati in Har
monica proportionalità. Et perche a. ueramente è doppio al b. però a. per la Quarta de-
finitione
, contiene il b. due fiate; adunque per la Duodecima proposta, uno a. si troua es
ser equale à due b. Simigliantemente; perche b. c. è Sesquialtero; però il b. contiene, per
la Quinta definitione, il c. una fiata & la sua metà; Adunque per l'istessa Duodecima, due
b. sono equali à tre c. & due b. erano equali ad uno a. adunque tre c. simigliantemente so
nopage 60 60 Ragionamento no equali ad uno a. Ma tre sono Tripli ad uno; adunque, per la quarta decima, uno a. è
Triplo ad uno c. come primieramente dimostrarui douea. Ma perche la proportione del
le differenze contenute ne i termini d. & e. uiene ad esser Tripla; essendo che 'l d. contiene
tre fiate e. & già per la Dimostratione habbiamo a. & c. esser Triplo; però, per la Settima
dignità
, & per la Decimaterza, ne segue; ch'essendo d. & e. differenze de i sopra dati ter
mini a. b. c. simili in proportione con a. c. estremi termini; che a. b. c. siano collocati in Har
monica proportionalità; come secondariamente ui douea dimostrare. Hora dopo que-
sta seguitarò dirui; che,

PROPOSTA XXIII.

L'interuallo Duplo raddoppiato constituisce un'interuallo Quadruplo, & insieme la Geome-
trica proportionalità.
SIA a. b. c. interuallo Duplo raddoppiato, per la Terza di questo; & sia a. b. Duplo,
& b. c. simigliantemente Duplo. Dico a. esser Quadruplo al c. Et perche a. è dop
pio al b. però due b. sono equali ad uno a. Et di nuouo; perche b. è doppio al c.
però due c. sono equali ad uno b. Ma se due c. sono tanto quanto è un b. quattro c. saran-
no equali à due b. ma due b. sono posti equali ad uno a. adunque quattro c. saranno equa
li ad uno a. Et perche quattro sono in proportione Quadrupla ad uno; però, per la Quar
tadecima proposta
, uno a. è Quadruplo ad un c. Et questo è quello, che primieramente
douea dimostrare. Ma perche a. b. c. è interuallo d'un Duplo raddoppiato; & il Duplo,
per la Quarta definitione, è Molteplice; però seguita, che l'Interuallo a. b. c. sia interual-
lo Molteplice raddoppiato. Ma i termini di qual si uoglia interuallo Molteplice raddop-
piato, per la Quarta proposta, constituiscono la proportionalità Geometrica; adunque
a. b. c. interuallo Duplo raddoppiato constituisce la proportionalità Geometrica. Et que
sto è quello, che secondo la proposta, ui douea secondariamente dimostrare. Sete arriuato
alla Quadrupla, disse M. Adriano; non credo già, che uorrete passar più oltra; però c'ha
uerete più da dirci? Attendete pur Messere, risposi; che se ben non uoglio trappassare
i termini della Quadrupla, non mancano le cose da proporui. Onde hora ui uoglio di-
mostrare; come noi.

PROPOSTA XXIIII.

Potiamo ritrouar'un Termine minore, al quale potremmo assegnar quante proportioni Su-
perparticolari vorremo.
QVEpage 61 Primo. 61 QVESTO apunto mi piacerà di uedere, disse M. Claudio. Et io à punto son qu
per satisfarui, gli risposi. Sia adunque il nostro principale intendimento, di ritro
uar un Termine, ò Numero minore, al quale possiamo assegnar due, ò più In-
terualli diuersi di proportione; & siano a. b. & c. d. le proportioni, che uogliamo assegna
re, contenute ne i lor termini radicali. Primieramente molteplico insieme b. & d. termi-
ni minori de gli Interualli: a. b. & c. d. onde ne uiene e. il quale dico esser il Numero mino
re ricercato; percioche cauando primieramente, per la Quintadecima proposta, la par
te di e. secondo 'l d. uiene f. il quale aggiunto con e. nasce g. Et perche g. contiene e. & u-
na sua parte; come etiandio contiene al medesimo modo c. il d. però dico, per la Settima
dignità
, tanto esser la proportione di g. con e. quanta quella di c. con d. Cauo secondaria
mente, per l'istessa Quintadecima, al medesimo modo, la parte di e. secondo b. la qual
uiene h. & questa aggiungo con e. onde risulta k. Ma perche k. contiene e. una fiata &
una sua parte; come anco a. contiene al modo medesimo il b. però dico, per l'istessa Set-
tima dignità
, tanta esser la proportione di k. e. quanta quella di a. b. Et perche habbia-
mo assegnate le Proportioni proposte a. b. & c. d. al numero e. però dico, che habbia-
mo ritrouato un numero minore, al quale potiamo assegnar quante proportioni Super-
particolari uogliamo; secondo la proposta. Et questo è quello, ch'io ui uolsi dimostrare.
Vi uoglio anco auertire una cosa; che si può ritrouar cotale termine, il quale sarà il mag-
giore; operando però tutto al contrario di quello, che habbiamo fatto à ritrouar'il mino
re; onde questa sarà la proposta.

PROPOSTA XXV.

Si può ritrouar'vn termine maggiore, al quale si potrà assegnar quante proportioni Super-
particolari farà dibisogno.
A QVESTO, disse M. Claudio; Parmi uedere uno de quelli Contrapunti doppij,
che uoi insegnate nelle Istitutioni;3. par. cap.
56.
& 62.
ilche molto mi diletta; però dimostrateci que
sta anco; poi che si procede al contrario della Precedente. Onde soggiunsi; Vo-
lendo ritrouar'il proposto termine, dico: Sia il proposito nostro di ritrouar un Numero, ò
Termine maggiore, al qual si possa assegnare i termini minori de più Interualli differen-
ti di proportione; & siano a. b. & c. d. constituiti ne i lor termini radicali. Molteplico pri-
ma a. & c. maggiori termini delle proposte proportioni a. b. & c. d. & ne risulta e. Dico e.
esser'il Termine maggiore, al quale potremmo assegnar le date proportioni a. b. & c. d. on
de fatto questo, dopoi per la Quintadecima di questo nostro ragionamento, piglio la par
te di e. secondo c. maggior termine della proportione c. d. la quale uiene f. questa cauo
di e. & ne nasce g. Dico hora, per la Settima dignità, tra e. & g. esser quella medesima pro
portio-page 62 62 Ragionamento portione, ch'è collocata tra c. & d. percioche tante fiate contiene e. il g. & una sua parte;
quante fà il c. il d. Piglio di nuouo, per la nominata Quintadecima, la parte di e. secon
do a. maggior termine della proportione a. b. & ne uiene h. ilquale cauo di e. & ne nasce
k. la onde dico, per l'istessa Dignità, tanta esser la proportione di g. & k. quanta quella di
a. b. percioche g. contiene tanto una fiata il k. & una sua parte; quanto fà a il b. Ma per
che habbiamo assegnato al numero e. le proportioni proposte a. b. & c. d. secondo 'l pro-
posito; però dico e. esser'il ritrouato numero, ò termine maggiore, secondo la proposta.
Et questo è tutto quello, ch'io ui douea dimostrare. Ma auertite, che nella Precedente
bisogna incominciare à giunger le Parti dalle proportioni, che minor denomina-
tore; & in questa, da quelle, che l'hanno maggiore. Disse allora M. Claudio; Si può ben
ueramente dire, che si proceda al contrario; & pur troppo mi son accorto nel dimostrar
la proposta, che l'hauete osseruato; però dimostrateci qualch'altra cosa. Io uoglio ch'in-
cominciamo hora, risposi; adoperar queste proposte; però ascoltate.

PROPOSTA XXVI.

Se da vn'interuallo Sesquialtero si leuerà il Sesquiterzo, quel che verrà sarà Sesqui-
ottauo.
ET sia a. termine maggiore, ritrouato per la Precedente, al quale sia assegnato b.
sesquiterzo, & c. Sesquialtero. Da a. c. cauo a. b. Sesquiterzo, lasciando da un
canto b. c. il quale dico esser Sesquiottauo. Imperoche essendo a. Sesquialtero
al c. a. contiene esso c. una fiata & la sua metà. Il perche, per la Duodecima di questo,
Due a. sono equali à tre c. & Quattro à Sei; & Sei à noue. Oltra di questo; perche b. è
Sesquiterzo di a. adunque a. contiene in se il b. & una sua Terza parte; onde nasce, che,
per la nominata Duodecima, Tre a. sono equali à quattro b. & Sei ad otto. Ma Sei a. so-
no già equali à Noue c. adunque Otto b. sono equali à noue c. per la Decimaquarta adū-
que; il b. contiene il c. & la sua ottaua parte; & b. e. per la 5. Definitione; Sesquiottauo
al c. come ui douea dimostrare.

COROLLARIO.

Onde nasce, che l'interuallo Sesquiottauo è la differenza, per la quale il Sesquialtero so
pr'auanza il Sesquiterzo interuallo.
QVE-page 63 Primo. 63 QVESTA è cosa, disse M. Adriano; che si tocca con le mani, & non si può nega-
re. Onde ripigliai dopo questo il mio ragionamento in questo modo. Dirò adun
que aggiungendo la uentesimasettima proposta.

PROPOSTA XXVII.

Se dall'interuallo Sesquiterzo si leuerà il Sesquiquinto, quel che risulterà, sarà Ses-
quinono.
SIA hora per la proposta, a. il termine maggior ritrouato, al
quale sia assegnato il b. Sesquiquinto, & il c. Sesquiterzo. Leuo da a. c. Sesqui-
terzo, a. b. Sesquiquinto; lasciando da un canto b. c. & dico b. c. esser'Interual
lo Sesquinono. Imperoche essendo a. Sesquiterzo al c. a. contiene il c. una fiata & una
sua terza parte; onde Tre a. uengono equali, per la Duodecima proposta, à quattro c.
Sei, ad otto; Noue, à dodici; Dodeci, à sedici; & Quindeci, à uenti. Simigliantemen
te, perche b. è Sesquiquinto alla a. però a. contiene una fiata il b. & una sua Quinta par
te; onde, per l'istessa Duodecima, Cinque a. sono equali à sei b. Dieci, à dodici; & Quin
deci, à diciotto. Ma Quindeci a. sono posti equali à Venti c. adunque Venti c. sono equa
li à Diciotto b. La onde, per la Decimaquarta proposta di questo nostro ragionamen-
to, il b. contiene il c. & la sua Nona parte; adunque b. c. per la Quinta definitione, è Ses-
quinono; come ui douea dimostrar, secondo la proposta.

CORROLLARIO.

Et de qui nasce, che l'interuallo Sesquinono è la differenza, che si troua tra la Sesquiterza
& la Sesquiquinta proportione; per laquale quella viene ad esser'à questa superiore.
QVESTO aggiunto, disse il Viola; è tanto chiaro, che non hà dibisogno d'altra
espositione; però al uostro bel piacere seguitarete quello, che più ui torna com-
modo. Cosi son per fare, risposi; la onde dico; che,
PRO-page 64 64 Ragionamento

PROPOSTA XXVIII.

Se dall'interuallo Sesquiterzo si cauerà il Sesquiquarto, il rimanente sarà Sesquiquin
todecimo.
QVESTA proposta dimostraremo à questo modo. Sia a. il termine minore, per la
Ventesimaquarta, ritrouato. Faccio b. Sesquiquarto con a. & c. Sesquiterzo an
cora con a. il che fatto, leuo b. a. Sesquiquarto, da c. a. Sesquiterzo; & lascio da
un canto c. b. il perche quest'Interuallo; senza dubio alcuno, è Sesquiquintodecimo.
Onde dico; poiche c. uiene Sesquiterzo con a. c. contiene a. una fiata & la sua Terza par
te; la onde, per la Duodecima proposta, tre c. sono equali à quattro a. sei, ad otto; no-
ue, à dodeci; dodeci à sedeci; & quindeci, à uenti. Oltra di questo; perche b. con a. è
Sesquiquarto; però b. contiene a. & una sua Quarta parte; onde auiene, per la detta
Duodecima, che quattro b. sono equali à cinque a. otto, à dieci; dodici, à quindeci;
& sedeci, à uenti. Ma Quindeci c. erano equali à uenti a. adunque sedici b. sono equali à
quindeci c. Per la Quartadecima adunque già nominata, il c. contiene il b. & una sua
Quintadecima parte; & c. per la Quinta definitione, è al b. Sesquiquintodecimo; come
ui douea dimostrare.

COROLLARIO.

Onde è manifesto, che l'interuallo Sesquiquintodecimo è la differenza, che casca tra la Ses-
quiterza & la Sesquiquarta proportione.
QVI il Sig. Desiderio, non è contraditione alcuna, disse; onde bisogna dire,
che quando à questo ultimo Interuallo si aggiungerà il primo; che 'l secondo
uerra ad esser integrato di tutta la sua proportione. Non ella cosi M. Gioseffo?
Cosi è senza fallo, gli risposi; onde uerrò ad un'altra proposta.
PRO-page 65 Primo. 65

PROPOSTA XXIX.

Se da un Sesquiquarto si leuerà un Sesquiquinto interuallo, quello che nascerà sarà Sesqui-
uentesimoquarto.
SIA a. termine maggiore, ritrouato secondo la Ventesimaquinta proposta. Pri-
mieramente faccio b. Sesquiquinto con esso a. dopoi faccio c. etiandio con esso
lui Sesquiquarto; & da a. c. cauo a. b. Sesquiquinto; onde resta da una parte l'in-
teruallo b. c. il quale dico essere Sesquiuentesimoquarto; dimostrandolo à co-
testo modo. Essendo a. Sesquiquarto al c. non è da dubitare, che a. contenga il c. & una
sua Quarta parte. Il perche dico quattro a. essere equali à cinque c. otto, à dieci; dodici,
à quindeci; sedeci, à uenti; & uenti, à uenticinque. Et perche b. etiandio è Sesquiquin-
to di a. però a. contiene il b. & una sua Quinta parte. Onde nasce, che cinque a. sono e-
quali à sei b. dieci, à dodici; quindeci, à diciotto; & uenti, à uentiquattro. Ma perche
hò detto, uenti a. essere tanto quanto uenticinque c. però dico ancora, che uentiquattro
b. sono equali à uenticinque c. Et per la Quartadecima proposta simigliantemente dico,
che il b. contiene il c. una fiata & una sua Ventesimaquarta parte. Onde b. c. uengono à
contenere l'interuallo Sesquiuentesimoquarto; come ui douea, secondo quello, ch'io hò
proposto, dimostrare.

COROLLARIO.

Onde auiene, che 'l Sesquiuentesimoquarto interuallo è la differenza di quanto il Sesquiquar
to supera lo Sesquiquinto.
MARAVIGLIANDOSI grandemente il Sig. Desiderio della facilità & modo
non cosi esposto da ogn'uno del dimostrare, disse; O' quanto sono chiare que-
este dimostrationi; onde chi uolesse opponersi, per mia opinione, haurebbe gran
demente del pazzo. Veramente, che cosi sarebbe, gli risposi; ma ueniamo pur'ad un'
altra proposta.
Dimostr. Harm. E PRO-page 66 66 Ragionamento

PROPOSTA XXX.

Se da vno de i Tre maggiori de i Quattro primi interualli Superparticolari, si leuerà qual
si voglia de i tre minori; quel che nascerà, sarà etiandio Superparticolare.
SIANO a. e. a. d. a. c. & a. b. i Quattro Primi interualli Superparticolari; come
a. e. Sesquialtero, a. d. Sesquiterzo, a. c. Sesquiquarto, & a. b. Sesquiquinto;
assegnati, per la Ventesima quinta, al termine a. Et siano a. e. a. d. & a. c. i tre
maggiori; & a. d. a. c. & a. b. i tre minori. Dico, sel si leuarà un de questi, sia qual si
voglia, da uno de i tre primi; che quello che uscirà, sarà simigliantemēte Superparticola
re. E' manifesto, per la Decimasettima di questo, gli interualli Sesquialtero & Sesquiterzo
esser Massimi superparticolari; & per l'Ottaua dignità; l'interuallo Sesquialtero è mag-
gior del Sesquiterzo; percioche anco il suo Denominatore è maggiore. Se noi adunque
dall'interuallo Sesquialtero a. & e. il quale è il primo & maggior de i tre maggiori de i su
detti quattro Superparticolari, leuaremo il Sesquiterzo a. & d. che è il primo & maggio-
re di ciascheduno de i tre minori; resterà d. & e. il quale dico, per la Ventesimasesta pro-
posta
, esser Sesquiottauo. Et perche d. contiene e. una fiata & una sua parte Aliquota; pe
rò, per la Quinta definitione, d. & e. uiene ad esser'interuallo Superparticolare. Hora se
da a. & e. Sesquialtero leuaremo a. & c. Sesquiquarto, ilquale è il secondo de i minori; per
il Corollario della Ventesima proposta; resterà c. & e. Sesquiquinto. Et perche c. cōtiene
e. una fiata, & una sua Quinta parte; però, per la istessa Quinta definitione, c. & e. uiene ad
esser collocato tra i Superparticolari. Ma se da a. & e. di nuouo cauaremo a. & b. Sesqui
quinto, ultimo Interuallo de i minori; per l'istesso Corollario, ne uerrà b. & e. Sesqui-
quarto, il quale medesimamente, per la Suppositione, è Superparticolare. Et que-
sto sia detto intorno quello, che si può dire del Primo interuallo de i tre maggiori. Ma
uenendo al Secondo dico; essendo a. & d. Sesquiterzo; se da lui cauaremo a. & c. Ses-
quiquarto; quel che uerrà, per la Ventesimaottaua, sarà c. & d. Sesquiquintodecimo.
Et perche c. contiene il d. & una sua Quintadecima parte; però, per la sudetta Definitio-
ne
, c. d. è interuallo Superparticolare. Ma se di nuouo da a. & d. Sesquiterzo cauaremo
a. & b. Sesquiquinto; ne uerrà, per la Ventesimasettima, un Sesquinono; il quale dico es-
ser'interuallo Superparticolare; percioche d. contiene una fiata il b. & una sua Nona par
te. Vltimamente; se da a. c. Sesquiquarto leuaremo a. b. Sesquiquinto; per la Precedēte,
nepage 67 Primo. 67 ne uerrà b. c. Sesquiuentesimoquarto. Et perche b. contiene il c. intieramente una fiata &
una sua Ventesimaquarta parte, chiamata Aliquota; però b. c. per la detta Quinta defi-
nitione
, uiene connumerato tra gli interualli Superparticolari. Adunque; Se da uno de
i tre maggiori de i quattro primi interualli Superparticolari, si leuerà qual si uoglia de i
tre minori; quel che uerrà, sarà etiandio Superparticolare. Et questo è tutto quello, che
secondo la proposta ui douea dimostrare. A questo M. Adriano tutto allegro disse; Que-
sta dimostratione mi è molto piaciuto, perche hà dell'ingegnoso; però seguitate pur'un'al
tra; che queste cose non mi lasciano sentir dolore alcuno. Mi piace Messere, dissi; che que
sti Ragionamenti seruino per medicina al uostro male; però molto uolentieri uoglio se-
guitare, & dimostrarui; che,

PROPOSTA XXXI.

Se da un'interuallo Sesquiottauo si leuerà il Sesquinono, il rimanente sarà Sesquiottan-
tesimo.
SIA a. il termine maggiore, ritrouato per la Ventesimaquinta; & sia a. b. Sesquino
no, & a. c. Sesquiottauo. Leuo da a. c. l'interuallo a. b. onde ne resta b; c. il quale
dico infallibilmente esser Sesquiottantesimo; percioche, essendo a. c. Sesquiotta
uo; a. contiene il c. una fiata & la sua Ottaua parte; Onde per la Duodecima di questo, Ot
to a. sono equali à noue c. Sedici, à diciotto; & proportionatamente ascendendo (per nō
andar'in lungo) Ottantauno c. sono equali à Settantadue a. Di nuouo dico; perche a. è
Sesquinono di b. contiene a. il b. una fiata, & la sua Nona parte. Onde auiene, per la sudet
ta Duodecima, che Noue a. sono equali à dieci b. Diciotto, à uenti; & cosi (ascendendo
con l'istessa progressione, & con l'istess'ordine) Settantadue a. saranno equali ad Ottanta
b. Ma habbiamo già detto, che Settantadue a. sono equali ad Ottantauno c. adunque
Ottantauno c. sono tanto, quanto Ottanta b. Il b. adunque contiene il c. una fiata & la sua
Ottantesima parte. Et b. c. come ui douea dimostrare, è interuallo Sesquiottantesimo;
secondo che si è proposto.
Dimostr. Harm. E 2 CO-page 68 68 Ragionamento

COROLLARIO.

Onde manifestamente appare, che l'interuallo Sesquiottantesimo sia la differanza, che si
troua tra 'l Sesquiottauo & il Sesquinono interuallo.
MA perche è cosa, che si tocca con le mani; però passaremo ad un'altra dimostra
tione, laquale sarà la sequente.

PROPOSTA XXXII.

Se dall'Interuallo Sesquiquintodecimo si leuerà il Sesquiuentesimoquarto, quel che sopr'auan
zerà sarà Supertripartientecentesimouentesimoquinto.
SIA, per la Ventesimaquarta di questo,a termine, al quale sia assegnato
b. Sesquiuentesimoquarto, & c. Sesquiquintodecimo. Dico, che cauando b.
a. interuallo Sesquiuentesimoquarto da c. a. Sesquiquintodecimo, ne rimane-
rà c. b. il quale è Supertripartiente 125. Imperoche c. contiene a. & una sua
Quintadecima parte; onde, per la Duodecima proposta, Quindeci c. sono equali à sede ci a. Trenta, à trentadue; Quarantacinque, à quarantaotto; & cosi ultimamente, accre
scendo secondo l'Arithmetica progressione, Trecento settantacinque c. saranno equali
à Quattrocento a. Et perche b. a. è Sesquiuentesimoquarto; però b. contiene a. & una sua
Ventesimaquarta parte; onde nasce, per la sudetta Proposta, che Ventiquattro b. sono e-
quali à uinticinque a. Quarantaotto, à cinquanta; & cosi per Arithmetica progressione,
per non andar più di lungo; Trecento ottantaquattro b. sono equali à Quattrocento a.
Ma habbiamo già detto, che Trecentosettantacinque c. sono equali à Quattrocento a.
adunque Trecentoottantaquattro b. sono equali à Trecentosettantacinque c. Et per la
Quartadecima proposta, dico; che 'l c. contiene il b. una fiata & tre centesimeuentesime
quintepage 69 Primo. 71 quinte parti; onde c. per la Definitione de i Superpartienti, è Supertripartiente 125.
al b. Ilche si può facilmente scorgere da i termini radicali di c. & b. i quali sono d. & e. ac
quistati dalla diuisione del Ternario, secondo 'l modo mostrato nel Cap. 43. della Prima
parte delle Istitutioni
, ne i termini c. b. a. onde nasce d. e. f. che sono Numeri Contrase-
primi; & per la Nona Definitione, Radice delle proportioni c. b. a. Il perche; Se dall'
interuallo Sesquiquintodecimo si leuerà il Sesquiuentesimoquarto, quel che uerrà, sarà
Supertripartiente centesimouentesimoquinto; Come ui douea dimostrare.

COROLLARIO.

Ond'è manifesto, che l'interuallo Supertripartiente centesimouentesimoquinto è la differen
za, che si troua tra lo Sesquiquintodecimo, & lo Sesquiuentesimoquarto; Et che l'inter
uallo Sesquiquintodecimo è reintegrato dal Sesquiuentesimoquarto & dal Supertripar-
tiente centesimouentesimoquinto; come da sue parti.
IO sò & sento insieme, c'hormai sarebbe hora di dar fine à questo nostro ; percioche è molto tempo, che siamo adunati in questo luogo, &
hormai son stanco per il molto ragionare; ma di gratia non ui rincresca l'ascol-
tarmi ancora un poco; Percioche desidero di finir di dimostrarui alcune cose, per non
hauer poi al nostro ritorno da far'altro, che dar principio à quello, ch'è il nostro princi-
pale intendimento, applicando tutte queste dimostrationi fatte fin'hora, & quelle poche,
ch'io son per dimostrarui, alle Consonanze & à tutti quelli Interualli, che sono nella Mu-
sica; essendo che queste sono come fondamento de quelle cose, che ui son per dire. Io
non desidero altro, disse il Sig. Desiderio; se non di udirui ragionare; perche mi pare,
che queste hore siano ben spese; & uoi credete, che m'habbia da rincresciere? seguitate
pur quel che ui piace, che tutti noi ui ascoltiamo uolentieri; perche in uero tutta la fati-
ca è uostra. Questa non mi è fatica, risposi; anzi piacere: la onde poi che non ui rincre-
sce, Seguiterò à dar fin'à quello, che dir ui uolea; il perche dico; che,

PROPOSTA XXXIII.

Il Restante d'una Parte maggiore, dalla quale ne sia cauata vna minore à lei più vicina, ò con-
tinua di qual si voglia Interuallo, aggiunto alla seconda, produce la prima.
BISOGNA che prima ci dichiarete la proposta, disse il Merulo, perche mi par dif ficile; & dopoi che ce la dimostriate. E' cosa honesta, dissi; però attendete. Vo-
glio dire; per farui capaci di questa cosa cō un particolar'essempio; che se da una
Terza parte di qual si uoglia Interuallo, leuarete la Quarta, che l'è minore & continua,
ò uogliate dir' uicina; quel che uerrà, che sarà il restante; aggiunto alla Quarta parte fa-
rà medesimamente la Terza. Et che questo sia uero, lo uederete prima in prattica; dopoi
ve lo dimostrerò, acciò lo sapiate, come saper si debbe. Quando adunque uorrete ca-
uare 1/4 di 1/3; che sono parti propinque l'una all'altra; prima molteplicarete cambieuol-
mente il Numerator dell'una co 'l Denominator dell'altra; ilche fatto, uerrà 3. & 4. che
saranno i Numeratori delle due parti, che nasceranno, simili alle parti proposte. Dopoi
molteplicarete i Denominatori delle proposte parti insieme, & ne uerrà 12. ilquale sarà
il Denominator de i detti due Numeratori; Percioche altro non è quel ch'io hò operato
fin'hora, che un ridur molte parti de diuersi Denominatori, sotto un solo. Onde da co-
Dimostr. Harm. E 3 talepage 70 70 Ragionamento
molteplicatione nasceranno & 3/12 & 4/12; de i quali il primo corrisponde à 1/4 , & il secon-
do à 1/3. Fatto questo, cauareteli 3/12 de i 4/12, & ne uerrà senza fallo1/12; il quale s'aggiun
gerete à 1/4, hauerete 1/3. Il che ui uerrà fatto, quando molteplicherete i Numeratori di
1/12 & di 1/4 scambieuolmente, per i Denominatori; sommando insieme i prodotti, &
molteplicando etiandio l'un per l'altro i Denominatori; ponendo il prodotto di questi
sotto una linea, & quello di quelli sopra; come uedete nell'essempio, che ui hò formato,
accioche piu facilmente m'haueste da intendere. Hora potrete dire, che cauato 1/4 di 1/3,
ne uiene 1/12; il quale aggiunto ad 1/4 rende di punto 1/3. Et questo si fà manifesto con la
Dimostratione, per tal modo. Se Tre terze parti d'un Interuallo fanno tutto l'Interual-
lo intiero, il che fanno etiandio Quattro quarte parti, ò Dodici duodecime parti; Tre
terze parti, & parti, simigliantemente Dodici duodecime parti sono
traloro equali. Onde auiene, che 2/4 sono equali à 6/12, & 1/4 à 1/12 & 2/3 sono anco equali à
1/12, & 1/3 à 4/12. Imperoche, per la Duodecima dignità; De quelle cose, delle quali i Tut
ti sono equali, equali etiandio sono le Metà loro. Ma 4/12 sono 1/3; adunque sono una Ter
za parte di tutto l'Interuallo, al quale Dodici duodecime sono equali, & con esso sono
una cosa istessa. Però adunque 1/4 minor parte di tutto l'Interuallo, ch'è equale (come
è mostrato) à 3/12, & 1/12 aggiunto ad 1/4, restituiscono 1/3; il quale è la parte maggiore
di esso Interuallo. Sono adunque l/4 & 1/12 equali ad un Terzo; come ui hò mostrato. On
de il restante d'una parte maggiore di qual si uoglia Interuallo, dalla quale sia cauata una
minore à lei piu uicina, ò continua, aggiunto alla seconda, produce la prima. Et que-
sto è quello, che secondo la proposta, dimostrarui douea. Et ancora che questa dimostra
tione sia ristretta in un particolare; tuttauia si uerifica uniuersalmente in due qualunque
si uogliano parte propinque & nell'Vniuersale, come sono una Quarta & Quinta parte;
perche aggiunto una Ventesima alla Quinta parte, uiene una Quarta intera. Simiglian
temente aggiunta una Sesta parte & una Trentesima, ne nasce una Quinta; il che si po-
trebbe anco dir dell'altre, le quali lascio per breuità. Il Merulo; hauendo io dato fine à
questa dimostratione; allora disse; Questo intendo hora benissimo, & ui ringratio della
fattica, c'hauete fatto à mia istantia. Al quale soggiunsi; Accioche uediate à che pro-
posito habbia introdotta questa proposta, hora lo mostrerò, & dirò in questa maniera.

PROPOSTA XXXIIII.

Due interualli Sesquiottaui sono minori d'un Sesquiterzo, & maggiori d'un Sesqui-
quarto.
SIANO adunque a. b. & b. c. due interualli Sesquiottaui, l'un dopo l'altro, per la Pri
ma proposta
di questo, molteplicati; di modo che a. b. sia il primo, & b c. il secondo,
a i quali (per più facilità) corrispōdino l. k. h. ancora per la Decimasesta, due inter
ualli Sesquiottaui moltiplicati tra i Numeri cōposti; cioè h. ad. a. k. al b. & l. al c. Et sia anco
a. & d. interuallo Sesqui 3. & a. cōe. Sesqui 4. Dico a. c. esser minor'Interuallo di a. d. & mag
giorepage 71 Primo. 71
giore di a. e. La onde perche a. è Sesquiottauo col b. però, per la Duodecima, Otto a. so-
no equali à noue b. Simigliantemente, perche b. è Sesquiottauo al c. per l'istessa Duode-
cima
, Otto b. fanno tanto, quanto noue c. Ma essendo (per la 14. proposta) un de i b. equa
le ad un de i c. & ad una sua Ottaua parte; 9. b. uengono equali à 10. c. & ad una Ottaua
parte, d'esso c Habbiamo però detto, 9. b. esser'equali ad 8. a. adunque 8. a. sono equali
à 10. e. & ad 1/8 parte. Ma 10. & 1/8 contengono 8. una fiata & 17/64. che sono una sua Quar
ta parte con 1/64. adunque per l'istessa Quartadecima proposta, uno a. contiene un c. & una
sua Quarta parte con 1/64. Et una Quarta parte con 1/64 sono il Denominatore dell'Inter-
uallo de due Tuoni molteplicati; & per l'Ottaua Dignità; minor di 1/3 parte, ch'è il De-
nominatore del Sesquiterzo, & maggior di 1/4. ch'è Denominatore del Sesquiquarto. Im
peroche, come anco particolarmente dimostrai nella Precedente 1/4 & 1/12. fanno una
Terza parte, ch'è maggiore, per l'istessa Nona Dignità, che non è 1/4 & 1/64 come questa
è maggior della Quarta parte; percioche la supera per 1/64. La onde, perche 10. & 1/8
parte, con 8. per la Sestadecima proposta, sono due Sesquiottaui insieme moltiplicati
tra i Numeri composti; però potiamo concludere, che due Sesquiottaui sono minori d'
un Sesquiterzo, & maggior d'un Sesquiquarto interuallo; come bisognaua dimostrare.
Questo non si può negare, disse M. Adriano. Ne questo anco, soggiunsi io, si potrà nega
re; cioè, che,

PROPOSTA XXXV.

Tre interualli Sesquiottaui sopr'auanzano un Sesquiterzo, & sono minori d'un Sesquialtero.
IL che si proua in questo modo. Siano a. b. c. d. tre interualli Sesquiottaui congiun
ti, per la Prima di questo; di modo che a. b. sia il primo, b. c. il secondo, & c.d. il
terzo. Et siano anco h. k. l. m. tre Sesquiottaui per la Decima sesta, moltiplicati
tra i Numeri composti, di modo che 'l maggior de questi corrispondi al minor de i primi;
& per ordine, il minore al maggiore. Dico primieramente a d. esser maggior d'un inter-
uallo Sesquiterzo; percioche essendo a. b. & b. c. due Sesquiottaui, per la Precedente;
per la Duodecima 8. a. sono tanto quanto 10. c. & 1/8 parte. Ma c. anco è Sesquiottauo al
d. per la detta Duodecima adunque; 8. c. sono equali à 9. d. & 9. c. sono equali à 10. d.
& 1/8 sua parte; & anco 10. c. & 1/8 numero composto è equali ad 11. d. & 25/64 pur compo
sto. Ma poi che 8/8 di c. contengono 9/8 di d. adunque, per la Quartadecima proposta, 1/8 di
c. contiene 1/8 di d. & la sua Ottaua parte, ch'è 1/64. Adunque 10. c. & 1/8 sono equali à 11.
d. & 25/64, che sono 3/8 & 1/64. & per la Decimaquarta nominata; si come 11. 3/8 & 1/64 sono
in proportione ad 8. cosi si troua esser'a. con il d. Ma 11. contiene una fiata 8. con 3/8 & 1/64.
Et queste parti col resto, che sono Denominatori dell'Interuallo, che fāno i quattro Tuo
ni proposti; per la Nona dignità, sono più della Terza parte del Denominator loro Adū
necessariamēte seguita; che 3/8 con 1/64 siano più della sudetta Terza parte. Imperoche 11.
Dimostr. Harm. E 4 &page 72 72 Ragionamento & 3/8 di uno & 1/64 contengono gli Ottaui una fiata & più della Terza parte loro. Onde
seguita, che a. contien d. & più d'una sua terza parte. Et perche a. con d. ouer h. cō m. per
la Decimasesta proposta, sono tre Sesquiottaui insieme aggiunti; però tre Sesquiottaui
sono più d'un Sesquiterzo interuallo. Secondariamente dico a.d. esser minore del Sesqui
altero; essendoche 11. contiene 8. & i suoi 3/8; adunque manca 1/8 al compimento di
4/8, i quali sono la metà de i Otto; che è il Denominatore dell'interuallo Sesquialtero. Ma
quelle parti, che superano, sono i 3/8 di 1/8 & 1/64, & fanno meno della metà di 1/8; ilche
anco minormente faranno. 1/8. Adunque 11. & 3/8 & 1/64 di uno contengono 8. una fia
ta & meno che la metà di 8/8 parti. Adunque, per la Quartadecima nominata, a. con-
tiene il d. & meno de la sua metà. Il perche ne segue, che l'Interuallo a. d. sia minor d'un
Sesquialtero. Et questo è tutto quello, che in tal proposta bisognaua dimostrare. Que-
sta è stata una lunga diceria, disse il Viola; & bisogna che tanto colui, che ascolta, quan-
to quel che dimostra, stia in ceruello; altramente le cose non passariano troppo bene. In
fatto, rispose M. Adriano; il commemorar tante parti contante minutie, fanno un gran
garbuglio à quelli, che non hanno molta prattica de i Numeri. Soggiunse à questo il
Sig. Desiderio; Veramente, che colui, ilquale non hà prattica delle cose dell'Arithme-
tica, non può ben intender le cose della Musica. Et però non è da marauigliarsi, s'alcu-
ni de i uostri Musici; dico de i bassi d'ingegno & di grosso & ottuso intelletto, non la uo
gliono assaggiare; anzi la sprezzano; Et questo auiene per la lor dapocaggine. Ma biso
gna hauer patientia; però non perdiamo tempo intorno à costoro. Voglio adunque dis-
si; che uediamo; che,

PROPOSTA XXXVI.

Se saran posti per ordine Tre termini, la proportione, che si troua tra gli estremi, sarà mag
gior, che quella di ciaschedun di loro da persè co 'l Termine mezano.
ET accioche intendiate questa, ch'è facile, state attenti. Siano a. b. c. Tre termini
posti per ordine; dico che maggior'è la proportione, che si troua tra a. & c. ter-
mini estremi, che non è quella di b. mezano termine con a. oueramente con
c. Imperoche essendo, per la Quarta dimanda, la proportione de gli estremi a. & c. com-
posta delle proportioni a. b. & b. c. come da sue parti; laproportione a. b. & la b. c. sono
parti della a. c. & la a. c. è il Tutto. Ma perche, per l'Vltima dignità, Ogni tutto è mag-
giorpage 73 Primo. 73 gior della sua parte; però è maggior la proportione di a & c. che non è quella di a & b.
ouer di b & c. come dice la proposta. Et questo è quello, che dimostrarui uolea. Et
questa maniera d'argomento seruirà ad ogni proposta simile. Veramente, disse M Adria
no, ch'è bella, & anco; com'hauete detto, è facile molto; onde assai mi piace. Però se-
guitate 'l resto. Voglio che hora dimostriamo; soggiunsi; che

PROPOSTA XXXVII.

Quattro interualli Sesquiottaui adunati insieme superanno l'interuallo Sesquialtero.
ET ciò si può prouare in cotal modo. Siano a. b. c. d. e. per la Prima di questo,
quattro Interualli insieme congiunti; & sia ab. il primo; bc. il secondo; cd. il
terzo: & de. il quarto. Et siano etiandio h. K. l. m. n. quattro Sesquiottaui,
per la Decimasesta proposta, insieme adunati; di modo che h. corrispondi ad a. K al b.
l al c. m al d. & n ad e. Dico hora, che l'Interuallo ae. si ritroua esser maggior dell'inter
uallo Sesquialtero. Imperoche, come hò dimostrato nella penultima. 10. a. sono tanto
quanto undeci d. & 25/64. Et Vndici d. & 25/64 sono equali à dodici e. & 417/512 Adunque Ot-
to a. sono equali à dodici e, & 417/512. Ma 12. con 417/512 contengono 8. una fiata, & più della
metà d'Otto ottaue parti; percioche 12. contengono 8. una fiata & la sua metà; Onde,
per la Definitione, sono in proportione Sesquialtera; ma il 12. oltra di questo contiene
la 417/52 parte di Vno; onde, per la Precedente, haurà maggior proportione 8. con 12
& 417/512 numero composto; che non haurà con 12. numero semplice. Onde, per la Quar
tadecima proposta
, a. contiene e. una fiata & più della sua metà. Et essendo a & e. Inter
uallo congiunto de quattro sesquiottaui; quattro Sesquiottaui insieme adunati superano
l'Interuallo Sesquialtero; com'era il proposito di dimostrarui. Credo; disse allora M.
Claudio; che si potrà dimostrar, che cinque Sesqiuiottaui sono minori (come sono cer-
tamente) d'un interuallo Duplo. Questo si può anco dimostrar per questa strada; risposi;
ma io per schiuar la lunghezza, uedrò di tener altro mezo, di quel ch'io ho tenuto di
sopra. Et qual mezo sarà questo? disse M. Adriano; onde io risposi; Ascoltate prima la
Proposta, Messere; & dopoi udirete la dimostratione.

PROPOSTA XXXVIII.

Cinque interualli Sesquiottaui posti insieme non fanno l'interuallo Duplo.
Questapage 74 74 Ragionamento QVESTA è la proposta; & la Dimostratione procederà in questo modo. Habbia-
mo già dimostrato nella Decimasettima proposta, che l'interuallo Duplo si fà di
due maggiori interualli Superparticolari, i quali sono Sesquialtero & Sesquiter-
zo. Ma per la Trentesima quinta proposta Tre interualli Sesquiottaui, sono minori d'un
Interuallo Sesquialtero; & due, per la Trentesima quarta, sono minori d'un'Interuallo
Sesquiterzo; adunque tutti insieme aggiunti sono minori d'un Interuallo Duplo; come
dice la Proposta. Io staua pur à ueder, disse M. Francesco; doue poteua uscir un'altro
modo differente dimostrati; ma mi hauete satisfatto benissimo; percioche è bello, fa-
cile, & breue. Et credo, che (come già dicesti) quanti sono i mezi, tante siano le Dimo
strationi; però, uorrei sapere, se questa ancora si potesse dimostrare in un'altro modo.
Si può ueramente, risposi, & in questa maniera. Siano a & f. gli estremi termini di cin-
que interualli Sesquiottaui, per la Prima di questo, adunati insieme; oueramente siano
h & o. medesimamente cinque Interualli Sesquiottaui molteplicati, per la Decimasesta,
tra numeri composti; di modo che h. corrispondi con a. & o. con f. Sia oltra di questo p.
il quale con a. contenga l'Interuallo Duplo. Dico, che a. & f. non fanno cotale Inter-
uallo; percioche, per la Trentesima sesta proposta, è maggior la proportione, che si tro-
ua tra a. & p. due estremi, che non è quella laquale si troua tra un'estremo & un mezano
termine. La onde essendo a. & f. cinque Interualli Sesquiottaui aggiunti insieme, & a.
con p. l'Interuallo Duplo; seguita che cinque interualli Sesquiottaui posti insieme non
faciano quest'Interuallo, come douea dimostrare. Ancora ui uoglio dire; perche a &
f. sono cinque Interualli Sesquiottaui; & a. p. Duplo; essendo che a. contie-
ne f. solamente una fiata con 3/4 parti, & di più 1705/4096, le quali parti aggiunte insieme
non arriuano all'intero di esso p. ch'è il termine della Dupla; de qui nasce, che cinque
interualli Sesquiottaui aggiunti insieme non fanno un'interuallo Duplo; come dice la
Proposta. Ma per dar fine à questo ragionamento, ui dico; che

PROPOSTA XXXIX.

Sei interualli Sesquiottaui sono maggiori d'un'interuallo Duplo.
HORA mi accorgo; disse il Signor Desiderio; doue tende 'l uostro pensiero; perche
credo, che uogliate prouar questa proposta contra l'opinione d'Aristosseno, &
riprobar, che Sei tuoni (com'ei teneua) facessero una Diapason. Cosi è uera-
mente; dissi; ma ueniamo al proposito della proposta. Sia a & g. interuallo, che conten
ga Sei sesquiottaui congiunti; di modo che ab. sia il primo; bc. il secondo; cd. il Terzo;
de. il Quarto; ef. il Quinto; & fg. il Sesto. Et siano anco h. K. l. m. n. o. p. simiglian-
temente Sei sesquiottaui interualli, molteplicati, per la Sesta decima, tra Numeri com
posti; & accommodati di maniera, che h. corrispondi ad a. per ordine, & p. al g. Dico
che ag. è maggior d'uno interuallo Duplo. Et perche ab. è Sesquiottauo; però, per
la Duodecima proposta, 8. a. sono equali à 9. b. &, per l'istessa, sono equali à 10. c. &
1/8 Et per la Trentesima quarta, 10. c. & 1/8 sono equali ad 11. d. & 25/64. Et, per la
Trentesimaquinta, 11. d. con 25/64. sono equali à 12. e. & 417/512. Simigliantemente 12.
e. colpage 75 Primo. 75 e. col resto sono equali à 14. f. & 1705/4096; & tutta questa somma è equale à 16. g. & 7153/32768. On-
de 16. con 7153/32768 contengono 8. due fiate & anco più; di modo che per la Quartadeci-
ma
, & per la Trentesima sesta proposta, ag. si troua esser maggiore dell'Interuallo Duplo.
Sei Sesquiottaui adunque congiunti insieme sono maggiori d'un'interuallo Duplo; com'
era 'l mio proposito di dimostrarui. Et qui cō la uostra buona gratia uoglio far fine per hog
gi di ragionar più alcuna cosa della Musica; percioche hormai son stanco. Hauete mol-
to ben ragione; disse M. Adriano; & credo che sia cosi; Ma queste ultime dimostratio-
ni mi paiono molto difficili da mandare alla memoria, & che habbiano dibisogno di mol
to essercitio delle Mathematiche. Sono ueramente difficili Messere; dissi io; ma quan-
do si possederà bene la Duodecima proposta, & le due sequenti, allora il tutto parerà fa-
cile. Ma qui stà il peso della cosa; che uolendosi far patroni de queste Dimostrationi, bi
sogna affaticarsi & essercitarsi; non solamente nel porre insieme molte Proportioni d'un
solo genere; ma etiandio de gli altri; raccogliendo molte parti insieme, & diuidendo l'una
per l'altra, & facendo molt'altre cose simili; percioche cosi facendo, si uiene à far la pratti-
ca; onde nel dimostrar, non lasciano parer le cose tanto strane. Ma non più di questo;
di gratia; perch'io credo, che ancor uoi hormai tanto sete stanchi di ascoltarmi, quant'
io di ragionare. Può ben essere, disse M. Francesco; che siamo stanchi, ma non già sa-
tij; essendoche troppo diletteuole & troppo utile è l'imparare. Diciamo pur quello ch'è
ueramente; soggiunse M. Claudio; l'hora è tarda, & il tempo non ci concede, ch'andia
mo più oltra. Quanto poi alla stanchezza, non credo ch'alcun di noi si possa chiamar
stanco; essendo stata la fatica tutta di M. Gioseffo. Questo è pur troppo uero; aggiunse
M. Adriano; ma ui prego à farmi questo fauore, di ritornar dimane all'hora, che sete
uenuti hoggidì à uedermi; poi ch'io non mi posso partire, come uedete; perche se mi
fusse concesso, uerrei à ritrouar uoi. Et questo dico; accioche potiamo udire il fine di
questa cosa, & non lasciamo l'incominciata opera imperfetta. Cosi faremo Messere dis-
si; rimaneteui adunque in pace. La onde M. Adriano soggiungendo; Andate tutti ch'Id
dio u'accompagni; tutti noi partissemo insieme, & ciascuno andò per diuerse strade al
suo alloggiamento.
Il fine del Primo Ragionamento.
page 76

DIMOSTRATIONI
HARMONICHE
DEL REV. M. GIOSEFFO ZARLINO
DA CHIOGGIA,
Maestro di Cappella della Serenissima Signoria
DI VENETIA:
RAGIONAMENTO SECONDO.

SECONDO l'ordine dato, un poco più per tempo, il seguente giorno
ritornassimo à casa di M. Adriano; per cagione di seguitare i nostri
diletteuoli & utili già incominciati ragionamenti. Onde hauendosi
prima discorso sopra diuierse cose, ragionate 'l giorno inanti; quan-
do mi parue tempo, con licentia de tutti, incominciai à parlare in
cotal guisa. Io conosco Signori miei da molti segni, & massima-
mente da questo; che inanzi l'hora costituita il giorno precedente
insieme ui sete adunati; che i nostri Ragionamenti passati ui siano piaciuti. Il che heri lo conobbi dalla patientia, c'haueste in ascoltarmi; però penso di dirui
hoggi cose, che maggiormente ui dilettaranno; percioche entraremo à ragionare un
poco più particolarmente della Musica; Essendo che 'l ragionamento hauuto heri fù in-
torno al dimostrarui molte cose de Numeri & Proportioni; Ma hoggi descenderemo à
dare una cognitione particolare de gli Interualli Musicali, & à dimostrarui in qual ma-
niera nascono i consonanti, & anco i dissonanti, i quali seruono alle compositioni delle
nostre Cantilene; & sarui conoscere, quanta differenza si troui tra quelli, che usauano
gli Antichi, i quali erano minori della Diatessaron, tenuti da loro per dissonanti, &
quelli che usiamo al presente. Onde potrete dopoi conoscere in quanto errore siano quel
li, ch'à i giorni nostri credono, & ostinatamente affermano, che tali Interualli da gli An-
tichi prohibiti entrino nel numero delle nostre Consonanze. Le quali cose spero dimo-
strar tanto facilmente, & tanto chiaramente, ch'ogn'un de uoi potrà restar satisfatto.
Et s'alcun de uoi hebbe mai contraria, da quel che son per dirui & dimostrar-
ui; son certo che si ridurrà à creder quello, ch'è uero, & che in fatto non può esser altra-
mente; & si leuarà dal credere il falso. Qui incominciò il Viola à dire; Fin hora si può
troppo ben conoscer l'errore de questi tali, quando si hà inteso quel c'hauete scritto nelle
Istitutioni; percioche tanto manifesto appare, che non hà dibisogno d'altre dimostratio
ni. Alle quali parole, uoltatosi M. Claudio uerso M. Adriano, soggiunse; Che direte
uoi di questo Messere; ch'alcuni, forse per parer d'intender meglio di ciaschedun'altro
le cose della Musica; quando odono dire, che noi adoperiamo il Semituono maggiore
nelle nostre compositioni, & non il minore; simigliantemente, quando odono far la dif-
ferenza di Tuono maggiore & di minore; mostrano di merauigliarsi di queste cose; il che
fanno ancora, quando odono dire, che i Modi, ò Tuoni arriuano al numero de Dodi-
ci; quasi, che non fussero uere, & che non fussero state dimostrate da M. Gioseffo otti-
mamente;page 77 Secondo. 77 mamente; & che la cosa non fusse tanto chiara, ch'ogn'un di mediocre intelletto potesse
esser capace; ma consistesse più presto in opinione, che in altro. Non ui fate marauiglia
disse M. Adriano; di questo perche si trouano etiandio alcuni, i quali se ben non si posso-
no numerar tra gli ignoranti; almeno si possono porre tra i Maligni; che quando cono-
scono, ch'una cosa sia per apportar qualche utile & qualche honore ad alcuno per scie-
mar le laudi che gli conuengono; da una certa loro passione uinti; più tosto uogliono con
lor biasimo & contra la conscienza loro occultar'il uero & contrastare; che affirmar quel-
lo, che sentono nell'animo non esser falso. Questa è una mala razza d'huomini Messere,
disse il Viola; Ma che direte de quegli altri, che non potendo apertamente biasimare il
buono; perche uedono, che in fatto non gli riuscirebbe il lor pensiero; cercano d'offus-
care in qualche parte la gloria di coloro, che per qualche buona opera fatta, la merita-
no; col lodarli frigidamente insieme con l'operationi loro; ch'è peggio assai; come so-
leua dir Fauorino appresso Aulo Gellio;Lib. 19.
Cap. 3.
che s'apertamente le biasimassino; oueramen-
te almeno col lodare estremamente l'opere di qualchedun'altro; quantunque conosca-
no, che non meritano laude; & tutto fanno à fine d'abbassarli, se ben si ritrouano esser
presenti. Ancora, s'altro non sanno fare, lodano almeno tanto gli Antichi, quantunque
non habbiano cognitione delle cose loro; che con ogni lor potere cercano di leuar quel
poco di riputatione, che i Moderni s'hanno delle buone opere loro fatto acquisto. A co
storo si conuiene soggiunse M. Adriano; quel bel detto d'Horatio, il qual torna benissimo
à questo proposito de cotali Huomini rabiosi, inuidi, ignoranti & maligni; quando dice:Epistol. lib.
2. pist. 1.

Iam saliare Numae carmen, qui laudat, & illud,

Quod mecum ignorat, solus uult scire uideri.

Ingenijs non ille famet, plaudit sepultis:

Nostra sed impugnat; nos, nostra liuidus odit.

Veramente Messere, che uoi sete un buon scolare; dissi; perche ui hauete tenuto
molto bene à memoria la lettione, ch'io già ui lessi sopra questi Versi; à proposito de
quei maligni, che cantando una fiata le uostre compositioni, le biasimauano molto; lo-
dando fuor d'ogni proposito grandemente quelle di Giosquino con parole; ma con i fat
ti, al lor dispetto lodauano uoi, & ueniuano à biasimare il lodato; percioche ne i con-
serti loro non adoperauano cosa alcuna di Giosquino, ne d'alcuna sua cosa se ne serui-
uano, ma si ben delle uostre; il che ui è di somma laude. Onde ui dico, che questo Ho-
ratio è stato & è un gran Poeta. Vedete, com'egli ci pone auanti gli occhi questa mala
generatione d'huomini dipingendoci la lor natura; perch'ancora lui à i suoi tempi da
simil Gente inuida, maligna, & peruersa era bersagliato. Ma di gratia non parliamo
più cosa alcuna di costoro; percioche non uoglio c'habbiamo da far con loro; & desi-
dero, che ritorniamo à ragionar di quelle cose, delle quali heri incominciassemo il nostro
ragionamento. Sarà ben fatto M. Gioseffo; disse il Signor Desiderio; & incominciarete
da quello che ui torna più commodo. Ripigliai adunque il mio ragionamento in questo
modo. Hauendoui à ragionar de quelle cose, che fanno alla cognitione delle Con-
sonanze, & anco delle Dissonanze, & à dimostraruene molte, che accascano intorno
ad esse, secondo la uerità, & come la Scienza richiede; è necessario il porui prima inan
zi quei Principij, da i quali dipendono tutti i nostri Ragionamenti, & dichiararui quel
ch'importino alcuni termini, & il Nome d'alcuni Interualli usati nella Scienza; ancora
che della maggior parte de loro ne habbiate acquistato la cognitione, col mezo delle Isti
tutioni
; accioche per auentura non procediamo per cose non conosciute. Et ciò non
sarà senza utilità; percioche non resterò di dichiararui alcune cose, & aprirui alcuni
secreti, che ui saranno di gran contentezza & giouamento. Et per non andar molto in
lungo, darò principio alla definitione della Consonanza; laquale (com'altroue hò det-
to) è primieramente dal Musico considerata; & dopoi dirò quel che sia la Dissonanza,
ch'è il suo Opposito, ò contrario; la qual'è considerata nel secondo luogo, & per acci-
dente. Ma auanti, che passiamo più oltra, ui uoglio fare un poco di discorso, che ui sarà
dipage 78 78 Ragionamento di grande utile, & forse non più udito in questo proposito; & tornerà bene, per poter ri-
soluere alcune cose, che ui son per dimostrare. Attendete adunque prima, & dopoi uer-
remo senza por tempo di mezo, à por le Definitioni l'una dopo l'altra. Dico adunque
incominciando, che la Oppositione, secondo 'l Filosofo,Prd. Trat.
3. cap. 1.
si troua esser de Quattro ma-
niere; acciò sappiate per qual cagione hò detto, che la Dissonanza è opposita ò contra-
ria alla Consonanza; come è, Relatiua, Contraria, Priuatiua, & Contradittoria. Ma
perche la prima & le due ultime non fanno al nostro proposito; però le uoglio lasciar da
un canto, & dir solamente della Seconda; la quale non è altro, che la Ripugnanza de
due contrarij, che non conuengono insieme in un'istesso Soggetto; ma per lor natu-
ra l'un scaccia ò destrugge l'altro. Et questi Contrarij ono de due maniere; percioche
ouer che sono mediati, oueramente immediati. I primi sono quelli che riceuono alcu-
ni mezi ne i loro estremi; come tra 'l Nero & il Bianco molti mezani colori. Onde non è
necessario sempre, che l'un de i due estremi sia nel soggetto; percioche 'l Corpo può es-
ser Rosso, ò Verde, ò di qualch'altro colore; se ben non è Nero, ò Bianco. Ma i Secon
di sono quelli, che non riceuono cosa alcuna mezana dell'istesso Genere; com'è la Sani-
tà & la Infermità; tra lequali non ui si dà mezo alcuno, secondo i Filosofi; ancora che i
Medici habbiano altra opinione. Il Mezo però in questo luogo è di due sorti; prima per
Participatione dell'uno & dell'altro estremo, come sono i mezani Colori & Sapori; dopoi
per Negatione dell'uno & dell'altro de gli nominati estremi; & quando si troua un Sogget
to, il quale non habbia estremo alcuno. Onde da quel c'hò detto potete comprendere,
che essendo la Consonanza & la Dissonanza senz'alcun dubio Suono, uengono ad esser
Qualità passibili; percioche da l'una & da l'altra il Senso è mutato; la onde essendo à
questo modo; chiara cosa è, che si hanno à porre nel Predicamento della Qualità, & si
debbono collocar come due estremi nella Seconda specie de gli Oppositi; essendo che rice
uono molti mezi tra loro. Et questo è uero; percio che, si come il Corpo uisibile non è per
necessità sempre bianco, ò nero; ma tallora è rosso, tallora uerde, & tallora di qualch'altro
colore; ne anco il Tangibile, è sempre freddo, ò caldo; ò duro ò tenero; ma alle fiate te-
pido; & hora più & hora men caldo ò freddo; oueramente di qualch'altra mezana qua-
lità; come anco il Gustabile, che non è sempre per necessità dolce, ouer'amaro; ma gar-
bo, ò acerbo, oueramente in altro modo; cosi l'Vdibile non è sempre semplicemente
Consonante, ò Dissonante; ma alle fiate partecipa d'una qualità mezana, che tiene
dell'uno & dell'altro, più & meno, secondo che più s'auicina all'un de i nominati estre-
mi. Per il che non sò ueder, ne ritrouar ragione, che mi costringa à dire & credere;
che tra gli estremi Oggetti de gli altri Sensi possano cascar molti mezi, & non in quel-
li dell'Vdito. Però adunque diciamo, che tra la Consonanza, & la Dissonanza, che
sono due estremi nella Seconda specie de gli Oppositi; ui cascano; contra l'opinione de
molti; per non hauere di questa Aristotele fatto mentione alcuna; molti mezani inter
ualli, i quali partecipano (secondo che maggiormente saccostano più all'una, che al-
l'altra) de questi due estremi udibili. Et questi saranno quelli (lasciando di por qual-
ch'altra differenza tra loro, che si potrebbe fare) che nascono d'altra proportione, che
da alcuna de quelle, che sono contenute nel Genere Molteplice & Superparticolare,
collocate tra le parti del numero Senario. La onde diuideremo la Consonanza in due
specie; delle quali la prima chiamaremo Consonanza propriamente detta, & la secon-
da Consonanza detta Communemente. Le quali uolendo conoscere, incomincian-
do dalla prima; diremo.

DEFINITIONE
PRIMA.

Consonanza Propriamente detta è mistura, ò compositione di suono graue & di acuto,
lapage 79 Secondo. 79 la quale soauemente & uniformemente uiene all'Vdito; la cui forma è contenuta da
proportione Molteplice, ò Superparticolare, che si troua in atto tra le parti del primo
Numero perfetto; cioè, del Senario.
QVESTO c'hauete detto M. Gioseffo; disse qui il Sig. Desiderio; in fatto mi è mol
to nouo; essendoche non hò mai più inteso cosa alcuna di queste Qualità ò dette d'alcuno in uesto proposito; ne meno hò ritrouato cotal cosa ap
presso d'alcun'autore, ch'io habbia studiato; Onde mi piace molto questa noua distintio
ne, & di questo hauete una gran ragione. Et quando non diceste altro in tutto il Ragiona-
mento, c'habbiamo da fare insieme; questo pagherà ogni cosa. Che ne dite uoi di que-
sto Messere Adriano? Questa cosa (rispose egli) mi hà leuato molti dubij, ch'io hauea nel
capo; percioche nella prattica udiua tutte queste cose; ne sapea dir, come la cosa pote-
ua stare; ma hora son chiaro, ch'è quello, che detto ha M. Gioseffo; percioche spesse
fiate udimo nella Musica alcun'Interualli, che non si possono chiamar dissonanti, ne anco
li potiamo nominar semplicemente consonanti; Onde questa cosa assai assai mi è piaciu
ta; però M. Gioseffo seguitate à dirci quel che sia l'altra sorte di Consonanza; acciò sap
piamo conoscer l'una dall'altra, col mezo delle definitioni. Vedete Messere dissi, ch'
io ui dirò sempre qualche cosa di nouo; però ascoltate questa.

DEFINITIONE II.

La Consonanza detta communemente è compositione di suono graue & di acuto, la-
quale, se ben non è interamente soaue all'Vdito, è però sopportabile; & la sua for-
ma à contenuta da altra proportione, che Molteplice, ò Superparticolare; la qual si
troua in atto tra le parti del Senario, & il primo Numero cubo.
QVESTE due Definitioni replicò M. Adriano; hanno di bisogno di qualche di-
chiaratione; percioche hauendoci proposto due maniere de Consonanze; fà bi-
sogno, che ce le dimostrate particolarmente. Cosi farò Messere, risposi, non du-
bitate: onde douete sapere, che la prima maniera è riceuuta da tutti per tale; ch'essen-
do i suoi Indiuidui &Interualli collocati ne i loro proprij & naturali luoghi; come heri fù
dichiarato; sono in tal modo grati all'Vdito; che nō si può desiderar cosa più perfetta. Ma
la seconda, contien quelli, che fanno un non sò che di poca poca offesa al senso; la qua-
le però è sopportabile. Onde i primi hanno le forme loro contenute in atto tra le parti
del Senario, che tra loro fanno le proportioni del genere Molteplice, ò Superparticola-
re; & i secondi le hanno contenute tra le proportioni de gli altri Generi; tra le nomina-
te parti & il primo numero Cubo, ch'è l'Ottonario. Et accioche meglio m'intendiate;
douete sapere, che tra le nominate Parti, & il detto numero Cubo; che sono 1. 2. 3. 4. 5.
6. 8. ui cadono Ventiuna relatione; Sei tra ciascheduno de gli altri numeri & l'Vnità;
Cinque tra i cinque numeri maggiori & il Binario; Quattro tra i quattro numeri mag-
giori & il Ternario; Tre tra i primi tre
maggiori & il Quaternario; Due tra i due
maggiori & il Quinario; & Vna tra il Se-
nario & l Ottonario. Delle quali, Vndici so
no Molteplici, Sei Superparticolari, Due Su
perpartienti, Vna Molteplice superpartico-
lare, & Vna Molteplice Superpartiente. On-
2. 1. Diapason.
3. 1. Diapason diapente.
4. 1. Disdiapason.
5. 1. Disdiapason ditona.
6. 1. Disdiapason diapente.
depage 80 80 Ragionamento
8. 1. Trisdiapason.
3. 2. Diapente.
4. 2. Diapason.
5. 2. Diapason ditona.
6. 2. Diapason diapente.
8. 2. Disdiapason.
4. 3. Diatessaron.
5. 3. Hexachordo maggiore.
6. 3. Diapason.
8. 3. Diapason diatessaron.
5. 4. Ditona.
6. 4. Diapente.
8. 4. Diapason.
6. 5. Semiditono.
8. 5. Hexachordo minore.
8. 6. Diatessaron.
de dico, che nelle Vndeci molteplici, & nel
le Sei superparticolari sono contenute tut-
te le forme delle Consonanze della Prima
maniera; & nelle due, con l'altra seguente,
si ritrouano le forme delle Consonanze del-
la Seconda; percioche tra 2. & 1, 4. & 2, 6.
& 3, 8. & 4, che sono tutte Duple, si troua
la forma della Diapason. Tra 3. & 1, 6. &
2, che sono Triple; si troua la forma della
Diapasondiapente. Tra 4. & 1, 8. & 2. che
sono Quadruple, si troua quella della Dis-
diapason. Tra 5. & 1, che fanno la Quin-
tupla, si troua la forma della Disdiapason-
ditono; tra 6. & 1, ch'è la Sestupla, si tro-
ua la forma della Disdiapason diapente; &
tra 8. & 1, che contiene l'Ottupla propor-
portione, si troua la forma della Trisdiapa-
son. Et queste sono tutte Molteplici. Simi
liantemente tra 3. & 2, & anco tra 6. & 4,
che sono Sesquialtere, si troua la Forma della Diapente; tra 4. & 3, ancora tra 8. & 6,
che sono Sesquiterze, quella della Diatessaron; & tra 5. & 4, che è Sesquiquarta, quel-
la del Ditono. Vltimamente tra 6. & 5, che è Sesquiquinta, è quella del Semiditono.
Et tutte queste proportioni sono Superparticolari. Onde queste con le Molteplici sono
contenute nella Prima schiera delle Consonanze, & hanno il loro essere in atto tra i nu-
meri; ò parti nominate. Ma quelle della Seconda, si trouano tra l'altre, percioche nel Su-
perpartiente tra 5. & 3, ch'è Superbipartiente terzo, si troua la forma dell'Hexachordo
maggiore; & tra 8. & 5, che è Supertripartientequinto; si troua quella del minore. Ma
nel Molteplice superparticolare tra 5. & 2, ui è la Dupla Sesquialtera; la quale è la for-
ma della Diapasonditona; & tra 8. & 3. nel Molteplice Superpartiente, ch'è la Dupla
superbipartiente terza, si troua la forma della Diapason diatessaron. M'hauete intera-
mente satisfatto; disse M. Adriano & mi piace grandemente questa noua distintione;
percioche mi par uedere, ch'ella habbia à portar grande utile, & d'accordar molte di-
scordie & liti, che già gran tempo sono tra i Musici; & non sono ancora finite. Cosi cre-
do, che sarà; risposi; ma acciò non perdiamo tempo, definirò la Dissonanza; la quale è
oppositamente contraria alla Consonanza propriamente detta; onde dirò.

DEFINITIONE III.

La Dissonanza è distanza di suono graue & di acuto, che insieme per lor natura l'uno
con l'altro mescolare, ouer vnire non si possono; & percuote l'Vdito aspramente, &
senz'alcun piacere; & nasce da proportioni differenti di denominatione da quelle,
che si trouano collocate in atto tra le parti del Senario, & l'Ottonario numero.
VERAMENTE; disse M. Claudio; che colui, il quale ha inteso la Definitione della
Cōsonanza; può anco intender quella della Dissonanza; se per caso non uoleste
far'alcuna distintione di essa; com'hauete fatto della Consonanza. Non uoglio;
disse M. Claudio; porre altra distintione al presente; ma uoglio dir solamente che secon
do la definitione del Filosofo,2. post. c. 2. il quale definisce, che la Consonanza è ragion de Nume
ri,page 81 Secondo. 81 ri, che etiandio nella Dissonanza si troua una certa ragione de Numeri; onde aggiunsi;
Contenuta da proportioni differente de denominationi da quelle, che si trouano in atto
tra le parti del Senario & dell'Ottonario numero, collocate; accioche conosciate, che
la Dissonanza sia al tutto priua della Ragione de quei Numeri, che intende il Filosofo;
& anco quel ch'io hò dichiarato altroue in questo proposito.Istitut. 2.
par. c. 11.

& 3. par.
cap. 5.
Vi uoleua apunto dire;
disse M. Adriano; S'ogni Consonanza & ogni Interuallo Musicale rationale è contenu-
to sotto una determinata proportione di numero à numero; come più fiate ui hò udito
dire; come potea stare, che solamente la Consonanza fusse Ragione de Numeri, &
non la Dissonanza? Non si può negare (dissi) Messere, che la Dissonanza, essendo conte-
nuta da proportione rationale di numero à numero; habbia Ragione de Numeri; essendo
che quella Ragione si considera, & si scorge in quanto 'l maggior termine contiene lo mi-
nore, una due, ò più fiate, con alcuna sua parte Aliquota, ò Non aliquota; Ma l'hauer ra-
gion de Numeri, ò esser ragion de Numeri, per una certa eccellenza conuiene al pri-
mo Numero perfetto, ch'è il Senario ancora che gli Antichi attribuissero tal Ragione al
Quaternario, chiamandolo per alcune ragioni anco lui Perfetto. La onde le Consonan
ze, che ueramente hanno le lor uere forme dalle proportioni contenute tra le parti del Se
nario; si chiamano hauer ragione de Numeri; oueramēte esser ragione de Numeri. Ma le
Dissonanze non possono esser dette, ne hauer cotali ragioni; percioche hanno le propor
tioni loro contenute tra altri numeri, che tra quelli che sono posti tra le parti nominate.
Son satisfatto benissmo; soggiunse M. Adriano; seguitate il resto. Allora dissi; Ha-
uendoui definito la Consonanza secondo le due maniere dichiarate, & la Dissonanza an
cora; fà dibisogno ch'io ui definisca l'Harmonia, la quale si compone di due consonan-
ze almeno. Onde hauete prima à sapere; che quella distintione, che hò posto della Con
sonanza, è necessario che anco sia fatta dell'Harmonia; intendendo però dell'Harmonia
non propria; secondo 'l modo dichiarato nel Cap. 12. della Seconda parte delle Istitu-
tioni
; percioche è di due sorti anch'ella; cioè, Semplicemente, & Detta ad un certo mo-
do. Onde dichiarando la prima, dirò che:

DEFINITIONE IIII.

Harmonia Semplicemente detta è il concento, che nasce da due consonanze almeno insie-
me unite, secondo i gradi dell'Harmonica proportionalità, laquale soauemente per-
uiene all'Vdito.
ONDE quando due Suoni distanti l'uno dall'altro per il graue & per lo acuto, ri-
ceuono un mezano suono, che diuida l'Interuallo, che si troua tra loro, in
due Consonanze, secondo i gradi della proportionalità Harmonica; allora si
fà questa compositione, che intendiamo nella definitione, che si chiama Harmonia
Semplicemente detta. Ma per dichiararui il secondo membro dell'Harmonia non pro-
pria; dico, che

DEFINITIONE V.

Harmonia Detta ad un certo modo è l'accordo, che fanno due consonanze almeno, po-
ste insieme; ma non secondo i gradi della mediocrità Harmonica, la quale non cosi soa-
uemente, come la Semplicemente detta, uiene al senso dell'Vdito.
Dimostr. Harm. F Piacquepage 82 82 Ragionamento PIACQVE molto anco questa distintione al Sig. Desiderio; onde per intenderla
meglio, disse; Questa anco mi pare, che hà dibisogno d'un poco del uostro lu-
me; perche à me, ch'io nō son molto prattico delle cose della Musica, è alquan-
to oscura; Però sarete contento di darmi meglio ad intendere questa cosa con
vno essempio. E' il douere risposi, Dico adunque, che poco fà mostrandoui le Propor-
tioni, che nascono dalle parti del Senario & dall'Ottonario; breuemente ui dichiarai, &
dimostrai anco le forme de tutte le Consonanze; il che ricordandoui dico, che quando ri
trouarete due consonanze unite insieme, le cui proportioni saranno in cotal modo ordi-
nate. 6. 4. 3. direte, che elle fanno lHarmonia Semplicemente detta; percioche tra loro si
troua l'Harmonica mediocrità; come la Quintadecima definitione di heri sempre lo farà
manifesto. Il che direte anco dell'altre simili; & questo è quanto alla Semplicemente det-
ta. Ma la Detta ad un certo modo, si fà, quando tra due consonanze ordinate al modo
detto, non si troua tale Mediocrità; come sarebbe dire; quando le sue proportioni fussero
collocate tra questi terimini 4. 3. 2. percioche se ui ricordate la Terzadecima Definitione
di heri, sono collocate in Arithmetica progressione, ò proportionalità; come più ui piace
dire. Essendo che nella prima la forma della Diapente, anzi la Diapente istessa è colloca-
ta nel graue, & la Diatessaron nell'acuto; & in questa il tutto è posto al contrario; percio-
che la Diatessaron tiene il luogo graue, & la Diapente occupa l'acuto; cosa che non si tro-
ua tra le proportioni, che sono collocate nell'ordine naturale de i Numeri Harmonici. On
de, quello aggiunto: Meno che soauemente peruenire all'Vdito: che si è detto nella sua
Definitione, non è causato da gli interualli nominati; percioche sono consonanti; ma si
ben dall'ordine, ch'è posto al contrario del primo; il perche Meno che soauemente muo-
uono l'Vdito. Questa è bella consideratione; disse il Sig. Desiderio: Et la intendo hora; pe
rò passate ad un'altra proposta; s'altro sopra di questo non uolete dire. Non uoglio dire
altro risposi: Ma uoglio che sappiate, che le Consonanze; parlando uniuersalmente; so-
no de due maniere; percioche alcune si chiamano Semplici, & alcune Composte; & ac-
cioche conosciate l'une & l'altre, uerremo alla lor definitione; onde incominciando dal-
le prime, diremo.

DEFINITIONE VI.

Le Consonanze semplici sono quelle, che sono minori della Diapason; come la Diapente, la
Diatessaron, il Ditono, il Semiditono, & essa Diapason; le cui forme sono contenute
tra le parti del numero Senario ne i Generi Molteplice & Superparticolare.
MI ricordo, disse . Adriano; che nelle Istitutioni1. par. cap.
13.
& 16.
hauete connumerato etiando
i due Hexachordi; Maggiore & Minore; onde non credo che hora li uogliate
escludere. E' uero, dissi, ch'io chiamai l'Hexachordo semplice consonananza; non
però semplicemente; ma ad un certo modo, & per un certo rispetto; percioche è minore
della Diapason; onde essa Diapason non entra nella sua compositione; Ma qui chiamo so
lamente semplici quelle Consonanze, c'hò nominato, & non l'altre; onde seguitarò à di-
re; che

DEFINITIONE VII.

Le Consonanze composte sono quelle, che sono maggiori della Diapason; come la Diapason
diapente, la Disdiapason, & tutte l'altre Maggiori di queste.
OGNIpage 83 Secondo. 83 OGNI Interuallo, sia qual si uoglia, adunque accompagnato alla Diapason farà
uno Interuallo, che si potrà dir Composto; per quello, ch'io ueggio; disse il Vio
la. A' cui risposi; Cosi è in fatto; ma senza por tempo di mezo, uerremo alla par-
ticolar Definitione di ciascheduna Consonanza; onde incominciando da quella, ch'è
Regina de tutte l'altre, la Diapason, diremo.

DEFINITIONE VIII.

La Diapason è consonanza contenuta nella sua forma vera dalla proportione Dupla.
QVESTA Consonanza naturalmente è la Prima de tutte l'altre; percioche si come
tra i numeri semplici non si troua maggior proportione nell'ordine naturale di
numero à numero, l'uno all'altro più uicino, della Dupla; essendo ch'ogni altra,
che si troua, se è minore, è sua parte, & se è maggiore, è collocata tra numeri, i quali non so
no uicini, & è composta di lei & d'una sua parte; Cosi la Diapason tra l'altre Consonanze
& Interualli tiene il primo luogo; & nō si troua alcun'altro Interuallo, sia qual si uoglia, che
di lei sia maggiore; essendo che se è minore, è sua parte; & se è maggiore, è composto d'una
sua parte & del suo Tutto, com'altroue ho dichiarato;1. par. cap.
13.
& dal Musico è presa per il suo Tut-
to diuisibile. Ma si come non si troua proportione, che sia auanti la Dupla; cosi non si
troua Consonanza, che sia prima della Diapason;2. par. cap.
48.
poi che la Dupla è la sua uera forma;
essendo il Tutto diuisibile, senza dubio alcuno, prima delle sue parti; come è noto à tut
ti gli intelligenti; hora hauendoui definito il Tutto, ui uerrò à definire di una in una tut-
te le sue parti; le quali nascono dalla diuisione harmonica di esso Tutto; come nelle Istitu-
tioni
si è dimostrato; & incominciando dalla maggiore, dirò in cotal modo.

DEFINITIONE IX.

La Diapente è consonanza, la quale è contenuta nella sua natural forma dalla propor-
tione Sesquialtera.
QVESTA Consonanza è la parte maggiore della Diapason, che nasce dalla sua
diuisione fatta harmonicamente; come uederemo al suo luogo. Et perche in-
torno ad essa non ui cade difficultà alcuna; però passarò all'altra definitione.

DEFINITIONE X.

La Diatessaron è consonanza, che hà la sua uera forma dalla proportione Sesquiterza.
INTESA questa definitione, disse M. Adriano; Se la Diapente è la parte mag-
giore della Diapason; non è dubio, che la Diatessaron farà la sua parte minore;
poi ch'aggiunte queste due parti insieme, fanno di punto la Diapason. Et mi
ricordo, che heri dimostrate,Propo. 17 che l'Interuallo Duplo nasce dalla congiuntione de i
due primi maggiori Superparticolari; Onde se la Diapente è contenuta dalla Sesqui-
altera, & la Diatessaron dalla Sesquiterza; non è dubio, che diuisa la Diapason in que-
ste due parti; per il conuerso della detta proposta; elle non siano le sue parti mag-
giori; come sono ancora maggiori d'ogn'altra Superparticolare le loro proportio-
ni. Voi l'intendete benissimo, Messere risposi; perche è cosi in fatto. Aggiunge-
te anco disse M. Claudio; che se poste insieme, come dimostra la Decimaottaua,1. Huius.
Dimostr. Harm. F 2 fannopage 84 84 Ragionamento fanno la Proportionalità harmonica, che queste due parti nascono dalla diuisione di es-
sa Diapason, fatta per la istessa Proportionalità. Qui non può nascer difficultà alcuna;
gli dissi. Il perche il Signor Desiderio soggiunse; in fatto hauete ragione à dire, che la
Diatessaron sia consonanza; & hanno il torto tutti quei Prattici, che la pongono nel nu
mero delle Dissonanze; ma sono da iscusare in questo, che non sanno quel, che si faccia
no. Questi c'hanno questa opinione; disse M. Adriano; sono in errore. Et mi ricordo, ch'
inanzi de noi quei buoni Antichi Giosquino, il suo Maestro Gio. Ochegen; Gascogne,
& il mio precettore Gio. Motone in molti luoghi delle loro compositioni l'hanno posta
nella parte graue, senz'aggiungerle altro Interuallo. Messere; gli risposi; Se la Diatessa-
ron fusse dissonanza, non la porreste ne i uostri Contrapunti, nel modo che la ponete,
sopra la Diapente, ò sopra il Ditono, ò lo Semiditono; ne anco questo farebbono gli
altri compositori. Ne anco; soggiunse il Merulo; si potrebbe accordar col mezo di que
sto Interuallo alcuna sorte d'Istrumenti, se non fusse consonante; tuttauia se n'accorda-
no de molte sorti; come sono Organi, Viuole, Leuti, Lire & altri simili, tanto bene;
come si fà col mezo della Diapente & della Diapason. Ascoltate di gratia, dissi, ch'io ui
uoglio dire una ragione; la quale hor'hora mi souiene; alla quale non si può con ragione
contradire. Ditela di gratia, soggiunse M. Adriano. Ascoltate, adunque Messere, rispo-
si; & uoglio che oltra quello, ch'à questo proposito hò detto nelle Istitutioni; habbiate
questa per una Massima; che Quando si muta alcuno de gli estremi di qual si uogla In-
teruallo, sia consonante, ò dissonante; facendolo d'acuto graue; ò per il contrario di gra-
ue acuto per una Diapason, si hà uno corrispondente Interuallo nell'acuto, ò nel graue,
il quale è della istessa natura del primo. Et accioche m'intendiate, ui uoglio parlare prat
ticamente. Poniamo, che sia quell'Interuallo, che noi chiamiamo Seconda; Questo (co-
me è noto à ciascheduno) è Interuallo dissonantissimo; però se trasportaremo il suo estre
mo graue nell'acuto, ouer'il suo acuto uerso 'l graue, per una Ottaua; rimanendo gli
altri termini à i loro luoghi; non è dubio, che haueremo un'Interuallo à lui corrisponden
te, nella parte acuta, ouer nella parte graue, che sarà dell'istessa natura di essa Secon-
da, & sarà una Settima; la quale ciascheduno di uoi conosce essere dissonante. Il che an
cora auerrà facendo 'l contrario; cioè, quando si trasporterà l'estremo acuto dalla Set-
tima uerso il graue; ouer l'estremo suo graue uerso l'acuto; percioche ne nascerà la Secon
da nominata. Onde non si può negare, che l'uno & l'altro de questi due Interualli sia d'
una istessa natura, & siano comprese sotto un'istesso Genere di Dissonanza. Questo istes-
so auerrà nella Semidiapente, che trasportato il suo estremo acuto uerso 'l graue, ouer
l'estremo graue uerso l'acuto, uerrà il Tritono; & trasportati in cotal maniera gli estremi
di esso Tritono; nascerà la Semidiapente; de i quali Interualli l'uno & l'altro sono con-
tenuti sotto questo genere di Falso interuallo. In fatto è cosi; disse il Viola; ma non ue-
do, doue uogliate arriuare. Andrà poco lontano la cosa, risposi; che lo uederete. Dico
ancora; che se di nuouo pigliaremo una Terza, la quale sapete, ch'è posta nel numero
delle Consonanze imperfette; & faremo il simile, trasportando in acuto il suo estremo
graue per una Ottaua; oueramente ponendo il suo estremo acuto nel graue, per un simi-
le Interuallo; subito ne uerrà la Sesta, la quale etiandio è connumerata tra le Conso-
nanze imperfette. Il che auerrebbe anco, trasportando all'istesso modo gli estremi di que
sta; percioche ne risultarebbe la Terza; cosa che ueramente non si può da niun sano di
giudicio negare. La onde, se usando simili modi, di trasportare i detti termini, si uede;
ch'una Dissonante ne produce un'altra; come fa anco il Falso interuallo; & una Conso-
nanza imperfetta ce ne da un'altra simile di genere, ò specie; che maggior priuileggio in
questo debbono hauer le Dissonanze, i Falsi interualli & le Consonanze imperfette; del-
le perfette Consonanze? Niuna certamente; percioche non ui è maggior ragione delle
prime, che di queste ultime. Diremo adunque con l'istessa ragione, che se 'l si riporterà l'e-
stremo graue d'una Quinta uerso l'acuto per una Ottaua; oueramente l'estremo acuto
uerso il graue per un simile interuallo; quello, che uerrà sarà una Quarta, la quale, per
lepage 85 Secondo. 85 le ragioni addotte nelle Dissonanze, ne i Falsi Interualli & nelle Consonanze imperfette,
dico esser della natura della Quinta, & esser sottoposta ad un'istesso genere, ò specie di
Consonanza. Et si come la Quinta per diuersi rispetti è detta Consonanza perfetta; co-
si ancora, per quelli istessi, la Quarta è detta Cōsonanza perfetta. Percioche ancora ripor
tando gli estremi della Quarta nell'acuto & nel graue, come facemmo quelli della Quin
ta; nasce al medesimo modo essa Quinta; Onde siamo sforzati uolendo, o non uolendo, di
re; che se la Quarta è dissonante, che dissonante sia all'istesso modo la Quinta; ouero che se
questa è cōsonante, che anco quella sia di tale natura. Ilche non credo che sia negato da
Huomini di sano intelletto. Disse allora M. Adriano, Questa ragione è ben ueramente no
ua, & è una delle belle, che si possa addurre in confirmatione delle uostre ragioni. E quan
do non imparassi mai altro hoggi di questo, me ne contento assai. Spero di dirui dell'al-
tre cose Messere, diss'io; che ui piaceranno, però state allegro. Replicò anco il Viola
in questo modo, Io dirò M. Gioseffo, che la ragione della Seconda & della Settima uà
bene; percioche sono tutte due dissonanti; simigliantemente quella della Terza con la
Sesta & delli due Falsi interualli, che hauete nominato: ma quella della Quinta con la
Quarta mi par differente. Et ciò dico; accio che sopra di questo diciate qualche cosa;
essendo che tra le parti de i Contrapunti senz'alcuna differenza si pone la Terza & la
Sesta per buone consonanze, che fanno buono effetto; ma non auiene cosi della Quar
ta. A questo risposi & dissi, La differenza, che si troua tra la Quinta & la Quarta consonan
za della prima maniera, è quasi l'istessa, che si troua tra la Terza consonanza della pri-
ma, & la Sesta consonanza della seconda; Imperoche si come la Sesta per sua natura
non è molto consonante, & è men buona della Terza; massimamente della maggiore;
come si uede, che non la lasciate ne i Contrapunti dimorare in un luogo per molto tem
po, perche offende il senso; ne mai date fine ad una uostra cantilena per il detto Inter-
uallo; ma si ben per Ottaua & per Quinta; cosi la Quarta, comparata alla Quinta, non
è molto consonante, & è men buona di essa Quinta; come anco essa Quinta è men buo
na della Ottaua, la quale più d'ogn'altra perfettamente consona. La onde dico la Dia-
tessaron esser Consonanza & perfetta; ma non però dico, che ella sia tanto consonante
& tanto perfetta, com'è la Diapente; ne meno com'è la Diapason; come etiandio dico
l'Hexachordo (per ritornar ne i nostri termini primi) esser consonante; ma non di quell'
istessa & propria natura, ch'è il Ditono, ò lo Semiditono; percioche secondo che nell'
altre cose si ritrouano gradi tra loro; cosi ancora ui sono i suoi gradi tra le consonanze,
& gli interualli dissonanti; ma questo ui basti. Io resto benissimo satisfatto; rispose il
Viola. Onde il Sig. Desiderio soggiunse subito; Questo è stato un ragionamento molto
utile; & credo che non si ritrouerà più alcuno, dopo c'haueranno inteso queste ragioni,
che uoglia dire, che la Diatessaron sia dissonante. Noua & bella ragione è stata uera-
mente; aggiunse M. Claudio; onde dobbiamo desiderar che 'l si uada più oltra; acciò in-
tendiamo di nouo qualch'altra cosa. Notate, adunque soggiunsi; che della Diapente
harmonicamente diuisa, si fanno due parti, come son per dimostrarui; l'una delle quali si
chiama Ditono, che è la maggiore; l'altra, ch'è la minore, è nominata Semiditono; &
la definitione della prima sarà di questa maniera.

DEFINITIONE XI.

Il Ditono è consonanza, la cui forma è contenuta dalla proportione Sesquiquarta.
QVESTO Interuallo, considerato solamente ne i suoi estremi, & senz'alcuna me
zana chorda, serue etiandio al Genere Enharmonico. Et si può chiamare una
delle prime parti della Diapente, & delle Seconde della Diapason; come anco si
può nominare al modo medesimo il Semituono, del quale porremo questa definitione.
Dimostr. Harm. F 3 DEFI-page 86 86 Ragionamento

DEFINITIONE XII.

Semiditono è consonanza, della quale la forma è la proportione Sesquiquinta.
QVESTO Interuallo è stato da molti nominato diuersamēte; imperoche alcuni l'han
no chiamato Sesquituono; quasi uolendole dire d'un Tuono & mezo; ma quel,
ch'io scrissi nel Cap. 25. della Prima parte delle Istitutioni, sopra questa paro-
la Sesqui, ui potrà chiarire; se 'l si può dire di un Tuono & mezo. Altri l'hanno detto
Trihemituono, ò Trisemituono; hauendo consideratione, che serue al Genere chro-
matico, quando è pigliato senza ueruna chorda mezana. Ma non stiamo hora sopra la
consideratione de i nomi; noi lo chiamaremo Semiditono, il quale è la minor conso-
nanza, che si troui. Imperoche non ui è alcun'Interuallo, sia qual si uoglia, il quale sia
minor di lui; che sia consonante. Et da questo si può conoscere, che la sua proportione
tiene l'ultimo luogo tra i numeri delle parti del Senario. La onde, credo, c'habbiate da
uoi stessi compreso, che tutte le Consonanze, lequali fin'hora habbiamo definito, siano
semplici, & tutte minori della Diapason; però uerremo hora à quelle, che sono di lei mag
giori, & si chiamano Composte.

DEFINITIONE XIII.

La Diapason diapente è consonanza contenuta dalla proportione Tripla.
QVESTA primieramente è denominata dalla Diapason; dopoi dalla Diapente; es-
sendo che dell'una & dell'altra di queste due si cōpone; come si conosce dalle lor
forme 3. 2. 1. contenute nel Senario tra i numeri Arithmetici; ouer da 6. 3. 2. Nu
meri harmonici. Ma,

DEFINITIONE XIIII.

La Disdiapason è consonanza, la cui forma contiene la Quadrupla proportione.
MI ricordo; aggiunse M. Adriano; che nell'Istitutioni hauete detto,1. par. c. 16 che questa
Consonanza si può considerar composta in due maniere; prima, della Diapason,
della Diapente, & della Diatassaron; come si scorge tra questi numeri. 4. 3. 2. 1.
ouer tra questi. 12. 6. 4. 3. dopoi, de due Diapason; come si uede tra questi termini. 4. 2. 1.
per qual cagione adunque si dice da molti, che la Disdiapason si compone di due Diapa-
son maggiormente; che di una & delle due altre nominate consonanze? Questo auie-
ne Messere; risposi; perche gli Antichi; prima la considerarono come composta
de due consonanze piu note: come sono due Diapason; che dal senso sono maggior-
mente conosciute, che non è qual si uoglia altra consonanza; dopoi perche la conside
rarono composta della più nobile consonanza replicata, ch'è la Diapason; che sia tra
l'altre consonanze. Et se bene la prima Diapason si pigliasse semplice & l'altra composta
delle due maggiori sue parti, questo importarebbe poco; percioche per ogni modo
contiene & contenerebbe due Diapason. Ma per dirui;

DEFINITIONE XV.

La Disdiapason ditona è consonanza, la cui forma è contenuta dalla proportione Quintupla.
Messerpage 87 Secondo. 87 MESSER Gioseffo; disse qui il Viola; S'io dirò: perche questa consonanza sia
maggiormente composta della Disdiapason & del Ditono, che d'altre conso-
nanze; poi che i termini della Quintupla stanno tramezati in questo modo. 5. 4.
3. 2. 1. oueramente tra i Numeri Harmonici. 60. 30. 20. 15. 12. sò che mi risponderete, co-
me hauete fatto à M. Adriano; però senza por tempo di mezo, seguitate 'l uostro ra-
gionamento; ch'altro non uoglio dire. Voglio che anco ui ricordiate; soggiunsi; che

DEFINITIONE XVI.

La Disdiapason diapente è consonanza, che la sua forma contenuta dalla proportione
Sestupla.
MA perche più d'una, che d'un'altra Consonanza ella sia detta Composta; poiche
i termini della sua forma in tal maniera tramezati sono. 6. 5. 4. 3. 2. 1. ouerame
te. 60. 30. 20. 15. 12. 10. la ragione detta di sopra ui può bastare. Onde uerremo
alla Decimasettima definitione.

DEFINITIONE XVII.

L'Hexachordo maggiore è consonanza, la cui forma è contenuta dalla proportione Su
perbipartiente terza.
PARMI, disse qui il Viola, che ritorniamo indietro, per quel ch'io ueggio; es-
sendo che prima hauete definito le Consonanze, incominciando dalle Sempli-
ci, uenendo alle Composte, & sete uenuto dalle minori alle maggiori; hora di
nuouo ritornate da capo; & per qual cagione lo fate, per uostra fè? Quelle Consonan
ze, dissi; che fin'hora hò definito, sono contenute ne i generi Molteplice & Superpar-
ticolare, che sono Generi semplici di proportione; il perche hauendo posto fine à quel-
le, che sono contenute sotto questi due Generi; uengo hora à definir quelle, che sono
contenute ne gli altri; per poter seguitar un buon'ordine. Ne mi curo, che queste
ch'al presente definisco siano maggiori, ò minori; essendoche questo è di pochissima
importanza. Ma ui basta à sapere; che questa proportione Superbipartienteterza, no-
minata di sopra, è compresa nel Terzo genere di proportione, detto Superpartiente,
& è la prima di cotal genere. Mi piace l'ordine, & resto satisfatto, rispose il Viola;
però seguitate quello, che ui piace. Soggiunsi adunque; Ancora che tra le parti del
Senario non ui sia la forma dell'Hexachordo minore in atto; tuttauia per esserui (com'
hò dichiarato altroueInstitut. 1.
part. c. 16.
) in potenza; & tra 'l primo Cubo & il Quinario in atto: non uoglio
restar, già ch'è contenuta la sua forma nel Genere sopradetto, di darui la sua definitio-
ne; onde diremo.

DEFINITIONE XVIII.

L'Hexachordo minore è consonanza, la quale hà la sua forma contenuta dalla propor-
tione Supertripartiente quinta.
Dimostr. Harm. F 4 Questapage 88 88 Ragionamento QVESTA consonanza (come hò detto) hà la sua proportione, ch'è contenuta
nel secondo luogo del nominato Genere, tra questi numeri, ò termini. 8 & 5.
Ma per uenire à gli altri due Generi, che sono composti; per dimostrarui, ch'
in ogni Genere di proportione si troua alcuna consonanza; se non semplice, almeno
Composta; porrò senza por tempo alcun di mezo, la definitione della Diapason col Di-
tono; in questa maniera.

DEFINITIONE. XIX.

La Diapasonditona è consonanza, ch'è contenuta nella sua vera forma dalla proportione
Dupla sesquialtera.
MA i termini di questa proportione si ritrouano esser collocati tra le parti del Se-
nario, tra questi termini. 5. & 2. Fermateui di gratia un poco M. Gioseffo; disse
qui M. Adriano; & lasciatemi addimandarui un dubio. Voi dite, che la Diapa-
sonditona ha forma dalla Dupla sesquialtera; nondimeno questo Interuallo è com
posto d'una Diapason, la quale hà la forma dalla proportione Dupla, & di un Ditono,
che hà la forma della Sesquiquarta; com'hauete posto nelle loro definitioni. Ma se la
Sesquialtera, è la forma della Diapente; com'è possibile, che la Diapason col Ditono
habbiano la forma della Dupla sesquialtera, & non dalla Dupla sesquiquarta? Com-
prendo dalle uostre parole; dissi; che uorreste, che più tosto si dicesse, che la proportio-
ne Dupla sesquiquarta fusse la forma della Diapasonditona; la quale è composta della
Diapason & del Ditono, che la Dupla sesquialtera; perche ui pare, che da questa de-
nominatione più tosto si douesse denominar la Diapason diapente, che la Diapasondi-
tona; poi che la Dupla è la forma della Diapason; & la Sesquialtera quella della Dia-
pente. Non è com'io dico? Stà bene; rispose egli. Allora soggiunsi; Se è dibisogno che
sia cosi; sommaremo nel modo, ch'io dimostrai nel Cap. 33. della Prima Isti-
tutioni
, la Dupla insieme con la Sesquiquarta, & se uerrà la proportione, c'hauete no
minato, la cosa andrà bene. Ma noi uediamo, che ella uà ad'un'altro modo; essendo
che uiene una Dupla sesquialtera, come contiene la Definitione; adunque la cosa non
uà bene. Onde sommando insieme anco al modo detto la Dupla con la Sesquialtera,
non nasce la Dupla sesquialtera, ma si bene la Tripla, ch'è la forma della Diapason dia-
pente. Il perche si uede, che à dir Tripla, & dir Dupla sesquialtera, non è dire una pro-
portione istessa; ma due diuerse. Questo di nuouo uediamo, che sommando insieme la
proportione della Diapason, & quella della Diatessaron; non uiene la Dupla sesquiter-
za; se ben la Dupla è la forma della Diapason, & la Sesquiterza quella della Diatessaron;
ma la Supertripartiente quinta; ch'ella della Diapason diatessaron; come nella seconda
Definitione
dichiarai. Onde è manifesto, che gli Antichi all'uniuersale più attesero, che
al particolare, & al leuar la confussione dalle menti de gli huomini. Et uolsero (com era 'l
douere) denominar le Proportioni in ogni Genere da i modi che 'l maggior termine con-
tiene il minore più fiate interamente; ouero più fiate con una, ò più parti del minore; ac
cioche queste denominationi seruissero non solo alle Proportioni & à gli Interualli della
Musica particolarmente; ma etiandio è quelle, che seruono all'altre Scienze. Et ancora
che mi potreste dire, che questa parola Sesqui; come dichiarai nelle Istitutioni;1. Par. cap.
25.
uoglia di
re Tutto, & Altera significhi l'una de due parti fatte d'alcuna cosa; & che meglio sareb-
be dire, Dupla & Altera, che Duplasesquialtera; responderò, che questo non sareb-
be mal fatto; quando in ogni Genere, la parola Sesqui si pigliasse solamente per una addi
tione sillabica; come uoleuano alcuni; ne altro uolesse significare. Ma diciamo pure con la
suapage 89 Secondo. 89 sua significatione; che Dupla sesquialtera uoglia dire; Due fiate il Tutto & una parte del
la minor quantità comparata alla maggiore; percioche questo non è di molta importan-
za, che se le aggiunga, ò leua tal particella; essendoche già è riceuuta per tale; & s'aggiū
ge oltra questi termini Dupla, Tripla, & gli altri. Et simili denominationi; come Sesqui
altera, Sesquiterza, & l'altre per ordine, sono le denominationi delle parti, per le qua-
li il maggior termine, che si ritroua ne i Denominatori delle Proportioni; sopr'auanza il
minore. Et questo per hora ui potrà bastare. Son satisfatto benissimo, soggiunse M. Adria
no . Passarò adunque auanti, risposi; & dirò, che tutte queste Definitioni, che io hò da
to sono à bastanza intorno à quelli Interualli, che sono Consonanti; percioche bisogna
hormai definire i Dissonanti, i quali seruono alla cognitione delle cose della Scienza &
anco dell'Arte; accioche nelle Dimostrationi, che siamo per fare, non ci manchino quei
Principij, che sono necessarij per concluder quello, c'habbiamo da preporre: Tanto
più, che le Definitioni (com'altroue hò dettoSupra ante
prima Defi
nitionem.
) sono i Mezi delle Dimostrationi. Ascolta
te adunque, che hora ui definirò tutti quelli Interualli dissonanti, che io ui son per defi-
nire, l'un dopo l'altro, & senza hauer rispetto à Genere alcuno. Onde incominciando
dal Maggiore, dirò in questo modo.

DEFINITIONE XX.

Il Tuono maggiore quell'Interuallo, per il quale la consonanza Diapente sopr'auanza
la Diatessaron.
QVESTO Interuallo fù altramente definito da gli Antichi; percioche diceuano,
il Tuono esser principio della Consonanza; il quale nasce, producendo da suo
no à suono, dalla proportione Sesquiottaua. Disse allora M. Adriano; Per
qual cagione adunque non hauete detto nella definitione, come hauete fatto nell'altre,
che questo Tuono nasce da simil proportione; poiche nell'Istitutioni molte fiate l'hauete
. Perche uoglio, risposi; che ella sia uno de i Principij, ch'io adopererò in questo &
ne gli altri Ragionamenti. Et s'io hauesse posto nella Definitione, che ella nasce dalla
proportione Sesquiottaua, non lo potrei dimostrare; perche i Principij non si dimostra-
no; ma perche son per dimostrarui cotal cosa; però ui hò detto solamente, ch'è la diffe-
renza, che si troua tra la Diatessaron & la Diapente; essendo che ui uoglio far col mezo
di queste Definitioni auertiti; che tutti quelli Interualli, che sono minori del Semidito-
no, & sono dissonanti, altro non sono che le differenze, che si trouano tra un'Interual-
lo Maggiore & un Minore. Questo mi piacerà assai, soggiunse M. Claudio; ma diteci, ui
prego, che uuol dir questa parola Tuono. E' Greca, risposi; & si dice Τόνος, che impor-
ta Fermezza, ò Stabilità. Et perche non si troua alcuno Interuallo consonante, il quale
non ritenga questo Interuallo; cioè, la sua proportione almeno; però gli Antichi lo chia
marono Principio della Consonanza. Essendo c'haueano opinione, ch'ogni interuallo
Maggiore di lui fusse, ò si douesse di lui & del suo minor Semituono comporre. Onde da
questa credula fermezza & stabilità, ch'in esso uedeano, lo chiamarono Tuono. Disse à
questo M. Adriano; Non sono de due sorti Tuoni? Sono per certo, diss'io; & da questo
si conosce, ch'à questo aggiungo la parola, Maggiore, che lo fà differente dall'altro, che
ui definirò hor'hora, che sarà il Minore.

DEFINITIONE XXI.

Il Tuono minore è quella differenza, che cade tra la Diatessaron, & lo Semiditono.
Hauen-page 90 90 Ragionamento HAVENDO taciuto un pezzo il Sig. Desiderio, & udendo parlare de questi Tuo-
ni, mi disse; Questo Tuono fu egli mai conosciuto da gli Antichi? Allora gli ri-
sposi; Quando sarà il suo Tempo, ui dimostrerò in che proportione ello si troui,
Harm. lib.
1. cap. 15.
& allora conoscerete, se hauerete à memoria le cose di Tolomeo, hauendole uedute, che
questo Interuallo entraua nella compositione della specie Diatonica, chiamata Diato-
nico syntono; se bene da lui non è chiamato col nome di Tuono, & era conosciuto.
Ma noi lo nomineremo Tuono aggiungendoui questa parola Minore, à differenza
del primo, che già habbiamo definito. Essendo che tra l'uno & l'altro ui cade po-
ca differenza; come potrete uedere, Ma passiamo un poco più oltra, acciò non
perdiamo tempo.

DEFINITIONE XXII.

Il Semituono maggiore è quell'Interuallo, per il quale la Diatessaron è maggiore del
Ditono.
SE ben mi ricordo, soggiunse M. Adriano; parmi che i Greci chiamassero questo
Semituono Apotome. E' uero, dissi; che chiamarono Α'ποτομὴ il Semituono
maggiore; ma questo ch'io hò definito non è quello de i Greci; essendoche è cō
tenuto d'altra proportione, che dalla Super. 139. partiente. 2048. dalla quale è contenu-
to quello, com'io son per dimostrarui. Per qual cagione lo chiamauano con tale nome?
dimandò il Viola. Perche diceuano, risposi io; che è Quasi tagliato fuori del Tuono, co
me superfluo; essendo che gli Antichi non adoperauano tal Semituono ne i loro Tetra-
chordi. Onde Α'ποτομὴ appresso di loro significa Tagliamento. Auertite però; che,

DEFINITIONE XXIII.

Il Semituono minore, ò Diesis maggiore Enharmonico è quell'Interuallo, per il quale il Di-
tono viene à superare il Semitono, ouer il Tuono minore il maggiore Semituono.
NOTATE però ch'io lo chiamo etiandio Diesis maggiore Enharmonico; percio-
che è Interuallo, il quale serue al Genere Enharmonico; come udirete & uede
rete al suo luogo ne i nostri ragionamenti. Questo intendiamo bene, disse Me-
ser'Adriano; ma sopra la definitione, che ci hauete proposto, ui uoglio dir due cose; del-
le quali la prima è, che i Greci chiamauano Lemma il lor Semituono minore. La secon-
da, che se noi consideriamo il Tuono maggiore diuiso in due parti; cioè, in due Semituo
ni, secondo la ragione, ch'io feci già, leggendo un giorno le uostre Istitutioni, ritrouo,
che se noi cauaremo il maggior Semituono dal Tuono maggiore, quella parte, che uer-
rà, sarà maggiore di questo Semituono, che ponete per la differenza, che si troua tra il
Ditono & lo Semiditono, ouer tra 'l Tuono minore & lo maggiore Semituono, che ha-
uete definito, & sarà etiandio di questo maggiore; tuttauia chiamate questo Minore, che
si douerebbe dire Minimo. Et non fate mentione alcuna di quello, ilquale sarebbe uera
mente il Minore; diteci adunque doue nasce questa cosa. Messere; dissi allora; Voi sete
in poco tempo fatto un'huomo molto sottile. Et mi diletta molto il uostro dubitare, il
quale è di gran giouamento; essendo che egli è uicino al Sapere. Percioche il dubitare
di ciascheduna cosa, nelle Scienze (secondo il FilosofoPraedica-
mēt. c. 3.
) non è senza utilità. Et mi pia-
ce, che uoi penetriate alle cose difficili col uostro intelletto, il quale è stato sempre bello,
& arteficioso. Però risponderò uolontieri à quel, che dimandato m'hauete; & prima al
lapage 91 Secondo. 91 la Prima cosa; dopoi uerrò alla seconda. Quanto alla prima ui dico, che è uero: che i Gre
ci chiamarno il lor Semituono minore Λεῖμμα; ma (come u'hò detto anco del Maggiore)
questo Semituono, che hò definito, non è quello, che da i Greci è chiamato per cotal
nome; ma si ben quello il quale da noi è usato al presente; essendo che il loro era conte-
nuto dalla proportione Super. 13. partiente. 243. & il nostro è contenuto d'altra propor-
tione; come son per dimostrarui. Onde appresso de loro tanto uuol dir Λεῖμμα, quanto
Residuo, ò Restante appresso di noi; percioche i Pitagorici chiamarono con tal nome la
parte minore d'una cosa diuisa in due parti inequali. Questo fù anco detto Δίεσις da Filo-
lao pitagorico. Ma di quel Δίεσις, del quale alcuni hebbero parere, che fosse Principio,10. Meta-
phy. c. 2.

Et 1. poste.
cap. 17.

& Elemento de gli altri Interualli della Musica; & uoleuano, che fusse come l'Vnità ne i
Numeri, la quale è la lor cōmune misura; hora non ui uoglio dir cosa alcuna; ma leggere
te il Cap. 48. della Seconda parte delle Istitutioni, se uorrete intender di lui qualche cosa;
& uoglio che questo ui sia basteuole intorno alla prima cosa, che m'hauete richiesto. Quā
to poi alla Seconda douete sapere; ch'io hò definito il Semitono minore esser quell'Inter
uallo, per il quale il Ditono sopr'auanza il Semiditono, oueramente il Tuono minore su-
pera 'l maggior Semituono; & non quello, per il quale il Semituono maggiore definito di
sopra dal Tuono maggiore è superato; percioche questo, ch'io hò definito, è quello, ch'a-
doperano al presente i Musici, & fà più al proposito nostro, di quell'altro; ancora che nel
Genere diatonico s'adoperi solamente 'l Maggiore in ogni suo Tetrachordo, & non il
minore. Onde non hauete dubitato fuor di proposito Messere. Et ui uoglio dire, che chi
uolesse minutamente considerar gli Interualli, che nascono in una ordinatione de Suoni
nelle lor proportioni, si trouerebbe esserui non solamente il Maggiore & lo Minor semi-
tuono, ma anco il Massimo, il Minimo, & il Mezano: onde si uerrebbe quasi à confonde
re l'intelletto de chi ascoltasse. Et perche queste minutie non fanno al nostro proposito;
perche dal Senso non sono comprese, per la poca differenza, che cade tra l'uno & l'altro;
Simigliantemente, perche ne gli Istrumenti arteficiali la Partecipatione & il Tempera-
mento loro non lascia conoscer cotali cose; però si lasciano da un canto. E' ben uero, che
quando queste minutie si uorranno trattare, & dimostrare il luogo doue accascano & si
ritrouano in un'ordine de suoni, noi sarà cosa impossibile, quantunque difficile; & già so-
pra un'Istrumento fabricato à tal proposito molt'anni sono le ridussi in atto, & le uolsi udi
re; come potrete uedere à Dio piacēdo ne i miei SopplimētiLi. 4. c. 11. già promessi. Mi ricordo del
l'Istrumēto, disse il Viola; & mi accorgo hora; per qual cagione non hauete fatto mentio
ne alcuna cosi minutamente de questi Semituoni nelle Istitutioni; massimamente di que
sto Minore, quando ne parlaste. A questo dissi; Voi hauete udito la cagione; ma nel Cap.
46. della Seconda
, & nel 19. della Terza parte, non solamente l'hò nominato, ma pongo
anco la sua proportione, se ue lo ricordate. A questo disse; Me ne ricordo; & ricordomi an
co, che nel Cap. 15. della Prima, è compresa la sua proportione nell'ordine de i Numeri
harmonici. Per qual cagione adunque; interrogo M. Adriano; per ritornar'à dir qualche
cosa ancora di questo Semituono, lo chiamate Minore, essendo Minimo? Risposi Per due
cagioni; l'una è, perche per la moltiplicatione delle parti del Senario tra loro secondo 'l
proposito, non si passa il numero 36. Onde tra quei numeri, che sono minori di questo,
non si troua la proportione del Minore, che uoi intēdete; ma si bene del Minimo, ch'è que
sto ilquale chiamo Minore; ilperche douendo dir Minimo, era necessario, che ui fusse auā
ti il Minore, ò dopoi almeno; essēdo che Minimo è relatiuo di Minore, ne i gradi della Cō
paratione; onde non mi parue cosa conueniente di nominare il Minimo, non ui essendo
il Minore; però lo nominai Minore, per rispetto del maggiore. L'altra cagione fù; perche
il Minore, che uoi dite non fà al proposito nostro. Son satisfatto, rispose M. Adriano; se-
guitate pur quel, che più ui piace. Soggiunsi allora; Dandoui di sopra la Definitione del
Semituono minore, io uenni à definire insieme il Diesis maggiore, che serue al Genere
enharmonico, percioche è quell'Istesso Interuallo; per il che hora seguiterò à dirui la de
finitione dell'altro, ch'è il Minor, & dirò à questo modo.
DE-page 92 92 Ragionamento

DEFINITIONE XXIIII.

Il Diesis Minore enharmonico è un picciolo Interuallo, per il quale il maggior Semituo-
no supera il Diesis maggiore, ò Semituono minore.
VEDETE di gratia, che bell'ordine è questo, che 'l Chromatico si serue del Semi
tuon maggiore, il quale è commune al Diatonico; & l'Enharmonico usa il mino
re, ch'è commune al Chromatico; di maniera che potete comprendere, quanto
la Natura maestra delle cose sia mirabile. Vedete ancora, soggiunse M. Claudio; che bell'
ordine & regolato è questo; che 'l Semiditono, il quale si troua nel Diatonico tra la prima
& la terza chorda del suo Tetrachordo; nel Chromatico si ritroua tra la terza & la quar-
ta; & il Ditono, che nel Diatonico tra la seconda & la quarta è collocato, nell'Enharmo
nico è posto tra la terza & la quarta medesimamente. Che uorranno adunque dir questi
Chromatisti; soggiunse il Sig. Desiderio? staranno forse ancora ostinati? uorranno forse
dire ancora, che 'l Ditono & lo Semiditono non siano del Diatonico, ma si bene, che l'u-
no sia dell'Enharmonico, & l'altro serui al Chromatico. Lo diranno certo, disse M. Adria
no; & senza ragione; Et se dicessero almeno, che 'l Semiditono, che si troua tra la chor-
da E. parlando come prattico, & la chorda C. segnata con questo segno . il quale chia-
miamo Diesis, & ciò discendendo; quasi quasi, che si potrebbe, se non in tutto, almeno
in parte, tener da loro; ma non già altramente. In che modo Messere, soggiunse il Vio-
la ; uorreste tenere con loro in questa cosa. In questo, rispose; quando la nominata Con
sonanza si ritrouasse esser collocata tra una chorda Diatonica, segnata E. & una Chroma
tica, segnata . com'hò detto di sopra; perche allora non si ritrouerebbe esser semplice
mēte tra le chorde Diatoniche; ma tra una segnata E. Diatonica, & una signata . Chroma
tica; & à questo modo potrei tener dalla sua. Ma che quest'Interuallo nō si troui nel Dia
tonico tra le chorde . & d. & tra e. & g. & non si possa cantare, senza interponerui una
chorda mezana; & ch'ello non sia interuallo Diatonico, questo non li consentirò mai; per
cioche se 'l si canta la Diatessaron senz'esser tramezata d'alcun'altro suono, & in un solo
Interuallo, & questa non faccia alcuna uarietà di Genere; il simile etiandio bisogna che
auenga, quando si canta il Ditono, ò lo Semiditono con un solo Interuallo; percioche nō
ui sò uedere, ne ritrouar maggior ragione, c'habbia l'un più che l'altro de questi Interual
li; essendo tutti consonanti. Anzi se 'l si douesse hauer qualche rispetto ad alcun di loro;
che, come più consonanti, si potessero cantar tramezati & non tramezati, & non fa-
cessero uarietà alcuna di Genere, come forse questi potrebbono dire della Diatessa-
ron; percioche da gli Antichi era tenuta la Prima consonanza; maggiormente do-
urebbe hauer questo priuilegio il Ditono & lo Semiditono; percioche tra i Mo-
derni fin'hora la Diatessaron da molti non è posta nel numero delle Consonan-
ze; come sono la Diapason & la Diapente; ma si bene il Ditono & lo Semiditono.
Et che questo sia uero, uedete questi due Interualli consonanti, che scambieuol-
mente tanto si pongono nella parte graue delle nostre compositioni l'uno sotto, ouer
sopra l'altro, quanto nell'acuto; il che non si fà della Diatessaron con la Diapente; per-
cioche questa sempre si pone sotto la Diatessaron, & questa le stà di sopra; oueramente
costumiamo di porle sotto il Ditono, ò lo Semiditono. Io uoglio dire, disse il Merulo,
una parola Messere, & poi seguitarete. Ditemi per uostra cortesia; di che Genere fanno
costoro, che sia il Tritono, il Semidiatessaron, la Diapente superflua, la Semidiapente, &
altri simili Interualli saluatichi, i quali non sono consonanti, ch'essi pongono nelle lor
compositioni? Voleua anch'io à punto dimandarui, soggiunse il Viola; Di che Genere
li fanno. Dicono, rispose egli all'uno & l'altro; che sono di un Genere misto, questi ga-
lant'huo-page 93 Secondo. 93 lant'huomini; ma non conoscono però la sua mistura. Vdita questa Conclusione, dissi;
Horsu Messere; lasciamo hormai queste cose da un canto, & torniamo al nostro proposi
to, che sarà cosa più utile: & sarà la Definitione del minimo Interuallo rationale, che si
troua nella Musica, il quale è chiamato Comma; onde diremo.

DEFINITIONE XXV.

Il Comma è un'Interuallo, per il quale il Tuono maggiore sopr'auanza 'l minore.
ET è detto Κόμμα; quasi tagliamento, ò parte, che dir uogliamo; col qual nome
chiamano etiandio i Grammatici una parte dell'Oratione. Disse allora il Meru-
lo; Questo nostro Comma non s'assimiglia à quello de gli Antichi, per quel ch'
io hò potuto uedere. Non solamente, dissi; non s'assimiglia nella proportione; ma ne an
co nella origine; percioche il Comma antico è quello, per il quale il Tuono sesquiottauo
è maggiore di due loro Semituoni minori, ouero è quella differenza, che si troua l'Α'πο-
τομὴ & il Λεῖμμα; & è contenuto dalla proportione Super. 7153. partiente. 524288. come
porta la natura di cotal cosa; ma quel, che hò definito, è contenuto d'altra proportione;
come al suo luogo son per dimostrarui. Et è differente per la origine, il che ci manifesta
la definitione. Disse allora M. Adriano; Ci direte cosa alcuna de i loro Schisma & Diaschis
ma? poi ch'io uedo che procedete per un'altra strada fuori di quella che faceuano gli An-
tichi. Dirouui gli risposi; & questo sarà il luogo; per non andare più in lungo: essendoche
lo Schisma nasce dal Comma, & lo Diaschisma del Semituono minore, come udirete.
Diremo adunque,

DEFINITIONE XXVI.

Lo Schisma è la metà intera del Comma.
DI qual Comma intendete uoi, soggiunse M. Adriano; del nostro, ò pur di quello
de gli Antichi? A' questo soggiunsi; Quantunque si habbia da intender di quel-
lo de gli Antichi; percioche da loro sono uenuti questi termini, & queste diui-
sioni; tuttauia non uoglio che facciamo tra 'l nostro & il loro alcuna differenza; ancora
che quello sia molto differente da questo di proportione; pur che ui dimostri quello, ch'
io intendo di dimostrarui al suo luogo. Sopra di questo Soggiunse M. Claudio; Che uuol
dire ueramente Schisma? Σχίσμα, risposi; è uoce Greca, & uuol dire Diuisione; percio-
che, come hauete udito nella sua definitione, gli Antichi faceuano due parti equali,
ouer l'intendeuano del Comma, & ciascheduna di esse chiamauano Schisma. Stà bene,
disse M. Adriano; ma che sarà poi lo Diaschisma? Quello, che ui hò detto di sopra, rispo
si; il quale diffiniremo à questo modo.

DEFINITIONE XXVII.

Lo Diaschisma è l'intiera metà del Semituono minore.
SOGGIUNSE M. Adriano; Di qual Semituono s'hà da intendere; dell'Antico, ò
pur del nostro? Sete molto diligente Messere, gli dissi; Ma qui non uoglio far dif
ferenza alcuna; percioche importa poco hauendoui à dimostrar solamente, che
le sue diuisioni sono Irrationali; essendoche non si possono denominar con Numeri deter
minatipage 94 94 Ragionamento minati & rationali; ma con irrationali & sordi. Et realmente le loro diuisioni non posso-
no farsi se non col mezo della Geometria; cioè, con l'aiuto d'un'istrumento Geometri-
co, come ui dimostrerò quando sarà il tempo. Ma quel che fin'hora hò detto ui potrà es
sere à bastanza intorno alle Definitioni; percioche uoglio, che ueniamo alle Proposte.
Non sarà fuori di proposito, aggiunse il Sig. Desiderio; non hauendoci altro da dire so-
pra questi Principij; però incominciate da quello, che ui torna commodo, che noi ui a-
scoltaremo attentamente. Voi dite bene, risposi; però ascoltate la prima Proposta, la
quale sarà,

PROPOSTA
PRIMA.

La Diapente & la Diatessaron nascono dalla diuisione Harmonica della Diapason con-
sonanza.
LA quale ui uoglio dimostrare à questo modo. Sia a. b. la consonanza Diapason,
secondo la Decimanona del primo nostro Ragionamento, dal c. Harmonica-
mente in due parti in a. c. & in c. b. diuisa. Dico di tal diuisione nascer la conso-
nanza Diapente & la Diatessaron; & lo prouo. Perche a. contiene il c. & la sua
metà; però, per la Quinta definitione di heri, a. co 'l c. uiene ad essere interuallo Sesqui-
altero. Simigliantemente; perche c. contiene il b. una fiata & una sua Terza parte; però,
per l'istessa definitione, dico c. b. esser'interuallo Sesquiterzo. Ma perche, per la Nona
& decima definitione d'hoggi, la Sesquialtera è la forma della Diapente, & la Sesquiter
za è quella della Diatessaron; però dico a. c. esser la Diapente, & c. b. la Diatessaron, le
quali nascono dalla diuisione della Diapason a. b. Harmonicamente fatta, secondo che
era 'l proposito di dimostrarui. Ancora che queste cose siano palesi al senso, disse Messer'
Adriano; non sono però considerate per il uerso che uanno; Percioche se bene io sò, che
una Diapente & una Diatessaron aggiunte insieme fanno una Diapason; tuttauia non
sapea, che fussero parti della Diapason; & che nascessero dalla sua diuisione Harmoni-
camente fatta, come hora hauete dimostrato. Se ben tutte ui erano note; Messere, gli
dissi; non però le sapeuate dimostratiuamente, & per le lor cagioni; però ascoltatemi,
che à poco à poco uerrete à sapere il tutto. Onde auertite; che,

PROPOSTA II.

Raddoppiata qual si voglia Semplice consonanza, ne i suoi estremi; dalla Diapason in
fuori; non dà alcun'Interuallo, che sia consonante.
SIANO a. & b. minimi termini di qual si uoglia semplice Consonanza, la quale,
per la Decimasesta del giorno passato, sia raddoppiata tra c. a. & b. & siano a. &
b. numeri semplici, & d. sia numero composto di Numero & Parte; & tra c. & a.
si troui quell'istessa proportione, che si troua tra a. & b. Dico, che gli estremi termini c.
& b.page 95 Secondo. 95 & b. di tal raddoppiamento non danno consonanza alcuna. Imperoche, non vi essendo
consonanza, che non sia della prima, ò della seconda maniera; & hauendo cotali Con-
sonanze; per la Prima & per la Seconda Definitione di questo ragionamento; le forme lo-
ro tra i numeri, ò termini, che sono le parti del Senario, col primo numero Cubo; i quali
sono Numeri semplici; poi che c. numero & parte uiene ad esser numero Composto; ne
segue che tra c & b. non ui possa cascare forma d'alcuna consonanza. Ma perche c. nu-
mero & parte vengono ad esser con b. la forma della proposta Consonanza raddoppiata;
però dico, che Raddoppiata qual si uoglia semplice consonanza; ne i suoi estremi non dà
alcun'interuallo, che sia Consonante. Et perche, per la Ventesimaterza del ragionamen
to del giorno passato; raddoppiato l'interuallo Duplo, costituisce il Quadruplo; & per
l'Ottaua definitione d'hoggi, il Duplo è la forma della consonanza Diapason; &, per la
Quarta decima, il Quadruplo è quella della Disdiapason; però raddoppiato l'interuallo
della Diapason ne gli estremi produce la Disdiapason; la quale, per la Settima & per la
Quartadecima nominata definitione; è interuallo . Raddoppiata adunque
qual si uoglia semplice consonanza dalla Diapason in fuori, ne i suoi estremi non dà al-
cun'Interuallo, che sia consonante. Et questo è tutto quello, che secondo la proposta,
ui douea dimostrare. Onde passarò à dirui, che

PROPOSTA III.

La Diapente & la Diatessaron sono collocate tra le maggiori Superparticolari.
ET ve lo dimostro. Siano ab. la Diapente, & c. con d. la Diatessaron. Dico
b & cd. esser collocate tra le maggiori Superparticolari. Molteplico adunque,
ò raddoppio; per la Decimasesta del giorno passato, l'interuallo ab. & lo cd.
di maniera, che ne uenga eb. due Diapente, & fd. due Diatessaron. Et per-
che eb & fd; per la Precedente; non fanno alcuna consonanza; però dico; per la Prima
definitione d'hoggi
; che ne eb & fd; simigliantemente, ne anco ab & cd; per la Vnde-
cima proposta
di hieri; possono tra le Molteplici esser collocate. Ma ab. Diapente, & c
d. Diatessaron; per la Sesta definitione d'hoggi; sono Consonanze semplici, & le forme lo
ro sono collocate tra le Molteplici, ò Superparticolari, & non tra altri Interualli; Adun-
que ab & cd. non hauēdo luogo tra le prime, di necessità l'haueranno tra le seconde; che
sono le Superparticolari. Ma la Diapente & la Diatessaron; per le loro Definitioni; han-
no le forme dalla Sesquialtera, & dalla Sesquiterza proportione; delle quali, per l'Otta-
ua Dignità
; tra i Superparticolari non ue n'è un'altra maggiore; adunque la Diapente &
la Diatessaron sono collocate tra le maggiori Superparticolari; come ui douea dimostra-
re.page 96 96 Ragionamento re. Piu oltra. Per la Decimasettima proposta del giorno inanti, ui dimostrai, che l'Interual-
lo Duplo nasce dalla congiuntione dei due maggiori Superparticolari; cioè, Sesquialtero
& Sesquiterzo. La onde, essendo, per la Nona definitione d'hoggi, la Sesquialtera forma
della Diapente; & per la Decima, la Sesquiterza forma della Diatessaron; seguita che la
Diapente & la Diatessaron siano collocate tra le maggiori Superparticolari; come dice la
proposta. Et questo è tutto quello, che dimostrar ui douea. Et perche ui uedo attentamen
te ascoltarmi; seguitarò dicendo; che

PROPOSTA IIII.

La Diapason nasce dalla congiuntione della Diapente & della Diatessaron poste insieme.
S'Io non m'inganno; disse qui il Sig. Desiderio; in questa proponete il contrario
di quello, che poponeste nella Prima proposta. Come adunque può stare, che
di queste due consonanze si componi la Diapason, se hauete detto prima che
dalla diuisione di essa nascono le due altre? Questo non è inconueniente (gli dis-
si) à dire, & anco ad essere; come dissi heri; che di una cosa diuisa in più parti, se ne compo
ni in'altra & quell'istessa, di quelle parti istesse. E' ben uero; ei rispose; ma genera fastidio
udire, che questi due termini cōtrarij possino stare insieme Diuiso & Cōposto, in un'istes-
so soggetto. Sono possibili, dissi io, quando sono considerati secondo diuersi rispetti. Ma
ueniamo al nostro proposito. Vi dimostrai nella Precedente, che la Diapente & la Dia-
tessarō sono collocate nelle maggiori Superparticolari. Dimostrai ancora heri; per la De-
cimasettima
; che l'Interuallo Duplo si sà de due Massimi superparticolari; la onde essendo
l'Interuallo Duplo la forma della Diapason; & la Sesquialtera quella della Diapente; &
quella della Diatessaron la Sesquiterza; seguita che la Diapason nasca, quando la Diapē
te con la Diatessaron insieme si congiungono; come dice la proposta. Et questo è quello,
che bisognaua dimostrare; al che aggiungeremo:

COLLORARIO.

Onde nasce, che reciprocamente cauata la Diapente dalla Diapason, ne uenga la Diates
saron; & cauatane la Diatessaron resti la Diapente.
DISSE allora M. Claudio; Questa cosa da se stessa è chiara, & non ha bisogno d'al-
tra dimostratione: percioche se da ab. interuallo della Diapason; come hauete
dimostrato nella Prima; leuaremo ac. Diapente; ne resterà senza dubio cb. Dia-
tessaron: come anco, se da ac. si leuarà cb. Diatessaron, necessariamente resterà ac.
Diapente. Questo è uero, risposi, & si tocca con le mani; onde uerrò all'altra proposta;
la quale sarà questa.

PROPOSTA V.

L'Interuallo della Diapason è Molteplice.
SIA a & b. l'interuallo della Diapason; & sia anco, per la Ottaua definitione,
d'hoggi
, & per la Terza del primo la Dupla la sua proportione; & sia oltra di que-
sto c & b. tale Interuallo raddoppiato. Dico a & b. essere interuallo Molteplice.
Per la Ventesima terza di heri; l'interuallo Duplo raddoppiato costituisce il Quadruplo;
ma il Quadruplo, per la Quarta definitione di heri; è Molteplice; adunque raddoppia-
topage 97 Secondo. 97
to a & b. prouiene c & a. ch'è simigliantemente molteplice. Et perche c & b. è Interual-
lo molteplice; però a & b. Interuallo raddoppiato in c & b. per la Sesta proposta di heri; fa-
rà etiandio molteplice. Ma tra a & b. ui è l'Interuallo della Diapason; adunque (come
dimostrar ui douea) tale Interuallo è molteplice. Ancora; per la Decimasettima di he-
ri, habbiamo; che l'Interuallo Duplo nasce dalla congiuntione de i due maggiori super-
particolari; Sesquialtero & Sesquiterzo. Et per la Precedente, habbiamo dimostrato; che
la Diapason nasce dalla congiuntione della Diapente con la Diatessaron; lequali hanno
le forme loro dalle due nominate proportioni, ouero interuallo; Onde non è dubbio, es-
sendo l'interuallo Duplo (per la Quarta definitione di heri) Molteplice; che anco l'inter-
uallo della Diapason sia molteplice; poiche, per la Definitione, la Dupla è la sua vera for-
ma. Ancora; Per la Ottaua definitione d'hoggi, l'interuallo della Diapason, ò uogliamo
dire la Diapason cononanza è contenuta dalla Dupla proportione; ma, per la nominata
Quarta definitione di heri; tale interuallo è Molteplice; adunque l'interuallo della Dia-
pason è Molteplice; come, secondo quello, che ui hò proposto, vi douea dimostrare. Stà
bene, disse M. Francesco; ma ditemi perche non dimostrate, che l'interuallo della Diapa-
son sia Duplo? Perche già lo sapete per uia della sua Definitione, risposi; che dice; che è
contenuta nella sua uera forma dalla proportione Dupla. Et già vi hò detto, che le De-
finitioni sono Principij, i quali non si possono in quella Scienza, della quale sono Princi-
pij, dimostrare; altramente non si potrebbono dire Principij, però non aspettate, ch'io
ue lo dimostri. Soggiunse allora M. Claudio; Poniamo, che non haueste detto, che la
forma della Diapason fusse la proportione Dupla; la potreste uoi allora dimostrare? Si be-
ne, dissi. Fatemi adunque di gratia questo fauore; soggiunse egli; dimostratecela. A que-
sto gli dissi; vi uoglio satisfare al tutto. Vi hò già dimostrato; che questo interuallo è Mol-
teplice; non è cosi? Cosi è in fatto replicò M. Claudio; Adunque, dissi io; ouero ch'ello
è Duplo, oueramente maggiore del Duplo. Ma perche il giorno auanti hò dimostrato,
per la già nominata Decimasettima proposta, l'interuallo Duplo nascere dalla congiun-
tione de i due Massimi superparticolari; però se l'Interuallo è maggior del Duplo; il Du-
plo non si componerebbe solamēte de due interualli Superparticolari, ma de più de due.
Nondimeno, hò dimostrato nella Penultima, che la Diapason si compone de due Con-
sonanze & superparticolari Interualli, che sono la Diapente, & la Diatessaron; adunque
la Diapason non è maggior dell'interuallo Duplo. Et se non è maggiore, adunque è Du-
plo; come vi douea dimostrare, secondo la uostra richiesta. Siamo benissimo satisfatti;
disse M. Claudio; & ui ringratiamo. Verremo adunque ad un'altra proposta, soggiunsi;
la quale sarà.

PROPOSTA VI.

Il Ditono, & lo Semiditono nascono dalla diuisione della Diapente Harmonicamente
fatta.
SIA ab. la Diapente diuisa, per la Decimanona proposta di heri, da c. mezano ter
mine Harmonicamente in due parti; in ac. & in cb. Dico da tal diuisione nasce-
re il Ditono & lo Semiditono. Onde perche a. contiene c. & la sua Quarta par-
te; però, per la Quinta definitione di heri, ac. uiene ad essere Sesquiquarto; Ma il
Sesquiquarto, per la Vndecima definitione d'hoggi, è la forma del Ditono; adunque a &
c. uerranno ad essere il Ditono. Ancora; perche c. contiene il b. & una sua Quinta parte;
Dimostr. Harm. G peròpage 98 98 Ragionamento però dico cb. essere, per la Quinta definitione nominata, interuallo Sesquiquinto. Ma lo
Sesquiquinto, per la Duodecima Definitione d'hoggi, è la Forma del Semiditono, adunque
c & b. è Semiditono. Et perche a. b. c. è Interuallo secondo la definitione Tertia decima
del primo
, diuiso Harmonicamente in un ditono & in un Semiditono; però dico, ch'el
Ditono & lo Semiditono nascono dalla diuisione Harmonicamente fatta della Diapen-
te. Et questo è quello, che secondo la Proposta douea dimostrarui.

COROLLARIO.

Onde nasce, che la Diapente è reintegrata dal Ditono & dal Semiditono, come da sue
parti.
INTESO questo il Signor Desiderio; con vn uolto molto lieto, disse; In fatto la
Dimostratione chiarisce il tutto. Onde si uede M. Gioseffo, che quello che uoi
dite, è vero in effetto; che dalla diuisione della Diapason nelle sue parti, nascono
gli altri Interualli, che seruono alla Musica; cosa, che mai più hò inteso da altri, che da
uoi. Ma che ci proporrete hora da dimostrare? Subito soggiunsi; Che

PROPOSTA VII.

Gli Interualli del Ditono & del Semiditono sono Superparticolari.
ET lo dimostro in cotal maniera. Sia a. b. c. l'Interuallo del Ditono raddop-
piato, & sia a & c. due Ditoni. Dico ab. ouer bc. esser'Interuallo Super-
particolare. Et perche ac. per la Seconda di questo; è impossibile, che fac-
cia consonanza alcuna; però ac. non può esser Molteplice, ne meno per la
Vndecima del passato ragionamento ab. ouer bc. sarà Molteplice. Ma per la Sesta de
finitione
d'hoggi, ab. ouer b. c. Ditono è Consonanza semplice; onde è compresa tra
i Molteplici, ouer tra i Superparticolari; però se ab. ouer bc. non è Molteplice; bisogna
necessariamente, ch'ella sia Superparticolare. Ilche è quello, che vi douea dimostrare.
Allora il Viola; Stà bene, disse, Hauete detto del Ditono; ma come si farà à prouar, che 'l
Semiditono sia anche lui Superparticolare? Si tenerà l'istesso ordine, soggiunsi; & si use-
ranno le ragioni istessse, che habbiamo usate nel Ditono; raddoppiando 'l Semiditono; co-
me si uede raddoppiato tra a. b. & c. in questo essempio; & si haurà il proposito. La onde
verrò all'altra, che segue; la quale sarà questa.
PRO-page 99 Secondo. 99

PROPOSTA VIII.

Il Tuono maggiore & lo minore nascono dalla diuisione del Ditono fatta harmonica-
mente.
FERMATEVI di gratia vn poco M. Gioseffo, disse il Signor Desiderio; Da che
uiene, ch'in tutte le Diuisioni, fatte fin'hora harmonicamente, hauete sempre
pigliato la Parte maggiore della diuisione precedente, & non minore? Perche
la minore, dissi non dà quelli Interualli, che fanno al proposito, ne consonanti, ne anco
dissonanti; come da questo potrete comprendere; che diuidendosi la Diatessaron harmo-
nicamente in due parti, dirò cosi; ne uengono due Interualli, de i quali il maggiore è con-
tenuto dalla Sesquisesta, & lo minore dalla Sesquisettima proportione; che se ben sono
Superparticolari, non fanno però Consonanza alcuna; percioche i loro termini non so-
no contenuti tra le Proportioni delle parti del Senario, secondo la Definitione; Onde nō
seruono alle nostre Harmonie, essendo che non sono Interualli, per i quali l'uno maggio-
re de i consonanti superi un'altro minore; come sono gli interualli de i Tuoni & Semituo-
ni, & altri ancora, i quali habbiamo definito. Detto ch'io hebbi questo, replicò & disse,
Da che nasce questo? Nasce; risposi; che tali Interualli per loro natura & proprietà non
sono atti à riceuer tal diuisione, che possa produrre i suoi Interualli consonanti; come
fà quello della Diapente; ouer se non sono consonanti, ch'almeno seruino alle modula-
tioni delle cantilene; come quelli, che nascono (come ui dimostrerò) dalla diuisione del
Ditono; il che dico etiandio de gli altri. Questa ragione è molto commodo; soggiūse egli.
Et io per hora (risposi) nō ui sò dir'altro; ma quando ne direte un'altra più particolare, &
più propria; la mia le darà luogo. Ma ditemi per uostra fè; per qual cagione il numero Ter
nario non si può di uidere in due altri numeri, che siano equali? Ei rispose; Per la ragione
istessa c'hauete detto della Parte nominata; però con questa uostra dimanda m'hauete
fatto accorgere, ch'è buona ragione quella, c'hauete addotto; se ben non è propria, essendo
che in uerità altro nō si può dir sopra questo fatto; se non che tali proprietà uenghino dal-
la lor Natura. Seguitate adunque quello c'hauete principiato; percioche di questo resto sa
tisfatto. Sia adunque soggiunsi ab. il Ditono diuiso dal c. harmonicamēte in due parti ac.
& cb. come c'insegna la Decimanona del Primo. Dico da tale diuisione esser prodotto il
Tuono maggiore, & lo minore Et [[per]]che a. cōtiene il c. una fiata & una sua ottaua parte; [[per]]ò
dico, per la Quinta definitione del primo, ac. esser'interuallo Sesquiottauo. Ancora; per
che cōtiene b. & la nona parte di esso b però, per la istessa Definitione, cb. uiene ad esser
Sesquinono. Ma perche ac. è Sesquiottauo, & il Sesquiottauo, per la Ventesima sesta pro
posta
di heri, & per il suo Corollario, è la differenza, che si troua tra lo Sesquialtero forma
della Diapente, & lo Sesquiterzo forma della Diatessaron; la quale, per la Ventesima defi-
nitione d'hoggi
, è Tuono maggiore; però dico ac. esser Tuono maggiore. Simigliātemēte;
perche cb. è Sesquinono, & questo, per la Ventesima settima proposta del giorno passato,
& anco per il suo Corollario, è la differenza, per la quale la Sesquiterza; cioè, la Diatessa-
ron sopr'auanza la Sesquiquinta, che è il Semiditono; & tale differenza è Tuono minore;
però dico cb. esser Tuono minore. Diremo adunque, che dalla diuisione del Ditono fatto
harmonicamente nascono il Tuono il maggiore & lo minore; come ui douea dimostrare.
Si può egli dimostrare, disse M. Adriano; che 'l Tuono maggiore sia Sesquiottauo, & lo mi
nore Sesquinono. Si può; Messere; & si debbe anco dimostrare; dissi; se bē da quello, che di
Dimostr. Harm. G 2 soprapage 100 100 Ragionamento sopra detto habbiamo, tal cosa si possa comprendere; essendo che nella loro Definitione
non ui è posto la lor forma. Allora ei soggiunse; Adunque se 'l non ui rincresce dimostra-
teci cotal cosa. Et io dissi. Voglio satisfarui Messere per ogni modo; onde diremo.

PROPOSTA IX.

L'interuallo del Tuono maggiore è Sesquiottauo, & quello del minore è Sesquinono.
HABBIAMO dalla Ventesima definitione d'hoggi; che 'l Tuono maggiore è quel-
l'Interuallo, per il quale la Diapente sopr'auanza la Diatessaron. La onde
essendo, per la Ventesimasesta proposta del primo, tale interuallo Sesquiotta-
uo; com'anco si è detto nella Precedente; ne uiene, che l'interuallo del Tuono maggio-
re sia Sesquiottauo. Simigliantemente, per la Definitione Ventesimaprima di questo
Ragionamento
; chiaramente si uede & conosce, che 'l Tuono minore è la differenza,
che si troua tra la Diatessaron & lo Semiditono, di quanto l'un supera l'altro; & già si è
dimostrato nel Ragionamento passato, nella Ventesimasettima proposta & nel suo Corol-
lario
, che tal differenza è un Sesquinono; però necessariamente seguita, che l'interuallo
del Tuono minore sia Sesquinono. Et questo è quello, che m'hauete richiesto, ch'io ui
douesse dimostrare. Son satisfatto; disse M. Adriano. Io adunque seguiterò; soggiunsi;
dimostrandoui; che

PROPOSTA X.

L'interuallo del Tuono maggiore, & quello del minore sono Superparticolari.
QVESTO è cosa facile; sopraggiunse il Signor Desiderio; percioche, se per la
Definitione, Quell'interuallo è Superparticolare, ilquale hà i suoi termini in
tal maniera, che 'l loro maggiore cōtenga il minore & di più una sua parte Ali-
quota; l'interuallo del Tuono maggiore & quello del minore, senza dubio
sono Superparticolari; perche, come hauete dimostrato nella Precedente; l'uno è Ses-
quiottauo, & l'altro Sesquinono, & ne l'uno & ne l'altro di essi il termine maggiore con-
tiene il minore & la sua nominata parte Aliquota. Onde posso dire, che questo è quello,
che uoi poteuate dimostrare. La cosa và bene; risposi; però andaremo un passo più auan-
ti. Il perche hauendo espedito di dimostrare, in qual maniera tutti quelli Interualli, che
sono semplici, nascano dalla diuisione harmonica della Diapason, fatta nelle sue parti;
uoglio ch'al presente dimostriamo alcune cose, che vi saranno di molta contentezza l'ha-
uerle uedute; percioche da esse comprenderete, come la madre Natura, Istrumento
del Sommo fattore, sia mirabilissima nel produrre & nell'ordinar le sue cose. Et uede-
rete, che quelle della Musica non sono fatte dall'Arte; ne accascano casualmente; ma
necessariamente sono per lor natura tali; & per tali debbono dal Musico esser considera-
te. Però; accioche incominciate à uedere in quante cose, che sono quasi infinite, l'ordi-
ne delle Consonanze & Interualli Musicali si ritroui; ui proponerò & dimostrerò la pro-
posta, che segue.
PRO-page 101 Secondo. 101

PROPOSTA XI.

Tra i termini delle diuisioni della Diapason, fatte secondo l'Harmonica & Contr'har-
monica proportionalità, & anco tra le loro differenze; si trouano le forme de tutte le Con
sonanze musicali.
MOSSE qui un dubio M. Adriano, udendo questa proposta, dicendo; Per qual
cagione non hauete cosi detto d'un'altra Consonanza; com'hauete detto della
Diapason? Onde gli risposi in cotal modo; Perche dalla sua diuisione, per es-
ser Prima consonanza, com'hò detto altroue;Cap. 13.
Inst. 1. par.
hanno origine tutte l'altre. Et perche
ogn'altro Interuallo minor di lei, è come sua parte; ò maggior, come composto di essa &
d'una sua parte, non è atto à darci tutte queste cose. Vi hò inteso, disse egli; però segui-
tate, ch'io haurò molto caro di ueder questa cosa. Cosi farò Messere, per satisfarui, sog-
giunsi. Siano adunque a & b. minini termini della Dupla, la quale, per la Definitione,
è la forma della Diapason; & sia primieramente, per la Decimanona di heri, d & c.
diuisa da e. termine mezano harmonicamente. Et sia etiandio a. la differenza di d &
e. & b. quella, che si troua tra e & c. Dopoi, sia; per l'istessa Decimanona, da f. meza-
no termine posto tra c & d. diuisa secondo la proportionalità Contr'harmonica; di ma-
niera, che simigliantemente a & b. siano le differenze, che si trouano tra df. & fc. & a. sia
la differenza di f. & c. & b. quella di d & f. Onde tra d. e. c. sia l'Harmonica collocata;
& tra d. f. c. la Contr'harmonica; & a. con b. siano le nominate differenze. Dico, che
tra tutti questi termini. a. b. c. d. e. f. si ritrouano le Forme de tutte quelle Consonanze,
che seruono all'uso delle Compositioni moderne. Imperoche d & c. fatta la compara-
tione del Massimo termine al Minimo de i Quattro maggiori; contiene la proportione
Dupla. la quale si troua simigliantemente tra a & b. Onde per la Definitione, tale In-
teruallo contiene la Diapason consonanza. Al medesimo modo il d. contiene e. una fia-
ta & la sua metà; per tanto dico d & e. esser Sesquialtero, & per la Nona definitione di
questo
, esser la forma della Diapente. Ancora; perche e. contiene il c. & una sua terza
parte; però dico ec. esser Sesquiterzo; onde la sua consonanza, per la Decima , sarà la Diatessaron. Comparato ancora f con e. si ritrouerà f contenere e. &
una sua Quarta parte; onde sarà la proportione Sesquiquarta; la quale, per la Vndeci-
ma definitione
, è la forma del Ditono. Et quella del Semiditono sarà tra d & f. percio-
che il d. contiene f. una fiata & una sua quinta parte; onde nasce, per la Quinta definitio-
ne del Primo
, la proportione Sesquiquinta; la quale, per la Duodecima definitione di
questo
, è la sua uera forma. Tra c & b. ancora uiene ad esser la proportione Tripla; la
quale è la forma della Diapason diapente; come dalla propria Definitione si può com-
prendere; la quale è Consonanza composta; percioche il d. contiene il b. tre fiate à pun-
to. Et se 'l si farà comparatione tra e & b. si trouerà, che tra quei termini ui è la Quadru-
pla; dalla quale, per la Decima quarta definitione d'hoggi, nasce la Disdiapason; essen-
do che e. contiene il b. quattro fiate & non più. Tra f & b. si trouerà anco la Quintupla;
per la Quintadecima definitione, forma della Disdiapasonditona, poi che f. contiene b.
cinque uolte intere. Et tra d & f. sarà la forma della Disdiapason diapente; per la pro-
Dimostr Harm. G 3 portionepage 102 102 Ragionamento portione Sestupla, che si troua tra i nominati termini. Ma se faremo comparatione di
f. con c. ritrouaremo la Superbipartiente terza, dalla quale hà la sua forma; come per
la definitione Decimasettima è manifesto; l'Hexachordo maggiore. Percioche anco
tra f & a. si troua la Dupla sesquialtera, che è la forma della Diapasonditona; com'è pa-
lese dalla Decimanona definitione. Onde è manifesto, che tra i termini della Diapason,
diuisa secondo la proportionalità Harmonica, & Contr'harmonica, & le loro differen-
ze; si trouano tutte quelle Consonanze, che sono possibili da ritrouarsi, le quali à tempi
nostri i Musici pongono nelle lor Compositioni; come ui douea dimostrare. Disse qui
il Viola; Non hauete già fatto mētione alcuna dell'Hexachordo minore, ne della Diapa-
son col Semiditono, & de molt'altre Consonanze, che si pongono ne i Contrapunti. Al-
lora soggiunsi; Quando hò fatto mentione de tutte quelle Consonanze semplici, che si
possono porre in atto, & che nascono secondo l'ordine naturale de Numeri harmonici;
imaginateui, ch'io habbia fatto anco mentione di ciaschedun'altra Composta, & de tut-
te quelle, che nascono da un'ordine accidentale; come sono quelle, che nominato m'haue
te. Percioche (com'hò detto nelle Istitutioni1. par. c. 16.) tra questi termini, che ui hò mostrato in que
ste due Proportionalità congiunte, si ritrouano tutte le Parti del numero Senario; le quali
contengono in atto & in potenza tutte quelle Consonanze, che si può l'Huomo imagi-
nare, che possano seruire alla Musica. Me ne ricordo & resto satisfatto, soggiunse il Viola.
Che dite uoi Messere di questi cosi belli discorsi & dimostrationi? Veramente ch'io stu-
pisco; rispose M. Adriano; ne mai credeua di ueder tante cose, & tanto diuerse, & anco tan
to belle della Musica, com'io ueggio; del che ne sia lodato Iddio. Ma uoltatosi uerso di me
soggiunse; non ui uoglio più interrompere col mio parlare M. Gioseffo; percio che deside-
ro, che uoi seguitiate; essendo che u'ascolto molto uolentieri. Vi uoglio anco dire Messe-
re; risposi; che noi potremmo hauere quāte delle già dimostrate Proportionalità congiun
te piaceranno à noi; se molteplicheremo i termini d. f. e. c. per qual numero uorremo; per-
cioche, per la Quinta dignità, haueremo un'ordine, il quale contenerà quelle Proportio-
ni istesse, che sono contenute tra i primi termini. Et cosi si potrà hauer prontissimamente
quante proportionalità Harmoniche & Contr'harmoniche congiunte insieme, che sarà
dibisogno dhauere. Ma poi che siamo in questi dolci ragionamenti, ui uoglio dimostrar
l'istessa cosa, che u'hò dimostrato con un'altro mezo; accioche conosciate, quanto questa
Scienza si piena di belli concetti, & di dolcissime speculationi. Statemi adunque ad udire.

PROPOSTA XII.

Ogni Progressione arithmetica, laquale incomincia da qual numero si voglia, cinque fiate
aggiunto à se stesso, contiene le forme de tutte le Consonanze; tra le quali si trouano le
Due prime maggiori semplici, esser diuise in Due semplici minori.
BISOGNA, che prima ci dichiarate la proposta; disse qui M. Claudio; & dopoi fa-
rete al uostro piacere la dimostratione. Hauete ragione risposi. Notate adunque,
ch'io intēdo un Numero esser'aggiunto à se stesso Cinque fiate, quando primie-
ramete se gli aggiūge una fiata un'altro numero à lui equale dopoi due fiate, oltra di que
sto tre fiate, quattro anco, & ultimamente cinque fiate; onde nasce l'Arithmetica Progres-
sione; La onde dico, ch'ogni Progressione arithmetica, la quale incomincia da qual nu-
mero si uoglia aggiūto à se stesso in sto modo, cōtiene la forma d'ogni Musical cōsonāza.
Et di più ui dico; che le Due prime maggiori cōsonāze semplici; che sono la Diapason &
la Diapēte, ciascheduna per se, si troua in tal Progressione diuisa, alla similitudine dell'Har
monica proportionalità in due Cōsonanze minori. Hora u'intēdiamo benissimo; aggiūse
M. Claudio, seguitate il dimostrarci cotal cosa. Questa è cosa facile; dissi, & che ciò sia uero
lo ve-page 103 Secondo. 103 lo vederete. Sia a. il numero, ilquale vogliamo aggiungere Cinque fiate à se stesso, di mo
do che produca l'Arithmetica progressione. Dico, che dobbiamo prima raddoppiare esso
a. & ne uerrà b. Et perche b. è duplo di a. però la Ottaua definitione, ba. contengono la for
ma della Diapason. Dopoi aggiungeremo a. al b. & ne uerrà c. Ma perche c. contiene a. tre
fiate & una il b. con la sua terza parte; però per le Definitioni, ca. è Tripla; & è la forma
della Diapason diapente, & cb. è Sesquialtera, & è la forma della Diapente. Di nuouo ag-
giungeremo a. col c. & ne risulterà d. Manifesta cosa è, che 'l d. contiene a. quattro fiate, &
c. una fiata con la sua terza parte; la onde, per le Definitioni; da. è Quadruplo; & uiene à
contener la Disdiapason; & cd. è Sesquiterzo, & contiene la Diatessaron. Al d. aggiunge-
remo di nuouo a & ne nascerà e. dico e. contenere a. cinque fiate, & esser Quintuplo; &
contenere il d. una fiata & la sua Quarta parte; il perche e & d. è Sesquiquarto. Onde dalle
Definitioni date al principio di questo ragionamento, è manifesto, che tra e & a. si troua la
forma della Disdiapason ditona; & tra e & d. quella del Ditono. Di nuouo aggiungendo
a. con e. nasce f. Onde, perche f. contiene a. sei fiate apunto; & e. una fiata con la sua Quinta
parte; dico, che f & a è Sestuplo, & per la Decimasesta definitione d'hoggi è la forma del-
la consonanza Disdiapason diapente, & fe. è Sesquiquinto, & è la forma del Semidito-
no. Ma perche e. contiene c. una fiata con due sue terze parti; però, per la Sesta definitione
del Primo ragionamento
, ec. è terzo, & per la Decima settima di questo;
è la forma dell'Hexachordo maggiore. Oltra di questo; perche il d. contiene il b. due fiate;
però d & b. sono in Dupla proportione, & tale proportione è la forma della Diapason, &
è diuisa (come dice la Seconda parte della proposta) in due parti; in una Diapente cb &
in una Diatessaron dc. Simigliantemente, perche f. contiene il d. una fiata & di più la sua
metà; però dico, per la Definitione, f & d. esser Sesquialtero, & esser la forma della cōsonan
za Diapēte. Essendo poi tramezata da e. dico, ch'ella è diuisa in due parti, l'una delle quali
si troua tra e & d. ch'è il Ditono, & l'altra tra f & e. ch'è il Semiditono; come di sopra si è
mostrato. Ma perche qualchedun di uoi potrebbe dire, che i mostrati ordini non fussero
ordinati in Arithmetica progressione, ui uoglio aggiunger questo di sopr'abondante; che
dalla Vndecima definitione di heri, lo potrete comprendere; che le differenze, che si tro-
uano tra a. b. c. d. e. f. sono equali. La onde essendo tanta la differenza, laquale si troua tra
b & a. quanta quella, che si troua tra c & b. & d con c. e con d. & f. con e. la quale è uera-
mente a. dà segno manifesto, che questi Termini son'ordinati in Arithmetica progressio-
ne; come ui haueua proposto. Adunque Ogni arithmerica progressione, la quale inco-
mincia da qual si voglia numero, aggiunto cinque fiate à se stesso; contiene le forme de
tutte le Consonanze; Et ciascheduna delle due maggiori semplici si troua esser diuisa in
due minori; come v'hò dimostrato. Questa è una bella consideratione; disse il Viola; &
degna d'hauerla in memoria; percioche da tutti non è consideirata cosi minutamente, co-
me la considerate uoi; però ogn'animo uirtuoso ui hauerà da hauere grande obligo, poi
che u'affaticate per giouarli. Lasciamo andar da un canto questo; risposi; & lodiamo
DIO delle sue gratie & doni, che ci concede. Et perche siamo sopra le belle cose, ve ne
uoglio dimostrar'un'altra, che vi piacerà, la quale è degna di tenerla à memoria. Mi
farà molto grato; disse M. Adriano; però date principio. Allora soggiunsi; Perche ui
hò dimostrato, che tra Quattro termini continenti la Diapason diuisa secondo l'Harmo-
nica & la Contr'harmonica proportionalità, & anco, che nella Progressione arithmetica
d'un Numero cinque volte aggiunto à se stesso, si trouano le forme de tutte le Consonan-
ze; ui uoglio hora dimostrare, in qual modo Cinque termini più fiate si possino replica-
re, tra i quali si ritrouino, non solamentele nominate cōsonanze, ma anco il Tuono mag-
giore & lo iminore. Et per dimostrarui questo con qualche intelligenza, douete sapere;
che (come afferma Boetio2. Arith.
cap. 54
) gli Antichi hebbero questo parere; che quella fusse una Massi-
ma & Perfetta harmonia, la quale in se contenesse quattro termini l'un dopò l'altro, che
fussero ordinati in tal maniera; che si come poco fà ui mostrai, tra questi Quattro
6. 5. 4. 3, numeri, si trouaua l'Harmonica & la Contr'harmonica proportionalità; cosi
Dimostr. Harm. G 4 trapage 104 104 Ragionamento
tra questi loro Quattro 12. 9. 8. 6. si ritrouasse la Geometrica, l'Arithmetica, & l'Harmo-
nica insieme congiunte; di modo che tra 'l Massimo & lo Minore de i due mezani; & tra il
loro Maggiore & il Minimo, fusse la Geometrica; tra 'l Massimo, il Maggior de i mezani &
il Minimo, l'Arithmetica; & l'Harmonica tra 'l Massimo, lo Minor mezano & il Minimo.
Et uoleuano, che questa Massima & Perfetta harmonia hauesse gran forza nella Musica,
& nelle speculationi delle cose naturali; & che non si potesse ritrouar cosa alcuna più per-
fetta di questa medietà; & che contenendosi tra tre Interualli, hauesse presa la natura del-
la Sostanza d'un Corpo perfetto, il quale consta simigliantemente di tre interualli; che
sono lunghezza, larghezza & profondità, ouer'altezza; indotti dall'Harmonia, che si tro-
ua tra le qualità del corpo Cubo; ilquale essendo composto de Dodici lati, Otto angoli,
& Sei superficie; passando dalla lunghezza alla larghezza, & da questa alla profondità,
ouero altezza; equalmente crescendo & facendo il suo progresso da cose equali, & perue-
nendo à ; è tutto proportionato à se stesso: le quali cose tutte sono
veramente degne di gran consideratione. Onde per la conuenienza de tutte queste co-
se poste insieme, la quale è ueramente harmonica; la nominarono Geometrica har-
monia. Ne per altro chiamarono l'Harmonica mediocrità, ò progressione, Proportiona-
lità harmonica, se non per la grande conuenienza, che questa hà con quella. Ma per finir
di dirui, tra questa loro Massima harmonia, diceuano, che erano contenute tutte le sem-
plici Consonanze della Musica, & anco il Tuono; ilquale affirmauano esser misura com-
mune de tutti i Suoni musicali; essendo che uoleuano, ch'ello fusse il più picciolo d'ogn'al-
tro. Et se bene gli Antichi hanno dimostrato questa lor Massima harmonia contenersi tra
Quattro termini, & che tra loro si ritrouassero tutte le semplici Consonanze, che noi hora
chia-page 105 Secondo. 105 chiamiamo perfette & anco il Tuono; tuttauia nō si ritrouādo in esso quelle Cōsonāze, le
quali chiamiamo Imperfette; che sommamēte sono all'Vdito grate; & da i Musici nelle lo
ro cātilene grandemēte poste in uso; ui uoglio dimostrar sta medesima Massima harmo-
nia accresciuta al numero de Cinque termini & Quattro interualli, i quali conteneranno
medesimamente nō solo la Geometrica, l'Arithmetica, & l'Harmonica al modo loro; ma
anco la Contr'harmonica, & qual si uoglia consonanza; insieme con le forme del Tuono
maggiore & del minore. Questo, disse M. Adriano; ci sarà molto caro; m'auanti che pas-
siate più oltra, dateci un'essempio di questa loro Massima perfetta & ueramente mirabi-
le harmonia, ui prego; percioche mi nasce di dimandarui un dubio sopra di essa. Io son
contento, risposi; & ui dò lo essempio de questi quattro termini; come uedete qui notato:
onde hauete à sapere, che Tutto quello, che ui hò descritto, intendono per Massima har
monia. Stà bene; soggiunse M. Adriano. Io uedo hora, che tra 12. 9. 6. ui è la propor-
tionalità Arithmetica, & tra 12. 8. 6. si troua l'Harmonica, ouer quella, c'hauete nomi-
nato di sopra Geometrica harmonia; ma per questo non ueggio la Geometrica. Et se è
quella, c'hauete detto di sopra, che si contiene tra 12 & 8; ancora tra 9 & 6; parmi che
questa non sia simile alla Geometrica, c'hauete mostrato nelle Istitutioni.1. par. c. 37. E' uero tutto
quello, che dicete; messere, risposi; ma gli Antichi intendeuano anco questa esser pro-
portionalità Geometrica; perche si assimiglia à quella, ch'io ui mostrai in questa cosa;
che tanto rende molteplicato il Massimo termine col Minimo, quanto molteplicati i due
mezani tra loro; come potete uedere; percioche tanto uiene 72. molteplicato il 12. per
il 6. quanto il 9. molteplicato per 8. Ma questa maniera di Proportionalità i nostri Ma-
thematici nominano Discontinua, ò Discreta, come la uogliamo dire; & è (come haue-
te ueduto) costituita tra quattro termini. Quella poi, ch'è posta fra tre solamente,
chiamano Continua; come hauete ueduto nelle due altre. Adunque; soggiunse il Me-
rulo; chiamaremo questa proportionalità Geometrica discontinua, per quello ch'io in-
tendo. Cosi stà bene, risposi. Voglio anch'io (aggiunse il Viola) dimandarui una cosa;
Che cosa è corpo Cubo? del quale n'hauete fatto mentione. Corpo cubo (gli dissi) si no-
mina quello, il quale per ogni uerso si troua equale, & hà le sue superficie ò facciate, equa
li, & equali i suoi lati, & è fatto propriamente come un Dado, à questo modo. Hora
CVBO
intendo benissimo soggiunse egli & resto satisfatto; percioche
considero hora i Dodici lati, gli Otto angoli, & le Sei superfi-
cie; le quali di sopra hauete commemorato. Et hò finalmente
anche compreso Quattro angoli solidi. Ma ui uoglio ancor di-
re; ch'io non sò uedere in questi termini tanta Harmonia per-
fetta, com'essi dicono, che ui sia. Percioche, se li uogliamo con
siderare inquanto alla compositione; se fussero tirrate quattro
chorde sopra un'Istrumento sotto la ragione de tali proportioni,
& fussero insieme percosse; s'alcun uorrà dire, che facciano Con
sonanza, non che Massima & perfetta harmonia; costui si potrà ben connumerare con
quellipage 106 106 Ragionamento quelli, che non hanno giudicio delle cose della Musica, perche l'Interuallo, ch'è compre
so tra i numeri, ò termini 9 & 8, è il Tuono; per quanto ci hauete insegnato, il quale
quanto sia perfettamente dissonante, lo dirà uno, che fusse al tutto sordo. Ma se 'l si di-
rà che non considerassero questa Massima harmonia à questo modo, ma in quanto con-
teneua tutte le Consonanze; questo sarebbe anco errore; essendo che (come detto
hauete) in quest'ordine mancano molti Interualli consonanti, iquali appresso de noi so
no in frequente uso. Però bisogna dir, che tale Harmonia non si possa chiamar da que-
sto, ne Massima, ne Perfetta; ma si bene secondo 'l loro modo: percioche contiene so-
lamente tutti quelli Interualli semplici, che appresso di loro erano riputati consonanti.
Voi dite bene M. Francesco, soggiunsi; ma mi penso che gli Antichi non la chiamasse-
ro Massima & Perfetta harmonia solamente per questo; ma ancora perche in se con-
tiene l'Harmonia del Cubo, di sopra da me dichiarata; & perche in lei (com'hò mo
strato) sono insieme aggiunte le tre nominate Proportionalità; percioche mi dò da in-
tendere, che molto ben sapeuano, che l'Tuono non è Interuallo consonante. Et se lo
chiamauano più picciolo d'ogn'altro suono; penso, che haueano rispetto à questo; per-
che essendo 'l Tuono la differenza della Diapente & della Diatessaron, con tal differen-
za ueniuano à misurar gli altri Interualli; essendo che li considerauano come composti
de Tuoni & de Semituoni. Onde lo chiamarono Misura commune; & Minimo de gli al-
tri suoni; rispetto alla Misura, la quale è sempre minor di quella cosa, che da lei uien
misurata. Intendendo però questo sanamente; come il Braccio che misura 'l panno;
ouer l'Vnità, che misura & numera gli altri numeri; percioche altramente non sarebbe
uero, poi che il Semituono è d'esso minore, & come sua parte. Questo credo anch'io;
disse di nuouo il Viola; ma perche non hò altro, che dimandarui sopra di questo, ui es-
sorto à seguitare il uostro ragionamento; & dir quello, che uoleuate. Cosi uoglio fare;
risposi: ma di questo ne ragionerò à Dio piacendo ne i Libri de i miei Sopplimenti.Lib. 8. c. 4.
5. & 6.
La
onde douendo seguitar quello che segue, ascoltate la proposta.

PROPOSTA XIII.

Si può dar quante Massime & Perfette harmonie si vuole; le quali conteneranno cia-
scheduna da per sè il Tuono maggiore, & lo Minore, con tutte le Consonanze, tra
i suoi termini & le loro differenze.
SIANO adunque, per la Vndecima di questo nostro ragionamento, c. f. e. d. la
proportionalità Harmonica & Contr'harmonica insieme aggiunte. Et sia cd.
Dupla; ce. Sesquialtera; cf. Sesquiquinta; fd. Superbipartiente terza; fe.
Sesquiquarta; & ed. Sesquiterza; alle quali dobbiamo aggiunger l'Arithme-
tica & la Geometrica. Per ritrouar l'Arithmetica, raddoppio, secondo 'l modo mostra-
to nelle Istitutioni;1. par. c. 36. c & d; & ne uiene g & h; i quali, per la Quinta dignità, conten-
gono quell'istessa proportione, che si troua tra c & d. La onde essendo cd. Dupla; gh.
simigliantemente uiene ad esser Dupla. Hora piglio la metà, di g. & h. aggiunti insieme,
& faccio i. Dico hora gi. esser Sesquiterzo, & ih. Sesquialtero; percioche essendo n. la
differenza, che si troua tra g & i; & contenendo g. quattro n. & i. contenendone tre; per
la Definitione, gi. è Sesquiterzo. Simigliantemente; perche i. contiene tre n. & h. ne
contiene due; però, per la Definitione, ih. uiene ad esser Sesquialtero. La onde, di-
co g. i. k. per la Vndecima definitione di heri; esser la ricercata proportionalità Arithme
tica; poiche le differenze, che si trouano tra i termini. g. i. k. sono tra loro equali & si-
mili alla differenza n. Fatto questo raddoppio simigliantemente f & e. & ne risulta k & l.
Ondepage 107 Secondo. 107 Onde dico, che tra g. k. l. h. sono contenute quelle proportioni istesse, che sono collo-
cate tra c. f. e. d. per la Quinta dignità nominata; cioè, gh. Dupla; gl. Sesquialtera; g
k. Sesquiquinta; k h. Superbipartienteterza; kl. Sesquiquarta; & lh. Sesquiterza. Ma
perche tanta è la proportione, che si troua tra g & i; quanta quella, ch'è tra l & h; &
tanto rende moltiplicati gli estremi g & h. essendo che l'uno & l'altro danno 72; però,
secondo che io dichiarai nella Precedente, dico; che tra g & i. & tra l & h. habbiamo la
proportionalità Geometrica. Hauendo ancora mostrato, che gh. è Duplo; per la De-
cimasettima
di heri; gl. sarà Sesquialtero, & lh. Sesquiterzo. Certo è, per quello ch'io
hò mostrato, che i & h. è Sesquialtero; il perche, per l'istessa Decimasettima, g & i. uiene
ad esser Sesquiterzo. Se adunque da ih. che è Sesquialtero, leuaremo gi. Sesquiterzo;
per la Ventesima sesta del passato ragionamento, restarà i & l. che sarà Sesquiottauo. Si-
migliantemente; se da gi. Sesquiterzo leuaremo gk. Sesquiquinto, per la Ventesimasetti
ma
di heri; uerrà k & i. Sesquinono. Onde si uede, che tra g. k. i. l. & h; sono contenu-
te le forme de tutti gli Interualli consonanti. Et anco quelle del Tuono maggiore & del
minore. Però dico g. k. i. l. h. costituir la Massima & Perfetta nostra harmonia, la quale
contiene ogni Consonanza, & il Tuono maggiore; con lo minore, i quali sono parti
d'esse Consonanze. Laonde hauendo prima dimostrato gh. esser Dupla; per la Defi-
nitione; gh. contiene la Diapason. Ma perche dimostrai gl. esser Sesquialtera; però
gl. contiene la Diapente. Habbiamo ancora detto g & i. esser Sesquiterzo; adunque
g & i. contiene la Diatessaron. Dimostrai ancora kl. esser Sesquiquarto; adunque kl. è
l'interuallo del Ditono. Dichiarai etiandio gk. esser Sesquiquinto; onde dico gk. esser
l'interuallo del Semiditono. Oltra di ciò mostrai i & l. esser Sesquiottauo: adunque i & l.
è l'Interuallo (per la Nona proposta di questo) del Tuono maggiore. Et perche k & i.
è Sesquinono; però (per l'istessa Nona) k & i. è quello del Tuono minore. Più oltra:
ui dimostrai kh. essere Superbipartienteterza; adunque, per la Decimasettima defini-
tione
, c'hoggi u'hò mostrato, kh. è l'Interuallo dell'Hexachordo maggiore. Cosi an-
cora dimostrai hm. essere Tripla; adunque hm. è la forma della Diapason diapente.
Dimostrai simigliantemente lm. esser Quadrupla; per consequente lm. è l'Interuallo del
la Disdiapason. Ma quello della Disdiapasonditona è mk. percioche dimostrai tale inter
uallo esser Quintuplo: come etiandio dimostra il g. esser Sestuplo; onde nasce la Dis-
diapason diapente. Dico ancora i & o. essere Duplasesquiquarta, doue ha la sua for-
ma la Diapason col Tuono maggiore appresso. Et si come l & f. uiene ad essere Super-
tripartiente quinta, la quale, per la Deciaottaua definitione d'hoggi, è la forma dell'
Hexachordo minore; cosi kn. è Triplasesquiterza, & è l'interuallo della Diapason ac-
compagnata con l'Hexachordo maggiore. Per concludere adunque potete hora ueder
dimo-page 108 108 Ragionamento dimostrato tutto quello, che si contiene nella Proposta, come far douea. Et di più anco-
ra; hauendoui dichiarato molt'altre cose, le quali uoglio che crediate, che cosi siano; an
cora ch'io non l'habbia dimostrate; percioche quando poi uorrete, ui dimostrerò il tut-
to; acciò mi crediate, & mi habbiate per huomo senza inganno. Disse allora M. Adria
no; Queste cose sono quasi dimostrate; per qual cagione adunque uolete uoi, che
non ui prestiamo fede? Ma questo è stato un lungo tiro; & ui prometto, ch'io
mi son tanto satisfatto, quanto di cosa, che fin'hora habbiate dimostrato; percioche è
cosa molto bella, sottile, ingegnosa, & diletteuole. Il Signor Desiderio anche lui sog-
giunse; Veramente è cosa, che può dilettare; poiche dimostra congiunte insieme mol-
te cose, le quali, oltra l'esser (com'hauete detto M. Adriano) bella & ingegnosa; è anco
piena di dottrina. Ripigliò M. Adriano; Veramente ch'è cosi; ma queste cose non so-
no per ogn'uno; massimamente per quelli, che sono di grosso intelletto; perche oltra
le molte stenti, che farebbono nel uolerle apprendere; potrebbono anco forse impaz-
zire. Dite pure Messere la cosa come ella stà; disse M. Claudio; sono Noci moscate da
non porre auanti i porzi; ma si bene bisogna porli auanti le Ghiande, come cibo loro
proprio. La cosa è uera; dissi; & per dirui, resto molto consolato; poi ch'io uedo gli
amici miei tanto cari & di tanto sano giudicio, come sete uoi, restar satisfatti. Et ciò
mi dà animo di caminar più inanti, & di non temer fatica. Et per questo auanti che ui
dimostri alcun'altra cosa, ue ne uoglio dimostrare una molto bella, ingegnosa, & forse
(dirò cosi) anche noua; Però state ad udire.

PROPOSTA XIIII.

Diuiso il Quadrato geometrico in Sei Parallelogrammi equali; Se noi tiraremo una
retta linea da un'angolo di esso Quadrato sopra il lato opposto; di modo che lo di-
uida in due parti equali; tra le linee de i lati de i Parallelogrammi, fatte da segamenti della retta, nasceranno tali parti, che paragonate l'una con l'altra, ci
daranno le forme de tutte le consonanze Musicali.
TAVOLApage 109 Secondo. 109 SIA adunque il Quadrato a. b. c. d. diuiso primieramennte in sei Parallelelo-
grammi equali a. b. e. f: e. f. g, h: g. h. i. k: i k l. m: l. m. n. o, & n. o. p. q. di maniera
che ciascun di loro sia la Sesta parte di tutto 'l Quadrato, a. b. c. d. Fatto que-
sto tiraremo dall'angolo a. la linea ap. di modo che tagli la cd. in due parti
equali in punto p. & sia cp. la metà intiera di cd. & il simile sia pd. Et la ef. uenga di-
uisa dalla ap. in due parti; cioè, in eq. & qf. la gh. in gr. & rh: la ik. in is. & sk: la
lm. in lt. & tm: & ultimamente la nq. in nu. & uo. di maniera che eq. uenga ad esser
la sesta parte dell'intiero lato di ciascun parallelogrammo; gr. due: is. tre: lt. quattro:
nu. cinque; & cp. ouer pd. sei. Et di nuouo: uo, uenga ad esser sette parti: tm otto:
sk. noue: r. h. dieci: qf. undeci; & ab. dodeci. Dico hora, che tra le parti de i lati ef.
gh. ik. lm. no. & cd. fatte da i segamenti della ap; & tra 'l lato ab. ritrouaremo le for-
me de tutte le Consonanze musicali. Percioche essendo ab. alla cp. ouer pd. Dupla; & la
Dupla, per la Definitione, la forma della Diapason; seguita, che ab. & cp. ouer. p. d. sia
la forma della Diapason. Et perche ab. contiene tutta la tm. & la sua metà; Però,
per la Definitione, queste sono in proportione Sesquialtera. Ma se la Sesquialtera,
per la Definitione, è forma della Diapente; adunque ab. & rm. contengono la Diapen
te. Ancora perche ab. contiene una fiata sk. & una sua terza parte; però ab. & sk.
contengono la Sesquiterza; essendo poi questa proportione la forma della Diatessaron;
seguita, che ab. & sk. sia la sua forma. Di più rh. & tm. sono in Sesquiquarta pro-
portione; percioche rn. contiene tm. & la sua quarta parte; essendo la Sesquiquarta
forma del Ditono; seguita che rh. & tm. sia la forma di esso Ditono. Oltra di que-
sto; perche ab. contiene rh. & di più una sua Quinta parte; però, per la Definitio-
ne, dico ab. & rh. esser Sesquiquinta; La onde essendo questa proportione la forma del
Semiditono; consequentemente ab. & rh. uiene ad esser la forma di questo Interuallo
consonante. Et perche sk. contiene tm. con una sua ottaua parte; Però dico, sk. &
tm. esser Sesquiottauo. Ma essendo, per la Nona di questo il Sesquiottauo la forma
del Tuono maggiore; però diremo, che sk. & tm. contengono la forma di questo Tuo-
no. Vltimamente (perch'io non uoglio perdere più tempo in dimostrarui tutto quello,
che si potrebbe) dico; perche rh. contiene sk. con una sua nona parte; ih. & sk. esser
Sesquinono. Ma 'l Sesquinono, per l'istessa Nona proposta, è la forma del Tuono mi-
nore; adunque rh. & sk. è la forma del Tuono minore. Et questo è tutto quello, che
sommariamente ui hò uoluto dire, & dimostrare; cioè, che tra queste Parti sono con-
tenute le forme delle Consonanze & Interualli semplici, & le Forme del Tuono maggio
re & del minore, lasciando da un canto il dimostrarui le forme delle Composte; percio-
che sono da se stesse, per quello che fin'hora habbiamo ragionato, conosciute. Onde
quando uorrete da uoi stessi potrete con facilità uedere, che cotali Forme di una in una
tra le già nominate parti si ritrouano; & per più uostra commodità potrete uedere, & far
da uoi stessi le dimostrationi de quelli Interualli, c'hò lasciati; aiutate dalla seguente Tauo
la, ch'io ui propongo; nellaquale trouarete. 45. Relationi di numero à numero, che so-
no le forme de quelli Interualli; à i quali saranno accommodati. Hauendo il Signor De
siderio ueduto cotal cosa, tutto ammiratiuo disse; Veramente che questa è stata una bel-
la inuentione; & si uede, che le proportioni della Musica sono tutte contenute (come
molte fiato hauete detto) nel numero Senario; perche alle proue, & alle Dimostrationi, c'
hauete fatto tante fiate, pazzo in tutto & balordo sarebbe colui, che negar le uolesse. Ma
passate pur innanzi, che ui sò dire, c'habbiamo hoggi hauuto alquante buone lettioni.
Già che hauete fatto mentione del Senario; risposi io ui uoglio anco auertire una cosa,
degna di consideratione; che se uoi porrete mente alle diuisioni fatte del proposto Qua-
drato, ritrouarete in lui non senza gran marauiglia una grande harmonia; Percioche se
lo considerarete diuiso ne i Parallelogrammi, ritrouarete per un uerso il numero Senario;
essendo di esso datto Sei parti; come si può dal Parallelogrammo e. f. g. h.
ouer dal l. m. n. o. imperoche ciascheduno di loro è la Sesta parte di tutto 'l Quadrato
pro-page 110 110 Ragionamento
¶ Tauola de 45. Relationi, ò Proportioni, che si trouano tra i Numeri intesi
nella diuisione del Quadrato geometrico, che sono le Forme de gli Inter
terualli; che s'adoperano nella Musica.
proposto. Ma considerandolo diuiso per l'altro uerso, ritrouarete il numero Quaterna-
rio; percioche il Triangolo a. c. p. uiene ad esser la Quarta parte di tutto il detto Quadra
to; come è noto à tutti quelli, c'hanno giudicio delle cose Geometriche; il che ui po-
trei anco facilmente dimostrare; che per non andare in lungo, lascierò à uoi altri questa
impresa. Solamente ui uoglio dire, che diuidendo questo Quadrato in Triangoli della
grandezza del Triangolo a. c. p. ne hauerete quattro, che saranno Orthogonii; cioè, che
haueranno un'angolo retto; com'è l'angolo a. c. p. del nominato Triangolo. Di manie-
ra che da questo potrete chiaramente comprendere, quanta forza habbiano questi due
numeri Quaternario & Senario nelle Musicali harmonie. Voglioui finalmente dire, che
se ui uerranno alle mani i miei Otto libri, ch'io chiamo Sopplimenti Musicali; i quali mol
te fiate ui hò nominati; & piacendo à Dio uederete un giorno & presto in luce, & leggere
te il Cap. 3. del Lib. 3. ritrouarete in questa materia cose che ui piaceranno assai; & forse
non più udite, ma non più di questo. Inteso questo M. Adriano, disse, Ancora io uoglio,
dire, che questa è una bella, sottile, & dotta inuentione; & che ui si potrebbe sopra di
essa far molti belli quesiti, che mi uanno per la mente; & dirui anco, che se haueremo
de queste lettioni, ui prometto ch'andranno per noi ben le cose; Però non ui uoglio più
tenere à bada; onde seguitate pur M. Gioseffo quello, che ci uolete dire. Fin hora Mes-
sere,page 111 Secondo. 111 sere, gli dissi, habbiamo ragionato intorno quelli Interualli, che nascono dell'harmo-
nica Mediocrità; onde è cosa giusta hormai, che passiamo più oltra, & parliamo de quel-
li, che sono minori de loro, i quali non nascono per cotal modo; ma sono differenze,
che si trouano tra i nominati; come sono i due Semituoni, maggiore & minore, & il Com
ma. Però uederemo hora quali siano le forme loro, & in che Genere di proportioni
siano contenute. Incominciando adunque diremo.

PROPOSTA XV.

L'Interuallo del Semituono maggiore è compreso dalla proportione Sesquiquintadecima.
STETTE un gran pezzo ad ascoltare M. Claudio; ilquale hauendo udito questa
proposta disse; In qual modo la dimostrarete M. Gioseffo? Hora lo intenderete
gli dissi, ascoltate; Per il Corollario della Ventesima ottaua di heri, è manife
sto, l'interuallo Sesquiquintodecimo esser la differenza che si troua tra lo Sesquiterzo,
& lo Sesquiquarto; Ma essendo lo Sesquiterzo (come tante fiate hò replicato) la forma
della Diatessaron, & lo Sesquiquarto quella del Ditono, non è dubio, che 'l Semituono
maggiore (per la sua Definitione) uiene ad essere tal differenza. La onde essendo ella
contenuta dalla proportione Sesquiquintadecima; ne seguita ancora, che l'Interuallo
del Semituono maggiore sia contenuto dalla Sesquiquintadecima proportione. Et que-
sto è quello, ch'io ui douea dimostrare. Ogni cosa torna bene disse allora M. Claudio;
Et io seguiterò risposi à dimostrarui; che

PROPOSTA XVI.

L'Interuallo del Semituono maggiore è Superparticolare.
CHE u'induce al presente (soggiunse il Signor Desiderio) di prouar, che questo
Interuallo sia Superparticolare? Perche uoglio con ogni mio potere (risposi) le-
uarui totalmente dalla fantasia; che questo sia quello, che adoperauano gli An-
tichi ne i lor Tetrachordi, & usauano nelle lor cantilene. Non bastaua sapere aggiunse
ancora, che questo che usiamo sia il maggiore, & quello che elli adoperauano era il mi-
nore? Bastaua si, gli dissi; quanto al saperlo ad un certo modo; ma non bastaua al saper
lo semplicemente; acciò non haueste qualche fiata à credere, che 'l loro maggiore & mi-
nore siano simili à i nostri maggiore & minore. La onde ui uoglio dimostrare, che i no-
stri sono compresi da proportioni Superparticolari; essendo che i loro (come hauete
potuto comprendere dalla dichiaratione della Ventesima seconda, & della Ventesima
terza definitione d'hoggi
) sono Superpartienti; se ui ricordate. Me ne ricordo & resto sa-
tisfatto; disse il Signor ; però seguitate il uostro parlare; & perdonatemi, s'al-
le fiate interrompo il uostro ragionamento. Questo importa poco; risposi; però ascol-
tate la dimostratione; la quale anderà in questo modo. Quell'Interuallo, del quale il ter
mine maggiore contiene il minore una fiata & una sua parte Aliquota; per la Quinta de-
finitione
di heri, è Superparticolare; ma il Sesquiquintodecimo è sottoposto à tal leg-
ge; percioche 'l maggior termine, il quale è 16. contiene lo minore, ch'è 15. una fia-
ta, & di più una sua Quintadecima parte, la quale è detta Aliquota; adunque l'inter-
uallo Sesquiquintodecimo è Superparticolare. Ma perche, per la Precedente; il Semi-
tuono maggiore è compreso da tale Interuallo; però dico, che l'Interuallo del Semituo-
nopage 112 112 Ragionamento no maggiore (come dimostrar ui douea) è Superparticolare. Ma passiamo ad un'altra
Proposta; percioche il tutto è chiaro,

PROPOSTA XVII.

L'Interuallo del Semituono minore è contenuto dalla proportione Sesquiuentesima quarta.
L'INTERVALLO del Ditono è contenuto dalla Sesquiquarta proportione; &
quello del Semiditono dalla Sesquiquinta; quell'Interuallo, anco per il quale
il Ditono uiene à superar lo Semiditono, per la Definitione, è il Semituono
minore; ma l'Interuallo, per il quale la Sesquiquarta sopr'auanza la Sesqui-
quinta; per la Ventesimanona proposta di heri; è la differenza, che si troua tra queste due
proportioni; adunque tale Interuallo è la differenza, che si troua tra 'l Ditono & lo Se-
miditono. Ma perche tal differenza è interuallo Sesquiuentesinoquarto; Però si con-
clude, il Semituono minore esser contenuto dalla proportione detta, come bisognaua
dimostrare. Et à questa uoglio, che aggiungiamo, per tener l'ordine, che si è tenuto
nell'altre; che

PROPOSTA XVIII.

L'Interuallo del Semituono minore è collocato tra i Superparticolari.
ET per dimostrar questa, breuemente vi uoglio dire; per la Quinta definitione del
giorno passato
; che Quella proportione è Superparticolare, la quale hà il suo ter-
mine maggiore di tal maniera, che contenga il minore, & una sua parte Aliquo-
ta. Et perche la Sesquiuentesimaquarta è di tal natura; percioche il suo termine maggio-
re, che è 25. contiene il minore, che è 24. una fiata & una Ventesima sua quarta parte; pe-
rò dico, che la Sesquiuentesima quarta è contenuta nel Genere delle proportioni tra i Su-
perparticolari interualli; ma tale proportione; per la Precedente; è la forma, ouero in-
teruallo del Semituono minore; Adunque tale Interuallo è collocato tra i Superpartico-
lari. Et questo è quello, che breuemente, & succintamente; per non molteplicare in pa-
role; ui hò uoluto dimostrare. Questa cosa è espedita; disse à questo M. Adriano; onde
tocca la uolta ad un'altra. E' cosi Messere; però ascoltate, gli dissi;

PROPOSTA XIX.

Se 'l si aggiungerà il maggiore al minor Semituono; quello che verrà, sarà Tuono minore.
SIANO adunque a & b. minimi termini della proportione del Maggior semituo-
no; & cd. quelli del Minore. Continuo, per la Seconda proposta di heri, questi
due Interualli l'un dopò l'altro; molteplicando a in c. & ne uiene e. & a in b. &
ne nasce f. Simigliantemente b. in d. & ne risulta g. Hora; perche e & f. nascono dalla
molteplicatione di c. in a. & in b. essendo ab. Semituon maggiore, per la Quinta dignità
dico,page 113 Secondo. 113 dico, che e. & f. uiene ad essere anco l'interuallo del Semituono maggiore. Ancora; per
che f. & g nascono dalla molteplicatione di b. in c. & in d. essendo c. et d. Semituon mino
re; dico, per l'istessa Dignità, f & g. esser'etiandio Semituono minore. Et perche e. contie-
ne il g. vna fiata & vna sua nona parte; Però, per la Definitione de i Superparticolari, e.
uiene ad esser con g. Sesquinono. Ma per la Nona proposta di questo, l'interuallo Sesqui-
nono è quello del Tuono minore; adunque e & g. è l'interuallo del Tuono minore. Ma e
& g. sono il Semituono maggiore & lo minore insieme aggiunti; adunque per la Quarta
dimanda
; Se 'l si aggiungerà il Semituono maggiore al minore, nascerà il Tuono minore;
come ui douea dimostrare. Hora aggiungerò questo Corollario; che

COROLLARIO.

De qui auiene, che leuato l'un de questi due Interualli; cioè, il maggiore, ò minor Semidituono
dal Tuono minore; necessariamente resta l'altro.
ET perche credo, che questo vi sia manifesto; però seguiterò à dimostrarui un'altra
proposta, & sarà questa.

PROPOSTA XX.

Il Comma è contenuto dalla proportione Sesquiottantesima, tra i Superparticolari.
INTESO che hebbe M. Adriano questo, subito disse; Questa proposta hà due ca-
pi, per quel che si può uedere. Prima volete dimostrare, che 'l Comma hà la sua
forma dalla Sesquiottantesima proportione; dopoi, che questa Forma sia collo-
cata tra i Superparticolari. Onde credo, che farete due dimostrationi. Cosi son per fare
Messere; risposi. Et per incominciar dalla prima, dico; Per la Trentesimaprima di heri fù
concluso; che Se da un Sesquiottauo si uorrà cauare vn Sesquinono, quel che uerrà, sarà
un Sesquiottantesimo. Et, per il Corollario dell'istessa proposta, habbiamo, che tale In-
teruallo è la differenza che si troua tra 'l Sesquiottauo & lo Sesquinono. Ma la forma del
Tuono maggiore, per la Nona proposta di questo, è il Sesquiottauo; & quella del mino-
re, per la medesima Proposta, è il Sesquinono. Et il Comma (per la Ventesimaquinta de-
finitione
d'hoggi) è quell'Interuallo, per il quale il Tuono maggiore sopr'auanza 'l mino-
re; però essendo la proportione Sesquiottantesima la forma di tal differēza; Seguita, che 'l
Comma sia cōtenuto dalla proportione Sesquiottantesima. Et perche 'l termine suo mag-
giore, ch'è 81. contiene 80. ch'è il minore vna fiata, & una sua ottantesima parte, la quale
è parte Aliquota; però, per la Definitione de i Superparticolari, la quale è, che quell'in-
teruallo è Superparticolare, del quale il termine maggiore contiene lo minore una fiata,
& una sua parte Aliquota. Seguita (ritrouandosi l'interuallo Sesquiottantesimo sotto po-
sto à cotali conditioni) ch'ello sia collocato tra i Superparticolari. Et questo è tutto quel-
lo, che secondo la proposta dimostrar ui douea. Questo si è inteso benissimo; disse il Viola.
Ma già che siamo à ragionar del Cōma; diteci [[per]] vostra fè; Se 'l si può saper la quātità deter
minata de i Cōma, che sono contenuti ne i Tuoni & ne i Semituoni, che ci hauete dimo-
strato. Et se nō si può sapere, vi [[pre]]go à pigliar sta fatica, di dimostrarci il vero di cotesta co
sa, se 'l si può fare; acciò leuiate ogni dubio dalle menti nostre. Si può dimostrar benissimo;
risposi; & ui uoglio satisfare; per mostrarui, che quello, c'hò detto nelle Istitutioni2. par. c. 4. in que-
sto proposito, è uero. Ma perche 'l nostro Cōma è molto differēte da quello de gli Antichi;
come ui dichiarai sopra la Definitione Ventesimasesta d'hoggi; & etiādio sono quelli In-
terualli tutti, che sono minori della Diatessaron, dal Tuono maggiore in fuori; ch'appres-
so loro erano tenuti per dissonāti; Però di questo piglierò uolētieri l'assonto; accioche vi
Dimost. Harm. H dimo-page 114 114 Ragionamento dimostri questa uerità ne i nostri Interualli, per satisfarui; poiche ne i loro BoetioMusicae li-
bro 3. cap.
15.
hà di-
ligentemente dimostrato quel, che si potea dimostrare; oue leggendole potrete il tutto
conoscere. Et accioche vediate, ch'io vi voglio seruire, incomincierò da questo capo, il
quale più vniuersalmente è considerato, & proponerò à dimostrarui questo; che

PROPOSTA XXI.

Il Tuono maggiore sopr'auanza la quantità di noue Comma, & è minore de dieci.
PARMI; disse M. Adriano; se ben mi ricordo; che BoetioMusicae
lib. 3. cap.
14.
& 15.
uoglia, che questo Tuono
sia minor di noue Comma, & maggior di otto. Onde si uede in questo, che discor
date da lui molto; doue nasce questo, di gratia? Nasce (dissi) che 'l Cōma di Boetio
è maggior del nostro; percioche la proportione Sesquiottantesima; la quale è la forma del
vero Comma; è minor della Super. 7153. partiente. 524288. che è la proportione del Cō
ma di Boetio; come conoscerete dalla dimostratione, onde dico. Sia a & b. la proportione
del Tuono, proposto ne i suoi minimi & radicali termini. Et siano c & d. il Comma, cōte-
nuto ne i suoi minimi termini, ò numeri. Molteplico prima a in c & in d. onde ne viene e
& f. dopoi molteplico c in b. & il prodotto sia g. Dico hora e & f. esser l'interuallo del
Comma; percioche, Ogni numero (per la Quinta dignità) molteplicato in due altri,
qual si vogliano; produce una proportione simile à quella, che tra i due numeri primi si
conteneua. La onde essendo molteplicato c & d per a. non è dubio, che tra e & f. sia quel-
l'istessa proportione, che si troua esser tra c & d. Il simile dico, ch'è tra e & g. percioche a
b. sono molteplicati per il c. onde, si come tra a & b. si troua la proportione del Tuono; co-
si quell'istessa si ritroua, per il detto Commun parere, ò Dignità, tra e & g. Fatto que-
sto molteplico c in e. & d in f. & ne nasce h & i. Simigliantemente molteplico c in g. &
ne uiene k. Dico hora h & i. esser la quantità de due Comma; cioè, del contenuto tra c &
d. & del compreso tra e & f. & hk. esser il Tuono. Di nuouo molteplico c in h. & d in i. &
ne risulta l & m. che sono tre Cōma sommati insieme; & molteplico simigliātemente c. in
k. & ne uiene n. La onde dico, per la Quinta dignità nominata, l & n. esser l'Interuallo
del Tuono. Molteplico ancora c in l. & d in m. & ne nasce o & p. che per le ragioni dette,
cōtiene quattro Cōma; & c in n. & ne viene q. il quale cō o. fà (per le ragioni addotte) l'in
teruallo del Tuono. Vn'altra fiata molteplico c in o. & d in p. & ne risulta r & s. i quali con
tengono cinque Comma; & c in q & nasce t. che con r. contiene simigliātemente il detto
Tuono; come vi potrei di nuouo dichiarare; che, per nō esser lungo, lascio da vn canto; es-
sendo che hormai è cosa à uoi manifesta. Più oltra; molteplico c in r. & d in s. & anco c. in
t. & ne uiene. u. x. y. di modo che tra u & x. sono sommati insieme sei Comma; & tra u &
x. viene à contenersi il Tuono. Fatto questo da capo molteplico c in u. & d in x. & uiene Z
& A. che contengono sette Comma; & molteplico c in y. & il produtto è B. il quale con Z.
cōtiene l'interuallo del Tuono, Quest'ordine istesso tengo, molteplicando un'altra fiata c
in z. & d in A. & c in B. & ne viene C. D. E. La onde dico, che C. D. contiene otto Cōma;
& C. E, il Tuono. Ancora con l'istesso modo molteplico c in C. & d in D. & ne risulta F. G.
che contengono noue Comma; & ancora c in E. & nasce H. il quale insieme con F. contie
ne medesimamente il Tuono. Fin qui vedete chiaramēte, che 'l Tuono è maggior de noue
Cōma. Percioche se 'l si farà comparatione del Numero F. al numero G. & di nuouo di es-
so F. al numero H. essendo 'l G. maggior numero di H. nō è dubio, che sarà anco (per la Trē
tesimasesta del Primo
) minor la proportione di F. G. che quella di F. H. La onde essendo
FG. interuallo, il quale cōtiene noue Cōma; & FH. l'interuallo del Tuono Sesquiottauo
ò Tuono maggiore; senza dubio alcuno seguita, che 'l Tuono maggiore sopr'auanza il nu-
mero de noue Comma; come dice la Proposta. Ma per dimostrarui, ch'ello sia minor de
dieci, de nouo molteplico c in F. & d in G. onde ne uiene I & K. i quali contengono dieci
Comma.page 115 Secondo. 115 Cōma. Il perche molteplico anco c in H. & ne nasce L. che con I. simigliantemente, per le
ragioni addotte al tre fiate, contiene il nominato Tuono. Vedete hora, come la cosa và al
riuerscio di prima; percioche I. è il numero maggiore, & K. il minore; onde, per la Trētesi-
masesta
nominata ancora, si conclude; che tra I & K. sia maggior la proportione, di quel-
lo ch'è tra I & L. Per il che essendo I & K. dieci Comma aggiunti insieme, & I L. l'inter-
uallo del Tuono; seguita, che maggior sia l'Interuallo de dieci Comma aggiunti insieme,
che nō è l'interuallo del Tuono maggiore. Et sto è tutto quello, che ui douea dimostra-
re, secondo la proposta. Questa è stata una lunga dimostratione; disse M. Adriano; ma non
già difficile; per il bell'ordine, c'hauete tenuto. Però non hauēdoci altro che dire sopra di
questo; perche il tutto è chiaro; passate più oltra, ch'io son risolto de i Diesis, de i quali i
nostri Moderni compositori segnano ne i loro canti, cō quattro, cinque, & noue Comma;
come nel Cap. 46. della Seconda parte delle Istitutioni hauete mostrato. Io non credo
Messere, gli risposi; che siate stato fin'hora à chiarirui. Ma ascoltate quest'altra ch'io vi vo
glio espedire in quattro parole.

PROPOSTA XXII.

Il Tuono minore è maggior de otto, & minor de noue Comma.
IL comma, per la Ventesimaquinta definitione di questo nostro Secōdo ragiona-
mento
, è Interuallo, per il quale il Tuono maggiore sopr'auanza 'l minore; adun-
que il Tuono minore è minor del maggiore per un Cōma. Se adūque il maggiore
è più de noue; com'habbiamo dimostrato nella Precedente, & men de dieci Cōma; il mi
nore (leuatogli un Cōma) verrà ad esser maggiore de otto, & minore de noue; come ha-
uea proposto di dimostrare. Disse allora quasi ridēdo M. Claudio; Queste dimostrationi co
si facili mi piacciono assai; ond'io uorrei, che si potesse procedere in tutte à sto modo; ma
perche sò, che nō attēdete ad altro, che à facilitar le cose; però non bisogna dirui altro; se
non che seguitate quello, c'hauete incominciato. Passarò adūque dissi à dimostrarui; che

PROPOSTA XXIII.

Il Semituon maggiore sopr'auanza la quantità de cinque Comma, & è minore di quella
de Sei.
Dimostr. Harm. H 2 ONDEpage 116 116 Ragionamento ONDE uolendoui dimostrar quel, che vi hò proposto, terrò l'ordine istesso, c'hò
tenuto nella Precedente. Siano adunque a & b. minimi numeri del Semituono
maggiore, & cd. i minimi del Comma. Molteplico prima a in c & d. & ne uiene e
& f. dopoi molteplico c in b. ne nasce g. Dico hora ef. esser l'interuallo del Comma me-
desimamente; & e con g. esser quello del Semituono maggiore. Percioche, per la Quin-
ta dignità
; I termini di qual si uoglia proportione molteplicati per qual si uoglia nume-
ro, rēdono l'istessa. La onde essendo cd. la proportione del Cōma, & essendo l'uno & l'al-
tro de questi due numeri molteplicati per lo a. seguita, che quel che uiene, che è e & f sia
l'istessa proportione, che si troua tra c & d. Il simile dico anco di e & g. percioche moltepli
cati a & b. che sono i minimi termini del maggior Semituono, [[per]] il c. ne uiene e & g. i quali;
per la nominata Dignità; con a & b. sono simili in proportione. Hora molteplico e per a.
& f per d. et ne uiene h & i. & molteplico anco g per c. & ne nasce k. Dico hora, che h & i.
è la proportione de due Comma; percioche essendo cd. la proportione d'un Comma, &
ef. quella d'un'altro; sommati insieme ne risulta h & i. che fanno la proportione di due
Simigliantemente, dico h & k. esser la proportione del Semituono maggiore; essendo che
e. & g. è la proportione del detto Semituono; & essendo l'uno & l'altro de i due termini
molteplicati per il c. per la Dignità già allegata; h & k. uiene à cōtener l'istessa proportio-
ne, che contiene e & g. Di nuouo molteplico h per c. & i anco per d. simigliātemēte k. per
c. & ne risulta l. m. n. Onde dico, ch'essendo (come di sopra hò prouato) h & i. due Comma
sommati con cd il quale è uno lm. uengono ad essere tre Comma, & per la Dignità alle-
gata
; essendo h & k. l'interuallo del detto Semituono; molteplicati questi due numeri per
il c. uengono medesimamente l & n. ad esser l'interuallo del Semituono maggiore. Que-
sto stà bene, disse M. Adriano, & non si può negare; ma qual segno mi farà certo, che cin-
que Comma siano minori, & sei siano maggiori del Semituono maggiore? Quell'istesso
Messere, risposi; che ui hò etiandio mostrato nella Precedēte; ilquale ui farò uedere, quan
do sarà il suo tempo. Soggiunse allora egli; Stà bene; seguitate pure. Et io seguitando
dissi. Molteplico hora l con il c. & m con il d. & ne uiene o & p. i quali dico esser l'Inter-
uallo di quattro Comma sommati insieme; per le ragioni addotte di sopra. Percioche
hauendoui dimostrato lm. essere tre Comma, & c. d. un Comma; è necessario, che som-
mati insieme questi Interualli, faciano il numero de Quattro. Ma molteplicato medesi-
mamēte n per c. nasce il q. il quale dico esser con o. il maggior Semituono; percioche (co-
me hò etiādio dimostrato) l & n. che sono i termini dell'istesso Semituono, sono cōmune-
mēte dal c. molteplicati. A' voi dico hora Messere; vedete questi tre termini, ò numeri o.
p. q. i quali sono in tal maniera ordinati l'un dopò l'altro, che 'l maggiore uà in anzi al mi-
nore; ò per il contrario il maggior segue il minore? Lo uedo disse; ma che uolere inferire
per questo? Voglio inferire; soggiūsi; che quando vederete nascere i numeri per altro uer-
so allora sarà segno manifesto, che quello ch'io uoglio dire, & ui hò detto, sia vero. Onde
state auertito, che resto lo uederete. Molteplico adunque di nuouo, seguendo l'istesso or-
dine, c in o. & d in p. & ne risultano r & s. i quali (per le ragioni addotte) contengono cin-
que Comma; come ui dissi; de i Quattro cōtenuti tra o & p. & di uno contenuto tra c & d.
Onde molteplicando ancora c in q. protiene il nominato Semi-
tuono;page 117 Secondo. 117 tuono; il perche si uede (per la Trentesima sesta di heri) che l'Interuallo rs. è minore del-
l'interuallo rt. & per cōsequente cinque Comma esser minori d'un Semituono maggio-
re. Ma se da capo, tenendo l'ordine, che fin'hora si è tenuto, molteplicaremo c in r. & d in
f. ne uerà u & x. che conteneranno; per le istesse ragioni sei Comma; cioè, cinque conte-
nuti tra r & s. & uno contenuto tra c & d Hora molteplicando di nuouo c in t. nascerà y.
il quale con u. contenerà (per le ragioni già tante volte dette) il maggior Semituono. Ma
vedete hora Messere, che questo ordine u. x. y. non è come gli ordini precedenti; percio-
che y. è maggior numero, che non è x. adunque u & y. contengono, per la Trentesima se-
sta
nominata, minor proportione, che non contengono u & x. Et per consequente il Se-
mituono maggior è minore de sei Comma, & maggior de Cinque; come, secondo che ui
hò proposto, ui douea dimostrare. Questo non si può negare Messere; disse il Viola. Ma se 'l
Semituono maggiore è più de cinque, & meno de sei Comma; che pazzia è quella di co-
loro, i quali uogliono determinar quello; che la Scienza lascia indeterminato? Veramen-
te è pazzia, dissi. Ma quando ui uoleste anco chiarir per un'altra strada con la prattica, &
ueder di quanta quantità questi Comma, superano, ò sono superati dal Semituono no-
minato; sommando insieme cinque Comma, & cauādo quel, che nasce dalla proportione
del Semituono; vedreste, che ui auanzarebbe la proportione Super. 25406797. partien-
te. 10460353203. Et di tal quantità bisognerebbe dire, che 'l Semituono maggiore so-
pr'auanzasse cinque Comma. Ma se cauarete la proportione del detto Semituono dalla
proportione, che nasce de sei Comma adunati insieme, ritrouarete, che uerrà la propor-
tione Super. 8428209443. partiente. 838860800000. contenuta, com'è l'altra ancora
ne i suoi termini radicali. Et questa è quella quantità, per la quale Sei Comma sopr'a-
uanzano 'l maggior Semituono. Qui soggiunse il Merulo; Questo è per la dimostratione
tanto chiaro; che sarebbe al tutto balordo colui, che lo uolesse negare. Voglio ancora di-
mostrarui (allora soggiunsi) quest'altra in questo proposito.

PROPOSTA XXIIII.

Il Semituono minore è maggior di tre Comma, & minor di quattro.
ET terrò l'istesso ordine delle Precedenti. Siano adunque a & b. i minimi termi-
ni del Semituono minore, & c con d. quelli del Comma. Primieramente molte-
plico a in c. & in d. & nasce e & f. dopoi molteplico c in b. & ne uiene g. Dico e &
f. contenere l'interuallo del Comma; percioche moltiplicato a in c & in d. per la Quinta
massima, ò dignità
; produce e & f. i quali contengono l'istessa proportione, chè contenu-
ta tra cd. Il simile dico di e & g. che contengono lo Semituono minore; percioche molte-
plicati a & b. che sono i suoi minimi termini, per il c. per l'istessa Dignità, produce e & g. i
quali cōtēgono la proportione cōtenuta tra a & b. Hora molteplico c in e. & di in f. & na-
sce h & i. che cōtengono due Cōma; percioche sono sommati insieme cd & ef. che fanno
tal somma. Molteplico etiandio c in g. & ne uiene k. il quale con h. cōtiene la proportione
di e & g. [[per]]cioche molteplicato il c cō e. & cō g. produce la proportione h & k. simile ad es-
sa e & g. Di nuouo molteplico h per il c. & i per il d. & producono l & m. che cōtēgono tre
Dimost. Harm. H 3 Comma;page 118 118 Ragionamento Comma; percioche sono sommati insieme il Cōma cd. & li due h & i. Hora moltiplico k
per il c. & ne uiene n. il quale cō l. cōtiene il nominato Semituono; essendoche da un'istes-
so numero, che è c. sono moltiplicati h & k. La onde si uede, ch'essendo m. maggior nume-
ro di n. per la Trentesimasesta del passato giorno, si troua minor proportione tra lm. che
tra ln. & per cōsequente maggiore è la proportione del Semituono minore, che quella di
tre Comma. Se con quest'ordine istesso moltiplicherò etiandio c in l. & di in m. uerrà o &
p. i quali conteneranno quattro Comma sommati insieme; cioè, i tre l & m & uno colloca
to tra c & d. Resta hora à moltiplicar c. in n. percioche da tal molteplicatione nasce q. il
quale con o. cōtiene il Semituono minore essendoche c. fù molteplicato in l & in n. Et per
che q. è maggior numero, che non è p. però, per la Trentesimasesta nominata, è maggior
la proportione, che si troua tra o & p. che quella che è tra o & q. Ma perche tra o & p. si
trouano sommati quattro Comma, & tra o & q. si troua il nominato Semituono; però cō-
cludo & dico; che maggiore è l'Interuallo, ò quātità de quattro Comma, che non è quel-
lo del Semituono minore. Et per consequente questo Interuallo esser minore de quattro
Comma; come ui douea dimostrare. Io credo, disse M. Adriano, che si come hauete det-
to, che la uerità della Precedente si possa anco ritrouar con la prattica, sommando insie-
me i Comma; & sottrahendoli il Semituono; cosi anco si possa fare il medesimo in que-
sta; percioche da questa & da quella, mi par che si possa cauare una ragione istessa. Cosi
è ueramente Messere, risposi; ne ui uoglio sopra di questo fare altre parole; essendo ch'io
credo, che dalla Precedente uoi siate molto bene istrutto del caso. Allora M. Francesco
disse. Io hebbi sempre quest'opinione, che la Scienza non discordasse punto dalla buona
Prattica; Però di questo non ui è dubio alcuno; & sarà bene, che uoi seguitate qualch'al-
tra cosa. Parmi che qui sia il luogo; soggiunsi; de dirui qualche cosa dello Schisma & del-
lo Diaschisma, auanti che passiamo più oltra, i quali erano considerati da gli Antichi; ac-
cioche di loro ne sapiate ragionare qual che cosa; quando ui tornerà in proposito. Di-
co ui adunque; che

PROPOSTA XXV.

Le proportioni del Schisma & dello Diaschisma sono incognite & irrationali.
AVERTITE però, che per Incognite & irrationali non intendo dire altro, se non,
che non si possono descriuere con numeri Rationali; ma si bene con numeri Sor-
di & Irrationali; come diedi l'essempio, se ui ricordate, parlando nelle Istitutio-
ni1. par.
cap. 57.
delle proportioni Rationali. Cosi dico esser le proportioni dello Schisma & dello
Diaschisma. Et per uenire alla Dimostratione; Siano a & b termini, ò numeri minimi del
Semituono minore; ouer c & d. quelli del Comma; gli uni & gli altri, per la Decimaotta-
ua proposta
di questo giorno; & per la Ventesima etiandio, Superparticolari. Per la No-
na proposta del Primo nostro ragionamento
, l'Interuallo superparticolare non riceue
ne uno, ne più termini mezani, che lo diuida rationalmente in due, ne in più parti equa-
li proportionali. La onde ab. & cd. restando in cotali parti in diuisibili; percioche sono
Superparticolari; è impossibile, quando si diuidessero, che le parti loro fussero cognite &
rationali. Onde ne segue; che non si potendo hauer la ragione de tal parti se nō incognite
& irrationali; essendo li Schisma & li Diaschisma per la Vigesimasesta & Vigesimasettima
Definitione di hoggi
parti de sti Interualli, che tali parti siano incognite & irrationali;
secondopage 119 Secondo. 119 secondo la proposta. Più oltra; nel luogo nominato delle Istitutioni dimostrai; che allora
una proportione costituita ne i termini suoi radicali, si può diuidere in due parti equali;
quādo il suo maggior termine è numero Quadrato, & il minore è la Vnità; percioche al-
lora il Quadrato & essa Vnita sono capaci d'vn termine mezano. Et perche tra a & b. si-
migliantemente tra c & d. non si ritrouano tali conditioni; ancora che a. sia Quadrato, &
anco c. però è impossibile, che ne ab. ne cd. si possa diuidere in due parti equali, delle
quali le proportioni siano cognite & rationali. Ma se pure è possibile; accioche tali par-
ti, le quali sono i due Schisma, & li due Diaschisma congiunti siano noti & rationali ne
i suoi minimi termini, i quali suppono, che siano e. f. g. procederemo in questo modo, di-
cēdo E' manifesto, che essendo lo Diaschisma la metà del Semituono minore, & lo Schis-
ma la metà del Comma; che è fg. & insieme congiunti faciano tutto 'l Semituono mino-
re; ouer tutto il Comma; & eg. sia l'interuallo del Semituono minore, oueramente quel-
lo del Comma. La onde essendo le proportioni ef. & gf. contenute ne i lor minini
termini; ef. simigliantemente è contenuta ne i suoi minimi termini; adunque sono i
minimi termini del Semituono nominato, ouer del Comma. Ma ab. & cd. si ri-
trouano di tal maniera; adunque ef. saranno quei numeri istessi, che sono ab. ouer c
d. cioè, è quell'istesso, ch'è b. ouer d. & g. quello, ch'è b. ouer d. Ma perche ab. & an-
co cd. sono numeri Contrase primi; però, per la Nona definitione di heri, non possono
esser diuisi da altro numero, che dall'Vnità. Onde ne auiene, che ab. & cd. sono rational-
mente indiuisibili. Et che se 'l si farà due parti de tali Interualli, & siano due Schisma, ò
due Diaschisma; tali parti saranno incognite & irrationali; secondo la proposta. Più
oltra; perche quella proportione, che si troua tra e & f. è quella, che si troua anco tra f &
g. adunque e. uiene ad esser numero Quadrato, come è a. ouer c. & g. uiene ad esser la
Vnità, come sono b. & anco d. ma il b. ouer il d. non è Vnità; adunque una cosa istes-
sa è quello, che è Vnità, & quello che non è Vnità. Ilche è ueramente impossi-
bile. Le proportioni adunque de i Schisma & de i Diaschisma non sono cognite & ra-
tionali; ma si bene incognite & irrationali; come ui douea dimostrare. Il perche da que-
sta dimostratione si caua questo Corollario.

COROLLARIO.

Onde nasce, che di quelle Proportioni, che non hanno nelle lor Radici il maggior termine,prop. 7.
primi
in
fine.

che sia numero Quadrato; & il minore, l'Vnità; le Proportioni delle sue diuisioni sono in-
cognite & irrationali.
HAVENDO il Sig. Desiderio vdito il fine della Dimostratione, & il suo Corol-
lario, disse; Questo m'ha piaciuto grandemente; & credo anco, che quando i ter
mini della proportione non fussero radicali; come intrauerrebbe nella Qua-
drupla, contenuta tra 8 & 2. & il 2. hauesse forza d'Vnità; allora. 8. uerrebbe ad
essere il numero Quadrato, rispetto ad essa Vnità; & cosi tale proportione dal 4 si farebbe
diuisibile; che ne dite di questo M. Gioseffo? Cosi è; Sig. mio risposi. Ma hauendoui fatto
fin'hora questa cosi lunga digressione; uoglio che ritorniamo al nostro primo proposito.
Onde uoglio che uediamo gli Interualli, che sono maggiori del Tuono, quanti Tuoni &
Semituoni uengono à contenere; poi c'habbiamo incominciato à ueder, quante fiate il
Comma tra gli estremi de i due Tuoni, & due Semituoni; maggiore & minore sia con-
tenuto; acciò riportiate frutto da i nostri ragionamenti. Et per procedere ordinatamente
incomincierò prima da i minori contenuti da minori proportioni, & di mano in mano
uerrò à dirui de quelli, che saranno maggiori. Ascoltate adunque.
Dimostr. Harm. H 4 PRO-page 120 120 Ragionamento

PROPOSTA XXVI.

Il Semiditono contiene vn tuono & vn Semituono l'vno & l'altro maggiore.
PER la Vētesima definitione d'hoggi, il Tuono maggiore è quell'Interuallo, per
il quale la Diapente sopr'auanza la Diatessaron; adunque la Diapente è mag-
gior della Diatessaron per vn tuono maggiore. Ancora, per la Ventesima se-
conda
; il Semituono maggiore è quell'Interuallo, per il quale la Diatessaron è
maggior del Ditono; adunque la Diatessaron sopr'auanza il Ditono per vn Semituono
maggiore. Ma perche la Diapente sopr'auanza la Diatessaron per un Tuono maggiore, &
la Diatessaron sopr'auanza il Ditono per un Semituono maggiore; per tanto la Diapente
è maggior del Ditono per vn Tuono maggiore, & vn maggior Semituono. Ma per la Se-
sta proposta
di questo si è dimostrato, che 'l Ditono & lo Semiditono nascono dall'harmo
nica diuisione fatta della Diapente; essendo 'l Ditono una parte di tal diuisione; seguita,
che 'l Tuono & lo Semituono l'uno & l'altro maggiore siano parti del Semiditono, il qua-
le è l'altra parte di tale diuisione; & che 'l Semiditono contenga un Tuono & vn Semi-
tuono, l'vno & l'altro maggiore; come dice la proposta, & come ui douea dimostrare. Ma
passiamo à dimostrar quella, che segue.

PROPOSTA XXVII.

Il Ditono contiene due Tuoni, l'un maggiore & l'altro minore.
QVEST'ORDINE non mi dispiace, disse il Viola. Hà del ragioneuole; rispose il Sig.
Desiderio; percioche si uede le parti esser cōtenute nel loro Tutto. Mi piace; sog-
giunse M. Adriano; perche par, che si accordi con quelli, che componeuano
gli Interualli maggiori con i minori. Dite bene Messere, disse M. Claudio, che pare;
quantunque non sia cosi. Hor sù adunque, soggiunsi seguitādo, per dimostrar questa, dirò
in questo modo. Per la Ventesima definitione d'hoggi; il Tuon maggiore è interuallo, per
il quale la Diapente è maggior della Diatessaron; & per la Ventesima prima; il minore
è quella differenza, che cade tra la Diatessaron & lo Semiditono. Ma perche la Diapen-
te supera la Diatessaron per un tuono maggiore, & la Diatessaron sopr'auanza lo Se-
miditono per vn tuono minore; però il Semiditono è superato dalla Diapente per vn
Tuono maggiore & vn minore. Ma, per la Sesta proposta d'hoggi; la Diapente si diuide
harmonicamēte in vn Ditono, & in un Semiditono; adūque il Semiditono sarà vna par-
te di tal diuisione; & l'altra sarà il Ditono, & contenerà due Tuoni; l'vn maggiore & l'al-
tro minore; come dice la Proposta; & come ui douea dimostrare. Oltra di questo, per l'Ot-
taua proposta
di questo; il Tuon maggiore & lo minore nascono dalla diuisione harmo-
nicamente fatta del Ditono; adunque il Tuono maggiore & minore, sono parti inte-
grali del Ditono. Ilche cosi essendo, dico che 'l Ditono, secōdo la proposta, contiene due
Tuoni, l'un maggiore & l'altro minore; come ui douea dimostrare. La onde à questa
soggiungerò, seguitando; che

PROPOSTA XXVIII.

La Diatessaron contiene due Tuoni; il maggiore & lo minore, co 'l maggiore Semituono.
DALLApage 121 Secondo. 121 DALLA Precedente è manifesto, che 'l Ditono contiene due Tuoni, l'un de i quali
è il maggiore, & l'altro è il minore; Et per la Ventesima seconda definitione, la
Diatessaron è maggior del Ditono per vn Semituono maggiore; ma il Ditono &
lo Semituono maggiore reintegrano la Diatessaron; adunque la Diatessaron contiene il
Tuono maggiore & lo minore, & anco il maggior Semituono. Più oltra; Per la Ventesi-
ma sesta proposta
; il Semiditono contiene un uono & vn Semituono, l'uno & l'altro
maggiore; ma la Diatessaron (per la Ventesima prima definitione) è maggior del Semidi-
tono per vn Tuono minore; adunque la Diatessaron contiene due Tuoni l'un maggiore
& l'altro minore, con vn Maggior semituono; secondo la proposta, come ui douea dimo-
strare. Il Sig. Desiderio à questo soggiunse; Non contiene adunque la Diatessaron due
Tuoni sesquiottaui, & un minor Semituono; come uoleuano gli Antichi. Al quale rispo-
se M. Adriano; In fatto si uede, che non è, come loro teneuano; se uogliamo che 'l Ditono
& lo Semiditono siano consonanze. Et perche questo è cosa chiara; ascoltate quest'altra;
diss'io; che ueramente non si può negare; che

PROPOSTA XXIX.

Tre Tuoni maggiori; oueramente due maggiori & vn minore, sopr'auanzano la Diates-
saron.
TANTO sono tre Tuoni, quanto quell'Interuallo, che noi chiamiamo Tritono;
& questo dal nome si può comprendere; siano poi tre maggiori, ouer due mag-
giori & un minore; poi che tra i primi & questi secondi non vi cade altra diffe-
renza, che quella del Comma; il che poco importa. Et ancora che questo sia manifesto
dalla Precedente, essendo ch'un Tuono maggiore & un minore, con un maggior Semi-
tuono sono equali alla Diatessaron; & tre Tuoni sono maggiori de i tre Interualli nomi-
nati; tuttauia uoglio che dimostriamo questo con un'altro modo. Dico adunque prima;
Per la Trentesimaquinta del primo ragionamento fù dimostrato; che Tre interualli Ses-
quiottaui sono più d'un'interuallo Sesquiterzo; Ma, per la Nona d'hoggi, tre Sesquiot-
taui sono tre Tuoni maggiori; & per la Decima definitione, l'interuallo Sesquiterzo è la
forma della Diatessaron; adunque Tre tuoni maggiori, ouero il Tritono; come dir uole-
te; superano la Diatessaron consonanza; secondo 'l proposito; come primieramente di-
mostrar ui douea. Dopoi; perche 'l Tuono maggiore supera 'l minore, per la Ventesima
quinta definitione
riuoltata, per un Comma; però dico, Due tuoni maggiori & un mino-
re, esser minori di tre tuoni maggiori per l'interuallo d'un Comma, ilquale Interuallo pe-
rò non è maggior d'un Semituono minore; ne meno d'un maggiore; ne etiandio equale;
come dalla Decimaquinta, dalla Decimasettima & dalla Decimanona proposta d'hoggi;
& anco dalla Settima Dignità di heri, si può comprendere. Sopr'auanzano adunque due
Tuoni maggiori & un minore la Consonanza Diatessaron; come ui douea dimostrare.
Piu oltra ancora; nella Precedente hò dimostrato, che la Diatessaron contiene due Tuo-
ni; l'vn maggiore & l'altro minore; & un maggior Semituono. Et per la Ventesimaquin-
ta definitione
di questo riuoltata, il Tuono maggiore supera 'l minore d'vn Comma; adun-
que due Tuoni l'vn maggiore & l'altro minore, sono minori de due maggiori per un Cō-
ma. Oltra di ciò; per la Ventesimaterza proposta d'hoggi; il Semituon maggiore è mi-
nore de Sei, & maggiore de cinque Comma; & per la Ventesima prima; Il Tuono mag-
giore è minore de dieci & maggiore de noue; adunque il Tuono sopr'auanza 'l Semituono
de quattro Comma. Et perche 'l secondo Tuono de i tre maggiori auanza il secondo &
minore della Diatessaron per un Comma; simigliantemente, perche il terzo de i tre mag-
giori sopr'auanza il maggior Semituono della Diatessaron per quattro Comma; però un
Tuon maggiore, un minore, & un maggior Semituono sono minori de tre Tuoni mag-
gioripage 122 122 Ragionamento giori per la quantità de Cinque Comma. Adunque tre Tuoni maggiori sopr'auanzano
la Diatessaron, secondo 'l proposito; come secondariamente dimostrar ui douea. Ma que-
sto non è da lasciare indietro; essendo il Tritono corellatiuo alla Semidiapente, se noi con
sideraremo esso Tritono composto di Tre tuoni maggiori; uerrà ad esser contenuto nella
sua propria forma dalla proportione Super 217. partiēte 512. & la Semidiapēte uerrà ad
esser cōposta di Due tuoni maggiori, & li Due Semituoni minori, di proportione Super
13. partiente 256. & la sua forma sarebbe la Super 295, partiente 729. ambidue cōtenuti
nell'Antica specie detta Diatona Diatonica; nella quale il Tritono è senza dubio mag-
gior della Semidiapēte; come si puol prouare, che cauata la proportione Super 295. par-
tiēte 729. dalla Super 217. partiēte 512. ne nasce la Super 7153. partiēte 524288. ch'è la
quantità di quanto esso Tritono supera la Semidiapente; ò di quanto essa Semidiapente
da esso Tritono è superata. Ma se lo consideriamo composto secondo la Specie naturale
ò Syntona di due Tuoni maggiori, & d'uno minore; la sua proportione ò forma sarà la
Super 13. partiente 32. & la Semidiapente sarà composta d'una Terza minore & d'un
Tuono minore, con un Semituono maggiore appresso: & la sua forma sarà contenuta
dalla proportione Super 19. partiente 45. onde in questa Specie auerrebbe il contrario;
percioche la Semidiapente senza dubio sarebbe maggiore del Tritono: come si può di-
mostrare: percioche se dalla Super 19. partiente 45. cauaremo la Super 13. partiente 32.
ne uerrà la Super 23. partiente 2025. ch'è quella quantità di quanto essa Semidiapente
supera il Tritono; & questo da quella è superato. Queste dimostrationi, disse M. Claudio;
sono state molto belle; ma sommamente mi è piaciuto quella ultima de i Cōma & della
differentia, che si troua tra il Tritono & la Semidiapente del Diatonico diatono, & quelli
del Naturale, ò Syntono pur diatonico. Desidero però di saper quello, che uerrà da di-
mostrarsi dopò questa. Ne uerrà, gli risposi; che

PROPOSTA XXX.

La Diapente contiene due Tuoni maggiori, un minore, & un maggior Semituono.
ILCHE cosi si dimostra. Per la Penultima proposta d'hoggi fù dimostrato la Dia-
tessaron contenere un Tuono maggiore, un minore & un maggior Semituono; &
per la Ventesima definitione riuoltata, la Diapente sopr'auanza la Diatessaron
per un Tuono maggiore; adunque la Diapente contiene due Tuoni maggiori; un mino-
re, & un maggior Semituono. Questa anco si può dimostrar con un'altro mezo, in co-
tal modo. La Sesta di questo dimostra, che 'l Ditono, & lo Semiditono nascono dalla Di-
uisione harmonica della Diapente; Onde il Ditono & lo Semiditono, per il suo Corol-
lario sono parti integrali di essa Diapente; Ma per la Ventesimasesta il Semiditono con-
tiene un Tuon maggiore & un maggior Semituono; & per la Ventesimasettima il Dito-
no contiene un Tuon maggiore & un minore; adunque la Diapente contiene due Tuo-
ni maggiori, & un minore, con un maggior Semituono; secondo 'l proposito. Si può an-
co ciò, dimostrar per un'altra maniera; & dire. Se da un'interuallo Sesquialtero, per la
Vētesimasesta di heri, si leuerà un Sesquiterzo; quello, che nascerà sarà Sesquiottauo; Ma
per le Definitioni date di sopra, la Sesquialtera è la Diapente; & la Diatessaron è la Ses-
quiterza; & lo Sesquiottauo è la forma del Tuono maggiore; per la Nona proposta dimo-
strataui di sopra adunque; leuata la Diatessaron dalla Diapente, il rimanente è il Tuono
maggiore. Più oltra; per la Ventesimaottaua di questo, la Diatessaron cōtiene due Tuo-
ni, l'un maggiore & l'altro minore con un maggior Semituono; ma questi Tre interualli
aggiunti ad un'altro Tuono maggiore, per il quale la Diapente sopr'auanza la Diatessa-
ron, fanno due Tuoni maggiori & un minore, con un maggior Semituono; adunque la
Dia-page 123 Secondo. 123 Diapente auiene à cōtenere due Tuoni maggiori, & un minore, & anco un maggior Semi-
tuono; come dice la proposta; & come ui douea dimostrare.

COROLLARIO I.

Onde auiene, che cauato il Tuono maggiore dalla Diapente, resta vn Tuono maggior con
uno minore, & il maggior Semituono; cioè, la Diatessaron; & questa essendo cauata da
quella, resta il Tuono maggiore.
PERCIOCHE se la Diapente contiene due Tuoni maggiori, vn minore, & vn
maggior Semituono; come habbiamo dimostrato; non è dubio, cauandone vn
Tuono maggiore, che il restante sia due Tuoni, l'un maggiore & l'altro mino-
re, con vn Semituono maggiore; i quali, com'habbiamo dimostrato nella
Ventesimaottaua di sopra, fanno la Diatessaron; come contiene la prima parte del Co-
rollario; & questa cauata dalla Diapente, resti, secōdo che dice la Seconda parte, il Tuon
maggiore. Et cosi potete uedere, che tutto quello; ch'è posto nel Corollario uiene ad
esser uero. Comprendo hora l'utile, che si caua da questi Corollarij; disse il Viola; cosa,
che per inanti non uedea. Ma ditemi di gratia, che vuol dire Corollario propriamente?
Questo è detto da Greci Πόρισμα soggiunsi; quasi Acquistato, ò Pensato; percioche (come
dice Proclo nel Terzo libro sopra la prima Proposta del Primo de gli Elemēti d'Euclide)
nasce come un'altro Theorema; non lo hauendo noi proposto da dimostrare. La onde
s'aggiunge alla Dimostratione già fatta, la quale genera scienza; come un certo guadagno
fatto oltra il proposito. Et ben che di due sorti siano tali Corollarij; tuttauia non uoglio
stare à perder tempo à dichiararui questa cosa; perche non è di molta importanza. Fa-
rete bene; ma da quello, c'hò compreso; soggiunse il Viola; credo, che questo sia etiandio
uero; che

COROLLARIO II.

Da questo nasce; ch'aggiunto 'l Tuono maggiore alla Diatessaron, subito si fà la Diapente.
BEN sapete; risposi io; & questo è manifesto dalla dimostratione & dal Corollario
precedente
. Ma ui uoglio dimostrare, ancora che lo sapiate dalla Prattica; che

PROPOSTA XXXI.

La Diapente nasce, quando 'l Ditono s'aggiunge insieme col Semiditono.
ANCORA che questa sia nota dal Corollario della Sesta proposta d'hoggi; tutta-
uia non uoglio lasciar di dirui; che 'l Semiditono, per la Ventesimasesta propo-
sta
(come poco fà ui diceua) cōtiene il Tuono maggiore & lo maggior Semituo-
no; & per la Ventesimasettima, il Ditono contiene il Tuono maggiore & lo minore. Ma
due Tuoni maggiori & un minore, con un maggior Semituono, per la Precedente, fanno
una Diapente; adunque aggiunto il Ditono al Semiditono, nasce la consonanza Diapen
te, secondo la proposta, & questo è quello, che ui douea dimostrare.
CO-page 124 124 Ragionamento

COROLLARIO.

Ilperche nasce, che cauato 'l Ditono dalla Diapente, resta 'l Semiditono; & questo cauato
da quella, ne viene il Ditono.
LA onde per esser questo cosa manifesta; non ui uoglio dir'altro; ma uerrò à di-
mostrarui breuemente quest'altra; che

PROPOSTA XXXII.

Due Diatessaron aggiunte insieme passano la Diapente per vn Tuono & un mag-
gior Semituono.
ET perche uoi sapete, ch'una Diatessaron, per la Ventesimaottaua proposta di
questo, contiene un Tuono maggiore, un minore, & un maggior Semituono; pe-
rò due Diatessaron uerranno à contenere due Tuoni maggiori, & due minori,
cō due maggiori Semituoni. Da questi adunque se noi leuaremo un Tuono minore & un
rnaggior Semituono; senza dubio restaranno due Tuoni maggiori, un minore & un mag-
gior Semituono; ma, per la Penultima, la Diapente contiene tutti questi Interualli; adun-
que la Disdiatessaron trappassa la Diapente per un Tuono minore, & un maggior Semi-
tuono. Et questo è quello, ch'intorno cotal cosa, secondo 'l proposito, ui douea dimo-
strare. Vi uoglio ancora dire, auanti ch'io passi piu oltra; che

PROPOSTA XXXIII.

Tre Tuoni maggiori sono minori d'una Diapente, & quattro le sono maggiori.
LA onde auertite; che, per la Trentesimaquinta di heri, Tre Sesquiottaui, sono
minori d'un Sesquialtero. Et, per la sua Sequente, quattro sono di esso mag-
giori. E uoi già sapete, per la Nona definitione d'hoggi, che la Diapente hà
la sua forma dalla proportione Sesquialtera, & per la Nona proposta, lo Sesquiottauo è
la forma del Tuono maggiore; adunque Tre tuoni maggiori sono minori della Diapente,
& quattro le sono maggiori. Il che è secondo la proposta; come ui douea dimostrare.
Molto mi piacciono questa sorte de Dimostrationi; disse M. Adriano; le quali si conclu-
dono con le conclusioni fatte per altre dimostrationi precedenti. Per questo Messere
(dissi) sono chiamate Elementi; percioche l'una dipende dall'altra. Ma ascoltate questa,
che ui propongo.

PROPOSTA XXXIIII.

Aggiungendo alla Diapente il Tuono minore; ouero alla Diatessaron il Ditono, nasce l'He-
xachordo maggiore. Simigliantemente aggiungendo alla Diapente il maggior Semituo-
no; ouero alla Diatesseron il Semiditono, ne viene l'Hexachordo minore.
SIANOpage 125 Secondo. 125 SIANO primieramente a & b. i minimi termini della proportione della Diapen-
te; secondariamente c & d. quelli del Tuono minore. Moltiplico a. in c. & ne
viene e. il che fatto molteplico ancora b. in d. & ne nasce f. Dico hora e & f. con-
tenere la Sesquialtera con la Sesquinona proportione; Percioche (secōdo ch'io
mostrai nelle Istitutionipar. 1. c.
33.
) sono sommate insieme queste sue proportioni; dalle quali ne uie-
ne vna terza, ch'è e & f. laquale contiene la Diapente col Tuono minore. Onde è manife-
sto da g & h. termini radicali di e & f acquistati dalla diuisione fatta di essi e & f. per il Se-
nario, & contenuti tra le parti di esso Numero; che e & f. sia Superbipartiente terza; per-
cioche g. contiene una fiata h. & due sue terze parti; la qual proportione (per la Decima-
settima definitione d'hoggi
) è la forma dell'Hexachordo maggiore. Aggiunto adunque
il Tuono minore alla Diapente si fà l'Hexachordo maggiore; come dice la Prima parte
della proposta. Ma per l'altra parte; se di nuouo pigliaremo A & B. termini radicali della
Diatessaron, & CD. minimi termini del Ditono, & molteplicheremo A in C. & B in D.
nascerà E & F. i quali, per il Cap. 33. della Prima parte delle Istitutioni, conteneranno la
Sesquiterza & la Sesquiquarta proportione; & per cōsequēte la Diatessaron & lo Ditono
insieme aggiunti. La onde E & F. uiene ad esser simigliantenente l'Hexachordo mag-
giore. Percioche i termini radicali di E & F. che sono G & H. acquistati dalla diuisione
fatta di essi per il Quaternario; contengono la proportione Superbipartiente quinta; la
quale, per la nominata Decimasettima definitione, è la forma dell'Hexachordo maggio-
re; i quali termini potendosi tramezare da un termine mezano; come si uedono tra p. q. r.
de i quali p & q. contengono la forma del Ditono, & q. con r. quella della Diatessaron; ci
danno segno manifesto; ch'aggiungendo di nuouo alla Diatessaron il Ditono; si genera
l'Hexachordo maggiore; come douea dimostrarui.

COROLLARIO I.

Onde nasce, che l'Hexachordo maggiore sopr'auanza la Diapente per un Tuono minore; &
la Diatessaron per un Ditono.
MA veniamo al resto della Proposta; cioè, alla sua Seconda parte: Se di nuo-
uo pigliaremo i minimi termini del Semituono maggiore, che sono i & k. &
molteplicheremo a in i & b in k. haueremo l & m. i quali (per il Cap. 33. allega-
to) conteranno la Sesquialtera & la Sesquiquintadecima proportione; & per conse-
quente la Diapente col Semituono maggiore. Hora è manifesto, che l & m. è proportio-
ne Supertripartiente quinta da i suoi termini radicali n & o, acquistati per la diuisione di
l & m. per il Senario. Percioche n. contiene o. una fiata & tre sue quinte parti; onde per
lapage 126 126 Ragionamento la Decimaottaua definitione, questa tal proportione è la forma dell'Hexachordo minore.
Adunque aggiunto 'l maggior Semituono alla Diapente, nasce l'Hexachordo minore; co
me dice la Prima parte della Seconda della proposta. Ma se di nuouo pigliaremo I & K.
radicali termini del Semiditono; & moltiplicheremo A in I. & B in K. ne risulterà senza
dubio alcuno L & M. i quali conteneranno la Sesquiterza & la Sesquiquinta proportio-
ne. Onde dico, che L & M. ci daranno l'Hexachordo minore simigliantemente, come si
può conoscere da N & O. che sono i termini radicali di L & M acquistati per la diuisione
fatta di L & M. col mezo del Ternario. Percioche contengono la Supertripartiente quin-
ta; la quale, per la nominata Decimaottaua definitione; è la forma del nominato Hexa-
chordo. I quali termini, poi che si possono tramezare da Q. come si uede tra P.Q.R. ci
danno manifesto segno, che tutto quel, che si è detto, sia uero; percioche tra P. & Q. è la
forma della Diatessaron, & tra Q. & R. quella del Semiditono. Dalla congiuntione del
Semiditono adunque con la Diatessaron, nasce l'Hexachordo minore; come dice la Secō
da parte della Seconda della proposta. Et questo è tutto quello, che ui douea dimostrare.

COROLLARIO II.

Onde è manifesto, che l'Hexachordo minore sopr'auanza la Diapente per vn Semituon
maggiore, & la Diatessaron per vn Semiditono.
ILCHE è tanto manifesto; che non hà dibisogno d'altra proua. Disse allora, ha-
uendo inteso questo M. Adriano; Ogni cosa torna bene. Et uoi sapete, che se 'l
si aggiunge il Tuono maggiore, ò lo minor Semituono alla Diapente, non può
far Consonanza alcuna; tuttauia desidero di uedere questa cosa di mostrata. Vedrete
poca varietà Messere; risposi; dal modo, che ui hò dimostrato nella Precedente, hor hora
dimostrata; però lasciatemi prima dirui la proposta, che dopoi ue la andrò dimostrando;
la quale è questa.

PROPOSTA XXXV.

Aggiungendo 'l Tuono maggiore, oueramente 'l minor Semituono alla Diapente, non può na-
scere consonanza alcuna.
VENGO hora alla dimostratione. Siano a & b. i minimi termini della Diapente;
& c. d. quelli del Tuono maggiore. Molteplico prima a in c. & ne uiene e. do-
poi molteplico b in d. & ne nasce f. Dico hora, per le ragioni addotte nella Pre-
cedente, che e & f. contengono la Sesquialtera & la Sesquiottaua
insieme aggiunte. Il perche e & f. contiene la Diapente col Tuono maggiore. Ma egli è
manifesto, per la Nona definitione di heri, che e & f. sono numeri Contraseprimi; per-
ciochepage 127 Secondo. 127 cioche non hanno altro numero, che li misuri, che la Vnità; onde sono Termini radicali
della proportione contenuta tra loro. I quali, per non ritrouarsi collocati tra le parti del
Senario, & il primo numero Cubo; per la prima & seconda Definitione d'hoggi; non
la forma d'alcuna Consonanza; ne semplice, ne composta. Onde si conclu-
de, per la Prima parte della Proposta; che aggiunto 'l Tuono maggiore alla Diapente,
non fà consonanza alcuna. Et quest'istesso argomento potiamo usare, à prouar, ch'ag-
giungendo 'l Semituono minore alla Diapente, non risulta alcuna Consonanza; Percio-
che presi i termini radicali del detto Semituono, che sono g & h. & molteplicati con quel-
li della Diapente a & b. cioè, a in g. & b in h. haueremo i & k. i quali contengono medesi-
mamente la Sesquialtera & la Sesquiuentesimaquarta proportione, & per consequente
la Diapente vnita al Semituon minore. Et perche i & k. nelle lor radici, che sono l & m.
vengono numeri Contraseprimi, i quali trappassano il primo numero Cubo; però, per la
prima & seconda Definitione nominate di sopra, non contengono forma d'alcuna Con-
sonanza. Adunque; Aggiungendo il Semituono minore alla Diapente, non genera Con-
sonanza alcuna. Et questo è tutto quello, che dice la Proposta, & che vi douea dimostra-
re. Son satisfatto; disse allora M. Adriano; & ui rendo gratie; però seguitate quello, che
vi torna più commodo, che v'ascolteremo uolentieri. Cosi uoglio fare, dissi; & proposi
à dimostrar; che

PROPOSTA XXXVI.

L'Hexachordo minore contiene due Tuoni maggiori, vn minore, & due maggiori Semi-
tuoni.
ILCHE manifestai per tal modo. L'Hexachordo minore; per la Trentesima
quarta
d'hoggi; nasce dalla congiuntione del Semituon maggiore con la Dia-
pente. Ma, per la Trentesima, la Diapente contiene due Tuoni maggiori, un
minore, & un maggior Semituono; à i quali se aggiungeremo 'l maggior Semituono; fa-
ranno due Tuoni maggiori; un minore, con due Semituoni maggiori; Adunque l'Hexa-
chordo minore contiene due Tuoni maggiori, un minore, & due maggiori Semituoni.
Più oltra; la Trentesimaquarta nominata dimostra, che dalla Diatessaron & dal Semidi-
tono posti insieme, si fà l'Hexachordo nominato; Ma la Diatessaron, per la Ventesimaot-
taua
, contiene un Tuono maggiore, un minore, & un maggior Semituono; simigliante-
mente il Semiditono, per la Ventesimasesta, contiene un Tuono & un Semituono, l'uno
& l'altro maggiore; i quali posti insieme fanno due Tuoni maggiori, un minore, & due
maggiori Semituoni; adunque l'Hexachordo minore contiene due Tuoni maggiori, un
minore & due Semituoni maggiori; come dice la Proposta, & come ui douea dimostrare.
Et per seguir l'ordine , dirò; che

PROPOSTA XXXVII.

L'Hexachordo maggiore contiene due Tuoni maggiori, due minori, con un maggior Semi
tuono.
L'HEXACHORDO maggiore, Trentesimaquarta d'hoggi, nasce dalla con-
giuntione del Tuono maggiore con la Diapente; Ma perche, per la Trentesima
di questo, la Diapente contiene due Tuoni maggiori, un minore, & un maggior
Semituono; se à questi s'aggiunge 'l Tuono minore; uerranno ad esser due maggiori, due
minori, & un maggior Semituono; Adunque l'Hexachordo maggiore cōtiene due Tuoni
maggio-page 128 128 Ragionamento maggiori, due minori, & un maggior Semituono. Simigliantemente; per la nominata
Trentesimaquarta, l'Hexachordo maggiore nasce dall'aggiuntione fatta del Ditono al-
la Diatessaron; ma per la Ventesimaottaua, la Diatessaron contiene un Tuono maggio-
re, vn minore, & vn maggior Semituono; & il Ditono, per la Ventesimasettima, contie-
ne un Tuono maggiore & un minore; adunque l'Hexachordo maggiore contiene due
Tuoni maggiori, due minori, con vn maggior Semituono; come dice la Proposta. Et
questo è quello, che ui volea dimostrare. Sono hora espediti quelli Interualli, che sono
minori della Diapason; la onde verrò à trattare al presente di essa. Et perche alcuni de gli
Antichi hanno tenuto, che ella contenga Sei tuoni Sesquiottaui; però, uoglio dimostrar-
ui, che questo è impossibile; se bene da altri ancora cotal cosa non sia riceuuta per vera;
Onde proponerò a dimostrarui; che

PROPOSTA XXXVIII.

La Diapason è minore de Sei Tuoni maggiori, & maggior de Cinque.
ET vi espedirò in poche parole. Voi sapete, che per la Penultima proposta del
ragionamento di heri; Cinque interualli Sesquiottaui congiunti insieme sono
minori di un'interuallo Duplo; Et, per l'Vltima; Sei sono etiandio di esso Du-
plo maggiori; Et troppo bene sapete, che 'l Duplo è la forma della Diapason; & il Ses-
quiottauo è la forma del Tuono maggiore. Onde Cinque Tuoni maggiori sono meno
d'una Diapason, & Sei la trappassano. Et perche in fatto è cosi; la Diapason (secondo la
proposta) è minore de Sei tuoni maggiori; & è maggior de Cinque; come ui douea di-
mostrare. Dimostrateci anco; disse M. Adriano; secondo la uerità; quanti Tuoni & quan-
ti Semituoni contiene. Questo è molto necessario Messere; risposi; però vi dico; che

PROPOSTA XXXIX.

La Diapason contiene tre Tuoni maggiori, due minori, & due maggiori Semituoni.
ET perche uoi sapete; se ui ricordate; che la Diapente & la Diatessaron aggiunte
insieme; per la Quarta proposta d'hoggi; fanno la consonanza Diapason; Et ui
hò dimostrato, per la Ventesimaottaua, che la Diatessaron contiene un Tuono
maggiore, & vn minore, con un maggior Semituono; Et per la Trentesima fù concluso;
che la Diapente contiene due Tuoni maggiori, un minore, & un maggior Semituono; i
quali adunati insieme fanno tre Tuoni maggiori, due minori, con due maggiori Semi-
tuoni; Però la Diapason contiene Tre tuoni maggiori, due minori, con due maggiori
Semituoni; secondo ch'io douea dimostrare. Hora uoglio dichiarare una diffi-
cultà, & accordar (s'io potrò) due opinioni contrarie, de due fattioni molto segnalate nel-
la Musica; Però ascoltatemi; che ui uoglio prima dir la Proposta & dopoi dimostrarla; &
cosi nella dimostratione conoscerete la cagione che mosse i suoi Fautori ad hauer cotali
opinioni; & la uerità della cosa. Ascoltate adunque la Proposta; la quale è questa.

PROPOSTA XL.

La Diapason diatessaron non è consonanza Propriamente; ma Communemente detta.
ILpage 129 Secondo. 129 IL Sig. Desiderio udendo questo; auanti ch'io passasse più oltra, disse. Alcuni han-
no tenuto,Harmoni
lib. 1. c. 6.

Boeth. lib. 5. c. 8. Mu-
sicae.
che quest'Interuallo sia dissonante, & voi uolete prouare 'l contrario;
per quello ch'io vedo; doue nasce questa cosa? Lo vederete tosto; risposi; ma
ascoltate prima l'opinioni di questo; e l'vna all'altra contrarie. Tiene Tolomeo, &
dopo lui molti altri, questa cōclusione per uera, contra i Pitagorici; che la Diapason dia-
tessaron sia Consonanza. Et se ben pare ad alcuni, che Tolomeo habbia ragione per
quello, che lui adduce in suo fauore; tuttauia non hanno anco il torto i Pitagorici. Dice-
ua Tolomeo questa ragione; tollendo da Aristosseno nel primo de gli Harmonici questa
conclusione; che Quando la Diapason consonanza hà i suoni, che la contiene ben'accor-
dati; niente sono differenti di virtù & possanza da un sol suono; onde applicata à qual si
voglia Interuallo semplice, che sia minore di lei, ò per il contrario; conserua quella specie
intera & inuiolata; come conserua 'l Denario in se stesso gli altri numeri, che sono di lui mi
nori. Il perche, si come quando alcun suono s'aggiunge alla Diapason dalla parte più gra-
ue, ouer dalla più acuta; si troua vna certa conuenienza & forza di muouer l'Vdito tra
esso & quello, che gli è più vicino; cosi appare esser tale conuenienza & forza tra lui & lo
più lontano. La onde la Diapente & la Diatessaron consonanze da se stesse hanno quella
sonorità in quella conuenienza da quella parte della Diapason, che gli è più uicina, onde
meritamente l'Vdito riceue all'istesso modo la Diapason diapente, ouer la Diapason dia-
tessaron, che riceue la Diapente, ouer la Diatessaron poste da per sè, & sole. La onde per
questa cagione seguita infallibilmente; ch'essendo la Diapente, & anco la Diatessaron,
Consonanze; che consonanti siano anco la Diapason diapente, & la Diapason diatessa-
ron; & ad vn modo esser riceuuta dall'Vdito ciascheduna di queste due, com'è riceuuta
la Diapente & la Diatessaron, ciascheduna da per sè & sola; come euidentemente appare
per l'esperienza. Finalmente conclude che tanto l'uno, quanto l'altro de questi due nomi
nati Cōposti interualli siano consonanti. Dall'altra parte i Pitagorici adduceuano in suo
fauore questa ragione, la quale teniuano per vera, anzi uerissima; che Ogni cōsonanza na-
sce, ouer dal Molteplice, oueramente dal Superparticolare, contenuti tra quei numeri,
che sono le parti del numero Quaternario, & non da altro Genere; & che non essendo la
Diapason diatessaron ne Molteplice, ne Superparticolare; essendo che la sua forma è
contenuta tra i Molteplici Superpartienti, dalla proportione Dupla superbipartiente ter
za; onde non poteua à patto alcuno esser Cōsonanza. Ma questo concluderebbe ottima-
mente; quādo semplicemēte fusse uero, che non si trouasse altre Cōsonanze, se non quel-
le, che nascono da i due nominati Generi, & le Sēplicemēte dette. Vediamo però in fatto
altramēte essere; come fin'hora dalla Esperienza & dalla Scienza siamo certificati. Et se
ben queste due opinioni sono cōtrarie; tuttauia si possono facilmente accordare; conside-
rato quello, c'hò detto nella Prima & Seconda definitione d'hoggi, sopra le Consonanze
Propriamēte dette, & le dette Cōmunemēte, & anco quello, che dissi heri intorno à i Luo
ghi, ouer Siti delle Consonanze; Percioche il tutto in queste due cose cōsiste; se ue le ricor
date. Cele ricordiamo benissimo, disse M. Adriano. Però adunque; soggiunsi; se bene al-
cun'Interuallo aggiunto à gli estremi della Diapason; come diceua Tolomeo; non fà va-
rietà alcuna di suono, di maniera che si oda diuersa dal Suono primo dell'aggiūto Inter-
uallo; come se aggiūta la Diatessarō alla Diapason, nō varia in tal maniera i suoni, , che parino d'un'altra Cōsonanza, ma simili alla Diatessaron, la quale è aggiunta;
tuttauia non si può dire, che tal Composto sia quell'istesso Semplice, che era inanzi ch'al-
la Diapason s'accompagnasse; come anco non si può dir con uerità, che 'l numero Duode
nario sia l'istesso numero, ch'è il Binario, per esser'esso Binario al Denario accompagnato;
essendo che se ben l'uno & l'altro di essi è Numero pare; non si può però dire, che 'l
Binario sia della natura del Duodenario, & habbia quelle proprietà istesse. Ne anco
si può dir senz'errore; ch'essendo la Diapasondiatessaron composta della Diapason &
della Diatessaron semplici consonanze; che tale interuallo Composto sia semplicemente
consonante, ouer semplicemente dissonante. Ma si ben si potrà dire; che necessariamen-
Dimost. Harm. I te ca-page 130 130 Ragionamento te caschi nel numero de quelle, che sono connumerate tra i due nominati estremi; cioè,
tra quelli Interualli, che consonanze Communemente dette, habbiamo nominato; Im-
peroche se haueremo riguardo alla proportione, che nasce dalla congiuntione de i due
nominati Interualli; ritrouaremo, che sarà la Duplasuperbipartienteterza, contenuta tra
8. & 3. la quale non è ne Molteplice, ne Superparticolare. Onde non può esser posta
tra quelle Consonanze, che sono contenute nel primo ordine, dette Propriamente; per
non esser la sua forma collocata tra le Parti del Senario; come nella Prima definitione
dimostrato; il perche non potrà essere à patto alcuno consonanza Propriamente detta; &
in questo si potrà tenere con i Pitagorici. Ma ch'ella non sia Consonanza della Seconda
maniera Communemente detta, questo non si può, ne potrà mai negare; se 'l si porrà men
te à quello, che nella Seconda definitione si è detto. Il perche quello, c'ha detto & con-
cluso Tolomeo, non sarà detto & concluso fuor di proposito. E' ben uero, che quando
si uolesse dire, che la mente di Tolomeo fusse, che questo Cōposto fusse consonanza Pro-
priamente detta; & di mente de i Pitagorici, ch'ello sia Interuallo dissonante; que-
sto sarebbe falso, & ripugnarebbe à i nostri Principij, iquali habbiamo posti nell'inco-
minciare di questo Ragionamento, & alla uerità istessa. Bisogna adunque tenere con To-
lomeo, ch'aggiunta la Diatessaron alla Diapason, faccia ne gli estremi una Consonanza,
non però Propriamente detta, ma si ben detta Communemente; & con i Pitagorici; che
la Diapasondiatessaron non sia ne possa esser Cōsonanza della prima maniera; se voglia-
mo accordar l'opinioni diuerse de questi Eccellentissimi Musici di modo, che non siano
l'uno dall'altro discordanti quanto al senso; nelle parole si vedino l'un'all'al-
tro contrarij. Et per tal uia l'uno & gli altri uerranno ad hauer detto bene. Hauete adun-
que inteso quel che si dee tenere, per intender queste due opinioni, che siano d'accor-
do. Et se sopra di ciò hauete cosa alcuna da dirmi; ditela auanti ch'io uada più oltra.
M'hauete hora dichiarato un dubio, disse M. Adriano; non ue lo dimandando, ilquale
mi daua molto trauaglio; che i Pitagorici concedeuano à Tolomeo la sua Premessa esser
vera, & negauano la Conclusione. Però questa uostra distintione, c'hauete fatto, nel por-
re questi Mezani interualli tra i Consonanti propriamente detti, & li Dissonanti, accon-
cia il tutto. Onde si possono accordar benissimo questi Pifferi, & dire; Che i Pitagorici
considerando tale aggiunto quanto alla vicinità della Dissonanza, diceuano ch'era Dis-
sonante; & che Tolomeo consideratolo, in quanto era (dirò cosi) la Diatessaron appo-
giata alla Diapason, & s'accostaua alla Consonanza; diceua ch'era Consonante; consi-
derando però il tutto quanto al Senso, & anco quanto alla ragione. Cosi stà la cosa in fat-
to; come vedete Messere, risposi. Soggiunse allora M. Adriano, vi prego adunque à se-
guitare; poi che da uoi uengo ad imparar molte cose degne di gran consideratione; le
quali da altri mai hò più udito. Soggiunsi adunque; Hauendo inteso, in qual maniera
queste due contrarie opinioni accordar si possono; seguitarò à dimostrar quello, che dice
la Proposta; & dirò in questo modo. Siano a & b. termini radicali della proportione
della Diapason, & c con d. numeri minimi continenti la proportione Diatessaron. Mol-
teplico (per la Seconda del ragionamento hauuto heri tra noi) queste due proportioni in-
sieme; & ne viene e. f. g. cioè, e & f. Dupla, & f con g. Sesquiterza; onde dico, che e & g.
uiene ad esser composto di ef. Dupla, & di fg. Sesquiterza; & contenere; la Diapason
& la Diatessaron consonanze. Ma perche e & g. non è Molteplice, ne anco Superparti-
colare; percioche e. contiene il g. due fiate & due sue Terze parti; ond'è detta Dupla su-
perbipartiente terza, contenuta nel Quinto genere di proportione, detto Molteplice su-
perpartiente; però, per la Prima definitione di questo, la Diapasondiatessaron non è
consonanza Propriamenta detta; ma per la Seconda, è ben detta Communemente; co-
me dice la Proposta; & come ui douea dimostrare. Voltosi allora M. Frācesco verso di me
disse; A' fe, c'hauete molto ben ragione; & il nostro Messere l'hà molto ben conosciuto;
percioche (come ancora hanno fatto i migliori Prattici) quando gli è tornato commo-
do; hà posto questo Interuallo con molta gratia nelle sue Cōposition. Et io per me l'userò
sempre,page 131 Secondo. 131 sempre, quando lo far con qualche buon proposito, senza schiuarmene; percio-
che mi pare, che in certi propositi faccia buonissimo effetto. Messer Francesco, dissi, se al-
cuno de i moderni Compositori ui vdisse à dar tanto fauore à quest'Interuallo, si scanda-
lizarebbe molto; essendoche hanno l'Vdito tanto delicato contra questa Consonanza,
che più tosto con miglior sua satisfattione potrebbe nelle sue Compositioni qualche stra-
na cosa, che una compositione di due consonanze fatta al mostrato modo. Ma lasciamo
costoro; percioche son certo, che di loro ue ne curate poco; & ritorniamo à seguitare il
nostro incominciato ordine, dicendo; che

PROPOSTA XLI.

La Diapason diapente nasce dalla Diapason & dalla Diapente aggiunte insieme, & contie-
ne cinque Tuoni maggiori, tre minori, & tre maggiori Semituoni.
QVESTA dimostratione è facile; percioche (per la Ventesimaseconda proposta
del Primo giorno) l'interuallo Duplo & lo Sesquialtero aggiunti insieme fanno
l'interuallo Triplo; ma, per le Definitioni, il Duplo è la forma della Diapason, lo
Sesquialtero è quello della Diapente, & lo Triplo è quello della Diasondiapente;
Adunque aggiunto insieme la Diapason & la Diapente, nasce la Diapason diapente. Ol-
tra di questo; Se per la Trentesima d'hoggi la Diapente contiene due Tuoni maggiori, vn
minore, & un maggior Semituono; & , per la Trentesimanona, la Diapason contiene tre
Tuoni maggiori, due minori, & due maggiori Semituoni, & la Diapasondiapente (per la
Settima definitione) è Consonanza composta della Diapason & della Diapente; come
suona il suo nome: Seguita necessariamente; che quell'istessi Interualli, che sono conte-
nuti in questi due ultimi, siano etiandio contenuti nel primo. Et perche in questi due so-
no contenuti cinque Tuoni maggiori, tre minori, & tre maggiori Semituoni; però dico,
che la Diapasondiapente contiene cinque Tuoni maggiori, tre minori, & tre maggiori
Semituoni; come ui douea dimostrare. Aggiungerò etiandio; che

PROPOSTA XLII.

La Disdiapason nasce dalla Diapason raddopiata, ò pur da due Diapason aggiunte insie-
me; & contiene Sei tuoni maggiori, Quattro minori, & Quattro maggiori Se-
mituoni.
PERCIOCHE per la Ventesimaterza della Prima giornata; raddoppiato l'inter-
uallo Duplo costituisce il Quadruplo; ma per le Definitioni; il Duplo è la for-
ma della Diapason, & il Quadruplo della Disdiapason; adunque raddop-
piata la Diapason, ouero aggiunta una Diapason ad un'altra nasce la Disdiapason.
Et questo è quanto alla Prima parte della proposta. Ma uenendo alla Seconda dico;
Essendo la Disdiapason; per la Settima definitione; Consonanza composta; come 'l nome
Dimostr. Harm. I 2 suo di-page 132 132 Ragionamento suo dice; di due Diapason; ouer la Diapason raddoppiata; & contenendo la Diapason
semplice, per la Trentesimanona d'hoggi, tre Tuoni maggiori, due minori, con due mag-
giori Semituoni; è necessario, che la raddoppiata contenga sei Tuoni maggiori, quattro
minori, & quattro Semituoni maggiori; come vi douea dimostrare. Questo non si può
negare, disse il Sig. Desiderio; & mi piacciono assai quelle ragioni, che uoi dite nelle Isti
tutioni,2. parte
cap. 2.
sopra quello; che gli Antichi, & massimamente i Pitagorici ui etauano il passare
oltra la Quadrupla, ouer'oltra la Disdiapason; onde statuirono, che quest'Interuallo fus-
se 'l termine delle Consonanze. Però, come tutti uoi sapete, si può passar più oltra; il che
fate ciascheduno de uoi; per quel poco di lume, ch'io hò di questa cosa; nelle uostre cō-
positioni. Et credo che ancor uoi M. Gioseffo uorrete seruar questo costume; & che non
vorrete in queste Dimostrationi passar più oltra; per non trapassare la Quadrupla pro-
portione; ò Disdiapason consonanza; doue pure alla fine con l'aiuto di Dio sete arriuato.
Son di questo parere ueramente, dissi; & non accade passar più oltra; ma star si può in que-
ste Proposte dimostrate fin'hora; percioche quantunque si potesse procedere più oltra
quasi in infinito; tuttauia non sono l'altre Dimostrationi, come sono queste, necessarie.
Il perche tutte le uolte, che uoi uorrete andar più di lungo; da quelle Dimostrationi, che
fin'hora ui hò posto inanzi, potrete commodamente per uoi stessi saper quello, che ri-
cercarete. Massimamente hauendoui ragionato, non solamente intorno alle Consonan-
ze semplici; ma etiandio intorno alle Composte. Onde con uostra buona gratia, per
questa fiata, farò fine. Dimane poi ritornarete di nuouo in questo luogo; per che ui son
per dir cose, che ui piaceranno. Hauete molto ben ragione di posarui; disse M. Claudio;
essendo ch'egli è in gran pezzo di tempo, che ragionate. Però è cosa honesta, che hor-
mai si ponga silentio. Mi pensaua; aggiunse M. Adriano; che haueste dimostrato tutto
quello, che si può dimostrare intorno questa materia; ma per quello ch'io uedo, ne resta
anco una buona parte; Però starò con gran desiderio ad aspettare, che venga dimane;
acciò possa udir quello, che hauerete da trattare. Ci manca da trattare (dissi) il più bello
Messere; però non vi date fastidio, che pur troppo presto verrà dimane; onde potrete ve-
dere, ch'io non u'inganno. Ma per finirla hormai rimaneteui tutti in pace. M. Francesco
andianci con Dio. Messere, dissse M. Francesco, state allegro, che di nuouo vi verremo
à uisitare. Di gratia fatelo. Egli rispose. Cosi faremo dissi, & presi la strada: & il Signor
Desiderio disse; Vengo anche io. Ne io ci uoglio restare, disse M. Claudio. A' Dio
adunque Messere; disse ogn'uno. A' Dio à Dio, rispose egli. Et cosi in un tratto tutti in-
sieme si partissemo.
IL FINE DEL SECONDO RAGIONAMENTO.
page 133

DIMOSTRATIONI
HARMONICHE
DEL REV. M. GIOSEFFO ZARLINO
DA CHIOGGIA,
Maestro di Cappella della Serenissima Signoria
DI VENETIA:
RAGIONAMENTO TERZO.

CREDO che non sia passato mai giorno, dopò ch'io vidi quella bel-
la & vera sentenza di Boetio;De Disci-
pli. Scho-
last. cap. 5.
Ch'è cosa propria d'uno Ingegno
miserrimo & pouero, vsar sempre le cose, che sono state d'altrui
ritrouate, & non mai quelle, che ritrouar si possono; ch'io non hab-
bia hauuto cotal cosa nella memoria. Onde mosso prima dal natu-
rale desiderio, che hanno communemente gli Huomini di sapere;Metaphy.
1. cap. 1.

sapendo ch'è verissimo quello, che da quel gran Filosofo, il quale
per la sua eccellenza fù chiamato Tre fiate massimo; che La massima parte di quello
che sapiamo, è la minima di quello che ignoriamo. Dopoi mosso da quel che conti-
nuamente, hauendolo già ueduto, mi staua fisso nella mente; mi diedi à cercare & ue-
dere, se oltra le dette & mostrate cose da gli Antichi Musici ne fusse restato alcuna, che
si potesse da nuouo ritrouare; la quale apportasse qualche vtile à i Studiosi di questa
Scienza; il che dopò molte lunghe fatiche, varij & lunghi studij quanto bene mi sia
successo; lascierò, senza dir cosa alcuna, la cura di far giudicio à quelli; che si de-
gneranno (hauendo intelligenza delle cose della Musica) di ueder le mie fatiche.Nota per i
maligni.

Percioche, oltra quello, ch'io hò pigliato da gli Antichi, per l'ordimento di questa mia
tela; cioè, di quelle cose, c'hauea da dimostrare; ne hò dimostrate & dichiarate tante;
che se tutti coloro, c'hanno dato & danno opera alla Musica, affaticato si hauessero, &
anco si affaticassero nel modo, c'hò fatto io; credo, che non passarebbe molto tem-
po, che questa dignissima Scienza pigliarebbe tanto accrescimento, quanto habbia
fatto alcun'altra; sia qual si uoglia, ch'è compresa sotto questo titolo di Mathematica,
ò sotto qualunque altro. Io per me hò fatto la parte mia, & uoglia Iddio, che venga vo-
lontà à qualche Spirito nobile, di ridurre alla perfettione quello, che fin'hora hò (dirò
cosi) abbozzato; perche allora forse si potrà ueder quello, che sarà di gran contento à
quelli, che sono curiosi di sapere perfettamente, & secondo la verità le cose di questa
Scienza. Essendoche fin'hora ne hò posto tante in campo; che ciascheduno, che uorrà
seguitar più oltra, potrà hauer soggetto, & materia di ragionare ampiamente. Ma
non più di questo; percioche fà dibisogno ritornare al nostro proposito. Però dico;
che 'l Sole già per vna Duedecima parte del suo cerchio hauea passato la linea del Mezo
giorno; quando ciaschedun di noi, udito il segno del Vespero; senza dimorar punto, si
Dimost. Harm. I 3 ridussepage 134 134 Ragionamento ridusse al solito luogo; onde dopò l'hauer discorso vn gran pezzo di tempo sopra quelle
cose che 'l giorno inanti furono ragionate; incominciò M. Adriano (volendo che si desse
principio ad un'altro ragionamento) in cotal modo à parlare. Il desiderio ch'io tengo
di udir cose noue, mi fà ch'io essorti M. Gioseffo à dar principio à quello, che segue à i
Ragionamenti hauuti insieme i due giorni passati. Però tanto più presto, che uoi inco-
minciarete; tanto più l'haueremo caro. Dopoi, finito quello, c'hauete da dire; se 'l tem-
po ce lo concederà; uolendo ragionar d'alcun'altra cosa; si potrà ragionar con più com-
modità. Veramente M. Adriano, disse il Signor Desiderio; che voi dite bene; però
quando ui piacerà di incominciar M. Gioseffo, noi v'ascoltaremo uolentieri. Io son quì
(risposi) per obedirui & satisfarui in questo fatto; & mi piace che non perdiamo 'l tempo
in altre cose; perche hoggidi hò da dirui cose assai. Ma douendo dar principio à questo
nostro Terzo ragionamento, ui uoglio fare auertiti; che fin'hora il parlar nostro è stato
tutto speculatiuo; ne mai habbiamo parlato (come ricordarui potete) d'alcuna cosa; on-
de ui sia stato bisogno di operar manualmente. Il perche si può dire, che le Proposte, le
quali fin'hora u'hò dimostrato; più tosto siano state Theoremi, che Problemi; essendoche
habbiamo trattato de Numeri & Proportioni, & ueduto come le Consonanze & gli In-
terualli minori habbiano l'origine loro dalla diuisione harmonicamente fatta delle Con
sonanze maggiori; & come queste siano reintegrate, ouer contengano quelle, come sue
parti. Hora farà dibisogno di uenir qualche fiata à i Problemi; & adoperare le mani, la ri-
ga & il Compasso; accommodando gli Interualli, de i quali habbiamo parlato, alle Pro-
portioni loro sopra 'l Corpo sonoro; accioche riduchiamo in atto le nostre speculationi, &
le potiamo udir col mezo loro, che ce le conduce sotto 'l giudicio del Senso. Ma uolen-
doci ridurre à quest'atto, vi concorrono alcuni Istrumenti; senza i quali non si può far
cosa buona; onde accioche si conoscano, porrò le lor Definitioni, delle quali la prima
sarà di quello, che nelle Istitutioni2. par. c.
27.
nominai Monochordo; & Tolomeo,Har-
moni. lib.
1. cap. 8.
con BoetioMusicae li.
5. cap. 2.
&
molti altri lo chiamano Regola harmonica; co 'l mezo della quale ui ridurrò à memoria
quel ch'ello sia, & à che fine ei sia stato ritrouato. Ascoltatemi adunque.

DEFINITIONE
PRIMA.

Regola harmonica è Istrumento, nel quale col mezo d'un'altro detto Hemispherio (hauen-
do aggiunto 'l giudicio della Ragione con quello del Senso) in vna chorda, ò più tiratole
sopra, si và inuestigando le ragioni delle Consonanze, & delle parti loro.
CONOSCO benissimo questo Istrumento; disse M. Adriano; percioche essen-
do un giorno in casa uostra me lo mostraste. Anch'io l'ho ueduto; soggiunse
il Viola. Comprendo hora quello che volete dire, disse à questo il Signor
Desiderio; confrontando questa Definitione col Cap. 18. della Seconda parte
delle Istitutioni
. A queste parole aggiunse il Merulo; Io posso saper quel ch'ello sia,
poi che n'hò uno in casa; il quale mi donò M. Vincenzo Colombi eccellente fabricato-
re d'Organi; onde non accade farui sopra altra espositione. E' vero; risposi; Ma auer-
tite ch'alcuni chiamano Regola harmonica vna Listella fatta di legno, nella quale pri-
ma da un capo all'altro ui sia tirato una Linea; sopra la quale si fà le Diuisioni, come ve-
drete, & dopoi si pone sotto quell'Istrumento, che chiamai Monochordo; sopra 'lquale
ui siano solamente tese le chorde; senza esserui Linea alcuna tirata nel mezo. Ma sia
comepage 135 Secondo. 135 come si uoglia: è quell'Istrumento, c'hauete ueduto in casa mia. Però uerrò à dirui quel
che sia Hemispherio. Dico adunque; che

DEFINITIONE II.

Hemispherio è Istrumento mobile, il quale serue alla Regola harmonica posto sotto le chor-
de tiratole sopra, come conuiene, per vdir gli Interualli in essa accommodati alle lor pro-
portioni.
SE 'L si hà da giudicar questo Istrumento, disse il Sig. Desiderio; secondo che suona
il suo nome; dirò ch'ello è una meza Sphera. Quanto al nome (dissi) bisognereb-
be, che cosi fusse, ma in fatto è la Metà della metà, che uiene ad essere un quar-
to; come hora ui dipingo; sia poi di legno, ò di metallo, che questo importa poco. Et
HEMISPHERIO
questo poneuano gli Antichi in luogo del Scanello, ch'io
hò vsato & mostrato nel Cap. 20. della Secōda parte delle
Istitutioni
; hora mobile & hora immobile; il che si può
chiaramēte uedere nell'Vltimo Cap. del Lib. 4. della Musi-
ca
di Boetio. Ma nō ui uoglio porre al presente altre Defi-
nitioni; perch'io uoglio che queste insieme con l'altre, ch'io
ui proposi ne i passati ragionamenti ui siano à bastāza per
il ragionamēto d'hoggi; ne gli altri poi ui proponerò quel-
le, che torneranno al nostro proposito. A questo, disse il
Signor Desiderio; Haueteci à proporre altre Dignità, ò
Massime, oltra quelle, che ci hauete proposto? Nò; gli risposi; percioche quelle ci ha-
ueranno à seruire sufficientemente in tutti i nostri ragionamenti. Intorno alle Dimande
poi; soggiunse M. Adriano; ui contentate forse di quelle cose solamente, che 'l primo gior-
no ci hauete richiesto? Messer nò; gli risposi; anzi uolendoui dimostrare operatiuamen-
te quello, che ui son per dimostrare; è necessario, che mi concediate molt'altre cose; al-
tramente non ui potrei dimostrar cosa alcuna. Et tra l'altre fà dibisogno, che mi conce
diate neccssariamente questa; che

DIMANDA
PRIMA.

Distesa, & tirata vna chorda equale sopra qual si uoglia cosa, quella proportione, che si
troua da Spacio à spacio, quell'istessa anco sia da Suono à suono.
IL Sig. Desiderio à questo disse; E' necessario per certo; percioche non ue lo
concedendo, non potreste dimostrar cosa alcuna non hauendo altra uia, che
sia più ferma & stabile di quella della Diuisione della chorda; al che soggiunse
M. Adriano; Anzi sopra di questa, mi pare, com'io lessi nelle Istitutioni;1. par. c.
19.
& 2.
part. c. 18.
che
fondate tutto 'l uostro parlare. Cosi è Messere: risposi. Et perche Vitelione dimanda;Perspec.
lib. 1. peti.
3.

che si gli conceda; che Quando due Superficie si toccano insieme, facciano una Super-
ficie sola; però ancora io ui dimando, che mi sia concesso da uoi; che
Dimostr. Harm. I 4 DIMAN-page 136 136 Ragionamento

DIMANDA II.

Quando due ò piu Chorde saranno tirate sopra vn'istessa spacio vguale, & accordate insie-
me perfettamente vnisone, siano riputate, ouer faciano una chorda sola.
MI concedete questa, ò pur la negate Messere Adriano? Anche questo (egli ri-
spose) è il douere che ui si conceda; essendo che (come dichiarate nelle Isti-
tutioni2. Instit.
cap. 11.
) l'Vnisono non si fà maggior d'interuallo; come affirmatiuamente ten-
gono alcuni nouelli professori di questa Scienza; iquali dicono che due Vni-
soni aggiunti insieme fanno una Seconda; tre fanno una Terza; quattro fanno una Quar-
ta; & cosi aggiungendo gli altri per ordine vanno accrescendo l'Interuallo; il che è falsis-
fimo appresso d'ogni mediocremente essercitato nelle cose della Musica; essendo che fa-
cendosi à questo modo tale Interuallo (se cosi si può dire) non si fà altramente maggio-
re; come hò anco detto; percioche si potrebbe anche dire, che la Linea si facesse de Pun-
ti; aggiungendo l'uno all'altro; il che è impossibile: onde nel farsi cotali l'Interualli la
cosa uà altramente; essendo che non si aggiunge vno di essi ad vn'altro; ma si aggiun-
ge uoce à uoce, ouer suono à suono. Questo veramente hanno detto con poca consi-
deratione; disse il Signor Desiderio; & con poca intelligenza dalle cose; & una gran
pazzia; percioche (com'io credo) cosi come aggiungendo acqua ad acqua dell'istessa
qualità, non si uiene à comporre vn misto; ma si molteplica solamente cotale acqua; cioè,
la quantità douenta maggiore; cosi aggiungendo un Suono ad un'altro equale, non si
muta la prima qualità; ma si molteplica i suoni, ò le Voci. Dite bene per mia fè; risposi;
& la comparatione quadra benissimo, stando nella qualità; Però uerremo all'altra Di-
manda; la qual sarà questa.

DIMANDA III.

Che si possa diuidere qual si voglia Spatio in quante parti farà dibisogno.
ANCHE questa; disse M. Francesco; ui si può concedere. Non credo già risposi;
che essendomi stati fin'hora liberali, che per l'auenire vogliate essere auari; però
concedetemi anco; che

DIMANDA IIII.

Il Tutto rispetto alla Parte; & il Più rimesso al più tirato, rendi il suono più graue; & per
il contrario; la Parte & il più tirato dia il suono più acuto.
NE questo, aggiunse M. Claudio; ui si può negare; percioche quando noi accor-
diamo qual si uoglia Istrumento da chorde; vediamo esser uero quel che diman-
date. Questo vediamo etiandio ne gli altri Istrumenti da fiato, & maggiormen-
te ne gli Organi; imperoche s'io haurò una Canna, la quale sia più graue di quello, che la
uorrei; tanto più ch'io la faccio corta, tanto più il suono, che da lei uiene, si fà acuto.
A questo soggiunsi; Ancora che ad alcun di uoi parerà forse, ch'io replichi quasi la Pri-
ma dimanda; tuttauia quando considerarete quel, ch'io dimando hora, potrete cono-
scer la differenza; percioche quello, ch'io uoglio al presente è; che mi concediate.
DIMAN-page 137 Secondo. 137

DIMANDA V.

Ogni proportione esser tanto, quanto di numero à numero.
REPLICO' qui il Sig. Desiderio; Par bene, che ella sia quell'istessa, che è la prima;
ma quella parla del Spacio referito al suono, & questa del Spacio referito al nu-
mero. Voi dite bene; risposi, Et queste saranno quelle cose, ch'io uoglio hauerui
dimandato; percioche con esse potrò dimostrar tutto quello, che hoggi ui uoglio propor-
re. La onde per non andar più in lungo; se cosi ui è in piacere; uerremo alle Proposte. Dis-
se à questo M. Adriano; Anzi tutti noi ui preghiamo à dar principio à quel che ui par,
che sia più espediente. Incomincierò adunque; soggiunsi; da una Dimostratione delle più
facili, che sarà come Elemento delle seguenti; la quale intesa, non è dubio, che l'altre non
ui saranno punto difficili; & sarà questa.

PROPOSTA
PRIMA.

Sopra una data chorda distesa si può collocare 'l Tuono alla sua proportione.
QVESTA ui potrà esser facile; se uoi hauerete à memoria quello, ch'io dimo-
strai nel cap. 18. & 19. della Seconda parte delle Istitutioni. Ce lo ricordiamo
benissimo, disse M. Adriano; Ma se ben mi ricordo quelle Sei cose, le quali
entrano in ogni perfetto Problema, ò Theorema; nella Proposta, ch'è Problema, non
Theorema; non si ritroua il Dato, & anco il Quesito; il primo de i quali è la data Chor
da, & il secondo è il Tuono? E' uero dissi; & ei subito soggiunse; A' questa non segui-
ta poi la Seconda cosa, che è la Espositione del Dato? Cosi è, risposi. Fatela adunque se 'l
vi piace, replicò egli. La onde cominciai in cotal modo; Sia adunque ab. la data chor-
da di stesa; sopra la quale habbiamo da collocare il Tuono alla sua proportione. Auer-
tite Messere, che in queste poche parole si ritrouano due cose; prima, quella che hauete
nominato; cioè, l'Espositione del Dato; quando dico; Sia ab. la data chorda distesa; ma
la seconda è la Espositione del Quesito; quando dico; Sopra la quale habbiamo da col-
locare il Tuono alla sua proportione; onde tutta questa prima parte è finita; & però uen-
go alla Costruttione, & dico; Diuido prima essa ab. Terza dimanda dhoggi in no-
ue parti equali; secondo 'l termine maggiore della proportione del Tuono; la quale, per
la Nona proposta di heri, è Sesquiottaua; di maniera, che cb. uenga à contenere otto
parti; secondo 'l termine minore della nominata proportione; & qui finisco la Costrut-
tione. Stà bene, disse egli; & mi ricordo, & credo che hora bisogna pronunciar la Co-
struttione. Cosi è risposi; però seguo in questo modo; & perche ab. & cb. contengono
il Tuono; però dico sopra la data chorda distesa esser collocato il Tuono alla sua propor-
tione. Fate hora, disse M. Adriano, la Dimostratione, che sarà la Quinta cosa. Voglio;
risposi; percioche senza essa haurei fatto nulla. Onde dico prima; Quell'Interuallo, del
quale la maggior de due quantità cōtiene la minore & una sua Ottaua parte; per la Quin
ta definitione del Primo ragionamento
; è Sesquiottauo. Dopoi soggiungo, Tutto lo
Spacio della chorda ab. contiene lo Spacio cb. una fiata & una sua Ottaua parte; essendo
chepage 138 138 Ragionamento che ac. è equale ad una delle sue Ottaue parti; adunque, lo Spacio ab. allo Spacio eb. è
Sesquiottauo. La onde; per la prima Dimanda poco fà propostaui, quell'istessa pro-
portione sarà del Suono di tutta la chorda ab. alla chorda cb. che si troua dallo Spacio a
b. allo Spacio cb. Et anco per l'Vltima dimanda; Quella proportione, che si troua tra a
b. & cb. ne i Spacij, quell'istessa si trouarà tra Numero & numero; cioè, tra 9. & 8. La on-
de per aggiunger l'ultima parte; ch'è la Conclusione, dico; Ma la Sesquiottaua è la forma
del Tuono; Adunque tra le chorde ab. & bc. è contenuto il Tuono. Et cosi Sopra una
data chorda distesa habbiamo collocato il Tuono alla sua proportione; secondo la pro-
posta; & questo è quello, che ui douea dimostrare. Io hauea dibisogno, disse M. Adriano;
che di nuouo commemoraste quelle Sei cose, che di sopra habbiamo nominato; percio
che hauendole hora applicate alla proposta, la quale è musicale, mi sono tanto bene affis-
sate nella memoria; che mai più da me si partiranno. Ma parmi, che questa proposta sia
stata vniuersale; nondimeno l'hauete accommodata al Tuono maggiore; se ben si poteua
intendere anco del minore; questo importa pur qualche cosa. Auertite Messere, dissi;
per non replicar tante fiate 'l nome di maggiore, che quando per l'auenire nominerò il
Tuono, senza aggiunto alcuno di maggiore, ò di minore, d'intender sempre per una cer-
ta eccellenza il Maggiore, & non lo Minore. Percioche quando nominerò questo,
v'aggiungerò sempre questo termine Minore, per distinguerli l'un dall'altro. Deh di gra-
tia, disse M. Claudio; se non vi rincrescie, dimostrateci anco, in qual maniera.

PROPOSTA II.

Si può accommodare il Tuono minore alla sua proportione sopra vna data chorda
distesa.
QVESTO io farò volentieri; gli risposi ma non ui starò à dir cosa alcuna più del-
le Sei cose di sopra nominate. Però incominciando dico; Sia ab. la distesa
chorda, sopra la quale; nel modo c'habbiamo collocato il Tuono Sesquiottauo
& maggiore; uogliamo etiandio collocare lo Sesquinono & minore. Diuido
per la Terza dimanda, in Dieci parti equali la chorda da ab. secondo 'l termine maggio-
re della proportione Sesquinona, la quale è la forma del proposto Tuono; di tal sorte, che
cb. habbia noue parti, secondo 'l termine minore, & ac. sia una parte. Ilche fatto, Di-
co ab. & cb. cōtenere il Tuono minore, & sopra tal chorda esser collocato esso Tuono al-
la sua proportione. Et perche tutto lo Spacio ab. contiene cb. & la sua nona parte; essen-
do che ac. è equale ad una delle noue; però, per la Quinta definitione del primo giorno,
lo Spacio ab. è Sesquinono con cb. La onde la Prima dimanda d'hoggi ci concede; che
quella proportione istessa, che si troua tra la chorda, ò Spacio ab. con la cb. quell'
si troui ancora tra 'l Suono causato da tutta la chorda ab. con quel che nasce dalla cb. Et
per l'Vltima, quella proportione, che si troua tra ab. & cb. ne i Spacij, quell'istessa si tro-
ua tra Numero numero; cioè, tra 10 & 9. La onde essendo tra ab. & cb. la proportione
Sesquinona; & essendo questa proportione, per la Nona proposta del giorno preceden-
te, la forma del Tuono minore; seguita, che tra ab. & cb. sia collocato & accommodato
il Tuono minore sopra la data chorda alla sua proportione, secondo la vostra proposta;
come dimostrar ui douea. Resto di questo satisfatto, disse M. Claudio. Vi piaceranno
anco l'altre; come spero; risposi; però ascoltate questa Terza.
PRO-page 139 Terzo. 139

PROPOSTA III.

Si può soggiungere un Tuono, ò quanti si uogliano sopra vna data chorda ad un'altro
Tuono.
CREDO, che vi ricordate quello, che io scrissi nelle Istitutioni1. par. cap.
31.
& 32.
Et. 2. part.
cap. 21.
&
22.
intorno la materia
del Soggiungere & del Preporre l'una all'altra le Consonanze, & anche le Pro-
portioni; onde non ui sarà difficile quel ch'in questa ui hò da dimostrare. Però
qui non replicherò altro; ma uerrò alla dimostratione. Sia adunque ab. la data chor-
da, sopra la quale, per la Prima proposta; sia accommodato ab. & cb. Tuono alla sua
proportione; al quale faccia dibisogno di soggiungerne vn'altro, ouer più, come torna
in proposito. Diuido, per la Terza dimanda di questo, cb. in noue parti equali, per il ter-
mine radicale maggiore del Tuono; & nel principio delle otto segno d. accioche db.
ne contenga otto, per il minor termine; & cb. ne contenga noue. Il perche è manifesto,
per la Prima proposta, che cb. & db. risonerà il Tuono. Ma perche ab. & cb. è Tuono,
& simigliantemente cb. & db. è Tuono adesso ab. & cb. congiunto; però dico, che so-
pra la data chorda habbiamo soggiunto un Tuono ad un'altro; secondo la proposta. Et
questo è quello, che vi douea di mostrare. Ne vi sarà cosa difficile da fare; quando à
questi due ne uoleste aggiungere un Terzo, oueramente qualunque altro Interuallo, che
più vi piacesse; percioche diuidendo 'l restante di tutta la chorda, che è db, secondo 'l ter-
mine maggiore radicale della proportione dell'Interuallo, che vorrete accommodare;
& pigliate quelle parti, che fanno per il numero delle Vnità, che sono contenute nel mi-
nore; come insegna la Prima proposta; potrete sempre hauer quello, che ricercarete. Io
intendo benissimo ogni cosa; à questo rispose M. Adriano; percioche mi ricordo quel-
lo, che hauete scritto in questa materia nelle Istitutioni;1. par cap.
31.

Et. 2. part.
cap. 21.
onde intorno à questa cosa non
mi nasce dubio alcuno. Ma vi uoglio solamente dire; che mi pare, che questa cosa vadi
sempre ad vn modo; purche si osserui di diuider la chorda, sopra la quale si vuole accom-
modar l'Interuallo alla sua proportione, secondo i termini cōtenuti nella sua Radice. Que
sto è uero Messere; gli risposi; Percioche quanta varietà può intrauenire, lasciamo di dir
quanto al sito, è quella delle Proportioni; percioche l'vna può esser dell'altra maggiore;
ma quanto all'operare, è un'istesso modo di vna, con quello che serue all'altra. Que-
st'istessa anco uedete nella Geometria; percioche (per darui un'essempio) volendo di Tre
linee rette, che siano pari à Tre altre rette date, formare un Triangolo; sempre si fà ad un
modo; purche le Due in qualunque modo prese siano maggiori dell'altra; come per la
Ventesimaseconda del Primo de gli Elementi d'Euclide è manifesto; siano poi quan-
to si vogliano corte, ò lunghe le date Tre linee, che non fà caso alcuno. Et di questo cre-
do che il Sig. Desiderio, come quello, che ha veduto molti autori, se ne potra ricordare.
Me ne ricordo ueramente, rispose egli; Onde non ui è dubio alcuno, che la cosa non sia,
come l'hauete detta. Mi piace, dissi, che ue lo ricordate; Ma perche habbiamo nomina
to la Geometria, ui uoglio dire, ch'io spero, che vederete ne i miei Sopplimenti4. Supple.
cap. 21.
un modo
nouo facile (com'io credo) di Molteplicare, soggiungendo l'uno all'altro quanti Inter-
ualli si uorranno, contenuti da un'istessa proportione; che verranno ad essere proportio-
nali; & questo col mezo della Geometria. Et credo che ui piacerà molto; percioche è
(com'hò detto) facile, breue & ingegnioso. Questo haueremo molto grato M. Gioseffo:
disse il Viola; però sforzateui di dar presto in luce cotali Sopplimenti; acciò potiamo
vederepage 140 140 Ragionamento uedere qualche cosa di nuouo. Pregate il Sig. diss'io; che mi dia gratia di poterlo fare; poi
che ogni cosa è all'ordine. Ma non perdiamo il tempo, & passiamo un poco più oltra.

PROPOSTA IIII.

Si può preporre vn Tuono ad vn'altro già accommodato sopra vna data chorda.
CREDO, disse; vdendo questo il Viola: che questa Proposta corrisponda al Cap.
32. della Prima parte
, & al 22. della Seconda delle Istitutioni; & però credo
anco, che non haurò difficultà d'intenderla; essendo che mi ricordo bene tut-
to quello, che contengono questi due Capitoli. Ma perche ui hauete obligato di dimo-
strar tutto quello, che uoi proponerete; però dimostratela. Credo; risposi; che ui ricor-
date, che ne i luoghi, che m'hauete allegato, voglia; percioche cosi fà dibisogno; che
primieramente si sommino insieme quelle proportioni, lequali si vogliano accommo-
dare & preporre l'una all'altra, & ridurle sotto una sola Denominatione. Però sia (co-
me dice la Proposta) che vogliamo preporre un Tuono ad un'altro sopra una data chor-
da; Sommaremo prima le proportioni de due Tuoni insieme, le quali sono due Sesqui-
ottaue, nel modo ch'io mostrai nel Cap. 33. della Prima parte delle Istitutioni, & haue-
remo questi termini 81. & 64. iquali, per la Nona definitione del Primo ragionamento
saranno radicali; percioche non possono esser numerati communemente da altro nu-
mero, che dall'Vnità, & conteneranno la Super. 17. partiente 64. che sono due Tuoni
Sesquiottaui sommati insieme. Dopoi, sopra la data chorda ab. accommodaremo questi
Tuoni; diuidendo, per la Terza dimanda, lo Spacio ab. in Ottantauna parte equale; di-
uidendola prima tutta in Noue; dopoi diuidendo quella parte, ch'è più vicina allo a. che
sarà ad. in altre Noue parti equali, perche faranno 81. per il Tutto di tutta la chorda a
b. Onde con l'istessa ragione & apertura di Compasso; aggiungendo à queste noue parti
fin'al punto c. altre Otto; ac. ne uerrà à contenere 17. le quali leuate da 81. resteranno 64.
Il perche dico cb. contenere 64. parti di tutta la chorda ab. & esser per il termine mino-
re delle sommate proportioni. Dico hora ab. contenere la nominata proportione. Per-
cioche se tutto lo Spacio della chorda ab. cōtiene cb. una fiata & 17. Sessantesimequarte
parti; Adunque per la Sesta definitione del Primo; lo Spacio ab. sarà Super. 17. partien-
te 64 al cb. Et per la Prima dimanda, sarà l'istessa proportione di Suono à suono della
chorda ab. alla cb. che si troua tra lo Spacio ab. al spacio cb. & per la Quinta, quella
proportione, che si troua tra ab. & cb. ne i Spacij, quell'istessa si troua tra Numero & nu-
mero. Ma perche ab. & cb. è Interuallo composto di ab. & dh. & di db. & cb. che so-
no due Tuoni Sesquiottaui; però, per la Seconda dignità, risoluendosi il composto ab.
& cb. in ab & db. & in db. & cb. dico ab. & db. tanto esser Tuono, quanto è db. & cb.
Onde essendo db. & cb. Sesquiottauo; sarà anco Sesquiottauo ab. & db. Et, per la pri-
ma Dimanda
di questo, tanta sarà la proportione di Suono à suono, quanta di Spa-
cio à spacio. Habbiamo adunque al Tuono cb. & db. preposto il Tuono ab. & db. secon-
do 'l nostro proposito; come vi doueà dimostrare. Auertite però, che questo modo di
preporre si fà, quando bisogna che 'l Tutto della chorda ab. sia l'estremo graue del Tuo-
no, che si hà da preporre. Et il sommare insieme le proportioni non si fà ad altro effetto;
se non accioche hauendo prima accommodato quell'Interuallo alla sua proportione,
al quale se ne uoglia un'altro preporre, dopoi quello, che si hà da preporre, habbia tan-
ta parte di chorda, che sia capace dell'Interuallo; percioche quando noi fussemo certi,
chepage 141 Terzo. 141 che tale Spacio fusse capace dell'Interuallo, che uogliamo preporre; ouer che prima fus-
se accommodato alla sua proportione quell'Interuallo, al quale ne vogliamo aggiungere
un'altro, nō accaderebbe fare altra somma. Però adunque poniamo, che per le due cose
nominate, fussemo certi, che nō bisognasse far'altra somma, & che euidentemente appa-
resse, che quella parte di chorda, sopra la simile tale Interuallo si uolesse accōmodare, fus-
se capace, procederemo à questo modo. Sia la chorda ab. sopra la quale sia accommo-
dato, per la Prima di questo, il Tuono cb. & db. alla sua proportione; al quale vogliamo
preporre un'altro Tuono. Diuido prima cb. in Otto parti equali, per il termine minore
della proportione del Tuono; alle quali, secondo la ragione istessa, aggiungo la Nona, la
quale segno e. onde ne viene eb. Dico, che tra eb. & cb. habbiamo collocato il Tuono
alla sua proportione, & l'habbiamo preposto al Tuono cb. & db. Imperoche tutta la
chorda eb. cōtiene lo spacio cb. & una sua Ottaua parte; essendo che ec. viene equale ad
vna delle parti di cb. adunque per la Definitione, lo spacio eb. è Sesquiottauo allo spa-
cio cb. Et per la Prima Dimanda di hoggi, quell'istessa proportione è del Suono di tut-
ta la chorda eb. alla chorda cb. che si troua dallo Spacio eb. allo spacio cb. Et, per la
Quinta; quella proportione, che si troua tra eb. & cb. ne i Spacij, ò Interualli, quell'istes-
sa è tra Numero & numero; cioè, tra 9. & 8. Ma perche eb. è Sesquiottauo al cb. & è la for-
ma del Tuono; per la Nona di heri, è la Sesquiottaua proportione; però dico, che tra eb.
& cb. habbiamo collocato il Tuono alla sua proportione. Simigliantemente; perche eb.
& cb. proportione è proposta alla proportione cb. & db. essendo cb. & db. Tuono, &
anco eb. & cb. però dico, c'habbiamo preposto il Tuono eb. & cb. al Tuono cb, & db. il
che è secondo la proposta, & come ui douea dimostrare. Disse allora M. Francesco; Chi
uolesse preporre un'altro Interuallo, che fusse di proportione diuersa, credo, che si potreb-
be tener l'ordine istesso; s'io nō m'inganno. Al quale risposi; Non u'ingannate altramen-
te; purche si osserui la varietà de i termini delle proportioni. Onde se hauesti da prepor-
re il Tuono maggiore, contenuto dalla proportione Sesquiottaua, al minore, contenuto
dalla Sesquinona; bisognarebbe tener quell'ordine istesso; sommando prima i termini ra-
dicali delle lor proportioni, se fusse dibisogno, che sono. 9. 8. & 10. 9. Percioche ne verreb-
be 5. & 4. dopoi diuidendo tutta la chorda per il numero maggiore de i prodotti; si piglia-
rebbe le Quattro parti, secondo 'l numero delle Vnità contenute nel minor termine de i
prodotti, & si hauerebbe insieme accommodato alla sua proportione i sommati due Tuo-
ni; iquali pongo che siano tra ab. & cb. del primo essempio. Ma per preporre il maggio-
re al minore, diuideremo la chorda minore in Noue parti equali, per le Vnità contenu-
te nel minor termine del Tuono minore; Onde aggiungēdouene un'altra, secondo le Vni
tà del termine maggiore, haueremo proposto il Tuono maggiore al minore, secondo 'l
proposito; il quale per cagione d'essempio, diremo che sia ab. & db. & lo minore db. &
cb. Hora uolendo vdire in atto tutto quello, che si è operato; tirato che si haurà sopra la
Regola harmonica due chorde di grossezza vguale, di lunghezza della ab. & accordate
perfettamente insieme vnisone, saranno (per la Seconda dimanda di hoggi) riputate vna
chorda sola. Il perche posto l'Hemispherio sotto una di esse chorde nel segno d. & toccata
la ab. prima, & dopoi la db. oueramente percosse tutte due insieme; si udirà senza dubio
alcuno il suono di tutta la Chorda ab. col suono della Chorda db. mandar fuori l'inter-
uallo del Tuono. Et se 'l si porrà, ò spingerà l'Hemispherio della Chorda db. nel punto c.
dal percuotere prima la Chorda ab. & la cb. dopoi; oueramente del percuoter queste
due insieme, vdiremo l'Interuallo composto de due Tuoni Sesquiottaui, il quale senza
dubio non è consonante. Ma se sotto la Chorda ab. porremo un'Hemispherio in punto d.
tra la db. & la cb. si udirà un'altro Tuono più acuto del primo per una Sesquiottaua pro-
portio-page 142 142 Ragionamento portione, il quale è della quantità del Tuono ab. & db. posto nella parte graue. Per co-
tal modo (adunque) qual si uoglia Interuallo si potrà porre sotto 'l giudicio del senso del-
l'Vdito; come mostrai etiandio nelle Istitutioni,2. par. c. 2. & udir anco, percotendo insieme cotali
chorde, ogni Consonanza & Dissonanza; & aggiungendoli una terza chorda, ogn'Har-
monia accommodate alla loro proportione. Qui disse M. Adriano; Parmi, che fin'hora
hauete dimostrato assai; & molto mi piace, ch'alle fiate ci andate riducendo alla memoria
alcune cose, c'hauete insegnato nelle Istitutioni; percioche tanto più si affisseranno nelle
nostre menti; quanto più ce le ricordarete; di maniera, che noi credo, che cosi tosto si par-
tiranno. Allora, disse M. Francesco; Queste cose Mathematiche sono à me tanto difficili,
quanto alcun'altra cosa; & cosi credo che sia anco à molti altri; da tenersi à memoria. On-
de non senza frutto si possono spesse fiate replicare. Il perche ne sento ueramente un gran
contento. A questo, disse M. Claudio; Sono di gran giouamento per ogni modo, tanto
più, quanto dalla uiua uoce procedono, & con gli essempij si pongono auanti gli occhi;
percioche queste due cose aggiunte insieme hanno grandissima forza. Questo è uero, dis-
si; la onde ui uoglio anco dire una cosa; che ritrouarete ne i poco fà nominati Soppli-
menti;4. Supple.
c. 22.
&
23.
aiutati dalla Geometria, il modo di molteplicare aggiungendo ò proponendo
quanti si uogliano Interualli, l'uno all'altro proportionalmente; modo poco differente
da quello, ch'io hò commemorato poco fà; sopra la Regola harmonica; & etiandio un
modo di riportar nell'acuto, ò nel graue qual si uoglia Ordine de proportioni accōmodato
nella detta Regola; senza far molte repliche di alcuna diuisione; operando il tutto con la
Riga solamente, & col Compasso. Questo credo ueramente, disse M. Adriano; che non
potrà essere se non grato; uenendo à minuire la fatica & la lunghezza del tempo nell'ope-
rare; cose à tutti molto noiose; però Iddio ui dia gratia, che li potiate porre in luce, &
presto. Cosi faccia il Sig. Iddio, risposi, à laude & gloria sua. Ma seguitando la nostra im-
presa, uerremo ad un'altra proposta.

PROPOSTA V.

Qual si voglia Spacio diuiso in molti spacij equali, è minore la proportione del Tutto alla
Parte della vicina diuisione, che di essa Parte à tutto 'l restante delle parti, che seguono à
lei più vicine.
QVESTA mi pare, disse M. Adriano; non solamente bella; ma vtile ancora da sa-
pere. Vi douete pure ricordar quello, ch'io chiamo Spacio, gli dissi. Benissimo,
rispose; onde il Sig. Desiderio soggiunse; Non chiamate uoi Spacio la Lunghez-
za de tutte quelle cose, le quali possono mandar fuori Suono? come sono Chorde, Ner-
ui, Aria mandato dal petto, & ogn'Istrumento qual si uoglia da fiato? come sono Canne
d'Organi, Pifferi, Trombe, Cornetti & altri simili? Queste cose tutte si chiamano uera-
mente Spacio, risposi; nelle quali si ritroua una certa proportione, col mezo della quale
ritengono quasi un'istessa natura. Però adunque sia tutto lo Spacio ab. diuiso, per la Ter-
za dimanda
, in Noue parti equali; cioè, ac. cd. de. ef. fg. gh. hi. ik. & kb. Dico la pro-
portione ab. & cb. esser minore della proportione cb. & db. Imperoche essendo ab.
diuiso per i punti c. d. e. f. g. h. i. k. in Noue parti equali, cb. contiene Otto di esse parti,
delle quali ab. ne contiene Noue, & ab. contiene lo spacio cb. & una sua Ottaua parte,
la quale è ac. Ma perche cb. contiene Otto parti equali alla cd. però db. de tutte le par-
ti ne contiene solamente Sette. Adunque cb. contiene lo Spacio db. & una settima sua
parte, ch'è cd. Ma essendo la Ottaua parte, per la Nona dignità, minore della Settima;
per la Ottaua dignità di nuouo diremo, che ab. & cb. proportione Superparticolare sia
minore della cb. & db. come quella, ch'è denominata da parte minore. Essendo che dal-
la Set-page 143 Terzo. 143
la Settima parte è denominata la Sesquisettima, & dall'Ottaua la Sesquiottaua. Adun-
que; Qual si uoglia Spacio diuiso in molti Spacij equali, è minore la proportione del Tut
to à tutta la Parte della uicina diuisione, che di essa parte à tutto il restante delle Parti,
che seguono più uicine; come ui douea dimostrare. Allora M. Francesco disse, questo
hauete dimostrato benissimo nelle Istitutioni,1. par. cap.
40.
parlando della Progressione, ò Propor-
tionalità arithmetica; percioche (per addur l'essempio che mostrate) tra 4. 3. 2. che sono
termini differenti per la Vnità; come sono etiandio le Parti fatte dello Spacio, che haue-
te diuiso tra 3. & 2. ui è la proportione Sesquialtera, & tra 4. & 3. la Sesquiterza, le quali
sono due proportioni differenti; come à ciaschedun di noi è manifesto. Voi hauete detto
bene; gli risposi; & questo istesso, che uoi dite (se ui ricordate) vi dimostrai heri nella
Duodecima proposta. Ma vdite che bel Corollario ne segue da quello, che detto hab-
biamo de i Spacij equali, in quelli che sono di proportione equali & proportionali.

COROLLARIO.

De qui auiene; Che quanto più gli Interualli simili di proportioni in acuto si molteplicano,
& l'uno all'altro si soggiungono; tanto più contengono i Spacij ristretti & minori. Et
quanto più nel graue l'uno all'altro si prepongono, tanto più i Spacij sono maggiori &
più larghi.
ET questo si fà manifesto per la Quarta dimanda d'hoggi, che 'l Tutto rispetto al-
la Parte più grauemente, & la Parte rispetto al Tutto più acutamente suona.
Onde se al Tuono, il quale senza dubio è collocato tra ab. & cb. si aggiungerà
un'altro Tuono; quel che s'aggiungerà, sarà senza dubio più acuto di tanta proportione,
quanta è quella, ch'è contenuta nel primo. La onde se lo Spacio cb. si haurà da partire in
Noue parti equali, ciascheduna di essa uerrà minore dello Spacio cd. il quale è la sua
Ottaua parte. Imperoche è la Nona, & è denominata da maggior numero, che non è la
Ottaua. Sarà adunque ciascheduna delle Noue parti minore dello Spacio ac. essendo
che ac. & cd. sono equali. Et questo, ch'io hò detto d'un tuono, si potrà dire anco di cia-
schedun'altro, che si aggiungesse verso l'acuto. Non uoglio però, che vi ristringiate à cre-
dere, che questa Proposta sia uera nell'Interuallo, ò Spacio del Tuono solamente; ma sa-
piate, che è commune à qualunque altro Interuallo, sia qual si uoglia, ò grande, ò piccio-
lo; pur che s'osserui l'istessa proportione. M. Adriano à questo, disse; Questa cosa è chia-
ra, & non porta seco dubitatione alcuna. Seguitando adunque (dissi) è manifesto, che
quanto più in acuto un Tuono, ò altro Interuallo qual si uoglia d'un istessa proportione,
s'aggiunge all'altro; tanto contiene i Spacij più ristretti & minori ò per il contrario; nel
graue saranno tanto più larghi & maggiori; come dice la Proposta. Ma che direte di
questo? che

PROPOSTA VI.

Diuiso il Tuono nel mezo delle sua estremità in due parti equali, non è diuiso però in due
parti proportionali.
QVA-page 144 144 Ragionamento QVALE è il mezo delle estremità, disse il Sig. Desiderio. Hora ve lo dirò; dissi;
Sia ab. & cb. l'interuallo del Tuono accommodato alla sua proportione, &
sia diuiso ab. come nella Precedente si è fatto; da c. d. e. f. g. h. i. k. in Noue
parti equali. Dico che 'l mezo delle estremità del Tuono, che sono ab. & cb. &
è quello Spacio, che si troua tra a & c. ilquale se bene è diuiso da l. in due parti equali, non
è però nella Regula harmonica diuiso in due parti proportionali. Adunque; soggiun-
se egli; uoi uolete inferire, che se 'l si diuiderà lo Spacio ac. della detta Regola in due par-
ti equali; il Tuono non sarà però partito in due Interualli equali proportionali. Cosi di-
co, risposi; & il Sig. Desiderio soggiunse; Come è possibil questo? Lo vederete tosto, dis-
si, se hauete inteso la precedente. Ma notate, acciò non prendesti errore; ch'io dico di-
uidere in due parti equali tutta la proportione del Tuono geometricamente; & non la
sua differenza, ouero estremità; percioche facendo la diuisione della differenza per cotal
modo; tal diuisione è arithmetica, & non geometrica; & cosi le parti delle diuisioni sono
in proportione inequali & non equali. V'intendo hora benissimo; rispose egli; & mi ma-
rauigliaua grandemente di cotal cosa. Ma seguitate pure à dirci altro; che questa cosa à
me hora è chiara. Anzi ui uoglio dimostrar, soggiunsi, questa cosa minutamente; per ser-
uarui il patto, c'ho fatto con esso uoi. Questo non dico per interromperui; replicò il Sig.
Desiderio; percioche tanto ne dee esser cara la dimostratione delle cose facili; quanto
quelle delle difficili; poi che col suo mezo le uenimo à sapere. Perche se ben le sapiamo
senza 'l suo mezo; le sapiamo però ad un certo modo, che non è propriamente sapere; tan-
to più che non le sapiamo dalle lor cagioni. Essendo adunque diuisa la ab. risposi; in No-
ue parti equali, & essendo ab. & cb. le estremità del Tuono dico, che se 'l si diuiderà lo
Spacio ac. ch'è il mezano de queste due estremità, in due parti equali nel punto l. per
questo il Tuono non sarà diuiso in due parti proportionali & equali. Et che 'l Suono ab.
& lb. non sarà equale in proportione al Suono lb. & cb. lo prouo. Diuido ciascheduna
dell'altre parti, ouer'otto Spacij simigliantemente in Due parti equali, ne i punti m. n.
o. p. q. r. s. t. Hora è manifesto, che tutto lo Spacio ab. è diuiso in Diciotto parti equa-
li, che sono al. lc. cm. md. dn. ne. eo. of. fp. pg. gq. qh. hr. ri. is. sk. kt. & tb.
Adunque, per la Precedente, la proportione ab. & lb. è minore della lb. & cb. Et diuiso
il Tuono in questa maniera, non è però diuiso in due parti equali, ò proportionali; co-
me dice la Proposta. Et questo è quello, che ui douea dimostrare. Ma ascoltate quel
ch'io uoglio dire, che segue benissimo à quello, che ui hò dimostrato; & sarà questo.

PROPOSTA VII.

Diuiso l'Interuallo del Tuono nel mezo dell'estremità in due parti equali, è partito in vn
Sesquidecimosettimo, & in vn Sesquidecimosesto interuallo.
ET sia l'Interuallo ab. diuiso, come nella Precedente, in Diciotto parti equali; &
siano anco ab. & cd. l'Interuallo del Tuono diuiso similmente nel mezo de i suoi
estremi nel punto l. in due parti equali. Dico che l'Interuallo del Tuono ab.
& cb. è diuiso in un Sesquidecimosettimo ab. & lb. & in un Sesquidecimosesto lb. & c
b. Et perche ab. contiene Diciotto parti, & lb. ne contiene Dicesette; però dico, per la
Quinta definitione del Primo ragionamento, ab. & ln. essere interuallo Sesquidecimo-
settimo;page 145 Terzo. 145 settimo; percioche ab. contiene lb. una fiata & una sua Decimasettima parte, detta parte
Aliquota. Simigliantemente, perche lb. contiene Dicesette parti, & cb. ne contiene
Sedici; però dico lb. & cb. per la nominata Definitione, essere interuallo Sesquisesto-
decimo; essendo che lb. contiene cb. & una sua Sestadecima parte Aliquota. Diui-
so adunque l'Interuallo del Tuono nel mezo delle sue estremità in due parti equali, è di-
uiso in vn Sesquidecimosettimo, & in vn Sesquisestodecimo interuallo; come, secondo
la proposta, vi douea dimostrare. Ma Ascoltate quello, che ui uoglio dire in consequen-
za di quel, che ui hò dimostrato.

PROPOSTA VIII.

Lo Spacio del Tuono diuiso in due parti equali nel mezo delle sue estremità, il Suono della
mezana chorda di tutto il partimento sopr'auanza il Suono del maggiore estremo per l'a-
cuto, & del minore per il graue.
ET lo dimostro in cotal modo. Sia (come nella Precedente) ab. diuiso in Diciot-
to parti equali; di maniera che ab. & cb. sia il Tuono. Dico che 'l Suono, che uie-
ne dalla lb. sopr'auanza quello, che nasce da ab. per l'acuto; & l'istesso lb. uince
lo cb. per il graue. Et perche ab. è il Tutto, & lb. Vna delle sue parti; però, per la Quar-
ta dimanda d'hoggi
; ab. fà il suono più graue, & lb. più acuto. Et per la istessa; perche il b.
è il Tutto di cb. & cb. sono parti; però il suono lb. è più graue del suono cb. Adunque
lb. sopr'auanza 'l maggiore estremo del Tuono per l'acuto, & il minore per il graue. La
qual cosa ui era debitore di dimostrare. Siamo satisfatti, disse allora M. Claudio; & si
può seguitare. Dirò adunque, soggiunsi; in consequenza di quello che si è dimostrato;
che

PROPOSTA IX.

Il Tuono non si può diuidere in due parti equali, & proportionali con certi & determinati
numeri rationali.
COME nò? disse il Signor Desiderio; non si affaticò Michele StifellioArith. lib.
1. cap. 9.
di dimostra-
re, contra quelli, che teneuano il contrario, che questo si può fare ottimamente?
& lo dimostrò ancora con numeri determinati; come può stare adunque, che
questo non si possa fare? Dissi à questo; Come lo dimostra il Stifellio? ue lo ricordate? Si
bene, soggiūse. Di gratia dimostratelo, gli dissi; perche ui uoglio far ueder l'errore di que-
sta cosa. Seguitò il Sig. Desiderio; Molteplica il Stifellio i termini radicali della propor-
tione Sesquiottaua; ch'è (com'hauete più uolte detto) la forma del Tuono; l'un nell'altro;
& lo produtto pone tra 'l maggior termine della proportione & il minore, [[i-n]] questo modo
diuidendolo cō queste cifere ¯ & ˘ in due Semituoni minori, segnati cō la prima iquali
habbiano appresso loro lo Schisma rappresentato per la seconda cifera. Di maniera, che
Dimost. Harm. K Semi-page 146 146 Ragionamento
uoi pur uedete, che 'l 9. & la √ 72. & lo 8. sono Numeri certi & determinati. Et non so-
lamente diuide quest'Interuallo, ma gli altri ancora, i quali sono più minuti assai; come
sono il Comma; oltra il Semituono maggiore & lo minore. Sta bene, risposi; Ma come
uorrete ridurre in atto cotal diuisione? Mi ricordo pur troppo la diuisione del Stifellio, &
mi ricordo anco, che Nicolò Tartaglia nella Seconda parte del suo general Trattatolib. 7. cap.
17.
de
Numeri & Misure; corse la posta col Stifellio; percioche in questo luogo pose tutto quel-
lo, c'hauea scritto questo ueramente dotto nelle discipline Mathemati che; & ; ma (come ho detto) in qual maniera uorrete ridurre all'atto tal diuisione? Ve-
dete, ch'ella è irrationale; percioche tutte le uolte che si molteplica i minimi termini d'u-
na proportione tra loro; & che dal prodotto non si possa cauar la Radice quadrata; se li
pone appresso questa cifera √. la quale significa (come dimostrai nelle Istitutioni1. par. cap.
37.
) quella
Radice, che si hà da cauar di quel tal numero. La onde il 72. il quale pone 'l Stifellio, ch'è
il produtto della molteplicatione di 9. con 8. non hà altramente Radice quadrata; & è
di altra specie, che non è il 9. & l'otto, che sono numeri semplici; come ei troppo bene lo
sapea; però gli hà posto appresso la cifera √. onde cotal diuisione si chiama Sorda & Ir-
rationale. Et però dico, che la proportione Sesquiottaua non si può diuidere in due par-
ti equali & proportionali, con numeri certi & determinati rationali. Et per conse-
quente ne anco il Tuono. Et che questo sia uero, uedete che 'l Stifellio nel fine del nomi-
nato Capitolo dice; che ne Giordano, ne il Fabro, ne alcun'Huomo dotto negò giamai,
che tal diuisione si potesse fare; parlando della sua; ma non già con numeri rationali &
determinati; come douete anco intendere la mia proposta. Di questo mi curo poco, dis-
se il Signor Desiderio; pur che si possa diuidere con certi numeri. Et io soggiunsi; di que-
sto poco conto tiene il Musico; ma si bene che siano certi & rationali. La onde ui uoglio
dire, che quelle tre quantità, che pone 'l Stifellio nella sua diuisione, sono non solamente
(comparando l'estreme con la mezana) irrationali; ma etiandio incerte. E come sono in-
certe? disse il Viola. Percioche le proportioni de i Schisma, gli risposi; per la Ventesima-
quinta proposta
di heri, sono incognite & irrationali; le quali, se si aggiungeranno à qual
si uoglia proportione, che sia Rationale; quello che uerra, senza dubio alcuno, sarà Irratio
nale & incerto; come ui dimostrerò un'altra fiata; ma per hora di questo. Et
dico Incerto & Irrationale, in questo modo; perche 'l Musico non si può preualere di esse
in modo alcuno; essendo che non può tra due date chorde, che danno il Tuono, col me-
zo del numero √ 72. porre una terza chorda mezana, che tramezi (dirò cosi) ò partisca
equalmente il Tuono in parti equali, ouero equali Interualli di tal sorte; che tanta sia
la proportione del Suono, che nasce dalla chorda graue & dalla mezana; quanta quel-
la del Suono, che nasce da questa & dall'acuta. Et che ciò sia uero, poniamo l'essem-
pio dell'Interuallo ab. della Precedente, nel quale si ritroui tra ab. & cb. collocato il
Tuono. Pigliate qual si uoglia di uoi un Compasso, & ponete tra a & c. la quantità
di una mezana chorda, secondo i Numeri trouati nella diuisione del Tuono, che hà di-
mostrato il Signor Desiderio; di maniera che diuida la proportione ab. & cb. in due
parti equali, & che tanto sia la proportione di ab. con la detta mezana; quanto quel-
la di questa con la c. b. & dimostratemelo, che cosi sia; ch'io uoglio pagar tutto quel-
lo, che honestamente mi condannarete. Io per me non lo saprei fare; rispose M.
Adriano; Il che dissero anco gli altri. Ma il Signor Desiderio udendo questo, disse; In
ueritàpage 147 Terzo. 147 uerità ch'è cosa impossibile: Et se questo non ui dà l'animo di far uoi, che pratticate le
cose della Musica; uoglio creder, che quello, ch'è à uoi impossibile, possa anco à me & ad
altri intrauenire. Però non sò che mi dire in questo fatto. Dite uoi appresso qualche cosa
M. Gioseffo, s'hauete da dire. Vi uoglio dir questo, dissi; che cō tutte le brauure, che hab-
bia fatto 'l Stifellio; nō lo pote, ne potrebbe anco fare, se ui fusse, cō questi suoi numeri cer-
ti & determinati. A questo; soggiunse M. Adriano. Che ha uoluto adūque fare quest'huo-
mo da bene? Mostrare, dissi; il suo ingegno contra alcuni, che detto haueano, che non si
poteua partire il Tuono in due parti equali con certi & determinati numeri; non hauen-
do nominato i Rationali. Per quel ch'io ueggio, disse il Viola; da queste Diuisioni fatte
à questo modo, poca utilità si puo cauar nelle cose della Musica; & però le iudico, per dir-
ui il uero liberamente, uane & inutili; & in ciò non credo offendere 'l Stifellio, ne etian-
dio altri. Sono ueramente inutili & superflue, dissi; quanto all'uso prattico; ma quanto
poi alla parte speculatiua, non ui potete appagare se non di quello, che ueduto hauete.
Allora, disse; di nuouo il Viola; Non dite più cosa alcuna, per uostra fè, di questa cosa,
& ritornate al uostro proposito. Et se non fusse, che hauete nell'Istititioni2. par.
cap. 24.
&. 25.
insegnato il
modo di ritrouare in due maniere le Chorde mezane; ui uorrei pregare, poi che 'l luogo
lo ricerca, che hora le doueste dimostrare; ma sarebbe superflua cotal cosa. Anzi ui uor-
rò, risposi dimostrar l'uno & l'altro modo, in queste due proposte seguenti; espedito che
mi haurò da questa. Per qual cagione? disse il Merulo; Perche quantunque habbia
dimostrato ritrouar cotali Chorde mezane, dissi; non hò però in tal maniera & cosi co-
piosamente dimostrato & prouato il tutto, ch'appresso d'alcuno non possa nascer qualche
dubio; essendo che iui hò dimostrato cotal cosa con breue modo; ma à mano à mano ui
dimostrerò tutto quello, che in questa fattura si può dimostrare. Vi ricordate quello che
io dissi il Primo giorno dimostrandoui la Nona proposta? Ce lo ricordiamo, disse M.
Adriano. Vi dissi, soggiunsi; che l'Interuallo Superparticolare non riceue ne uno, ne più
mezani termini, che lo diuida proportionalmente in due, ò più parti equali; Et per la
Prima dimanda d'hoggi; Quell'istessa proportione, che si troua da Spacio à spacio; si tro-
ua anco da Suono à suono; Ma il Tuono non nasce egli da un Superparticolare? essendo
che è contenuto dalla proportione Sesquiottaua? E' uero, rispose il buon Vecchio, & io
gli aggiunsi; Fate hora uoi la conclusione. Adunque bisogna dire, diss'egli; che 'l Tuono
non si possa partire in due parti equali & proportionali, con certo & determinato numero
rationale; quantunque si possa diuidere con numeri Sordi & irrationali; com'hauete di-
mostrato. Cosi è Messere, gli risposi; ma per il Corollario etiandio della Ventesimaquin-
ta proposta
del giorno passato, habbiamo; che, Di quelle proportioni, le quali non han-
no nelle lor Radici il maggior termine, che sia Numero quadrato, & lo minore la Vnità;
le Parti delle lor diuisioni sono incognite & irrationali; Ma i termini della proportione
del Tuono, i quali sono 9. & 8. non sono sottoposti à cotal legge; quantunque il primo sia
Numero quadrato; Adunque le proportioni delle diuisioni, che si facessero del Tuono,
sarebbono incognite & irrationali. Ma l'essere à questo modo, è, che non si possino co-
me poco fà ui hò dichiarato) descriuer con numeri determinati & rationali; Adunque
il Tuono non si può diuidere in due parti equali & proportionali, cō certi & determina-
ti numeri rationali; come dice la Proposta; & come ui douea dimostrare. Ma aggiunge-
te anco questo; che 'l non si possa diuidere minormente in più de due parti. Disse allora
il Sig. Desiderio; Hauete dichiarato il tutto ottimamente & dimostrato; di maniera che
non ui resta dubio alcuno; però potrete seguitare à uostro piacere; & dimostrare in che
modo si possano ritrouar queste Chorde mezane tra gli estremi suoni d'un'Interuallo, di
modo che lo diuida in due parti equali & proportionali. Seguitai adunque in questo
modo; Volendo far questo, uerrò prima à dirui; che
Dimostr. Harm. K 2 PRO-page 148 148 Ragionamento

PROPOSTA X.

Potiamo partire il Tuono & qualunque altro Interuallo in due parti equali & proportiona-
li, & dimostrare i termini delle vere metà nelle chorde.
LA Precedente hà dimostrato, che 'l Tuono non si pu ò diuidere con numeri deter-
minati & rationali; hora la Presente dimostrerà, che tal diuisione si può fare Geo-
metricamente, senza ragione dimostratiua de numeri. Et questo ui uoglio di-
mostrare in due modi; de i quali il primo sarà, di ritrouare una Chorda sola mezana pro-
portionale, che lo partisca in due parti equali; L'altro sarà, di ritrouarne non solamen-
te una; ma più ancora, che lo diuida proportionalmente in quante parti equali sarà dibi-
sogno. Iquali modi seruiranno, non solamente alla diuisione del Tuono, ma etiandio di
qual si uoglia Interuallo. Il primo modo adunque sarà questo. Sia la chorda ab. sopra
la quale, per la Prima d'hoggi, sia accommodato il Tuono alla sua proportione; & sia ab.
& cb. il detto Tuono. Faccio prima de. come stà nella figura, ch'io ui propongo, equale
alla ab. & fe. equale alla cb. Onde sia dibisogno tra la chorda de. & la fe. che sono l'estre-
me chorde del Tuono, porre una Chorda mezana proportionale. Il perche seruendomi
della Nona proposta del Sesto de gli Elementi d'Euclide; secōdo la tradottione del Cam-
pano; ò delle Terzadecima di Theone; aggiungo dopoi, per la Quartadecima del primo
la linea eg equale alla fe. & compono tutta la dg. sopra la quale descriuo 'l Semicircolo
dhg. & sopra 'l punto e. doue la de. si coniunge con la eg. per la Vndecima del detto, tiro
la perpendicolare eh. che uada alla circonferenza dhg & descriuo le linee dh. & gh. Et
perche, per la Trentesimaprima del Terzo, l'angolo dhg. nel semicircolo è angolo retto;
& nel Triangolo dgh. dall'angolo retto alla base perpendicolarmente fù tirato la linea
eh. però per il Corollario dell'Ottaua del Sesto, eh. uiene ad esser la ricercata Linea, ò
Chorda mezana proportionale della de. & fe. Faremo adunque la Linea ke. equale alla
he. essere il termine della uera metà del Tuono nella chorda de. & la ri-
trouatapage 149 Terzo. 149 trouata Chorda mezana proportionale tra de. & fe. secondo 'l proposito. Et si come tan-
ta è la proportione di Spacio à spacio; come per la Prima dimanda è concesso; cosi tan-
ta è la proportione di Suono à suono. A questa maniera adunque si potrà diuidere non
solamente il Tuono; ma qualunque Interuallo minimo; ritrouando la Chorda mezana
proportionale, secondo la lunghezza delle linee, che ueranno nella figura. Haueua in
animo, disse M. Francesco, di dimandarui quel che dicono & dimostrano le da uoi alle-
gate proposte d'Euclide; onde quando ui tornasse commodo, mi fareste grande piacere
à dichiararle; per non esser molto prattico in queste cose. Son contento, dissi; perche, per
esser facili, & pigliandosi & accettandosi per uere, come dimostrate; in quattro parole ui
risoluerò il tutto. La Decimaquarta proposta del primo d'Euclide dimostra; che Se da
una retta; come sarebbe dire he. nell'essempio dato; & da un punto, che sia in essa; come
saria e. due rette non poste dalla medesima parte; come sono de. & egh. faranno gli ango
li, che sono à canto l'uno & l'altro; come sono deh. & heg. equali à due retti; quelle due
rette sarāno poste à drittura l'una cō l'altra; come sono de. & eg. & farāno una linea sola.
Son satisfatto di questa, aggiunse M. Francesco; andate all'altra. La Vndecima del Pri-
mo anco è facile, dissi; percioche dimostra in qual maniera, Da un punto segnato; come
sarebbe e. in una linea retta, come è la dg. si possa leuare una perperdicolare; come eh.
la quale faccia due angoli retti; i quali sono li già mostrati. Et accioche quando ui oc-
corresse di leuar tal linea, lo possiate far prestamente; ui voglio mostrar un modo prattico
bello & breue. Sia dg. vna linea retta, com'è quella posta nell'essempio, che ui hò dato;
& sia e il punto, dal quale faccia bisogno di leuare un'altra retta perpendicolare, la qua-
le dall'una parte & l'altra faccia due angoli retti. Segnaremo prima due punti nella li-
nea dg. che siano equidistanti dall'una parte & dall'altra dal punto e. & saranno k. & l.
Fatto questo, porremo il piede immobile del Compasso sopra l'uno de i segnati pun-
ti; come sarebbe k. & con quella apertura, che più piacerà; pur che di poco sia distante
dall'altro punto l. per maggior commodità, discriueremo la piegata linea lm. Hora con
quell'istessa apertura porremo il piede immobile nel punto l. & descriueremo la piega-
ta linea km. secondo la quantità della lm. Il che fatto, dal punto e. al punto m. doue
si coniungono lm. & km. tiraremo una linea retta giustamente, la quale sarà em. &
questa dico, che sarà la Perpendicolare ricercata. Mi hauete fatto un singolare pia-
cere, disse M. Adriano; ad insegnarci questo bel modo & facile di leuar cotal linea; per-
cioche mi verrà commodo in un certo mio proposito; & è necessario saperlo massime ad
vno, che si adoperi nelle cose delle misure. Vdito questo seguirai nella proua della De-
mostratione. La Trentesimaprima del Terzo dimostra, che Tutti gli angoli, che si fanno di
due linee rette; che sono le dh. & hg. nel Semicircolo dhg. sono retti, come è l'angolo dh
g. Questa è manifesta, disse M. Claudio; oltra l'essempio, che mostrato hauete; Ma che dice
il Corollario dell'Ottaua del Sesto? Che in ogni Triangolo rettangolo; soggiūsi subito; co-
Dimost. Harm. K 3 mepage 150 150 Ragionamento me dgh. se dall'angolo retto dhg. alla basa dg. si condurrà una linea perpendicola-
re; come è la he. tal linea sarà mezana proportionale tra i due partimenti della detta ba-
se dc. & eg. Et simigliantemente l'uno & l'altro lato, hg. & hd. tra tutta la base dg. & la
parte della base ad esse parti conterminale. Et questo è detto; perche la linea he. diuide
il Triangolo dhg. in due triangoli minori d'un'istessa specie; che ciascheduno col mag-
giore hà un'angolo retto; & sono hed. & heg. Et la eg. si chiama conterminale al lato
gh. & la ed. al lato dh. Vedete di gratia, disse il Sig. Desiderio; che bella & sonora Har-
monia nel suo genere si ritroua tra le linee de questi Triangoli; i quali si fanno per la det-
ta perpendicolare. Gli rispose; M. Adriano; Veramente è cosa mirabile quella de i
Numeri; ma sopra ogn'altra è miracolo nella natura l'Huomo, il quale col suo diuino in-
telletto và inuestigando & ritrouando cose tanto sottili, difficili & rare. Questo è poco
Messere, gli dissi; rispetto à quello, che uede il Mathematico; per che in uerità uede tal
cosa tra i Numeri & altre Quantità, che meritamente può stimare con i Pitagorici; che
tra loro siano alcune cose diuine. Ma passiamo hormai all'altra proposta.

PROPOSTA IX.

Potiamo diuidere qual si voglia Interuallo in più parti equali, & proportionali; & dimo
strare i Punti delle parti nelle chorde sonore.
DOPO la proposta disse M. Francesco; credo, che qui sarà dibisogno d'adope-
rare il Mesolabio; non è cosi M. Giosseffe? Cosi è, dissi; percioche senza 'l suo
mezo non vi potrei dimostrar cosa alcuna. A questo disse il Signor Deside-
rio; Parmi che sia quasi superfluo il uoler replicar quello, ch'altre fiate haue-
te dimostrato. Non giudico superfluo quello, gli risposi; che hà dibisogno d'esser ricor-
dato & dimostrato, per le Dimostrationi, che hanno da seruire à nostri ragionamenti. Tan
to più, che già v'inseguai, col mezo di quest'Istrumento, ritrouar Tra due linee date una
linea sola mezana proportionale; & hora ui uoglio dimostrar, che non solamente una, ma
due, & anco più se ne potrà porre, se mi prestarete udienza. Disse allora il buon Vecchio;
Altro non desideriamo; però seguitate pure allegramēte à dimostrar quello, che ci hauete
proposto. Cosi uoglio far Messere, risposi; ne mi uoglio smarrire à patto alcuno. Sia adūque
lapage 151 Terzo. 151 la chorda ab. sopra la quale sia accōmodato qual si uoglia Interuallo tra ab. & cb. & sia
dibisogno di partirlo in tre interualli. Bisogno è, che secondo 'l modo mostrato nelle Isti-
tutioni
, si ritroui tra la chorda ab. & la cb. due chorde mezane proportionali. Onde pi-
glio primieramente l'istrumento Mesolabio; & l'acconcio nel modo, che si conuiene; po-
nendo tre Paralellogrammi defg. hikl. mnop. l'uno sotto l'altro; come uedete. Di mo-
do che defg. stia sopra gli altri; & il lato de. uiene ad esser di punto equale alla quantità
della chorda proposta ab. Faccio dopoi il lato po. del terzo paralellogrammo mnop.
equale alla chorda cb. in punto s. Et accōmodo gli altri di maniera, che i loro diametri k
h. & mo. s'affrontino con i lati gf. & lk. ne i punti q & r. Onde nasce due mezane linee. q
f & rk. lequali dico essere alle de. & so. proportionali; & che tra le chorde ab. & cb. si
haueranno à collocare; percioche diuideranno l'Interuallo ab. & cb delle date chorde
in tre parti equali; secondo 'l proposito. Et che tali Linee siano proportionali, lo dimostro
in questo modo. Poniamo, che le linee causate nel Mesolabio siano de. qf. rk. so. & sia-
no q & r. i segni de gli affronti de i lati de i Paralellogrammi con li diametri. Produco le
linee ds & eo. tanto, che concorrino insieme; le quali, per la Quinta Dimanda d'Eucli-
de, concorreranno nel punto t. Onde nascerà il Triangolo dte. il quale haurà l'angolo e
dt. minore dell'angolo det. & per la Vndecima definitione, è detto Acuto; & anco de. il
quale, per l'Ottaua, si chiama Retto. Ma perche inanti che si mouessero i Paralellogram-
mi, gli angoli def. hik. & mno. de i Paralellogrammi, & i lati loro à questi angoli op-
positi, erano equali; saranno etiandio tra loro equali gli angoli efd. ikh. & nom. co-
m'è determinato & dimostrato per la Sesta del Sesto. Et, per la Ventesimaottaua del
Primo
, le Linee df. hk. & mo. saranno etiandio Paralelle. Et perche i Triangoli det.
qft. rkt. & sot. hanno l'angolo dte. commune, & ancora commune un'angolo retto; pe-
rò, per il Secondo Commun parere, & per la seconda parte della Trentesima del Pri-
mo
, dico tali Triangoli esser di angoli retti. Et per la Quarta del Sesto; simigliantemen-
te per la Seconda del medesimo; hauere i lati proportionali, & essere; si come de. si con-
uiene con qf. cosi dt. con qt. Et si come rk. con so. cosi rt. con st. Dopoi, perche all'altro
lato del Triangolo dft. fù fatto hk. paralella; però, dico prima separatamente, per la
Seconda del Sesto; si come si troua dq. con qf. cosi ritrouarsi fk. con ft. Et insieme do-
poi, per la Decimaottaua del Quinto; si come dt. conuiene con qt. cosi ft. conuiene con
kt. Et perche il lato qf. del Triangolo qtf. è fatto paralello di rk. però, per l'istesse Pro-
poste, si come conuiene ft. con kt. cosi conuiene qt. con rt. Et per la Vndecima del Quin
to; cosi conuengono dt. con qt. Et di nuouo, per l'istesse Proposte; si come insieme con
uengono qt. con rt. cosi conuengono rt. con st. Onde queste quattro Linee dt. qt. rt. &
st. dico esser proportionali. Ma habbiamo dimostrato, che si come si trouano dt. con
qt. cosi conuenirsi qf. con rk. Simigliantemente, quella conuenienza, che si troua esser
tra rt. & st. essere etiandio tra r. k. & so. adunque, per la Vndecima del Quinto, queste
linee de. qf. rk. & so. saranno proportionali; & tra de. & so saranno ritrouate Due linee
mezane qf. & rk. le quali sono proportionali; come ui douea dimostrare. E' adunque
il proposto Interuallo ab. & cb. diuiso in tre parti equali; com'hauete potuto uedere; &
& come ui douea dimostrare. Finito ch'io hebbi, disse allora il Signor Desiderio; Tanto
bene hauete dimostrato questa proposta, ch'è impossibile, che possa essere altramente.
Ma cotal dimostratione, non hauete trattato come Musico; ma come Geometra. E' ue-
ro; risposi; & non è inconueniente; percioche applico poi questa dimostratione al propo-
sito; come hauete veduto. Disse dopò questo il Viola; Nelle Precedenti hauete di-
chiarato sopra la Figura tutte le proposte, c'hauete allegato, d'Euclide, con le quali di-
mostrato hauete 'l uostro proposito; però se 'l non ui rincrescie fatelo (di gratia) anco in
questa. E' giusta dimanda; risposi; però son all'ordine; se ben le cose andaranno un poco
in lungo. Lasciate però, soggiunse egli; la Sesta del Sesto; percioche è manifesta da quel-
lo, che detto hauete, & dichiarateci la Ventesimaottaua del Primo; & cosi uerete ad es-
Dimostr. Harm. K 4 serepage 152 152 Ragionamento sere vn poco più breue. Allora dissi; Questa proposta dice; Se vna retta linea; come sa-
rebbe nella Figura la quale hò fatto; la dt. verrà sopra due rette, come sono gf. & lk. &
l'angolo di fuori causato da quella, come dqf. sarà equale all'angolo opposto di dentro;
come qrk.